Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі
Предложен подход к построению решений и квазирешений краевой задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве. При выполнении необходимых и достаточных условий разрешимости соответствующие решения краевой задачи строятся с использованием обобщеннообратного оператора. В качестве примера рассмот...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177255 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 240-246 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860003507676905472 |
|---|---|
| author | Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| author_facet | Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| citation_txt | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 240-246 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Предложен подход к построению решений и квазирешений краевой задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве. При выполнении необходимых и достаточных условий разрешимости соответствующие решения краевой задачи строятся с использованием обобщеннообратного оператора. В качестве примера рассмотрена задача в пространстве ограниченных последовательностей со счетномерными матрицами.
We propose an approach for constructing solutions and quasisolutions of a boundary-value problem for a Lyapunov equation in a Banach space. If necessary and sufficient conditions for solvability are satisfied, corresponding solutions of the boundary-value problem are constructed using a generalized inverse operator. As an example, we consider the problem in the space of bounded sequences of countably infinitedimensional matrices.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:37:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА
У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI
Є. В. Панасенко
Запорiз. нац. ун-т
вул. Жуковського, 66, Запорiжжя, 69600, Україна
e-mail: panasenko.yevgeniy@gmail.com
О. О. Покутний*
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
та
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Академiка Глушкова, 4е, Київ, 03127, Україна
е-mail: alex_poker@imath.kiev.ua
lenasas@gmail.com
We propose an approach for constructing solutions and quasisolutions of a boundary-value problem for
a Lyapunov equation in a Banach space. If necessary and sufficient conditions for solvability are satisfi-
ed, corresponding solutions of the boundary-value problem are constructed using a generalized inverse
operator. As an example, we consider the problem in the space of bounded sequences of countably infinite-
dimensional matrices.
Предложен подход к построению решений и квазирешений краевой задачи для уравнения Ляпу-
нова в банаховом пространстве. При выполнении необходимых и достаточных условий разре-
шимости соответствующие решения краевой задачи строятся с использованием обобщенно-
обратного оператора. В качестве примера рассмотрена задача в пространстве ограниченных
последовательностей со счетномерными матрицами.
Операторно-диференцiальним рiвнянням та крайовим задачам для них як у скiнченнови-
мiрних, так i нескiнченновимiрних просторах присвячено багато робiт [1 – 4]. Серед остан-
нього класу добре вiдомим є рiвняння Ляпунова. Його розглядають як у матричному, так
i в операторному випадках [3, 5 – 7]. Воно використовується при дослiдженнi задач варiа-
цiйного числення, теорiї стiйкостi та iгор [8]. У данiй статтi розглядається крайова задача
для операторно-диференцiального рiвняння типу Ляпунова у банаховому просторi у ви-
падку, коли вiдповiдна задача може мати не єдиний розв’язок. Дану роботу присвячено
дослiдженню рiвняння типу Ляпунова в банаховому просторi у регулярному й нерегуляр-
ному випадках.
1. Постановка задачi та попереднiй результат. Розглянемо наступну крайову задачу:
Ż(t) = AZ(t) + Z(t)B + Φ(t), (1)
`Z(·) = α, (2)
∗ Пiдтримано грантом Президента України для молодих учених.
c© Є. В. Панасенко, О. О. Покутний, 2016
240 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI 241
де Z = Z(t) — невiдома оператор-функцiя, A,B ∈ L(B1) — лiнiйнi обмеженi оператори,
що дiють з банахового просторуB1 в себе, оператор-функцiя Φ(t) є шляхом у просторi лi-
нiйних та обмежених операторiв, тобто неперервним вiдображенням вiдрiзка [a; b] у про-
стiр L(B1), Φ(t) ∈ C([a; b];L(B1), лiнiйний обмежений оператор ` переводить оператор-
функцiю Z(t) у банаховий простiр B2, тобто ` : C([a; b];L(B1)) → B2, α — елемент про-
стору B2.
Матричне рiвняння такого вигляду вiдiграє важливу роль в теорiї лiнiйних гамiльто-
нових систем, варiацiйному численнi та оптимальному керуваннi i широко використову-
ється в теорiї iгор [4].
