Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу
Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с операторами Бесселя бесконечного порядка и граничным условием в пространстве обобщенных функций типа W'. We prove correct solvability of a nonlocal time multipoint problem for an evolution...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177281 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, А.О. Широковських // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 435-457 — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859664936973631488 |
|---|---|
| author | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Широковських, А.О. |
| author_facet | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Широковських, А.О. |
| citation_txt | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, А.О. Широковських // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 435-457 — Бібліогр.: 26 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с операторами Бесселя бесконечного порядка и граничным условием в пространстве обобщенных функций типа W'.
We prove correct solvability of a nonlocal time multipoint problem for an evolution equations with infinite order Bessel operators and a boundary condition in a W'-type space of distributions.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:18:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ СИНГУЛЯРНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ
ПАРАБОЛIЧНОГО ТИПУ
В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, А. О. Широковських
Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича
e-mail: alfaolga1@gmail.com
We prove correct solvability of a nonlocal time multipoint problem for an evolution equations with infinite
order Bessel operators and a boundary condition in a W ′-type space of distributions.
Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эво-
люционных уравнений с операторами Бесселя бесконечного порядка и граничным условием в
пространстве обобщенных функций типа W ′.
Диференцiальнi рiвняння, якi мiстять коефiцiєнти, необмеженi в деякiй областi з Rn,
вiдносяться, як вiдомо, до сингулярних диференцiальних рiвнянь. До сингулярних рiв-
нянь вiдносяться й еволюцiйнi рiвняння параболiчного типу з оператором Бесселя Bν =
= d2/dx2 + (2ν + 1)x−1d/dx, ν > −1/2 (B-параболiчнi рiвняння) через наявнiсть у його
структурi виразу 1/x. Такi рiвняння вироджуються на межi областi i за внутрiшнiми вла-
стивостями близькi до рiвномiрно параболiчних рiвнянь. Рiвняння з оператором Бесселя
виникають при вивченнi температурних полiв у симетричних середовищах, використо-
вуються при побудовi математичних моделей дифузiйних процесiв у анiзотропних сере-
довищах, описують явища тепломасообмiну, радiальнi коливання хвиль, зустрiчаються у
кристалографiї, гiдродинамiцi, в задачах про взаємодiю тiл тощо.
Як вiдомо, оператор Бесселя можна визначити за допомогою спiввiдношення Bνϕ =
= F−1
Bν
[−σ2FBν [ϕ]], де FBν — перетворення Бесселя, ϕ — елемент простору, в якому вка-
зане перетворення визначене. Отже, оператор Бесселя належить до класу псевдодифе-
ренцiальних операторiв вигляду A = F−1
Bν,σ→x
[a(t, σ)FBν,x→σ ], породжених перетворення-
ми Бесселя FBν , F
−1
Bν
. Якщо символ a оператораA є цiлою функцiєю аргументу σ вигляду
a(t, σ) = P (t, σ), де P — полiном змiнної σ при фiксованому t, що задовольняє умову „па-
раболiчностi” , то еволюцiйне рiвняння ∂u/∂t = Au iз вказаним оператором вiдноситься
до B-параболiчних рiвнянь, уведених М. I. Матiйчуком i В. В. Крехiвським [1].
Теорiю класичних розв’язкiв задачi Кошi для B-параболiчних рiвнянь побудовано у
працях М. I. Матiйчука, В. В. Крехiвського, С. Д. Iвасишена i В. П. Лавренчука, I. I. Ве-
ренич та iн. Задача Кошi для таких рiвнянь з початковими даними iз просторiв узагальне-
них функцiй типу розподiлiв та ультрарозподiлiв вивчалася Я. I. Житомирським, В. В. Го-
родецьким, I. В. Житарюком, В. П. Лавренчуком, О. В. Мартинюк, В. А. Лiтовченком та
iн. [2 – 5].
При дослiдженнi проблеми про класи єдиностi та класи коректностi задачi Кошi для
B-параболiчних рiвнянь зi сталими або залежними лише вiд часової змiнної коефiцiєнта-
ми часто використовуються простори типу W, введенi Б. Л. Гуревичем в [6] (див. також
[7, с. 17, 18]). Вони є узагальненнями основних просторiв Kp, Z
p, Zpp , введених I. М. Гель-
c© В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, А. О. Широковських, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 435
436 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
фандом та Г. Є. Шиловим у [8, с. 112 – 126, 261] iз замiною степеневих функцiй довiльними
опуклими. Функцiї з таких просторiв на дiйснiй осi разом з усiма своїми похiдними при
|x| → ∞ спадають швидше, нiж exp{−a|x|}, a > 0, x ∈ R [8]. Зазначимо, що у працях [9,
10] дослiджуються властивостi перетворення Ганкеля функцiй iз просторiв типу Sβα, вве-
дених в [8], якi при {α, β} ∈ (0, 1) збiгаються з певними просторами типу W. У статтi [11]
дослiджено властивостi перетворення Фур’є – Бесселя, визначенi на парних функцiях з
просторiв типу W. Працю [12] присвячено перетворенню Фур’є – Стiльтьєса у рiзних пiд-
просторах просторiв типу S. У [13, 14] дослiджено властивостi перетворення Фур’є дро-
бового порядку та узагальненого перетворення Фур’є зi спецiальним ядром у просторах
типу W.
Простори типу W є природним середовищем для дослiдження задачi Кошi для B-па-
раболiчних рiвнянь. Наприклад, для рiвняння
∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
+
2ν + 1
x
∂u
∂x
, ν > −1
2
,
з оператором Бесселя фундаментальний розв’язок задачi Кошi — функцiя G(t, x) =
= 2−νΓ−1(ν + 1)(2t)−(ν+1) exp{−x2/(4t)} при кожному t > 0, як функцiя x, є елементом
просторуW y2
x2
, який вiдноситься до просторiв типуW (про функцiюG(t, ·) див. у працi [2]).
У працях [3 – 5, 15] встановлено, що простори типу W ′ — простори, топологiчно спряже-
нi з просторами типу W, — збiгаються з множинами початкових даних задачi Кошi для
еволюцiйних рiвнянь з операторами Бесселя скiнченного та нескiнченного порядкiв, при
яких розв’язки є цiлими функцiями просторових змiнних.
