О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем
Розглядається задача робастної лiнiйної стабiлiзацiї сiм’ї нелiнiйних дискретних керованих систем, що мiстить невизначеностi i нелiнiйно залежить вiд керування. Отримано достатнi умови робастної стабiлiзацiї та синтезовано лiнiйнi за станом регулятори, якi здiйснюють робастну стабiлiзацiю. Встановле...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177231 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем / В.И. Коробов, А.В. Луценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 527-539 — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634511759802368 |
|---|---|
| author | Коробов, В.И. Луценко, А.В. |
| author_facet | Коробов, В.И. Луценко, А.В. |
| citation_txt | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем / В.И. Коробов, А.В. Луценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 527-539 — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядається задача робастної лiнiйної стабiлiзацiї сiм’ї нелiнiйних дискретних керованих систем, що мiстить невизначеностi i нелiнiйно залежить вiд керування. Отримано достатнi умови робастної стабiлiзацiї та синтезовано лiнiйнi за станом регулятори, якi здiйснюють робастну стабiлiзацiю. Встановлено також необхiднi умови робастної стабiлiзацiї, близькi до достатнiх.
We consider the problem of robust linear stabilization of a family of nonlinear discrete control systems with uncertainties and nonlinear dependent control. We obtain sufficient conditions for robust stabilization and synthesize linear state regulators engaged in the robust stabilization. The obtained necessary conditions for robust stabilization are close to sufficient.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977.14
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В. И. Коробов, А. В. Луценко
Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина
пл. Свободы, 4, Харьков, 61022, Украина
e-mail: vkorobov@univer.kharkov.ua
avluts@gmail.com
We consider the problem of robust linear stabilization of a family of nonlinear discrete control systems with
uncertainties and nonlinear dependent control. We obtain sufficient conditions for robust stabilization and
synthesize linear state regulators engaged in the robust stabilization. The obtained necessary conditions for
robust stabilization are close to sufficient.
Розглядається задача робастної лiнiйної стабiлiзацiї сiм’ї нелiнiйних дискретних керованих
систем, що мiстить невизначеностi i нелiнiйно залежить вiд керування. Отримано достатнi
умови робастної стабiлiзацiї та синтезовано лiнiйнi за станом регулятори, якi здiйснюють
робастну стабiлiзацiю. Встановлено також необхiднi умови робастної стабiлiзацiї, близькi до
достатнiх.
1. Введение. Стабилизация управляемых систем является одной из сложнейших проблем
современной теории управления и интенсивно исследуется многими авторами [1 – 4, 13 –
22]. Значительное место в теории стабилизации занимает проблема робастной стабили-
зации систем [2, 4, 13, 18 – 21, 24 – 28, 31, 32], связанная с наличием неопределенностей
в математическом описании систем управления. Первым результатом в этом направле-
нии можно считать теорему А. М. Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Одним из наиболее эффективных методов исследования проблемы стабилизации нели-
нейных систем является метод функций Ляпунова, представляющий собой мощный ин-
струментарий анализа и синтеза систем управления, позволивший получить большое ко-
личество важных результатов [1, 2, 13, 15, 17, 18, 20, 22, 29].
В настоящей работе рассматривается одновременная стабилизация семейства нели-
нейных дискретных систем на базе функций Ляпунова и алгебраических уравнений Ля-
пунова. Применяется подход, основанный на методе квадратичной стабилизации [4], обе-
спечивающий существование общей функции Ляпунова для данного семейства систем.
В евклидовом пространстве рассматривается семейство нелинейных дискретных
управляемых систем
x(k + 1) = (A+A0(k, x(k)))x(k) + (B +B0(k, x(k)))u(k) + ϕ0(k, x(k), u(k)),
(k, x(k), u(k)) ∈ N0 ×Rn ×Rr,
(1)
где N0 = {0, 1, 2, . . .}, x(k) ∈ Rn — вектор состояния системы, u(k) ∈ Rr — вектор
управления. Предполагается, что A, B — заданные постоянные действительные матри-
цы размерностей n × n и n × r соответственно. Относительно действительных матриц
c© В. И. Коробов, А. В. Луценко, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 527
528 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
A0(k, x), B0(k, x) известно, что они определены в N0 ×Rn и удовлетворяют условиям
‖A0(k, x)‖ ≤ l0‖x‖ω + d, ‖B0(k, x)‖ ≤ l0‖x‖ω + d, (2)
где ω > 0, l0 ≥ 0, 0 ≤ d < d0. Относительно действительных функций ϕ0(k, x, u) извест-
но, что в N0 ×Rn ×Rr они удовлетворяют условию
‖ϕ0(k, x, u)‖ ≤ l1(‖x‖+ ‖u‖)1+ω, l1 ≥ 0. (3)
Под робастной линейной стабилизацией будем понимать общий для семейства (1)
закон управления u = Px, обеспечивающий асимптотическую устойчивость нулевых ре-
шений систем (1). Другими словами, нулевые решения систем (1) должны быть устойчи-
вы и должна существовать область притяжения начала координат, инвариантная по отно-
шению к множеству не полностью определенных функциональных параметров A0(k, x),
B0(k, x), ϕ0(k, x, u).
