Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с отклонениями аргумента и малым параметром ε, а также исследованы их свойства при ε → 0. We find sufficient conditions for existence of periodic solutions for systems of no...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177251 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 181-202 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177251 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Денисенко, Н.Л. 2021-02-13T19:55:47Z 2021-02-13T19:55:47Z 2016 Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 181-202 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177251 517.9 Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с отклонениями аргумента и малым параметром ε, а также исследованы их свойства при ε → 0. We find sufficient conditions for existence of periodic solutions for systems of nonlinear differential-functional equations with deviations in the argument and a small parameter ε. We also study properties of these solutions for ε → 0. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості Периодические решения систем дифференциально-функциональных уравнений с параметром и их свойства Periodic solutions and their properties for systems of differential-functional equations with parameter Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| spellingShingle |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості Денисенко, Н.Л. |
| title_short |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| title_full |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| title_fullStr |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| title_full_unstemmed |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| title_sort |
періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості |
| author |
Денисенко, Н.Л. |
| author_facet |
Денисенко, Н.Л. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Периодические решения систем дифференциально-функциональных уравнений с параметром и их свойства Periodic solutions and their properties for systems of differential-functional equations with parameter |
| description |
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с отклонениями аргумента и малым параметром ε, а также исследованы их свойства при ε → 0.
We find sufficient conditions for existence of periodic solutions for systems of nonlinear differential-functional equations with deviations in the argument and a small parameter ε. We also study properties of these solutions for ε → 0.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177251 |
| citation_txt |
Періодичні розв’язки систем диференціально-функціональних рівнянь з параметром та їх властивості / Н.Л. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 181-202 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkonl períodičnírozvâzkisistemdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzparametromtaíhvlastivostí AT denisenkonl periodičeskierešeniâsistemdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniisparametromiihsvoistva AT denisenkonl periodicsolutionsandtheirpropertiesforsystemsofdifferentialfunctionalequationswithparameter |
| first_indexed |
2025-11-26T00:08:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:08:48Z |
| _version_ |
1850593387864915968 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ПАРАМЕТРОМ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТI
Н. Л. Денисенко
Нац. техн. ун-т України „КПI”
просп. Перемоги, 37, Київ, 03056, Україна
e-mail: natalia_den@bigmir.net
We find sufficient conditions for existence of periodic solutions for systems of nonlinear differential-functio-
nal equations with deviations in the argument and a small parameter ε. We also study properties of these
solutions for ε → 0.
Установлены достаточные условия существования периодических решений систем нелиней-
ных дифференциально-функциональных уравнений с отклонениями аргумента и малым пара-
метром ε, а также исследованы их свойства при ε → 0.
Розглянемо систему нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) + f (t, x(t), x(λ1t+ ψ1(t, x(t))), . . . , x(λkt+ ψk(t, x(t))), ε) , (1)
де λi ∈ N, i = 1, k; ε — достатньо малий невiд’ємний скалярний параметр (ε ∈ I =
= [0, ε0], ε0 є достатньо малим); t ∈ R = (−∞,+∞); A — дiйсна стала (n × n)-матриця;
f : R× Rn × . . .× Rn × I → Rn, ψi : R× Rn → R, i = 1, k.
Рiзнi частиннi випадки таких рiвнянь дослiджувались багатьма математиками i на да-
ний час iснує велика кiлькiсть результатiв, одержаних при вивченнi цих питань (див. [1 – 7]
i наведену там бiблiографiю). Так, в [1] достатньо повно дослiджено iснування й асим-
птотичнi властивостi розв’язкiв скалярного рiвняння (n = 1), в [3] одержано достатнi
умови iснування та єдиностi обмеженого на всiй дiйснiй осi розв’язку систем нелiнiйних
диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу, в [4] дослiджено асимпто-
тичнi властивостi неперервно диференцiйовних i обмежених при t ∈ R+ розв’язкiв сис-
тем лiнiйних та нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь з лiнiйними пере-
твореннями аргументу, в [5] вивчено питання iснування перiодичних розв’язкiв систем
диференцiально-функцiональних рiвнянь iз лiнiйними перетвореннями аргументу та їхнi
властивостi. У данiй роботi результати роботи [5] узагальнюються для широкого класу
систем диференцiально-функцiональних рiвнянь iз малим параметром.
Нехай виконано умови:
1∗) всi компоненти вектор-функцiї f(t, x0, x1, . . . , xk, ε) та функцiї ψi(t, x), i = 1, k, є
неперервними за всiма змiнними i T -перiодичними по t функцiями, тобто
f (t+ T, x(t), x(λ1t+ ψ1(t, x(t))), . . . , x(λkt+ ψk(t, x(t))), ε) ≡
≡ f (t, x(t), x(λ1t+ ψ1(t, x(t))), . . . , x(λkt+ ψk(t, x(t))), ε) ,
ψi(t+ T, x(t)) ≡ ψi(t, x(t)), i = 1, k;
c© Н. Л. Денисенко, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2 181
182 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
2∗) |f(t̃, x̃0, x̃1, . . . , x̃k, ε)− f(˜̃t, ˜̃x0, ˜̃x1, . . . , ˜̃xk, ε)| ≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+
∑k
i=0 |x̃i − ˜̃xi|
)
, |ψi(t̃, x̃)−
−ψi(˜̃t, ˜̃x)| ≤ l2
(
|t̃− ˜̃t|+ |x̃− ˜̃x|
)
, i = 1, k, де t̃, ˜̃t ∈ R, x̃i, ˜̃xi ∈ Rn, i = 0, k, x̃, ˜̃x ∈ Rn, l1,
l2 — деякi додатнi сталi.
