Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії
В абстрактном банаховом пространстве получены условия устойчивости ограниченного решения нелинейного эволюционного уравнения с секториальным оператором в линейной части и нефиксированными моментами импульсного воздействия. We obtain conditions for stability of a bounded solution of a nonlinear evolu...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177228 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 475-488 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859530386714918912 |
|---|---|
| author | Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. |
| author_facet | Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. |
| citation_txt | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 475-488 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | В абстрактном банаховом пространстве получены условия устойчивости ограниченного решения нелинейного эволюционного уравнения с секториальным оператором в линейной части и нефиксированными моментами импульсного воздействия.
We obtain conditions for stability of a bounded solution of a nonlinear evolution equation, in an abstract Banach space, with a sectorial operator in the linear part of the equation and unfixed times of impulsive effects.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:45:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ
З НЕФIКСОВАНИМИ МОМЕНТАМИ IМПУЛЬСНОЇ ДIЇ
А. В. Дворник, В. I. Ткаченко
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01601, Україна
e-mail: a.dvornyk@gmail.com
vitk@imath.kiev.ua
We obtain conditions for stability of a bounded solution of a nonlinear evolution equation, in an abstract
Banach space, with a sectorial operator in the linear part of the equation and unfixed times of impulsive
effects.
В абстрактном банаховом пространстве получены условия устойчивости ограниченного ре-
шения нелинейного эволюционного уравнения с секториальным оператором в линейной части
и нефиксированными моментами импульсного воздействия.
Вступ. У данiй роботi ми дослiджуємо еволюцiйне рiвняння з нефiксованими моментами
iмпульсної дiї
du
dt
+Au = f(t, u), t 6= τj(u), (1)
u(τj(u) + 0)− u(τj(u)) = gj(u), j ∈ Z, (2)
де u : R → X, X — банаховий простiр, A — секторiальний оператор в X, послiдовнiсть
{τj(u)} функцiй X → R є строго зростаючою для u з деякої областi простору X.
Наскiльки вiдомо авторам, першою роботою, присвяченою вивченню iмпульсних ево-
люцiйних рiвнянь з секторiальним оператором, був препринт [1]. Останнiм часом еволю-
цiйнi рiвняння в банаховому просторi з фiксованими моментами iмпульсної дiї приверта-
ють увагу багатьох дослiдникiв (див., наприклад, [2 – 11]).
Складнiсть дослiдження рiвняння (1), (2) з нефiксованими моментами iмпульсної дiї
пов’язана з тим, що розв’язки, якi мають рiзнi початковi значення, мають також i рiзнi
точки розривiв, оскiльки моменти iмпульсної дiї рiвняння (1), (2) залежать вiд розв’язкiв.
Також у таких рiвняннях може з’являтися так званий феномен биття, тобто розв’язок
може перетинати поверхню t = τk(u) кiлька разiв [12 – 14].
Метою даної роботи є знаходження умов стiйкостi обмеженого розв’язку рiвняння (1),
(2). Означення стiйкостi для рiвнянь з нефiксованими моментами iмпульсної дiї є вiдмiн-
ним вiд означення стiйкостi для рiвнянь з фiксованими моментами iмпульсної дiї i врахо-
вує вiдмiннiсть точок розриву рiзних розв’язкiв рiвняння. Ми використовуємо означення
з [16]. При дослiдженнi еволюцiйного рiвняння також потрiбно враховувати непродовжу-
ванiсть розв’язкiв на вiд’ємну пiввiсь.
Нехай (X, ‖.‖) — абстрактний банаховий простiр, R i Z — множини вiдповiдно дiйсних
i цiлих чисел.
c© А. В. Дворник, В. I. Ткаченко, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 475
476 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Позначимо черезPC(J,X), J ⊂ R, простiр усiх кусково-неперервних функцiй x : J →
→ X таких, що:
i) множина T = {tj ∈ J, tj+1 > tj , j ∈ Z} є множиною розривiв функцiї x;
ii) функцiї неперервнi злiва x(tj − 0) = x(tj) та iснують границi limt→tj+0 x(t) = x(tj +
+0) < ∞.
Будемо використовувати норму ‖x‖PC = supt∈J ‖x(t)‖ у просторi PC(J,X).
Припустимо, що рiвняння (1), (2) задовольняє умови:
(H1) A — секторiальний оператор в X i inf{Reµ : µ ∈ σ(A)} ≥ δ > 0, де σ(A) —
спектр A. Для оператора A означаються степенi; будемо розглядати простори Xα =
= D(Aα), утворенi областями означення операторiв Aα, α ≥ 0, з нормою ‖x‖α = ‖Aαx‖;
(H2) нехай Uα% = {x ∈ Xα : ‖x‖α ≤ %}; припускаємо, що функцiї τj : Uα% → R
задовольняють умову Лiпшиця
|τj(u1)− τj(u2)| ≤ N1‖u1 − u2‖α, j ∈ Z,
i рiвномiрно по u ∈ Uα% iснують θ > 0 i Θ > 0 такi, що infu τj+1(u)− supu τj(u) ≥ θ > 0 та
supu τj+1(u)− infu τj(u) ≤ Θ для j ∈ Z;
(H3) функцiя f(t, u) : R × Uα% → X обмежена i неперервно диференцiйовна по u,
локально гельдерова по t рiвномiрно вiдносно u ∈ Uα% та має розриви першого роду при
t = τj(u);
(H4) функцiї gj(u) : Uα% → X1 = D(A) неперервнi, рiвномiрно обмеженi i лiпшицевi,
‖gj(u1)− gj(u2)‖α ≤ N1‖u1 − u2‖α при u ∈ Uα% i j ∈ Z.
