Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем
Исследуется структура решений вырожденных слабонелинейных дифференциально-алгебраических систем з импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Получены необходимое и достаточное условия существования решений таких задач и установлена связь между условиями. Предложена сходящаяся итерацион...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177226 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем / Є.С. Войтушенко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 446-453 — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177226 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Войтушенко, Є.С. 2021-02-12T14:56:59Z 2021-02-12T14:56:59Z 2015 Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем / Є.С. Войтушенко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 446-453 — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177226 517.9 Исследуется структура решений вырожденных слабонелинейных дифференциально-алгебраических систем з импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Получены необходимое и достаточное условия существования решений таких задач и установлена связь между условиями. Предложена сходящаяся итерационная процедура нахождения решений. We study the structure of solutions to degenerate weakly nonlinear differential-algebraic systems with an impulsive effect occuring at fixed times. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions to such problems, and establish a connection between the found conditions. An iteration procedure is proposed for finding solutions of the problem. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем Слабонелинейные импульсные задачи для вырожденных дифференциальных систем Weakly nonlinear impulsive problems for degenerate differential systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| spellingShingle |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем Войтушенко, Є.С. |
| title_short |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| title_full |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| title_fullStr |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| title_full_unstemmed |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| title_sort |
слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем |
| author |
Войтушенко, Є.С. |
| author_facet |
Войтушенко, Є.С. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Слабонелинейные импульсные задачи для вырожденных дифференциальных систем Weakly nonlinear impulsive problems for degenerate differential systems |
| description |
Исследуется структура решений вырожденных слабонелинейных дифференциально-алгебраических систем з импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Получены необходимое и достаточное условия существования решений таких задач и установлена связь между условиями. Предложена сходящаяся итерационная процедура нахождения решений.
We study the structure of solutions to degenerate weakly nonlinear differential-algebraic systems with an impulsive effect occuring at fixed times. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions to such problems, and establish a connection between the found conditions. An iteration procedure is proposed for finding solutions of the problem.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177226 |
| citation_txt |
Слабконелінійні імпульсні задачі для вироджених диференціальних систем / Є.С. Войтушенко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 446-453 — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT voitušenkoês slabkonelíníiníímpulʹsnízadačídlâvirodženihdiferencíalʹnihsistem AT voitušenkoês slabonelineinyeimpulʹsnyezadačidlâvyroždennyhdifferencialʹnyhsistem AT voitušenkoês weaklynonlinearimpulsiveproblemsfordegeneratedifferentialsystems |
| first_indexed |
2025-11-25T07:41:56Z |
| last_indexed |
2025-11-25T07:41:56Z |
| _version_ |
1850507255286333440 |
| fulltext |
УДК 517.9
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI IМПУЛЬСНI ЗАДАЧI
ДЛЯ ВИРОДЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ
Є. С. Войтушенко
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Глушкова, 4, Київ, 03680,Україна
e-mail: I_Voitushenko@ukr.net
We study the structure of solutions to degenerate weakly nonlinear differential-algebraic systems with an
impulsive effect occuring at fixed times. We find necessary and sufficient conditions for existence of soluti-
ons to such problems, and establish a connection between the found conditions. An iteration procedure is
proposed for finding solutions of the problem.
Исследуется структура решений вырожденных слабонелинейных дифференциально-алгебраи-
ческих систем з импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Получены не-
обходимое и достаточное условия существования решений таких задач и установлена связь
между условиями. Предложена сходящаяся итерационная процедура нахождения решений.
Статтю присвячено дослiдженню слабконелiнiйних систем вироджених диференцiальних
рiвнянь з iмпульсним впливом у випадку, коли вiдповiднi породжуючi задачi розв’язнi.
Основною метою є встановлення необхiдних та достатнiх умов iснування розв’язкiв таких
задач та побудова алгоритму знаходження цих розв’язкiв.
Буде показано, що для дослiдження систем вироджених диференцiальних рiвнянь з iм-
пульсним впливом можна застосувати розробленi ранiше методи дослiдження крайових
задач для систем вироджених диференцiальних рiвнянь.
