Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем
Исследуется вопрос устойчивости инвариантного тороидального многообразия одного класса линейного расширения динамической системы на торе. Полученный результат используется для исследования вопроса существования инвариантного многообразия нелинейной системы дифференциальных уравнений. We study the st...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177279 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем / М.М. Перестюк, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 555-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177279 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Перестюк, М.М. Перестюк, Ю.М. 2021-02-14T08:15:11Z 2021-02-14T08:15:11Z 2016 Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем / М.М. Перестюк, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 555-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177279 517.9 Исследуется вопрос устойчивости инвариантного тороидального многообразия одного класса линейного расширения динамической системы на торе. Полученный результат используется для исследования вопроса существования инвариантного многообразия нелинейной системы дифференциальных уравнений. We study the stability of an invariant toroidal manifold for a class of linear extensions of a dynamical system on a torus. The obtained result is used to study existence of an invariant manifold of a nonlinear differential system. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем Об устойчивости тороидального многообразия одного класса динамических систем On stability of a toroidal manifold for a class of dynamical systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| spellingShingle |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем Перестюк, М.М. Перестюк, Ю.М. |
| title_short |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| title_full |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| title_fullStr |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| title_sort |
про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем |
| author |
Перестюк, М.М. Перестюк, Ю.М. |
| author_facet |
Перестюк, М.М. Перестюк, Ю.М. |
| publishDate |
2016 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Об устойчивости тороидального многообразия одного класса динамических систем On stability of a toroidal manifold for a class of dynamical systems |
| description |
Исследуется вопрос устойчивости инвариантного тороидального многообразия одного класса линейного расширения динамической системы на торе. Полученный результат используется для исследования вопроса существования инвариантного многообразия нелинейной системы дифференциальных уравнений.
We study the stability of an invariant toroidal manifold for a class of linear extensions of a dynamical system on a torus. The obtained result is used to study existence of an invariant manifold of a nonlinear differential system.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177279 |
| citation_txt |
Про стійкість тороїдального многовиду одного класу динамічних систем / М.М. Перестюк, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 555-563 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT perestûkmm prostíikístʹtoroídalʹnogomnogoviduodnogoklasudinamíčnihsistem AT perestûkûm prostíikístʹtoroídalʹnogomnogoviduodnogoklasudinamíčnihsistem AT perestûkmm obustoičivostitoroidalʹnogomnogoobraziâodnogoklassadinamičeskihsistem AT perestûkûm obustoičivostitoroidalʹnogomnogoobraziâodnogoklassadinamičeskihsistem AT perestûkmm onstabilityofatoroidalmanifoldforaclassofdynamicalsystems AT perestûkûm onstabilityofatoroidalmanifoldforaclassofdynamicalsystems |
| first_indexed |
2025-11-25T21:04:20Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:04:20Z |
| _version_ |
1850546484831846400 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО СТIЙКIСТЬ ТОРОЇДАЛЬНОГО МНОГОВИДУ
ОДНОГО КЛАСУ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
М. М. Перестюк, Ю. М. Перестюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01601, Україна
e-mail: Perestyuknn@gmail.com
Perestyuk@gmail.com
We study the stability of an invariant toroidal manifold for a class of linear extensions of a dynamical
system on a torus. The obtained result is used to study existence of an invariant manifold of a nonlinear
differential system.
Исследуется вопрос устойчивости инвариантного тороидального многообразия одного клас-
са линейного расширения динамической системы на торе. Полученный результат использу-
ется для исследования вопроса существования инвариантного многообразия нелинейной сис-
темы дифференциальных уравнений.
