Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи
Рассматривается задача о движении цилиндрического резервуара с жидкостью на маятниковом подвесе. В начальный момент времени резервуар отклонен от положения равновесия на некоторый угол. Исследовано перераспределение кинетической энергии в системе и объяснено угасание поверхностного волнового движени...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177241 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи / О.С. Лимарченко, К.О. Семенович // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 85-92 — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860018373346197504 |
|---|---|
| author | Лимарченко, О.С. Семенович, К.О. |
| author_facet | Лимарченко, О.С. Семенович, К.О. |
| citation_txt | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи / О.С. Лимарченко, К.О. Семенович // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 85-92 — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Рассматривается задача о движении цилиндрического резервуара с жидкостью на маятниковом подвесе. В начальный момент времени резервуар отклонен от положения равновесия на некоторый угол. Исследовано перераспределение кинетической энергии в системе и объяснено угасание поверхностного волнового движения. Полученные результаты качественно совпадают с экспериментальными данными.
The dynamics of a cylindrical tank on the pendulum suspension, partially filled with an ideal liquid, is considered. Initially the reservoir is inclined at some angle. The redistribution of kinetic energy in the system was investigated and analyzed component-wise for different modes of motion in the considered system. The attenuation of surface sloshing processes is explained. The obtained results qualitatively coincide with experimental data.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:46:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.595
ПЕРЕРОЗПОДIЛ ЕНЕРГIЇ МIЖ РЕЗЕРВУАРОМ
I РIДИНОЮ З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ
ПРИ КУТОВИХ РУХАХ СИСТЕМИ
О. С. Лимарченко, К. О. Семенович
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Глушкова, 4е, Київ, 01033, Україна
e-mail: olelim2010@yahoo.com
kateryna.semenovych@gmail.com
The dynamics of a cylindrical tank on the pendulum suspension, partially filled with an ideal liquid, is
considered. Initially the reservoir is inclined at some angle. The redistribution of kinetic energy in the
system was investigated and analyzed component-wise for different modes of motion in the considered
system. The attenuation of surface sloshing processes is explained. The obtained results qualitatively coi-
ncide with experimental data.
Рассматривается задача о движении цилиндрического резервуара с жидкостью на маятнико-
вом подвесе. В начальный момент времени резервуар отклонен от положения равновесия на
некоторый угол. Исследовано перераспределение кинетической энергии в системе и объяснено
угасание поверхностного волнового движения. Полученные результаты качественно совпада-
ют с экспериментальными данными.
1. Вступ. Розглядається рух системи цилiндричний резервуар-рiдина з вiльною поверхнею
при маятниковому пiдвiсi резервуара. В початковий момент часу резервуар вiдхилено вiд
положення рiвноваги на деякий кут, система знаходиться у станi спокою. При дослiджен-
нi такої задачi цiкавим виявився ефект перерозподiлу енергiї мiж рiзними формами руху
системи. Спочатку це явище було виявлено експериментально [4]. На початку руху си-
стеми на поверхнi рiдини були помiтнi значнi поверхневi хвилi, якi протягом 5 – 7 перiодiв
коливань дослiдного резервуара згасали, далi рiдина в резервуарi рухалась переважно
квазiтвердим чином. Для аналiзу вказаного явища було побудовано математичну модель
та проведено серiю числових експериментiв, якi пiдтвердили наявнiсть такого перероз-
подiлу енергiї.
2. Експеримент. Було проведено лабораторний дослiд по вивченню поведiнки резер-
вуара на маятниковому пiдвiсi [4]. Установка являє собою маятниковий пiдвiс, на якому
закрiплено цилiндричний резервуар радiуса R = 0, 0775 м, заповнений водою до рiвня
H = R. Експеримент було проведено для рiзних довжин маятникового пiдвiсу системи.