Будем называть первой разностью функции V (x) в силу системы
x(k + 1) = f(k, x(k)) (4)
выражение ∆V (x) = V (f(k, x))− V (x). Очевидно, что если x(k) — решение системы (4),
то
∆V (x(k)) = V (f(k, x(k))− V (x(k)) = V (x(k + 1))− V (x(k)).
Пусть:
1) C− = {λ ∈ C : |λ| < 1}, C+ = {λ ∈ C : |λ| ≥ 1};
2) I — единичная матрица соответствующих размерностей;
3) символ ∗ обозначает операцию транспонирования;
4) L = Lin (B, AB, . . . , An−1B) — линейная оболочка векторов-столбцов матриц B,
AB, . . . , An−1B;
5) σ(·) — спектр матрицы, стоящей в скобках;
6) ei — вектор, совпадающий с i-м столбцом единичной матрицы соответствующих
размерностей;
7) Rn×m — множество (n×m)-матриц.
Будем называть полином устойчивым, если его корни принадлежат шару C−.
2. Предварительный результат. Пусть A1 ∈ Rm×m, B1 ∈ Rm×r, rankB1 = r, b1, . . . , br
— столбцы матрицыB1.Известно (см. [5 – 7]), что для того, чтобы для каждого полинома
ϕ(λ) = λm + γ1λ
m−1 + . . . + γm с действительными коэффициентами γi существовала
матрица K ∈ Rr×m такая, что характеристический полином χA1+B1K(λ) матрицы A1 +
+B1K совпадает с полиномом ϕ(λ), необходимо и достаточно, чтобы rankQ = m, где
Q = (B1, A1B1, . . . , A
m−1
1 B1).
Известны алгоритмы нахождения матрицы K (см. [5, 11, 12]). В настоящей работе
используется алгоритм, предложенный в [5] и состоящий в следующем:
1. Составляем невырожденную матрицу
W = (b1, A1b1, . . . , A
m1−1
1 b1, . . . , bk, A1bk, . . . , A
mk−1bk) ∈ R m×m
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 529
из линейно независимых векторов-столбцов матрицы Q, где m1 + . . . + mk = m, mi —
наименьшее натуральное число такое, что вектор Ami
1 bi линейно зависит от предшеству-
ющих векторов матрицы W.
2. Составляем (r ×m)-матрицу
S = (0, . . . , 0, e2, 0, . . . , 0, e3, . . . , 0, . . . , 0, ek, 0, . . . , 0) ⊂ Rr×m,
где e2 — m1-й столбец, e3 — (m1 + m2)-й столбец, . . . , ek — (m1 + . . . + mk−1)-й столбец
матрицы S, ei ∈ Rr.
3. Вычисляем матрицу K1 = SW−1 ∈ Rr×m.
4. Находим характеристический полином χ
Â1
(λ) = λm + a1λ
m−1 + . . . + am матрицы
Â1 = A1 +B1K1.
5. Составляем матрицы
A0 =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
−am −am−1 −am−2 . . . −a1
,
b0 = (0, . . . , 0, 1)∗ ∈ Rm×1,
T0 = (Am−10 b0, A
m−2
0 b0, . . . , b0) ∈ Rm×m,
T1 = (Âm−11 b1, Â
m−2
1 b1, . . . , b1) ∈ Rm×m,
T = T0T
−1
1 .
6. Вычисляем вектор f = (γm − am, . . . , γ1 − a1).
7. Вычисляем матрицу
K = K1 − e1fT. (5)
Пусть dimL = m, где L = Lin (B,AB, . . . , An−1B), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×r, rankB = r,
v1, . . . , vm — базис подпространства L и vm+1, . . . , vn — базис L⊥. Образуем матрицу
F = (v1, . . . , vm, vm+1, . . . , vn). (6)
Теорема 1. Если не существует собственного вектора x0 матрицы A∗, соответ-
ствующего собственному значению изC+ и удовлетворяющего соотношению x∗0B = 0,
то включение σ(A+BP ) ⊂ C− имеет место при каждой (r × n)-матрице вида
P = KH∗F−1, (7)
где F взято из (6), H∗ = (e1, . . . , em)∗, ei — i-й столбец единичной (n× n)-матрицы,
K = SW−1 − e1fT−1, (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
530 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
W = (b1, A1b1, . . . , A
m1−1
1 b1, . . . , bk, A1bk, . . . , A
mk−1
1 bk) ∈ Rm×m, bi ∈ Rm — столбцы
матрицы B1 = H∗F−1B ∈ Rm×r, A1 = H∗F−1AFH ∈ Rm×m, m1 + . . . + mk = m,
mi — наименьшее натуральное число такое, что вектор Ami
1 bi линейно зависит от
предшествующих векторов матрицы W ; S = (0, . . . , 0, e2, 0, . . . , 0, e3, . . . , 0, . . . , 0, ek, 0, . . .