Якщо оператор A секторiальний з обмеженим оберненим, то (−A) є iнфiнiтезималь-
ним генератором аналiтичної напiвгрупи e−At. Для всiх x ∈ Xα справджується рiвнiсть
e−AtAαx = Aαe−Atx. Ми будемо використовувати оцiнки (див. [17]):
‖Aαe−At‖ ≤ Cαt
−αe−δt, t > 0, α > 0,
‖(e−At − I)u‖ ≤ 1
α
C1−αt
α‖Aαu‖, t > 0, α ∈ (0, 1], u ∈ Xα,
де Cα > 0 обмежена при α → +0.
При дослiдженнi стiйкостi розв’язкiв iмпульсних еволюцiйних рiвнянь будемо викори-
стовувати наступну версiю узагальненої нерiвностi Гронуолла.
Лема. Нехай 0 < α, β < 1, a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, b > 0, 0 < Q < ∞ i локально iнтегровна
на 0 ≤ t ≤ Q невiд’ємна функцiя y(t) задовольняє на цьому iнтервалi нерiвнiсть
y(t) ≤ a1 + a2t
−α + b
t∫
0
(t− s)β−1y(s)ds.
Тодi iснує додатна стала C̃ = C̃(β, b,Q) < ∞ така, що
y(t) ≤
(
a1 +
a2
(1− α)tα
)
C̃(β, b,Q). (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 477
Доведення. З доведення леми 7.1.1 з [17, с. 188] випливає наступне: якщо невiд’ємна
локально iнтегровна на 0 ≤ t < Q функцiя y(t) задовольняє нерiвнiсть
y(t) ≤ a(t) + b
t∫
0
(t− s)β−1y(s) ds
з локально iнтегровною функцiєю a(t) ≥ 0 i додатною сталою b, то y(t) задовольняє
також нерiвнiсть
y(t) ≤ a(t) +
t∫
0
{ ∞∑
n=1
(bΓ(β))n(t− s)nβ−1/Γ(nβ)
}
a(s)ds, (4)
де Γ(β) — гамма-функцiя.
Якщо a(t) = a1 = const, то, використовуючи (4), отримуємо
y(t) ≤ a1 + a1
∞∑
n=1
(bΓ(β))n
Γ(nβ)
tnβ(nβ)−1.
Якщо a(t) = a2t
−α, то
y(t) ≤ a2t
−α +
a2t
−α
1− α
∞∑
n=1
(bΓ(β))n
Γ(nβ)
tnβ2α−nβ
(
1 +
1− α
nβ
)
.
Отже, за функцiю C̃ можна вибрати
C̃ = 1 +
∞∑
n=1
(bΓ(β))n
Γ(nβ)
Qnβ max{(nβ)−1, 21−nβ(1 + (nβ)−1)}.
Вiдмiтимо також, що нерiвнiсть (3) можна записати так:
y(t) ≤
(
a1 +
a2
tα
)
C̃1, C̃1 =
C̃(β, b,Q)
1− α
. (5)
Лему доведено.
Пiд розв’язком рiвняння без iмпульсної дiї (1) розумiємо класичний розв’язок, тобто
неперервно диференцiйовну функцiю u(t) ∈ D(A), яка при пiдстановцi у спiввiдношення
(1) перетворює його в тотожнiсть. За теоремою 3.3.3 [17] (див. також [18, с. 196]) для
кожної початкової точки (t0, u0) ∈ R × Uα% рiвняння (1) має єдиний локальний розв’язок
u(t), u(t0) = u0. Припускаємо, що розв’язки iснують для всiх t ≥ t0. Це досягається,
наприклад, при виконаннi умов теореми 3.3.5 [17].
За теоремою 3.5.2 [17] для γ < 1 i t0 < t1 ≤ t0 +Q функцiя
t → du
dt
(t) ∈ Xγ
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
478 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
локально гельдерова при t0 < t ≤ t1 i∥∥∥∥dudt
∥∥∥∥
γ
≤ K̃1(t− t0)α−γ−1, (6)
де K̃1 = K̃1(γ,Q) > 0.
Означення 1. Функцiя u(t) : [t0, t1] → Xα є розв’язком початкової задачi u(t0) = u0 ∈
∈ Xα для рiвняння (1), (2) на вiдрiзку [t0, t1], якщо вона:
(i) неперервна на вiдрiзках [t0, τk], (τk, τk+1], . . . , (τk+s, t1] з розривами першого роду в
моменти t = τj перетину з поверхнями iмпульсiв, t0 < τk < . . . < τk+s < t1;
(ii) неперервно диференцiйовна на iнтервалах (t0, τk), (τk, τk+1), . . . , (τk+s, t1) i задо-
вольняє рiвняння (1) при t ∈ (t0, t1), t 6= τj , та рiзницевi спiввiдношення (2) при t = τj ;
(iii) задовольняє початкову умову u(t0) = u0.
Ми припускаємо, що розв’язки u(t) рiвняння (1), (2) неперервнi злiва, тодi u(τj) =
= u(τj − 0) при всiх точках iмпульсної дiї.