Узагальненням задачi Кошi для таких рiвнянь є нелокальна багатоточкова за часом
задача з умовою
m∑
k=0
αku(t, ·)|t=tk = ϕ, (1)
де t0 = 0, {t1, . . . , tm} ⊂ (0, T ], {α0, α1, . . . , αm} ⊂ R, m ∈ N, T > 0 — фiксованi числа
(якщоα0 = 1, α1 = . . . = αm = 0, то маємо, очевидно, задачу Кошi). Нелокальнi за часом
задачi вiдносяться до нелокальних крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними.
Такi задачi виникають при моделюваннi багатьох процесiв та задач практики крайовими
задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними умовами (теорiя фiзики
плазми, ядернi реакцiї, поширення електромагнiтних хвиль, демографiчнi дослiдження,
задачi математичної бiологiї, див., наприклад, [16, 17]).
Дослiдженнями нелокальних крайових задач у рiзних аспектах займалося багато ма-
тематикiв, використовуючи при цьому рiзнi методи й пiдходи (див., наприклад, [18 – 22]).
Одержано важливi результати щодо постановки, коректної розв’язностi та побудови роз-
в’язкiв, вивчено питання залежностi характеру розв’язностi задач вiд поведiнки символiв
операцiй, сформульовано умови регулярностi та нерегулярностi крайових умов для важ-
ливих випадкiв диференцiально-операторних рiвнянь.
У цiй роботi дослiджується нелокальна багатоточкова за часом задача для рiвняння
∂u/∂t = Afu в просторах типу W та W ′, де Af — псевдодиференцiальний оператор ви-
гляду F−1
Bν
[f(σ)FBν ] з аналiтичним символом, який можна також розумiти як оператор
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 437
Бесселя „нескiнченного порядку”:
Af = F−1
Bν
[f(σ)FBν ] =
∞∑
k=0
c2k(−Bν)k.
Тут функцiя f — символ оператора Af — задовольняє певнi умови, якi узагальнюють вi-
дому умову „параболiчностi” для B-параболiчних рiвнянь. Такий пiдхiд дозволяє розши-
рити клас сингулярних еволюцiйних рiвнянь параболiчного типу, для яких мають мiсце
результати, близькi до встановлених у випадку задачi Кошi для B-параболiчних рiвнянь.
Умова (1) трактується у класичному розумiннi або в слабкому сенсi, якщо f — узагальне-
на функцiя з певного простору типу W ′. Дослiджено властивостi фундаментального роз-
в’язку нелокальної багатоточкової за часом задачi для зазначеного рiвняння, доведено
коректну розв’язнiсть задачi у вiдповiдних просторах, знайдено аналiтичне зображення
розв’язку.
1. Простори типу W та W ′. Розглянемо функцiю ω : [0,+∞) → [0,+∞), яка є непе-
рервною i зростаючою, причому ω(0) = 0, limx→+∞ ω(x) = +∞. Для x ≥ 0 покладемо
Ω(x) =
∫ x
0
ω(ξ)dξ. Функцiя Ω має такi властивостi: 1) Ω є диференцiйовною, зростаючою
на [0,+∞) функцiєю, причому Ω(0) = 0, limx→+∞Ω(x) = +∞; 2) Ω — опукла донизу на
[0,+∞) функцiя, тобто [7, с. 7, 8]
∀{x1, x2} ⊂ [0,+∞) : Ω(x1) + Ω(x2) ≤ Ω(x1 + x2).
На промiжок (−∞, 0] функцiю Ω продовжимо парним чином. Поряд iз функцiєю ω роз-
глянемо функцiю µ : [0,+∞) → [0,+∞), яка має такi ж властивостi, як i функцiя ω. Для
x ≥ 0 покладемо M(x) =
∫ x
0
µ(ξ)dξ, M(−x) = M(x). Функцiя M за своїми властивостя-
ми аналогiчна функцiї Ω. За допомогою функцiйM i Ω Б. Л. Гуревич увiв серiю просторiв,
названих ним просторами типу W [6] (див. також [7, с. 7 – 18]). Означимо деякi з них.
Символом WΩ
M позначається сукупнiсть цiлих функцiй ϕ : C → C, якi задовольняють
умову
∃c, a, b > 0 ∀z = x+ iy ∈ C : |ϕ(z)| ≤ c exp{−M(ax) + Ω(by)}. (2)
WΩ
M можна подати як об’єднання злiченно-нормованих просторiв WΩ,b
M,a, де WΩ,b
M,a склада-
ється з тих функцiй ϕ∈WΩ
M , для яких виконуються нерiвностi |ϕ(x+iy)| ≤ c exp{−M(ax)+
+Ω(by)}, z = x + iy ∈ C, де a — довiльна додатна стала, менша за a, b — довiльна стала,
бiльша за b. Якщо для ϕ ∈ WΩ,b
M,a покласти
‖ϕ‖δρ = sup
z∈C
[|ϕ(z)| exp{−Ω((b+ ρ)y) +M(a(1− δ)x)}],
δ ∈ {1/n, n ≥ 2}, ρ ∈ N,
то WΩ,b
M,a з цими нормами стає повним доскoналим злiченно-нормованим простором.
Простори WΩ
M нетривiальнi тодi й лише тодi, коли виконується умова [23]
∃d > 0∃c0 > 0 ∃x0 ∈ (0,+∞) ∀x ≥ x0 : Ω(x) ≥ c0M(dx).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
438 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Збiжнiсть вWΩ
M визначається так [7, с. 16]: послiдовнiсть {ϕn, n ≥ 1} ⊂ WΩ
M збiгається
в WΩ
M до нуля тодi i тiльки тодi, коли вона: 1) правильно збiгається до нуля; 2) є обмеже-
ною. Послiдовнiсть {ϕn, n ≥ 1} ⊂ WΩ
M правильно збiгається до нуля в WΩ
M , якщо вона
рiвномiрно збiгається до нуля на кожнiй обмеженiй множинi Q ⊂ C. Множина A ⊂ WΩ
M
називається обмеженою, якщо A ⊂ WΩ,b
M,a з деякими a, b > 0 i для всiх функцiй ϕ ∈ A
виконується оцiнка |ϕ(z)| ≤ c exp{−M(ax) + Ω(by)} iз одними й тими ж сталими a, b > 0.
Зазначимо, що якщоM(x) = x1/α, 0 < α < 1, x ∈ [0,+∞),Ω(y) = y1/(1−β), 0 < β < 1,
y ∈ [0,+∞) i α+ β ≥ 1, то WΩ
M = Sβα (про простори типу S див. у [8, с. 203 – 210]).
