О некоторых проблемах развития нелинейной механики
Розглянуто деякi питання нелiнiйної механiки, що беруть свiй початок у механiцi Ньютона i Лагранжа. На низцi прикладiв показано необхiднiсть перегляду деяких понять класичної механiки. We consider some nonlinear mechanics problems that originate in the mechanics of Newton and Lagrange. Using some...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177199 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О некоторых проблемах развития нелинейной механики / В.А. Вуйичич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 313-321. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859955095578345472 |
|---|---|
| author | Вуйичич, В.А. |
| author_facet | Вуйичич, В.А. |
| citation_txt | О некоторых проблемах развития нелинейной механики / В.А. Вуйичич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 313-321. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглянуто деякi питання нелiнiйної механiки, що беруть свiй початок у механiцi Ньютона i
Лагранжа. На низцi прикладiв показано необхiднiсть перегляду деяких понять класичної механiки.
We consider some nonlinear mechanics problems that originate in the mechanics of Newton and Lagrange.
Using some examples, we show a necessity to reexamine some notions of the classical mechanics.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:18:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
В. А. Вуйичич
Мат. ин-т Серб. академии наук
11001, Београд, Сербия
We consider some nonlinear mechanics problems that originate in the mechanics of Newton and Lagrange.
Using some examples, we show a necessity to reexamine some notions of the classical mechanics.
Розглянуто деякi питання нелiнiйної механiки, що беруть свiй початок у механiцi Ньютона i
Лагранжа. На низцi прикладiв показано необхiднiсть перегляду деяких понять класичної меха-
нiки.
B течение 90 вращений нашей планеты вокруг Солнца многое менялось и изменилось и
в недрах Земли, и на Земле. Вулканы, землетрясения, ураганы и разливы рек указывают
на внутреннюю и внешнюю нестационарность процессов, протекающих на Земле. Чело-
веческий возраст в социальном, экономическом и техническом аспектах несоизмерим с
предыдущей историей развития. Изменились и/или утратили силу многие утверждения
науки, выраженные линейными либо нелинейными математическими соотношениями.
Знания и философия людей оказались сильным фактором как развития народов, так и
их самоуничтожения. Человек поднялся в космос и стал живым небесным существом,
отослал возвращаемые информационные сигналы во Вселенную и проник в глубины
атомной структуры материи. Математико-логические теории подчас превосходят даже
границы поэзии!
На этом девяностогодовом пути Земли академик Ю. А. Митропольский был не ней-
тральным наблюдателем или свидетелем событий, а активным исследователем и строи-
телем объективно возможного развития.
Более 30 лет назад автор этой статьи счел необходимым вписать имя Ю. А. Митро-
польского в свою книгу „Teorija oscilacija” (раздел 25 „О нелинейных колебаниях систем
со многими степенями свободы” (см. [1, с. 286 – 293]) и представить студентам естественно-
математического факультета Белградского университета монографию Ю. А. Митрополь-
ского „Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний”. Спустя 20 лет по
приглашению Комитета Югославского общества по теоретической и прикладной меха-
нике Ю. А. Митропольский прочитал доклад на тему „Some problems in the development
of nonlinear mechanics theory and applications” (см. [2, с. 539 – 560]).
В процессе этого торжественного собрания Ю. А. Митропольский сказал несколько
незабываемых фраз о сотрудничестве ученых разных стран, и особенно стран славян-
ских народов. В частности, сотрудничество украинских и югославских ученых было не
только желанием, но и реальностью. В результате реализации некоторых проектов со-
трудничества с Институтом механики и Институтом прикладной математики и механики
НАН Украины появились работы [3, 4], привлекшие большое внимание научной обще-
ственности.
В настоящей статье автор выбрал для обсуждения несколько существенных проблем
c© В. А. Вуйичич, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3 313
314 В. А. ВУЙИЧИЧ
нелинейной механики. Чтобы избежать возможного несогласия в использовании неко-
торых понятий механики, автор определился в собственной точке зрения, которая на-
звана „Препринципы механики” (см. [5]). Рассматриваемые далее понятия основаны на
предначалах существования, инвариантности и причинной определенности. Все другие
определения и выводы, которые не согласуются с предначалами, автор игнорирует.
Перейдем к фактическому изложению обсуждаемых проблем. Предположим, что су-
ществуют тела, которые моделируются материальными точками массы mν ν = 1, . . . , N .
