Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием
Розглядається система дискретних рiвнянь, що мiстять змiнне запiзнення. Для знаходження розв’язку використано метод усереднення. Запропоновано варiанти облiку заданого змiнного запiзнення при розв’язуваннi усередненої системи. Доведено близкiсть розв’язкiв заданої та вiдповiдної усередненої систем....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177275 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, М.Л. Карпычева // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 376-389 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177275 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Кичмаренко, О.Д. Карпычева, М.Л. 2021-02-14T08:06:39Z 2021-02-14T08:06:39Z 2016 Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, М.Л. Карпычева // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 376-389 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177275 517.929.8 Розглядається система дискретних рiвнянь, що мiстять змiнне запiзнення. Для знаходження розв’язку використано метод усереднення. Запропоновано варiанти облiку заданого змiнного запiзнення при розв’язуваннi усередненої системи. Доведено близкiсть розв’язкiв заданої та вiдповiдної усередненої систем. We consider a system of discrete equations containing a variable delay, and use an averaging method for finding a solution. We propose methods to account for a given variable delay when solving an averaged system. We prove that solutions of the averaged and the initial systems are close. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием Загальна схема усереднення систем дискретних рівнянь зі змінним запізненням A general averaging scheme for discrete systems with variable delays Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| spellingShingle |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием Кичмаренко, О.Д. Карпычева, М.Л. |
| title_short |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| title_full |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| title_fullStr |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| title_sort |
общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием |
| author |
Кичмаренко, О.Д. Карпычева, М.Л. |
| author_facet |
Кичмаренко, О.Д. Карпычева, М.Л. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Загальна схема усереднення систем дискретних рівнянь зі змінним запізненням A general averaging scheme for discrete systems with variable delays |
| description |
Розглядається система дискретних рiвнянь, що мiстять змiнне запiзнення. Для знаходження розв’язку використано метод усереднення. Запропоновано варiанти облiку заданого змiнного запiзнення при розв’язуваннi усередненої системи. Доведено близкiсть розв’язкiв заданої та вiдповiдної усередненої систем.
We consider a system of discrete equations containing a variable delay, and use an averaging method for finding a solution. We propose methods to account for a given variable delay when solving an averaged system. We prove that solutions of the averaged and the initial systems are close.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177275 |
| citation_txt |
Общая схема усреднения систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием / О.Д. Кичмаренко, М.Л. Карпычева // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 376-389 — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kičmarenkood obŝaâshemausredneniâsistemdiskretnyhuravneniisperemennymzapazdyvaniem AT karpyčevaml obŝaâshemausredneniâsistemdiskretnyhuravneniisperemennymzapazdyvaniem AT kičmarenkood zagalʹnashemauserednennâsistemdiskretnihrívnânʹzízmínnimzapíznennâm AT karpyčevaml zagalʹnashemauserednennâsistemdiskretnihrívnânʹzízmínnimzapíznennâm AT kičmarenkood ageneralaveragingschemefordiscretesystemswithvariabledelays AT karpyčevaml ageneralaveragingschemefordiscretesystemswithvariabledelays |
| first_indexed |
2025-11-27T02:36:37Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:36:37Z |
| _version_ |
1850794750296195072 |
| fulltext |
УДК 517.929.8
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
О. Д. Кичмаренко, М. Л. Карпычева
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
We consider a system of discrete equations containing a variable delay, and use an averaging method for
finding a solution. We propose methods to account for a given variable delay when solving an averaged
system. We prove that solutions of the averaged and the initial systems are close.
Розглядається система дискретних рiвнянь, що мiстять змiнне запiзнення. Для знаходження
розв’язку використано метод усереднення. Запропоновано варiанти облiку заданого змiнного
запiзнення при розв’язуваннi усередненої системи. Доведено близкiсть розв’язкiв заданої та вiд-
повiдної усередненої систем.
Введение. Изучение различных технических систем, таких, например, как системы авто-
матического регулирования, системы с импульсным воздействием, иные дискретные ди-
намические системы, а также применение современных цифровых технологий приводит
к необходимости использования дискретных уравнений в качестве модели [1, 2].
Реакция изучаемой системы на некоторые воздействия может иметь запаздывающий
характер. Для описания таких процессов используются системы дискретных уравнений с
запаздыванием.