Було вивчено випадок кiнематичного збурення руху системи. Спостереження за рухом
вiльної поверхнi рiдини проводилися з використанням поплавка. Експериментально бу-
ло встановлено, що за 5 – 7 перiодiв коливань резервуара перехiднi процеси на вiльнiй
поверхнi рiдини спадають i вiдбуваються лише квазiтвердий рух резервуара з рiдиною i
коливання рiдини в протифазi з рухом резервуара, тобто тип рухiв, який визначається по-
тенцiалом Стокса – Жуковського; хвильовий рух практично вiдсутнiй. Аналiз отриманих
результатiв дозволяє припустити, що вказане явище може бути обумовлене перерозподi-
лом енергiї мiж хвильовою та квазiтвердою кутовою формами руху в системi резервуар-
c© О. С. Лимарченко, К. О. Семенович, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 85
86 О. С. ЛИМАРЧЕНКО, К. О. СЕМЕНОВИЧ
рiдина. Для пiдтвердження або спростування даної гiпотези i вивчення характеру енер-
гообмiну в системi було побудовано математичну модель системи та проведено низку
числових експериментiв.
3. Математичне моделювання системи. Для дослiдження задачi використаємо мате-
матичну модель системи [1]. Згiдно з введеними припущеннями, розглядається iдеальна
однорiдна нестислива рiдина, а її рух вважається безвихровим. Метод ґрунтується на фор-
мулюваннi задачi у формi варiацiйного принципу Гамiльтона – Остроградського та вико-
ристаннi методу Канторовича з попереднiм вилученням кiнематичних граничних умов на
вiльнiй поверхнi рiдини для побудови дискретної моделi системи. Для отримання число-
вих результатiв було розглянуто апробовану ранiше модель [1], в якiй береться до уваги
12 форм коливань рiдини. В початковий момент часу резервуар вiдхилений вiд положен-
ня рiвноваги на деякий кут, рiдина знаходиться у станi спокою. Зазначимо, що початкове
вiдхилення повинно бути таким, щоб максимальнi амплiтуди коливань вiльної поверхнi
рiдини знаходилися в дiапазонi 0, 2R ÷ 0, 3R, де R — радiус резервуара (що обумовлено
межами застосування нелiнiйної теорiї коливань рiдини з вiльною поверхнею, побудова-
ної на основi iдей методiв збурень). Для побудови нелiнiйної дискретної моделi системи
резервуар-рiдина з вiльною поверхнею було введено наступнi узагальненi координати: ai
— амплiтуди збудження форм коливань рiдини; αi — кути вiдхилення резервуара; εi —
параметри поступального руху резервуара.
Математично задачу про рух системи цилiндричний резервуар-рiдина з вiльною по-
верхнею сформульовано як сукупнiсть вимог кiнематичного характеру, рiвнянь руху i по-
чаткових умов. До кiнематичних умов вiдносяться: вимога нерозривностi потоку в облас-
тi τ
∆ϕ = 0, ∆~Ω = 0, в τ,
умова неперетiкання на межi контакту резервуар-рiдина Σ з одиничною зовнiшньою нор-
маллю ~n
∂ϕ0
∂n
= 0 на Σ,
∂Ω
∂n
= 0 на Σ + S0
i умова неперетiкання через вiльну поверхню рiдини
∂ϕ0
∂z
+ ~∇ξ ·
[
~∇ϕ0 + ~∇(~ω · ~Ω)− ~̇ε− ~ω × ~r
]
=
=
∂ϕ0
∂z
+ ~ω · ∂
~Ω
∂z
− ε̇z − (~ω × ~r)|z на Sξ.
Функцiя Лагранжа для системи резервуар-рiдина з вiльною поверхнею має такий ви-
гляд:
L =
1
2
ρ
∫
τ
[
~∇ϕ+ ~∇(~ω · ~Ω)
]2
dτ +
1
2
Mr
(
~̇ε
)2
+
1
2
Iijresωiωj − (Mr +Ml)gεz+
+ ρg(cosα1 sinα2 cosα3 − sinα1 sinα3)
∫
S0
r cos θ(ξ +H)dS−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПЕРЕРОЗПОДIЛ ЕНЕРГIЇ МIЖ РЕЗЕРВУАРОМ I РIДИНОЮ З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ . . . 87
− ρg(sinα1 cosα3 + cosα1 sinα2 sinα3)
∫
S0
r sin θ(ξ +H)dS−
− 1
2
ρg cosα1 cosα2
∫
S0
ξ2dS − (Mlhl +Mrhr)(1− cosα1 cosα2)−
− σ
∫
S0
√
1 + (~∇ξ)2dS − σ cos θ1
∫
L0
ξdl + ~F · ~ε+ ~M · ~χ.
