Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними
Установлены достаточные условия существования решений двухточечной задачи для более общих
 систем дифференциальных уравнений с частными производными. We find sufficient conditions for existence of solutions of a two-point problem for more general systems
 of partial differential equa...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177192 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними / Б.П. Ткач, Л.Б. Урманчева // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 262-272. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860126985915727872 |
|---|---|
| author | Ткач, Б.П. Урманчева, Л.Б. |
| author_facet | Ткач, Б.П. Урманчева, Л.Б. |
| citation_txt | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними / Б.П. Ткач, Л.Б. Урманчева // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 262-272. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Установлены достаточные условия существования решений двухточечной задачи для более общих
систем дифференциальных уравнений с частными производными.
We find sufficient conditions for existence of solutions of a two-point problem for more general systems
of partial differential equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ
РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ ДЕЯКИХ СИСТЕМ РIВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ
Б. П. Ткач, Л. Б. Урманчева
Мiжрегiон. акад. управлiння персоналом
вул. Фрометiвська, 2, Київ, 03039, Україна
We find sufficient conditions for existence of solutions of a two-point problem for more general systems
of partial differential equations.
Установлены достаточные условия существования решений двухточечной задачи для более общих
систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Вступ. Чисельно-аналiтичний метод вiдшукання розв’язкiв двоточкової задачi для систем
звичайних диференцiальних рiвнянь був розвинутий А. М. Самойленком i М. Й. Рон-
то [1].
Розширення чисельно-аналiтичного методу на двоточковi задачi для систем рiвнянь з
частинними похiдними було проведено в статтях Ю. О. Митропольського i Л. Б. Урман-
чевої [2, 3]. У данiй роботi чисельно-аналiтичний метод узагальнюється на бiльш широкi
квазiлiнiйнi системи рiвнянь з частинними похiдними.
Постановка задачi i формулювання основних результатiв. Розглядається система рiв-
нянь з частинними похiдними вигляду
∂2u
∂t∂x
= P (t, x)u(t, x) +Q(t, x)u′x(t, x) + f(t, x, u(t, x), u′t(t, x)), (1)
де u, f ∈ En, P (t, x), Q(t, x) — неперервнi (n× n)-матрицi, 0 ≤ t ≤ T, x ∈ [−a, a].
Вивчаються умови iснування розв’язкiв системи рiвнянь з частинними похiдними (1),
якi задовольняють умови: двоточкову
A(x)u(0, x) + C(x)u(T, x) = ω(x), (2)
граничну
u(t, 0) = u0(t) + v(0) (3)
i початкову
u(0, x) = u0(0) + v(x). (4)
У двоточковiй умовi A(x), C(x) —неперервнi (n×n)-матрицi при x ∈ [−a, a]. Вектор-
функцiя v(x) знаходиться в процесi вiдшукання розв’язку системи рiвнянь (1). Вектор-
функцiя u0(t) задана, неперервна зi своєю похiдною, до того ж
|u0(t)| ≤ ~N,
∣∣u′0(t)∣∣ ≤ ~N0. (5)
© Б. П. Ткач, Л. Б. Урманчева, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 262
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI . . . 263
Вектор-функцiя ω(x) задана, неперервна зi своєю похiдною при x ∈ [−a, a], до того ж
|ω(x)| ≤ ~L,
∣∣ω′(x)
∣∣ ≤ ~L∗. (6)
Векторнi нерiвностi тут i далi розумiються в сенсi покомпонентних нерiвностей.
Будемо припускати, що виконуються такi умови:
I. Вектор-функцiя f(t, x, u, u1) визначена i неперервна в областi
Ω: (t, x, u, u1) ∈ [0, T ]× [−a, a]×D ×D1,
де D, D1 — обмеженi областi En, та задовольняє нерiвнiсть Лiпшиця
|f(t, x, ū1, ū2),−f(t, x, u1, u2)| ≤ K1 |ū1 − u1|+K2 |ū2 − u2| , (7)
до того ж K1, K2 — сталi матрицi з невiд’ємними елементами.
