Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками
Побудовано нову математичну модель взаємодiї двох резонансних поверхневих хвиль у об’ємi мiж двома цилiндричними оболонками скiнченної довжини. При реалiзацiї резонансних умов для хрестоподiбної та осесиметричної мод було вперше знайдено й описано хаотичнi усталенi режими. Також дослiджено регулярнi...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177232 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками / Т.С. Краснопольская, Е.Д. Печук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 540-554 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177232 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д. 2021-02-12T15:14:21Z 2021-02-12T15:14:21Z 2015 Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками / Т.С. Краснопольская, Е.Д. Печук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 540-554 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177232 532.5 Побудовано нову математичну модель взаємодiї двох резонансних поверхневих хвиль у об’ємi мiж двома цилiндричними оболонками скiнченної довжини. При реалiзацiї резонансних умов для хрестоподiбної та осесиметричної мод було вперше знайдено й описано хаотичнi усталенi режими. Також дослiджено регулярнi режими, описано їх фазовi портрети та частотнi спектри. We construct a new mathematical model for an interaction of two resonant surface waves in a volume between two cylindrical shells having finite length. Existence of chaotic attractors was established for the system satisfying resonant conditions for cross-waves and forced waves for the first time. We also study regular states of the system, describe their phase portraits, and frequency spectrum. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками Хрестоподібні поверхневі хвилі між скінченними циліндричними оболонками Cross-like surface waves between finite cylindrical shells Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| spellingShingle |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д. |
| title_short |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| title_full |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| title_fullStr |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| title_full_unstemmed |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| title_sort |
крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками |
| author |
Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д. |
| author_facet |
Краснопольская, Т.С. Печук, Е.Д. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Хрестоподібні поверхневі хвилі між скінченними циліндричними оболонками Cross-like surface waves between finite cylindrical shells |
| description |
Побудовано нову математичну модель взаємодiї двох резонансних поверхневих хвиль у об’ємi мiж двома цилiндричними оболонками скiнченної довжини. При реалiзацiї резонансних умов для хрестоподiбної та осесиметричної мод було вперше знайдено й описано хаотичнi усталенi режими. Також дослiджено регулярнi режими, описано їх фазовi портрети та частотнi спектри.
We construct a new mathematical model for an interaction of two resonant surface waves in a volume between two cylindrical shells having finite length. Existence of chaotic attractors was established for the system satisfying resonant conditions for cross-waves and forced waves for the first time. We also study regular states of the system, describe their phase portraits, and frequency spectrum.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177232 |
| citation_txt |
Крестовидные поверхностные волны между конечными цилиндрическими оболочками / Т.С. Краснопольская, Е.Д. Печук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 540-554 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT krasnopolʹskaâts krestovidnyepoverhnostnyevolnymeždukonečnymicilindričeskimioboločkami AT pečuked krestovidnyepoverhnostnyevolnymeždukonečnymicilindričeskimioboločkami AT krasnopolʹskaâts hrestopodíbnípoverhnevíhvilímížskínčennimicilíndričnimiobolonkami AT pečuked hrestopodíbnípoverhnevíhvilímížskínčennimicilíndričnimiobolonkami AT krasnopolʹskaâts crosslikesurfacewavesbetweenfinitecylindricalshells AT pečuked crosslikesurfacewavesbetweenfinitecylindricalshells |
| first_indexed |
2025-11-25T21:29:34Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:29:34Z |
| _version_ |
1850558069484814336 |
| fulltext |
УДК 532.5
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ
МЕЖДУ КОНЕЧНЫМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ОБОЛОЧКАМИ
Т. С. Краснопольская, Е. Д. Печук
Ин-т гидромеханики НАН Украины
ул. Желябова, 8/4, Киев, 03057, Украина
e-mail: t.krasnopolskaya@tue.nl
uzuzun@i.ua
We construct a new mathematical model for an interaction of two resonant surface waves in a volume
between two cylindrical shells having finite length. Existence of chaotic attractors was established for the
system satisfying resonant conditions for cross-waves and forced waves for the first time. We also study
regular states of the system, describe their phase portraits, and frequency spectrum.
Побудовано нову математичну модель взаємодiї двох резонансних поверхневих хвиль у об’ємi
мiж двома цилiндричними оболонками скiнченної довжини. При реалiзацiї резонансних умов для
хрестоподiбної та осесиметричної мод було вперше знайдено й описано хаотичнi усталенi ре-
жими. Також дослiджено регулярнi режими, описано їх фазовi портрети та частотнi спектри.
1. Введение. Выбор подходящей модели изучаемого явления во многом определяет успех
решения задачи. Данная работа посвящается светлой памяти профессора В. В. Мелешко
[17], объяснившего решение задачи о крестовидных волнах на поверхности жидкости ме-
тодом суперпозиции. Известно, что колеблющиеся тела, погруженные полностью или
частично в жидкость, могут генерировать различные типы волн на свободной поверхно-
сти жидкости [6]. Примером может служить формирование так называемых „крестовид-
ных волн” , впервые обнаруженных Фарадеем в 1831 г. и подробно описанных им в зна-
менитой работе, посвященной волнам на поверхности слоя жидкости [13]. В своих экспе-
риментах Фарадей наблюдал возникновение крестовидных волн на поверхности жидкос-
ти перпендикулярно направлению горизонтальных колебаний пластины, погруженной в
жидкость. Крестовидные волны — это волны, перпендикулярные (отсюда их название)
направлению движения волнопродуктора, а их частота равна половине частоты коле-
баний волнопродуктора. Математические трудности, возникающие при их анализе, обу-
словлены тем фактом, что линеаризованные уравнения не описывают механизм их воз-
никновения и передачу энергии от движения волнопродуктора в такого рода волны.