Систематичне вивчення математичних проблем теорiї диференцiальних систем з
iмпульсним впливом розпочато у працях А. Д. Мишкiса, А. М. Самойленка, М. О. Пере-
стюка [1]. У подальшому iдеї, закладенi у цих працях, отримали свiй розвиток та узагаль-
нення у численних публiкацiях А. Халаная, Д. Векслера та iнших [2, 3]. У цiй статтi за-
пропоновано розглядати iмпульсну диференцiальну систему як внутрiшню крайову зада-
чу [4].
Використавши псевдооберненi за Муром – Пенроузом матрицi та припустивши, що
породжуюча вироджена диференцiальна система зводиться до центральної канонiчної
форми [5 – 7], ми отримаємо умови iснування та алгоритм знаходження розв’язкiв слаб-
конелiнiйних вироджених диференцiальних задач з iмпульсним впливом, лiнiйна частина
яких є нетеровим оператором [8, 9].
Постановка задачi та допомiжнi результати. Необхiдна умова iснування розв’язку.
Розглянемо iмпульсну слабконелiнiйну систему вироджених диференцiальних рiвнянь iз
малим параметром ε:
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t) + εZ(x, t, ε), (1)
∆Ei x|t=τi = Six(τi − 0) + bi + εJi(x(·, ε), ε), t, τi ∈ [a, b], i = 1, . . . , p, (2)
c© Є. С. Войтушенко, 2015
446 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI IМПУЛЬСНI ЗАДАЧI . . . 447
де A(t), B(t) ∈ C3q−2[a, b] — (n × n)-вимiрнi матрицi та f(t) ∈ Cq−1[a, b] — n-вимiрна
вектор-функцiя; detB(t) = 0 ∀t ∈ [a, b]; x = x(t) = col (x1(t), . . . , xn(t)); Si, i =
= 1, . . . , p, — (mi × n)-вимiрнi сталi матрицi; Ei — такi (mi × n)-вимiрнi сталi матрицi,
що rank (Ei + Si) = mi < n, тобто розв’язок системи визначається однозначним продов-
женням через точку розриву:
∆Eix|t=τi := Ei(x(τi + 0)− x(τi − 0));
bi − mi-вимiрний вектор-стовпчик констант, bi ∈ Rmi ; −∞ < a < τ1 < . . . < τi < . . .
. . . < τp < b < ∞, i = 1, . . . , p; Z(x, t, ε) — нелiнiйна по x n-вимiрна вектор-функцiя,
неперервно диференцiйовна по x в околi породжуючого розв’язку i неперервна по t, ε :
Z(·, t, ε) ∈ C1[‖x − x0‖ ≤ β]; Z(x, ·, ε) ∈ Cq−1[a, b]; Z(x, t, ·) ∈ C[0, ε0]; Ji(x(·, ε), ε) − mi-
вимiрний нелiнiйний обмежений вектор-функцiонал, неперервно диференцiйовний по x
у розумiннi Фреше i неперервний по ε в околi породжуючого розв’язку. Знайдемо умови
iснування та алгоритм для побудови розв’язку x = x(t, ε) :
x(·, ε) ∈ C1([a, b] \ {τi}I), i = 1, 2, . . . , p, x(t, ·) ∈ C[0, ε0],
iмпульсної задачi (1), (2), який перетворюється при ε = 0 в один iз розв’язкiв x0(t, cr) =
= x(t, 0) iмпульсної задачi
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), (3)
∆Ei x|t=τi = Six(τi − 0) + bi, t, τi ∈ [a, b], i = 1, . . . , p. (4)
Задачу (3), (4) отримуємо iз задачi (1), (2) при ε = 0 i називаємо породжуючою
iмпульсною задачею для (1), (2). Вiдповiдно, розв’язок породжуючої iмпульсної задачi
x0(t, cr) = x(t, 0) у подальшому будемо називати породжуючим розв’язком задачi (1),
(2). Задаючи iмпульс у виглядi (2), ми припускаємо, що невiдома вектор-функцiя x(t) мо-
же мати iмпульси не по всiх компонентах вектора x, а тiльки по частинах. Таким чином,
можна розглядати випадок, коли перший iмпульс задається лише по першiй компонентi
вектор-функцiї x(t), другий — лише по другiй компонентi, k-й — лише по k-й компо-
нентi. Або, наприклад, у точках τj ∈ (a, b) вектор-функцiя x(t) може взагалi не мати
iмпульсу, а у точках τi ∈ (a, b), i 6= j, може мати iмпульси по k-х компонентах вектора
x(t) = col (x1(t), x2(t), . . . , xk(t), . . . , xn(t)). У загальному методi дослiдження поставленої
задачi використовуються iдеї, запропонованi О. А. Бойчуком [10], iз використанням псев-
дообернених (за Муром – Пенроузом) матриць [11, 12].