II. Виконуються нерiвностi∣∣P (t, x)u0(t) + f(t, x, u0(t), u
′
0(t))
∣∣ ≤ ~M0,∣∣P (t, x)u(t, x) +Q(t, x)u′x(t, x) + f(t, x, u(t, x), u′t(t, x))
∣∣ ≤ ~M.
(8)
III. Елементи матриць A′(x), C ′(x) при x ∈ [−a, a] є обмеженими неперервними похiд-
ними вiдповiдно елементiв матриць A(x) i C(x). Матриця C(x) має обернену (C(x))−1, i
похiднi її елементiв є обмеженими неперервними функцiями при x ∈ [−a, a].
IV. При x ∈ [−a, a] iснує обернена матриця
[
(C(x))−1A(x) + E +Q0(x)
]−1
, де E —
одинична матриця, матриця
Q0(x) =
T∫
0
Q(t, x)dt, (9)
до того ж елементи матрицi Q0(x) мають неперервнi обмеженi похiднi i Q0(0) = 0, а
матриця S0 має елементи, якi є supremum модулiв елементiв оберненої матрицi, тобто
S0 =
∣∣∣[(C(x))−1A(x) + E +Q0(x)
]−1∣∣∣
0
. (10)
V. При x ∈ [−a, a] iснує обернена матриця[
E − S0a
∣∣P0(x)−Q′0(x)
∣∣
0
]−1
, (11)
де
P0(x) =
T∫
0
P (t, x)dt. (12)
VI. У крузi одиничного радiуса знаходяться власнi числа матрицi
F = P ∗
(
a
T
2
B + aTB1
)
+Q∗TB +K1
(
a
T
2
B + aTB1 + S∗aT
)
+K2aB, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
264 Б. П. ТКАЧ, Л. Б. УРМАНЧЕВА
де елементи матриць P ∗ i Q∗ визначаються спiввiдношеннями
{P ∗}ij = sup
t,x
|{P (t, x)}ij | ,
{Q∗}ij = sup
t,x
∣∣∣{Q(t, x)}ij
∣∣∣ , (14)
а матрицi B i B1 — рiвностями
B = E + P ∗S∗aT +Q∗TS0L
(1)
1 , (15)
B1 =
∣∣[C−1(x)A(x) + E
]∣∣
0
S∗. (16)
Тут
S∗ =
∣∣∣{E − aS0 ∣∣P0(x)−Q′0(x))
∣∣
0
}−1∣∣∣
0
S0,
L
(1)
1 = E + [R∗ + P ∗]S∗a, R∗ =
∣∣∣(C−1(x)A(x)
)′∣∣∣
0
.
(17)
Розглянемо послiдовнi наближення у виглядi
u0(t, x) = u0(t) + v0(x),
(18)
un+1(t, x) = u0(t) +
n+1∑
i=0
vi(x)
+
x∫
0
t∫
0
[
P (ξ, η)un(ξ, η) +Q(ξ, η)u′nη(ξ, η)+
+f
(
ξ, η, ũn(ξ, η), ũ′nξ(ξ, η)
)]
dξ dη + αn(x)t,
де
ũn(t, x) = un(t, x)− vn(x). (19)
Виберемо αn(x) iз умови так, щоб виконувалася двоточкова умова
A(x)ũn+1(0, x) + C(x)ũn+1(T, x) = ω(x). (20)
Тодi одержимо
αn(x) = − 1
T
x∫
0
T∫
0
[
P (ξ, η)un(ξ, η) +Q(ξ, η)u′nη(ξ, η)+
+f
(
ξ, η, ũn(ξ, η), ũ′nξ(ξ, η)
)]
dξ dη+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI . . . 265
+
1
T
{
C−1(x)
(
ω(x)−A(x)
[
u0(0) + v0(x) +
n∑
i=1
vi(x)
])
−
− u0(T )−
n∑
i=0
vi(x)
}
. (21)
Пiдставляючи αn(x) у (18), отримуємо [2, 3]
u0(t, x) = u0(t) + v0(x),
(22)
un+1(t, x) = u0(t) +
n+1∑
i=0
vi(x) +
x∫
0
t∫
0
{[P (ξ, η)un(ξ, η)+
+Q(ξ, η)u′nη(ξ, η) + f
(
ξ, η, ũn(ξ, η), ũ′nξ(ξ, η)
)]
−
−
[
P (ξ, η)un(ξ, η) +Q(ξ, η)u′nη(ξ, η)+
+f
(
ξ, η, ũn(ξ, η), ũ′nξ(ξ, η)
)]}
dξ dη +
+
t
T
{
C−1(x)
(
ω(x)−A(x)
[
u0(0) + v0(x) +
n∑
i=1
vi(x)
])
−
−u0(T )−
n∑
i=0
vi(x)
}
, n = 0, 1, 2, . . . ,
f̄ =
1
T
T∫
0
f dt.