Сукупнiсть функцiй, заданих на R, якi допускають аналiтичне продовження у всю ком-
плексну площину C i як функцiї комплексної змiнної є елементами простору WΩ
M , позна-
чатимемо символом WΩ
M (R).
У працi [24] вcтановлено, що означення (2) простору WΩ
M рiвносильне такому:
(ϕ ∈ WΩ
M ) ⇔
(
∃c1, a1, b1 > 0 ∀k ∈ Z+ ∃µk ∈ [0, k), µ0 = 0,
∀n ∈ Z+ ∃ρn ∈ [0, n), ρ0 = 0 ∀x ∈ R :
∣∣∣xkϕ(n)(x)
∣∣∣ ≤ c1n!
(
b1
ρn
)n(µk
a1
)k
exp{Ω(ρn)−M(µk)}
)
, (A)
де ρn — розв’язок рiвняння xω(x) = n, n ∈ Z+, µk — розв’язок рiвняння xµ(x) = k,
k ∈ Z+
(
тут вважається, що
(
b1
ρ0
)0
= 1,
(
µ0
a1
)0
= 1
)
, або
(ϕ ∈ WΩ
M ) ⇔
(
∃ c1, a1, b1 > 0 ∀n ∈ Z+ ∃ρn ∈ [0, n), ρ0 = 0 ∀x ∈ R :
∣∣∣ϕ(n)(x)
∣∣∣ ≤ c1
(
b1
ρn
)n
n! exp{−M(a1x) + Ω(ρn)}
)
. (B)
Iз урахуванням (B) у просторi WΩ
M (R) збiжнiсть вводиться так: послiдовнiсть {ϕν , ν ≥
≥ 1} ⊂ WΩ
M (R) збiгається до нуля в WΩ
M (R), якщо при довiльному n ∈ Z+ послiдовнiсть
{ϕ(n)
ν , ν ≥ 1} збiгається до нуля рiвномiрно при ν → +∞ на довiльному промiжку [c, d] ⊂
⊂ R; для функцiй ϕ(n)
ν (x) виконуються нерiвностi (B) зi сталими c1, a1, b1 > 0, не залеж-
ними вiд ν.
Символом
◦
W
Ω
M позначатимемо сукупнiсть усiх цiлих парних функцiй iз простору WΩ
M .
Цей простiр iз вiдповiдною топологiєю називатимемо основним простором або просто-
ром типу
◦
W, а його елементи — основними функцiями.
Сукупнiсть функцiй, заданих на R, якi допускають аналiтичне продовження в усю ком-
плексну площину i як функцiї комплексної змiнної є елементами простору
◦
W
Ω
M , позна-
чатимемо символом
◦
W
Ω
M (R).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 439
Нехай P — деякий фiксований многочлен. Тодi у просторiWΩ
M визначена i неперервна
операцiя множення на P (z), z ∈ C (зокрема, операцiя множення на незалежну змiнну z)
[7, с. 22], а у просторах
◦
W
Ω
M ,
◦
W
Ω
M (R) — на P (z2) та P (x2) вiдповiдно.
Функцiя g називається мультиплiкатором у просторi WΩ
M , якщо gψ ∈ WΩ
M для довiль-
ної функцiї ψ ∈ WΩ
M i вiдображення ψ → gψ є лiнiйним i неперервним оператором з WΩ
M
в WΩ
M . Мультиплiкатором у просторi WΩ
M є кожна цiла однозначна функцiя g : C → C,
яка задовольняє умову [7, с. 25]
∀ ε > 0 ∃cε > 0 ∀z = x+ iy ∈ C : |g(z)| ≤ cε exp{M(εx) + Ω(εy)}. (3)
Кожна цiла парна функцiя, яка задовольняє умову (3), є мультиплiкатором у просторi
◦
W
Ω
M , а її звуження на R — мультиплiкатором у просторi
◦
W
Ω
M (R). Наприклад, нормована
функцiя Бесселя jν(z), z ∈ C, ν > −1/2, є мультиплiкатором у просторi
◦
W
Ω
M (див. [4]), а
jν(x), x ∈ R, — мультиплiкатором у просторi
◦
W
Ω
M (R).
Iз результатiв, отриманих у [4], випливає, що у просторi
◦
W
Ω
M визначений i є неперерв-
ним оператор Бесселя
Bν,z :=
d2
dz2
+
2ν + 1
z
d
dz
, ν > −1
2
, z ∈ C.
У просторi ж
◦
W
Ω
M (R) визначений i неперервний оператор Бесселя Bν , який вiдповiдає
дiйснiй змiннiй x.
Нехай функцiї M(x) та Ω(y) визначаються за допомогою функцiй µ(ξ) та ω(η) вiдпо-
вiдно. Якщо функцiї µ та ω взаємно оберненi, тобто µ(ω(η)) = η, ω(µ(ξ)) = ξ, то функцiї
M(x) та Ω(y) називаються двоїстими за Юнгом. У цьому випадку має мiсце нерiвнiсть
Юнга
∀x ∈ [0,∞) ∀y ∈ [0,∞) : xy ≤ M(x) + Ω(y).
Якщо для заданого x ∈ [0,∞) взяти y = µ(x), то нерiвнiсть Юнга для таких x та y
перетворюється в рiвнiсть. Прикладами взаємно двоїстих функцiй є такi функцiї:
M(x) =
xp
p
, Ω(y) =
yq
q
,
1
p
+
1
q
= 1,
M(x) = (x+ 1) ln(x+ 1)− x, Ω(y) = ey − y − 1.
У просторi
◦
W
Ω
M за певних умов визначено оператор Бесселя нескiнченного порядку.
Нехай f(z) =
∑∞
n=0 c2nz
2n — деяка цiла парна функцiя. У просторi
◦
W
Ω
M задано оператор
Бесселя нескiнченного порядку
f(Bν,z) :=
∞∑
n=0
c2n(−Bν,z)n,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
440 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
якщо для довiльної основної функцiї ϕ ∈
◦
W
Ω
M ряд
∞∑
n=0
c2n(−1)n(Bn
ν,zϕ)(z) := (f(Bν,z)ϕ)(z)
зображує деяку основну функцiю з простору
◦
W
Ω
M . Якщо f — мультиплiкатор у просторi
◦
W
Ω1
M1
, то, як доведено в [4], оператор f(Bν,z) визначений у просторi
◦
W
Ω
M i є неперервним.