Припустимо, що власнi значення aj , j = 1, n,матрицiA задовольняють умову Re aj(A) 6=
6= 0, j = 1, n. У цьому випадку, як вiдомо, iснує неособлива матриця C, яка зводить ма-
трицю A до вигляду
A = C−1diag (A1, A2)C,
де A1, A2 — деякi сталi матрицi розмiрностi p× p i (n− p)× (n− p), власнi значення яких
задовольняють умови
Re aj(A1) < 0, j = 1, . . . , p,
(2)
Re aj(A2) > 0, j = p+ 1, . . . , n, 0 < p ≤ n.
1. Дослiдимо спочатку питання про iснування T -перiодичних розв’язкiв системи рiв-
нянь (1) при ε = 0, тобто системи рiвнянь вигляду
ẋ(t) = Ax(t) + f (t, x(t), x(λ1t+ ψ1(t, x(t)), . . . , x(λkt+ ψk(t, x(t))), 0) . (3)
Для цього виконаємо перетворення
ẋ(t) = Ax(t) + y(t), (4)
де y(t) ∈ C0, C0 — простiр неперервних T -перiодичних вектор-функцiй з нормою ‖y(t)‖ =
= maxt |y(t)|. Тодi з (4) безпосередньо випливає, що x(t) визначається єдиним чином за
допомогою спiввiдношення
x(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ, (5)
де
G(t) =
C−1diag (eA1t, 0)C при t > 0,
−C−1diag (0, eA2t)C при t < 0.
(6)
При цьому для матричної функцiї G(t) = (gij(t)) виконуються такi умови:
а) G(+0)−G(−0) = E, де E — одинична матриця розмiрностi n× n;
б) |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0, де K > 0, α > 0 i |G| = max1≤i≤n
∑n
j=1 |gij |;
в) Ġ = AG, t 6= 0.
Внаслiдок перетворення (4) система рiвнянь (3) набирає вигляду
y(t) = f
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ,
+∞∫
−∞
G
λ1t+ ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y(s)ds
−τ
y(τ)dτ, . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 183
. . . ,
+∞∫
−∞
G
λkt+ ψk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y(s)ds
−τ
y(τ)dτ, 0
або
y(t) = f
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)y(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ)) ×
× y
λ1τ + ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y(s)ds
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))y
λkτ + ψk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y(s)ds
dτ, 0
, (7)
де G(t) визначається за допомогою спiввiдношення (6). Для системи рiвнянь (7) має мiсце
наступна теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються такi умови:
1) числа λi, i = 1, k, є цiлими додатними;
2) всi власнi значення aj , j = 1, n, матрицi A такi, що має мiсце (2), тобто iснують
K > 0 i α > 0 такi, що |G(t)| ≤ Ke−α|t| при всiх t 6= 0;
3) всi компоненти вектор-функцiї f(t, y0, y1, . . . , yk, 0) є неперервними за всiма змiн-
ними T -перiодичними по t функцiями i maxt∈R |f(t, 0, . . . , 0, 0)| ≤ N < +∞;
4) функцiї ψi(t, y), i = 1, k, є неперервними за всiма змiнними i T -перiодичними по t;
5) |f(t̃, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk, 0) − f(˜̃t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk, 0)| ≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+
∑k
i=0 |ỹi − ˜̃yi|
)
, |ψi(t̃, ỹ) −
−ψi(˜̃t, ˜̃y)| ≤ l2
(
|t̃− ˜̃t|+ |ỹ − ˜̃y|
)
, i = 1, k, де t̃, ˜̃t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k, ỹ, ˜̃y ∈ Rn,
l1 = const > 0, l2 = const > 0;
6) виконуються нерiвностi
2Kl1
α
(
1 + k
2Kl l2
α
+ k
)
< 1,
(8)
l1
l
(
1 +
2Kl
α
+
2Kl
α
(
k∑
i=1
λi + l2k +
2Kl l2k
α
))
≤ 1.
Тодi iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ = γ(t) системи рiвнянь (7),
що задовольняє умову
|γ(t̃)− γ(˜̃t)| ≤ l|t̃− ˜̃t|, (9)
де t̃, ˜̃t ∈ R, l = const > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
184 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
Доведення. Розв’язок системи рiвнянь (7) побудуємо за допомогою методу послiдов-
них наближень, якi визначимо формулами
y0(t) = 0,
ym(t) = f
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)ym−1(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ)) ×
× ym−1
λ1τ + ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))×
× ym−1
λkτ + ψk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
dτ, 0
, m = 1, 2, . . . . (10)
Спочатку покажемо, що при всiх m = 0, 1, . . . виконуються нерiвностi
|ym(t̃)− ym(˜̃t)| ≤ l|t̃− ˜̃t|, (11)
де t̃, ˜̃t ∈ R, l = const > 0. На пiдставi умов теореми iз (10) отримуємо
|y0(t̃)− y0(˜̃t)| = 0,
|y1(t̃ )− y1(˜̃t )| ≤
∣∣∣∣∣∣f
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− τ)y0(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t̃− τ))×
× y0
λ1τ + ψ1
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)y0(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t̃− τ))×
× y0
λkτ + ψk
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)y0(s)ds
dτ, 0
−
− f
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)y0(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(
˜̃t− τ))×
× y0
λ1τ + ψ1
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)y0(s)ds
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(
˜̃t− τ))y0
λkτ + ψk
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)y0(s)ds
dτ, 0
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 185
≤ |f(t̃, 0, . . . , 0, 0)− f(˜̃t, 0, . . . , 0, 0)| ≤ l1|t̃− ˜̃t| ≤ l
l1
l
|t̃− ˜̃t| ≤ l|t̃− ˜̃t|,
тобто оцiнка (11) виконується при m = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
умову (11) доведено для деякого m, i покажемо, що вона зберiгається при переходi вiд m
до m+ 1. Дiйсно, з огляду на умови теореми iз (10) одержуємо
|ym+1(t̃)− ym+1(
˜̃t)| ≤
∣∣∣∣∣∣f
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− τ)ym(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t̃− τ))×
× ym
λ1τ + ψ1
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t̃− τ))×
×ym
λkτ + ψk
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
dτ, 0
−
− f
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)ym(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(
˜̃t− τ)) ×
× ym
λ1τ + ψ1
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(
˜̃t− τ))×
× ym
λkτ + ψk
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
dτ, 0
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− τ)ym(τ)dτ −
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)ym(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ +
+
k∑
i=1
λi
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(λi(t̃− τ))ym
λiτ + ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
dτ −
−
+∞∫
−∞
G(λi(
˜̃t− τ))ym
λiτ + ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
dτ
∣∣∣∣∣∣
.
