Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития
Наведено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. Введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Показано, що у запропонованiй моделi можливе iснування граничного циклу. We give a modification of the Forrester model for the world dynamics. A new characteristic due to th...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177253 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 227-234 — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859829760403701760 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 227-234 — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Наведено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. Введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Показано, що у запропонованiй моделi можливе iснування граничного циклу.
We give a modification of the Forrester model for the world dynamics. A new characteristic due to the discontent has been introduced at every level of the model. We show that the proposed model could have a limit cycle.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:32:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
ОБ ОДНОЙ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ
МИРОВОЙ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ РАЗВИТИЯ
Д. М. Лила, А. А. Мартынюк
Ин-т механики НАН Украины
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина
We give a modification of the Forrester model for the world dynamics. A new characteristic due to the
discontent has been introduced at every level of the model. We show that the proposed model could have a
limit cycle.
Наведено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. Введено фактор невдоволен-
ня на кожному системному рiвнi моделi. Показано, що у запропонованiй моделi можливе iснуван-
ня граничного циклу.
Введение. В начале 70-х годов прошлого века Форрестером [1] и Медоузом [2, 3] были
созданы первые количественные модели мировой динамики. Обращение к моделям Фор-
рестера и Медоуза в настоящее время объясняется тем, что за прошедшее время общие
тенденции мирового развития изменились не слишком сильно, и развитие, в основном,
происходит согласно сценарию, указанному в их модели (см. [4, 5]).
Целью данной работы является обсуждение одной численной реализации обобщен-
ной модели Форрестера, учитывающей фактор недовольства развитием на отдельных
уровнях модели.
Постановка задачи. Модель мировой динамики Форрестера (см. [1 – 3]) построена на
основе подхода, развитого при изучении сложных систем с нелинейными обратными свя-
зями. При моделировании мировой динамики были приняты во внимание следующие гло-
бальные процессы:
(i) быстрый рост населения планеты;
(ii) индустриализация и связанный с нею рост промышленного производства;
(iii) ограниченность пищевых ресурсов;
(iv) увеличение отходов производства;
(v) нехватка природных ресурсов.
Основными переменными в модели Форрестера являются:
(a) население P (далее используется обозначение X1);
(b) основные фонды K (X2);
(c) доля фондов в сельском хозяйстве X (X3);
c© Д. М. Лила, А. А. Мартынюк, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2 227
228 Д. М. ЛИЛА, А. А. МАРТЫНЮК
(d) уровень загрязнения окружающей среды Z (X4);
(i) количество невозобновляемых природных ресурсов R (X5).
Факторами, через которые осуществляется взаимовлияние переменных X1, . . . , X5, при-
няты следующие:
относительная численность населения Pp (население, нормированное к его числен-
ности в 1970 г.);
удельный капитал Kp;
материальный уровень жизни C;
относительный уровень питания F ;
нормированная величина удельного капитала в сельском хозяйстве Xp;
относительное загрязнение Zs;
доля остающихся ресурсов RR.
Кроме перечисленных факторов Форрестер рассматривал понятие „качество жизни”
Q. Этот фактор зависит от переменных Pp, C, F и Zs : Q = QCQFQPQZ , где Q(·) — пока-
затель качества жизни по соответствующему критерию.
Для переменных P, K, X, Z, R, которые интерпретируются как системные уровни,
записываются уравнения типа
dy
dt
= y+ − y−, (1)
где y+ — положительный темп скорости роста переменной y, а y− — отрицательный
темп скорости убывания переменной y.В упрощенном виде уравнения мировой динамики
имеют вид
dP
dt
= P (B −D),
dK
dt
= K+ − T−1K K,
dX
dt
= X+ − T−1X X, (2)
dZ
dt
= Z+ − T−1Z Z,
dR
dt
= −R−,
где B — темп рождаемости, D — темп смертности, K+ — скорость производства основ-
ных фондов, X+ — прирост доли сельскохозяйственных фондов; Z+ — скорость гене-
рации загрязнения, TZ — характерное время естественного разложения загрязнения, R−
— скорость потребления ресурсов. Коэффициенты TK и TX имеют смысл характерного
времени выбытия фондов.
Математический анализ модели (2) обнаружил существование стационарных и ква-
зистационарных решений, которые интерпретируются как „глобальное равновесие” и
„устойчивое общество”.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ОБ ОДНОЙ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ . . . 229
Пусть „нация”N (совокупность международных организаций) формирует обществен-
ное мнение о глобальных процессах, происходящих на определенном системном уровне.
Изменение меры общественного мнения предлагается моделировать на каждом систем-
ном уровне уравнением
d2χ
dt2
+m2χ = 0, χ′(t0) = χ′0, χ(t0) = χ0. (3)
Здесь величина m является функцией значения переменных (a) – (i) в момент t = t0. При
этом для системных уровней записываются уравнения типа (1)
dy
dt
= y+ − y− + b(t), (4)
где функция недовольства b(t) конкретизируется так (см. [6]):
b(t) = ge±α|χ(t)|, α = const > 0. (5)
Здесь g — фактор недовольства, отражающий изменение качества жизни стран, вовле-
ченных в мировую динамику. Соотношение (5) моделирует нарастание (убывание) не-
довольства протекающими глобальными процессами в зависимости от изменения меры
общественного мнения.