Нехай Af — звуження оператора f(Bν,z) на простiр
◦
W
Ω
M (R). Тодi для довiльної функцiї
ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R) правильною є рiвнiсть [4]
(Afϕ)(x) = F−1
B [f(ξ)FB[ϕ](ξ)](x), {x, ξ} ⊂ R.
Тут FB — перетворення Бесселя, яке визначене на
◦
W
Ω
M (R) [4]:
ψ(σ) ≡ FB[ϕ](σ) :=
∞∫
0
ϕ(x)jν(σx)x2ν+1dx, ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R).
Простори типу
◦
W (R) перетворенням Бесселя вiдображаються на простори типу
◦
W (R),
а саме [4], FB[
◦
W
Ω
M (R)] =
◦
W
Ω1
M1
(R), оператори FB, F−1
B є неперервними,
F−1
B [ψ](x) = cν
∞∫
0
ψ(σ)jν(xσ)σ2ν+1dσ, cν =
(
22νΓ2(ν + 1)
)−1
, ν > −1
2
— фiксований параметр, Γ — гамма-функцiя. Отже, Af можна розумiти як псевдодифе-
ренцiальний оператор, побудований за аналiтичним символом f. Зокрема,
Bν = F−1
B
[
−σ2FB
]
.
У просторi
◦
W
Ω
M (R) визначений i є неперервним оператор узагальненого зсуву аргу-
менту T ξx [25], який вiдповiдає оператору Бесселя
T ξxϕ(x) = bν
π∫
0
ϕ(
√
x2 + ξ2 − 2xξ cos 2ω) sin2ν ωdω, ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R),
де bν = Γ(ν + 1)/(Γ(1/2)Γ(ν + 1/2)), ν > −1/2. Операцiя узагальненого зсуву аргу-
менту ϕ → T ξxϕ диференцiйовна у просторi
◦
W
Ω
M (R), тобто граничне спiввiдношення(
T ξ+∆ξ
x ϕ− T ξxϕ
)
(∆ξ)−1 → ∂
∂ξ
T ξxϕ, ∆ξ → 0, справджується у просторi
◦
W
Ω
M (R) [4].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 441
Згортка двох функцiй iз простору
◦
W
Ω
M (R) визначається формулою
(ϕ ∗ ψ) =
∞∫
0
T ξxϕ(x)ψ(ξ)ξ2ν+1dξ, {ϕ,ψ} ⊂
◦
W
Ω
M (R).
У просторi
◦
W
Ω
M (R) правильною є формула FB[ϕ ∗ ψ] = FB[ϕ] · FB[ψ], при цьому про-
стори
◦
W
Ω
M (R) утворюють топологiчнi алгебри вiдносно звичайного множення функцiй
та операцiї згортки основних функцiй.
Символом
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
позначатимемо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв
над вiдповiдним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю, а його елементи на-
зиватимемо узагальненими функцiями. Оскiльки у просторi
◦
W
Ω
M (R) визначено операцiю
узагальненого зсуву аргументу, то згортку узагальненої функцiї f ∈
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
з основ-
ною функцiєю ϕ задамо формулою (f ∗ ϕ)(x) = 〈fξ, T ξxϕ(x)〉 = 〈fξ, T xξ ϕ(ξ)〉 (fξ позначає
дiю функцiонала f на основну функцiю за змiнною ξ).
Якщо f ∈
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
i f ∗ ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R) для довiльної функцiї ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R) i зi спiввiд-
ношення ϕn → 0 при n → ∞ за топологiєю простору
◦
W
Ω
M (R) випливає, що f ∗ ϕn → 0
при n → ∞ за топологiєю простору
◦
W
Ω
M (R), то функцiонал f називається згортувачем у
просторi
◦
W
Ω
M (R).
Перетворення Бесселя узагальненої функцiї f ∈
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
визначається як узагаль-
нена функцiя, задана на просторi
◦
W
Ω1
M1
(R):
〈FB[f ], ϕ〉 = 〈f, FB[ϕ]〉 ∀ϕ ∈
◦
W
Ω1
M1
(R).
У статтi [4] доведено таке твердження: якщо узагальнена функцiя f ∈
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
— згортувач у просторi
◦
W
Ω
M (R), то для довiльної функцiї ϕ ∈
◦
W
Ω
M (R) правильною є
формула FB[f ∗ϕ] = FB[f ]·FB[ϕ], при цьому FB[f ] — мультиплiкатор у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R).
2. Нелокальна багатоточкова за часом задача. Символом
◦
P
Ω
M позначатимемо клас
цiлих парних однозначних функцiй f : C → C, якi є мультиплiкаторами у просторi
◦
W
Ω
M i
такими, що ef ∈
◦
W
Ω
M .
Наприклад, нехай f(z) = P (z), z = x + iy ∈ C, — парний полiном степеня 2b, b ∈ N,
над полем комплексних чисел, який задовольняє умову
∃ c > 0 ∀x ∈ R : ReP (x) ≤ −c|x|2b.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
442 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Очевидно, що P — мультиплiкатор у просторi
◦
W
Ω
M . Крiм того,∣∣∣eP (z)
∣∣∣ = eReP (x) ≤ e−c|x|
2b
, x ∈ R,
∃c1 > 0 ∀z = x+ iy ∈ C :
∣∣∣eP (z)
∣∣∣ ≤ e|P (z)| ≤ ec1|z|
2b
.
Тодi, скориставшись рядом теорем з [8, с. 246 – 249], якi є узагальненнями теореми Фраг-
мена – Лiндельофа, одержимо, що функцiя eP (z) у комплекснiй площинi C задовольняє
також нерiвнiсть
|eP (z)| ≤ c0e
−c2|x|2b+c3|y|2b , c0 > 0, c2 > 0, c3 > 0,
тобто eP ∈
◦
W
Ω
M , де M(x) = x2b, Ω(y) = y2b.
Вказану умову задовольняє також кожна цiла парна функцiя f, для якої Re f(z) ≤
≤ −M(ax) + Ω(by).
Розглянемо еволюцiйне рiвняння
∂u
∂t
= Afu, (t, x) ∈ (0, T ]× R ≡ ΠT , (4)
де Af — псевдодиференцiальний оператор (оператор Бесселя нескiнченного порядку),
розглянутий в п. 1, який дiє в просторi
◦
W
Ω
M (R).