Ми також припускаємо, що в областi Uα% розв’язки рiвняння (1), (2) не мають биття з
поверхнями t = τj(u), тобто, iншими словами, розв’язки перетинають кожну поверхню
t = τj(u) не бiльше одного разу. Для iмпульсних систем у скiнченновимiрному просторi є
кiлька достатнiх умов вiдсутностi биття [14, 15]. Деякi з них можна поширити на абстракт-
нi системи (1), (2). В iнших випадках перевiрка умов вiдсутностi биття у нескiнченнови-
мiрному просторi вимагає конкретного дослiдження.
Означення 2. Розв’язок u0(t) рiвняння (1), (2), означений для всiх t ≥ t0, називається
стiйким за Ляпуновим у просторi Xα, якщо для довiльних ε > 0 i η > 0 iснує δ = δ(ε, η)
таке, що довiльний iнший розв’язок u(t) з початковою умовою ‖u0(t0) − u(t0)‖α < δ
задовольняє нерiвнiсть ‖u0(t)− u(t)‖α < ε для всiх t ≥ t0 таких, що |t− τ0j | > η, де τ0j —
точки, в яких розв’язок u0(t) перетинає поверхнi t = τj(u), j ∈ Z.
Розв’язок u0(t) називається атрактивним, якщо для довiльних ε > 0, η > 0 i t0 ∈ R
iснують δ0 = δ0(t0) i T = T (δ0, ε, η) > 0 такi, що для кожного iншого розв’язку u(t)
системи з ‖u0(t0)− u(t0)‖α < δ0 випливає ‖u0(t)− u(t)‖α < ε для t ≥ t0 + T i |t− τ0k | > η.
Розв’язок u0(t) називається асимптотично стiйким, якщо вiн стiйкий i атрактив-
ний.
Нехай рiвняння (1), (2) має обмежений на осi розв’язок u0(t). Для дослiдження його
стiйкостi виконаємо у рiвняннi замiну змiнних u = u0(t) + z. Тодi z(t) задовольняє дифе-
ренцiальне рiвняння
dz
dt
+ (A+A1(t))z = f̃(t, z) (7)
та рiзницевi спiввiдношення у точках перетину розв’язкiв u0(t) i u0(t) + z(t) з поверхнями
τj(u), j ∈ Z :
z(τ̃j(z) + 0)− z(τ̃j(z)) = g̃j(z), (8)
z(τ̃0j + 0)− z(τ̃0j ) = g̃0j , (9)
де
τ̃0j = τj(u0(τ̃
0
j )), τ̃j(z) = τj(u0(τ̃j(z)) + z(τ̃j(z))),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 479
f̃(t, z) = f(t, u0(t) + z)− f(t, u0(t)) +A1(t)z, A1(t)z =
∂
∂u
f(t, u0(t))z,
g̃0j = −gj(u0(τ̃0j )), g̃j(z) = gj(u0(τ̃j(z)) + z(τ̃j(z))).
Припустимо, що iснує неспадна функцiя Kξ, 0 ≤ ξ ≤ %, така, що Kξ → 0 при ξ → 0 i
рiвномiрно по t ∈ R
‖f̃(t, z)‖ ≤ Kξ‖z‖α, ‖z‖α ≤ ξ. (10)
Позначимо M0 = K%, отже, supt∈R,‖z‖α≤% ‖f̃(t, z)‖ ≤ M0%.
Поряд з рiвнянням (1), (2) розглянемо лiнiйне однорiдне рiвняння
du
dt
+ (A+A1(t))u. (11)
Будемо припускати, що A1(t) задовольняє умову
(H5) функцiя A1(t) : R → L(Xα, X), α ≥ 0, локально лiпшицева.
Позначимо через U(t, s) еволюцiйний оператор лiнiйного рiвняння (11). Вiн задоволь-
няє умови U(τ, τ) = I, U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ), t ≥ s ≥ τ.
За теоремою 7.1.3 [17, с. 190] функцiя U(t, τ) неперервна зi значеннями в L(Xγ) для всiх
0 ≤ γ < 1 i
‖U(t, τ)x‖γ ≤ LQ(t− τ)(ν−γ)−‖x‖ν ,
де (ν − γ)− = min(ν − γ, 0), t− τ ≤ Q, LQ = LQ(Q). Крiм того,
‖U(t, τ)x− x‖γ ≤ LQ(t− τ)ν‖x‖γ+ν , ν > 0, γ + ν ≤ 1.
Означення 3. Лiнiйне рiвняння (11) називається експоненцiально стiйким у Xα зi
сталими β > 0 i M ≥ 1, якщо для всiх u ∈ Xα виконується
‖U(t, τ)u‖α ≤ Me−β(t−τ)‖u‖α, t ≥ τ.
Також iснує додатна стала M1 (залежна вiд α, δ, γ) така, що
‖U(t, s)u‖γ ≤ M1e
−β(t−s) max{1, (t− s)δ−γ}‖x‖δ, t > s, (12)
де 0 ≤ δ ≤ γ < 1 (див. [17, с. 226]).
Теорема. Припустимо, що рiвняння (1), (2) в областi Uα% = {u ∈ Xα, ‖u‖α ≤ %} з
деяким фiксованим α ≥ 0 задовольняє умови (H1) – (H4) i має обмежений на осi розв’язок
u0(t) такий, що виконується (10) i умова (H5). Нехай також:
1) усi розв’язки в областi Uα% перетинають поверхнi t = τj(u) не бiльше одного разу;
2) вiдповiдне лiнiйне рiвняння у варiацiях (11) експоненцiально стiйке в Xα зi стали-
ми β > 0 та M ≥ 1.