Применение метода усреднения к системам дискретных уравнений известно давно.
Так, в работе [3] доказана первая теорема Н. Н. Боголюбова для конечно-разностных
уравнений, а в работе [4] — вторая теорема Н. Н. Боголюбова для систем разностных
уравнений. Однако в этих работах содержится требование непрерывности функций, на-
ходящихся в правых частях уравнений. Более общая схема усреднения систем дискрет-
ных уравнений стандартного вида и соответствующих задач управления и оптимально-
го управления приведена в работе [5]. Применение метода усреднения к системам дис-
кретных уравнений с постоянным запаздыванием и соответствующих задач управления
и оптимального управления обосновано в работах [6, 7]. В работе [8] метод усреднения
применен к дискретным системам уравнений с переменным запаздыванием в случае пе-
риодической правой части.
Основные результаты. Данная работа посвящена применению метода усреднения для
исследования систем дискретных уравнений с переменным запаздыванием общего вида
xi+1 = xi + ε f(i, xi, xs(i)), x0 = x0, (1)
где xi ∈ D ⊂ Rn — текущее состояние системы, индекс i определяет текущий момент
дискретного времени, причем i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E(Lε−1), L = const, E(a) —
целая часть числа a, D — замкнутое множество в пространстве Rn, f(·, ·, ·) : I ×D×D →
→ Rn — заданная функция, ε > 0 — малый параметр, заданная функция s(i) ∈ Is =
c© О. Д. Кичмаренко, М. Л. Карпычева, 2016
376 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 377
= {0, 1, 2, . . . , i} определяет момент дискретного времени влияния переменного запаздыва-
ния на текущее i-е состояние системы.
Определение. Решением системы дискретных уравнений (1) назовем x = {xi, i ∈
∈ I}— множество значений xi ∈ D, полученных по рекуррентной формуле (1) в каждой
точке дискретного времени i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}.
Поскольку момент запаздывания s(i) ≤ i для любого i ∈ I, решение x = {xi, i ∈
∈ I} системы дискретных уравнений (1) существует, если заданная функция f(i, xi, xs(i))
определена для любого xi ∈ D и i ∈ I.
Пусть в системе (1) для функции f(i, w1, w2) существует предел
f0
(
w1, w2
)
= lim
h→∞
1
h
q+h−1∑
j=q
f
(
j, w1, w2
)
(2)
равномерно относительно целочисленного q ≥ 0 и w1, w2 ∈ D.
Системе (1) поставим в соответствие усредненную задачу вида
yi+1 = yi + ε f0(yi, ys(i)), y0 = x0. (3)
Исследуем вопрос о близости решений x = {xi, i ∈ I} системы (1) и y = {yi, i ∈ I}
системы (3) на конечном асимптотически большом промежутке дискретного времени
i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E
(
Lε−1
)
.
Теорема 1. Пусть в области Q = {i ∈ I;xi ∈ D} выполнены следующие условия:
1) функция f(i, w1, w2) равномерно ограничена константойM и удовлетворяет усло-
вию Липшица по w1, w2 с постоянной λ;
2) равномерно относительно целочисленного q ≥ 0 и w1, w2 ∈ D существует пре-
дел (2);
3) функция s(i) принимает целочисленные значения из Is = {0, 1, 2, . . . , i} для любого
i ∈ I и удовлетворяет условию Липшица с постоянной λs;
4) решение y = {yi, i ∈ I} усредненной системы (3) при y0 = x0 ∈ D′ ⊂ D вместе со
своей ρ-окрестностью принадлежит области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для любых
ε ∈ (0, ε0] и i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E
(
Lε−1
)
, выполняется
‖xi − yi‖ ≤ η, (4)
где x = {xi, i ∈ I} и y = {yi, i ∈ I} — решения систем уравнений (1) и (3) соответ-
ственно.
Доказательство. Пусть x = {xi, i ∈ I}— решение исходной системы (1), а y = {yi, i ∈
∈ I} — решение усредненной системы (3) при x0 = y0 = x0 ∈ D′ ⊂ D. Из условия 4
теоремы следует, что решение усредненной системы вместе с ρ-окрестностью лежит в
области D.