Крестовидные волны были объектом многих исследований в течение последних пя-
тидесяти лет (подробный обзор см. в [26]). Гаррет [14] впервые показал, что волнопродук-
тор возбуждает колебания среднего уровня жидкости, которые и являются возбудителем
крестовидных волн. Однако при этом он отметил, что колебания среднего уровня свобод-
ной поверхности могут быть малы и недостаточны для возбуждения крестовидных волн.
Поэтому крестовидные волны должны подпитываться энергией непосредственно от вол-
нопродуктора [17]. В работах Бейкер и Майлса [10, 11] рассмотрено поведение крестовид-
ных волн в кольцевой области жидкости, вызванных радиальными колебаниями внутрен-
него цилиндра. Авторы использовали модификацию решения [15] задачи для бесконечно
глубокого бассейна. В работах [3, 4] переход от продольных волн к крестовидным изучал-
c© Т. С. Краснопольская, Е. Д. Печук, 2015
540 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 541
ся при деформации поверхности внутреннего цилиндра, вызванной вращением кулачка
в среднем сечении. Теоретический подход, применявшийся в этих работах, основывался
на вариационном принципе [21]. В данной статье рассматривается такой же резервуар
с водой, но применяется другой метод для решения задачи, а именно метод суперпози-
ции Ламе [1, 2, 9, 19, 22, 23]. Этот метод позволяет построить простую математическую
модель, которая показывает, как крестовидная волна может генерироваться непосред-
ственно при движении волнопродуктора без учета каких-либо осесимметричных волн на
свободной поверхности [17]. Эта новая математическая модель возбуждения резонанс-
ных крестовидных волн может быть простейшим объяснением формирования волновой
картины на свободной поверхности жидкости. Она также дает условия устойчивости сис-
темы и описывает влияние различных собственных форм колебаний свободной поверх-
ности жидкости с собственными частотами, близкими к частоте возбуждения или к час-
тоте резонансной крестовидной моды. Отметим, что частотный спектр колебаний сво-
бодной поверхности ограниченного объема жидкости является очень плотным [6, 7], так
что эти формы могут рассматриваться тоже как находящиеся в параметрическом резо-
нансе.
2. Постановка задачи и теоретический анализ. Целью настоящего исследования яв-
ляется рассмотрение стоячих волн на свободной поверхности жидкости в объеме между
двумя цилиндрическими оболочками. Для данной геометрии области жидкости естествен-
ным является использование цилиндрической системы координат (r, θ, x), где r — ради-
альная координата, θ — угловая координата, x — осевая координата. Положению невоз-
мущенной свободной поверхности жидкости соответствует x = 0, а дно резервуара —
x = −d. Жидкость в покое расположена между жестким внешним цилиндром радиуса
r = R2 и внутренним цилиндром радиуса R1. Пусть внутренняя оболочка совершает ра-
диальные колебания, которые описываются уравнением вида
χ(x, t) = a1 cosωt cos ηx, (1)
где η = π/d0, d0 = 2d, ω — частота колебаний поверхности оболочки. Заметим, что d0
равно удвоенной глубине воды d, так что максимальная амплитуда вибрации соответст-
вует свободной поверхности жидкости.
Из результатов экспериментальных наблюдений, проведенных при различных часто-
тах возбуждения, следует [17], что несмотря на строго осесимметричные радиальные
колебания внутренней оболочки, существуют два типа резонансных режимов. Первый
тип является вынужденным резонансом, при котором волны на свободной поверхно-
сти являются круговыми, с частотой, равной частоте возбуждения ω. Второй тип резо-
нанса является так называемым параметрическим резонансом, при котором возбужда-
емые волны являются крестовидными, т. е. с гребнями и впадинами, расположенными
перпендикулярно направлению вибрации стенки внутренней оболочки. Последний тип
резонанса возникает вследствие разрушения симметрии (так как возбуждение строго
осесимметричное, т. е. без азимутальных форм) на частоте приблизительно равной 0, 5ω.
Кроме того, в рассмотренных в экспериментах [17] случаях энергия, которую несут пара-
метрически возбуждаемые крестовидные волны, по крайней мере в 20 раз больше, чем
энергия, содержащаяся в непосредственно возбуждаемых осесимметричных волнах. На
основе этого факта было сделано заключение, что крестовидные волны получают энер-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
542 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
гию непосредственно от волнопродуктора, а не от осесимметричных (или других) волн с
частотой ω, так как последние содержат лишь малую часть волновой энергии.
Рассмотрим теоретические аспекты генерации волн на свободной поверхности жид-
кости в объеме между двумя цилиндрическими оболочками. Внутренний цилиндр дей-
ствует как волнопродуктор и колеблется гармонически таким образом, что положение
стенки внутреннего цилиндра определяется выражением r(x, t) = R1+χ(x, t), где χ опре-
делено в (1). Полагая, что жидкость является невязкой и несжимаемой, а ее движение
будет безвихревым, можно записать для поля скоростей v = ∇ϕ, где ϕ(r, θ, x, t) — потен-
циал скорости жидкости. Тогда для потенциала скоростей жидкости имеем уравнение
∇2ϕ = 0 при R1 + χ1 ≤ r ≤ R2, 0 ≤ θ ≤ 2π, −d ≤ x ≤ ζ, (2)
где ζ(r, θ, t) — смещение свободной поверхности.