. . . , 0) ∈ R r×m, e2 —m1-й столбец, e3 — (m1+m2)-й столбец, . . . , ek — (m1+. . .+mk−1)-й
столбец матрицы S; f = (γm − am, . . . , γ1 − a1) ∈ R1×m, a1, . . . , am — коэффициен-
ты характеристического полинома χA1+B1SW−1(λ) = λm + aλm−1 + . . . + am матрицы
Â1 = A1 +B1SW
−1; γ1, . . . , γm — коэффициенты произвольного устойчивого полинома
ϕ(λ) = λm + γ1λ
m−1 + . . .+ γm с действительными коэффициентами;
T = T1T
−1
0 ,
T1 = (Âm−11 b1, Âm−21 b1, . . . , b1),
T0 = (Am−10 b0, A
m−2
0 b0, . . . , b0),
A0 =
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
−am −am−1 −am−2 . . . −a1
, b0 =
0
...
0
1
∈ Rm.
Доказательство. Вначале докажем, что для собственных значений λ матрицыA, удов-
летворяющих условию λ ∈ C+, выполняется соотношение
rank (F−1AF − λI F−1B) = n. (9)
Допустим противное. Тогда rank (F−1AF − λI F−1B) < n при некотором собственном
значении λ ∈ C+. В таком случае найдется ненулевой n-мерный вектор x0, для которого
x∗0(F
−1AF−λI F−1B) = 0, или в эквивалентной форме x∗0(F
−1AF−λI) = 0, x∗0F
−1B = 0.
Последние равенства означают, что y0 = (F−1)∗x0 — собственный вектор матрицы A∗,
соответствующий собственному значению λ ∈ C+ и удовлетворяющий соотношению
y∗0B = 0, что противоречит условию теоремы.
Покажем, что матрицы
 = F−1AF, B̂ = F−1B (10)
имеют структуру
 =
(
A1 A2
0 A3
)
, B̂ =
(
B1
0
)
,
где A1 ∈ Rm×m, A3 ∈ R(n−m)×(n−m).
Действительно, столбцы матрицы B принадлежат подпространству L. Следователь-
но, каждый из них представляет собой линейную комбинацию векторов v1, . . . , vm. По-
этому в силу (10) матрица B̂ должна иметь вид
(
B1
0
)
, где B1 – (m × r)-матрица. По-
скольку подпространство L является A-инвариантным, то Avi ∈ L, i = 1,m. В таком
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 531
случае из (10) получаем
FÂ = AF =
(
m∑
i=1
α1ivi . . .
m∑
i=1
αmivi
n∑
i=1
αm+1, ivi . . .
n∑
i=1
αn i vi
)
,
а это означает, что матрица Â должна иметь вид Â =
(
A1 A2
0 A3
)
, где A3 — квадратная
матрица порядка n−m. Теперь равенство (9) принимает вид
rank
(
A1 − λI A2 B1
0 A3 − λI 0
)
= n, λ ∈ C+. (11)
Из (11) следует, что rank (A3 − λI) = n − m при каждом λ ∈ C+. Последнее равенство
означает, что σ(A3) ⊂ C−. Покажем теперь, что
rank (B1, A1B1, . . . , A
m−1
1 B1) = m.
Действительно, учитывая, что
F−1AkB = F−1AkFF−1B = (F−1AF )k
(
B1
0
)
=
(
A1 A2
0 A3
)k (
B1
0
)
=
(
Ak1B1
0
)
,
для блочных матриц получаем цепочку равенств
m = rank (B AB . . . An−1B) = rank
(
F−1B F−1AB . . . F−1An−1B
)
=
= rank
(
B1 A1B1 . . . An−11 B1
0 0 . . . 0
)
=
= rank
(
B1 A1B1 . . . A
n−1
1 B1
)
= rank
(
B1 A1B1 . . . A
m−1
1 B1
)
.
Применив приведенный выше алгоритм при условии, что корни полинома ϕ(λ) при-
надлежат шару C−, получаем включение σ(A1 +B1K) ⊂ C−, где матрица K та же, что и
в (5).
Спектр матрицы
(
A1 +B1K A2
0 A3
)
принадлежит C−, так как имеют место включе-
ния σ(A1 +B1K) ⊂ C−, σ(A3) ⊂ C−. Из соотношений
F
(
A1 +B1K A2
0 A3
)
F−1 = A+ F
(
B1
0
)
(K 0)F−1 = A+B(K 0)
(
H∗F−1
∗
)
=
= A+BKH∗F−1 = A+BP,
где P = KH∗F−1, следует включение σ(A+BP ) ⊂ C−.