Вектор-функцiї vi(x) вибираємо з умови таким чином, щоб αi(x) = 0, i = 0, 1, 2, . . . ,
тобто виконувалася двоточкова умова (20).
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай права частина системи рiвнянь з частинними похiдними (1) – (4) задо-
вольняє умови I – VI. Тодi iснує єдиний розв’язок системи рiвнянь (1) – (4), який є рiвномiрною
границею при n→∞, (t, x) ∈ [0, T ]× [−a, a] послiдовностi функцiй (22) i задовольняє також
систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними
u(t, x) = u0(t) + v(x)+
+
x∫
0
t∫
0
[
P (ξ, η)u(ξ, η) +Q(ξ, η)u′η(ξ, η)+
+f
(
ξ, η, u(ξ, η), u′ξ(ξ, η)
)]
dξ dη, (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
266 Б. П. ТКАЧ, Л. Б. УРМАНЧЕВА
до того ж вектор-функцiя v(x) є рiвномiрною при x ∈ [−a, a] границею послiдовностi{
n∑
i=0
vi(x)
}
.
Доведення. Для встановлення рiвномiрної збiжностi послiдовностi наближень (22) оцi-
нюємо поступово рiзницi
u1(t, x)− u0(t, x), u2(t, x)− u1(t, x), . . . , un+1(t, x)− un(t, x)
та їх частиннi похiднi по t i x. Для оцiнювання вектор-функцiї v0(x) i її похiдної iз спiв-
вiдношення (21) при n = 0 одержуємо систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь
x∫
0
T∫
0
Q(ξ, η)v′0(η)dξ dη +
x∫
0
T∫
0
P (ξ, η)v0(η) dξ dη =
= C−1(x) (ω(x)−A(x)[u0(0) + v0(x)])−
− u0(T )− v0(x)−
x∫
0
T∫
0
f
(
ξ, η, u0(ξ), u
′
0(ξ)
)
dξ dη−
−
x∫
0
T∫
0
P (ξ, η)u0(ξ) dξ dη. (24)
Враховуючи позначення (9) i (12), систему рiвнянь (24) записуємо у виглядi
x∫
0
Q0(η)v′0(η)dη +
x∫
0
P0(η)v0(η)dη +
[
C−1(x)A(x) + E)
]
v0(x) = C−1(x)ψ0(x), (25)
де
ψ0(x) = ω(x)−A(x)u0(0)− C(x)u0(T )−
− C(x)
x∫
0
T∫
0
[
P (ξ, η)u0(ξ) + f(ξ, η, u0(ξ), u
′
0(ξ))
]
dξ dη.
Оскiльки Q0(0) = 0 i
x∫
0
Q0(η)v′0(η)dη = Q0(x)v0(x)−
x∫
0
Q′0(η)v0(η)dη,
то система рiвнянь для знаходження v0(x) набирає вигляду
(
C−1(x)A(x) + E +Q0(x)
)
v0(x) = −
x∫
0
(
P0(η)−Q′0(η)
)
v0(η)dη + C−1(x)ψ0(x). (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI . . . 267
Використовуючи нерiвностi (5), (6), (8), для оцiнки ψ0(x) одержуємо
|ψ0(x)|0 = sup
x∈[−a,a]
|ψ0(x)| ≤ ~L+ (A0 + C0) ~N + C0aT ~M0, (27)
де
A0 = sup
x∈[−a,a]
|A(x)|, C0 = sup
x∈[−a,a]
|C(x)|.