Тодi при досить малому N1 > 0 розв’язок u0(t) є асимптотично стiйким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
480 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Доведення. Зафiксуємо довiльнi ε > 0 i η > 0. Нехай t0 ∈ [τ̃00 + η, τ̃01 − η] i u0(t0) = u0.
Виберемо u1 ∈ Xα так, що ‖u0−u1‖α < δ з деяким δ > 0. Розв’язок z(t) рiвняння (7) – (9)
з початковим значенням z0 = z(t0) = u0 − u1 задовольняє iнтегральне рiвняння
z(t) = U(t, t0)z0+
t∫
t0
U(t, s)f̃(s, z(s))ds+
∑
t0<τ̃0j <t
U(t, τ̃0j )g̃0j +
∑
t0<τ̃1j <t
U(t, τ̃1j )g̃j(z(τ̃
1
j )), (13)
де τ̃1j = τj(u0(τ̃
1
j ) + z(τ̃1j )).
На iнтервалi без iмпульсiв розв’язок z(t) задовольняє нерiвнiсть
‖z(t)‖α ≤ ‖U(t, t1)z(t1)‖α +
t∫
t1
‖AαU(t, t1)f̃(s, z(s))‖ds ≤
≤ M1e
−β(t−t1)‖z(t1)‖α +
t∫
t1
M1M0e
−β(t−s)
(t− s)α
‖z(s)‖α ds.
Тодi за доведеною лемою
‖z(t)‖α ≤ M1C̃e
−β(t−t1)‖z(t1)‖α, t− t1 ≤ Q. (14)
Отже, якщо початковi данi належать до обмеженої областi з Xα, то вiдповiднi розв’язки
рiвномiрно обмеженi для t з обмеженого iнтервалу.
Позначимо
J = ∪jJj , Jj = (max{τ̃0j−1, τ̃1j−1},min{τ̃0j , τ̃1j }] = (τ̃ ′′j−1, τ̃
′
j ].
Покажемо, що при достатньо малому N1 рiзниця
∣∣∣τ̃1j − τ̃0j ∣∣∣ оцiнюється через z(τ̃ ′j) так:
|τ̃0j − τ̃1j | ≤
N1
1− K̃1N1θ−1
‖z(τ̃ ′j)‖α = K̃2N1‖z(τ̃ ′j)‖α. (15)
Припустимо, що τ̃0j ≥ τ̃1j = τ̃ ′j . Тодi, використовуючи (6), отримуємо
|τ̃1j − τ̃0j | ≤ N1‖u0(τ̃1j ) + z(τ̃1j )− u0(τ̃0j )‖α ≤ N1‖z(τ̃1j )‖α +N1
∥∥∥∥∥∥∥∥
τ̃0j∫
τ̃1j
d
dξ
u0(ξ)dξ
∥∥∥∥∥∥∥∥
α
≤
≤ N1‖z(τ̃1j )‖α + θ−1K̃1N1|τ̃0j − τ̃1j |.
Отже, виконується (15).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 481
Якщо τ̃1j ≥ τ̃0j = τ̃ ′j , то
|τ̃1j − τ̃0j | ≤ N1‖u0(τ̃1j ) + z(τ̃1j )− u0(τ̃0j )‖α ≤
≤ N1‖u0(τ̃1j ) + z(τ̃1j )− u0(τ̃0j )− z(τ̃0j ) + z(τ̃0j )‖α ≤
≤ N1‖z(τ̃0j )‖α +N1‖u(τ̃1j )− u(τ̃0j )‖α ≤ N1‖z(τ̃0j )‖α +N1
∥∥∥∥∥∥∥∥
τ̃1j∫
τ̃0j
d
dξ
u(ξ)dξ
∥∥∥∥∥∥∥∥
α
,
оскiльки за означенням u(ξ) = u0(ξ) + z(ξ). Звiдси отримуємо (15). З останнiх формул
також отримуємо оцiнку
‖u0(τ̃1j ) + z(τ̃1j )− u0(τ̃0j )‖α ≤ ‖z(τ̃ ′j)‖α + θ−1K̃1|τ̃1j − τ̃0j | ≤
≤
(
1 +
θ−1N1K̃1
1− θ−1N1K̃1
)
‖z(τ̃ ′j)‖α ≤ K̃3‖z(τ̃ ′j)‖α. (16)
Для t ∈ (τ̃ ′′i , τ̃
′
i+1] маємо
‖z(t)‖α = ‖U(t, t0)z0‖α +
t∫
t0
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
+
∥∥∥∥∥∥∥
∑
t0<τ̃0j <t
U(t, τ̃0j )g̃0j +
∑
t0<τ̃1j <t
U(t, τ̃1j )g̃j(z(τ̃
1
j ))
∥∥∥∥∥∥∥
α
≤ ‖U(t, t0)z0‖α+
+
τ̃ ′1∫
t0
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
i−1∑
j=1
τ̃ ′j+1∫
τ̃ ′′j