Для (4) задамо багатоточкову нелокальну за часом задачу
µu(t, ·)|t=0 − µ1u(t, ·)|t=t1 − . . .− µmu(t, ·)|t=tm = ϕ, (5)
де m ∈ N, {µ, µ1, . . . , µm} ⊂ (0,∞), {t1, . . . , tm} ⊂ (0, T ], 0 < t1 < . . . < tm ≤ T, —
фiксованi числа, причому µ > m
∑m
k=1 µk, ϕ ∈
◦
W
Ω1
M1
(R) (тут Ω1 та M1 — функцiї, двоїстi
за Юнгом вiдповiдно до функцiй M та Ω). Класичний розв’язок u ∈ C1((0, T ],
◦
W
Ω1
M1
(R))
задачi (4), (5) шукаємо за допомогою перетворення Бесселя у виглядi
u(t, x) = F−1
B [v(t, σ)](x), (t, x) ∈ (0, T ]× R.
Для функцiї v : ΠT → R дiстаємо задачу з параметром σ:
dv(t, σ)
dt
= f(σ)v(t, σ), (t, σ) ∈ ΠT , (6)
µv(t, σ)|t=0 −
m∑
k=1
µkv(t, σ)|t=tk = ϕ̃(σ), σ ∈ R, (7)
де ϕ̃(σ) := FB[ϕ](σ). Загальний розв’язок рiвняння (6) зображується у виглядi
v(t, σ) = c exp{tf(σ)}, (t, σ) ∈ ΠT , (8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 443
де c = c(σ) визначається з умови (7). Пiдставляючи (8) у (7), отримуємо
c = ϕ̃(σ)
(
µ−
m∑
k=1
µk exp{tkf(σ)}
)
, σ ∈ R,
v(t, σ) = ϕ̃(σ) exp{tf(σ)}
(
µ−
m∑
k=1
µk exp{tkf(σ)}
)−1
, (t, σ) ∈ ΠT .
Отже, розв’язок задачi (4), (5) має вигляд
u(t, x) = cν
∞∫
0
v(t, σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, (t, x) ∈ ΠT .
Введемо позначення G(t, x) := F−1
B [Q(t, σ)](x), де
Q(t, σ) = exp{tf(σ)}
(
µ−
m∑
k=1
µk exp{tkf(σ)}
)−1
.
Тодi, мiркуючи формально, маємо
u(t, x) =
∞∫
0
T ξxG(t, x)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = G(t, x) ∗ ϕ(x), (t, x) ∈ ΠT .
Справдi,
u(t, x) = cν
∞∫
0
Q(t, σ)
∞∫
0
ϕ(ξ)jν(σξ)ξ2ν+1dξ
jν(σx)σ2ν+1dσ.
Оскiльки jν(σξ)jν(σx) = T ξxjν(σx) [25], то
u(t, x) =
∞∫
0
cν ∞∫
0
Q(t, σ)T ξxjν(σx)σ2ν+1dσ
ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ =
=
∞∫
0
T ξxG(t, x)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = G(t, x) ∗ ϕ(x), (t, x) ∈ ΠT . (9)
Коректнiсть проведених тут перетворень та збiжнiсть вiдповiдних iнтегралiв, а отже пра-
вильнiсть формули (9), випливають з властивостей функцiї G, якi ми наведемо нижче.
Властивостi функцiї G пов’язанi з властивостями функцiї Q, оскiльки G = F−1[Q]. Отже,
насамперед дослiдимо властивостi функцiї Q як функцiї аргументу x.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
444 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Лема 1. Нехай f ∈
◦
P
Ω
M . Функцiя Q1(t, z) = exp{tf(z)}, t ∈ (0, T ], z ∈ C, при фiксова-
ному t ∈ (0, T ], як функцiя аргументу z, належить до простору
◦
W
Ω
M . Iснують сталi c,
a, b > 0 такi, що для її похiдних на R правильними є оцiнки
|D2n
x Q1(t, x)| ≤ c
(
b̃e
ρ2n
)2n
(2n)!e−tM(ax) ≤ c
(
b̃e
ρ2n
)2n
(2n)!e−M(ãx), n ∈ N, (10)
де ã = a{t}, b̃ = max{b, bT}, ρ2n — розв’язок рiвняння xω(x) = 2n, n ∈ N (ω — функцiя,
за якою будується функцiя Ω).
Доведення. Оскiльки f ∈
◦
W
Ω
M , то iснують такi числа c0, a, b > 0, що∣∣∣ef(z)
∣∣∣ ≤ c0e
−M(ax)+Ω(by), z = x+ iy ∈ C.
Тодi ∣∣∣etf(z)
∣∣∣ =
∣∣∣ef(z)
∣∣∣t ≤ [c0e
−M(ax)+Ω(by)
]t
≤ ce−tM(ax)+tΩ(by), c = max
{
1, cT0
}
. (11)
Iз нерiвностi (11) випливає, що Q1(t, ·) належить
◦
W
Ω
M при кожному t ∈ (0, T ]. Для до-
ведення цього факту скористаємося тим, що для функцiї Ω справджуються нерiвностi:
а) ∀α ≥ 1 ∀x ∈ [0,+∞) : Ω(αx) ≥ αΩ(x); б) ∀α ∈ (0, 1) ∀x ∈ [0,∞) : Ω(αx) ≤ αΩ(x).
Цi властивостi випливають з рiвностi
Ω(αx) = α
x∫
0
ω(αξ)dξ, x ≥ 0,
яка виконується для довiльногоα > 0, з урахуванням монотонного зростання ω на [0,+∞).
Аналогiчнi властивостi справджуються для функцiї M. Отже, при фiксованому t ∈ (0, 1)
−tM(ax) ≤ −M(tax), e−tM(ax)+tΩ(by) ≤ e−M(tax)+Ω(tby) ≤ e−M(a1x)+Ω(by), a1 = at.
Якщо t > 1, то t = [t] + {t}. Тодi
e−tM(ax) = e−[t]M(ax)e−{t}M(ax) ≤ e−{t}M(ax) ≤ e−M(a2x), a2 = a{t},
etΩ(by) ≤ eΩ(bty) = eΩ(b1y), b1 = bt.
Таким чином,
|Q1(t, z)| ≤ ce−M(a2x)+Ω(b1y), z ∈ C, t > 1.
