Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь
Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и общий вид решения линейного интегрального уравнения (с ядром, суммируемым с квадратом) и краевой задачи для таких уравнений. We obtain necessary and sufficient conditions for solvability and find a general form of the solution of a linear...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177239 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь / Н.О. Козлова, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 58-66 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860050606276739072 |
|---|---|
| author | Козлова, Н.О. Ферук, В.А. |
| author_facet | Козлова, Н.О. Ферук, В.А. |
| citation_txt | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь / Н.О. Козлова, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 58-66 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и общий вид решения линейного интегрального уравнения (с ядром, суммируемым с квадратом) и краевой задачи для таких уравнений.
We obtain necessary and sufficient conditions for solvability and find a general form of the solution of a linear integral equation (with square summable kernel) and of a boundary-value problem for such equations.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:59:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968
НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Н. О. Козлова
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 60, Київ, 01004, Україна
В. А. Ферук
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
We obtain necessary and sufficient conditions for solvability and find a general form of the solution of a
linear integral equation (with square summable kernel) and of a boundary-value problem for such equati-
ons.
Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и общий вид решения ли-
нейного интегрального уравнения (с ядром, суммируемым с квадратом) и краевой задачи для
таких уравнений.
Iнтегро-диференцiальнi рiвняння та їх системи є математичними моделями рiзноманiтних
фiзичних процесiв. Широта застосувань стала поштовхом до iнтенсивного розвитку тео-
рiї таких рiвнянь протягом останнього пiвстолiття. Зокрема, в [1] встановлено умови iсну-
вання розв’язку крайових задач для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь типу Фред-
гольма з виродженим ядром. Питання сумiсностi та вiдшукання наближених розв’язкiв
подiбних задач, за умови єдиностi розв’язку iнтегро-диференцiального рiвняння, розгля-
далися в роботах А. Ю. Лучки та його учнiв [2 – 4]. У данiй роботi запропоновано пiдхiд
до дослiдження нетерових задач для iнтегральних рiвнянь, ядра яких не є виродженими.
1. Постановка задачi. Розглядається лiнiйна неоднорiдна крайова задача для iнтеграль-
ного рiвняння
x(t) = f(t) +
b∫
a
K(t, s)x(s)ds, (1)
Sx(·) = α. (2)
ТутK(t, s) — ядрo, сумовне з квадратом в областi [a, b]×[a, b], f ∈ L2[a, b], x ∈ L2[a, b], S —
обмежений лiнiйний функцiонал, визначений вL2[a, b], S = col (S1, S2, . . . , Sp) : L2[a, b]→
→ Rp, Si : L2[a, b] → R, α = col (α1, α2, . . . , αp) ∈ Rp.
2. Умови iснування розв’язку iнтегрального рiвняння (1). Нехай {ϕi(t)}∞i=1 — повна
ортонормальна система функцiй в L2[a, b]. Введемо до розгляду величини
xi =
b∫
a
x(t)ϕi(t)dt, fi =
b∫
a
f(t)ϕi(t)dt, aij =
b∫
a
b∫
a
K(t, s)ϕi(t)ϕj(s)dtds. (3)
c© Н. О. Козлова, В. А. Ферук, 2016
58 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 59
Застосовуючи вирази (3) до iнтегрального рiвняння (1), отримуємо злiченну систему
алгебраїчних рiвнянь
xi −
∞∑
j=1
aijxj = fi, i = 1,∞, (4)
∞∑
i=1
|xi|2 < +∞. (5)
Запишемо систему (4) у векторному виглядi
Λz = g, (6)
де
z = col (x1, x2, . . . , xi, . . .) ∈ `2, g = col (f1, f2, . . . , fi, . . .) ∈ `2, (7)
Λ =
1− a11 −a12 . . . −a1i . . .
−a21 1− a22 . . . −a2i . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
−ai1 −ai2 . . . 1− aii . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. (8)
Згiдно з [5, с. 69], для системи (6) справедливим є наступний результат.