Покажемо, що дослiджувати задачу з iмпульсним впливом (3), (4) можна, розглядаю-
чи задачу (3), (4) як внутрiшню крайову задачу [13]. Введемо `x(·) —m-вимiрний лiнiйний
обмежений векторний функцiонал
` := col (`1, . . . , `p) : C1([a, b] \ {τi}I) → Rm, m := m1 +m2 + . . .+mp,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
448 Є. С. ВОЙТУШЕНКО
таким чином:
`1x := E1x(τ1+)− (E1 + S1)x(τ1−),
`2x := E2x(τ2+)− (E2 + S2)x(τ2−),
(5)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
`px := Epx(τp+)− (Ep + Sp)x(τp−)
та запишемо iмпульсну дiю (4) як крайову умову:
`x(·) = b ∈ Rm, (6)
де b = col (b1, b2, . . . , bp) ∈ Rm, bi ∈ Rmi .
Розглянемо випадок, коли вiдповiдна однорiдна породжуюча iмпульсна задача має не-
тривiальнi розв’язки. Нагадаємо, що згiдно з теоремою [13] породжуюча iмпульсна зада-
ча (3), (4) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли неоднорiдностi f(t) ∈ Cq−1[a, b] виродже-
ної диференцiальної системи та b ∈ Rm в iмпульснiй умовi (6) задовольняють d лiнiйно
незалежних умов
PQ∗
d
{b− lx̃(·)} = 0, d = m− n1, (7)
та при цьому має r-параметричну (r = n − s − n1) сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
вигляду
x0(t, cr) = Xn−s(t)PQrcr +Xn−s(t)Q
+ {b− lx̃(·)}+ x̃(t) ∀cr ∈ Rr, (8)
де cr — r-вимiрний вектор констант.
Зазначимо, що складовi компоненти даних спiввiдношень задаються таким чином:
Q := lXn−s(·) =
−S1Xn−s(τ1)
−S2Xn−s(τ2)
...
−SpXn−s(τp)
— вiдома [m× (n− s)]-вимiрна стала матриця;
lx̃(·) =
E1x̃(τ1+)− (E1 + S1)x̃(τ1−)
E2x̃(τ2+)− (E2 + S2)x̃(τ2−)
...
Epx̃(τp+)− (Ep + Sp)x̃(τp−)
— (m × 1)-вектор-стовпчик iмпульсної умови; PQ та PQ∗ — ((n − s) × (n − s))- та (m ×
×m)-вимiрнi матрицi-ортопроектори, якi проектують простори Rn−s та Rm на нуль-про-
стори N(Q) та N(Q∗) матриць Q та Q∗ вiдповiдно: PQ : Rn−s → N(Q);PQ∗ : Rm →
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI IМПУЛЬСНI ЗАДАЧI . . . 449
→ N(Q∗); rankQ = n1 ≤ min(m,n − s). Оскiльки rankPQ∗ = m − n1 = d, то матрицю
PQ∗ можна замiнити на (d×m)-вимiрну матрицю PQ∗
d
, складену з повної системи d лiнiйно
незалежних рядкiв матрицi PQ∗ . Зважаючи на те, що rankPQ = n− s− n1 = r, матрицю
PQ можна замiнити на ((n − s) × r)-вимiрну матрицю PQr , складену з повної системи r
лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi PQ. Частинний розв’язок неоднорiдної системи має
вигляд
x̃(t) =
t∫
a
Xn−s(t)Y
∗
n−s(τ)f(τ)dτ − Φ(t)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
([Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)f(t)). (9)
Yn−s(t) — (n × (n − s))-вимiрна матриця, складена з n − s лiнiйно незалежних розв’язкiв
спряженої системи
d
dt
B∗(t)y = −A∗(t)y, t ∈ [a, b];
Φ(t),Ψ(t) — (n×s)-матрицi, складенi з векторiв, якi утворюють жордановi набори матрицi
B(t) вiдносно оператора L(t) i матрицi B∗(t) вiдносно оператора L∗(t):
Φ(t) = [ϕ
(1)
1 (t), . . . , ϕ
(s1)
1 (t);ϕ
(1)
2 (t), . . . , ϕ
(s2)
2 (t); . . . ;ϕ(1)
r (t), . . . , ϕ(sr)
r (t)],
Ψ(t) = [ψ
(1)
1 (t), . . . , ψ
(s1)
1 (t);ψ
(1)
2 (t), . . . , ψ
(s2)
2 (t); . . . ;ψ(1)
r (t), . . . , ψ(sr)
r (t)].