Розв’язок задачi шукатимемо у виглядi
ξ =
∑
n
an(t)ψn(x, y),
ϕ =
∑
n
bn(t)ψn(x, y)
chκn(z +H)
κn shκnH
,
~Ω = ~Ω0 +
∑
n
~qn(t)ψn(x, y)
chκn(z +H)
κn shκnH
,
де ψn(x, y) — повна ортогональна система функцiй, яка є розв’язком лiнiйної задачi в
розглядуванiй областi.
Рiвняння руху системи в параметрах ai, αi, εi можна записати у виглядi
N∑
n=1
prnän +
N+3∑
n=N+1
prnε̈n−N +
N+6∑
n=N+4
prnα̈n−N−3 = qr, r = 1, N + 6,
де prn — квадратна матриця, а qr — вектор розмiрностi N + 6.
Елементи матрицi та вектора залежать вiд форм коливань ψi та векторного потенцiа-
лу Стокса – Жуковського, який у випадку цилiндричного резервуара визначено у роботi
[2]. За рахунок вибору системи координат з центром у точцi пiдвiсу в задачi, що вивча-
ється, вiдсутнi поступальнi рухи резервуара, тому її розмiрнiсть скорочується до N + 3.
Щоб проаналiзувати, чи дiйсно вiдбувається в системi перерозподiл енергiї мiж рiзни-
ми формами руху, було розглянуто змiну в часi складових кiнетичної енергiї системи, якi
вiдповiдають рiзним формам руху. Для випадку кутового руху резервуара, частково за-
повненого рiдиною, кiнетичну енергiю системи в дискретному виглядi можна записати
так:
T = T1 + T2 + T3.
Тут T1 — складова кiнетичної енергiї системи, яка вiдповiдає хвильовому руху на вiльнiй
поверхнi рiдини i виражається таким чином (далi використано позначення коефiцiєнтiв
рiвнянь руху, введенi в роботi [1]):
T1 =
1
2
ρ
∑
i
ȧ2iα
ν
i +
1
2
ρ
∑
i,j,k
ȧiȧjakγ
ν
ijk +
1
2
ρ
∑
i,j,k,l
ȧiȧjakalδ
ν
ijk,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
88 О. С. ЛИМАРЧЕНКО, К. О. СЕМЕНОВИЧ
T2 — складова кiнетичної енергiї системи, яка вiдповiдає квазiтвердому кутовому руховi:
T2 =
1
2
ρ
3∑
p,s=1
ωpωs
Ipsres/ρ+ E2
ps +
∑
i
aiE
2
psi +
∑
i,j
aiajE
3
psij
,
T3 — складова кiнетичної енергiї системи, що вiдображає зв’язок хвильового та квазi-
твердого кутового рухiв системи:
T3 =
1
2
ρ
3∑
p=1
ωp
∑
i
ȧiE
1∗
pi +
∑
i,j
ȧiajE
2∗
pij +
∑
i,j,k
ȧiajakE
3∗
pijk
.
Подальший аналiз виконується на основi числового моделювання. Розглянуто поведiнку
системи резервуар-рiдина при початковому кутi вiдхилення резервуара вiд вертикалi
π
15
.
Виявилося, що застосування лiнiйної теорiї для нев’язкої рiдини (що вiдповiдає значенню
параметра змiни в’язкостi через дотримання критерiїв подiбностi i розмiрностi kν = 0) не
моделює тi ефекти, якi спостерiгаються пiд час експерименту: коливання на вiльнiй по-
верхнi впродовж усього часу розгляду не згасають, характер руху системи не змiнюється.
У зв’язку з цим було розглянуто задачу з використанням пiдходу [3], в основу якого по-
кладено теорiю примежового шару з використанням модельного розв’язку, що дозволяє
врахувати узагальнену дисипацiю. Для збереження подiбностi системи в числових розра-
хунках та фактичної в експериментi коефiцiєнт було вибрано, виходячи з аналiзу значень
чисел Рейнольдса.