Динамические и кинематические условия на свободной поверхности имеют следую-
щий вид:
ϕt + 1/2(∇ϕ)2 + gζ =
T
ρ
[
∇2ζ − 1
2
∇ζ · ((∇ζ)2∇ζ)
]
+ F (t) при x = ζ(r, θ, t), (3)
ϕx = ∇ϕ · ∇ζ + ζt при x = ζ(r, θ, t), (4)
где g — ускорение силы тяжести, T — коэффициент поверхностного натяжения на гра-
нице воздух-вода, ρ — плотность жидкости, F (t) — произвольная функция времени [8].
Здесь и далее индексы x, r, θ, t обозначают частные производные.
Нормальная скорость жидкости равна нулю на жестких границах:
ϕr = 0 при r = R2,
ϕx = 0 при x = −d,
кинематическое условие на колеблющемся внутреннем цилиндре записывается следую-
щим образом:
ϕr = χt +∇ϕ · ∇χ при r = R1 + χ1(x, t). (5)
Полагаем также, что ζr = 0 при r = R1 и r = R2.
Из экспериментальных наблюдений можно заключить, что формирование опреде-
ленной волновой картины имеет резонансный характер, каждая отдельная структура
имеет свою „собственную” частоту, реализуясь в узких частотных интервалах. Полага-
ем, что эти волновые структуры могут быть аппроксимированы такими динамическими
характеристиками, как собственные формы, которые определяются соответствующей
линейной теорией. Амплитуды колебаний по собственным формам будут определяться
из решения нелинейной задачи.
Решение линейной неосесимметричной краевой задачи
∇2ϕ = 0 при R1 ≤ r ≤ R2, 0 ≤ θ ≤ 2π, −d ≤ x ≤ 0, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 543
ϕx = ζt при x = 0,
ϕx = 0 при x = −d,
ϕr = 0 при r = R2,
ϕr = wt(θ, x, t) при r = R1,
ϕθ|θ=0 = ϕθ|θ=2π
при произвольных колебаниях внутренней цилиндрической оболочки w(θ, x, t) может
быть найдено несколькими способами. Один из них описан в статье Стокса 1847 г. (см.
[12], § 128) и известен также как метод Гринберга [20] (гл. V). Здесь потенциал ϕ пред-
ставлен в виде рядов Фурье по полной системе собственных функций по радиальной и
азимутальной координатам с коэффициентами — функциями координаты x.
При использовании представления производных по r в виде рядов Фурье неоднород-
ное граничное условие при r = R1 трансформируется в правую часть уравнения (6). Ре-
шения последовательности неоднородных линейных дифференциальных уравнений по
x для коэффициентов разложения с неоднородными граничными условиями по x могут
быть легко найдены аналитически. Однако этот подход приводит к громоздким уравне-
ниям, в которые перемещения волнопродуктора w(θ, x, t) не входят в явном виде. Для
получения более ясной картины передачи энергии от волнопродуктора поверхностным
волнам более уместно использовать другой аналитический метод, а именно метод супер-
позиции. Применение данного метода, безусловно, предпочтительно для рассматривае-
мой проблемы. Он дает ясную физическую картину передачи энергии от волнопродукто-
ра в колебания среднего уровня жидкости и в колебания по каждой собственной форме.
Идею метода суперпозиции впервые выдвинул Ламе [19] в своих классических лекци-
ях по теории упругости. Подобный метод применен в [16] для исследования движущихся
гравитационных капиллярных волн, вызываемых волнопродуктором.
Согласно этому методу потенциал ϕ может быть записан в виде суммы трех гармони-
ческих функций:
ϕ = ϕ0 + ϕ1 + ϕ2. (7)
Потенциал ϕ0 является решением следующей осесимметричной граничной задачи:
∇2ϕ0 = 0 при R1 ≤ r ≤ R2, 0 ≤ θ ≤ 2π, −d ≤ x ≤ 0, (8)
(ϕ0)x = (ζ0)t при x = 0,
(ϕ0)x = 0 при x = −d,
(ϕ0)r = 0 при r = R2, (9)
(ϕ0)r = (w0)t при r = R1,
(ϕ1)θ|θ=0 = (ϕ1)θ|θ=2π ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
544 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
где
ζ0(t) =
1
π(R2
2 −R2
1)
2π∫
0
R2∫
R1
ζ(r, θ, t)rdrdθ,
w0(t) =
1
2πR1d
2π∫
0
0∫
−d
w(θ, x, t)R1dxdθ
— соответственно колебания среднего уровня свободной поверхности жидкости и усред-
ненное перемещение цилиндрического волнопродуктора. Эти величины связаны соотно-
шением
(ζ0)tπ(R2
2 −R2
1)− 2πdR1(w0)t = 0, (10)
выражающим закон сохранения массы для несжимаемой жидкости. Таким образом, для
рассматриваемого случая движения волнопродуктора (1) из выражения (10) легко полу-
чить для колебаний среднего уровня жидкости соотношение
ζ00(t) =
4R1d
π(R2
2 −R2
1)
(a1 cosωt).
Потенциал ϕ1 определяется из следующей линейной задачи:
∇2ϕ1 = 0 при R1 ≤ r ≤ R2, 0 ≤ θ ≤ 2π, −d ≤ x ≤ 0, (11)
(ϕ1)x = (ζ − ζ0)t при x = 0, (12а)
(ϕ1)x = 0 при x = −d, (12б)
(ϕ1)r = 0 при r = R2, (12в)
(ϕ1)r = 0 при r = R1, (12г)
(ϕ1)θ|θ=0 = (ϕ1)θ|θ=2π , (12д)
где граничные условия в радиальном направлении являются однородными, а в азимуталь-
ном направлении — периодическими. Таким образом, ϕ1 будет выражаться в виде суммы
по полным системам собственных функций в радиальном и азимутальном направлениях.