У прямому добутку m-вимiрного тора Tm та евклiдового простору Rn розглянемо систе-
му диференцiальних рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ)x, (1)
де ϕ = col (ϕ1, . . . , ϕm), x = col (x1, . . . , xn), a(ϕ), P (ϕ) — вiдповiдно векторна та матрич-
на неперервнi 2π-перiодичнi по кожнiй компонентi ϕj , j = 1,m, функцiї, визначенi на
m-вимiрному торi Tm. Щодо функцiї a(ϕ) вимагатимемо, щоб вона задовольняла умову
Лiпшиця по ϕ з деякою сталою Лiпшиця L, тобто для будь-яких двох точок ϕ′, ϕ′′ ∈ Tm
‖a(ϕ′)− a(ϕ′′)‖ ≤ L‖ϕ′ − ϕ′′‖. (2)
У данiй роботi ми встановимо деякi достатнi умови асимптотичної стiйкостi тривiаль-
ного тора системи (1) i застосуємо цi результати до дослiдження бiльш складних, у порiв-
няннi з системою (1), нелiнiйних систем диференцiальних рiвнянь, визначених у прямому
добутку Tm ×Rn.
У подальшому нам знадобиться деяке узагальнення нерiвностi Важевського [2]. Поз-
начимо через ϕt(ϕ) розв’язок першого з рiвнянь системи (1) i розглянемо систему рiвнянь
вiдносно x
dx
dt
= P (ϕt(ϕ))x. (3)
Згiдно з теоремою Важевського [2] будь-який розв’язок xt(t0, ϕ, x0), xt0(t0, ϕ, x0) = x0
цiєї системи допускає оцiнку
‖x0‖e
∫ t
t0
λ(ϕs(ϕ))ds ≤ ‖xt(t0, ϕ, x0)‖ ≤ ‖x0‖e
∫ t
t0
Λ(ϕs(ϕ))ds
, (4)
c© М. М. Перестюк, Ю. М. Перестюк, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 555
556 М. М. ПЕРЕСТЮК, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
де λ(ϕ) i Λ(ϕ) — вiдповiдно найменше i найбiльше з власних чисел симетричної матрицi
P̂ (ϕ) =
1
2
(
P (ϕ) + P T (ϕ)
)
,
P T (ϕ) — транспонована по вiдношенню до P (ϕ) матриця.
З нерiвностi (4) випливає оцiнка
‖x0‖eλ(t−t0) ≤ ‖xt(t0, ϕ, x0)‖ ≤ ‖x0‖eΛ(t−t0), t ≥ t0,
в якiй
λ = min
ϕ∈Tm
λ(ϕ), Λ = max
ϕ∈Tm
Λ(ϕ).
На основi цiєї оцiнки можна зробити такий висновок: якщо в системi (1) матриця P (ϕ)
така, що Λ < 0, то тривiальний тор цiєї системи є експоненцiально стiйким, оскiльки
матрицант Ωt
t0(ϕ) системи (3) допускає оцiнку
‖Ωt
t0(ϕ)‖ ≤ Ke−γ(t−t0), t ≥ t0, ϕ ∈ Tm, K ≥ 1, γ > 0. (5)
Покажемо, що аналогiчний висновок про експоненцiальну стiйкiсть тривiального то-
ра системи рiвнянь (1) можна зробити при слабших умовах на матрицю P (ϕ).
Нагадаємо [5], що точку ϕ ∈ Tm динамiчної системи на торi
dϕ
dt
= a(ϕ) (6)
називають блукаючою, якщо iснують її окiл U(ϕ) i додатне число T такi, що
U(ϕ)
⋂
ϕt(U(ϕ)) = ∅ для t ≥ T.
Позначимо множину блукаючих точок черезW, а множину неблукаючих точок через
Ω = Tm \W. Множина W блукаючих точок є iнварiантною i вiдкритою множиною, тому
що разом з ϕ блукаючими є всi точки околу U(ϕ).
Множина Ω неблукаючих точок, внаслiдок компактностi тора Tm, є непорожньою
замкненою iнварiантною множиною.
Очевидно, Ω є i компактною множиною, як замкнена множина тора.