Оскiльки ∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− τ)ym(τ)dτ−
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)ym(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
186 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
=
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(ξ)ym(t̃− ξ)dξ −
+∞∫
−∞
G(ξ)ym(˜̃t− ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
+∞∫
−∞
|G(ξ)| |ym(t̃− ξ)− ym(˜̃t− ξ)|dξ ≤
≤ K
+∞∫
−∞
e−α|ξ|l|t̃− ξ − (˜̃t− ξ)|dξ ≤ Kl
2
α
|t̃− ˜̃t|
та ∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(λi(t̃− τ))ym
λiτ + ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
dτ −
−
+∞∫
−∞
G(λi(
˜̃t− τ))ym
λiτ + ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
dτ
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(λiξ)ym
λi(t̃− ξ) + ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
dξ −
−
+∞∫
−∞
G(λiξ)ym
λi(˜̃t− ξ) + ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
+∞∫
−∞
|G(λiξ)|
∣∣∣∣∣∣ym
λi(t̃− ξ) + ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
−
−ym
λi(˜̃t− ξ) + ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
∣∣∣∣∣∣ dξ ≤
≤
+∞∫
−∞
Ke−αλi|ξ|l
∣∣∣∣∣∣λi(t̃− ξ) + ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
−
−λi(˜̃t− ξ)− ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
∣∣∣∣∣∣ dξ ≤ Kl
+∞∫
−∞
e−αλi|ξ|dξ×
×
λi|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣ψi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds
− ψi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
∣∣∣∣∣∣
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 187
≤ Kl
2
αλi
λi|t̃− ˜̃t|+ l2
|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− s)ym(s)ds−
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)ym(s)ds
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ 2Kl
αλi
(
λi|t̃− ˜̃t|+ l2
(
|t̃− ˜̃t|+Kl
2
α
|t̃− ˜̃t|
))
≤ 2Kl
αλi
(
λi + l2 + l2
2Kl
α
)
|t̃− ˜̃t|,
то маємо
|ym+1(t̃)− ym+1(
˜̃t)| ≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+Kl
2
α
|t̃− ˜̃t|+
k∑
i=1
λi
2Kl
αλi
(
λi + l2 + l2
2Kl
α
)
|t̃− ˜̃t|
)
≤
≤ l1
(
1 +
2Kl
α
+
2Kl
α
k∑
i=1
(
λi + l2 +
2Kl l2
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤
≤ l1
(
1 +
2Kl
α
+
2Kl
α
(
k∑
i=1
λi + l2k +
2Kl l2k
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤
≤ l l1
l
(
1 +
2Kl
α
(
1 +
k∑
i=1
λi + l2k +
2Kl l2k
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤ l|t̃− ˜̃t|.
Отже, цим доведено, що нерiвнiсть (11) має мiсце при t̃, ˜̃t ∈ R i m = 0, 1, . . . .
Тепер, розмiрковуючи за iндукцiєю, покажемо, що при всiх m = 1, 2, . . . , t ∈ R вико-
нуються спiввiдношення
|ym(t)− ym−1(t)| ≤ NΘm−1, (12)
де
Θ :=
2Kl1
α
(
1 + k
2Kl l2
α
+ k
)
.