Теорема 1. Однорiдна система (6) (g = 0) має розв’язок z ∈ `2 :
z = PΛc, c ∈ `2. (9)
Неоднорiдна система (6) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PΛ∗g = 0, (10)
та має розв’язок z ∈ `2 :
z = PΛc+ Λ+g, c ∈ `2. (11)
Тут PΛ — матриця-проектор наN(Λ),Λ+ — псевдообернена (за Муром – Пенроузом) до
Λ матриця, PΛ∗ — матриця-проектор на N(Λ∗) знаходяться за формулами [6, с. 501]
Λ+ = lim
ω→+0
(Λ∗Λ + ωI)−1Λ∗, PΛ = I − Λ+Λ, PΛ∗ = I − ΛΛ+. (12)
Якщо система (6) має розв’язок, тобто виконується умова (10), то, використовуючи
теорему Рiса – Фiшера [7, с. 171], переконуємося, що iснує елемент x ∈ L2[a, b] такий, що
xi, i = 1,∞, якi визначаються iз системи (4), є його коефiцiєнтами Фур’є, тобто має мiсце
зображення
x(t) =
∞∑
i=1
xiϕi(t) = Φ(t)z, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
60 Н. О. КОЗЛОВА, В. А. ФЕРУК
де
Φ(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕi(t), . . .) , (14)
{ϕi(t)}∞i=1 — повна ортонормальна система функцiй в L2[a, b].
У роботi [8, с. 266] показано, що елемент x(t), який визначається спiввiдношенням
(13), i є шуканим розв’язком рiвняння (1).
Отже, теорему 1 можна переформулювати для iнтегрального рiвняння (1).
Теорема 2. Однорiдне рiвняння (1) (f(t) = 0) має розв’язок x ∈ L2[a, b] :
x(t) = Φ(t)PΛc ∀c ∈ `2. (15)
Неоднорiдне рiвняння (1) є розв’язним тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PΛ∗g = 0, (16)
та має розв’язок x ∈ L2[a, b] :
x(t) = Φ(t)PΛc+ Φ(t)Λ+g ∀c ∈ `2. (17)
Зазначимо, що оператор Λ, який фiгурує у лiвiй частинi операторного рiвняння (6),
має вигляд Λ = I − A, де A : `2 → `2 — оператор, який, залежно вiд властивостей ядра
K(t, s), може мати досить складну структуру. Однiєю iз прийнятих у лiтературi класифi-
кацiй таких операторiв Λ є класифiкацiя за розмiрнiстю їх ядер та ядер спряжених до них
операторiв Λ∗ : `2 → `2 [5, с. 22]. А саме, система (6) може бути:
нормально розв’язною (dimker Λ = ∞, dimker Λ∗ = ∞);
n-нормальною (dimker Λ < ∞, dimker Λ∗ = ∞);
d-нормальною (dimker Λ = ∞, dimker Λ∗ < ∞);
нетеровою (dimker Λ < ∞, dimker Λ∗ < ∞), зокрема, якщо dimker Λ = dimker Λ∗, то
фредгольмовою.
У даному випадку, оскiльки K(t, s) — сумовне з квадратом ядрo, оператор A є ком-
пактним i, як вiдомо, для оператора Λ справедливою є альтернатива Фредгольма [7, с. 481].
Отже, ядро та коядро оператора Λ є скiнченновимiрними та мають однакову розмiрнiсть
(dimker Λ = dimker Λ∗ = r < ∞), а оператор Λ є фредгольмовим. Тобто зображення
розв’язкiв (15) та (17) є r-параметричними сiм’ями розв’язкiв однорiдного та неоднорiдно-
го рiвнянь (1) вiдповiдно, а кiлькiсть лiнiйно незалежних умов розв’язностi (16) дорiвнює
r. Бiльш детально це питання ми розглянемо у наступному пунктi.
Зауважимо, що низку робiт присвячено дослiдженню скiнченно сингулярних опера-
торiв [9, с. 14]. Вiдомо [9, с. 18], наприклад, що якщо оператори Λ та Λ∗ є скiнченно сингу-
лярними, то Λ буде нетеровим.