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
+
i∑
j=1
τ̃ ′′j∫
τ̃ ′j
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
t∫
τ̃ ′′i
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
+
∥∥∥∥∥∥∥
∑
t0<τ̃0j <t
U(t, τ̃0j )g̃0j +
∑
t0<τ̃1j <t
U(t, τ̃1j )g̃j(z(τ̃
1
j ))
∥∥∥∥∥∥∥
α
. (17)
На iнтервалi [t0, τ̃
′
1] розв’язок z(t) задовольняє оцiнку
‖z(t)‖α ≤ M1C̃e
−β(t−t0)‖z0‖α, t ∈ [t0, τ̃
′
1]. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
482 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Для t ∈ (τ̃ ′′1 , τ̃
′
2] нерiвнiсть (17) набирає вигляду
‖z(t)‖α ≤ ‖U(t, t0)z0‖α +
τ̃ ′1∫
t0
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
τ̃ ′′1∫
τ̃ ′1
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+
+
t∫
τ̃ ′′1
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+ ‖U(t, τ̃01 )g̃01 + U(t, τ̃11 )g̃j(z(τ̃
1
1 ))‖α. (19)
Використовуючи (12), (15) i (16), виконуємо перетворення
τ̃ ′′1∫
τ̃ ′1
‖U(t, s)f̃(s, z(s))‖αds+ ‖U(t, τ̃01 )g̃01 + U(t, τ̃11 )g̃j(z(τ̃
1
1 ))‖α ≤
≤ ‖AαU(t, τ̃ ′′1 )‖
τ̃ ′′1∫
τ̃ ′1
‖U(τ̃ ′′1 , s)f̃(s, z(s))‖ds+ ‖U(t, τ̃11 )(g̃j(z(τ̃
1
1 )) + g̃0j )‖α+
+ ‖(U(t, τ̃01 )− U(t, τ̃11 ))g̃0j ‖α ≤ M1e
−β(t−τ̃ ′′1 )|t− τ̃ ′′1 |−αMM0%|τ̃ ′′1 − τ̃ ′1|+
+N1‖U(t, τ̃11 )‖α‖u0(τ̃11 ) + z(τ̃11 )− u0(τ̃01 )‖α + ‖U(t, τ̃ ′′1 )(I − U(τ̃ ′′1 , τ̃
′
1))g̃
0
j ‖α ≤
≤ M1e
−β(t−τ̃ ′′1 )
(
MM0%
|τ̃ ′′1 − τ̃ ′1|
|t− τ̃ ′′1 |α
+ K̃3N1‖z(τ̃ ′1)‖α + C0
|τ̃ ′′1 − τ̃ ′1|
|t− τ̃ ′′1 |α
‖g̃01‖1
)
≤
≤ M1N1e
−β(t−τ̃ ′′1 )
(
K̃4 +
K̃5
|t− τ̃ ′′1 |α
)
‖z(τ̃ ′1)‖α ≤
≤ P1N1e
−β(t−τ̃ ′′1 )|t− τ̃ ′′1 |−α‖z(τ̃ ′1)‖α, t ∈ (τ̃ ′′1 , τ̃
′
2], (20)
з деякою додатною сталою P1. Припускаючи, що ‖z(t)‖α ≤ ξ при t ∈ [t0, τ̃
′
1], i пiдставля-
ючи (18) i (20) в (19), для t ∈ (τ̃ ′′1 , τ̃
′
2] отримуємо
‖z(t)‖α ≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α +
M1KξLQ
(t− τ̃ ′′1 )α
e−β(t−τ̃
′′
1 )
τ̃ ′1∫
t0
‖z(s)‖αds+
+ P1N1e
−β(t−τ̃ ′′1 )(t− τ̃ ′′1 )−α‖z(τ̃ ′1)‖α +
t∫
τ̃ ′′1
M1M0e
−β(t−s)(t− s)−α‖z(s)‖αds ≤
≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
(
1 +
C̃(M2KξQ̃+ P2N1)
(t− τ̃ ′′1 )α
)
+
t∫
τ̃ ′′1
M1M0
(t− s)α
e−β(t−s)‖z(s)‖αds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 483
де
M2 = LQM1e
β supj |τ̃ ′′j+1−τ̃ ′j |, P2 = P1e
β supj |τ̃ ′′j −τ̃ ′j |, Q̃ = max
j
{1, (τ̃ ′j+1 − τ̃ ′′j )}.
Позначимо також θ̃ = minj{1, (τ̃ ′j+1 − τ̃ ′′j )}.
Отже, для v(t) = eβt‖z(t)‖α маємо
v(t) ≤ M1v(t0)
(
1 +
C̃(M2KξQ̃+ P2N1)
(t− τ̃ ′′1 )α
)
+
t∫
τ̃ ′′1
M2M0
(t− s)α
v(s) ds.