Справдi, зважаючи на умови теореми, маємо
|y1(t)− y0(t)| ≤
∣∣∣∣∣∣f
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)y0(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))×
× y0
λ1τ + ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y0(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))×
× y0
λkτ + ψk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)y0(s)ds
dτ, 0
∣∣∣∣∣∣ ≤ |f(t, 0, . . . , 0, 0)| ≤ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
188 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
тобто при m = 1 оцiнка (12) має мiсце. Припустимо, що оцiнку (12) встановлено для
деякого m ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для m+ 1. Дiйсно, з (10) одержуємо
|ym+1(t)− ym(t)| ≤ l1
+∞∫
−∞
|G(t− τ)| |ym(τ)− ym−1(τ)|dτ+
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))|
∣∣∣∣∣∣ym
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym(s)ds
−
−ym−1
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
∣∣∣∣∣∣ dτ
≤
≤ l1
+∞∫
−∞
Ke−α|t−τ |NΘm−1dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |×
×
∣∣∣∣∣∣ym
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym(s)ds
−
−ym
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣ym
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
−
− ym−1
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
∣∣∣∣∣∣
dτ
≤
≤ Kl1
NΘm−1
+∞∫
−∞
e−α|t−τ |dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
e−αλi|t−τ |×
×
l
∣∣∣∣∣∣ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym(s)ds
−
− ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)ym−1(s)ds
∣∣∣∣∣∣+NΘm−1
dτ
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 189
≤ Kl1
NΘm−1 2
α
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
e−αλi|t−τ |dτ×
×
l l2 +∞∫
−∞
|G(t− s)| |ym(s)− ym−1(s)| ds+NΘm−1
≤
≤ Kl1
NΘm−1 2
α
+
k∑
i=1
λi
2
αλi
l l2 +∞∫
−∞
Ke−α|t−s|NΘm−1ds+NΘm−1
≤
≤ NΘm−1 2Kl1
α
(
1 +
k∑
i=1
(
l l2K
2
α
+ 1
))
≤
≤ NΘm−1 2Kl1
α
(
1 + k
(
l l2K
2
α
+ 1
))
= NΘm.
Цим доведено, що оцiнка (12) має мiсце для довiльного m ≥ 1.
По iндукцiї покажемо, що наближення ym(t), m = 0, 1, 2, . . . , є T -перiодичними вектор-
функцiями по t, тобто
ym(t+ T ) = ym(t), m = 0, 1, . . . . (13)
З огляду на умови теореми маємо
y0(t+ T ) = 0 = y0(t),
тобто спiввiдношення (13) виконується при m = 0. Припустимо, що спiввiдношення (13)
встановлено для деякого m ≥ 0, i покажемо, що воно буде справедливим для m + 1.
Справдi, iз (10) маємо
ym+1(t+ T ) = f
t+ T,
+∞∫
−∞
G(t+ T − τ)ym(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t+ T − τ))×
× ym
λ1τ + ψ1
t+ T,
+∞∫
−∞
G(t+ T − s)ym(s)ds
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t+ T − τ))×
× ym
λkτ + ψk
t+ T,
+∞∫
−∞
G(t+ T − s)ym(s)ds
dτ, 0
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
190 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
= f
t, +∞∫
−∞
G(t+ T − τ)ym(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t+ T − τ))×
× ym
λ1τ + ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t+ T − s)ym(s)ds
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t+ T − τ))×
×ym
λkτ + ψk
t, +∞∫
−∞
G(t+ T − s)ym(s)ds
dτ, 0
=
= f
t, +∞∫
−∞
G(t− u)ym(u)du, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− u))×
× ym
λ1u+ ψ1
t, +∞∫
−∞
G(t− s̃)ym(s̃)ds̃
du, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− u))×
× ym
λku+ ψk
t, +∞∫
−∞
G(t− s̃)ym(s̃)ds̃
du, 0
= ym+1(t), m = 1, 2, . . . .
Отже, спiввiдношення (13) виконуються при всiх m ≥ 0.
Таким чином, всi наближення ym(t), m = 0, 1, 2, . . . , є неперервними T -перiодичними
вектор-функцiями i для них справджуються оцiнки (11) i (12). Враховуючи (8) i (12), при-
ходимо до висновку, що ряд
+∞∑
m=1
(ym(t)− ym−1(t))
рiвномiрно збiгається для довiльного t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-
функцiї γ(t) = limm→+∞ ym(t), яка є розв’язком системи рiвнянь (7) i задовольняє умову
Лiпшиця
|γ(t̃)− γ(˜̃t)| ≤ l|t̃− ˜̃t|,
де t̃, ˜̃t ∈ R, l = const > 0 (в цьому легко переконатись, якщо в (10), (11) перейти до
границi при m → +∞). Зауважимо, що при цьому
|γ(t)| ≤
+∞∑
m=1
|ym(t)− ym−1(t)| ≤
+∞∑
m=1
NΘm−1 =
N
1−Θ
.
Насамкiнець покажемо, що система (7) не має iнших неперервних T -перiодичних роз-
в’язкiв. Дiйсно, нехай iснує ще один неперервний T -перiодичний розв’язок η(t) системи
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 191
рiвнянь (7) такий, що γ(t) 6= η(t). Тодi одержуємо
|γ(t)− η(t)| ≤ l1
+∞∫
−∞
|G(t− τ)| |γ(τ)− η(τ)|dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λi(t− τ))|×
×
∣∣∣∣∣∣γ
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)γ(s)ds
−
− η
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)η(s)ds
∣∣∣∣∣∣ dτ
≤
≤ l1
+∞∫
−∞
Ke−α|t−τ ||γ(τ)− η(τ)|dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|t−τ |×
×
∣∣∣∣∣∣γ
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)γ(s)ds
−
−γ
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)η(s)ds
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣γ
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)η(s)ds
−
−η
λiτ + ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)η(s)ds
∣∣∣∣∣∣
dτ
≤
≤ l1K
max
t
|γ(t)− η(t)|
+∞∫
−∞
e−α|t−τ |dτ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
e−αλi|t−τ |×
×
l
∣∣∣∣∣∣ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)γ(s)ds
−
−ψi
t, +∞∫
−∞
G(t− s)η(s)ds
∣∣∣∣∣∣+ max
t
|γ(t)− η(t)|
dτ
≤
≤ l1K
2
α
max
t
|γ(t)− η(t)|+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
e−αλi|t−τ |dτ×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
192 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
×
l l2 +∞∫
−∞
|G(t− s)| |γ(s)− η(s)|ds+ max
t
|γ(t)− η(t)|
≤
≤ l1K
(
2
α
max
t
|γ(t)− η(t)|+
k∑
i=1
λi
2
αλi
×
×
l l2 max
t
|γ(t)− η(t)|
+∞∫
−∞
Ke−α|t−s|ds+ max
t
|γ(t)− η(t)|
≤
≤ l1K
(
2
α
+ k
2
α
[
l l2K
2
α
+ 1
])
max
t
|γ(t)− η(t)| ≤
≤ 2Kl1
α
(
1 + k
2Kl l2
α
+ k
)
max
t
|γ(t)− η(t)| ≤ Θ‖γ(t)− η(t)‖,
де ‖γ(t)− η(t)‖ = max
t
|γ(t)− η(t)|.
