Об инвариантных множествах систем разностных уравнений
За допомогою функцiї Ляпунова дослiджено iнварiантнi множини деякої системи рiзницевих рiвнянь. We study invariant sets of one system of differences equations with the help of Lyapunov’s function.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 1999 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177263 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений / Л. А. Али // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 435-438. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860043600894623744 |
|---|---|
| author | Али, Л. А. |
| author_facet | Али, Л. А. |
| citation_txt | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений / Л. А. Али // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 435-438. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | За допомогою функцiї Ляпунова дослiджено iнварiантнi множини деякої системи рiзницевих рiвнянь.
We study invariant sets of one system of differences equations with the help of Lyapunov’s function.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:56:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
т. 2 •№ 4 • 1999
УДК 517.9
ОБ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВАХ
СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Л. А. Али
Ин-т математики HAH Украины,
Украина, 252601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We study invariant sets of one system of differences equations with the help of Lyapunov’s function.
За допомогою функцiї Ляпунова дослiджено iнварiантнi множини деякої системи рiзницевих
рiвнянь.
Будем рассматривать систему разностных уравнений вида
xn+1 = f (xn) , (1)
где n ∈ Z— целое, x ∈ Rn, правая часть которой определена в некоторой областиD ⊂ Rn.
В предположении, что отображение f является взаимно однозначным отображением
D на D, можно, очевидно, утверждать, что для каждого x0 ∈ D существует единственное
решение xn(x0) системы (1) такое, что x0(x0) = x0. Это решение определено и принадле-
жит области D при n ∈ Z. Действительно, существование этого решения вправо от нуля
очевидно, поскольку, в силу (1), x1 = f(x0) ∈ D, x2 = f(x1) ∈ D и т. д. Существование
же этого решения влево от нуля следует из того, что f является взаимно однозначным
отображением D в D, а поэтому можно определить единственное обратное отображе-
ние f−1(x), считая, что f есть элемент области D, который отображается в x ∈ D при
отображении f .
Условия, накладываемые на функцию f , при которых она удовлетворяет указанным
выше требованиям, общеизвестны; они следуют из теорем о неявных функциях и связа-
ны с ее гладкостью и отличием от нуля якобиана
∂f
∂x
при x ∈ D. Поэтому впредь будем
предполагать, что правые части системы (1) таковы, что решение xn(x0) существует и
единственно для всех x0 ∈ D.
Так как система (1) автономна, то по аналогии с обыкновенными дифференциальны-
ми уравнениями [1] она задает динамическую дискретную систему, поскольку функция
xn(x0) удовлетворяет условию группы по n:
xn+p(x0) = xn(xp(x0)) . (2)
Последнее следует из того, что если xn(x0) — решение (1), то для p ∈ Z xn+p(x0) также
является решением (1).
c© Л.А. Али, 1999 435
Следуя общепринятой терминологии в дифференциальных уравнениях, при фиксиро-
ванном x0 будем называть решение xn(x0) движением. Множество {xn(x0), n ∈ Z} будем
называть траекторией движения и обозначать xn(x0,Z). Множество {xn(x0), n ∈ Z+}
назовем положительной, а {xn(x0), n ∈ Z−}— отрицательной полутраекториями дви-
жения xn(x0) и обозначим соответственно xn(x0,Z
+) и xn(x0,Z
−).
МножествоM ⊂ D назовем инвариантным множеством системы (1), если оно состо-
ит из траекторий этой системы. Если множество M состоит из положительных полутра-
екторий системы, то назовем его положительно инвариантным. Аналогично определим
и отрицательно инвариантное множество.
Изучим односторонние инвариантные множества системы (1) с помощью функций
Ляпунова, как это сделано в [2] для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Компактное положительно инвариантное множество M системы (1) назовем устой-
чивым, если для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что xn(Uδ) ⊂ (Uε ∪M) при
всех n ∈ Z+. Здесь Uδ обозначает δ-окрестность множества M .
Функцию V (x), определенную в D, будем называть знакопостоянной в D0, если для
всех x ∈ D0 ненулевые значения V (x) имеют один и тот же знак. Знакопостоянную в
D0 функцию V назовем знакоопределенной в D0, если множество ее нулей не пусто и
компактно в D0.
Опишем инвариантные множества системы (1) с помощью нулей функции Ляпуно-
ва V .
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Пусть f взаимно однозначно отображает область D в себя. Если V =
= V (x) является знакоопределенной в D и выполняется одно из неравенств
V (f(x))− V (x) ≤ 0 (3)
или
V (f(x))− V (x) ≥ 0 (4)
для x ∈ D, то множество
V (x) = 0 , x ∈ D , (5)
является односторонне инвариантным множеством системы (1). Точнее, оно отрица-
тельно инвариантно, если знаки V и одного из неравенств совпадают, и положительно
инвариантно и устойчиво, если знаки различны.