3. Випадок симетричного оператора. Результати, отриманi у попередньому пунктi, на-
бирають бiльш конкретного вигляду, якщо накласти на ядро K(t, s) iнтегрального опера-
тора
(Kw)(t) =
b∫
a
K(t, s)w(s)ds (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 61
додатковi умови.
Припустимо, що ядроK(t, s), яке фiгурує у формулi (18), є симетричним, тобто справ-
джується рiвнiсть K(t, s) = K∗(t, s) = K(s, t).
Вiзьмемо за систему {ϕi(t)}∞i=1 систему власних функцiй оператора (18), що визнача-
ються iз спiввiдношень
ϕi(t) = λi
b∫
a
K(t, s)ϕi(s)ds,
де λi — характеристичнi числа оператора (18).
Власнi функцiї симетричного оператора є ортогональними [10, с. 140], тому в даному
випадку матриця Λ набирає вигляду
Λ =
λ1 − 1
λ1
0 . . . 0 . . .
0
λ2 − 1
λ2
. . . 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . .
λi − 1
λi
. . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
Можливими є два випадки:
1) усi λi 6= 1;
2) iснує таке i, при якому λi = 1.
Розглянемо спочатку перший випадок. Очевидно, що матриця Λ має обернену
Λ−1 =
λ1
λ1 − 1
0 . . . 0 . . .
0
λ2
λ2 − 1
. . . 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . .
λi
λi − 1
. . .
. . . . . . . . . . . . . . .
= Λ+, (19)
PΛ = PΛ∗ = 0. (20)
Враховуючи у зображеннi (15) та умовi (16) рiвнiсть (20), переконуємося, що умова
розв’язностi неоднорiдного рiвняння (1) завжди виконується, i воно має єдиний розв’язок
x(t) = 0.
Єдиний розв’язок неоднорiдного рiвняння (1), згiдно iз зображенням (17), позначен-
нями (7), (3), (14) та виразами (19), (20), буде мати вигляд
Λ+g = col
(
λ1f1
λ1 − 1
,
λ2f2
λ2 − 1
, . . . ,
λifi
λi − 1
, . . .
)
=
= col
λ1
λ1 − 1
b∫
a
f(t)ϕ1(t)dt,
λ2
λ2 − 1
b∫
a
f(t)ϕ2(t)dt, . . . ,
λi
λi − 1
b∫
a
f(t)ϕi(t)dt, . . .
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
62 Н. О. КОЗЛОВА, В. А. ФЕРУК
x(t) = Φ(t)Λ+g =
∞∑
i=1
λiϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds = f(t) +
∞∑
i=1
ϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds.
Тепер теорему 2 можна переформулювати таким чином.
Теорема 3. Однорiдне рiвняння (1) (f(t) = 0) має єдиний розв’язок
x(t) = 0.
Неоднорiдне рiвняння (1) завжди є розв’язним та має єдиний розв’язок x ∈ L2[a, b] :
x(t) =
∞∑
i=1
λiϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds. (21)
Розглянемо другий випадок. Нехай iснує власне значення λi = 1 оператора (18) крат-
ностi r i ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕr(t) — лiнiйно незалежнi власнi функцiї, що вiдповiдають цьому
власному значенню. Тодi, використовуючи формули (12), отримуємо
Λ+ =
0 0 . . . 0 0 . . .
0 0 . . . 0 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0 . . .
0 0 . . . 0
λr+1
λr+1 − 1
. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
, (22)
PΛ = PΛ∗ =
1 0 . . . 0 0 . . .
0 1 . . . 0 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 0 . . .
0 0 . . . 0 0 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
, (23)
i розв’язок однорiдної системи (6) має вигляд
z = col (c1, c2, . . . , cr, 0, . . .) ∀ci ∈ R, i = 1, r,
при виконаннi умови (10)
fi = 0, i = 1, r.