В роботi [5] отримано критерiй розв’язностi перiодичної крайової задачi для матрич-
ного рiвняння Рiккатi в термiнах жорданової структури матриць A та B у нерегулярному
випадку.
2. Основний результат. Розглянемо лiнiйний оператор Kt
τ , який переводить оператор-
функцiю Φ(t) з просторуC([a; b], L(B1)) в оператор-функцiюKt
τ [Φ]∈C([a; b]×[a; b];L(B1))
вигляду
Kt
τ [Φ] = eA(t−τ)Φ(τ)eB(t−τ), t, τ ∈ [a; b]. (3)
За допомогою цього оператора загальний розв’язок рiвняння (1) можна записати у
виглядi
Z(t) = Kt
a[M ] +
t∫
a
Kt
τ [Φ(τ)]dτ, (4)
де довiльний оператор M належить L(B1), Z̃(t) — частинний розв’язок неоднорiдного
рiвняння (1), який має вигляд
Z̃(t) =
t∫
a
Kt
τ [Φ(τ)]dτ.
Пiдставимо (4) в крайову умову (2) та отримаємо операторне рiвняння вiдносно опе-
ратора M :
LM = α− `
·∫
a
K·τ [Φ]dτ, (5)
де оператор L дiє за правилом LM = `K·a[M ] : L(B1) → B2.
Покажемо, що за певних додаткових умов на оператор L дане рiвняння має розв’язки.
Розглянемо випадок, коли оператор L є узагальнено-оборотним [6].
У цьому випадку розв’язки рiвняння (5) iснують тодi й тiльки тодi [9, 10], коли
PN(L∗)
α− ` ·∫
a
K·τ [Φ]dτ
= 0. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
242 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
Тут PN(L∗) — проектор на ядро оператора L∗, спряженого з оператором L. Ця умова
гарантує належнiсть правої частини рiвняння (5) множинi значень оператора L, тобто
α− `
∫ ·
a
K·τ [Φ]dτ ] ∈ R(L).
За виконання умови розв’язностi (6) операторне рiвняння (5) має множину розв’язкiв
вигляду
M = L−
α− ` ·∫
a
K·τ [Φ]dτ
+ PN(L)C,
де C — довiльний лiнiйний обмежений оператор (C ∈ L(B1)), PN(L) — проектор на ядро
оператора L.Пiдставивши операторM в умову (4), отримаємо загальний розв’язок задачi
(1), (2) у виглядi
Z(t) = Kt
a[PN(L)C] + (G[Φ, α])(t),
де узагальнений оператор Грiна визначається таким чином:
(G[Φ, α])(t) =
t∫
a
Kt
τ [Φ(τ)]dτ −Kt
a
L−` ·∫
a
K·τΦ(τ)dτ
+ Kt
a
[
L−α
]
.
Отже, доведено таку теорему.
Теорема. Нехай оператор L є узагальнено-оборотним. Крайова задача (1), (2) має
розв’язки тодi й тiльки тодi, коли виконується умова (6). За виконання умови (6)
розв’язки крайової задачi (1), (2) мають вигляд
Z(t) = Kt
a[PN(L)C] + (G[Φ, α])(t)
для довiльного оператора C ∈ L(B1).
Зауваження. Якщо оператор L оборотний, то умова (6) виконується автоматично i
крайова задача для рiвняння Ляпунова має єдиний розв’язок.
3. Приклад. Розглянемо крайову задачу (1), (2) для рiвняння Рiккатi у банаховому про-
сторim = l∞ обмежених числових послiдовностей iз злiченновимiрними матрицямиA, B
i Φ(t):
A = diag
{
1
2
,
1
2
,
1
2
,
1
2
, . . . ,
1
2
,
1
2
, . . .
}
,
B = diag {0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1, . . .} ,
Φ(t) = diag
{
e
1
2
t, e
3
2
t, e
1
2
t, e
3
2
t, . . . , e
1
2
t, e
3
2
t, . . .