Як показано в [5], будь-який розв’язок системи (6) з часом наближається до множи-
ни неблукаючих точок, точнiше: яке б не було ε > 0, будь-яка фазова точка ϕt(ϕ) зна-
ходиться лише скiнченний промiжок часу, що не перевищує T (ε), поза ε-околом Uε(Ω)
множини Ω.
Скористаємося властивiстю неблукаючих точок для доведення такої теореми.
Теорема 1. Якщо в системi рiвнянь (1) матриця P (ϕ) така, що найбiльше з власних
чисел Λ(ϕ) симетричної матрицi P̂ (ϕ) є вiд’ємним на множинi Ω неблукаючих точок
динамiчної системи (6), то тривiальний тор системи (1) є експоненцiально стiйким.
Доведення. Зафiксуємо достатньо малий ε-окiл Uε(Ω) множини Ω. Оскiльки Λ(ϕ) < 0
для всiх ϕ ∈ Ω i Ω є замкненою компактною множиною, то можна вказати достатньо
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ ТОРОЇДАЛЬНОГО МНОГОВИДУ . . . 557
мале додатне число ε0 таке, що для кожного 0 ≤ ε ≤ ε0 Λ(ϕ) < −γ(ε) для всiх ϕ ∈ Uε(Ω),
де γ(ε) — додатна монотонно незростаюча функцiя параметра ε, γ(ε) → γ(0) при ε → 0,
де
−γ(0) = max
ϕ∈Ω
Λ(ϕ).
Якщо ϕt(ϕ) — неблукаюча траєкторiя, то для будь-якого розв’язку з нерiвностi (4)
маємо оцiнку
‖xt(t0, ϕ, x0)‖ ≤ ‖x0‖e−γ(0)(t−t0), t ≥ t0, ϕ ∈ Ω.
Якщо ж ϕt(ϕ) — блукаюча траєкторiя, то можна вказати таке додатне число T (ε),
що поза множиною Uε(Ω) час перебування такої траєкторiї не перевищує T (ε). Тому з
нерiвностi (4) маємо оцiнку
‖xt(t0, ϕ, x0)‖ ≤ ‖x0‖eΛT (ε) e−γ(ε)(t−t0), t ≥ t0, ϕ ∈ W.
Таким чином, в умовах теореми будь-який розв’язок xt(t0, ϕ, x0) системи (3) для до-
вiльного ϕ ∈ Tm експоненцiально прямує до нуля при t → ∞, а тому матрицант Ωt
t0(ϕ)
цiєї системи допускає оцiнку вигляду (5), що й завершує доведення теореми.
Наведемо ще один клас систем (1), в яких тривiальний тор є асимптотично стiйким.
Теорема 2. Якщо в системi рiвнянь (1) матрична функцiя P (ϕ) задовольняє умову
〈P (ϕ)x, x〉 ≤ γ(ϕ)〈x, x〉 (7)
для всiх ϕ ∈ Tm i x ∈ Rn, де γ(ϕ) — неперервна 2π-перiодична по кожнiй компонентi ϕj ,
j = 1, n,функцiя, вiд’ємна на множинi Ω неблукаючих точок динамiчної системи (6), то
тривiальний тор вихiдної системи (1) є асимптотично стiйким.
Доведення. Для будь-якого розв’язку xt(t0, ϕ, x0) системи рiвнянь (3) маємо
d
dt
‖xt(t0, ϕ, x0)‖2 =
d
dt
〈xt(t0, ϕ, x0), xt(t0, ϕ, x0)〉 =
= 2〈P (ϕt(ϕ))xt(t0, ϕ, x0), xt(t0, ϕ, x0)〉 ≤ 2γ(ϕt(ϕ))‖xt(t0, ϕ, x0)‖2.
Iнтегруючи останню нерiвнiсть, отримуємо
‖xt(t0, ϕ, x0)‖ ≤ e
∫ t
t0
γ(ϕS(ϕ))dS‖x0‖, t ≥ t0, ϕ ∈ Tm.