За доведеною лемою (формула (5))
‖z(t)‖α ≤ M1C̃1‖z0‖αe−β(t−t0)
(
1 +
C̃(M2KξQ̃+ P2N1)
(t− τ̃ ′′1 )α
)
, t ∈ (τ̃ ′′1 , τ̃
′
2]. (21)
Припустимо, що при t ∈ [t0, τ̃
′
i ] розв’язок u(t) лежить в Uα% так, що ‖z(t)‖α = ‖u(t) −
−u0(t)‖α ≤ ξ для t ∈ ∪ij=1Jj з деяким ξ > 0. Проводячи аналогiчнi (20) перетворення у
(17), для t ∈ Ji+1 одержуємо
‖z(t)‖α ≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α +
τ̃ ′1∫
t0
M1KξLQe
−β(t−τ̃ ′′1 )‖z(s)‖αds+
+
i−1∑
j=2
τ̃ ′j∫
τ̃ ′′j−1
M1KξLQe
−β(t−τ̃ ′′j )‖z(s)‖αds+
i−1∑
j=1
P1N1e
−β(t−τ̃ ′′j )‖z(τ̃ ′j)‖α+
+
1
(t− τ̃ ′′i )α
τ̃ ′i∫
τ̃ ′′i−1
M1KξLQe
−β(t−τ̃ ′′i )‖z(s)‖αds+ P1N1e
−β(t−τ̃ ′′i )‖z(τ̃ ′i)‖α
+
+
t∫
τ ′′i
M1M0e
−β(t−s)(t− s)−α‖z(s)‖α ds. (22)
Доведемо, що якщо ‖z(t)‖α ≤ ξ при t ∈ ∪i−1j=1Jj , то
‖z(t)‖α ≤M1C̃1‖z0‖αe−β(t−t0)
(
1+
C̃1(M2Kξ + P2N1)
(t− τ̃ ′′i−1)α
)(
1+
C̃1(M2Q̃Kξ + P2N1)
(1− α)θ̃α
)i−2
(23)
для t ∈ (τ̃ ′′i−1, τ̃
′
i ]. Застосуємо метод математичної iндукцiї.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
484 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
Припустимо, що нерiвнiсть (23) виконується для t ∈ ∪nj=1Jj , i доведемо її для t ∈
∈ (τ̃ ′′n , τ̃
′
n+1]. Пiдставляючи у (22) нерiвнiсть (18) для t ∈ [t0, τ̃
′
1] i нерiвнiсть (23) для t ∈
∈ [τ̃ ′′j−1, τ̃
′
j ], j = 2, . . . , n, для t ∈ (τ̃ ′′n , τ̃
′
n+1] отримуємо
‖z(t)‖α ≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
{(
1 + C̃1(e
β(τ̃ ′′1 −t0)M1LQQ̃Kξ + eβ(τ̃
′′
1 −τ̃ ′1)P1N1)
)
+
+
n−1∑
j=2
τ̃ ′j∫
τ̃ ′′j−1
M1LQKξC̃1e
β(τ̃ ′′j −τ̃ ′′j−1)Aj−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(s− τ̃ ′′j−1)α
)
ds+
+
n−1∑
j=2
P1N1C̃1e
β(τ̃ ′′j −τ̃ ′j)Aj−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(τ̃ ′j − τ̃ ′′j−1)α
)
+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
τ̃ ′n∫
τ̃ ′′n−1
M1LQKξC̃1e
β(τ̃ ′′n−τ̃ ′′n−1)An−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(s− τ̃ ′′n−1)α
)
ds+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
P1N1C̃1e
β(τ̃ ′′n−τ̃ ′n)An−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(τ̃ ′n − τ̃ ′′n−1)α
)}
+ Bn(t) ≤
≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
{(
1 + C̃1
(
eβ(τ̃
′′
1 −t0)M1LQQ̃Kξ + eβ(τ̃
′′
1 −τ̃ ′1)P1N1
))
+
+
n−1∑
j=2
M1LQKξC̃1e
β(τ̃ ′′j −τ̃ ′′j−1)Aj−2ξ
(
Q̃+
Q̃C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(1− α)θ̃α
)
ds+
+
n−1∑
j=2
P1N1C̃1e
β(τ̃ ′′j −τ̃ ′j)Aj−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
θ̃α
)
+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
M1LQKξC̃1e
β(τ̃ ′′n−τ̃ ′′n−1)An−2ξ
(
Q̃+
Q̃C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(1− α)θ̃α
)
+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
P1N1C̃1e
β(τ̃ ′′n−τ̃ ′n)An−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
θ̃α
)}
+ Bn(t),
де
Aξ = 1 +
C̃(M2Q̃Kξ + P2N1)
(1− α)θ̃α
, Bn(t) =
t∫
τ̃ ′′n
M2N1
(t− s)α
e−β(t−s)v(s)ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 485
Як i ранiше, M2 = M1LQe
β supj |τ̃ ′′j −τ̃ ′′j−1|, P2 = P1e
β supj |τ̃ ′′j −τ̃ ′j |. Тому
‖z(t)‖α ≤M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
{
Aξ +
n−1∑
j=2
Aj−2ξ M2KξC̃1Q̃
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(1− α)θ̃α
)
+
+
n−1∑
j=2
P2N1C̃1Aj−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
θ̃α
)
+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
M2KξC̃1Q̃An−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(1− α)θ̃α
)
ds+
+
1
(t− τ̃ ′′n)α
P2N1C̃1An−2ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
θ̃α
)}
+ Bn(t) ≤
≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
{
Aξ +
n−1∑
j=2
Aj−1ξ
(
M2KξC̃1Q̃+ P2N1C̃1 + 1− 1
)
+
+
An−1ξ
(t− τ̃ ′′n)α
(
M2KξC̃1Q̃+ P2N1C̃1
)}
+ Bn(t) ≤
≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖α
Aξ +
n−1∑
j=2
Aj−1ξ (Aξ − 1) +
An−1ξ
(t− τ̃ ′′n)α
(
M2KξC̃1Q̃+ P2N1C̃1
)+
+ Bn(t) ≤ M1e
−β(t−t0)‖z0‖αAn−1ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(t− τ̃ ′′n)α
)
+ Bn(t).
Отже, для t ∈ (τ̃ ′′n , τ̃
′
n+1] функцiя v(t) = eβt‖z(t)‖α задовольняє нерiвнiсть
v(t) ≤ An−1ξ
(
1 +
C̃1(M2KξQ̃+ P2N1)
(t− τ̃ ′′n)α
)
+M2N1
t∫
τ̃ ′′n
(t− s)−αv(s)ds.