Теорема 1 доказана.
3. Основные результаты. Таким образом, теорема 1 позволяет заключить, что если
не существует собственного вектора x0 матрицы A∗, соответствующего собственному
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
532 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
значению из C+ и удовлетворяющего соотношению x∗0B = 0, то найдется (r × n)-матри-
ца P такая, что
σ(A+BP ) ⊂ C−. (12)
Используя эту матрицу P, получаем, что дискретное уравнение Ляпунова
(A+BP )∗Q(A+BP )−Q = −I (13)
имеет (см. [4, 6, 7]) единственное положительно определенное решение Q = Q(P ).
В приводимой ниже теореме 2 установлены достаточные условия робастной стабили-
зации и указаны регуляторы, осуществляющие робастную стабилизацию.
Теорема 2. Пусть для семейства (1) выполняются условия (2), (3) и не существует
собственного вектора x0 матрицы A∗, соответствующего собственному значению из
C+ и удовлетворяющего соотношению x∗0B = 0. Тогда при
d0 =
1
1 + ‖P‖
(√
‖A+BP‖2 +
1
‖Q‖
− ‖A+BP‖
)
семейство (1) робастно линейно стабилизируемо и в качестве стабилизирующего управ-
ления можно использовать u = Px, где P взято из (7), а Q — из (13).
Доказательство. Подставляя в (1) управление u = Px, получаем
x(k + 1) = (A+BP )x(k) +A0(k, x(k))x(k) +B0(k, x(k))Px(k) + ϕ0(k, x(k), Px(k)). (14)
Возьмем в качестве функции Ляпунова для полученной системы квадратичную форму
V (x) = x∗Qx,
где Q взято из (13).
Вычислим первую разность функции V (x) в силу этой системы:
∆V (x) = ((A+BP )x+A0x+B0Px+ ϕ0)
∗ Q ((A+BP )x+A0x+B0Px+ ϕ0)− x∗Qx.
Поскольку в силу (13) выполняется равенство
x∗(A+BP )∗Q(A+BP )x− x∗Qx = −‖x‖2,
то
∆V (x) = −‖x‖2 + 2ψ∗Q(A+BP )x+ ψ∗Qψ, (15)
где
ψ(k, x) = A0(k, x)x+B0(k, x)Px+ ϕ0(k, x, Px).
Из оценки
|2ψ∗Q(A+BP )x+ ψ∗Qψ| ≤ ‖x‖2
(
c1‖x‖2ω + c2‖x‖ω + c3
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 533
где
c1 = ‖Q‖(1 + ‖P‖)2(l0 + l1(1 + ‖P‖)ω)2,
c2 = ‖Q‖(l0 + l1(1 + ‖P‖)ω)(2a1(1 + ‖P‖) + 2d(1 + ‖P‖)2),
(16)
c3 = ‖Q‖(2a1d(1 + ‖P‖) + d2(1 + ‖P‖)2),
a1 = ‖A+BP‖,
следует неравенство 2ψ∗Q(A+ BP )x+ ψ∗Qψ ≤ ‖x‖2(c1‖x‖2ω + c2‖x‖ω + c3). Подставляя
его в (15), получаем
∆V (x) ≤ ‖x‖2(−1 + c1‖x‖2ω + c2‖x‖ω + c3),
откуда следует, что при
0 ≤ d <
1
1 + ‖P‖
(√
‖A+BP‖2 +
1
‖Q‖
− ‖A+BP‖
)
=
1
a2
(√
a21 +
1
‖Q‖
− a1
)
первая разность ∆V (x) удовлетворяет в шаре
‖x‖ ≤
(
−c2 +
√
c22 − 4c1(c3 − 1)
2c1
)1/ω
неравенству ∆V (x) ≤ W (x), где W (x) = ‖x‖2(−1 + c1‖x‖2ω + c2‖x‖ω + c3) — отрицатель-
но определенная в этом шаре функция. Следовательно, в указанном шаре выполнены
условия теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения уравнений (14)
(см. [33], предложение 2).
Теорема 2 доказана.
Пример 1. Рассмотрим семейство систем второго порядка
x1(k + 1) = 2x1(k) + (1 + (d− 2x22(k)) sin2 αx1(k))u(k) + (x21(k) + u2(k)) 2−α
2 k2 ,
x2(k + 1) =
1
2
x2(k) + (d+ x21(k))(cosαk)x2(k) +
x21(k) + u2(k)
1 + α2k2
,
α ∈ R.
Здесь
A =
(
2 0
0
1
2
)
, A0 =
(
0 0
0
(
d+ x21
)
cos kα
)
,
B =
(
1
0
)
, B0 =
( (
d− 2x22
)
sin2 αx1
0
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
534 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
ϕ0 =
(x21 + u2)2−α
2k2
x21 + u2
1 + α2k2
, ‖A0‖ ≤ (d+ x21)| cosαk| ≤ 2‖x‖2 + d,
‖B0‖ ≤ (d+ 2x22) sin2 αx1 ≤ 2‖x‖2 + d, ‖ϕ0‖ ≤ (x21 + u2)
√
2 ≤
√
2(‖x‖+ |u|)2.
