Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations
Let 
 H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
 where z is a positive solution of 
 (r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
 satisfying 
 ∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
 It is well known that, see [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. —...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | English |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177242 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations / A. Özbekler and A. Zafer // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 93-100 — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862705927808876544 |
|---|---|
| author | Özbekler, A. Zafer, A. |
| author_facet | Özbekler, A. Zafer, A. |
| citation_txt | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations / A. Özbekler and A. Zafer // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 93-100 — Бібліогр.: 15 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Let 
H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
where z is a positive solution of 
(r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
satisfying 
∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
It is well known that, see [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240], if 
limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
then every solution of 
(r(t)x') + q(t)x = f(t) 
is oscillatory. 
In this paper we extend Wong’s result to delay differential equations of the form 
(r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t). 
It is observed that the oscillation behavior may be altered due to presence of the delay. Extensions to Emden – Fowler type delay differential equations are also discussed.
Нехай 
H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
де z — додатний розв’язок рiвняння 
(r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
що задовольняє умову 
∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
Вiдомо (див. [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240]), що якщо 
limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
то кожен розв’язок рiвняння 
(r(t)x') + q(t)x = f(t) 
є осцилюючим. 
У цiй статтi результат Вонга поширено на диференцiальнi рiвняння з запiзненням вигляду 
(r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t).
Встановлено, що осциляцiйна поведiнка може змiнюватись за рахунок запiзнення. Також розглянуто узагальнення рiвнянь типу Емдена – Фаулера.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:56:49Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177242 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T16:56:49Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Özbekler, A. Zafer, A. 2021-02-13T19:53:48Z 2021-02-13T19:53:48Z 2016 Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations / A. Özbekler and A. Zafer // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 93-100 — Бібліогр.: 15 назв. — англ. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177242 517.9 Let 
 H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
 where z is a positive solution of 
 (r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
 satisfying 
 ∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
 It is well known that, see [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240], if 
 limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
 then every solution of 
 (r(t)x') + q(t)x = f(t) 
 is oscillatory. 
 In this paper we extend Wong’s result to delay differential equations of the form 
 (r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t). 
 It is observed that the oscillation behavior may be altered due to presence of the delay. Extensions to Emden – Fowler type delay differential equations are also discussed. Нехай 
 H(t) := ∫1/(r(s)z²(s)) (∫z(k)f(k)dk) ds, 
 де z — додатний розв’язок рiвняння 
 (r(t)x')' + q(t)x = 0, t ≥ a, 
 що задовольняє умову 
 ∫1 / (r(s)z²(s)) ds < ∞. 
 Вiдомо (див. [J. S. W. Wong, J. Math. Anal. and Appl. — 1999. — 231. — P. 235 – 240]), що якщо 
 limt→∞ H(t) = − lim t→∞ H(t) = ∞, 
 то кожен розв’язок рiвняння 
 (r(t)x') + q(t)x = f(t) 
 є осцилюючим. 
 У цiй статтi результат Вонга поширено на диференцiальнi рiвняння з запiзненням вигляду 
 (r(t)x' (t))' + q(t)x(τ(t)) = f(t).
 Встановлено, що осциляцiйна поведiнка може змiнюватись за рахунок запiзнення. Також розглянуто узагальнення рiвнянь типу Емдена – Фаулера. en Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations Теорема Вонга про осциляції для диференціальних рівнянь другого порядку з запізненням Теорема Ванга об осцилляции для дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием Article published earlier |
| spellingShingle | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations Özbekler, A. Zafer, A. |
| title | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| title_alt | Теорема Вонга про осциляції для диференціальних рівнянь другого порядку з запізненням Теорема Ванга об осцилляции для дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием |
| title_full | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| title_fullStr | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| title_full_unstemmed | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| title_short | Wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| title_sort | wong’s oscillation theorem for second-order delay differential equations |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177242 |
| work_keys_str_mv | AT ozbeklera wongsoscillationtheoremforsecondorderdelaydifferentialequations AT zafera wongsoscillationtheoremforsecondorderdelaydifferentialequations AT ozbeklera teoremavongaprooscilâcíídlâdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzzapíznennâm AT zafera teoremavongaprooscilâcíídlâdiferencíalʹnihrívnânʹdrugogoporâdkuzzapíznennâm AT ozbeklera teoremavangaoboscillâciidlâdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdkaszapazdyvaniem AT zafera teoremavangaoboscillâciidlâdifferencialʹnyhuravneniivtorogoporâdkaszapazdyvaniem |