Отже, отримуємо спiввiдношення
‖γ(t)− η(t)‖ ≤ Θ‖γ(t)− η(t)‖,
яке може мати мiсце лише у випадку, коли Θ ≥ 1, що суперечить припущенню (8). Цим
доведено, що вектор-функцiя γ(t) є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком сис-
теми рiвнянь (7), що задовольняє умову (9).
Теорему 1 доведено.
З огляду на теорему 1 i спiввiдношення (5) приходимо до висновку, що вектор-функцiя
x̄(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)γ(τ)dτ (14)
є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи (3). При цьому внаслiдок (9) iз
(14) отримуємо
|x̄(t̃)− x̄(˜̃t)| ≤
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− τ)γ(τ)dτ −
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)γ(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(ξ)γ(t̃− ξ)dξ −
+∞∫
−∞
G(ξ)γ(˜̃t− ξ)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
+∞∫
−∞
|G(ξ)| |γ(t̃− ξ)− γ(˜̃t− ξ)|dξ ≤ K
+∞∫
−∞
e−α|ξ| l |t̃− ˜̃t|dξ ≤ 2Kl
α
|t̃− ˜̃t|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 193
Отже, вектор-функцiя x̄(t) є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи
(3) (тобто системи рiвнянь (1) при ε = 0), що задовольняє умову
|x̄(t̃)− x̄(˜̃t)| ≤ 2Kl
α
|t̃− ˜̃t|,
де t̃, ˜̃t ∈ R, K, l, α — деякi додатнi сталi, x̄(t) визначається за допомогою спiввiдношен-
ня (14).
2. Перейдемо до дослiдження T -перiодичних розв’язкiв системи рiвнянь (1) при ε 6= 0.
Виконаємо в системi рiвнянь (1) взаємно однозначну замiну змiнних
x(t) = y(t) + x̄(t), (15)
де x̄(t) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) при ε = 0.В результатi отримаємо
систему рiвнянь вигляду
ẏ(t) = Ay(t) + ϕ (t, y(t), y (λ1t+ v1(t, y(t))) , . . . , y (λkt+ vk(t, y(t))) , ε) , (16)
де
vi(t, y(t)) = ψi(t, y(t) + x̄(t)), i = 1, k,
ϕ(t, y(t),y(λ1t+ v1(t, y(t))), . . . , y(λkt+ vk(t, y(t))), ε) =
= f (t, y(t) + x̄(t), y (λ1t+ ψ1(t, y(t) + x̄(t))) + x̄ (λ1t+ ψ1(t, y(t) + x̄(t))) , . . .
. . . , y (λkt+ ψk(t, y(t) + x̄(t))) + x̄ (λkt+ ψk(t, y(t) + x̄(t))) , ε)−
− f (t, x̄(t), x̄ (λ1t+ ψ1(t, x̄(t))) , . . . , x̄ (λkt+ ψk(t, x̄(t))) , 0) .
Легко переконатися, що вектор-функцiя
ϕ (t, y(t), y (λ1t+ v1(t, y(t))) , . . . , y (λkt+ vk(t, y(t))) , ε)
i функцiї vi(t, y(t)), i = 1, k, задовольняють умови 1∗, 2∗ i ϕ(t, 0, . . . , 0, 0) ≡ 0.
Виконаємо перетворення
ẏ(t) = Ay(t) + z(t), (17)
де z(t) ∈ C0, C0 — простiр неперервних на R T -перiодичних вектор-функцiй з нормою
‖z(t)‖ = maxt |z(t)|. Тодi внаслiдок умов (2) iз (17) безпосередньо випливає, що y(t) визна-
чається єдиним чином за допомогою рiвностi
y(t) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ, (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
194 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
де G(t) визначається спiввiдношенням (6). В результатi перетворення (17) система рiв-
нянь (16) набирає вигляду
z(t) = ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ,
+∞∫
−∞
G
λ1t+ v1(t,
+∞∫
−∞
G(t− s)z(s)ds)− τ
z(τ)dτ, . . .