Фундаментальнi матрицi Xn−s(t) та Yn−s(t) завжди можна визначити [7] так, щоб ви-
конувалась рiвнiсть
Y ∗n−s(t)B(t)Xn−s(t) = En−s.
Спочатку встановимо необхiдну умову iснування розв’язку x(t, ε) iмпульсної задачi
(1), (2), яка задовольняє вказанi вище умови та при ε = 0 перетворюється у породжуючий
розв’язок x0(t, cr) (8) iмпульсної задачi (3), (4). Справедливим буде наступне твердження.
Теорема 1 (необхiдна умова). Нехай слабконелiнiйна iмпульсна задача (1), (2) має
розв’язок x = x(t, ε) :
x(·, ε) ∈ C1([a, b] \ {τi}I), x(t, ·) ∈ C(0, ε0],
який при ε = 0 перетворюється у породжуючий розв’язок з векторною константою
cr = c0r :
x(t, 0) = x0(t, c
0
r) = Xn−s(t)PQrc
0
r +Xn−s(t)Q
+ {b− lx̃(·)}+ x̃(t) ∀c0r ∈ Rr.
Тодi вектор констант c0r ∈ Rr обов’язково повинен бути дiйсним коренем системи
рiвнянь
F (c0r) = 0, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
450 Є. С. ВОЙТУШЕНКО
де
F (cr) = PQ∗
d
(
J(x0(·, cr), 0)− l
( ·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)Z(x0(τ, cr), τ, 0)dτ−
− Φ(·)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
([Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)Z(x0(t, cr), t, 0))(·)
))
та J := col (J1, . . . , Jp) : J ∈ Rm, m := m1 +m2 + . . .+mp, Ji ∈ Rmi .
Доведення аналогiчне доведенню теореми 4.5 [9]. Якщо рiвняння (10) має розв’язок
cr = c0r ∈ Rr, то вектор c0r визначає той породжуючий розв’язок x0(t, c0r) [8], якому може
вiдповiдати розв’язок x(t, ε) iмпульсної задачi (1), (2), що перетворюється у x0(t, c0r) при
ε = 0.
Якщо ж рiвняння (10) не має розв’язкiв, то й iмпульсна задача (1), (2) не має шуканого
розв’язку. Мова йде про дiйснi коренi рiвняння для породжуючих констант. Таким чином,
необхiдна умова iснування розв’язкiв iмпульсної задачi (1), (2) задовольняється вибором
константи cr у r-параметричнiй сiм’ї розв’язкiв (8) та полягає у тому, щоб рiвняння (10)
мало хоча б один дiйсний корень cr = c0r ∈ Rr.
По аналогiї з вiдомими результатами, будемо називати рiвняння (10) рiвнянням для
породжуючих констант iмпульсної задачi для систем вироджених диференцiальних рiв-
нянь (1), (2).
У випадку перiодичних задач константа cr має фiзичний змiст i є амплiтудою поро-
джуючого розв’язку, тому у класичнiй задачi про перiодичнi розв’язки системи звичайних
диференцiальних рiвнянь аналогiчне рiвняння (10) називають рiвнянням для породжую-
чих амплiтуд [14, 15].