}
i крайовою умовою вигляду
`Z(·) = (Zii(0)− Zii(p))i∈N = (αi)i∈N ∈ m, p > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI 243
Знайдемо матрицю Kt
τ [Φ(t)], t, τ ∈ [0; p].Злiченновимiрнi матрицi eA(t−τ) та eB(t−τ) мають
вигляд
eA(t−τ) =
e
1
2
t− 1
2
τ 0 . . . 0 0 . . .
0 e
1
2
t− 1
2
τ . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 e
1
2
t− 1
2
τ 0 . . .
0 0 0 0 e
1
2
t− 1
2
τ . . .
...
...
...
...
...
. . .
,
eB(t−τ) =
1 0 . . . 0 0 . . .
0 et−τ . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 1 0 . . .
0 0 0 0 et−τ . . .
...
...
...
...
...
. . .
,
звiдки
Kt
τ [Φ] = eA(t−τ)Φ(τ)eB(t−τ) =
e
1
2
t 0 . . . 0 0 . . .
0 e
3
2
t . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 e
1
2
t 0 . . .
0 0 0 0 e
3
2
t . . .
...
...
...
...
...
. . .
.
Частинний розв’язок Z̃(t) неоднорiдного рiвняння (1) має вигляд
Z̃(t) =
t∫
0
Kt
τ [Φ(τ)]dτ =
e
1
2
tt 0 . . . 0 0 . . .
0 e
3
2
tt . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 e
1
2
tt 0 . . .
0 0 0 0 e
3
2
tt . . .
...
...
...
...
...
. . .
.
Загальний розв’язок рiвняння (1) можна записати у виглядi Z(t) = Kt
0[M ]+ Z̃(t), деM
— злiченновимiрна матриця з невiдомими компонентами, якi потрiбно знайти. Оскiльки
за умовою задачi A i B — дiагональнi матрицi, то для зручностi будемо шукати матрицю
M у виглядi дiагональної злiченновимiрної матрицi з ненульовими елементами на дiаго-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
244 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
налi:
M =
m11 0 . . . 0 0 . . .
0 m22 . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 mk−1k−1 0 . . .
0 0 0 0 mkk . . .
...
...
...
...
...
. . .
. (7)
Знайдемо матрицю Kt
0[M ]. Для цього пiдставимо в формулу (3) матрицю M вигля-
ду (7):
Kt
0[M ] =
m11e
1
2
t 0 . . . 0 0 . . .
0 m22e
3
2
t . . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0 mk−1k−1e
1
2
t 0 . . .
0 0 0 0 mkke
3
2
t . . .
...
...
...
...
...
. . .
. (8)
Пiдставивши (8) у крайову умову (2), переконаємося, що оператор L дiє на M таким
чином:
LM =
(
m11
(
1− e
1
2
p
)
,m22
(
1− e
3
2
p
)
,m33
(
1− e
1
2
p
)
, . . .
)
.
Легко бачити, що даний оператор дiє неперервним чином i має обернений L−1, який мож-
на визначити так:
L−1(y1, y2, . . .) = diag
(
y1
1− e
1
2
p
,
y2
1− e
3
2
p
, . . .
)
.
Проектори PN(L) та PN(L∗) у цьому випадку будуть нульовими.
Умова (6) виконується. Тодi операторне рiвняння LM = α−`
∫ ·
a
K·τ [Φ]dτ має множину
розв’язкiв вигляду
M = L−1
α− ` ·∫
0
K·τ [Φ]dτ
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ЛЯПУНОВА У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI 245
=
α1 + e
1
2
pp
1− e
1
2
p
0 . . . 0 0 . . .
0
α2 + e
3
2
pp
1− e
3
2
p
. . . 0 0 . . .
...
...
. . .
...
...
...
0 0 0
α2i+1 + e
1
2
pp
1− e
1
2
p
0 . . .
0 0 0 0 0 . . .
...
...
...
...
...
. . .
