Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу
An identification-pseudoinverse approach to the construction of integral models of the distributed space-time systems with regard for discretely observed external dynamical disturbances and the system's state corresponding to them is proposed. The problem of the control over such systems is sol...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1772 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859957064422391808 |
|---|---|
| author | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. |
| author_facet | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. |
| citation_txt | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | An identification-pseudoinverse approach to the construction of integral models of the distributed space-time systems with regard for discretely observed external dynamical disturbances and the system's state corresponding to them is proposed. The problem of the control over such systems is solved. The results obtained are illustrated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:20:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2007
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.944
© 2007
Член-кореспондент НАН України В. В. Скопецький, В.А. Стоян
Про задачу iдентифiкацiї динамiки дискретно
керованого розподiленого просторово-часового процесу
An identification-pseudoinverse approach to the construction of integral models of the distri-
buted space-time systems with regard for discretely observed external dynamical disturbances
and the system’s state corresponding to them is proposed. The problem of the control over such
systems is solved. The results obtained are illustrated.
Основана на узагальненнях [1] методiв лiнiйної алгебри [2, 3] методика математичного моде-
лювання [4, 5] динамiки систем з розподiленими параметрами дозволяє розв’язувати прямi
та оберненi задачi динамiки розподiлених просторово-часових процесiв. Запропонований
в [6] пiдхiд до розв’язання некоректно (за початково-крайовими умовами) сформульованих
задач динамiки розподiленого просторово-часового процесу грунтується на замiнi диферен-
цiальної моделi iнтегральною. Iдентифiкацiйнi пiдходи [7, 8] до побудови iнтегральної моделi
дослiджуваного просторово-часового процесу дозволили значно спростити методику [4, 5]
математичного моделювання останнього. Iнтегральна математична модель процесу, побудо-
вана на дискретних спостереженнях за його початково-крайовим станом, дала змогу легко
розв’язати i задачi керування. Просторово-часовий стан останнього при цьому задавався
теж дискретно.
На основi результатiв робiт [7, 9] нижче метод [10] поширюється на iдентифiкацiю прос-
торово-часових процесiв, дискретно спостережуваних за зовнiшньо-динамiчними збурення-
ми, та на розв’язання задач керування такими процесами при неперервно заданому бажа-
ному станi останнiх.
1. Розглядатимемо розподiлений просторово-часовий процес, функцiя y(s) стану якого
в областi
ST
0 = {s = (x, t) : x ∈ S0 ⊂ Rn, t ∈ [0, T ]}
визначається дiєю зосереджених в точках (s1, . . . , sM ) ∈ S ⊂ S0 керуючих факторiв
u1, . . . , uM . Будемо виходити з того, що в загальному випадку динамiка такого процесу
визначається спiввiдношенням
y(s) =
∫
ST
0
G(s − s′)u(s′) ds′, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 43
де G(s − s′) — функцiя Грiна розглядуваного процесу, а u(s) — функцiя зовнiшнiх дина-
мiчних збурень, якi впливають на нього.
Враховуючи труднощi побудови функцiї G(s−s′) для реальних просторово-часових про-
цесiв, якi протiкають в замкнених областях, а також дискретний характер функцiї u(s),
розглянемо задачу iдентифiкацiї перерiзiв Gm(s) = G(s − s′m) (m = 1,M ) функцiї Грiна
таких, щоб
y(j)(s) =
M∑
m=1
Gm(s)u(j)
m (j = 1, N ), (2)
де u(j)
m та y(j)(s) — спостереження за збурюючими зовнiшньо-динамiчними факторами та
функцiєю стану системи, яка їм вiдповiдає. Оскiльки система (2) еквiвалентна матричному
рiвнянню
G(s)U = Y (s),
де
G(s) = str(Gm(s), m = 1,M ), Y (s) = str(y(j)(s), j = 1, N ), U = [U (j)
m ]m=M,j=N
m,j=1 ,
сформульовану задачу зведемо до знаходження
G(s) = arg min
G(s)∈RM
∫
ST
0
‖UT GT (s) − Y T (s)‖2ds, (3)
що є частинним випадком проблем, детально дослiджених в [5, 9].