Застосовуючи (5), отримуємо (23).
За формулою (18), якщо ‖z0‖α ≤ δ =
ε
M1C̃
, то ‖z(t)‖α ≤ ε при t ∈ [t0, τ̃
′
1].
За формулою (21) розв’язок z(t) задовольняє нерiвнiсть ‖z(t)‖α < ε на iнтервалi t ∈
∈ [τ̃ ′′1 + η, τ̃ ′2], якщо
‖z0‖α ≤
ε
M1C̃1
eβ(τ̃
′
2−t0)
(
1 +
C̃1(M2KεQ̃+ P2N1)
ηα
)−1
.
Вiдповiдно, розв’язок z(t) задовольняє нерiвнiсть ‖z(t)‖α < ε на iнтервалi t ∈ [τ̃ ′′i +η, τ̃ ′i+1],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
486 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
якщо
‖z0‖α ≤
ε
M1C̃1
eβ(τ̃
′
i−t0)
(
1 +
C̃1(M2KεQ̃+ P2N1)
ηα
)−1
A−i+1
ε .
Оскiльки Kε → 0 при ε → 0, то при досить малих ε > 0 i N1 > 0 виконується
e−β(τ̃
′
i−t0)Ai−1ε < 1 при всiх i. Це доводить асимптотичну стiйкiсть розв’язку u0(t).
Теорему доведено.
Приклад. Розглянемо параболiчне рiвняння з нефiксованими моментами iмпульсної
дiї
ut = uxx + f(t, x), (24)
∆u|t=τj(u) = u(τj(u) + 0, x)− u(τj(u)) = cju(τj(u)), (25)
з граничними умовами Дiрiхле
u(t, 0) = u(t, π) = 0 (26)
та поверхнями iмпульсної дiї τj(u) вигляду
τj(u) = σj − bj
π∫
0
u2(ξ)dξ, (27)
де x ∈ [0, π], t ≥ 0, функцiя f(t, x) гельдерова та ω-перiодична по t i належить до L2(0, π)
при кожному фiксованому t, послiдовностi додатних чисел {bj} i {cj} p-перiодичнi, bj+p =
= bj , cj+p = cj , j ∈ Z, додатне число σ задовольняє рiвнiсть σp = ω.
Позначимо
X = L2(0, π), A = − ∂2
∂x2
, X1 = D(A) = H2(0, π) ∩H1
0 (0, π).
Оператор A є секторiальним iз простими власними числами λk = k2 i вiдповiдними
власними функцiями
ϕk(x) =
(
2
π
)1/2
sin kx, k = 1, 2, . . . .
Оператор (−A) генерує аналiтичну напiвгрупу e−At.
Для функцiї v ∈ X має мiсце розклад v =
∑∞
k=1 ak sin kx, ak =
1
π
∫ π
0
v(x) sin kxdx. Тодi
Av =
∞∑
k=1
k2ak sin kx, Aαv =
∞∑
k=1
k2αak sin kx, e−Atv =
∞∑
k=1
e−k
2tak sin kx,
а також
X1/2 = D(A1/2) = H1
0 (0, π).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 487
Розглянемо iмпульсне рiвняння (24) – (26) як абстрактне рiвняння у просторi H1
0 (0, π) :
dv
dt
+Av = f(t), (28)
v(τj(v) + 0)− v(τj(v)) = gj(v(τj(v))), (29)
де f : R×X1/2 → X, gj(v) = cjv.
Аналогiчно [1] перевiряємо, що в областi D = {v : ‖v‖1/2 ≤ ρ} з деяким ρ > 0 немає
биття, тобто розв’язки перетинають кожну з поверхонь iмпульсiв τj(v) не бiльше одного
разу.
Розглянемо простiр N p-перiодичних послiдовностей y = {yj}, yj ∈ X1/2, yj+p = yj , з
нормою ‖y‖S = supj ‖yj‖1/2.
Зафiксуємо y = {yj} ∈ N, ‖y‖S = supj ‖yj‖1/2 ≤ ρ, i розглянемо рiвняння з фiксова-
ними моментами iмпульсної дiї
dv
dt
+Av = f(t), t 6= τj(yj), (30)
v(τj(yj) + 0)− v(τj(yj)) = cjv(τj(yj)), j ∈ Z. (31)
Очевидно, що послiдовнiсть {τj(yj)} задовольняє умову перiодичностi τj+p(yj+p) −
−τj(yj) = ω. Рiвняння (30), (31) має єдиний перiодичний розв’язок v∗(t, y), який задо-
вольняє iнтегральне рiвняння
v(t, y) =
t∫
−∞
e−A(t−τ)f(τ)dτ +
∑
τj<t
e−A(t−τj(yj))cjv(τj(yj)).
Якщо вибрати перiодичну послiдовнiсть y∗ = {y∗j }, y∗j ∈ X1/2, так, що
v∗(τj(y
∗
j ), y
∗) = y∗j
для всiх j ∈ Z, то функцiя v∗(t, y∗) буде перiодичним розв’язком рiвняння (28), (29). Для
доведення у просторi N розглянемо вiдображення S : N → N,
S(y) = {v∗(τj(yj), y)}j∈Z.
Вiдображення S переводить деяку область U0 = {y ∈ N, ‖y‖S ≤ ρ} в себе. Аналогiчно
[1], застосовуючи теорему Шаудера, доводимо, що в областi U0 вiдображення S має не-
рухому точку. При достатньо малих c = supj cj та b = supj bj нерухома точка єдина. Їй
вiдповiдає єдиний у D перiодичний розв’язок рiвняння (28), (29). За доведеною теоремою
вiн є асимптотично стiйким вiдповiдно до означення 2.
