Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations

• Published in: Нелінійні коливання
• Date: 2016
• Main Authors: Özbekler, A., Zafer, A.
• Format: Article
• Language: English
• Published: Інститут математики НАН України 2016
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177242
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations / A. Özbekler and A. Zafer // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 93-100 — Бібліогр.: 15 назв. — англ.

Let 
 H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
 where z is a positive solution of 
 (r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
 satisfying 
 ∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
 It is well known that, see [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240], if 
 limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
 then every solution of 
 (r(t)x') + q(t)x = f(t) 
 is oscillatory. 
 In this paper we extend Wong’s result to delay differential equations of the form 
 (r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t). 
 It is observed that the oscillation behavior may be altered due to presence of the delay. Extensions to Emden – Fowler type delay differential equations are also discussed. Нехай 
 H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
 де z — додатний розв’язок рiвняння 
 (r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
 що задовольняє умову 
 ∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
 Вiдомо (див. [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240]), що якщо 
 limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
 то кожен розв’язок рiвняння 
 (r(t)x') + q(t)x = f(t) 
 є осцилюючим. 
 У цiй статтi результат Вонга поширено на диференцiальнi рiвняння з запiзненням вигляду 
 (r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t).
 Встановлено, що осциляцiйна поведiнка може змiнюватись за рахунок запiзнення. Також розглянуто узагальнення рiвнянь типу Емдена – Фаулера.