2. Розглянемо задачу (3), виходячи з [5, 9]. За умови, коли
ε2 =
∫
ST
0
Y (s)(I − PP+)Y T (s) ds = 0, (4)
де P = UT U , задача (3), а отже i (2), має точний розв’язок
GT (s) = UP+Y T (s) + v(s) − UP+UT v(s), ∀v(s) ∈ RM . (5)
Зауважимо, що v(x) ≡ 0 при detUUT > 0. В iншому випадку (при ε2 > 0) покращити
min
G(s)
∫
ST
0
‖G(s)U − Y (s)‖2ds = ε2 (6)
можна, замiнивши лiнiйно залежний (якщо вiн є) рядок uT
(p) матрицi
U = col
(
uT
(i), i = 1,M
)
лiнiйною комбiнацiєю
[
k∗∑
k=2
ck(s)u
k⊗
(p)
]T
,
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
в якiй
uk⊗
(p)
= u(p) ⊗ . . .⊗︸ ︷︷ ︸
k
u(p) (7)
(тут ⊗ — операцiя декартового добутку) такi, що
(I − U+U)uk⊗
(p) > 0 (k = 1, k∗),
а k∗ та ck(s) визначаються умовами
rank(u2⊗
(p), u
3⊗
(p), . . . , u
k∗⊗
(p) , u
(k∗+1)⊗
(p) ) = k∗ − 1,
k∗∑
k=2
ck(s)u
k⊗
(p) = Z(U)Y T (s)
(8)
при
Z(U) = I − U+U. (9)
За умови, коли
∫
ST
0
Y (s)Z(U)Y T (s) ds −
∫
ST
0
Y (s)Z(U)U∗U
+
∗ Z(U)Y T (s) ds = 0, (10)
де
U∗ = (u2⊗
(p), . . . , u
k∗⊗
(p) ),
col(ck(s), k = 2, k∗) = U+
∗ Z(U)Y (s) + Z(U∗)v(s) ∀v(s) ∈ R(k∗−1)
(при detUT
∗ U∗ > 0 v(s) ≡ 0), а
GT (s) = U∗(s)P
+
∗ Y T (s) + w(s) − U∗(s)P
+
∗ Uw ∀w(s) ∈ RM ,
де
U∗(s) = col
(
uT
(1), . . . , u
T
(p−1),
(
k∗∑
k=2
ck(s)u
k⊗
(p)
)T
, uT
(p+1), . . . , u
T
(M)
)
,
P∗ =
∫
ST
0
UT
∗ (s)U∗(s) ds, Uw =
∫
ST
0
UT
∗ (s)w(s) ds.
Для зменшення визначеної в (6) величини ε2 при вiдсутностi лiнiйно-залежних рядкiв
матрицi U останню замiнимо на
Ũi(s) = col
(
uT
1 , . . . , uT
(i−1),
[
k∗∑
k=1
c
(i)
k (s)uk⊗
(i)
]T
, uT
(i+1),...,u
T
(M)
)
(11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 45
послiдовно для i = 1,M . Вектори uk⊗
(i) (k = 1, k∗) при цьому визначимо, як i ранiше, згiдно
з (7)–(9), а коефiцiєнти-функцiї c
(i)
k (s) — спiввiдношенням [5]
col(c
(i)
k (s), k = 1, k∗) = D+
i Y (s),
в якому
Di = Z(Ui)(u
1⊗
(p)
... . . .
...uk∗⊗
(p) ),
Z(Ui) = Z(U) +
qiq
T
i
‖qi‖2
,
де qi — i-стовпець матрицi U+.
При визначеннi ж векторної функцiї G(s) зупинимося на i = i0, при якому i0 =
= arg min
i=1,M
Φ(i), де
Φ(i) =
∫
ST
0
Y (s)(Z(Ui) − DiD
T
i )Y T (s) ds.
При цьому
G(s) = Y (s)[ŨT
i (s)]+ − V (s)P+
i Pi + V (s),
де V (s) — довiльна iнтегровна в ST
0 рядок-функцiя розмiрностi N ,
Pi =
∫
ST
0
Ũi(s)Ũ
T
i (s) ds,
а
ε2(i0) =
∫
ST
0
Y (s)(I − ŨT
i (s)[ŨT
i (s)]+)Y T (s) ds.
При ε2(i0) > 0 процес перетворень (11) слiд продовжити, зупинившись на
iopt = arg min
i0
ε2(i0).