Выберем произвольное η > 0, η ≤ ρ, и зафиксируем его. Систему (1) и усредненную
систему (3) представим в виде
xi+1 = x0 + ε
i∑
j=0
f(j, xj , xs(j)), yi+1 = x0 + ε
i∑
j=0
f0(yj , ys(j))
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
378 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
и оценим разность между соответствующими значениями
‖xi+1 − yi+1‖ =
∥∥∥∥∥∥ε
i∑
j=0
f(j, xj , xs(j))− ε
i∑
j=0
f0(yj , ys(j))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ ε
i∑
j=0
∥∥f(j, xj , xs(j))− f(j, yj , ys(j))∥∥+
+ ε
∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[
f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))
]∥∥∥∥∥∥ .
С учетом выполнения условия 1 теоремы неравенство принимает вид
‖xi+1 − yi+1‖ ≤ ελ
i∑
j=0
(‖xj − yj‖+ ‖xs(j) − ys(j)‖)+
+ ε
∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ 2ελ
i∑
j=0
δj + ε
∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ , (5)
где
δj = max
0≤l≤j
‖xl − yl‖. (6)
Неравенство (5) выполняется для любого i ∈ {0, 1, 2, . . . , N − 1}, тогда
δN ≤ 2ελ
N−1∑
j=0
δj + ε max
i∈I
∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ . (7)
Для оценки второго слагаемого в неравенстве (7) выберем целочисленное значение
h(ε), имеющее свойства
lim
ε→0
h(ε) = +∞, lim
ε→0
ε h(ε) = 0. (8)
На множестве I = {0, 1, 2, . . . , N} зафиксируем точки kh, отстоящие одна от другой
на расстоянии h(ε), при этом получим медленно меняющееся время
k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 379
Для произвольного момента времени i ∈ I определим соответствующее значение
медленного времени k ∈ Ik такое, что i ∈ [kh, (k + 1)h). Для оценки второго слагаемого
в (7) выделим отдельно сумму на k-м промежутке∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
∥∥∥∥∥∥
kh−1∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥
i∑
j=kh
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ . (10)
В неравенстве (10) оценим сначала второе слагаемое. Учитывая условие 1 теоремы,
при i ∈ [kh, (k + 1)h) получаем∥∥∥∥∥∥
i∑
j=kh
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
i∑
j=kh
‖f(j, yj , ys(j))‖+
+
i∑
j=kh
‖f0(yj , ys(j))‖ ≤ 2hM. (11)
Первое слагаемое в (10) преобразуем следующим образом:∥∥∥∥∥∥
kh−1∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
(l+1)h−1∑
j=lh
[f
(
j, yj , ys(j)
)
− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
(l+1)h−1∑
j=lh
[f(j, yj , ys(j))− f(j, ylh, ys(lh))]
∥∥∥∥∥∥+
+
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
(l+1)h−1∑
j=lh
[f(j, ylh, ys(lh))− f0(ylh, ys(lh))]
∥∥∥∥∥∥+
+
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
(l+1)h−1∑
j=lh
[f0(ylh, ys(lh))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤
k−1∑
l=0
(l+1)h−1∑
j=lh
∥∥f(j, yj , ys(j))− f(j, ylh, ys(lh))∥∥+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
380 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
+
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥
(l+1)h−1∑
j=lh
f(j, ylh, ys(lh))− h f0(ylh, ys(lh))
∥∥∥∥∥∥+
+
k−1∑
l=0
(l+1)h−1∑
j=lh
∥∥f0(ylh, ys(lh))− f0(yj , ys(j))∥∥ ≤
≤ 2λ
k−1∑
l=0
(l+1)h−1∑
j=lh
(‖yj − ylh‖+ ‖ys(j) − ys(lh)‖)+
+ h
k−1∑
l=0
∥∥∥∥∥∥1h
(l+1)h−1∑
j=lh
f(j, ylh, ys(lh))− f0(ylh, ys(lh))
∥∥∥∥∥∥ . (12)
Учитывая условия 1, 3 теоремы, а также то, что j ∈ (lh, (l + 1)h], оцениваем состав-
ляющие первого слагаемого в (12):
‖yj − ylh‖ = ε
∥∥∥∥∥
j−1∑
t=lh
f0(yt, ys(t))
∥∥∥∥∥ ≤ εhM, (13)