Таким образом, обобщением модели Форрестера (1), (2) являются уравнения
dX1
dt
= X1(B −D) + g1e
±α|χ(t)|,
dX2
dt
= K+ − T−1K X2 + g2e
±α|χ(t)|,
dX3
dt
= X+ − T−1X X3 + g3e
±α|χ(t)|,
(6)
dX4
dt
= Z+ − T−1Z X4 + g4e
±α|χ(t)|,
dX5
dt
= −R− + g5e
±α|χ(t)|,
d2χ
dt2
+m2χ = 0,
где g1, . . . , g5 — факторы недовольства на соответствующем системном уровне.
Общую нелинейную модель мировой динамики предлагается описывать системой диф-
ференциальных уравнений вида
dXi
dt
= Wi(X) + gie
±α|χ(t)|, (7)
d2χ
dt2
+m2χ = 0, i = 1, 2, . . . , N. (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
230 Д. М. ЛИЛА, А. А. МАРТЫНЮК
Здесь X = (X1, . . . , X5, . . . , XN ) ⊆ S(H), где X1, . . . , X5 — переменные Форрестера, а
X5+1, . . . , Xn — некоторые другие переменные, вовлеченные в уравнения мировой ди-
намики; Wi : S(H) → RN+ является вектор-функцией с компонентами, описывающими
изменение переменных на соответствующем системном уровне. Предполагается, что ре-
шение (XT (t), χ(t))T системы связанных уравнений (7), (8) существует при всех t ≥ t0 и
начальных условиях (XT
0 , χ
′
0, χ0)
T ∈ int (RN+ , R×R).
Предположим, что система нелинейных уравнений
W1(X) + g1e
±α|χ(t)| = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
WN (X) + gNe
±α|χ(t)| = 0
имеет квазистационарное решение Xn(t) = (Xn1(t), . . . , XnN (t))
T при любой ограничен-
ной функции χ(t), являющейся решением уравнения (8). При этом заменой Ляпунова
Y (t) = X(t)−Xn(t)
система уравнений (7) приводится к виду
dY
dt
= Y (t, Y ), (9)
где Y (t, Y ) = W (Y +Xn(t)) + ge±|χ(t)| − (W (Xn(t)) + ge±|χ(t)|). Очевидно, Y (t, 0) = 0 при
всех t ≥ 0. Система (9) является системой возмущенных уравнений мировой динамики.
Проблема устойчивого развития связана с анализом решения Y = 0 уравнений (9).
Численная реализация. Пусть Xn(t) —
2π
m
-периодическое решение уравнений миро-
вой динамики (7), в которыхWi(X), i = 1, . . . , 5, взяты из обобщенной модели (6). В этом
случае система возмущенных уравнений мировой динамики (9) имеет вид
dY
dt
= SY,
где S = diag
[
B −D,−T−1K ,−T−1X ,−T−1Z , 0
]
. При TK , TX , TZ > 0 условием устойчивости
соответствующего предельного цикла системы (7) является условие
B −D < 0.
Нелинейная функция m = m(X10, . . . , X50) выбирается согласованно с нулевым прибли-
жением к Xn(t),
X1 = X10e
(B−D)(t−t0),
X2 = K+TK + (X20 −K+TK)e−T
−1
K (t−t0),
X3 = X+TX + (X30 −X+TX)e
−T−1
X (t−t0),
X4 = Z+TZ + (X40 − Z+TZ)e
−T−1
Z (t−t0),
X5 = X50 −R−(t− t0),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ОБ ОДНОЙ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ . . . 231
Рис. 1
полученным как решение упрощенной модели мировой динамики (2), не учитывающей
изменений меры общественного мнения
χ(t) = A sin(mt+ δ).
Здесь A =
√
χ2
0 +
χ̇2
0
m2
, δ = arctg
mχ0
χ̇0
−mt0.
Проекции на отдельные фазовые плоскости найденного с определенной точностью
методом тригонометрической коллокации по численно-аналитической схеме [7] устой-
чивого цикла обобщенной модели Форрестера приведены на рис. 1 – 3. При этом B =
= 4, 6 · 10−3, D = 6, 7 · 10−3, g1 = −3 · 10−4, K+ = 1, 4 · 10−3, TK = 51, 1126, g2 = −9 · 10−4,
X+ = 7 · 10−3, TX = 65, 8536, g3 = −6 · 10−4, Z+ = 7, 4 · 10−3, TZ = 92, 7939, g4 = 10−4,
R− = 3 · 10−4, g5 = −3 · 10−4, A = 0, 9121, δ = 56, 9308, X10 = 0, 1386, X20 = 2, 31 · 10−2,
X30 = 0, 3642, X40 = 0, 6917, X50 = 0, 1789. Графики некоторых из компонент этого пе-
риодического решения изображены на рис. 4, 5 (µ1 = 5160660, µ2 = 1502361, µ3 = 998337,
µ4 = 35094296, µ5 = 3941384, µt = 295 — масштабные множители).