Собственными значениями матрицы A являются λ1 = 2, λ2 =
1
2
. Вектор x0 =
(
1
0
)
является собственным вектором матрицыA∗, соответствующим собственному значению
λ1 = 2, причем x∗0B = 1. Подпространство L имеет вид L = Lin
(
1
0
)
, значит, m = 1.
Очевидно, L⊥ = Lin
(
0
1
)
.
Следовательно, F = F−1 =
(
1 0
0 1
)
.
Матрицу P вычисляем по формуле (7) : P = KH∗F−1. Так как m = 1, то H∗ = (1 0).
МатрицуK вычисляем по формуле (8):K = SW−1−e1fT−1.Имеем e1 = 1, B1 = b1 = 1,
W = 1, S = 0, A1 = 2, Â1 = 2, χ
Â1
= λ− 2, a1 = −2.
Выберем в качестве устойчивого полинома ϕ(λ) = λ, тогда γ1 = 0, f = γ1 − a1 = 2,
T1 = 1, A0 = 2, b0 = 1, T0 = 1, T = T1T
−1
0 = 1, K = −2, P = (−2 0),
A+BP =
(
0 0
0
1
2
)
, Q =
(
1 0
0
4
3
)
, ‖Q‖ =
4
3
, d0 =
1
6
,
откуда σ(A+ BP ) =
{
0,
1
2
}
, следовательно, при 0 ≤ d <
1
6
данное семейство робастно
линейно стабилизируемо управлением u = −2x1.
В приводимой ниже теореме установлены необходимые условия робастной стабили-
зации уравнений (1).
Теорема 3. Пусть для семейства (1) выполняются условия (2), (3). Для того чтобы
семейство систем (1) было робастно линейно стабилизируемым, необходимо, чтобы
не существовало собственного вектора x0 матрицыA∗, соответствующего собствен-
ному значению λj с |λj | > 1 и удовлетворяющего соотношению x∗0B = 0.
Доказательство. Пусть семейство (1) робастно линейно стабилизируемо управлением
u = Px. Подставляя в (1) управление u = Px, получаем (14).
Действуя от противного, предположим, что существует собственный вектор x0 мат-
рицы A∗, соответствующий собственному значению λj с |λj | > 1 и удовлетворяющий
соотношению x∗0B = 0.
Из равенств A∗x0 − λjx0 = 0, x∗0B = 0 следует равенство
x∗0(A+BP − λjI) = 0.
Следовательно, λj — собственное значение матрицы A+BP.
Таким образом, матрица A + BP имеет, по крайней мере, одно собственное значение
λ, удовлетворяющее условию |λ| > 1. Возможны два случая: или матрица A+BP имеет
собственные значения λ, удовлетворяющие условию |λ| ≤ 1, или все собственные значе-
ния матрицы A+BP удовлетворяют условию |λ| > 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 535
Рассмотрим вначале первый случай. Пусть T — невырожденная действительная (n×
×n)-матрица, приводящая матрицу A+BP к блочно-диагональной форме
T−1(A+BP )T =
(
A1 0
0 A2
)
,
где σ(A1) = {λ ∈ σ(A+BP ) : |λ| > 1}, σ(A2) = {λ ∈ σ(A+BP ) : |λ| ≤ 1}, A1 — матрица
размерностей m×m, A2 — матрица размерностей (n−m)× (n−m).
Подставляя в (14) x = Ty, получаем
y(k + 1) =
(
A1 0
0 A2
)
y(k) + ψ(k, y(k)), (17)
где
ψ(k, y) = T−1(A0(k, Ty)Ty +B0(k, Ty)PTy + ϕ0(k, Ty, PTy)) (18)
и удовлетворяются оценки
‖A0(k, Ty)‖ ≤ l0‖T‖ω‖y‖ω + d, ‖B0(k, Ty)‖ ≤ l0‖T‖ω‖y‖ω + d,
‖ϕ0(k, Ty, PTy)‖ ≤ l1(‖T‖+ ‖P‖‖T‖)1+ω‖y‖1+ω.
В силу линейности подстановки x = Ty нулевые решения системы (17) асимптотиче-
ски устойчивы.
Систему (17) представим в следующем виде:
y1(k + 1) = A1y1(k) + ψ1(k, y(k)), y1 ∈ Rm,
y2(k + 1) = A2y2(k) + ψ2(k, y(k)), y2 ∈ Rn−m.