Доказательство. Предположим сначала, что V (x) ≥ 0 и выполнено неравенство (3).
Покажем, что множество N0 точек из D, для которых V (x) = 0, является положительно
инвариантным и устойчивым множеством системы (1).
Рассмотрим для этого решение xn(x0) системы (1), начинающееся при t = 0 в точ-
ке x0 ∈ N0. В силу предположений очевидно, что это решение существует для любого
целого n и xn(x0) ∈ D. Тогда для любого n имеем
V (f(x(x0)
n )) ≤ V (x(x0)
n ),
436 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
из которого в силу (1) следует неравенство V (x(x0)
n+1) ≤ V (x(x0)
n ), означающее, что вдоль
решения xn(x0) функция V (x) является невозрастающей. Поэтому для любого n ∈ Z+
V (xn(x0)) ≤ V (x0(x0)) = V (x0) = 0 . (6)
А поскольку V (x) неотрицательна в D, то
V (xn(x0)) = 0 ∀ n ∈ Z+.
Последнее и означает положительную инвариантность множества N0.
Докажем теперь устойчивость множества N0. Пусть ε — достаточно малое положи-
тельное число такое, что Uε(N0) ⊂ D. Согласно предположению о компактности N0 в
D этого всегда можно достичь. Обозначим через Vµ множество точек из D, для которых
0 < V (x) ≤ µ. Согласно лемме из [1, с. 60] по данному ε можно выбрать такие µ = µ(ε) > 0
и δ = δ(ε) > 0, чтобы выполнялись включения
Uε ⊃ Vµ ⊃ Uδ , (7)
где Uδ = Uδ(N0).
С учетом (7) решение xn(x0) системы (1), начинающееся при n = 0 в точке x0 ∈
∈ Uδ, удовлетворяет неравенству V (x0(x0)) ≤ µ, а поскольку в области D вдоль решения
системы (1) V не возрастает, то
V (xn(x0)) ≤ V (x0) ≤ µ ∀ n ∈ Z+ .
Таким образом, решение, начавшееся при n = 0 в точке x0 ∈ Uδ, при всех положительных
и целых n не выходит из множества Vµ. А это, в силу (7), означает, что оно не выходит
из ε-окрестности множества N0. Последнее означает, в силу определения, устойчивость
множества N0.
Пусть теперь V (x) ≥ 0 и выполнено неравенство (4). Тогда для решения xn(x0) такого,
что x0(x0) = x0 ∈ N0, выполнено неравенство
V (f(xn)) ≥ V (xn) , (8)
из которого следует неравенство
V (xn+1(x0)) ≥ V (xn(x0)),
означающее, что вдоль решения xn(x0) функция V (xn(x0)) не убывает. Последнее озна-
чает, что для отрицательных n выполнено неравенство
V (xn(x0)) ≤ V (x0(x0)) = V (x0) = 0,
откуда следует отрицательная определенность множества N0. Теорема доказана.
Проиллюстрируем доказанную теорему примером. Рассмотрим скалярное разност-
ное уравнение вида
xn+1 = x3
n (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 437
в области |x| < 1. Функция f = x3 и в данной области в силу своей монотонности она
взаимно однозначно отображает (−1; 1) в себя. В роли функции V выберем функцию
V (x) = x2. В данной области она неотрицательна и ее единственным нулем является
точка x = 0. Проверим для нее выполнение неравенства (3). Действительно,
V (f(x)) = x6 ≤ x2 = V (x) для |x| < 1 .
Применяя доказанную выше теорему, можно утверждать, что множество x = 0 является
инвариантным и устойчивым множеством системы (1).
1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.; Л.: ОГИЗ,
1947. — 448 с.
2. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. — М.: Наука, 1987.
— 302 с.
Получено 14.12.98
438 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177263 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:56:49Z |
| publishDate | 1999 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Али, Л. А. 2021-02-14T07:37:25Z 2021-02-14T07:37:25Z 1999 Об инвариантных множествах систем разностных уравнений / Л. А. Али // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 435-438. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177263 517.9 За допомогою функцiї Ляпунова дослiджено iнварiантнi множини деякої системи рiзницевих рiвнянь. We study invariant sets of one system of differences equations with the help of Lyapunov’s function. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об инвариантных множествах систем разностных уравнений Про інваріантні множини систем різницевих рівнянь On invariant sets of systems of difference equations Article published earlier |
| spellingShingle | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений Али, Л. А. |
| title | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| title_alt | Про інваріантні множини систем різницевих рівнянь On invariant sets of systems of difference equations |
| title_full | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| title_fullStr | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| title_full_unstemmed | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| title_short | Об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| title_sort | об инвариантных множествах систем разностных уравнений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177263 |
| work_keys_str_mv | AT alila obinvariantnyhmnožestvahsistemraznostnyhuravnenii AT alila proínvaríantnímnožinisistemríznicevihrívnânʹ AT alila oninvariantsetsofsystemsofdifferenceequations |