. . . ,
+∞∫
−∞
G
λkt+ vk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)z(s)ds
− τ
z(τ)dτ, ε
або
z(t) =ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z(τ)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))z
λ1τ + v1(t,
+∞∫
−∞
G(t− s)z(s)ds)
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))z
λkτ + vk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)z(s)ds
dτ, ε
. (19)
Для системи рiвнянь (19) має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються такi умови:
1) числа λi, i = 1, k, є цiлими додатними;
2) всi власнi значення aj , j = 1, n, матрицi A такi, що має мiсце (2), тобто iснують
K > 0 i α > 0 такi, що |G(t)| ≤ K e−α|t| при всiх t 6= 0;
3) всi компоненти вектор-функцiї ϕ(t, y0, y1, . . . , yk, ε) є неперервними за всiма змiнни-
ми T -перiодичними по t функцiями i ϕ(t, 0, . . . , 0, 0) ≡ 0, supt |ϕ(t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ M < +∞;
4) функцiї vi(t, y), i = 1, k, є неперервними за всiма змiнними i T -перiодичними по t;
5) |ϕ(t̃, ỹ0, ỹ1, . . . , ỹk, ε) − ϕ(˜̃t, ˜̃y0, ˜̃y1, . . . , ˜̃yk, ε)| ≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+
∑k
i=0 |ỹi − ˜̃yi|
)
, |vi(t̃, ỹ) −
−vi(˜̃t, ˜̃y)| ≤ l2
(
|t̃− ˜̃t|+ |ỹ − ˜̃y|
)
, i = 1, k, де t̃, ˜̃t ∈ R, ỹi, ˜̃yi ∈ Rn, i = 0, k, ỹ, ˜̃y ∈ Rn, l1, l2 —
деякi додатнi сталi;
6) виконуються нерiвностi
2Kl1
α
(
1 + k
2KLl2
α
+ k
)
< 1,
(20)
l1
L
(
1 +
2KL
α
+
2KL
α
(
k∑
i=1
λi + l2k +
2KLl2k
α
))
≤ 1.
Тодi iснує єдиний неперервний T -перiодичний розв’язок γ = γ(t, ε) системи рiвнянь
(19), що задовольняє умову
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 195
|γ(t̃, ε)− γ(˜̃t, ε)| ≤ L|t̃− ˜̃t|,
(21)
lim
ε→0
γ(t, ε) = 0,
де t, t̃, ˜̃t ∈ R, L = L(ε) — додатна стала, що залежить вiд ε.
Доведення проводиться за тiєю ж схемою, що i доведення теореми 1. При цьому по-
слiдовнi наближення визначаються формулами
z0(t, ε) ≡ 0,
zm(t, ε) = ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)zm−1(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))×
× zm−1
λ1τ + v1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm−1(s, ε)ds
, ε
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))×
× zm−1
λkτ + vk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm−1(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
, m = 1, 2, . . . .
(22)
Розмiрковуючи за iндукцiєю, можна показати (аналогiчно доведенню теореми 1), що
при всiх t ∈ R виконуються спiввiдношення
|zm(t̃, ε)− zm(˜̃t, ε)| ≤ L|t̃− ˜̃t|, m = 0, 1, . . . , (23)
|zm(t, ε)− zm−1(t, ε)| ≤ Mθm−1, m = 1, 2, . . . , (24)
zm(t+ T, ε) = zm(t, ε), m = 0, 1, . . . ,
де
θ :=
2Kl1
α
(
1 + k
2KLl2
α
+ k
)
,
t, t̃, ˜̃t ∈ R, L = L(ε) та M = M(ε) > M — деякi додатнi сталi, що залежать вiд ε.
Доведемо, наприклад, що виконуються спiввiдношення (23). На пiдставi умов теореми
iз (22) отримуємо
|z1(t̃, ε)− z1(˜̃t, ε)| ≤
∣∣∣∣∣∣ϕ
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− τ)z0(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t̃− τ))×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
196 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
× z0
λ1τ + v1
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t̃− τ))×
×z0
λkτ + vk
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
−
− ϕ
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)z0(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(
˜̃t− τ))×
× z0
λ1τ + v1
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(
˜̃t− τ))×
×z0
λkτ + vk
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ |ϕ(t̃, 0, . . . , 0, ε)− ϕ(˜̃t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ l1|t̃− ˜̃t| ≤ L
l1
L
|t̃− ˜̃t| ≤ L |t̃− ˜̃t|,
тобто оцiнка (23) виконується при m = 1. Розмiрковуючи за iндукцiєю, припустимо, що
умову (23) доведено для деякого m, i покажемо, що вона зберiгається при переходi вiд m
до m+ 1. Дiйсно, з огляду на умови теореми iз (22) одержуємо
|zm+1(t̃, ε)− zm+1(
˜̃t, ε)| ≤
∣∣∣∣∣∣ϕ
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− τ)zm(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t̃− τ))×
× zm
λ1τ + v1
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t̃− τ))×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 197
×zm
λkτ + vk
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
−
− ϕ
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)zm(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(
˜̃t− τ))×
× zm
λ1τ + v1
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ, . . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(
˜̃t− τ))×
×zm
λkτ + vk
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− τ)zm(τ, ε)dτ−
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)zm(τ, ε)dτ