(19)
Поскольку ‖ψi(k, y)‖ ≤ ‖ψ(k, y)‖, i = 1, 2, то для функций ψi(k, y) получаем в силу (18)
оценку
‖ψi(k, y)‖ ≤ ‖ψ(k, y)‖ ≤ ‖T−1(A(k, Ty)Ty +B(k, Ty)PTy + ϕ(k, Ty, PTy))‖ ≤
≤ M1‖y‖1+ω + dM2‖y‖,
где M1 = ‖T−1‖(l0‖T‖1+ω(1 + ‖P‖) + l1‖T‖1+ω(1 + ‖P‖)1+ω), M2 = ‖T−1‖ ‖T‖(1 + ‖P‖).
Обозначим minλj∈σ(A1) |λj | = 1 + γ, γ > 0 и возьмем число q > 0 такое, что 1 < q <
< 1 + γ. Тогда справедливы включения σ
(
1
q
A1
)
⊂ C+, σ
(
1
q
A2
)
⊂ C−.
В таком случае алгебраические матричные уравнения Ляпунова(
1
q
A1
)∗
Q1
(
1
q
A1
)
−Q1 = I, (20)
(
1
q
A2
)∗
Q1
(
1
q
A2
)
−Q2 = −I (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
536 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
имеют решения Q1, Q2, являющиеся положительно определенными матрицами соответ-
ствующих размерностей.
Возьмем в качестве функции Ляпунова для системы (19) квадратичную форму
V (y) = y∗1Q1y1 − y∗2Q2y2.
Очевидно, в точках y =
(
y1
0
)
, y1 6= 0, будет V (y) > 0. Вычислим первую разность
функции V (y) в силу системы (19):
∆V (y) = (A1y1 + ψ1)
∗Q1(A1y1 + ψ1)− (A2y2 + ψ2)
∗Q2(A2y2 + ψ2)− y∗1Q1y1 + y∗2Q2y2.
Поскольку в силу (20), (21) выполняются равенства
y∗1A
∗
1Q1A1 y1 = q2(‖y1‖2 + y∗1Q1 y1),
y∗2A
∗
2Q2A2 y2 = q2(−‖y2‖2 + y∗2Q2 y2),
то
∆V (y) = q2‖y‖2 + (q2 − 1)V (y) + 2ψ∗1Q1A1 y1 − 2ψ∗2Q2A2 y2 + ψ∗1Q1ψ1 − ψ∗2Q2ψ2 . (22)
Из оценки
|2ψ∗1Q1A1 y1 − 2ψ∗2Q2A2 y2 + ψ∗1Q1ψ1 − ψ∗2Q2ψ2| ≤ ‖y‖2
(
c1‖y‖2ω + c2‖y‖ω + c3
)
,
где
c1 = (‖Q1‖+ ‖Q2‖)M2
1 ,
c2 = 2(‖Q1A1‖+ ‖Q2A2‖)M1 + 2(‖Q1‖+ ‖Q2‖)dM1M2,
c3 = 2(‖Q1A1‖+ ‖Q2A2‖)dM2 + (‖Q1‖+ ‖Q2‖)d2M2
2 ,
следует неравенство
2ψ∗1Q1A1 y1 − 2ψ∗2Q2A2 y2 + ψ∗1Q1ψ1 − ψ∗2Q2ψ2 ≥ −‖y‖2
(
c1‖y‖2ω + c2‖y‖ω + c3
)
.
Подставляя это неравенство в (22), получаем
∆V (y) ≥ (q2 − 1)V (y) +
(
q2 −
(
c1‖y‖2ω + c2‖y‖ω + c3
))
‖y‖2,
откуда следует, что при
d <
−(‖Q1A1‖+ ‖Q2A2‖) +
√
(‖Q1A1‖+ ‖Q2A2‖)2 + (‖Q1‖+ ‖Q2‖)q2
(‖Q1‖+ ‖Q2‖)‖T−1‖ ‖T‖(1 + ‖P‖)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 537
в шаре
‖y‖ ≤
(
−c2 +
√
c22 − 4c1(c3 − q2)
2c1
)1/ω
выполняется неравенство
∆V (y) ≥ (q2 − 1)V (y). (23)
Если через y(k, k0, y0) обозначить решение уравнения (17), удовлетворяющее начальному
условию y(k0, k0, y0) = y0, то из (23) вытекает, что
V (y(k + 1, k0, y0)) ≥ (q2)k−k0+1V (y0),
откуда следует, что нулевое решение уравнения (17) неустойчиво. Противоречие.
Теперь рассмотрим второй случай. Поскольку все собственные значения матрицыA+
+BP принадлежат множеству {λ : |λ| > 1}, то матричное уравнение Ляпунова
(A+BP )∗Q(A+BP )−Q = I (24)
имеет единственное положительно определенное решение Q. В качестве функции Ляпу-
нова для системы (14) возьмем квадратичную форму V (x) = x∗Qx.
Вычислим первую разность функции V (x) в силу этой системы:
∆V (x) = ((A+BP )x+A0x+B0Px+ ϕ0)
∗Q((A+BP )x+A0x+B0Px+ ϕ0)− x∗Qx.