Мiркуючи, як i при доведеннi попередньої теореми, переконуємось, що з останньої
нерiвностi випливає експоненцiальна стiйкiсть тривiального тора вихiдної системи.
Для доведення стiйкостi (нестiйкостi) iнварiантного тора можна застосувати прямий
метод Ляпунова. Сформулюємо тут одну теорему, яка частково доповнює класичнi до-
слiдження в цьому напрямку, наведенi в монографiях [3, 7].
Теорема 3. Нехай для системи рiвнянь (1) iснує додатно визначена квадратична
форма
V (ϕ, x) = 〈S(ϕ)x, x〉
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
558 М. М. ПЕРЕСТЮК, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
з симетричною матрицею S(ϕ) така, що повна похiдна її, складена в силу вихiдної сис-
теми (1), тобто квадратична форма
d
dt
V (ϕ, x) = 〈Ŝ(ϕ)x, x〉,
де
Ŝ(ϕ) =
∂S(ϕ)
∂ϕ
a(ϕ) + S(ϕ)P (ϕ) + P T (ϕ)S(ϕ),
є вiд’ємно визначеною на множинi Ω неблукаючих точок системи (6). Тодi тривiальний
тор системи рiвнянь (1) є експоненцiально стiйким.
Доведення. Насамперед зауважимо, що V (ϕ, x) допускає оцiнку
λ(ϕ)〈x, x〉 ≤ V (ϕ, x) ≤ Λ(ϕ)〈x, x〉, ϕ ∈ Tm, x ∈ Rn,
де λ(ϕ) i Λ(ϕ) — вiдповiдно найменше та найбiльше власне число симетричної мат-
рицi S(ϕ). Похiдну вiд V (ϕ, x), складену в силу системи (1), тобто квадратичну форму
〈Ŝ(ϕ), x, x〉, як вiд’ємно визначену для ϕ ∈ Ω, можна оцiнити аналогiчно:
−Λ̂(ϕ)〈x, x〉 ≤ 〈Ŝ(ϕ)x, x〉 ≤ −λ̂(ϕ)〈x, x〉, ϕ ∈ Ω, x ∈ Rn.
Тут λ̂(ϕ) i Λ̂(ϕ)− вiдповiдно найменше i найбiльше з власних чисел симетричної матрицi
−1
2
(Ŝ(ϕ) + ŜT (ϕ)).
Зафiксуємо тепер достатньо малий ε-окiлUε(Ω) множини Ω.Як стверджувалось вище,
можна вказати таке додатне число T = T (ε), що час перебування будь-якої траєкторiї
ϕt(ϕ), ϕ ∈ Tm, на множинi блукаючих точок Tm \ Uε(Ω) не перевищує T = T (ε).
З огляду на додатну визначенiсть квадратичної форми V (ϕ, x) i вiд’ємну визначенiсть
її похiдної на множинi Ω можемо стверджувати iснування такого додатного числа ε0, що
для всiх ε, 0 ≤ ε ≤ ε0, справджуються оцiнки
λ(ε)〈x, x〉 ≤ V (ϕ, x) ≤ Λ(ε)〈x, x〉, ϕ ∈ Uε(Ω), x ∈ Rn,
−Λ̂(ε)〈x, x〉 ≤ d
dt
V (ϕ, x) ≤ −λ̂(ε)〈x, x〉, ϕ ∈ Uε(Ω), x ∈ Rn,
де
λ(ε) = min
ϕ∈Uε(Ω)
λ(ϕ), Λ(ε) = max
ϕ∈Uε(Ω)
Λ(ϕ),
λ̂(ε) = min
ϕ∈Uε(Ω)
λ̂(ϕ), Λ̂(ε) = max
ϕ∈Uε(Ω)
Λ̂(ϕ),
Далi мiркуємо таким чином: якщо ϕ ∈ Uε(Ω) i для всiх t > 0 ϕt(ϕ) ∈ Uε(Ω), то для
будь-якого розв’язку xt(t0, ϕ, x0) ≡ x(t) системи (3) маємо
λ(ε)〈x(t), x(t)〉 ≤ V (ϕt(ϕ), x(t)) ≤ Λ(ε)〈x(t), x(t)〉,
−Λ̂(ε)〈x(t), x(t)〉 ≤ d
dt
V (ϕt(ϕ), x(t)) ≤ −λ̂(ε)〈x(t), x(t)〉.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ ТОРОЇДАЛЬНОГО МНОГОВИДУ . . . 559
Звiдси випливає, що
1
Λ(ε)
(V (ϕt(ϕ), x(t))) ≤ 〈x(t), x(t)〉 ≤ − 1
λ̂(ε)
d
dt
V (ϕt(ϕ), x(t)),
а тому
dv
dt
(ϕt(ϕ), x(t)) ≤ − λ̂(ε)
Λ(ε)
V (ϕt(ϕ), x(t)).