Останнє означає, що точно або iз середньоквадратичним наближенням модель розглядува-
ного просторово-часового процесу буде побудована у виглядi
G(s)L(u) = y(s), (12)
де y(s) — функцiя стану процесу; G(s) — визначена вище вектор-функцiя — перерiз функцiї
Грiна,
L(u) = col
(
u1, . . . , uiopt−1,
(
k∗∑
k=2
ck(s)u
k
iopt
)
, uiopt+1, . . . , uM
)
, (13)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
а u = (ui, i = 1,M )T — вектор зосереджених в точках si (i = 1,M ) керуючих зовнiшньо-ди-
намiчних факторiв.
3. Виходячи з моделi (12), розглянемо задачу керування дослiджуваним тут просторо-
во-часовим процесом з переводу його стану y(s) в окiл, визначений функцiєю Y (s) так, щоб
∫
ST
0
(y(s) − Y (s))2ds → min
u
. (14)
З урахуванням (12) робимо висновок, що розв’язком задачi (14) (при L(u) ≡ u) може
бути
u ∈ Ωu = {u ∈ RM : u = P+
u (Gy − Puv) + v, ∀v ∈ RM}, (15)
де
Pu =
∫
ST
o
GT (s)G(s) ds, (16)
Gy =
∫
ST
0
GT (s)Y (s) ds. (17)
Розв’язок (15) може бути однозначним (v ≡ 0) при detPu > 0.
Точнiсть одержаного розв’язку визначатиметься величиною
ε2
u = min
u∈Ωu
∫
ST
0
(y(s) − Y (s))2ds =
∫
ST
0
Y 2(s) ds − GT
y P+
u Gy. (18)
Слiд зауважити, що величину ε2
u можна зменшити, обравши L(u) згiдно з (13).
4. Для iлюстрацiї отриманих результатiв розглянемо процес, функцiя y(s) стану якого
в просторово-часовiй областi
ST
0 = {s = (x, t) : x ∈ [0; 1], t ∈ [0; 1]} (19)
описується рiвнянням [11]
∂y
∂t
− a
∂2y
∂x2
− b
∂y
∂x
+ cy = u. (20)
Для iлюстрацiї було покладено a = b = c = 1.
При спостережуваних
y(1)(s) = x2t −
sin(t)
5
, y(2)(s) = x2t −
cos(10x)
10
,
y(3)(s) = x2t +
2 sin(tx)
11
, y(4)(s) = x2t +
sin(8t)
10
,
y(5)(s) = x2t − 0,1t, y(6)(s) = x2t − exp(0,1t),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 47
y(7)(s) = x2t +
cos(5x)
10
, y(8)(s) = x2t +
sin(15t)
10
,
y(9)(s) = x2(t − 1), y(10)(s) = x2t +
sin(3t)
10
була побудована вектор-функцiя G(s), а за нею — i стан yM(s) системи (1), який вiдповiдає
u(s) = x2 − 2t − 2tx + x2t,
“спостережуваному” з кроком ∆x = ∆t = 0,1 функцiями
u(1)(s) = x2 −
1
5
cos(t) − 2t − 2tx + x2t −
1
5
sin(t),
u(2)(s) = x2 − 2t −
101
10
cos(10x) − 2tx − sin(10x) + x2t,
u(3)(s) = x2 +
2
11
x cos(tx) − 2t +
2
11
t2 sin(tx) − 2tx −
2
11
t cos(tx) + x2t +
2
11
sin(tx),
u(4)(s) = x2 +
4
5
cos(8t) − 2t − 2tx + x2t +
1
10
sin(8t),
u(5)(s) = x2 − 0,1 − 2, 1t − 2tx + x2t,
u(6)(s) = x2 − 1,1e0,1t − 2t − 2tx + x2t,
u(7)(s) = x2 − 2t +
13
5
cos(5x) − 2tx +
1
2
sin(5x) + x2t,
u(8)(s) = x2 +
3
2
cos(15t) − 2t − 2tx + x2t +
1
10
sin(15t),
u(9)(s) = x2 − 2t + 2 − 2x(t − 1) + x2(t − 1),
u(10)(s) = x2 +
3
10
cos(3t) − 2t − 2tx + x2t +
1
10
sin(3t).
Середньоквадратичне вiдхилення отриманого розв’язку вiд точного значення не переви-
щувало 3%. Якiсна картина розподiлу вiдхилення ε(s) = |y(s)− yM(s)| наведена на рис. 1.
Також було розв’язано задачу з переводу системи (15) в окiл
Y (s) = x2 − 2t − 2tx + x2t.