Поскольку из (24) следует равенство
x∗(A+BP )∗Q(A+BP )x− x∗Qx = ‖x‖2,
то
∆V (x) = ‖x‖2 + 2ψ∗Q(A+BP )x+ ψ∗Qψ, (25)
где
ψ(k, x) = A0(k, x)x+B0(k, x)Px+ ϕ0(k, x, Px).
Из оценки
|2ψ∗Q(A+BP )x+ ψ∗Qψ| ≤ ‖x‖2(c1‖x‖2ω + c2‖x‖ω + c3),
где ci взято из (16), следует неравенство 2ψ∗Q(A + BP )x + ψ∗Qψ ≥ −‖x‖2(c1‖x‖2ω +
+c2‖x‖ω + c3). Подставляя это неравенство в (25), получаем
∆V (x) ≥ ‖x‖2(1− c1‖x‖2ω − c2‖x‖ω − c3),
откуда следует, что при
0 ≤ d <
1
1 + ‖P‖
(√
‖A+BP‖2 +
1
‖Q‖
− ‖A+BP‖
)
=
1
a2
(√
a21 +
1
‖Q‖
− a1
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
538 В. И. КОРОБОВ, А. В. ЛУЦЕНКО
первая разность ∆V (x) удовлетворяет в шаре
‖x‖ ≤
(
−c2 +
√
c22 − 4c1(c3 − 1)
2c1
)1/ω
неравенству ∆V (x) ≥ W (x), где W (x) = ‖x‖2(1− c1‖x‖2ω− c2‖x‖ω− c3) — положительно
определенная в этом шаре функция. Следовательно, в этом шаре выполнены условия
теоремы о неустойчивости нулевого решения уравнений (14) (см. [33], предложение 4).
Таким образом, управление u = Px не стабилизирует семейство (1). Противоречие.
Теорема 3 доказана.
Пример 2. Заменив в семействе систем примера 1 матрицу A =
(
2 0
0
1
2
)
матрицей
A =
2
1
2
1
1
2
, вектор B =
(
1
0
)
вектором B =
(
1
−1
)
, убедимся, что полученное
новое семейство систем удовлетворяет условиям теоремы 3 и, следовательно, не является
робастно линейно стабилизируемым.
4. Выводы. В настоящей работе для семейства объектов
x(k + 1) = (A+A0(k, x(k)))x(k) + (B +B0(k, x(k)))u(k) + ϕ0(k, x(k), u(k)),
нелинейных по управлению и с функциональными неопределенностями, синтезируется
множество общих линейных по состоянию регуляторов u = Px, обеспечивающих ро-
бастную линейную стабилизацию данного семейства. Проводится оценка допустимого
значения параметра d для каждого стабилизирующего регулятора. В основу синтеза по-
ложен метод квадратичной стабилизации.
1. Коробов В. И. Метод функции управляемости. — М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2007. — 576 с.
2. Коробов В. И., Луценко А. В. Робастная стабилизация одного класса нелинейных систем // Автомати-
ка и телемеханика. — 2014. — Вып. 8. — С. 99 – 112.
3. Коробов В. И., Луценко А. В. Стабилизация линейных автономных дискретных систем // Вiсн. Харкiв.
нац. ун-ту. Сер. Математика, прикл. математика i механiка. — 2005. — № 711. — C. 28 – 36.
4. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 с.
5. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 c.
6. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. — 312 c.
7. Зубов В. И. Теория уравнений управляемого движения. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 288 с.
8. Langenhop C. E. On the stabilization of linear systems // Proc. Amer. Math. Soc. — 1964. — 15, № 5. —
P. 735 – 742.
9. Popov V. M. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Rev. roum.
sci. techn. Sér. élecfrotechn. et énerg. — 1964. — 9. — P. 629 – 690.
10. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Trans. Automat.
Contr. — 1967. — 12, № 6. — P. 660 – 665.
11. Wonham W. M. Linear multivariable control: a geometric approach. — Springer-Verlag, 1979.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
О РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ОДНОГО КЛАССА . . . 539
12. Polderman J. W., Willems J. C. Introduction to mathematical systems theory: a behavioral approach. — Springer-
Verlag, 1998. — 424 p.
13. Qu Z. Global stabilization of nonlinear systems with a class of unmatched uncertainties // Syst. and Contr.
Lett. — 1992. — 18. — P. 301 – 307.
14. Boyd S. L., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in systems and control theory. —
Philadelphia: SIAM, 1994. — 193 p.
15. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A., Chilali M. LMI control toolbox. — Natick, MA: Math. Works, 1995.
16. Cao Y., Sun Y., Mao W. Output feedback decentralized stabilization: ILMI approach // Syst. and Contr.
Lett. — 1998. — 35. — P. 183 – 194.
17. Nguang S., Fu M. Global quadratic stabilization of a class of nonlinear systems // Int. J. Robust Nonlinear
Contr. — 1998. — 8. — P. 483 – 497.