Достатня умова iснування розв’язку. Побудова iтерацiйного процесу. Для отриман-
ня достатньої умови iснування розв’язку виконаємо замiну змiнних у iмпульснiй зада-
чi (1), (2):
x(t, ε) = x0(t, c
0
r) + y(t, ε),
де x0(t, c0r) — породжуючий розв’язок (9) i векторна константа c0r ∈ Rr є дiйсним коренем
рiвняння (10). У нових змiнних будемо шукати умови iснування розв’язку y(t, ε) :
y(·, ε) ∈ C1([a, b] \ {τi}I), y(t, ·) ∈ C(0, ε0], y(t, 0) = 0,
який при ε = 0 перетворюється у нульовий розв’язок крайової задачi
B(t)
dy
dt
= A(t)y + εZ
(
x0(t, c
0
r) + y(t, ε), t, ε
)
, (11)
ly(·) = εJ(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε). (12)
Оскiльки ми звели iмпульсну систему до крайової задачi, то для крайової задачi (11),
(12) мають мiсце наступнi розклади:
Z(x0 + y, t, ε) = Z(x0(t, c
0
r), t, 0) +A1(t)y(t, ε) +R(y(t, ε), t, ε), (13)
Ji
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
= Ji(x0(·, c0r)) + l
(i)
1 y(·, ε) +R
(i)
1 (y(·, ε), ε), (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI IМПУЛЬСНI ЗАДАЧI . . . 451
де
Z(x0(t, c
0
r), t, 0) ∈ C[a, b], Ji(x0(·, c0r)) := Ji(x0(·, c0r), 0),
A1(t) := A1(t, c
0
r) =
∂Z(x, t, ε)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0r),ε=0
∈ C[a, b],
l
(i)
1 y(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала Ji
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
; J :=
:= col(J1, . . . , Jp), `1 := col (`
(1)
1 , . . . , `
(p)
1 ), R1 := col (R
(1)
1 , . . . , R
(p)
1 ). Лiнiйний оператор l(i)1 =
= J ′i(x0) є похiдною Фреше вiд векторного функцiонала Ji(x(·, ε), ε) у точцi x = x0(t, c
0
r),
ε = 0. Нелiнiйна вектор-функцiя R(y(t, ε), t, ε) належить до класу C1(‖y‖ ≤ q), C[a, b],
C[0, ε0]. При цьому маємо
R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂y
= 0, R
(i)
1 (0, 0) = 0,
∂R
(i)
1 (0, 0)
∂y
= 0.
Застосовуючи до крайової задачi (11), (12) результати роботи [16], отримуємо таке
твердження.
Теорема 2 (достатня умова). Нехай породжуюча iмпульсна задача (3), (4) при вико-
наннi умови (7) має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв x0(t, c0r) (8) (r = n−s−n1). Тодi для
кожного дiйсного значення вектора констант c0r ∈ Rr, який задовольняє систему рiв-
нянь (10) для породжуючих констант, при умовi rankB0 = d слабконелiнiйна iмпульсна
задача (1), (2) має хоча б один розв’язок x(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворю-
ється у породжуючий розв’язок x0(t, c0r) (8), де
B0 = PQ∗
d
{
`1Xr(·)− l
( ·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ −
− Φ(·)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
([Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)A1(t)Xr(t))(·)
)}
(15)
— (d×r)-вимiрна матриця. Цей розв’язок можна визначити за допомогою збiжного при
достатньо малому значенню ε ∈ [0, ε∗] iтерацiйного процесу
yk+1(t, ε) = Xr(t)ck + ȳk+1(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . ,
y0(t, ε) = ȳ0(t, ε) = 0,
ck = −B+
0 PQ∗
d
{
l1ȳk(·, ε) +R1(yk(·, ε), ε)−
− l
( ·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)(A1(τ)ȳk(τ, ε) +R(yk(τ, ε), τ, ε))dτ−
− Φ(·)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
([Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)(A1(t)ȳk(t, ε) +R(yk(t, ε), t, ε)))(·)
)}
, (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
452 Є. С. ВОЙТУШЕНКО
ȳk+1(t, ε) = εXn−s(t)Q
+
{
J
(
x0(·, c0r) + yk(·, ε), ε
)
−
− l
( ·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)Z(x0(τ, c
0
r) + yk, τ, 0)dτ−
− Φ(·)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
(
[Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)Z(x0(t, c
0
r) + yk, t, 0)
)
(·)
)}
+
+ ε
{ t∫
a
Xn−s(t)Y
∗
n−s(τ)Z(x0(τ, c
0
r) + yk, τ, 0)dτ−
− Φ(t)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
(
[Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)Z(x0(t, c
0
r) + yk, t, 0)
)}
,
xk(t, ε) = x0(t, c
0
r) + yk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . .
Оцiнки областi збiжностi iтерацiйного процесу (16), а також оцiнки наближених роз-
в’язкiв проводяться методом мажорант Ляпунова [8]. Як вiдомо [15, 16], при заданих умо-
вах завжди можна знайти таке ε = ε∗, що при ε ∈ [0, ε∗] iтерацiйний процес (16) буде
збiжним.
Зв’язок мiж необхiдною та достатньою умовами iснування розв’язку. Розглянемо ви-
падок, коли кiлькiсть iмпульсних умов m збiгається з кiлькiстю n− s лiнiйно незалежних
розв’язкiв однорiдної системи, тобто m = n − s. Оскiльки d = m − n1, r = n − s − n1,
m = n− s, то d = r i матриця B0 є квадратною. Якщо cr = c0r є розв’язком рiвняння (10),
то за аналогiєю з теоремою Безу для скалярного рiвняння маємо розклад для векторного
рiвняння F (cr) = (cr − c0r)F1(cr), в якому detF1(c
0
r) 6= 0. В цьому випадку c0r — простий
корiнь рiвняння (10).
Враховуючи, що(
∂Z(x, t, ε)
∂cr
)
cr=c0r
=
∂Z(x, t, ε)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0r),ε=0
∂x0(t, cr)
∂cr
∣∣∣∣
cr=c0r
=A1(t)Xr(t),
∂J(x0(·, cr), ε)
∂cr
∣∣∣∣
cr=c0r
=
∂J(x(·, cr), ε))
∂x
∣∣∣∣
x=x0(τ,c0r),ε=0
∂x0(·, cr)
∂cr
∣∣∣∣
cr=c0r
= `1Xr(·),
маємо
∂F (cr)
∂cr
∣∣∣∣
cr=c0r
= PQ∗
d
{
l1Xr(·)− l
( ·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ−
− Φ(·)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
(
[Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)A1(t)Xr(t)
)
(·)
)}
= B0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
СЛАБКОНЕЛIНIЙНI IМПУЛЬСНI ЗАДАЧI . . . 453
Отже, якщо detB0 6= 0, то корiнь cr = c0r рiвняння (10) є простим.
Таким чином, у випадку m = n− s маємо таке твердження.
Теорема 3. Для того щоб слабконелiнiйна iмпульсна задача для систем вироджених
диференцiальних рiвнянь (1), (2) мала розв’язок, який при ε = 0 перетворюється у поро-
джуючий розв’язок x0(t, c0r) (8) з константою cr = c0r ∈ Rr, необхiдно, щоб константа
c0r була дiйсним коренем рiвняння для породжуючих констант (10), та достатньо, щоб
c0r був простим коренем цього рiвняння.
1. Самойленко A. M., Перестюк М. О. Импульсные дифференциальные уравнения. — Киев: Вища. шк.,
1987.
2. Halanay A., Wexler D. Qualitative theory of impulsive systems. — Moscow: Mir, 1971.
3. Schwabik S., Tvrdy M., Vejvoda O. Differential and integral equations // Boundary-Value Problems and
Adjoints. — Prague: Academia, 1979.
4. Zettl A. Adjoint and self-adjoint BVP’s with interface conditions // SIAM J. Appl. Math. — 1968. — 16, № 4.
5. Campbell S. L., Petzold L. R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations // SIAM
J. Alg. Discrete Methods. — 1983. — № 4. — P. 517 – 521.
6. Rheinboldt W. C. Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds // Math. Comput. —
1984. – 43, № 168. — P. 473 – 482.
7. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
8. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
9. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
10. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
11. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10,
№ 3. — С. 303 – 312.
12. Бойчук А. А., Шегда Л. М. Бифуркация решений вырожденных нетеровых краевых задач // Диффе-
ренц. уравнения. — 2011. — 47, № 4. — С. 459 – 467.
13. Boichuk A., Ruzickova M., Langerova M., Voitushenko E. Systems of singular differential equations with
pulse action // Adv. Difference Equat. — 2013. — 2013.
14. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.
15. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
16. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нелiнiйнi крайовi задачi // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 9. —
С. 1174 – 1188.
Одержано 18.08.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
|