Нехай ã = min{at, a{t}} = a{t}, b̃ = max{b, bT}, t ∈ (0, T ].Тодi при фiксованому t ∈ (0, T ]
справджується нерiвнiсть
|Q1(t, z)| ≤ ce−M(ãx)+Ω(b̃y), (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 445
звiдки й випливає, що Q1(t, ·) належить
◦
W
Ω
M .
Доведемо тепер правильнiсть оцiнок (10). Внаслiдок iнтегральної формули Кошi
D2n
x Q1(t, x) =
(2n)!
2πi
∫
ΓR
Q1(t, z)
(z − x)2n+1
dz, n ∈ Z+,
де ΓR — коло радiуса R з центром у точцi x ∈ R. Скориставшись (12), прийдемо до нерiв-
ностей ∣∣D2n
x Q1(t, x)
∣∣ ≤ c
(2n)!
R2n
max
z∈ΓR
|Q1(t, z)| ≤ c
(2n)!
R2n
e−M(ãx0)+Ω(b̃R),
де x0 — точка максимуму функцiї exp{−M(ãξ)}, ξ ∈ [x−R, x+R].ОскiлькиM — парна на
R функцiя, яка зростає на промiжку [0,+∞), то x0 = x+θR, де θ ∈ {−1, 0, 1}.Врахувавши
опуклiсть функцiї M, отримаємо
∣∣D2n
x Q1(t, x)
∣∣ ≤ c
(2n)!
R2n
e−M(ãx)−M(ãθT )eΩ(b̃R).
Для кожного n ∈ Z+ функцiя gn(R) = R−2n exp{Ω(b̃R)} є диференцiйовною, причому
lim
R→+∞
gn(R) = +∞, n ∈ Z+, lim
R→+0
gn(R) =
{
+∞, n ∈ N,
1, n = 0.
Оскiльки gn(R) > 0, R ∈ (0,+∞), то дана функцiя досягає свого iнфiмуму, який знайдемо
за допомогою методiв диференцiального числення:
g′n(R) =R−(2n+1)(b̃RΩ′(b̃R)− 2n)eΩ(b̃R) = R−(2n+1)(b̃Rω(b̃R)− 2n)eΩ(b̃R), n ∈ Z+
(тут ω — функцiя, за якою будується функцiя Ω). Прирiвнявши g′n(R) до нуля, дiстанемо
b̃Rω(b̃R) = 2n, n ∈ Z+. Безпосередньо переконуємося в тому, що функцiя gn(R) досягає
свого iнфiмуму в точцi Rn =
ρ2n
b̃
, де ρ2n — розв’язок рiвняння xω(x) = 2n (ρ0 = 0, якщо
n = 0, ρ2n < 2n, n ∈ N). Отже,
inf
R>0
gn(R) = gn(Rn) =
b̃2n
ρ2n
2n
eΩ(ρ2n).
Таким чином,
∣∣D2n
x Q1(t, x)
∣∣ ≤ c(2n)!e−M(ãx) inf
R>0
gn(R) = c
(
b̃
ρ2n
)2n
(2n)!e−M(ãx)+Ω(ρ2n),
n ∈ Z+, t ∈ (0, T ], x ∈ R.
Оцiнимо вираз exp Ω(ρ2n). Оскiльки
Ω(ρ2n) =
ρ2n∫
0
ω(x)dx, n ∈ N,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
446 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
то, згiдно з теоремою про середнє значення, маємо
∀n ∈ N ∃ ξn ∈ (0, ρ2n) : Ω(ρ2n) = ρ2nω(ξn).
Якщо n = 0, то ρ0 = 0 i Ω(0) = ω(0) = 0. Функцiя ω є зростаючою i неперервною на
(0,∞), ξn < ρ2n, тому
Ω(ρ2n) < ρ2nω(ρ2n) = 2n, n ∈ N.
Тодi eΩ(ρ2n) < e2n. Отже,
∣∣D2n
x Q1(t, x)
∣∣ ≤ c
(
b̃e
ρ2n
)2n
(2n)!e−M(ãx), n ∈ Z+, t ∈ (0, T ], x ∈ R.
Лему 1 доведено.
Наслiдок 1. Q1(t, x) ∈
◦
W
Ω
M (R) при кожному t ∈ (0, T ].
Далi вважатимемо, що виконується умова c ≤ m, де c — стала з нерiвностi (11).
Лема 2. Для похiдних функцiї
Q2(x) =
(
µ−
m∑
k=1
µk exp{tkf(x)}
)−1
≡
(
µ−
m∑
k=1
µkQ1(tk, x)
)−1
правильними є оцiнки
∣∣D2n
x Q2(x)
∣∣ ≤ c̃
(
b̃
ρ2n
)2n
n!eΩ(ρ2n), n ∈ N, x ∈ R, (13)
де c̃ = c′
∑∞
r=0 µ̃
r, µ̃ = µ−1µ0m < 1, µ0 = max{µ1, . . . , µm}, c′ = cµ−1, c — стала з
нерiвностi (10), ρ2n — розв’язок рiвняння xω(x) = 2n, n ∈ Z+.
Доведення. Iз оцiнок (10) випливають нерiвностi
Q1(tk, x) ≤ ce−tkM(ax) ≤ c, k ∈ {1, . . . ,m}.
Оскiльки
µ−
m∑
k=1
µkQ1(tk, x) = µ
(
1− 1
µ
m∑
k=1
µk exp{tkf(x)}
)
,
причому
1
µ
m∑
k=1
µk exp{tkf(x)} ≤ c
µ
m∑
k=1
µk ≤
m
µ
m∑
k=1
µk < 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 447
то, скориставшись полiномiальною формулою, отримаємо
Q2(x) =
1
µ
∞∑
r=0
µ−r
(
m∑
k=1
µke
tkf(x)
)r
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)×
×
( ∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
(µ1e
t1f(x))r1 . . . (µme
tmf(x))rm
)
=
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . . µrmm Q1(λ, x),
де λ := t1r1 + . . .+ tmrm, Q1(λ, x) = eλf(x). Звiдси та з (10) випливають нерiвностi
∣∣D2n
x Q2(x)
∣∣ ≤ c
(
b̃
ρ2n
)2n
eΩ(ρ2n)(2n)!
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr0e
−λM(ax) ≤
≤ c
(
b̃
ρ2n
)2n
(2n)!eΩ(ρ2n)
∞∑
r=0
µ−(r+1)µr0
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
, n ∈ N.