Для потенциала ϕ2 граничная задача формулируется следующим образом:
∇2ϕ2 = 0 при R1 ≤ r ≤ R2, 0 ≤ θ ≤ 2π, −d ≤ x ≤ 0, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 545
(ϕ2)x = 0 при x = 0, (14а)
(ϕ2)x = 0 при x = −d, (14б)
(ϕ2)r = 0 при r = R2, (14в)
(ϕ2)r = (w − w0)t при r = R1, (14г)
(ϕ2)θ|θ=0 = (ϕ2)θ|θ=2π . (14д)
Потенциал ϕ2 может быть представлен в виде суммы по собственным функциям в верти-
кальном (однородные граничные условия (14а) и (14б)) и окружном (условие периодич-
ности (14д)) направлениях.
Потенциалϕ2 не вызывает изменений скорости перемещений ζ на поверхности x = 0.
Однако он создает компоненту давления, которая, как следует из (3), формирует движе-
ние свободной поверхности. Эта компонента имеет частоту возбуждения, равную часто-
те w(θ, x, t) в линейном приближении задачи.
Следует отметить, что краевые задачи (8), (9), (11), (12) и (13), (14) являются задачами
типа Неймана, когда задана нормальная производная гармонической функции. Для полу-
чения решения без особенностей в угловых точках вторая теорема Грина требует, чтобы
эти заданные значения удовлетворяли условиям нулевого потока через границу. Очевид-
но, что это свойство удовлетворяется для всех трех граничных задач. Решение краевой
задачи для ϕ0 может быть легко найдено в виде
ϕ0(r, θ, t) = −ẇ0(t)
R1
R2
2 −R2
1
(
r2
2
−R2
2 ln r
)
+ ζ̇0
(d+ x)2
2d
(здесь точка означает производную по времени), который тождественно удовлетворяет
уравнению Лапласа (8), что обеспечивается соотношением (10).
Решение линейной задачи (11), (12) для ϕ1 может быть представлено в виде
ϕ1 =
∞∑
i=0
∞∑
j=1
ϕc,si j (t)
chki j(x+ d)
Ni jchki jd
ψc,si j (r, θ) (15)
по полным системам азимутальных (cos iθ, sin iθ) и радиальных собственных функций
χi j(ki jr) = Ji(ki jr)−
J ′i(ki jR1)
Y ′i (ki jR1)
Yi(ki jr)
с некоторыми произвольными амплитудами ϕc,si j (t). В решении (15) используются обо-
значения [10, 11]
ψci j(r, θ) = χi j(ki jr)(cos iθ), ψsi j(r, θ) = χi j(ki jr)(sin iθ),
где Ji и Yi — соответственно функции Бесселя i-го порядка первого и второго рода,Ni j —
постоянная нормализации, которая находится из соотношения
N2
i j =
2π∫
0
R2∫
R1
(ψc,si j )2rdrdθ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
546 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
индекс c (или s) означает, что в качестве окружной собственной функции выбрана функ-
ция cos iθ (или sin iθ), ki j — корни уравнения
J ′i(ki jR2)− J ′i(ki jR1)
Y ′i (ki jR1)
Y ′i (ki jR2) = 0.
Система функций ψc,si j (r, θ) при i = 0, 1, 2, . . . и j = 1, 2, 3, . . . является полной орто-
гональной системой, поэтому любая кусочно-непрерывная функция переменных r и θ
может быть представлена с использованием процедуры Фурье разложения в ряд [2, 9, 22,
23].
Таким образом, перемещение свободной поверхности ζ(r, θ, t) − ζ0(t) может быть за-
писано так:
ζ(r, θ, t)− ζ0(t) =
∞∑
i=0
∞∑
j=1
ζc,si j (t)
ψc,si j (r, θ)
Ni j
. (16)
Граничное условие (12а) дает соотношение между амплитудами рядов (15) и (16) в
виде
ϕc,si j (t) = ζ̇c,si j (t)(ki jthki jd)−1.
Потенциал скорости ϕ2(r, θ, x, t) может быть записан в виде обычных рядов Фурье по
полным системам cosαlx (с αl = lπ/d) и cos iθ или sin iθ, так что общее решение имеет
вид
ϕ2 =
∞∑
i=0
∞∑
l=1
Φc,s
il (t)cosαlxχ̂il(αlr)(cos iθ, sin iθ),
где
χ̂il(αlr) = Ii(αlr)−
I ′i(αjR2)
K ′i(αjR2)
Ki(αlr),
Ii и Ki — соответственно модифицированные функции Бесселя i-го порядка первого и
второго рода.
Используя граничное условие (14г), можно непосредственно определить амплиту-
ды Φc,s
il (t):
Φc,s
il (t) = ẇc,sil (t) =
2− δi0
dπαlχ̂
′
il(αlR1)
2π∫
0
0∫
−d
[ẇ(θ, x, t)− ẇ0(t)] cosαlx(cos iθ, sin iθ)R1dxdθ,
где δi0 — дельта-функция Дирака, χ̂′0 l(z) = dχ̂0 l(z)/dz.