Тодi з рiвняння (26) i нерiвностi (27) випливає, що
|v0(x)| ≤ ~L0, (28)
до того ж
~L0=
∣∣∣[E − S0a ∣∣P0(x)−Q′0(x)
∣∣
0
]−1∣∣∣
0
S0
∣∣C−1(x)
∣∣
0
[
~L+ (A0 + C0) ~N + C0aT ~M0
]
i ∣∣C−1(x)
∣∣
0
= sup
x∈[−a,a]
∣∣C−1(x)
∣∣ .
Знаходячипохiдну по x вiд правої i лiвої частин рiвняння (25), для похiдної v′0(x) отримуємо
спiввiдношення(
Q0(x) + C−1(x)A(x) + E
)
v′0(x)+
{
P0(x) +
[
C−1(x)A(x)
]′
x
}
v0(x)=
[
C−1(x)ψ0(x)
]′
x
. (29)
Iз системи рiвнянь (29), спiввiдношення (10) i нерiвностi (28) маємо оцiнку∣∣v′0(x)
∣∣ ≤ S0 {∣∣∣[C−1(x)ψ0(x)
]′
x
∣∣∣
0
+
∣∣∣P0(x) +
[
C−1(x)A(x)
]′
x
∣∣∣
0
~L0
}
= ~L
(1)
0 ,
де ∣∣∣[C−1(x)ψ0(x)
]′
x
∣∣∣
0
= sup
x∈[−a,a]
∣∣∣[C−1(x)ψ0(x)
]′
x
∣∣∣
та елементи матрицi
∣∣∣P0(x) +
[
C−1(x)ψ0(x)
]′
x
∣∣∣
0
є supremum модулiв елементiв матрицi
P0(x) +
[
C−1(x)ψ0(x)
]′
x
.
Iз (22), (19), враховуючи нерiвностi (5), (6), (8), (28), для рiзницi ũ1(t, x) − u0(t, x)
одержуємо оцiнку
|ũ1(t, x)− u0(t, x)| ≤ aα(t) ~M + ~R, (30)
де
α(t) = 2t
(
1− t
T
)
, ~R = C−10
~L+
(
C−10 A0 + E
)(
~N + ~L0
)
,
до того ж елементи матриць C−10 i A0 визначаються спiввiдношеннями(
C−10
)
ij
= sup
x∈[−a,a]
∣∣∣(C−1(x)
)
ij
∣∣∣ ,
(A0)ij = sup
x∈[−a,a]
|(A(x))ij |.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
268 Б. П. ТКАЧ, Л. Б. УРМАНЧЕВА
Для знаходження оцiнок частинних похiдних використовуємо (18) i умову α0(x) = 0.
Тодi ∣∣ũ′1t(t, x)− u′0t(t, x)
∣∣ ≤ a ~M,
∣∣ũ′1x(t, x)− u′0x(t, x)
∣∣ ≤ T ~M. (31)
Розглядаючи рiзницю αn(x)−αn−1(x) i враховуючи, що Q0(0) = 0, одержуємо систему
iнтегральних рiвнянь для знаходження вектор-функцiї vn(x), n = 1, 2, . . . , у виглядi
(
C−1(x)A(x) +Q0(x) + E
)
vn(x) +
x∫
0
(
P0(η)−Q′0(η)
)
vn(η)dη = ψn(x), (32)
де
ψn(x) = −
x∫
0
T∫
0
P (ξ, η) (ũn(ξ, η)− un−1(ξ, η))dξ dη−
−
x∫
0
T∫
0
Q(ξ, η)
(
ũ′nη(ξ, η)− u′(n−1)η(ξ, η)
)
dξ dη−
−
x∫
0
T∫
0
[
f
(
ξ, η, ũn(ξη), ũ′nξ(ξ, η)
)
−
− f
(
ξ, η, ũn−1(ξ, η), ũ′(n−1)ξ(ξ, η
)]
dξ dη. (33)
Для оцiнки v′n(x), n = 1, 2, . . . , одержуємо систему диференцiальних рiвнянь(
C−1(x)A(x) +Q0(x) + E
)
v′n(x) = ψ′n(x)−
[(
C−1(x)A(x)
)′
+ P0(x)
]
vn(x). (34)
Iз спiввiдношення (33) при n = 1, оцiнок (7), (14), (30) i (31) випливає, що
|ψ1(x)| ≤ aT ~D,
∣∣ψ′1(x)
∣∣ ≤ T ~D,
де
~D = P ∗
(
a
T
2
~M + ~R
)
+Q∗T ~M +K1
(
a
T
2
~M + ~R+ ~L0
)
+K2a ~M.