∣∣∣∣∣∣+
+
k∑
i=1
λi
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(λi(t̃− τ))zm
λiτ + vi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ−
−
+∞∫
−∞
G(λi(
˜̃t− τ))zm
λiτ + vi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
, ε
dτ
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(ξ)zm(t̃− ξ, ε)dξ −
+∞∫
−∞
G(ξ)zm(˜̃t− ξ, ε)dξ
∣∣∣∣∣∣+
+
k∑
i=1
λi
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(λiξ)zm
λi(t̃− ξ) + vi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
, ε
dξ−
−
+∞∫
−∞
G(λiξ)zm
λi(˜̃t− ξ) + vi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
, ε
dξ
∣∣∣∣∣∣
≤
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+
+∞∫
−∞
|G(ξ)| |zm(t̃− ξ, ε)− zm(˜̃t− ξ, ε)| dξ+
+
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
|G(λiξ)|
∣∣∣∣∣∣zm
λi(t̃− ξ) + vi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
, ε
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
198 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
−zm
λi(˜̃t− ξ) + vi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
, ε
∣∣∣∣∣∣ dξ
≤
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+K
+∞∫
−∞
e−α|ξ|L|t̃− ˜̃t|dξ +
k∑
i=1
λi
+∞∫
−∞
Ke−αλi|ξ|×
× L
∣∣∣∣∣∣λi(t̃− ξ) + vi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
− λi(˜̃t− ξ)+
+vi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
∣∣∣∣∣∣ dξ
≤ l1
|t̃− ˜̃t|+KL
2
α
|t̃− ˜̃t|+
+
k∑
i=1
λiKL
λi|t̃− ˜̃t|+
∣∣∣∣∣∣vi
t̃, +∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds
−
−vi
˜̃t,
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
e−αλi|ξ|dξ
≤
≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+ 2KL
α
|t̃− ˜̃t|+
k∑
i=1
λiKL
(
λi|t̃− ˜̃t|+ l2
(
|t̃− ˜̃t|+
+
∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− s)zm(s, ε)ds−
+∞∫
−∞
G(˜̃t− s)zm(s, ε)ds
∣∣∣∣∣
))
2
αλi
)
≤
≤ l1
(
|t̃− ˜̃t|+ 2KL
α
|t̃− ˜̃t|+ 2KL
α
k∑
i=1
(
λi|t̃− ˜̃t|+ l2
(
|t̃− ˜̃t|+KL
2
α
|t̃− ˜̃t|
)))
≤
≤ l1
(
1 +
2KL
α
+
2KL
α
k∑
i=1
(
λi + l2 +
2KLl2
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤
≤ l1
(
1 +
2KL
α
+
2KL
α
(
k∑
i=1
λi + l2k +
2KLl2k
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤
≤ L
l1
L
(
1 +
2KL
α
(
1 +
k∑
i=1
λi + l2k +
2KLl2k
α
))
|t̃− ˜̃t| ≤ L|t̃− ˜̃t|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 199
Отже, цим доведено, що нерiвнiсть (23) має мiсце при t̃, ˜̃t ∈ R i m = 0, 1, . . . .
Таким чином, послiдовнiсть неперервних T -перiодичних вектор-функцiй zm(t, ε), m =
= 0, 1, 2, . . . , для яких справджуються оцiнки (24), рiвномiрно збiгається для довiльного
t ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної вектор-функцiї γ = γ(t, ε), яка є розв’язком
системи рiвнянь (19) i задовольняє умову Лiпшиця
|γ(t̃)− γ(˜̃t)| ≤ L|t̃− ˜̃t|,
де t̃, ˜̃t ∈ R, L — деяка додатна стала (в цьому легко переконатися, якщо в (22), (23)
перейти до границi при m → +∞). При цьому зауважимо, що має мiсце нерiвнiсть
|γ(t, ε)| ≤
+∞∑
m=1
|zm(t, ε)− zm−1(t, ε)| ≤
+∞∑
m=1
Mθm−1 =
M
1− θ
.
Покажемо тепер, що розв’язок γ(t, ε) системи рiвнянь (19) задовольняє умову
lim
ε→0
γ(t, ε) = 0.
Для цього доведемо, що при всiх t ∈ R, m = 0, 1, 2, . . . виконуються спiввiдношення
lim
ε→0
zm(t, ε) = 0. (25)
Розглядаючи послiдовно (22), де m = 0, 1, 2, . . . , отримуємо
lim
ε→0
z0(t, ε) = 0,
lim
ε→0
z1(t, ε) = lim
ε→0
ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)z0(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))×
× z0
λ1τ + v1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))×
× z0
λkτ + vk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)z0(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
=
= ϕ (t, 0, . . . , 0, 0) ≡ 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
200 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lim
ε→0
zm(t, ε) = lim
ε→0
ϕ
t, +∞∫
−∞
G(t− τ)zm−1(τ, ε)dτ, λ1
+∞∫
−∞
G(λ1(t− τ))×
× zm−1
λ1τ + v1
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm−1(s, ε)ds
, ε
dτ, . . .
. . . , λk
+∞∫
−∞
G(λk(t− τ))×
×zm−1
λkτ + vk
t, +∞∫
−∞
G(t− s)zm−1(s, ε)ds
, ε
dτ, ε
=
= ϕ (t, 0, . . . , 0, 0) = 0, t ∈ R, m ≥ 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
що i необхiдно було довести.
Таким чином, розв’язок γ(t, ε) = limm→+∞ zm(t, ε) системи рiвнянь (19) задовольняє
умову
lim
ε→0
γ(t, ε) = 0
(в цьому легко переконатись, якщо в (25) перейти до границi при m → +∞).
Насамкiнець зауважимо, що доведення єдиностi неперервного T -перiодичного розв’яз-
ку γ(t, ε) системи рiвнянь (19) проводиться так само, як i при доведеннi теореми 1.
Таким чином, вектор-функцiя γ(t, ε) є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком
системи рiвнянь (19).
Теорему 2 доведено.