‖ys(j) − ys(lh)‖ ≤ ε
∥∥∥∥∥∥
∑
min(s(j),s(lh))≤t<max(s(j),s(lh))
f0(yt, ys(t))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ εM‖s(j)− s(lh)‖ = εMλs‖j − lh‖ ≤ εhMλs. (14)
При выполнении условия 2 теоремы можно указать такую монотонно убывающую
функцию ψ(h), удовлетворяющую соотношению limh→∞ ψ(h) = 0, что для второго сла-
гаемого в (12) при любом l ∈ Ik получаем∥∥∥∥∥∥1h
(l+1)h−1∑
j=lh
f(j, ylh, ys(lh))− f0(ylh, ys(lh))
∥∥∥∥∥∥ ≤ ψ(h). (15)
Из неравенства (12) с учетом оценок (13) – (15) следует, что∥∥∥∥∥∥
kh−1∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2λkh (εhM + εhMλs) + hk ψ(h) ≤
≤ 2hλ εkhM (1 + λs) + khψ(h) ≤
≤ 2hλLM(1 + λs) + khψ(h). (16)
При этом из неравенства (10) с учетом (16), (11) получаем оценку∥∥∥∥∥∥
i∑
j=0
[f(j, yj , ys(j))− f0(yj , ys(j))]
∥∥∥∥∥∥ ≤ 2hλLM(1 + λs) + khψ(h) + 2hM,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 381
а неравенство (7) принимает вид
δN ≤ 2ελ
N−1∑
j=0
δj + 2εhλLM(1 + λs) + Lψ(h) + 2εhM. (17)
Применяя к соотношению (17) дискретный аналог леммы Гронуолла – Беллмана [9],
имеем
δN ≤ (2εhλLM(1 + λs) + Lψ(h) + 2εhM) e2λL. (18)
Из определения функции ψ(h) и соотношений (8) следует, что
lim
ε→0
(2εhλLM(1 + λs) + Lψ(h) + 2εhM) = 0.
Это значит, что для произвольно выбранных η > 0 и L > 0 найдется такое ε0(η, L) > 0,
что для всех ε ∈ (0, ε0] и i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N} из неравенства (18) следует искомая
оценка (4).
Теорема 1 доказана.
Известно [3], что применение метода усреднения для систем дискретных уравнений
в стандартном виде позволяет находить численное решение усредненной системы с ша-
гом, который существенно больше, чем шаг нахождения решения исходной системы. Для
усредненной системы уравнений (3) этот шаг h(ε) можно взять равным величине, удовле-
творяющей условиям (8). Поэтому наряду с усредненной системой (3) рассмотрим усред-
ненную систему в медленном времени вида
ξk+1 = ξk + εh f0(ξk, ξm(k)), ξ0 = x0, (19)
где ξk ∈D ⊂ Rn — текущее состояние системы в медленном времени k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . .
. . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
, а целочисленная функция
m(k) = E
(
s(kh)
h
)
(20)
определяет моменты времени влияния запаздывания на текущее состояние системы для
усредненной задачи в медленном времени, причем m(k) ≤ k для любого k ∈ Ik, а это
значит, что m(k) ∈ Im = {0, 1, 2, . . . , k}.
Для синхронизации времени при получении оценки близости решений x = {xi, i ∈ I}
исходной системы (1) и ξ = {ξk, k ∈ Ik} усредненной системы (19) определим промежу-
точные значения для решения усредненной системы с помощью кусочно-линейной ин-
терполяции по формуле
γi = ξk +
(i− kh)(ξk+1 − ξk)
h
, (21)
где i ∈ [kh, (k + 1)h) — текущее дискретное время задачи (1), находящееся между соот-
ветствующими моментами дискретного времени усредненной задачи (19).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
382 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
Докажем, что решение ξ = {ξk, k ∈ Ik} усредненной системы в медленном времени
(19) близко к решению x = {xi, i ∈ I} исходной системы (1) в соответствующие моменты
времени.
Теорема 2. Пусть в области Q = {i ∈ I;xi ∈ D} выполнены три первых условия
теоремы 1. Кроме того,
4) решение ξ = {ξk, k ∈ Ik} усредненной задачи (19) при ξ0 = x0 ∈ D′ ⊂ D вместе со
своей ρ-окрестностью принадлежит области D.