Тодi маємо
|v1(x)| ≤ S∗aT ~D (35)
i ∣∣v′1(x)
∣∣ ≤ S0L(1)
1 T ~D, (36)
де S∗ i L(1)
1 визначенi в (17). Використовуючи нерiвностi (31), (35), (36), для рiзницi
ũ2(t, x)− u1(t, x) iз (22) отримуємо оцiнки
|ũ2(t, x)− u1(t, x)| ≤ aα(t) ~D∗ +
∣∣[C−1(x)A(x) + E
]∣∣
0
S∗aT ~D,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI . . . 269∣∣ũ′2t(t, x)− u′1t(t, x)
∣∣ ≤ a ~D∗, (37)∣∣ũ′2x(t, x)− u′1x(t, x)
∣∣ ≤ T ~D∗,
до того ж
~D∗ = P ∗
(
a
T
2
~M + ~R+ S∗aT ~D
)
+Q∗
(
T ~M + S0L
(1)
1 T ~D
)
+
+K1
(
a
T
2
~M + ~R+ ~L0
)
+K2a ~M. (38)
За допомогою нерiвностей (37) iз спiввiдношення (33) при n = 2 маємо оцiнку
|ψ2(x)|0 ≤ aT ~G,
∣∣ψ′2(x)
∣∣
0
≤ T ~G,
де
~G =
(
P ∗a
T
2
+Q∗T + a
(
K1
T
2
+K2
))
~D∗+
+ aT
[
(P ∗ +K1)
∣∣(C−1(x)A(x) + E
)∣∣
0
+K1
]
S∗ ~D. (39)
Тодi з (32) i (34) знаходимо
|v2(x)|0 ≤ S∗aT ~G,
|v′2(x)|0 ≤ S0L(1)
1 T ~G.
(40)
Iз спiввiдношень (22) за допомогою нерiвностей (35), (37), (40) i спiввiдношень (38),
(39) для рiзницi ũ3(t, x)− u2(t, x) та її похiдних одержуємо оцiнки
|ũ3(t, x)− u2(t, x)| ≤ aα(t)B ~G+ aTB1
~G,∣∣ũ′3t(t, x)− u′2t(t, x)
∣∣ ≤ aB ~G, (41)∣∣ũ′3x(t, x)− u′2x(t, x)
∣∣ ≤ TB ~G,
причому матрицi B i B1 визначаються рiвностями (15) i (16). Використовуючи вираз (33)
для ψn(x), систему iнтегральних рiвнянь (32) для знаходження vn(x) та оцiнки (41), маємо
|ψn(x)|0 ≤ aTFn−2 ~G,
∣∣ψ′n(x)
∣∣
0
≤ TFn−2 ~G, (42)
|vn(x)|0 ≤ S∗aFn−2 ~G,
∣∣v′n(x)
∣∣
0
≤ S0L(1)
1 TFn−2 ~G, n = 3, 4, . . . , (43)
причому матриця F визначена рiвнiстю (13). Тодi для рiзницi ũn+1(t, x) − un(t, x) та її
похiдних отримуємо оцiнки
|ũn+1(t, x)− un(t, x)| ≤ a T
2
BFn−2 ~G+ aTB1F
n−2 ~G,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
270 Б. П. ТКАЧ, Л. Б. УРМАНЧЕВА∣∣∣ũ′(n+1)t(t, x)− u′nt(t, x)
∣∣∣ ≤ aBFn−2 ~G, (44)∣∣∣ũ′(n+1)x(t, x)− u′nx(t, x)
∣∣∣ ≤ TBFn−2 ~G.