Их положение в течение времени t определяется трехкомпонентным радиусом-вектором
rν(t) ∈ E3. Это не противоречит первому, второму и третьему определениям Ньютона
(см. [5, c. 23 – 26]). Третье определение Ньютона в интерпретации Даламбера утвержда-
ет, что произведение массы тела mν и ускорения
Iν = mν
dvν
dt
(1)
является силой инерции. Согласно этому определению размерность силы
dim I = MLT−2. (2)
Определение IV Ньютона: Приложенная сила есть действие, производимое над те-
лом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движе-
ния, не вполне ясно.
Фразу „Сила F (от французского слова Force) есть действие A” (от латинского Akti-
on) можно понять так, что „сила F это то же самое, что и действие A”.
Между тем при аксиоматическом построении механики это теряет смысл, так как в
первом случае не сказано, что такое „действие”. В то же время вторая часть определения
IV индуцирует мысль о том, что понятие „сила” связано с понятием „действие”.
В классической механике эти два понятия существенно отличаются. Согласно По-
лаку (см. [6, c. 782 – 783]) действие у Лейбница и Мопертюи — это произведение массы,
скорости и времени. У Эйлера упоминается понятие действия силы (см. [6, с. 70, 71]) в
форме
A =
∫ (∫
F · ds
)
dt,
размерность которого
dim A = ML2T−1. (3)
Мы принимаем это понятие действия силы в смысле определения
A(F ) =
t∫
t0
W (F)dt =
t∫
t0
r∫
r0
F · dr
dt, (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ 315
где W (F) — работа силы F. Следовательно, действие силы инерции (1) выражается так:
A(I) =
t∫
t0
W (I)dt = −
t∫
t0
r∫
r0
m
dv
dt
· dr
dt =
= −m
t∫
t0
v∫
v0
v · v
dt = −m
t∫
t0
2Ekdt. (5)
Таким образом, разделяются понятие силы, физическая размерность которой опреде-
ляется формулой (2), и понятие действия силы (5), размерность которого определяется
формулой (3). Это не формальное разделение, а такое, которое индуцирует две грани ме-
ханики: механику Ньютона с его определением силы и механику Лагранжа, построенную
на основе действия (5). Как известно, их задачи не тождественны.
В первом случае построение механики осуществляется на основе трех аксиом Нью-
тона, во втором — на основе принципа действия Лагранжа или принципа Гамильтона.
Поскольку и силы, и работа сил, т. е. энергия, в общем случае являются нелинейными
функциями, механика уже по своему математическому основанию является нелинейной
наукой.
Согласно Ньютону существуют две задачи для математиков: „Рациональная механи-
ка есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах,
требуемых для производства каких бы то ни было движений, точно изложенное и до-
казанное” или „Дело математиков найти такую силу, которая в точности удержива-
ла бы заданное тело в движении по заданной орбите с данной скоростью, и, наоборот,
найти тот криволинейный путь, на котором заданной силой будет отклонено тело,
вышедшее из заданного места с заданной скоростью” (см. [5, с. 2, 27]).
Согласно Лагранжу или Гамильтону основная задача математиков состоит в интегри-
ровании дифференциальных уравнений движения, т. е. в определении движения на осно-
ве заданной энергии. Гамильтон писал: „Задача математической динамики для систе-
мы n точек заключается в том, чтобы проинтегрировать систему 6n обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, содержащих 6n переменных pi, q
i (наше
обозначение) и время t” (см. [6, c. 237]).
Покажем на простом примере существующие здесь различия.
Пример 1. Предположим, что материальная точка массы m движется с постоянной
скоростью v по окружности радиуса R. Необходимо определить силу, которая обеспечи-
вает рассматриваемое движение.
1. Согласно Ньютону имеем:
а) применение теоремы IV и следствий l – 3 приводит к выражению
F = −m
v2
R
= −m
4π2R2
RT 2
= −m
4π2R3
R2T 2
= −µ
m
R2
,
где µ =
4π2R3
T 2
— постоянная Гаусса;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
316 В. А. ВУЙИЧИЧ
б) согласно аксиомам координат Декарта x, y имеем
mẍ = Fx, mÿ = Fy, x2 + y2 = R2, v2 = ẋ2 + ẏ2,
далее,
ẋ2 + ẏ2 + xẍ + yÿ = v2 + a
Fx
m
+ y
Fy
m
= v2 +
RF
m
= 0
и, окончательно, F = −m
v2
R
;
в) в полярных координатах ρ, θ имеем
m(ρ̈− ρθ̇2) = Fρ, (6)
m(ρθ̈ + 2ρ̇θ̇) = Fθ. (7)
Поскольку ρ̇ = 0 и ρ̈ = 0, получаем
Fθ = 0, Fρ = −mR
4π2
T 2
= −m
v2
R
.