1. Роговченко Ю. В., Трофимчук С. И. Периодические решения слабо нелинейных уравнений в частных
производных параболического типа с импульсным воздействием и их устойчивость. — Киев, 1986. —
44 с. — (Препринт/АН УССР. Ин-т математики; 86.65).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
488 А. В. ДВОРНИК, В. I. ТКАЧЕНКО
2. Ahmed N. U. Some remarks on the dynamics of impulsive systems in Banach spaces // Dynam. Contin. Di-
screte Impuls. Syst. Ser. A. Math. Anal. — 2001. — 8, № 2. — P. 261 – 274.
3. Barreira L., Valls C. Robustness for impulsive equations // Nonlinear Anal. — 2010. — 72, № 5. — P. 2542 –
2563.
4. Hernández E., Aki S. M. T., Henrı́quez H. Global solutions for impulsive abstract partial differential equati-
ons // Comput. Math. and Appl. — 2008. — 56, № 5. — P. 1206 – 1215.
5. Liu J. H. Nonlinear impulsive evolution equations // Dynam. Contin. Discrete Impuls. Syst. — 1999. — 6,
№ 1. — P. 77 – 85.
6. Struk O. O., Tkachenko V. I. On impulsive Lotka – Volterra systems with diffusion // Ukr. Math. J. — 2002. —
54, № 4. — P. 629 – 646.
7. Tkachenko V. I. On the exponential dichotomy of pulse evolution systems // Ukr. Math. J. — 1994. — 46,
№ 4. — P. 441 – 448.
8. Tkachenko V. Almost periodic solutions of parabolic type equations with impulsive action // Funct. Different.
Equat. — 2014. — 21, № 3 – 4. — P. 155 – 169.
9. Trofimchuk S. I. Almost periodic solutions of linear abstract impulse systems // Different. Equat. — 1996. —
31, № 4. — P. 559 – 568.
10. Vlasenko L. A., Myshkis A. D., Rutkas A. G. On a class of differential equations of parabolic type with
impulse actions // Different. Equat. — 2008. — 44, № 2. – P. 231 – 240.
11. Wang J. R., Xiang X., Peng Y. Periodic solutions of semilinear impulsive periodic system on Banach space //
Nonlinear Anal. — 2009. — 71, № 12. — P. e1344 – e1353.
12. Akhmet M. Principles of discontinuous dynamical systems. — New York: Springer, 2010. — xii + 176 p.
13. Rontó M., Trofimchuk S. I. Periodic solutions of abstract impulsive systems with non-fixed moments of impulsi-
ve effect // Publ. Univ. Miskolc. Ser. D. Nat. Sci. Math. — 1995. — 36, № 1. — P. 91 – 99.
14. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 c.
15. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A., Trofimchuk S. I. Generalized solutions of impulse systems, and the beats
phenomenon // Ukr. Math. J. — 1991. — 43, № 5. — P. 610 – 615.
16. Lakshmikantham V., Bainov D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations // Ser. Modern
Appl. Math. — Singapore: World Sci. Publ., 1989. — 6. — xii + 273 p.
17. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations // Lect. Notes Math. — Berlin; New York:
Springer-Verlag, 1981. — 840. — iv + 348 p.
18. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations // Appl. Math. Sci. —
New York: Springer-Verlag, 1983. — 44. — viii + 279 p.
Одержано 27.05.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177228 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:45:16Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. 2021-02-12T14:58:09Z 2021-02-12T14:58:09Z 2015 Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії / А.В. Дворник, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 475-488 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177228 517.9 В абстрактном банаховом пространстве получены условия устойчивости ограниченного решения нелинейного эволюционного уравнения с секториальным оператором в линейной части и нефиксированными моментами импульсного воздействия. We obtain conditions for stability of a bounded solution of a nonlinear evolution equation, in an abstract Banach space, with a sectorial operator in the linear part of the equation and unfixed times of impulsive effects. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії Об устойчивости решений эволюционных уравнений с нефиксированными моментами импульсного воздействия On stability of solutions of evolution equations with unfixed times of impulsive effects Article published earlier |
| spellingShingle | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії Дворник, А.В. Ткаченко, В.І. |
| title | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_alt | Об устойчивости решений эволюционных уравнений с нефиксированными моментами импульсного воздействия On stability of solutions of evolution equations with unfixed times of impulsive effects |
| title_full | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_fullStr | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full_unstemmed | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_short | Про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_sort | про стійкість розв'язків еволюційних рівнянь з нефіксованими моментами імпульсної дії |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177228 |
| work_keys_str_mv | AT dvornikav prostíikístʹrozvâzkívevolûcíinihrívnânʹznefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT tkačenkoví prostíikístʹrozvâzkívevolûcíinihrívnânʹznefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT dvornikav obustoičivostirešeniiévolûcionnyhuravneniisnefiksirovannymimomentamiimpulʹsnogovozdeistviâ AT tkačenkoví obustoičivostirešeniiévolûcionnyhuravneniisnefiksirovannymimomentamiimpulʹsnogovozdeistviâ AT dvornikav onstabilityofsolutionsofevolutionequationswithunfixedtimesofimpulsiveeffects AT tkačenkoví onstabilityofsolutionsofevolutionequationswithunfixedtimesofimpulsiveeffects |