Враховуючи оцiнки (43) i (44), знаходимо
|un+k(t, x)− un(t, x)| ≤ a T
2
BFn−2
k−1∑
i=0
F i ~G+ aTB1F
n−2
k−1∑
i=0
F i ~G+ S∗aTFn−1
k−1∑
i=0
F i ~G,
∣∣∣u′(n+k)x(t, x)− u′nx(t, x)
∣∣∣ ≤ TBFn−2 k−1∑
i=0
F i ~G+ S0L
(1)
1 TFn−1
k−1∑
i=0
F i ~G, (45)
∣∣∣u′(n+k)t(t, x)− u′nt(t, x)
∣∣∣ ≤ aBFn−2 k−1∑
i=0
F i ~G.
Iз нерiвностей (43) бачимо, що виконуються оцiнки
n∑
i=2
|vi(x)| ≤ S∗aT
n−2∑
k=0
F k ~G,
n∑
i=2
∣∣v′i(x)
∣∣ ≤ S0L(1)
1 T
n−2∑
k=0
F k ~G. (46)
Iз нерiвностей (45) i умови VI випливає рiвномiрна при (t, x) ∈ [0, T ]× [−a, a] збiжнiсть
послiдовних наближень un(t, x) та їхнiх частинних похiдних.
Рiвномiрна при x ∈ [−a, a] збiжнiсть послiдовностi функцiй{
n∑
i−0
vi(x)
}
та їхнiх похiдних {
n∑
i−0
v′i(x)
}
випливає з нерiвностей (46) i умови VI.
Переходячи до границi в (18) i (20) при n→∞, легко переконатися, що гранична функ-
цiя u∞(t, x) = limn→∞ un(t, x) задовольняє систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь (23)
i двоточкову умову (2). Iз нерiвностей (45) при k → ∞ отримуємо оцiнки рiзницi мiж
шуканим розв’язком i його n-м наближенням:
|u∞(t, x)− un(t, x)| ≤ a T
2
BFn−2(E − F )−1 ~G+ aTB1F
n−2(E − F )−1 ~G+
+ S∗aTFn−1(E − F )−1 ~G,∣∣u′∞t(t, x)− u′nt(t, x)
∣∣ ≤ aTBFn−2(E − F )−1 ~G,∣∣u′∞x(t, x)− u′nx(t, x)
∣∣ ≤ TBFn−2(E − F )−1 ~G+ S0L
(1)
1 TFn−1(E − F )−1 ~G.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
ЧИСЕЛЬНО-АНАЛIТИЧНИЙ МЕТОД ВIДШУКАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ДВОТОЧКОВОЇ ЗАДАЧI . . . 271
Для доведення єдиностi розв’язку системи рiвнянь iз частинними похiдними (1), який
задовольняє двоточкову умову (2) та умови (3), (4), припускаємо, що iснують два розв’язки
u(t, x) та z(t, x). Вони задовольняють систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь (23) та
двоточкову умову (2) i можуть бути записанi у виглядi
u(t, x) = u0(t) + v(x)+
+
x∫
0
t∫
0
{[
P (ξ, η)u(ξ, η) +Q(ξ, η)u′η(ξ, η) + f
(
ξ, η, u(ξ, η), u′ξ(ξ, η)
)]
−
−
[
P (ξ, η)u(ξ, η) +Q(ξ, η)u′η(ξ, η) + f
(
ξ, η, u(ξ, η), u′ξ(ξ, η)
)]}
dξ dη+
+
t
T
{
C−1(x) (ω(x)−A(x)[u0(0) + v(x)])− u0(T )− v(x)
}
,
(47)
z(t, x) = u0(t) + v(x)+
+
x∫
0
t∫
0
{[
P (ξ, η)z(ξ, η) +Q(ξ, η)z′η(ξ, η) + f
(
ξ, η, z(ξ, η), z′ξ(ξ, η)
)]
−
−
[
P (ξ, η)z(ξ, η) +Q(ξ, η)z′η(ξ, η) + f
(
ξ, η, z(ξ, η), z′ξ(ξ, η)
)]}
dξ dη+
+
t
T
{
C−1(x) (ω(x)−A(x)[u0(0) + v(x)])− u0(T )− v(x)
}
.