Для определения неизвестных функций ζc,si j (t), представляющих амплитуды непосред-
ственно возбуждаемых волн на свободной поверхности, мы применяем линеаризованное
динамическое условие на свободной поверхности (3):
ϕt + gζ − T
ρ
∇2ζ = F (t) при x = 0, (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 547
где ϕ — полный потенциал скорости согласно (7). Подстановка (7) в (17) приводит к
функциональному уравнению по r в интервале (R1, R2). Представляя радиальные функ-
ции r2/2−R2
2 ln r и χ̂il(αlr) в виде разложений
r2
2
−R2
2 ln r = a00 +
∞∑
j=1
a0j
χ0j(k0jr)
N0j
,
χ̂il(αlr) = bil0 +
∞∑
j=1
bilj
χi j(ki jr)
Ni j
,
где коэффициенты a00, a0j , bi0l и bilj могут быть найдены непосредственным интегрирова-
нием, мы можем записать бесконечную систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений для функций ζc,si j (t):
ζ̈0j(t) + ω2
0jζ0j(t) = ẅ0(t)
a0jβ0jR1
R2
2 −R2
1
−
∞∑
l=1
ẅc0l(t)b0ljβ0j , (18а)
ζ̈c,si j (t) + ω2
i jζi j(t) = −
∞∑
l=1
ẅc,sil (t)biljβi j , (18б)
где βi j = ki jthki jd и
ωi j =
[(
gki j +
T
ρ
k3
i j
)
thki jd
]1/2
, i = 0, 1, 2, . . . , j = 1, 2, 3, . . . .
Линейные уравнения (18а), (18б) представляют традиционные уравнения для случая
вынужденных колебаний с собственной частотой ωi j . Решая эти линейные дифферен-
циальные уравнения при заданных начальных условиях и заданных w0(t), wc,sil (t), можно
легко получить амплитуды ζi j(t) колебаний свободной поверхности жидкости в явном
виде.
Далее этот же метод применяется для определения параметров резонансных собствен-
ных форм при решении нелинейных задач. Для этого сначала используются нелинейные
граничные условия (5) для определения амплитуды потенциала ϕ2 при разложении в ря-
ды по функциям cosαlx и (cos iθ, sin iθ). Вторым шагом является определение соотноше-
ний между амплитудами потенциала ϕ1, функций ϕi j(t) и амплитудами ζi j(t) свободной
поверхности жидкости в соответствии с граничными условиями (4). И наконец, учитыва-
ется динамическое условие (3) для получения нелинейных дифференциальных уравнений
для определения резонансных амплитуд при заданном воздействии (1).
3. Хаотические установившиеся режимы при двухмодовой аппроксимации. Как пока-
зывают графики спектральных мощностей экспериментальных крестовидных резонанс-
ных волн на поверхности жидкости [17], волновую картину прежде всего составляют са-
ми крестовидные волны с частотой 1/2ω и вынужденные резонансные волны с частотой
ω. Поэтому аппроксимируем волны на свободной поверхности между двумя цилиндрами
как сумму двух собственных мод и колебание среднего уровня, а именно, как сумму вида
ξ(r, θ, t) =
1
Nnl
ξnl(t)ψ
c
nl(r, θ) +
1
N0h
ξ0h(t)ψ0h(r) + ξ00(t), (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
548 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
где
1
Nnl
ξnl(t)ψ
c
nl(r, θ) — резонансная крестовидная волна, частота которой ωnl ≈
1
2
ω (ω —
частота волнопродуктора),
1
N0h
ξ0h(t)ψ0h(r) — осесимметричная (не зависит от θ) волна,
частота которой ω0h ∼ ω (близка к частоте возбуждения), и ξ00(t) — колебания среднего
уровня жидкости между цилиндрами.
При этом экспериментальные наблюдения свидетельствуют о том, что крестовид-
ные волны при реализации резонансных условий
(
ωnl ∼
ω
2
)
имеют амплитуду гораздо
бо́льшую, чем при вынужденном резонансе (ω0h ∼ ω), поэтому полагаем, что ξnl имеет
порядок O(ε
1/2
1 ), а ξ0h и ξ00 имеют порядок O(ε1), где ε1 =
a1ω
2
nl
g
— малый положитель-
ный параметр.
Если колебания свободной поверхности аппроксимируются суммой вида (19), то по-
тенциал ϕ1 имеет соответствующие слагаемые
ϕ1 =
ϕnl(t)
Nnl
ψcnl(r, θ)
ch knl(x+ d)
ch knld
+
ϕ0h(t)
N0h
ψ0h(r)
ch k0h(x+ d)
ch k0hd
,
ϕ0 =
2dR1(a1ω sinωt)
π(R2
2 −R2
1)
(
r2
2
−R2
2 ln r
)
+ ξ̇00
(d+ x)2
2d
, (20)
ξ00(t) =
4R1d
π(R2
2 −R2
1)
(a1 cosωt).
Кинематическое условие на волнопродукторе (т. е. при r = R1) для потенциала ϕ =
= ϕ0 + ϕ1 + ϕ2 позволяет получить следующие выражения для ϕ2, сохраняя в условии
члены O(ε
3/2
1 ):
ϕ2 = −4ε1g
ωnl
sinωt
∞∑
j=1
(−1)jη cosαjxχ̂0j(αjr)
(α2
j − η2)αjdχ̂
′
0j(αjR1)
− 4ε1g
πωnl
sinωt−
− ε1ξ̇nl
(
g cosωt
ω2
nl
) ∞∑
j=1
Gnj cosαjxχ̂nj(αjr) cosnθ +O(ε2
1),
где
Gnj =
2 k2
nl
χ̂
′
nj(αjR1)dαjNnl ch knld
χ′′
nl(knlR1)
0∫
−d
ch knl(x+ d) cos ηx cosαjxdx +
+
ηχnl(knlR1)
knl
0∫
−d
sh knl(x+ d) sin ηx cosαjxdx
.