2. Согласно методу независимых обобщенных координат Лагранжа число независи-
мых координат равно 1; пусть это будет q = θ. В этом случае имеем одно дифференци-
альное уравнение
d
dt
∂Ek
∂q̇
− ∂Ek
∂q
= Qθ,
так как
Ek =
m
2
R2θ̇2 → d
dt
(mRθ̇) = Qθ = 0.
В этом случае сила Fρ „потерялась”, поскольку она не действует в тангенциальном мно-
гообразии θ ∈ TM1.
3. Согласно Гамильтону из двух его дифференциальных уравнений
ṗθ = −∂H
∂θ̇
, θ̇ =
∂H
∂pθ
получается тот же результат, что и с помощью метода Лагранжа.
Приведенный пример показывает, что дифференциальные уравнения движения одно-
го и того же объекта могут быть как линейными, так и нелинейными в зависимости
от выбора системы координат (в евклидовом пространстве E2, либо на многообразии
M1 ⊂ E2).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ 317
Таким образом, классическая аналитическая динамика нуждается в некоторой моди-
фикации (см. [3, 7, 8]), включая основные выражения, такие как тензор инерции, инте-
грал энергии, вариационные принципы механики, число независимых дифференциаль-
ных уравнений Лагранжа второго рода, дифференциальные уравнения Гамильтона и кри-
терии устойчивости решений этих уравнений.
Далее рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, мас-
са которых — постоянная или переменная величина mν = const, либо mν = mν(t), и
докажем некоторые новые утверждения. Пусть реономные связи, наложенные на дан-
ную систему, имеют вид
fν(yi(t), τν(t)) = 0, ν = 1, . . . , k < 3N, i = 1, . . . , 3N. (8)
Функции τν(t) известны, и всегда можно найти некоторую функцию
τ(t) = q0(t) → t = t(q0). (9)
Принимая во внимание (9), связи (8) можно представить в виде
fν(yj(t)) = 0, ν = 1, . . . , k < 3N, j = 0, 1, . . . , 3N. (10)
При выполнении условия ∣∣∣∣∂fnu
∂yj
∣∣∣∣ 6= 0 (11)
из системы уравнений
ḟν =
∂fν
∂y0
ẏ0 + . . . +
∂fν
∂y1
ẏ1 + . . . +
∂fν
∂yk
ẏk +
∂fν
∂yk+1
ẏk+1 + . . . +
∂fν
∂y3N
ẏ3N =
3N∑
ν=0
∂fν
∂yj
ẏj (12)
можно определить k координат скоростей ẏk как функции от 3N − k + 1 независи-
мых координат yk+1, . . . , y3N , y0, которые будем обозначать буквами q0, q1, . . . , qn, n =
= 3N − k [3].
Относительно введенных независимых обобщенных координат получаем систему n+
+1 ковариантного дифференциального уравнения
aαβ
Dq̇β
dt
= Q∗
α, α, β = 0, 1, . . . , n. (13)
Ковариантные координаты тензора инерции
aαβ = aβα(m1, . . . ,mN ; q0, q1, . . . , qn) (14)
и координаты вектора ускорения
Dq̇β
dt
= q̈β + Γβ
αγ q̇αq̇γ , q ∈ Mn+1, (15)
в общем случае являются нелинейными функциями.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
318 В. А. ВУЙИЧИЧ
Из выражений (6) и (7) видим, что координаты вектора ускорения в уравнениях (13)
представлены в линейном виде. Если же координаты ускорения вычислять на основе
классических обобщенных координат, представленных в уравнениях Лагранжа второго
рода, то из соотношений (15) видно, что дифференциальные уравнения движения меха-
нической системы являются нелинейными на многообразии Mn+1 вне зависимости от
степеней нелинейности обобщенных сил Q∗
α. To же самое заключение имеет место и в
рамках уравнений Гамильтона относительно многообразия Mn.