Таким чином,
V (ϕt(ϕ), xt(t0, ϕ, x0)) ≤ V (ϕ, x0)e
−λ̂(ε)
Λ(ε)
(t−t0)
.
Отже,
xt(t0, ϕ, x0) → 0 при t → ∞.
Нехай тепер ϕ ∈ Tm \ Uε(Ω), або ж ϕ ∈ Uε(Ω), але не для всiх t > 0 ϕt(ϕ) ∈ Uε(Ω),
тобто траєкторiя ϕt(ϕ) може залишати Uε(Ω) на деякий час, а пiзнiше знову повертатися
в ε-окiл множини Ω, але час перебування такої траєкторiї поза множиною Uε(Ω) сумарно
не може перевищувати T.
З’ясуємо, на яку величину зможе змiнитися ‖xt(t0, ϕ, x0)‖, або ж функцiя V (ϕ, x) уздовж
цього розв’язку, якщо траєкторiя ϕt(ϕ) перебуває поза множиною Uε(Ω).
Виходячи з нерiвностi Важевського, маємо оцiнку змiни будь-якого розв’язку xt(t0, ϕ, x0)
протягом будь-якого часового промiжку довжини T :
‖xt+T (τ, ϕ, x(τ))‖ ≤ eΛ(t+T−τ)‖x(τ, x0)‖, t ≥ τ,
‖xt+T (τ, ϕ, xτ (t0, ϕ, x0))‖ ≤ eΛT ‖xτ (t0, ϕ, x0)‖,
де
Λ = max
ϕ∈Tm
Λ(ϕ).
Таким чином, можемо записати величину змiни функцiї V (ϕ, x) уздовж такого розв’яз-
ку на часовому промiжку T :
V (ϕτ+T (ϕ), xτ+T (τ, ϕ, xτ (t0, ϕ, x0))) ≤ Ke2ΛTV (ϕτ (ϕ), xτ (t0, ϕ, x0)),
де
K = max
ϕ∈Tm
‖S(ϕ)‖.
Позначаючи через τ∗(ϕ) момент часу входження траєкторiї ϕt(ϕ) в множину Uε(Ω),
пiсля якого вона не виходить з цiєї множини, маємо оцiнку
V (ϕt(ϕ), xt(t0, ϕ, x0)) ≤ V (ϕτ∗(ϕ), xτ∗(t0, ϕ, x0))e
− λ̂(ε)
Λ(ε) (t− τ∗(ϕ))
для t ≥ τ∗(ϕ). Враховуючи попередню нерiвнiсть, остаточно отримуємо
V (ϕt(ϕ), xt(t0, ϕ, x0)) ≤ Ke2ΛT e
− λ̂(ε)
Λ(ε)
(t−t0)
, t ≥ t0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
560 М. М. ПЕРЕСТЮК, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
Звiдси робимо висновок, що
‖xt(t0, ϕ, x0)‖ → 0 при t → ∞,
тобто тривiальний тор вихiдної системи (1) є експоненцiально стiйким, що i завершує
доведення теореми 3.
