О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу. We study the structure of the set of continuously differentiable solutions to a class of systems of neutral type differential-difference equations....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177256 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 247-252 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177256 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пелюх, Г.П. 2021-02-13T20:59:24Z 2021-02-13T20:59:24Z 2016 О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 247-252 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177256 517 Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу. We study the structure of the set of continuously differentiable solutions to a class of systems of neutral type differential-difference equations. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа Про структуру множини розв'язків одного класу систем нелінійних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу On the solution set structure of a certain class of systems of nonlinear neutral type differential-difference equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| spellingShingle |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа Пелюх, Г.П. |
| title_short |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| title_full |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| title_fullStr |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| title_sort |
о структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа |
| author |
Пелюх, Г.П. |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про структуру множини розв'язків одного класу систем нелінійних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу On the solution set structure of a certain class of systems of nonlinear neutral type differential-difference equations |
| description |
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу.
We study the structure of the set of continuously differentiable solutions to a class of systems of neutral type differential-difference equations.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177256 |
| citation_txt |
О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа / Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 247-252 — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp ostrukturemnožestvarešeniiodnogoklassasistemnelineinyhdifferencialʹnoraznostnyhuravneniineitralʹnogotipa AT pelûhgp prostrukturumnožinirozvâzkívodnogoklasusistemnelíníinihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipu AT pelûhgp onthesolutionsetstructureofacertainclassofsystemsofnonlinearneutraltypedifferentialdifferenceequations |
| first_indexed |
2025-11-24T20:55:38Z |
| last_indexed |
2025-11-24T20:55:38Z |
| _version_ |
1850493283335143424 |
| fulltext |
УДК 517
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
e-mail: grygor@imath.kiev.ua
We study the structure of the set of continuously differentiable solutions to a class of systems of neutral
type differential-difference equations.
Дослiджено структуру множини неперервно диференцiйовних розв’язкiв одного класу систем
диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу.
В современной теории дифференциально-разностных уравнений существует ряд проблем,
исследование которых имеет особое значение для ее развития в целом. В частности, к
ним относится проблема описания различного рода множеств решений таких уравнений.
При определенных предположениях она достаточно глубоко изучалась многими мате-
матиками (см., например, [1]) и в настоящее время является хорошо исследованной для
отдельных классов дифференциально-разностных уравнений [1 – 5]. Изучение структуры
множества решений системы дифференциально-разностных уравнений вида
x′(t+ 1) = Ax′(t) + F (t, x(t), x′(t)), (1)
где t ∈ R, A — вещественная (n × n)-матрица, F : R × Rn × Rn → Rn, является главной
целью настоящей работы. В общем случае такие системы уравнений имеют бесконечно
много решений и, следовательно, их классификация (по определенным свойствам) имеет
большое значение для развития их теории.
В наиболее простом случае, когда F ≡ 0, исследование системы уравнений (1) сводит-
ся к исследованию линейной системы уравнений вида
y′(t+ 1) = Ay′(t), (2)
для которой можно построить представление общего решения, существенно зависящее
от структуры матрицы A. Располагая таким результатом при изучении общего случая
(F 6≡ 0), можно было бы попытаться свести исследование системы уравнений (1) к ис-
следованию системы уравнений (2) с помощью некоторого взаимно однозначного пре-
образования. Но эту, вообще говоря, плодотворную идею удается реализовать лишь в
исключительных случаях и, следовательно, естественно возникает задача об описании
множества решений системы уравнений (1), „мало” отличающихся от соответствующих
решений системы уравнений (2). Именно эта задача изучается в настоящей статье при
исследовании решений системы уравнений (1), удовлетворяющих условию
lim
t→+∞
[x(t+ 1)−Ax(t)] = 0. (3)
c© Г. П. Пелюх, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2 247
248 Г. П. ПЕЛЮХ
При этом предполагаются выполненными следующие условия:
1) |A| < 1, detA 6= 0;
2) вектор-функция F (t, x, y) является непрерывной при t ≥ T > 0, |x| ≤ a, F (t, 0, 0) ≡
≡ 0 и удовлетворяет неравенству∣∣F (t, x′, y′)− F (t, x′′, y′′)∣∣ ≤ γ(t)
(∣∣x′ − x′′∣∣+ ∣∣y′ − y′′∣∣) ,
где γ(t) — некоторая непрерывная неотрицательная функция;
3) ряды
H1(t) =
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
t
γ(τ + i)dτ
∣∣∣∣∣∣ , H2(t) =
∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i+1
γ(τ + i)
равномерно сходятся при t ≥ T и 2Hi(t) ≤ θi < 1, i = 1, 2.