Розв’язок неоднорiдної системи (6) матиме вигляд
z = col
(
c1, c2, . . . , cr,
λr+1fr+1
λr+1 − 1
,
λr+2fr+2
λr+2 − 1
, . . .
)
∀ci ∈ R, i = 1, r.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 63
Однорiдне рiвняння (1), згiдно з (15), (14) i (23), матиме розв’язок, який зображується у
виглядi
x(t) =
r∑
i=1
ciϕi(t) ∀ci ∈ R, i = 1, r, (24)
а умова (16), згiдно з (3), (7), (23), має вигляд
b∫
a
f(t)ϕi(t)dt = 0, i = 1, r. (25)
Зображення (17) для розв’язку неоднорiдного рiвняння (1) iз використанням формул (3),
(7), (14), (22), (24) набирає вигляду
x(t) =
r∑
i=1
ciϕi(t) +
∞∑
i=r+1
λiϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds ∀ci ∈ R, i = 1, r. (26)
Отже, у цьому випадку теорему 2 можна переформулювати таким чином.
Теорема 4. Однорiдне рiвняння (1) (f(t) = 0) має r-параметричну сiм’ю розв’яз-
кiв x ∈ L2[a, b] (24). Неоднорiдне рiвняння (1) є розв’язним тодi i тiльки тодi, коли
виконуються r лiнiйно незалежних умов (25), та має r-параметричну сiм’ю розв’язкiв
x ∈ L2[a, b] (26).
4. Критерiй розв’язностi лiнiйної неоднорiдної крайової задачi для iнтегрального рiв-
няння. Повернемося тепер до розгляду питання iснування та структури розв’язку кра-
йової задачi (1), (2). Очевидно, що навiть якщо iнтегральне рiвняння (1) має розв’язок,
то вiн може не задовольняти крайову умову (2). Тобто нам потрiбно знайти такi умови
на коефiцiєнти початкової задачi, при яких це виконуватиметься. Згiдно з теоремою 2,
якщо виконується умова (16), розв’язок лiнiйного неоднорiдного iнтегрального рiвняння
(1) має вигляд (17). Для того щоб цей розв’язок був розв’язком крайової задачi (1), (2),
необхiдно i достатньо, щоб вiн задовольняв умову (2), тобто щоб iснував такий вектор
параметрiв c = col (c1, c2, . . . , cr) ∈ Rr, r = dimker Λ = dimker Λ∗ < ∞, що фiгурує у
зображеннi (17), який задовольняє алгебраїчну систему
Bc = α− SΦ(·)Λ+g, (27)
де (p× r)-вимiрна матриця B має вигляд
B = SΦ(·)PΛ. (28)
Згiдно з критерiєм розв’язностi системи (27) [5, с. 69], така стала c ∈ Rr iснує тодi i
тiльки тодi, коли виконується умова
PB∗
d1
(α− SΦ(·)Λ+g) = 0, d1 = p− rankB, (29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
64 Н. О. КОЗЛОВА, В. А. ФЕРУК
та має вигляд
c = PBd2 cd2 +B+(α− SΦ(·)Λ+g) ∀cd2 ∈ Rd2 , d2 = r − rankB. (30)
Тут (r×d2)-вимiрна матриця PBd2 ,що складається iз повної системи d2 лiнiйно незалежних
стовпчикiв матрицi-проектора PB, (r × p)-вимiрна матриця B+, що є псевдооберненою
(за Муром – Пенроузом) до матрицi B, (d1 × p)-вимiрна матриця PB∗
d1
, що складається iз
повної системи d1 лiнiйно незалежних рядкiв матрицi-проектора PB∗ , обчислюються за
формулами, аналогiчними формулам (12).
Пiдставляючи (30) в (17), отримуємо загальний розв’язок крайової задачi (1), (2):
x(t) = Φ(t)PΛPBd2 cd2 + Φ(t)PΛB
+(α− SΦ(·)Λ+g) + Φ(t)Λ+g ∀cd2 ∈ Rd2 . (31)
Отже, справедливим є таке твердження.