Далi скористаємося тим, що ∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
= mr. (14)
Тодi ∣∣D2n
x Q2(x)
∣∣ ≤ c′
(
b̃
ρ2n
)2n
(2n)!eΩ(ρ2n)
∞∑
r=0
µ̃r = c̃
(
b̃
ρ2n
)2n
(2n)!eΩ(ρ2n),
де c′ = cµ−1, µ̃ = µ−1µ0m < 1, c̃ = c′
∑∞
r=0 µ̃
r.
Лему 2 доведено.
Лема 3. ФункцiяQ(t, x) = Q1(t, x)Q2(x) при кожному t ∈ (0, T ], як функцiя аргументу
x, є елементом простору
◦
W
Ω
M (R).
Доведення. Скористаємося твердженням (B).Врахувавши (10), (13) та формулу Лейб-
нiца диференцiювання добутку двох функцiй, знайдемо
∣∣D2n
x Q(t, x)
∣∣ =
∣∣∣∣∣
2n∑
l=0
C l2nD
l
xQ1(t, x) ·D2n−l
x Q2(x)
∣∣∣∣∣ ≤
≤ cc̃
2n∑
l=0
C l2n
(
b̃
ρl
)l
l!eΩ(ρl)
(
b̃
ρ2n−l
)2n−l
(2n− l)!eΩ(ρ2n−l)e−tM(ax).
Далi зазначимо, що
1
ρ2n−l
1
ρl
≤ 1
ρ2
1
α2n
ρ2n
, 1 ≤ l ≤ 2n − 1, де α > 1 — довiльно фiксоване
число. Послiдовнiсть {ρn} є монотонно зростаючою i необмеженою. Справдi, якщо при-
пустити, що supn∈Z+
ρn = c < +∞, то, видiливши збiжну пiдпослiдовнiсть {ρnk} таку, що
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
448 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
limk→∞ ρnk = a, a < +∞, одержали б суперечнiсть, оскiльки ρnkω(ρnk) = nk, i перейшов-
ши до границi при n → ∞, дiстали б, що aω(a) = +∞. Врахувавши цей факт, знайдемо
ρ2n−l ≥ ρ1, ρl ≥ ρ1,
ρ2n
ρ2n−l ρl
≤ 1
ρ2
1
ρ2n <
2n
ρ2
1
<
α2n
ρ2
1
для довiльного α > 1. Крiм того, iз властивостей функцiї Ω та послiдовностi {ρn} випли-
вають нерiвностi
eΩ(ρl) eΩ(ρ2n−l) ≤ eΩ(ρ2n)ėΩ(ρ2n) ≤ e2n eΩ(ρ2n), 1 ≤ l ≤ 2n− 1.
Тодi
∣∣D2n
x Q(t, x)
∣∣ ≤ cc̃
ρ2
1
(
b̃e2α
ρ2n
)2n
eΩ(ρ2n)
2n∑
l=0
C l2ne
−tM(ax) = c
(
b
ρ2n
)2n
(2n)!eΩ(ρ2n)e−tM(ax),
(15)
b = 2b̃e2α,
2n∑
l=0
C l2n = 22n, c =
cc̃
ρ2
1
e2
√
2π.
Тут ми скористалися також тим, що
l!(2n− l)! ≤ 2πe2(2n)2n ≤
√
2πe2e2n(2n)!, 1 ≤ l ≤ 2n− 1.
Iз обмеженостi функцiї Q2(x) та оцiнок (15) випливає, що Q(t, x), як функцiя x, є елемен-
том простору
◦
W
Ω
M (R) (при фiксованому t ∈ (0, T ]).
Лему 3 доведено.
Врахувавши властивостi перетворення Бесселя (прямого та оберненого) та спiввiдно-
шення FB[
◦
W
Ω
M (R)] =
◦
W
Ω1
M1
(R), знайдемо, що G(t, ·) ∈
◦
W
Ω1
M1
(R) при кожному t ∈ (0, T ].
Скориставшись зображенням функцiї Q2(x), отримаємо
G(t, σ) = cν
∞∫
0
Q1(t, x)Q2(x)jν(σx)x2ν+1 dx =
= cν
∞∫
0
etf(x)
(
µ−
m∑
k=1
µke
tkf(x)
)−1
jν(σx)x2ν+1dx =
= cν
∞∫
0
etf(x)
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . .
. . . µrmm e(t1r1+...+tmrm)f(x)jν(σx)x2ν+1dx =
=
∞∑
r=0
1
µr+1
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
G̃(t1r1 + . . .+ tmrm + t, σ), (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 449
де
G̃(t1r1 + . . .+ tmrm + t, σ) = cν
∞∫
0
e(t1r1+...+tmrm+t)f(x)jν(σx)x2ν+1dx,
G̃(t, σ) — фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (14), тобто G̃(t, σ) =
= F−1
B [Q1(t, x)](σ).
У [4, 5] доведено, що
∃ b1 ∈ (0, a) ∃ b2 > b ∃dν > 0:
|G̃(t, σ + iτ)| ≤ dνt
−(ω+3/2) exp
{
−tM1
(
σ
b1t
)
+ tΩ1
(
τ
b2t
)}
, {σ, τ} ⊂ R,
де a, b > 0 — параметри з нерiвностi (11), яку задовольняє функцiя
Q1(t, x), ω =
{
ν, 0 < T ≤ 1,
0, T > 1.
Звiдси та з (15) випливає, що для функцiї G(t, σ) справджується нерiвнiсть
|G(t, σ)| ≤ d̃νt
−(ω+3/2)
∞∑
r=0
µ̃r exp
{
−tM1
(
σ
b1(rT + t)
)}
,
де µ̃ = µ0mµ
−1 < 1; тут ми також скористалися формулою (14).
Функцiя G(t, ·) є неперервною функцiєю аргументу t ∈ (0, T ]. Справдi, для t ≥ t0 > 0
виконуються нерiвностi (див. (11))
|Q(t, x)| ≤ ce−t0M(ax)
(
µ−
m∑
k=1
µkQ1(t, x)
)−1
≤ ce−t0M(ax)
(
µ− c
m∑
k=1
µk
)−1
.
Тут враховано, що
Q(t, x) = Q1(t, x)Q2(x), Q1(tk, x) ≤ ce−tkM(ax) ≤ c ≤ m, k ∈ {1, . . . ,m},(
µ− c
m∑
k=1
µk
)−1
≡ γ0 > 0.