На основi методiв теорiї подiбностi розглянемо параметри експериментального ре-
зервуара та моделi. В обчисленнях вважалось, що R = 1 м, фактичний радiус резервуара
в експериментальнiй установцi становить R = 0, 0775 м. Таким чином, маємо вiдношен-
ня одиничного радiуса розрахункового резервуара до радiуса експериментального бака
kν =
(
100
8
)3/2
≈ 46. Отже, для збереження подiбностi мiж експериментальною уста-
новкою та розглядуваною моделлю потрiбно врахувати коефiцiєнт пiдсилення в’язкостi
kν = 46. Для повного аналiзу задачi було отримано данi для рiзних значень цього коефi-
цiєнта. На рис. 1 – 3 побудовано графiки змiни в часi складових кiнетичної енергiї системи
для випадкiв kν = 0 (а) та kν = 46 (б).
Аналогiчнi графiки змiни в часi повної кiнетичної енергiї для значень коефiцiєнта
корекцiї в’язкостi kν = 0 (а) та kν = 46 (б) побудовано на рис. 4.
Для випадку руху системи без введення коефiцiєнта корекцiї в’язкостi (kν = 0) пере-
розподiл енергiї не спостерiгається. Впродовж всього часу характер руху системи прак-
тично не змiнюється. На рис. 5 наведено графiки змiни в часi кута вiдхилення резервуара
вiд вертикалi, а на рис. 6 — першої антисиметричної та першої осесиметричної форм ко-
ливань рiдини для випадку kν = 46.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПЕРЕРОЗПОДIЛ ЕНЕРГIЇ МIЖ РЕЗЕРВУАРОМ I РIДИНОЮ З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ . . . 89
а б
Рис. 1. Змiна в часi складової кiнетичної енергiї T1.
а б
Рис. 2. Змiна в часi складової кiнетичної енергiї T2.
По характеру змiни амплiтудних параметрiв чiтко видно, що пiсля певного перехiдно-
го перiоду амплiтуди коливань рiдини значно спадають i виходять на повiльно згасаючий
впорядкований режим руху. Цю тенденцiю також демонструє графiк другої складової кi-
нетичної енергiї (кiнетичної енергiї, пов’язаної iз квазiтвердим рухом системи) для випад-
ку руху системи з урахуванням коефiцiєнта корекцiї в’язкостi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
90 О. С. ЛИМАРЧЕНКО, К. О. СЕМЕНОВИЧ
а б
Рис. 3. Змiна в часi складової кiнетичної енергiї T3.
а б
Рис. 4. Змiна в часi повної кiнетичної енергiї T.
Розглядалася також поведiнка системи для iнших значень коефiцiєнта змiни в’язкостi,
зокрема для kν = 30. При таких параметрах в системi спостерiгається подiбна поведiнка,
вiдбувається перерозподiл енергiї та вихiд на квазiусталений режим руху системи з прак-
тичною вiдсутнiстю хвильового руху на вiльнiй поверхнi рiдини. Вiдмiннiсть полягає у
тривалостi перехiдного процесу: кiлькiсть перiодiв коливань резервуара для проходжен-
ня перехiдного процесу в експериментальнiй системi та модельованiй з kν = 46 практич-
но збiгається, у випадку kν = 30 перехiдний процес є довшим, нiж спостережений пiд час
експерименту.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПЕРЕРОЗПОДIЛ ЕНЕРГIЇ МIЖ РЕЗЕРВУАРОМ I РIДИНОЮ З ВIЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ . . . 91
Рис. 5. Змiна в часi кута вiдхилення резервуара вiд вертикалi α.
а б
Рис. 6. Змiна в часi першої антисиметричної (а) та першої осесиметричної (б) форм коливань рiдини.