Не наводячи одержаний вектор керування, зауважимо, що отриманий згiдно з (12) з його
використанням стан дослiджуваної системи матиме вигляд
y(s) = 1,70641356x2t−0,003079079823 cos(10x)−2,9699541 sin(t)+0,183548886 sin(3t)−
− 0,00554277643 sin(15t)+0,48887311t−0,0132359259 sin(8t)−1,819147536 sin(tx)+
+ 0,0060645071 cos(5x) − 0,0115479e0,1t − 1,06333637x2(t − 1).
При цьому середньоквадратичне вiдхилення одержаного значення вiд бажаного становить
∫
ST
0
(y(s) − Y (s))2ds ≈ 0,3596387873 · 10−5.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №5
Рис. 1 Рис. 2
Розподiл абсолютних вiдхилень ε2(s) = |y(s) − Y (s)| наведений на рис. 2.
1. Кириченко Н.Ф., Стоян В.А. Аналитическое представление матричных и интегральных линейных
преобразований // Кибернетика и системн. анализ. – 1998. – № 3. – С. 90–104.
2. Гантмахер Ф. Теория матриц. – Москва: Наука, 1967. – 287 с.
3. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия, рекуррентное оценивание. – Москва: Наука, 1977. – 305 с.
4. Скопецький В.В., Стоян В.А., Кривонос Ю. Г. Математичне моделювання прямих та обернених
задач динамiки систем з розподiленими параметрами. – Київ: Наук. думка, 2001. – 361 с.
5. Стоян В.А. Моделювання та iдентифiкацiя динамiки систем iз розподiленими параметрами. – Київ:
ВПЦ “Київ. ун-т”, 2004. – 184 с.
6. Скопецький В. В., Стоян В.А., Зваридчук В. Б. Идентификационно-псевдоинверсный поход к реше-
нию прямых и обратных задач динамики систем с распределенными параметрами // Кибернетика и
системн. анализ. – 2004. – № 4. – С. 32–51.
7. Кириченко Н.Ф., Лепеха Н.П. Возмущения псевдообратных и проекционных матриц и их применение
к идентификации линейных и нелинейных зависимостей // Пробл. управления и информатики. –
2001. – № 1. – С. 6–22.
8. Стоян В.А. О задаче идентификации матричноинтегрирующих систем // Кибернетика и системн.
анализ. – 2003. – № 5. – С. 152–164.
9. Скопецкий В.В., Стоян В.А. О задаче идентификации матричнофункциональных систем // Там
же. – 2005. – № 5. – С. 99–110.
10. Скопецький В.В., Стоян В.А. Про задачу iдентифiкацiї та керування дискретно спостережуваним
просторово-часовим процесом // Доп. НАН України. – 2006. – № 8. – С. 102–108.
11. Гладкий А.В., Скопецький В.В. Методи числового моделювання екологiчних процесiв. – Київ: IВЦ
“Полiтехнiка” НУТУ “КПI”, 2005. – 148 с.
Надiйшло до редакцiї 21.09.2006Iнститут кiбернетики iм. В.М. Глушкова
НАН України, Київ
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №5 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1772 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:20:05Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скопецький, В.В. Стоян, В.А. 2008-09-02T17:19:15Z 2008-09-02T17:19:15Z 2007 Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу / В.В. Скопецький, В.А. Стоян // Доп. НАН України. — 2007. — N 5. — С. 43–49. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1772 517.944 An identification-pseudoinverse approach to the construction of integral models of the distributed space-time systems with regard for discretely observed external dynamical disturbances and the system's state corresponding to them is proposed. The problem of the control over such systems is solved. The results obtained are illustrated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Інформатика та кібернетика Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу Article published earlier |
| spellingShingle | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу Скопецький, В.В. Стоян, В.А. Інформатика та кібернетика |
| title | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| title_full | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| title_fullStr | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| title_full_unstemmed | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| title_short | Про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| title_sort | про задачу ідентифікації динаміки дискретно керованого розподіленого просторово-часового процесу |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1772 |
| work_keys_str_mv | AT skopecʹkiivv prozadačuídentifíkacíídinamíkidiskretnokerovanogorozpodílenogoprostorovočasovogoprocesu AT stoânva prozadačuídentifíkacíídinamíkidiskretnokerovanogorozpodílenogoprostorovočasovogoprocesu |