Тогда для любых η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) > 0, что для любых
ε ∈ (0, ε0] и i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E(Lε−1), выполняется
‖xi − γi‖ ≤ η, (22)
а для всех k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
и i ∈ [kh, (k + 1)h)
‖xi − ξk‖ ≤ η, (23)
где x = {xi, i ∈ I} — решение задачи (1), ξ = {ξkk ∈ Ik} — решение задачи (19), γ =
= {γii ∈ I} — интерполяция решения {ξk}k∈Ik на множество I, если x0 = ξ0 = γ0 =
= x0 ∈ D′ ⊂ D.
Доказательство. Пусть x = {xi, i ∈ I}— решение заданной системы (1), ξ = {ξk, k ∈
∈ Ik}— решение усредненной системы (19) в медленном времени. Из условий теоремы
следует, что решение γ = {γi, i ∈ I} системы (21) при γ0 = x0 = ξ0 = x0 ∈ D′ ⊂ D
вместе со своей ρ-окрестностью лежит в области D.
Выберем произвольное η > 0, η ≤ ρ, и зафиксируем его. Установим сначала оценку
(23). Для любого i ∈ [kh, (k+1)h), k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
, выполняется
‖xi − ξk‖ ≤ ‖xi − yi‖+ ‖yi − ykh‖+ ‖ykh − ξk‖, (24)
где y = {yi, i ∈ I}— решение усредненной системы (3) при y0 = x0 ∈ D′ ⊂ D.
Из теоремы 1 следует, что для любых η1 > 0 и L > 0 найдется такое ε1(η1, L) > 0, что
для всех ε ∈ (0, ε1] и i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E(Lε−1), для первого слагаемого в (24)
будет
‖xi − yi‖ ≤ η1. (25)
Оценка второго слагаемого в (24) аналогична (13), т. е. для любого i ∈ [kh, (k + 1)h),
k ∈ Ik, выполняется
‖yi − ykh‖ ≤ εhM. (26)
Для оценки третьего слагаемого в (24) воспользуемся представлениями соответству-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 383
ющих систем в виде
y(k+1)h = ykh + ε
(k+1)h−1∑
j=kh
f0(yj , ys(j)),
ξk+1 = ξk + εh f0(ξk, ξm(k)) = ξk + ε
(k+1)h−1∑
j=kh
f0(ξk, ξm(k)).
Тогда при выполнении условий теоремы получим
‖y(k+1)h − ξk+1‖ ≤ ‖ykh − ξk‖+ ε
(k+1)h−1∑
j=kh
‖f0(yj , ys(j))− f0(ξk, ξm(k))‖ ≤
≤ ‖ykh − ξk‖+ ε
(k+1)h−1∑
j=kh
‖f0(yj , ys(j))− f0(ykh, ys(kh))‖+
+ ε
(k+1)h−1∑
j=kh
‖f0(ykh, ys(kh))− f0(ξk, ξm(k))‖ ≤
≤ ‖ykh − ξk‖+ ελ
(k+1)h−1∑
j=kh
(‖yj − ykh‖+ ‖ys(j) − ys(kh)‖)+
+ ελ
(k+1)h−1∑
j=kh
(‖ykh − ξk‖+ ‖ys(kh) − ξm(k)‖). (27)
Оценка второго слагаемого в (27) следует из (13), (14) и имеет вид
ελ
(k+1)h−1∑
j=kh
(‖yj − ykh‖+ ‖ys(j) − ys(kh)‖) ≤ εhλεhM(1 + λs). (28)
Третье слагаемое в (27) преобразуем к виду
ελ
(k+1)h−1∑
j=kh
(‖ykh − ξk‖+ ‖ys(kh) − ξm(k)‖) =
= εhλ‖ykh − ξk‖+ εhλ‖ys(kh) − ym(k)h‖+ εhλ‖ym(k)h − ξm(k)‖. (29)
Для оценки второго слагаемого в (29) с учетом введенной в рассмотрение функции
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
384 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
запаздывания (20) получим
‖ys(kh) − ym(k)h‖ ≤ ε
∥∥∥∥∥∥
∑
min(s(kh),m(k)h)≤j<max(s(kh),m(k)h)
f0(yj , ys(j))
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ εM‖s(kh)−m(k)h‖ = εhM
∥∥∥∥s(kh)h
− E
(
s(kh)
h
)∥∥∥∥ ≤ εhM. (30)
Неравенство (27) с учетом (28) – (30) примет вид
‖y(k+1)h − ξk+1‖ ≤ ‖ykh − ξk‖+ εhλεhM(1 + λs)+
+ εhλ‖ykh − ξk‖+ εhλεhM + εhλ‖ym(k)h − ξm(k)‖. (31)
Обозначим
σk = max
0≤j≤k
‖yjh − ξj‖, (32)
тогда из неравенства (31) следует соотношение
‖y(k+1)h − ξk+1‖ ≤ (1 + 2εhλ)σk + (εh)2λM(2 + λs),
которое выполняется для любого k ∈ {0, 1, . . . , Nk − 1}, поэтому
σNk ≤ (1 + 2εhλ)σNk−1 + (εh)2λM(2 + λs). (33)
Если обозначить
a = (1 + 2εhλ), b = (εh)2λM(2 + λs), (34)
то неравенство (33) примет вид
σNk ≤ aσNk−1 + b ≤ a(aσNk−2 + b) + b = a2σNk−2 + b(a+ 1) ≤
≤ a2(aσNk−3 + b) + b(a+ 1) = a3σNk−3 + b(a2 + a+ 1) ≤ . . .