Для определения амплитуд потенциала ϕ1 (20), а именно ϕnl(t) и ϕ0h(t), используем
кинематическое граничное условие на свободной поверхности, удерживая члены поряд-
ка O(ε
3/2
1 ) в разложении в ряд Тейлора. Подставляя (20) в это условие, получаем
ϕnlα0 + ξ2
nlϕnlα2 = ξ̇nl − ε1ξnl sinωtDξnlϕ0hL0h + ϕnlξ0hM0h − ϕnlξ00k
2
nl, (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 549
где
D=−Dn0 +
∞∑
j=1
Dnj , Dn0 =
2gR1knl
ωnl(R
2
2 −R2
1)N2
nl
R2∫
R1
(
r − R2
2
r
)
χ ′nlχnlrdr,
Dnj =
4gπ2 (−1)jη
(α2
j − η2)ωnjχ̂ ′nj(αjR1) dN2
nl
knl R2∫
R1
χ̂ ′njχ
′
nlχnlrdr + αj
R2∫
R1
χ̂ ′njχ
2
nlrdr
,
α0 = knl thknld, α2 =
1
N4
nl
R2∫
R1
2π∫
0
[
k2
nlψ
2 − ψ2
r −
1
r2
ψ2
θ
]
ψ2rdrdθ,
ψ = ψcnl(r,Θ), L0h =
πknlk0h
N0hN
2
nl
R2∫
R1
χ ′nlχ
′
0h(k0hr)χnlrdr −
π(k0h)2
N0hN
2
nl
R2∫
R1
χ2
nlχ0hrdr,
M0h =
πknl
N0hN
2
nl
k0h
R2∫
R1
χ ′nlχ
′
0hχnlrdr − knl
R2∫
R1
χ0hχ
2
nlrdr
.
Соотношение (21) позволяет выразить ϕnl(t) следующим образом:
ϕnl(t) =
1
α0
ξ̇nl
(
1− α2ξ
2
nl +
1
α0
ξ0hM0h −
ξ00
α0
k2
nl
)
+
1
α0
ξnl(t) [ϕ0hL0h − ε1(sinωt)D] . (22)
Применяя процедуру Бубнова по резонансной моде χ0h(r), из кинематического усло-
вия на свободной поверхности получаем соотношение
ϕ0h(k0h thk0hd) = ξ̇0h(t) + ξnlϕnl(knl thknld)B∗0h.
Определяя ϕ0h с точностью до членов O(ε1), в (22) можно использовать приближение
ϕnl =
ξ̇nl
α0
=
ξ̇nl
knl thknld
.
Тогда получим
ϕ0h =
ξ̇0h
k0h th k0hd
+ ξnlξ̇nlB
∗
0h, (23)
B∗0h =
π
(N0h) (Nnl)2(knlthknld)(k0hthk0hd)
−k2
nl
R2∫
R1
χ2
nl χ0hrdr +
+ (knl)
2
R2∫
R1
(χ ′nl)
2χ0hrdr + n2
R2∫
R1
χ2
nlχ0h
1
r
dr
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
550 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
Применим теперь динамическое граничное условие на свободной поверхности, исполь-
зуя соотношения (22) и (23). После подстановки указанных соотношений будем иметь
ξ̈nl +
(
α5 + S1 −
α2
α0
)
ξ̈nlξ
2
nl + ω2
nlξnl+
+
(
α6
α0
− 2α2
α0
+ S2
)
ξ̇2
nlξnl − ε1
D
α0
ωξnl(t) cosωt−
− ε1
D
α0
ξ̇nl
gω
ω2
nl
sinωt+ ε1α0ω
2
nlξnl
(
g cosωt
ωnl
) ∑
j
Hnj+
+ ε1α0ξ̇nl
gω
ω2
nl
sinωt
∑
j
Hnj − ε1ξ̇nl sinωt
(
4g
ωnl
)∑
j
Fnj−
− ω2
nlξnlξ0hS3h + ξ̇nlξ̇0hR3h + ω2
nlξnlξ00
(
k2
nl
α0
− α0
)
−
k2
nl
α0
ξ̇nlξ̇00 = 0,
где
S1 = B∗0h (L0h + α0(k0h thk0h d)S0h) ,
S2 = B∗0h (2L0h +R0h + α0 (k0hthk0hd)S0h) ,
α2 =
1
N4
nl
∫ ∫ (
knlψ
2 − ψ2
r −
1
r2
ψ2
Θ
)
ψ2
rdrdθ,
α5 =
k2
nl
N4
nl
∫ ∫
ψ4
rdrdθ, α6 =
∫ ∫ (
ψ2
r +
1
r2
ψ2
Θ
)
ψ2
rdrdθ,
Hnj =
gGnjπbnj
ω2
nl
α0,
Fnj =
(−1)j8gηπ knl
(α2
j − η2)ωdN2
nlχ̂
′
0j(α0j R1)
∫ ∫
χ̂ ′0jχ
′
nlχnlrdr,
S3h =
M0h
α0
+ 5d0S0h + 4
L0h
k0h
thk0hd,
R3h =
M0h
α0
+
L0h +R0h
k0h
thk0hd,
R0h =
k0hknlπ
N2
nlN0h
thk0hd thknld
R2∫
R1
χ0hχ
2
nlrdr +
R2∫
R1
χ ′0hχ
′
nlχnlrdr
.