Рассмотрим частный случай. Предположим, что силы Q∗
α = 0 и массы mν матери-
альных точек величины постоянные. В этом случае дифференциальные уравнения (13)
упрощаются
aαβ
Dq̇β
dt
= 0 (16)
и с учетом (15) принимают вид
Dq̇β
dt
= q̈β + Γβ
αγ q̇αq̇γ = 0. (17)
Поскольку aαβ(m1, . . . ,mN ; q1, . . . , qn) и Γβ
αγ(q1, . . . , qn) — нелинейные функции обобщен-
ных независимых координат q ∈ Mn и Γβ
αγ q̇αq̇γ являются квадратичными функциями
относительно обобщенных скоростей q̇ ∈ TMn, дифференциальные уравнения (16), (17)
являются нелинейными относительно координат q и их производных q̇. В то же время
они являются линейными относительно
Dq̇β
dt
или q̈β .
Уравнения (17) можно привести к соотношениям
q̇β = −
∫
Γβ
αγ q̇αdqγ + q̇β(t0), (18)
которые в общем случае не интегрируются.
В то же время применение тензорного или ковариантного интеграла (см. [9]) позво-
ляет доказать, что ∫
aαβDq̇β =
∫
D(aαβ q̇β) = aαβDq̇β −Aα = 0, (19)
так как aαβ и Aα — ковариантно постоянные тензоры, для которых D(aαβ q̇β) = 0 и
DAα = 0. Выражение (18) в общей механике теряет смысл, в то же время соотношения
(19) согласуются с законом инерции Галилея, Ньютона и Герца.
Следует заметить, что проблема тензорного интегрирования в механике остается не-
достаточно разработанной (см. работу [10] и приведенную в ней библиографию). Особые
затруднения вызывает понимание конфигурационного пространства. Монографию [11]
можно рассматривать как хорошую подготовку для решения проблемы тензорного ин-
тегрирования.
Пример 2. Рассмотрим применение ковариантного интеграла к проблеме двух тел,
моделируемых материальными точками, массы которых m1 и m2 постоянны, а расстоя-
ние между ними определяется формулой
ρ = r2 − r1 = ρ(t)ρ0, (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ 319
где r1 и r2 — радиусы-векторы, определяющие положение точек.
Согласно законам Ньютона ищем силу, которая удерживала бы тела на заданном рас-
стоянии ρ(t) между собой и на кеплеровских орбитах.
В силу второго и третьего законов Ньютона имеем
m1
dv1
dt
= F1,
m2
dv2
dt
= F2,
F1 = F2 = Fρ0
при заданном условии (20). При этом v =
dr
dt
= ṙ, ρ0 =
ρ
ρ
.
Силу Fρ = F · ρ0 определяем так. Из того, что
ṙ2 − ṙ1− = ρ̇ = v2 − v1 = vor, r̈2 − r̈1− = ρ̈ = v̇2 − v̇1,
F2
m2
+
F1
m1
= ρ̈,
следует выражение для искомой силы
F1 = −F2 =
m1m2
m1 + m2
ρ̈ · ρ0 =
m1m2
m1 + m2
Dρ̇
dt
,
так как
ρ̈ =
Dρ
dt
ρ0 +
Dθ̇
dt
gθ, ρ0 ⊥ gθ,
где
Dρ
dt
= ρ̈− ρθ̇2. (21)
Под названием „проблема двух тел” обычно понимают исследование кеплеровских
движений планеты массы m вокруг Солнца массы M�. При этом применяются известные
соотношения из законов Кеплера:
ρ =
p
1 + e cos θ
,
ρ2θ̇ = C =
4π2a2b2
T 2
,
a3
T 2
= K = const.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
320 В. А. ВУЙИЧИЧ
Принимая во внимание, что θ̇ρ−2 = Cρ−2, и используя (21), получаем выражение
„ньютоновой силы гравитации”
F = f
M�m
ρ2
, (22)
где
f =
4π2a3
(M� + m)T 2
=
µ
M� + m
. (23)
Далее исследуем движение под действием известной силы (22). В этом случае диффе-
ренциальные уравнения движения имеют вид
M�r̈M = f
M�m
ρ2
, (24)
mr̈p = −f
M�m
ρ2
. (25)
Принимая во внимание (23), из выражений (24) и (25) находим
ρ̈ = −f
M� + m
ρ2
ρ0 = − µ
r2
ρ0,
или
Dρ̇
dt
= − µ
ρ2
, ρ2 Dθ̇
dt
= 0.
Далее имеем
ρ̇Dρ̇ = −µ
dρ
ρ2
, ρ2θ̇Dθ̇ = 0
или
1
2
Dρ̇2 = µdρ−1,
1
2
D(ρ2θ̇2) = 0.
Применяя теперь ковариантное интегрирование, получаем∫̂
D(ρ̇2 + ρ2θ̇2) = −2µ
∫
dρ
ρ2
,
∫̂
D(ρ2θ̇) = 0.