Тодi, використовуючи спiввiдношення (14) i нерiвнiсть (7), iз (47) отримуємо оцiнки
|u(t, x)− z(t, x)| ≤ a T
2
~S1,∣∣u′t(t, x)− z′t(t, x)
∣∣ ≤ a~S1, (48)∣∣u′x(t, x)− z′x(t, x)
∣∣ ≤ T ~S1,
де
~S1 = P ∗|u(t, x)− z(t, x)|0 +Q∗
∣∣u′x(t, x)− z′x(t, x)
∣∣
0
+
+K1|u(t, x)− z(t, x)|0 +K2
∣∣u′ξ(t, x)− z′ξ(t, x)
∣∣
0
.
Враховуючи структуру матриць F i B iз (13) i (15) та оцiнки (48), пiсля n iтерацiй
маємо нерiвностi
|u(t, x)− z(t, x)| ≤ a T
2
Fn−1~S1,∣∣u′t(t, x)− z′t(t, x)
∣∣ ≤ aFn−1~S1, (49)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
272 Б. П. ТКАЧ, Л. Б. УРМАНЧЕВА∣∣u′x(t, x)− z′x(t, x)
∣∣ ≤ TFn−1~S1.
При n→∞ iз оцiнок (49) i умови VI випливають рiвностi
u(t, x) ≡ z(t, x),
u′t(t, x) ≡ z′t(t, x),
u′x(t, x) ≡ z′x(t, x),
тобто єдинiсть розв’язку задачi (1) – (4).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования краевых задач. – Киев:
Наук. думка, 1986. – 224 с.
2. Митропольский Ю. А., Урманчева Л. Б. О двухточечной задаче для систем гиперболического типа // Укр.
мат. журн. – 1990. – 42, № 12. – С. 1657 – 1663.
3. Урманчева Л. Б. Двухточечные и многоточечные задачи для систем уравнений с частными производными
гиперболического типа. – Киев, 1992. – 40 c. – (Препринт / АН Украины. Ин-т математики).
Одержано 22.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177192 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:31Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ткач, Б.П. Урманчева, Л.Б. 2021-02-11T08:06:34Z 2021-02-11T08:06:34Z 2018 Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними / Б.П. Ткач, Л.Б. Урманчева // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 262-272. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177192 517.946 Установлены достаточные условия существования решений двухточечной задачи для более общих
 систем дифференциальных уравнений с частными производными. We find sufficient conditions for existence of solutions of a two-point problem for more general systems
 of partial differential equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними Численно-аналитический метод отыскания решений двухточечной задачи для некоторых систем уравнений в частных производных A numerical-analytical method for finding solutions to a two-point problem for certain systems of partial differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними Ткач, Б.П. Урманчева, Л.Б. |
| title | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| title_alt | Численно-аналитический метод отыскания решений двухточечной задачи для некоторых систем уравнений в частных производных A numerical-analytical method for finding solutions to a two-point problem for certain systems of partial differential equations |
| title_full | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| title_fullStr | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| title_full_unstemmed | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| title_short | Чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| title_sort | чисельно-аналітичний метод відшукання розв’язків двоточкової задачі для деяких систем рівнянь з частинними похідними |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177192 |
| work_keys_str_mv | AT tkačbp čiselʹnoanalítičniimetodvídšukannârozvâzkívdvotočkovoízadačídlâdeâkihsistemrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT urmančevalb čiselʹnoanalítičniimetodvídšukannârozvâzkívdvotočkovoízadačídlâdeâkihsistemrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT tkačbp čislennoanalitičeskiimetodotyskaniârešeniidvuhtočečnoizadačidlânekotoryhsistemuravneniivčastnyhproizvodnyh AT urmančevalb čislennoanalitičeskiimetodotyskaniârešeniidvuhtočečnoizadačidlânekotoryhsistemuravneniivčastnyhproizvodnyh AT tkačbp anumericalanalyticalmethodforfindingsolutionstoatwopointproblemforcertainsystemsofpartialdifferentialequations AT urmančevalb anumericalanalyticalmethodforfindingsolutionstoatwopointproblemforcertainsystemsofpartialdifferentialequations |