Висновки. Проведено моделювання руху системи резервуар-рiдина на маятниковому
пiдвiсi для випадку кiнематичного збурення руху системи. Проведено спiвставлення ре-
зультатiв числового моделювання i даних експерименту на лабораторнiй установцi. По-
казано, що лише на основi нелiнiйної моделi з введенням дисипацiї (в’язкостi) вдається
досягти узгодження з експериментальними даними. Для значення коефiцiєнта корекцiї
в’язкостi kν = 46, визначеного на основi критерiїв подiбностi i розмiрностi, дiйсно має
мiсце ефект перерозподiлу енергiї мiж хвильовим та квазiтвердим кутовим рухом. Скла-
дова кiнетичної енергiї системи, яка вiдповiдає хвильовому руху рiдини, згасає впродовж
декiлькох перiодiв коливання резервуара. Водночас згасає i складова кiнетичної енергiї,
яка вiдображає зв’язок мiж хвильовою та квазiтвердою формами рухiв. Натомiсть скла-
дова енергiї, що вiдповiдає квазiтвердому кутовому руховi системи, помiтно зменшується,
але прямує до сталого ненульового значення. Отриманi результати пiдтверджують спо-
стережуваний пiд час експерименту ефект перерозподiлу енергiї мiж рiзними формами
руху в системi. Крiм того, вони свiдчать про ефективнiсть прийнятих методiв моделюван-
ня задач динамiки сумiсного руху резервуара з рiдиною з вiльною поверхнею при кутових
рухах системи.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
92 О. С. ЛИМАРЧЕНКО, К. О. СЕМЕНОВИЧ
Лiтература
1. Limarchenko O., Matarazzo G., Yasinsky V. Rotational motion of structures with tanks, partially filled by
liquid. — Kyiv: FADA Ltd, 2003. — 286 p.
2. Abgaryan K., Rappoport I. Dynamics of rockets. — Moscow: Mashinostroenie, 1969. — 378 p.
3. Mikishev G. Experimental methods in dynamics of spacecraft. — Moscow: Mashinostroenie, 1978. — 248 p.
4. Limarchenko O., Semenovych K. Combined motion of the system reservoir-liquid on pendulum suspension
under impulse excitation // Bull. Taras Shevchenko Nat. Univ. Kyiv. Ser. Phys. and Math. — 2013. — № 2.
Одержано 15.06.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177241 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:46:39Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лимарченко, О.С. Семенович, К.О. 2021-02-13T19:53:17Z 2021-02-13T19:53:17Z 2016 Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи / О.С. Лимарченко, К.О. Семенович // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 85-92 — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177241 532.595 Рассматривается задача о движении цилиндрического резервуара с жидкостью на маятниковом подвесе. В начальный момент времени резервуар отклонен от положения равновесия на некоторый угол. Исследовано перераспределение кинетической энергии в системе и объяснено угасание поверхностного волнового движения. Полученные результаты качественно совпадают с экспериментальными данными. The dynamics of a cylindrical tank on the pendulum suspension, partially filled with an ideal liquid, is considered. Initially the reservoir is inclined at some angle. The redistribution of kinetic energy in the system was investigated and analyzed component-wise for different modes of motion in the considered system. The attenuation of surface sloshing processes is explained. The obtained results qualitatively coincide with experimental data. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи Перераспределение энергии между резервуаром и жидкостью со свободной поверхностью при угловых движениях системы Energy redistribution between the reservior and the free surface liquid under angular motion of the system Article published earlier |
| spellingShingle | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи Лимарченко, О.С. Семенович, К.О. |
| title | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| title_alt | Перераспределение энергии между резервуаром и жидкостью со свободной поверхностью при угловых движениях системы Energy redistribution between the reservior and the free surface liquid under angular motion of the system |
| title_full | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| title_fullStr | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| title_full_unstemmed | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| title_short | Перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| title_sort | перерозподiл енергії між резервуаром і рідиною з вільною поверхнею при кутових рухах системи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177241 |
| work_keys_str_mv | AT limarčenkoos pererozpodilenergíímížrezervuaromírídinoûzvílʹnoûpoverhneûprikutovihruhahsistemi AT semenovičko pererozpodilenergíímížrezervuaromírídinoûzvílʹnoûpoverhneûprikutovihruhahsistemi AT limarčenkoos pereraspredelenieénergiimeždurezervuaromižidkostʹûsosvobodnoipoverhnostʹûpriuglovyhdviženiâhsistemy AT semenovičko pereraspredelenieénergiimeždurezervuaromižidkostʹûsosvobodnoipoverhnostʹûpriuglovyhdviženiâhsistemy AT limarčenkoos energyredistributionbetweenthereserviorandthefreesurfaceliquidunderangularmotionofthesystem AT semenovičko energyredistributionbetweenthereserviorandthefreesurfaceliquidunderangularmotionofthesystem |