Таким образом, мы получили два известных интеграла (см. [11, с. 421])
ρ̇2 + ρ2θ̇2 − 2
µ
ρ
= A1, ρ2θ̇ = A2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ РАЗВИТИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ 321
где A1 = h, A2 = C — ковариантные постоянные.
Из изложенного следует необходимость модификации аналитической механики как
стационарных, так и нестационарных систем. Некоторые результаты в этом направле-
нии изложены в ряде работ (см. [7, 10, 12 – 14]). Отсюда следует, что мнение о завершен-
ности построения теории движения твердого тела в XVIII столетии является далеким от
действительности.
По нашему мнению Ю. А. Митропольский понял глубже, чем многие другие, взаим-
ную связь прикладной математики, законов природы и человеческих потребностей с це-
лью построения процессов устойчивого развития. Поэтому в завершение следует приве-
сти одну фразу из сербско-славянской поэзии и философии: „Благо томе ко довиек живи,
имао се рашта и родити” (Хорошо тому, кто на свете живет и имел для чего родиться).
1. Vujičić V. A. Teorija oscilacija. — Beograd: Nauchna kniga, 1976. — 465 p.
2. Mitropolskii Yu. A. Some problems in the development of nonlinear mechanics theory and applications //
Facta Univ. Ser. Mech., Automat. Control and Robotics. — 1995. — 1, № 5. — P. 539 – 556.
3. Вуйичич В. А., Мартынюк А. А. Некоторые задачи механики неавтономных систем. — Београд: Мат.
ин-т Серб. академии наук, Киев: Ин-т механики НАН Украины, 1991. — 109 с.
4. Vujičić V. A., Kovalev A. M. Contrallability and decomposition of the mechanical systems // J. Appl. Math.
and Mech. — 2000. — 64, № 1. — P. 25 – 34.
5. Ньютон И. Математические начала натуральной философии (Перевод с латинского и комментарии
А. Н. Крылова). — М.: Наука, 1989. — 688 c.
6. Вариационные принципы механики / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Наука, 1959. — 932 с.
7. Vujičić V. A. Preprinciples of mechanics. — Beograd: Math. Inst. SANU, 1999. — 225 p.
8. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. — М.: Наука, 1977. — Т. 1. — 479 с.
9. Vujičić V. A. The covariant integration on manifolds // Tensor. — 1986. — 43, № 3. — P. 418 – 432.
10. Drašković Z. On the invariance in mechanics. — Beograd: Mat. Inst. SANU, 2005. — 95 p.
11. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1979. — 759 с.
12. Vujičić V. A. On a generalization of Newton’s law of gravitation // Int. Appl. Mech. — 2000. — 40, № 3.
13. Mušicki Dj. Extended Lagrangian formalism and main general principles of mechanics // Eur. J. Mech. A.
Solids. — 2005. — 24. — P. 227 – 242.
14. Vujičić V. A. On a generalization of Kepler’s third law // Astron. and Astrophys. Trans. — 2005. — 24, № 6.
— P. 489 – 495.
Получено 26.09.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177199 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:18:51Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Вуйичич, В.А. 2021-02-11T16:50:50Z 2021-02-11T16:50:50Z 2007 О некоторых проблемах развития нелинейной механики / В.А. Вуйичич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 313-321. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177199 517.9 Розглянуто деякi питання нелiнiйної механiки, що беруть свiй початок у механiцi Ньютона i Лагранжа. На низцi прикладiв показано необхiднiсть перегляду деяких понять класичної механiки. We consider some nonlinear mechanics problems that originate in the mechanics of Newton and Lagrange. Using some examples, we show a necessity to reexamine some notions of the classical mechanics. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О некоторых проблемах развития нелинейной механики Про деякі проблеми розвитку нелінійної механіки On some problems in the development of nonlinear mechanics Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых проблемах развития нелинейной механики Вуйичич, В.А. |
| title | О некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| title_alt | Про деякі проблеми розвитку нелінійної механіки On some problems in the development of nonlinear mechanics |
| title_full | О некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| title_fullStr | О некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| title_full_unstemmed | О некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| title_short | О некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| title_sort | о некоторых проблемах развития нелинейной механики |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177199 |
| work_keys_str_mv | AT vuiičičva onekotoryhproblemahrazvitiânelineinoimehaniki AT vuiičičva prodeâkíproblemirozvitkunelíníinoímehaníki AT vuiičičva onsomeproblemsinthedevelopmentofnonlinearmechanics |