. . . ≤ aNkσ0 + b(aNk−1 + . . .+ a2 + a+ 1) ≤ aNkσ0 + b
aNk−1 − 1
a− 1
,
откуда, учитывая, что σ0 = ‖y0− ξ0‖ = 0, в соответствии с (32) и в силу обозначений (34)
получаем
σNk ≤ (εh)2λM(2 + λs)
(1 + 2εhλ)Nk−1 − 1
(1 + 2εhλ)− 1
≤ εhM(1 + 0, 5λs)
[
(1 + 2εhλ)Nk−1 − 1
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 385
Последний множитель в полученном неравенстве содержит степень, в основании кото-
рой величина 2εhλ → 0, а показатель степени Nk = E
(
L
εh
)
→ ∞ при ε → 0, поэтому
σNk ≤ εhM(1 + 0, 5λs)
[[
(1 + 2εhλ)
1
2εhλ
]2εhλ(Nk−1)−1]
≤ εhM(1 + 0, 5λs)(e
2λL − 1). (35)
Из (24), учитывая (25), (26), (35), для всех i ∈ [kh, (k + 1)h), k ∈ Ik, находим
‖xi − ξk‖ ≤ η1 + εhM + εhM(1 + 0, 5λs)(e
2λL − 1). (36)
По произвольно выбранным η1 < η и L > 0 найдем ε0(η, L) ≤ ε1 такое, что для всех
ε ∈ (0, ε0], всех k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
, и i ∈ [kh, (k + 1)h) получим
η1 + εhM + εhM(1 + 0, 5λs)
(
e2λL − 1
)
≤ η,
откуда следует оценка (23).
Установим оценку (22). Для любого i ∈ [kh, (k + 1)h), k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk},
Nk = E
(
L
εh
)
, выполняется неравенство
‖xi − γi‖ ≤ ‖xi − ξk‖+ ‖ξk − γi‖, (37)
второе слагаемое в котором
‖ξk − γi‖ ≤
∥∥∥∥(i− kh)(ξk+1 − ξk)
h
∥∥∥∥ ≤ ∥∥∥∥(i− kh)εh f0(ξk, ξm(k))
h
∥∥∥∥ ≤ εhM.
Тогда из (36), (37) получим
‖xi − γi‖ ≤ η1 + εhM + εhM(1 + 0, 5λs)(e
2λL − 1) + εhM.
По произвольно выбранным η1 < η и L > 0 найдем ε0(η, L) ≤ ε1 такое, что для всех
ε ∈ (0, ε0] и i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , N}, N = E(Lε−1), выполняется неравенство
η1 + 2εhM + εhM(1 + 0, 5λs)(e
2λL − 1) ≤ η,
откуда следует оценка (22).
Теорема 2 доказана.
Пример. Рассмотрим дискретное уравнение с переменным запаздыванием
xi+1 = xi + ε
[(
−1 + 1
1 + i
)
xi +
(
−1 + 1
1 + i
)
xs(i)
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
386 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
где xi — текущее состояние системы в момент времени i ∈ I = {0, 1, 2, . . . , }, N =
= E(Lε−1), L = const, функция запаздывания определяется по формуле
s(i) = i− E
(
i
2
)
.