Природно може виникнути питання про iснування квадратичної форми V (ϕ, x), що
задовольняє умову теореми 3.
Наведемо приклад, коли така форма iснує i дає змогу стверджувати про експоненцi-
альну стiйкiсть тривiального тора системи (1).
Теорема 4. Нехай у системi (1) P (ϕ) є сталою матрицею P (ϕ) = P0 на множинi Ω.
Якщо дiйснi частини власних чисел Reλj(P0) матрицi P0 вiд’ємнi, то iснує додатно ви-
значена квадратична форма v(ϕ, x) = 〈S(ϕ)x, x〉 з симетричною матрицею S(ϕ) така,
що її похiдна в силу системи (1) є вiд’ємно визначеною квадратичною формою на мно-
жинi Ω, а отже, тривiальний тор системи (1) є асимптотично стiйким.
Доведення. Запишемо систему рiвнянь (1) у виглядi
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P0x+ (P (ϕ)− P0)x
i розглянемо систему зi сталими коефiцiєнтами
dx
dt
= P0x.
Оскiльки за умовою теореми дiйснi частини власних чисел матрицi P0 всi вiд’ємнi, то
можна стверджувати [4, с. 67] (теорема 1), що для будь-якої вiд’ємно визначеної квадра-
тичної форми U(x) рiвняння
〈gradV (x), P0x〉 = U(x)
у класi квадратичних форм має єдиний розв’язок, який обов’язково є додатно визначеною
квадратичною формою.
Покладемо в останньому рiвняннi U(x) = −〈x, x〉 i за функцiю V (x) вiзьмемо додатно
визначену квадратичну форму — розв’язок рiвняння
〈gradV (x), P0x〉 = −〈x, x〉.
Повна похiдна вiд квадратичної форми V (x), складена в силу системи (1), має вигляд
d
dt
V (x) = 〈gradV (x), P (ϕ)x〉 = 〈gradV (x), P0x〉+ 〈gradV (x), (P (ϕ)− P0)x〉 =
= −〈x, x〉+ 〈gradV (x), (P (ϕ)− P0)x〉.
Оскiльки P (ϕ) = P0 на множинi неблукаючих точок Ω, то знайдено квадратичну фор-
му V (x), яка задовольняє умови попередньої теореми, а тому тривiальний тор системи (1)
є асимптотично стiйким, що i завершує доведення теореми 4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ ТОРОЇДАЛЬНОГО МНОГОВИДУ . . . 561
Доведенi теореми дають можливiсть стверджувати про iснування тороїдальних iнва-
рiантних множин систем вигляду
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ)x+ f(ϕ), (8)
в яких a(ϕ) i P (ϕ) такi ж, як i в системi (1), а f(ϕ) — довiльна неперервна 2π-перiодична
по кожнiй компонентi ϕj , j = 1,m, функцiя.
Справдi, умови кожної з теорем 1 – 4 гарантують для матрицанта Ωt
τ (ϕ) лiнiйної одно-
рiдної системи рiвнянь
dx
dt
= P (ϕt(ϕ))x
оцiнку
‖Ωt
τ (ϕ)‖ ≤ Ke−γ(t−τ), t ≥ τ, ϕ ∈ Tm, (9)
з деякими додатними сталими K i γ. Тому система рiвнянь
dx
dt
= P (ϕt(ϕ))x+ f(ϕt(ϕ)) (10)
має сiм’ю обмежених на всiй осi t ∈ R розв’язкiв
xt(ϕ) =
t∫
−∞
Ωt
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ))dτ,
залежних вiд ϕ ∈ Tm як вiд параметра, а тому
x = U(ϕ) =
0∫
−∞
Ω0
τ (ϕ)f(ϕτ (ϕ)) (11)
i є iнварiантною тороїдальною множиною системи рiвнянь (8).