Таким образом, для амплитуды крестовидных волн получаем уравнение
ξ̈nl + ω2
nlξnl + V1ξ̈nlξ
2
nl + V2ξ̇
2
nlξnl+
+ V4ξnl cosωt+ V5ξ̇nl sinωt− V6ξnlξ0h + V7ξ̇nlξ̇0h = 0. (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 551
Постоянные коэффициенты в уравнении (24) таковы:
V1 = −α2
α0
+ α5 + S1, V2 =
α6
α0
− 2α2
α0
+ S2,
V4 = −ε1
D
α0
ω + ε1α0ωnlg
∑
j
Hnj + ω2
nl
(
k2
nl
α0
− α0
)
4R1a1
π(R2
2 −R2
1)
,
V5 =
−ε1D
α0
+ ε1α02g
∑
j
Hnj − ε1
4g
ωnl
∑
j
Fnj +
4k2
nlωR1da1
α0π(R2
2 −R2
1)
,
V6 = ω2
nl S3h, V7 = R3h.
Применим динамическое граничное условие на свободной поверхности, использовав
соотношение (23). В результате после подстановки в условие (ограничиваясь членами
O(ε1))
(ϕ1)t + ξ (ϕ1)tx + (ϕ2)t + gξ +
1
2
[
(ϕ1)2
x + (ϕ1)2
r +
1
r2
(ϕ1)2
θ
]
= 0
получаем, используя процедуру Бубнова по форме χ0h, уравнение вида
ξ̈0h + ω2
0hξ0h + ξ̇2
nlV8 + V9ξnlξ̈nl = V10 cosωt,
где
V8 =
π
N2
nlN0h
1
knl
th knld
−k2
nl
R2∫
R1
χ2
nlχ0hrdr + k2
nl
R2∫
R1
(χ ′nl)
2χ0hrdr +
+ n2
R2∫
R1
χ2
nlχ0h
1
r
dr
+ (k0h th k0hd)
R2∫
R1
χ2
nlχ0hrdr
,
V9 =
π
N2
nlN0hknl th knld
−knl R2∫
R1
χ2
nlχ0hrdr + k2
nl
R2∫
R1
(χ ′nl)
2χ0hrdr +
+ n2
R2∫
R1
χ2
nl χ0h
1
r
dr
+
k0h th k0hd
2(knl th knl d)
(knl th knld)2
R2∫
R1
χ2
nlχ0hrdr+
+ (knl)
2
R2∫
R1
(χ ′nl)
2χ0hrdr + n2
R2∫
R1
χ2
nlχ0h
1
r
dr
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
552 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
а б
Рис. 1. Фазовый портрет (а) и частотный спектр временной реализации (б) квазипериодического режима
системы при V3 = V11 = 0, 01, k = 0, 1.
V10 = ε12ω0h
∞∑
j=1
(−1)j η
(α2
j − η2)αjdX̂
′
0j(αj R1)N0h
R2∫
R1
χ̂0j(αj r)χ0h rdr−
−
4 g k2
0hR1
π ω2 (R2
2 −R2
1)
.
Двухмодовые колебания жидкости между двумя цилиндрами c учетом сил демпфиро-
вания [24] описываются системой вида
ξ̈nl + ω2
nl ξnl + V1 ξ̈nl ξ
2
nl + V2 ξ̇
2
nl ξnl + V3 ξ̇nl +
+ V4ξnl cosωt+ V5ξ̇nl sinωt− V6ξnlξ0h + V7ξ̇nlξ̇0h = 0, (25)
ξ̈0h + ω2
0hξ0h + V8ξ̇
2
nl + V9ξnlξ̈nl − V10 cosωt+ V11 ξ̇0h = 0.
Система (25) нелинейная, поэтому все классы установившихся режимов можем найти
только численно. Для этого параметры системы после обезразмеривания выберем со-
гласно расчетам в виде
V1 = 0, 1, V2 = 0, 12, V3 = 0, 01, V4 = 0, 65k, V5 = 0, 65k, V6 = 0, 08, V7 = −0, 03,
V9 = 0, 26, V10 = −0, 47k, V11 = 0, 01, ωnl = 1, ω = 1, 99, ω0h = 1, 98.
Пусть начальные значения неизвестных будут таковы: ξnl = p = 0, 3, ξ̇nl = l = 0, 2,
ξ0h = q = 0, 1, ξ̇0h = 0, 1. В качестве бифуркационного параметра выберем параметр
k, который пропорционален амплитуде колебаний волнопродуктора a1. При изменении
этого параметра в системе реализуются как регулярные, так и хаотические крестовид-
ные волны.
На рис. 1, a, 2, a и 3, a построены графики трехмерных проекций (в пространстве p,
l, q) четырехмерных фазовых портретов аттракторов системы при различных значениях
k. Из этих рисунков видно, что аттракторы представляют собой замкнутую кривую, со-
ответствующую предельному циклу для k = 0, 1 (рис. 1, a), кривую, равномерно покры-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
КРЕСТОВИДНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ . . . 553
а б
Рис. 2. Фазовый портрет (а) и частотный спектр временной реализации (б) регулярного режима системы
при V3 = V11 = 0, 01, k = 1.
а б
Рис. 3. Фазовый портрет (а) и частотный спектр временной реализации (б) хаотического режима системы
при V3 = V11 = 0, 001, k = 0, 75.