Враховуючи теорему 2 i спiввiдношення (18), переконуємося, що вектор-функцiя
ȳ(t, ε) =
+∞∫
−∞
G(t− τ)γ(τ, ε)dτ (26)
є єдиним неперервним на R T -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (1) при ε 6= 0, для
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 201
якого виконується умова limε→0 ȳ(t, ε) = 0. При цьому внаслiдок (21) iз (26) отримуємо
|ȳ(t̃, ε)− ȳ(˜̃t, ε)| ≤
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(t̃− τ)γ(τ, ε)dτ −
+∞∫
−∞
G(˜̃t− τ)γ(τ, ε)dτ
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
−∞
G(ξ)γ(t̃− ξ, ε)dξ −
+∞∫
−∞
G(ξ)γ(˜̃t− ξ, ε)dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
+∞∫
−∞
|G(ξ)||γ(t̃− ξ, ε)− γ(˜̃t− ξ, ε)|dξ ≤
≤ K
+∞∫
−∞
e−α|ξ|L|t̃− ˜̃t|dξ ≤ 2KL
α
|t̃− ˜̃t|.
Отже, вектор-функцiя ȳ(t, ε) є єдиним неперервним T -перiодичним розв’язком системи
(1) при ε 6= 0, що задовольняє умови
|ȳ(t̃, ε)− ȳ(˜̃t, ε)| ≤ 2KL
α
|t̃− ˜̃t|, lim
ε→0
ȳ(t, ε) = 0,
де t̃, ˜̃t ∈ R, α, K, L — деякi додатнi сталi.
Висновок. Таким чином, з огляду на (15) i теореми 1, 2 приходимо до висновку, що
система рiвнянь (1) має єдиний неперервний на R T -перiодичний розв’язок
x̂(t, ε) = ȳ(t, ε) + x̄(t)
такий, що
lim
ε→0
x̂(t, ε) = x̄(t),
|x̂(t̃, ε)− x̂(˜̃t, ε)| ≤ 2K(L+ l)
α
|t̃− ˜̃t|,
де t̃, ˜̃t ∈ R, K, α, l, L = L(ε) — деякi додатнi сталi, x̄(t) — T -перiодичний розв’язок системи
рiвнянь (1) при ε = 0, ȳ(t, ε) — T -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (1) при ε 6= 0.
Зауваження. Якщо числа λi ∈ R\{0}, i = 1, k, то за допомогою аналогiчних мiркувань
можна дослiдити питання iснування та єдиностi неперервних на всiй дiйснiй осi розв’язкiв
системи рiвнянь (1). При цьому для систем рiвнянь (7) i (19) мають мiсце наступнi теоре-
ми.
Теорема 3. Нехай виконуються умови 2, 5, 6 теореми 1 i
1′) λi 6= 0, i = 1, k, — дiйснi числа;
3′) всi компоненти вектор-функцiї f(t, y0, y1, . . . , yk, 0) є неперервними за всiма змiн-
ними при t ∈ R, yi ∈ Rn, i = 0, k, i supt∈R |f(t, 0, . . . , 0, 0)| ≤ N < +∞;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
202 Н. Л. ДЕНИСЕНКО
4′) функцiї ψi(t, y), i = 1, k, є неперервними за всiма змiнними при t ∈ R, y ∈ Rn.
Тодi iснує єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ = γ(t) системи
рiвнянь (7), що задовольняє умову (9).
Теорема 4. Нехай виконуються умови 2, 5, 6 теореми 2 i
1′′) λi 6= 0, i = 1, k, — дiйснi числа;
3′′) всi компоненти вектор-функцiї ϕ(t, y0, y1, . . . , yk, ε) є неперервними за всiма змiн-
ними при t ∈ R, yi ∈ Rn, i = 0, k, i ϕ(t, 0, . . . , 0, 0) ≡ 0, supt∈R |ϕ(t, 0, . . . , 0, ε)| ≤ M < +∞;
4′′) функцiї vi(t, y), i = 1, k, є неперервними за всiма змiнними при t ∈ R, y ∈ Rn.
Тодi iснує єдиний неперервний обмежений при t ∈ R розв’язок γ = γ(t, ε) системи
рiвнянь (19), що задовольняє умову (21), i limε→0 γ(t, ε) = 0.
Отже, на пiдставi (15) i теорем 3, 4 отримуємо, що система рiвнянь (1) має єдиний
неперервний при t ∈ R розв’язок x̂(t, ε) = ȳ(t, ε) + x̄(t) такий, що
lim
ε→0
x̂(t, ε) = x̄(t), |x̂(t̃, ε)− x̂(˜̃t, ε)| ≤ 2K(L+ l)
α
|t̃− ˜̃t|,
де t̃, ˜̃t ∈ R, K, α, l, L = L(ε) — деякi додатнi сталi, x̄(t) — неперервний при t ∈ R розв’язок
системи рiвнянь (1) при ε = 0, який визначається за допомогою спiввiдношення (14),
ȳ(t, ε) — неперервний при t ∈ R розв’язок системи рiвнянь (1) при ε 6= 0, який визнача-
ється за допомогою спiввiдношення (26).
Лiтература
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. Kwapisz M. On the existence and uniqueness of solutions of certain integral-differential equation // Ann.
pol. math. — 1975. — 31, № 1. — P. 23 – 41.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Денисенко Н. Л. Асимптотичнi властивостi неперервних розв’язкiв систем диференцiально-функцiо-
нальних рiвнянь з лiнiйними перетвореннями аргументу // Наук. вiстi НТУУ „КПI”. — 2008. — № 3. —
С. 135 – 141.
5. Денисенко Н. Л. Про властивостi неперервних перiодичних розв’язкiв систем диференцiально-функ-
цiональних рiвнянь iз малим параметром // Нелiнiйнi коливання. — 2014. — 17, № 3. — С. 332 – 340.
6. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Мартынюк Д. И. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1985. — 216 с.
Одержано 21.04.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|