Поскольку любое непрерывно дифференцируемое решение задачи (1), (3) является
решением системы уравнений
x(t+ 1) = Ax(t)−
+∞∫
t
F (τ, x(τ), x′(τ))dτ (4)
и, наоборот, любое непрерывно дифференцируемое решение системы уравнений (4) удов-
летворяет системе уравнений (1) и условию (3), далее будем исследовать систему уравне-
ний (4).
Определение. Будем говорить, что система уравнений (4) имеет степенно-показа-
тельное асимптотическое равновесие, если:
а) произвольное непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ≥ T > 0 реше-
ние x(t) удовлетворяет при t → +∞ соотношению
x(t) = y(t) + o(1), (5)
где y(t) — непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ≥ T решение системы
уравнений
y(t+ 1) = Ay(t); (6)
б) для любого непрерывно дифференцируемого и ограниченного при t ≥ T решения
y(t) системы уравнений (6) существует непрерывно дифференцируемое и ограниченное
при t ≥ T решение системы уравнений (4), удовлетворяющее при t → +∞ соотноше-
нию (5).
Теорема 1. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда для любого непрерывно диффе-
ренцируемого и ограниченного при t ≥ T решения системы уравнений (4) существует
непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ≥ T решение системы уравнений
(6), удовлетворяющее при t → +∞ соотношению (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 249
Доказательство. Действительно, если γ(t) — некоторое непрерывно дифференцируе-
мое и ограниченное при t ≥ T решение системы уравнений (4), то в силу 1, 2 имеем
тождество
γ(t) = y(t) +
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ,
где
y(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ.
Отсюда и из условий 1, 2 непосредственно следует, что вектор-функция y(t) является
непрерывно дифференцируемой и ограниченной при t ≥ T и выполняется соотноше-
ние (5).
Покажем теперь, что вектор-функция y(t) является решением системы уравнений (6).
Действительно, поскольку
γ(t+ 1) = Aγ(t)−
+∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ,
то
y(t+ 1) = γ(t+ 1)−
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+1+i
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ =
= Aγ(t)−
+∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ −
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i+1
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ =
= Aγ(t)−AA−1
+∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ −A
∞∑
i=0
A−(i+2)
+∞∫
t+i+1
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ =
= A
γ(t)− ∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i
F (τ, γ(τ), γ′(τ))dτ
= Ay(t).
Теорема 1 доказана.
Тем самым доказано, что утверждение а) имеет место.
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда для любой непрерывно диффе-
ренцируемой и ограниченной при t ≥ T вектор-функции y(t), являющейся решением
системы уравнений (6), существует непрерывно дифференцируемое и ограниченное при
t ≥ T решение x(t) системы уравнений (4), удовлетворяющее соотношению (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
250 Г. П. ПЕЛЮХ
Доказательство. Рассмотрим систему нелинейных уравнений вида
x(t) = y(t) +
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i
F (τ, x(τ), x′(τ))dτ, (7)
где y(t) — непрерывно дифференцируемое и ограниченное при t ≥ T решение системы
уравнений (6). Поскольку любое непрерывно дифференцируемое и ограниченное при
t ≥ T решение системы (7) является решением системы (4) (в этом можно убедиться
непосредственно подстановкой (7) в (4)) и удовлетворяет соотношению (5) (следует из
условий 1, 2), для доказательства теоремы достаточно установить существование непре-
рывно дифференцируемого и ограниченного при t ≥ T решения системы уравнений (7).
При построении решения системы уравнений воспользуемся методом последователь-
ных приближений, которые определим следующим образом:
x0(t) = y(t), x′0(t) = y′(t),
xm(t) = y(t) +
∞∑
i=0
A−(i+1)
+∞∫
t+i
F (τ, xm−1(τ), x
′
m−1(τ))dτ, (8)
x′m(t) = y′(t)−
∞∑
i=0
A−(i+1)F (τ, xm−1(τ), x
′
m−1(τ)), m = 1, 2, . . . .