. (9)
Таким чином, за допомогою матрицi (9) загальний розв’язок рiвняння (1) можна запи-
сати у виглядi
Z(t) = Kt
0[M ] + Z̃(t) =
=
α1 + e
1
2
pp
1− e
1
2
p
e
1
2
t + e
1
2
tt 0 . . . 0
0
α2 + e
3
2
pp
1− e
3
2
p
e
1
2
t + e
3
2
tt . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 0
α2i+1 + e
1
2
pp
1− e
1
2
p
e
1
2
t + e
1
2
tt
...
...
...
...
. (10)
Безпосередньою пiдстановкою матрицi (10) у крайову задачу (1), (2) можна переко-
натися в достовiрностi отриманого результату.
Таким чином, отриманi результати можна використовувати при дослiдженнi злiчен-
новимiрних крайових задач для рiвняння Ляпунова.
Зауваження. Основний результат можна посилити, вiдмовившись вiд умови замкнено-
стi множини значень оператора L. Для зображення розв’язкiв у цьому випадку потрiбно
використовувати сильний узагальнено-обернений оператор [11].
Лiтература
1. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. —
464 с.
3. Крейн С. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.:
Наука, 1970. — 534 с.
4. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi
з необмеженим оператором у лiнiйнiй частинi // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 4. — С. 518 – 526.
5. Бойчук О. А., Кривошея С. А. Критерiй розв’язностi матричних рiвнянь типу Ляпунова // Укр. мат.
журн. — 1998. — 50, № 8. — С. 1021 – 1026.
6. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A critical periodic boundary-value problem for a matrix Riccati equation //
Different. Equat. — 2001. — 37, № 4. — P. 464 – 471.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
246 Є. В. ПАНАСЕНКО, О. О. ПОКУТНИЙ
7. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Математика,
прикл. математика i механiка. — 2014. — № 1120. — С. 85 – 94.
8. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972. — 544 с.
9. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 320 с.
10. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
11. Покутний О. О. Узагальнено-обернений оператор у просторах Фреше, Банаха та Гiльберта // Вiсн.
Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка Фiз.-мат. науки. — 2013. — № 4. — С. 158 – 161.
Одержано 31.12.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177255 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:37:33Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. 2021-02-13T20:59:16Z 2021-02-13T20:59:16Z 2016 Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі / Є.В. Панасенко, О.О. Покутний // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 240-246 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177255 517.9 Предложен подход к построению решений и квазирешений краевой задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве. При выполнении необходимых и достаточных условий разрешимости соответствующие решения краевой задачи строятся с использованием обобщеннообратного оператора. В качестве примера рассмотрена задача в пространстве ограниченных последовательностей со счетномерными матрицами. We propose an approach for constructing solutions and quasisolutions of a boundary-value problem for a Lyapunov equation in a Banach space. If necessary and sufficient conditions for solvability are satisfied, corresponding solutions of the boundary-value problem are constructed using a generalized inverse operator. As an example, we consider the problem in the space of bounded sequences of countably infinitedimensional matrices. Пiдтримано грантом Президента України для молодих учених. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі Краевые задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве Boundary-value problems for Lyapunov equation in a Banach space Article published earlier |
| spellingShingle | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі Панасенко, Є.В. Покутний, О.О. |
| title | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі |
| title_alt | Краевые задачи для уравнения Ляпунова в банаховом пространстве Boundary-value problems for Lyapunov equation in a Banach space |
| title_full | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі |
| title_fullStr | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі |
| title_full_unstemmed | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі |
| title_short | Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі |
| title_sort | крайові задачі для рівняння ляпунова у банаховому просторі |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177255 |
| work_keys_str_mv | AT panasenkoêv kraiovízadačídlârívnânnâlâpunovaubanahovomuprostorí AT pokutniioo kraiovízadačídlârívnânnâlâpunovaubanahovomuprostorí AT panasenkoêv kraevyezadačidlâuravneniâlâpunovavbanahovomprostranstve AT pokutniioo kraevyezadačidlâuravneniâlâpunovavbanahovomprostranstve AT panasenkoêv boundaryvalueproblemsforlyapunovequationinabanachspace AT pokutniioo boundaryvalueproblemsforlyapunovequationinabanachspace |