Теорема 5. Однорiдна крайова задача (1), (2) (f(t) = 0, α = 0) має d2-параметричну
сiм’ю розв’язкiв x ∈ L2[a, b] :
x(t) = Φ(t)PΛPBd2 cd2 ∀cd2 ∈ Rd2 .
Неоднорiдна крайова задача (1), (2) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли викону-
ються r лiнiйно незалежних умов (16) та d1 лiнiйно незалежних умов (29), i має
d2-параметричну сiм’ю розв’язкiв x ∈ L2[a, b] вигляду (31).
5. Крайова задача для рiвняння з симетричним оператором. Розглянемо випадок, коли
оператор K, який визначається зображенням (18), є симетричним. Як зазначено у пунк-
тi 3, за цiєї умови можна отримати бiльш уточненi результати i теорема 5 набере бiльш
конкретного вигляду. Як i ранiше, можливими є два випадки: 1) усi λi 6= 1; 2) iснує таке i,
при якому λi = 1.
У випадку, коли всi λi 6= 1, справджується теорема 3, тобто лiнiйне однорiдне iнте-
гральне рiвняння (1) (f(t) = 0) має лише нульовий розв’язок, а лiнiйне неоднорiдне iнте-
гральне рiвняння (1) — єдиний розв’язок вигляду (21). Очевидно, що x(t) = 0 задовольняє
однорiдну умову (2) (α = 0) i, отже, однорiдна крайова задача (1), (2) (f(t) = 0, α = 0)
має єдиний розв’язок. Неоднорiдна ж крайова задача (1), (2) буде розв’язною лише то-
дi, коли розв’язок неоднорiдного iнтегрального рiвняння (1) задовольнятиме умову (2),
тобто повинна виконуватись жорстка умова на неоднорiднiсть α в крайовiй умовi
Sx(·) =
∞∑
i=1
λi
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)dsSϕi(·) = α.
Враховуючи рiвнiсть (20), позначення (28), а також формули (12), переконуємося, що
B = 0, PB = PB∗ = I. (32)
Використавши (32), теорему 5 можна сформулювати у такому виглядi.
Теорема 6. Однорiдна крайова задача (1), (2) (f(t) = 0, α = 0) має єдиний розв’язок
x(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
НЕТЕРОВI КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ IНТЕГРАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 65
Неоднорiдна крайова задача (1), (2) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли викону-
ються p умов
∞∑
i=1
λi
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)dsSνϕi(·) = αν , ν = 1, p,
та має єдиний розв’язок x ∈ L2[a, b] :
x(t) =
∞∑
i=1
λiϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds.
Розглянемо другий випадок, тобто нехай iснує власне значення λi = 1 оператора (18)
кратностi r. Тодi, згiдно з теоремою 4, якщо виконується умова (25), розв’язок лiнiйного
неоднорiдного iнтегрального рiвняння (1) має вигляд (26). Для того щоб цей розв’язок
був розв’язком крайової задачi (1), (2), необхiдно i достатньо, щоб вiн задовольняв умову
(2), тобто щоб вектор параметрiв c = col (c1, c2, . . . , cr) ∈ Rr, що фiгурує у зображеннi
(26), задовольняв алгебраїчну систему
Bc = α−
∞∑
i=r+1
λi
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)dsSϕi(·), (33)
де (p× r)-вимiрна матриця B має вигляд
B =
S1ϕ1(·) S1ϕ2(·) . . . S1ϕr(·)
S2ϕ1(·) S2ϕ2(·) . . . S2ϕr(·)
. . . . . . . . . . . .
Spϕ1(·) Spϕ2(·) . . . Spϕr(·)
.
Використавши критерiй розв’язностi системи (33) [5, с. 69], можемо сформулювати
теорему 5 таким чином.
Теорема 7. Однорiдна крайова задача (1), (2) (f(t) = 0, α = 0) має d2-параметричну
сiм’ю розв’язкiв x ∈ L2[a, b] :
x(t) =
r∑
i=1
d2∑
j=1
cjpBijϕi(t) ∀cj ∈ R, j = 1, d2.