Усреднение в уравнении проведем по формуле (2):
lim
h→∞
1
h
q+h−1∑
j=q
[(
−1 + 1
1 + j
)
w1 +
(
−1 + 1
1 + j
)
w2
]
= −w1 − w2.
Получим соответствующее усредненное дискретное уравнение
yi+1 = yi + ε(−yi − ys(i))
и усредненное уравнение в медленном времени k ∈ Ik = {0, 1, 2, . . . , Nk}, Nk = E
(
L
εh
)
,
ξk+1 = ξk + εh(−ξk − ξm(k)),
где величина h удовлетворяет условиям (8), а новое запаздывание в медленном времени
k ∈ Ik определяется формулой
m(k) = E
(
s(kh)
h
)
.
Промежуточные значения для усредненного уравнения в медленном времени найдем при
i ∈ [kh, (k + 1)h) для всех k ∈ Ik по формуле
γi = ξk +
(i− kh)(ξk+1 − ξk)
h
.
Вычислим x = {xi, i ∈ I}, y = {yi, i ∈ I}, ξ = {ξk, k ∈ Ik}, γ = {γi, i ∈ I} — реше-
ния соответствующих уравнений при L = 5, x0 = 1, 5 для различных значений малого
параметра ε > 0 и построим графики соответствующих функций (см. рис. 1 – 3).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 387
Рис. 1. Решения уравнений при ε = 0, 04.
Рис. 2. Решения уравнений при ε = 0, 01.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
388 О. Д. КИЧМАРЕНКО, М. Л. КАРПЫЧЕВА
Рис. 3. Решения уравнений при ε = 0, 0025.
Полученные результаты при различных значениях малого параметра ε > 0 представ-
лены в таблице, при этом N — количество значений в решении исходного уравнения,
Nk — количество значений в решении усредненного уравнения в медленном времени и
соответствующие погрешности.
ε N Nk max ‖xi − yi‖ max ‖xi − γi‖
0,04 125 25 0,2181 0,3677
0,01 500 50 0,0796 0,1404
0,0025 2000 100 0,0273 0,0560
0,0004 12500 250 0,0061 0,0185
0,0001 50000 500 0,0019 0,0086
Полученные результаты подтверждают выводы доказанных теорем.
Литература
1. Benjamin C. Kuo. Digital control systems. — 2nd ed. — Oxford Univ. Press, 1995. — 784 p.
2. D’Antona G., Ferrero A. Digital signal processing for measurement systems: theory and applications. —
Springer, 2006. — 268 p.
3. Белан Е. Л. О методе усреднения в теории конечно-разностных уравнений // Укр. мат. журн. — 1967. —
19, № 3. — С. 85 – 90.
4. Мартынюк Д. И., Данилов В. И., Паньков В. Г. Вторая теорема Н. Н. Боголюбова для систем раз-
ностных уравнений // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 4. — С. 464 – 475.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБЩАЯ СХЕМА УСРЕДНЕНИЯ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 389
5. Plotnikov V. A., Plotnikova L. I., Yarovoi A. T. Averaging method for discrete systems and its application to
control problems // Nonlinear Oscillations. — 2004. — 7, № 2. — P. 240 – 253.
6. Кичмаренко О. Д., Карпычева М. Л. Усреднение систем дискретных уравнений с постоянным запаз-
дыванием // Научн. вестн. Ужгород. ун-та. Математика и информатика. — 2012. — Вып. 23, № 2. —
С. 76 – 85.
7. Кичмаренко О. Д., Карпычева М. Л. Усреднение периодических управляемых систем с постоянным
запаздыванием на дискретном времени // Вестн. Одес. нац. ун-та. Математика и механика. — 2012. —
17, вып. 1 – 2. — С. 54 – 69.
8. Кичмаренко О. Д., Карпычева М. Л. Усреднение дискретных уравнений с переменным запаздывани-
ем в задачах управления // ХII Всерос. сов. по проблемам управления ВСПУ-2014: Труды [электрон.
ресурс]. — М.: Ин-т пробл. управления РАН, 2014. — С. 1304 – 1316.
9. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. — Новоси-
бирск: Наука, 1999. — 193 с.
Получено 26.02.15,
после доработки — 08.04.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
|