Принимая во внимание условия 1 – 3 теоремы, методом математической индукции мо-
жно показать, что вектор-функции xm(t), m ≥ 0, непрерывно дифференцируемы при
t ≥ T и выполняются неравенства
|xm(t)| ≤ M
1− θ
, |x′m(t)| ≤ M
1− θ
, m = 0, 1, . . . , (9)
где M = max{M1,M2}, θ = max{θ1, θ2}, |y(t)| ≤ M1, |y′(t)| ≤ M2.
Докажем теперь, что последовательности вектор-функций xm(t), x′m(t), m = 0, 1, . . . ,
равномерно сходятся при t ≥ T.Для этого, очевидно, достаточно показать, что при t ≥ T
и всех m ≥ 1 выполняются неравенства
|xm(t)− xm−1(t)| ≤ Mθm, |x′m(t)− x′m−1(t)| ≤ Mθm. (10)
Действительно, в силу (8) и условий 1 – 3 при m = 1 имеем
|x1(t)− x0(t)| ≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
t
F (τ + i, y(τ + i), y′(τ + i))dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
t
γ(τ + i)
(
|y(τ + i)|+
∣∣y′(τ + i)
∣∣) dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
О СТРУКТУРЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ . . . 251
≤ 2M
∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i+1
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
t
γ(τ + i)dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ MH1(t) ≤ Mθ,
|x′1(t)− x′0(t)| ≤
∣∣∣∣∣
∞∑
i=0
A−(i+1)F (t+ i, y(t+ i), y′(t+ i))
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1γ(t+ i)
(
|y(t+ i)|+
∣∣y′(t+ i)
∣∣) ≤
≤ 2M
∣∣A−1∣∣ ∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i γ(t+ i) ≤ MH2(t) ≤ Mθ,
и, следовательно, неравенства (10) выполняются. Предположим, что они доказаны для
некоторого m ≥ 1, и покажем, что они сохраняются при переходе от m к m+1. Действи-
тельно, принимая во внимание (8) – (10) и условия 1 – 3, получаем
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i+1
∣∣∣∣∣
+∞∫
t
∣∣F (τ + i, xm(τ + i), x′m(τ + i))−
−F (τ + i, xm−1(τ + i), x′m−1(τ + i))
∣∣ dτ ∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i+1
∣∣∣∣∣
+∞∫
t
γ(τ + i) (|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+
∣∣x′m(τ + i)− x′m−1(τ + i)
∣∣) dτ ∣∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣A−1∣∣i+1
∣∣∣∣∣∣
+∞∫
t
γ(τ + i) (Mθm +Mθm) dτ
∣∣∣∣∣∣ ≤ MH1(t)θ
m ≤ Mθm+1,
|x′m+1(t)− x′m(t)| ≤
∞∑
i=0
|A|−(i+1)
∣∣F (t+ i, xm(t+ i), x′m(t+ i))−
−F (t+ i, xm−1(t+ i), x′m−1(t+ i))
∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
|A−1|i+1γ(t+ i) (|xm(t+ i)− xm−1(t+ i)|+
+
∣∣x′m(t+ i)− x′m−1(t+ i)
∣∣) ≤ MθmH2(t) ≤ Mθm+1.
Таким образом, неравенства (10) выполняются при всех m ≥ 1 и, следовательно,
последовательности вектор-функций xm(t), x′m(t), m = 0, 1, . . . , равномерно сходятся при
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
252 Г. П. ПЕЛЮХ
t≥ T, а вектор-функция
x(t) = lim
m→∞
xm(t)
является непрерывно дифференцируемым решением системы уравнений (7) (в этом мож-
но убедиться, если в (8) перейти к пределу при m → ∞), удовлетворяющим условиям
|x(t)| ≤ M
1− θ
, |x′(t)| ≤ M
1− θ
(следует из (9)).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть выполняются условия 1 – 3. Тогда система уравнений (4) имеет
степенно-показательное асимптотическое равновесие.
Литература
1. Хейл Дж. Теория дифференциально-функциональных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 548 с.
2. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функ-
циональных уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. – № 1. — С. 45 – 49.
3. Пелюх Г. П. О свойствах решений предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 2. — С. 217 – 224.
4. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. – P. 267.
5. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
Получено 14.10.14,
после доработки — 22.07.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|