Переконаємося, що ця множина є асимптотично стiйкою.
Дiйсно, оскiльки функцiя U(ϕ) задовольняє систему рiвнянь з частинними похiдними〈
∂U
∂ϕ
, a(ϕ)
〉
= P (ϕ)U + f(ϕ),
то замiна змiнних x = U(ϕ) + y питання про асимптотичну стiйкiсть множини x = U(ϕ)
зводить до з’ясування стiйкостi iнварiантного тривiального тора системи рiвнянь
ϕ̇ = a(ϕ), ẏ = P (ϕ)y.
Вiдповiдь на це питання дають саме теореми 1 – 4.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
562 М. М. ПЕРЕСТЮК, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
Зауважимо, що зображення (11) iнварiантної тороїдальної множини x = U(ϕ) є нiчим
iншим як зображенням через функцiюG0(τ, ϕ) Грiна – Самойленка задачi про iнварiантнi
тори [7], яка в даному випадку має вигляд
G0(τ, ϕ) =
{
Ω0
τ (ϕ), τ ≤ 0,
0, τ > 0.
Як iлюстративний приклад розглянемо систему рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= cosϕ · x+ f(ϕ), (12)
в якiй a(ϕ) — 2π-перiодична скалярна лiпшицева функцiя на колi (одновимiрному торi),
x — скалярна змiнна, f(ϕ) — неперервна 2π-перiодична функцiя.
Вважатимемо, що функцiя a(ϕ) дорiвнює нулю лише в однiй точцi ϕ = π, а в iнших
точках промiжку [0, 2π] набуває значень одного знака.
В такому випадку множиною Ω неблукаючих точок динамiчної системи на колi ϕ̇ =
= a(ϕ) є лише точка ϕ = π i в цiй точцi P (ϕ) = cosϕ = −1.
Покладемо V (x) = x2, тодi
dv
dt
= 2x
dx
dt
= 2 cosϕ · x2
є вiд’ємно визначеною на Ω, а тому тривiальний розв’язок системи
ϕ̇ = a(ϕ), ẋ = cosϕ · x
є асимптотично стiйким, а система (12) для будь-якої неперервної 2π-перiодичної функцiї
має асимптотично стiйкий iнварiантний многовид
x = U(ϕ) =
0∫
−∞
e
∫ 0
τ cos(ϕs(ϕ))dSf(ϕτ (ϕ))dτ.
Теорему 3 можна застосувати для дослiдження стiйкостi тривiального тора нелiнiйної
по x системи рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ, x)x, (13)
в якiй матрична функцiя P (ϕ, x) є неперервною по ϕ ∈ Tm i x, ‖x‖ ≤ a0, a0 — деяке
додатне число.
Анонсуємо тут ще одне твердження в цьому напрямку.
Якщо для системи рiвнянь (13) iснує додатно визначена квадратична форма V (ϕ, x) =
= 〈S(ϕ)x, x〉 така, що повна похiдна її, складена в силу рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ, 0)x,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО СТIЙКIСТЬ ТОРОЇДАЛЬНОГО МНОГОВИДУ . . . 563
є вiд’ємно визначеною на множинi неблукаючих точок динамiчної системи ϕ̇ = a(ϕ),
ϕ ∈ Tm, то тривiальний тор системи рiвнянь (13) асимптотично стiйкий.
Лiтература
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. — Киев: Наук. думка, 1969. — 248 c.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. —
480 с.
3. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Кулик В. Л. Исследование дихотомии линейных систем
дифференциальных уравнений с помощью функции Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1992. — 272 с.
4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 530 с.
5. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едито-
риал УРСС, 2004. — 552 с.
6. Перестюк М. О., Фекета П. В. Про збереження iнварiантного тора багаточастотних систем // Укр.
мат. журн. — 2013. — 65, № 11. — С. 1498 – 1505.
7. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. — М.: Наука,
1987. — 304 с.
Одержано 26.08.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|