вающую тороидальную поверхность при k = 1 (рис. 2, a). При k = 0, 75 и V3 = V11 = 0, 01
аналогичная проекция выглядит как сложная структура с „рваным” контуром проекции
и с огромным числом оборотов непересекающейся кривой, неравномерно покрывающей
поверхность (рис. 3, a), что соответствует странному, т.е. хаотическому аттрактору. На
рис. 1, б, 2, б и 3, б построены графики спектральной мощности колебаний S перемен-
ной ξnl при различных значениях k, т. е. для различных режимов. На рис. 1, б и 2, б для
регулярных режимов графики спектральной мощности содержат ряд отдельных пиков,
эквидистантно расположенных по частоте. Движение переменной ξnl в регулярных ре-
жимах характеризуется несколькими частотными (остальные компоненты сравнитель-
но пренебрежимо малы) компонентами при аппроксимации рядом Фурье. На рис. 3, б
график спектральной мощности колебаний переменной ξnl представляет собой непре-
рывную кривую, имеющую ненулевые амплитуды для определенных областей частот.
Это подтверждает реализацию хаотических режимов для установившихся решений сис-
темы (25).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
554 Т. С. КРАСНОПОЛЬСКАЯ, Е. Д. ПЕЧУК
4. Выводы. Таким образом, можно заключить, что при двухмодовой аппроксимации
колебаний свободной поверхности жидкости при реализации резонансных условий для
крестовидной и осесимметричной мод были впервые найдены все классы установивших-
ся режимов, включая хаотические, описаны их фазовые портреты и исследованы частот-
ные спектры.
1. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. — Киев: Наук.
думка, 1981. — 284 с.
2. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Равновесие упругих тел канонической формы. — Киев: Наук. думка,
1985. — 280 с.
3. Краснопольская Т. С., Подчасов Н. П. Волны в жидкости между двумя коаксиальными цилиндриче-
скими оболочками, индуцированные вибрациями внутреннего цилиндра // Прикл. механика. — 1992. —
28, № 3. — С. 42 – 48.
4. Краснопольская Т. С., Подчасов Н. П. Вынужденные колебания жидкости между двумя цилиндрами,
возбуждаемые вибрациями внутренней оболочки // Прикл. механика. — 1992. — 28, № 4. — С. 42 – 48.
5. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. — М.: Мир, 1984. — 471 с.
6. Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н. Приближенные методы решения задач динамики
ограниченного объема жидкости. — Киев: Наук. думка, 1984. — 232 с.
7. Луковский И. А. Введение в нелинейную динамику твердого тела с полостями, содержащими жид-
кость. — Киев: Наук. думка, 1990. — 296 с.
8. Лэмб Г. Гидродинамика. — М.; Л.: Гостехтеориздат, 1947. — 928 c.
9. Мацыпура В. Т., Вовк И. В., Гринченко В. Т. Волновые задачи акустики. — Киев: Интерсервиз, 2013. —
571 с.
10. Becker J. M., Miles J. W. Standing radial cross-waves // J. Fluid Mech. — 1991. — 222. — P. 471 – 499.
11. Becker J. M., Miles J. W. Progressive radial cross-waves // J. Fluid Mech. — 1992. — 245. — P. 29 – 46.
12. Bromwich T. J. I. An introduction to the theory of infinite series. — London: Macmillan, 1959. — 607 p.
13. Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures and on certain forms assumed by groups of particles upon
vibrating elastic surfaces // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. — 1831. — 121. — P. 299 – 340.
14. Garrett C. J. R. Cross waves // J. Fluid Mech. — 1970. — 41. — P. 837 – 849.
15. Havelock T. H. Forced surface waves on water // Phil. Mag. (Ser. 7). — 1929. — 8. — P. 569 – 576.
16. Hocking L. M., Mahdmina D. Capillary-gravity waves produced by a wavemaker // J. Fluid Mech. — 1991. —
224. — P. 217 – 226.
17. Krasnopolskaya T. S., van Heijst G. J. F. Wave pattern formation in a fluid annulus with a vibrating inner shell
// J. Fluid Mech. — 1996. — 328. — P. 229 – 252.
18. Lamb H. On waves in an elastic plate // Proc. Roy. Soc. London A. — 1917. — 93. — P. 114 – 128.
19. Lamé G. Leçons sur la théorie mathématique de l’élasticité des corps solides. — Paris : Bachelier, 1852. —
335 p.
20. Lebedev N. N., Skal’skaya I. P., Uflyand Ya. S. Problems in mathematical physics. — Oxford: Pergamon, 1966. —
287 p.
21. Luke J. C. A variational principle for a fluid with a free surface // J. Fluid Mech. – 1967. – 27. – P. 395–397.
22. Meleshko V. V. Steady Stokes flow in a rectangular cavity // Proc. Roy. Soc. London. — 1996. — 452. —
P. 1999 – 2022.
23. Meleshko V. V., Malyuga V. S., Gomilko A. M. Steady Stokes flow in a finite cylinder // Proc. Roy. Soc. London
A. — 2000. — 456. — P. 1741 – 1758.
24. Miles J. W. Surface-wave damping in closed basins // Proc. Roy. Soc. London A. — 1967. — 297. — P. 459 – 475.
25. Miles J. W. Internally resonant surface waves in circular cylinder // J. Fluid Mech. — 1984. — 149. — P. 1 – 14.
26. Miles J. W., Henderson D. Parametrically forced surface waves // Annu. Rev. Fluid Mech. — 1990. — 22. –
P. 143–165.
Получено 11.06.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
|