18. Battilotti S. Robust stabilization of nonlinear systems with pointwise norm-bounded uncertainties: a control
Lyapunov function approach // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1999. — 44, № 1. — P. 3 – 17.
19. Dullerud G., Paganini F. A course in robust control theory — a convex approach. — New York: Springer,
2000.
20. Siljak D., Stipanovic D. Robust stabilization of nonlinear systems // Math. Probl. Eng. — 2000. — 6. —
P. 461 – 493.
21. Stipanovic D., Siljak D. Robust stability and stabilization of discretetime non-linear systems: The LMI approach
// Int. J. Contr. — 2001. — 74. — P. 873 – 879.
22. Khalil N. K. Nonlinear systems. — New York: Prentice Hall, 2002.
23. Zak S. H. Systems and control. — Oxford: Oxford Univ. Press, 2002.
24. Ho D., Lu G. Robust stabilization for a class of discrete-time non-linear systems via output feedback: the
unified LMI approach // Int. J. Contr. — 2003. — 76. — P. 105 – 115.
25. Zuo Z., Wang J., Huang L. Robust stabilization for non-linear discrete-time systems // Int. J. Contr. — 2004. —
77. — P. 384 – 388.
26. Yu M., Wang L., Chu T. Robust stabilization of nonlinear sampled-data systems // Amer. Contr. Conf. —
2005. — P. 3421 – 3426.
27. Amato F. Robust control of linear systems subject to uncertain time-varying parameters. — Berlin: Springer-
Verlag. 2006.
28. Zuber I. E., Gelig A. Kh. Synthesis of robust stabilizing control for nonlinear systems // ENOC-2008. — St.
Peterburgs, 2008. — 4.
29. Sun Y. G, Wang L. Stabilization of planar discrete-time switched systems: switched Lyapunov functional
approach // Nonlinear Anal. Hybrid Syst. — 2008. — 2. — P. 1062 – 1068.
30. Zhang W., Abate A., Hu J., Vitus M. P. Exponential stabilization of discrete-time switched linear systems //
Automatica. — 2009. — 45. — P. 2526 – 2536.
31. Jabri D., Guelton K., Manamanni N., Jaadari A., Chinh C. Robust stabilization of nonlinear systems based
on a switched fuzzy control law // CEAI. — 2012. — 14, № 2. — P. 40 – 49.
32. Rajchakit G., Rojsiraphisal T., Rajchakit M. Robust stability and stabilization of uncertain switched discrete-
time systems // Adv. Difference Equat. — 2012. — 134. — P. 1 – 15.
33. Hahn W. Uber die Anwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen // Math. Ann. —
1958. — 136. — S. 430 – 441.
Получено 31.03.15,
после доработки — 29.07.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177231 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:44Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коробов, В.И. Луценко, А.В. 2021-02-12T15:14:08Z 2021-02-12T15:14:08Z 2015 О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем / В.И. Коробов, А.В. Луценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 527-539 — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177231 517.977.14 Розглядається задача робастної лiнiйної стабiлiзацiї сiм’ї нелiнiйних дискретних керованих систем, що мiстить невизначеностi i нелiнiйно залежить вiд керування. Отримано достатнi умови робастної стабiлiзацiї та синтезовано лiнiйнi за станом регулятори, якi здiйснюють робастну стабiлiзацiю. Встановлено також необхiднi умови робастної стабiлiзацiї, близькi до достатнiх. We consider the problem of robust linear stabilization of a family of nonlinear discrete control systems with uncertainties and nonlinear dependent control. We obtain sufficient conditions for robust stabilization and synthesize linear state regulators engaged in the robust stabilization. The obtained necessary conditions for robust stabilization are close to sufficient. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем Про робастну стабілізацію одного класу нелінійних дискретних систем On robust stabilization of a certain class of nonlinear discrete systems Article published earlier |
| spellingShingle | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем Коробов, В.И. Луценко, А.В. |
| title | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| title_alt | Про робастну стабілізацію одного класу нелінійних дискретних систем On robust stabilization of a certain class of nonlinear discrete systems |
| title_full | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| title_fullStr | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| title_full_unstemmed | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| title_short | О робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| title_sort | о робастной стабилизации одного класса нелинейных дискретных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177231 |
| work_keys_str_mv | AT korobovvi orobastnoistabilizaciiodnogoklassanelineinyhdiskretnyhsistem AT lucenkoav orobastnoistabilizaciiodnogoklassanelineinyhdiskretnyhsistem AT korobovvi prorobastnustabílízacíûodnogoklasunelíníinihdiskretnihsistem AT lucenkoav prorobastnustabílízacíûodnogoklasunelíníinihdiskretnihsistem AT korobovvi onrobuststabilizationofacertainclassofnonlineardiscretesystems AT lucenkoav onrobuststabilizationofacertainclassofnonlineardiscretesystems |