Неоднорiдна крайова задача (1), (2) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли викону-
ються r лiнiйно незалежних умов (25) та d1 лiнiйно незалежних умов
p∑
ν=1
pB∗
kν
αν − ∞∑
i=r+1
λi
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)dsSνϕi(·)
= 0, k = 1, d1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
66 Н. О. КОЗЛОВА, В. А. ФЕРУК
i має d2-параметричну сiм’ю розв’язкiв x ∈ L2[a, b] :
x(t) =
r∑
i=1
d2∑
j=1
cjpBijϕi(t)+
+
r∑
j=1
p∑
ν=1
b+jν
αν − ∞∑
i=r+1
λi
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)dsSνϕi(·)
ϕj(t)+
+
∞∑
i=r+1
λiϕi(t)
λi − 1
b∫
a
f(s)ϕi(s)ds ∀cj ∈ R, j = 1, d2.
Тут pBij , pB∗
kν
та b+jν — елементи матриць PBd2 , PB∗
d1
та B+ вiдповiдно.
Зауваження. 1. Якщо ядро K(t, s) iнтегрального рiвняння (1) є виродженим, то отри-
манi тут результати збiгаються з результатами роботи [1].
2. Наведенi вище результати будуть корисними при дослiдженнi умов бiфуркацiї та
розгалуження розв’язкiв лiнiйних та нелiнiйних крайових задач для iнтегро-диференцiаль-
них рiвнянь.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Бойчук О. А., Кривошея С. А. Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-дифе-
ренцiальних рiвнянь з виродженим ядром // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1576 – 1579.
2. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и систем.
анализ. — 1996. — № 3. — С. 82 – 96.
3. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Проекцiйний метод розв’язування iнтегро-диференцiальних рiвнянь з
обмеженнями та керуванням // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — 11, № 2. — C. 208 – 216.
4. Лучка А. Ю., Мельничук В. Ф. Побудова розв’язкiв слабконелiнiйних iнтегральних рiвнянь з обмежен-
нями // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 2. — C. 215 – 222.
5. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht, Boston: VSP, 2004. — 317 p.
6. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.
7. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. — 752 с.
8. Гильберт Д. Избранные труды. — М.: Факториал, 1998. — Т. 2. — 608 с.
9. Maurey B. Operator theory and exotic Banach spaces // Online Lect. Notes/http: //www.math.jussieu.fr/
maurey/ articles/ csp.pdf, 1994.
10. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 300 с.
Одержано 13.07.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177239 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:59:15Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Козлова, Н.О. Ферук, В.А. 2021-02-13T19:52:43Z 2021-02-13T19:52:43Z 2016 Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь / Н.О. Козлова, В.А. Ферук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 58-66 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177239 517.968 Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и общий вид решения линейного интегрального уравнения (с ядром, суммируемым с квадратом) и краевой задачи для таких уравнений. We obtain necessary and sufficient conditions for solvability and find a general form of the solution of a linear integral equation (with square summable kernel) and of a boundary-value problem for such equations. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь Нетеровы краевые задачи для интегральных уравнений Noetherian boundary-value problems for integral equations Article published earlier |
| spellingShingle | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь Козлова, Н.О. Ферук, В.А. |
| title | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| title_alt | Нетеровы краевые задачи для интегральных уравнений Noetherian boundary-value problems for integral equations |
| title_full | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| title_fullStr | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| title_short | Нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| title_sort | нетерові крайові задачі для інтегральних рівнянь |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177239 |
| work_keys_str_mv | AT kozlovano neterovíkraiovízadačídlâíntegralʹnihrívnânʹ AT ferukva neterovíkraiovízadačídlâíntegralʹnihrívnânʹ AT kozlovano neterovykraevyezadačidlâintegralʹnyhuravnenii AT ferukva neterovykraevyezadačidlâintegralʹnyhuravnenii AT kozlovano noetherianboundaryvalueproblemsforintegralequations AT ferukva noetherianboundaryvalueproblemsforintegralequations |