Заключительные замечания. Проведенные исследования показали, что в предложен-
ной обобщенной модели может существовать предельный цикл. Это является необходи-
мым условием адекватности любой формализации задач затронутой тематики. Вместе
с этим необходимо заметить, что проблема точности контроля сходимости использо-
ванного итерационного процесса нахождения T -периодического решения влечет опре-
деленные трудности толкования необходимого и достаточного условия для существова-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
232 Д. М. ЛИЛА, А. А. МАРТЫНЮК
Рис. 2
Рис. 3
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
ОБ ОДНОЙ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ МИРОВОЙ ДИНАМИКИ . . . 233
Рис. 4
Рис. 5
ния периодических решений периода T, проходящих через выбранную начальную точ-
ку. Как следствие, предложенная численная реализация весьма чувствительна к подбору
числа m (см. (3)), начальных условий и условий, выделяющих T -систему [7], а также зна-
чений параметров исследуемой модели (чтобы убедиться, можно сравнить, к примеру,
результаты работ [8] и [9]).
Некоторые другие математические модели мировой динамики [10] имеются в работе
фон Ферстера (см. [11] и приведенную там библиографию).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
234 Д. М. ЛИЛА, А. А. МАРТЫНЮК
Литература
1. Forrester J. W. World dynamics. — Cambridge: Whright-Allen Press, 1971. — 144 p.
2. Meadows D. L., Meadows D. H. Toward global equilibrium. — Cambridge: Whrigh-Allen Press, 1972. —
274 p.
3. Медоуз Д. Х., Медоуз Д. Л., Рандерс Й., Беренс Ш. Пределы роста. — М.: Изд-во Моск. гос. ун-та,
1992. — 206 c.
4. Медоуз Д. Л., Медоуз Д. Х., Рандерс Й. За пределами роста. — М.: Прогресс, 1994. — 304 с.
5. Медоуз Д. Х., Медоуз Д. Л., Рандерс Й. Пределы роста. 30 лет спустя. — М.: Академкнига, 2007. —
342 с.
6. Мартынюк А. А. Об одной математической модели мировой динамики и устойчивости развития //
Доп. НАН України. — 2010. — № 7. — С. 16 – 21.
7. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических ре-
шений. — Киев: Вища шк., 1976. — 184 с.
8. Torres P. J. Stabilization of optically coupled lasers with periodic pumping // Nonlinear Oscillations. —
2012. — 14, № 3. — P. 414 – 422.
9. Lila D. M., Martynyuk A. A. On stability of some solutions for equations of locked lasing of optically coupled
lasers with periodic pumping // Nonlinear Oscillations. — 2009. — 12, № 4. — P. 464 – 473.
10. Махов С. А. Пятисекторная долгосрочная макромодель мировой динамики на основе эмпирических
данных. — М., 2011. — 24 с. — (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, № 72).
11. Коротаев А. В., Комарова Н. Л., Халтурина Д. А. Законы истории. Вековые циклы и тысячелетние
тренды. Демография, экономика, войны. — М.: УРСС, 2007.
Получено 03.03.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177253 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:32:26Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. 2021-02-13T20:58:58Z 2021-02-13T20:58:58Z 2016 Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития / Д.М. Лила, А.А. Мартынюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 227-234 — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177253 517.36 Наведено одну модифiкацiю моделi Форрестера свiтової динамiки. Введено фактор невдоволення на кожному системному рiвнi моделi. Показано, що у запропонованiй моделi можливе iснування граничного циклу. We give a modification of the Forrester model for the world dynamics. A new characteristic due to the discontent has been introduced at every level of the model. We show that the proposed model could have a limit cycle. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития Про одну чисельну реалізацію узагальненої моделі світової динаміки та стійкості розвитку On a numerical realization of a generalized model of the world dynamics and sustainable development Article published earlier |
| spellingShingle | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития Лила, Д.М. Мартынюк, А.А. |
| title | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_alt | Про одну чисельну реалізацію узагальненої моделі світової динаміки та стійкості розвитку On a numerical realization of a generalized model of the world dynamics and sustainable development |
| title_full | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_fullStr | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_full_unstemmed | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_short | Об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| title_sort | об одной численной реализации обобщенной модели мировой динамики и устойчивости развития |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177253 |
| work_keys_str_mv | AT liladm obodnoičislennoirealizaciiobobŝennoimodelimirovoidinamikiiustoičivostirazvitiâ AT martynûkaa obodnoičislennoirealizaciiobobŝennoimodelimirovoidinamikiiustoičivostirazvitiâ AT liladm proodnučiselʹnurealízacíûuzagalʹnenoímodelísvítovoídinamíkitastíikostírozvitku AT martynûkaa proodnučiselʹnurealízacíûuzagalʹnenoímodelísvítovoídinamíkitastíikostírozvitku AT liladm onanumericalrealizationofageneralizedmodeloftheworlddynamicsandsustainabledevelopment AT martynûkaa onanumericalrealizationofageneralizedmodeloftheworlddynamicsandsustainabledevelopment |