Крiм того, функцiя M(x) при x → +∞ зростає швидше за довiльну лiнiйну функцiю,
|jν(σx)| ≤ Aν , {x, σ} ⊂ R, де Aν =
√
πΓ(ν + 1)/Γ(ν + 1/2) (ця оцiнка випливає з iнтег-
ральної формули Пуассона для нормованої функцiї Бесселя [26]). Звiдси вже випливає
рiвномiрна збiжнiсть iнтеграла
∫ ∞
0
Q(t, x)jν(σx)x2ν+1dx у довiльнiй смузi {(t, x) : t0 ≤ t ≤
≤ T, x ∈ R}, t0 > 0, тому функцiя G(t, ·) є неперервною у кожнiй точцi промiжку (0, T ].
Аналогiчно доводимо диференцiйовнiсть по t функцiї G(t, σ) на (0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
450 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Лема 4. ФункцiяG(t, x), t ∈ (0, T ], як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями
у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R), диференцiйовна по t.
Доведення. Iз властивостi неперервностi перетворення Бесселя (прямого та оберне-
ного) у просторах типу
◦
W (R) випливає, що для доведення леми досить показати, що
функцiя FB[G(t, x)] = Q(t, σ), як абстрактна функцiя параметра t iз значеннями у про-
сторi FB[
◦
W
Ω1
M1
(R)] =
◦
W
Ω
M (R), диференцiйовна по t. Врахувавши твердження (B), для
цього досить довести, що граничне спiввiдношення
Φ∆t(σ) :=
1
∆t
[Q(t+ ∆t, σ)−Q(t, σ)] → f(σ)Q(t, σ) =
∂
∂t
Q(t, σ), ∆t → 0,
виконується в тому розумiннi, що:
1) D2n
σ Φ∆t(σ) → D2n
σ (f(σ)Q(t, σ)), ∆t → 0, n ∈ Z+, рiвномiрно на кожному вiдрiзку
[c, d] ⊂ (0,+∞);
2)
∣∣D2n
σ Φ∆t(σ)
∣∣ ≤ c
(
b
ρ2n
)2n
(2n)!e−M(aσ)+Ω(ρ2n), n ∈ Z+, де ρ2n — розв’язок рiвнян-
ня xω(x) = 2n, причому сталi c, a, b > 0 не залежать вiд ∆t, якщо ∆t — досить мала
величина.
Функцiя Q(t, σ) = etf(σ)Q2(σ), t ∈ (0, T ], σ ∈ R, диференцiйовна по t у звичайному
розумiннi, тому
Φ∆t(σ) = f(σ)e(t+θ∆t)f(σ)Q2(σ), 0 < θ < 1, t+ θ∆t ≤ T, σ ∈ R.
Отже,
D2n
σ Φ∆t(σ) =
2n∑
l=0
C l2nD
l
σ(f(σ)Q2(σ))D2n−l
σ e(t+θ∆t)f(σ). (17)
Доведемо, що
Dl
σe
(t+θ∆t)f(σ) → Dl
σe
tf(σ), ∆t → 0, (18)
рiвномiрно по σ на кожному промiжку [c, d] ⊂ (0,∞), тобто встановимо, що
lim
∆t→0
sup
σ∈[c,d]
∣∣∣Dl
σ
[
e(t+θ∆t)f(σ) − etf(σ)
]∣∣∣ = 0.
Оскiльки f — мультиплiкатор у просторi
◦
W
Ω
M , то (див. п. 1)
∀ ε > 0 ∃ cε > 0 ∀ z = σ + iτ ∈ C : |f(z)| ≤ cε exp{M(εσ) + Ω(ετ)}.
Скориставшись цiєю нерiвнiстю та iнтегральною формулою Кошi
f (n)(σ) =
n!
2πi
∫
ΓR
f(z)
(z − σ)n+1
dz, n ∈ Z+, σ ∈ [c, d],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 451
де ΓR — коло радiуса R з центром у точцi σ ∈ [c, d], знайдемо
∣∣∣f (n)(σ)
∣∣∣ ≤ c̃ε
(
eε
ρn
)n
n!eΩ(ρn), σ ∈ [c, d] ⊂ (0,∞), n ∈ Z+, (19)
де c̃ε = cε expM(εd), ρn — розв’язок рiвняння xω(x) = n, n ∈ Z+. Iз оцiнок похiдних
функцiй exp{tf(σ)} та f(σ) (див. (10) та (19)) випливає, що∣∣∣Dl
σ
[
e(t+θ∆t)f(σ) − etf(σ)
]∣∣∣ = θ
∣∣∣Dl
σ(f(σ)e(t+θ1∆t)f(σ))
∣∣∣ |∆t| =
= θ
∣∣∣∣∣∣
l∑
j=0
CjlD
j
σf(σ)Dl−j
σ e(t+θ1∆t)f(σ)
∣∣∣∣∣∣ |∆t| ≤
≤ cc̃ε
l∑
j=0
Cjl
(
eε
ρj
)j
j!eΩ(ρj)
(
b̃l
ρl−j
)l−j
(l − j)!×
× e−(t+θ1∆t)M(aσ) |∆t| ≤ c(ε, l)|∆t|, 0 < θ1 < 1,
де стала c(ε, l) не залежить вiд σ та ∆t. Звiдси випливає, що спiввiдношення (18) вико-
нується. Отже, умова 1 справджується. Доведення властивостi 2 ґрунтується на методицi,
застосованiй при доведеннi леми 3, з урахуванням оцiнок похiдних функцiй f(σ), Q1(t, σ),
Q2(σ).
Лему 4 доведено.
Наслiдок 2. Правильною є формула
∂
∂t
(ϕ ∗G(t, ·)) = ϕ ∗ ∂G(t, ·)
∂t
∀ϕ ∈ (
◦
W
Ω1
M1
(R))′.
Доведення. За означенням згортки узагальненої функцiї з основною маємо
ϕ ∗G(t, x) = 〈ϕξ, T ξxG(t, x)〉 ≡ 〈ϕξ, T xξ G(t, ξ)〉.
Тодi
∂
∂t
(ϕ ∗G(t, ·)) = lim
∆t→0
1
∆t
[(ϕ ∗G)(t+ ∆t, ·)− (ϕ ∗G)(t, ·)] =
= lim
∆t→0
〈
ϕξ,
1
∆t
[
T ξxG(t+ ∆t, ·)− T ξxG(t, ·)
]〉
.
За лемою 4 граничне спiввiдношення
1
∆t
[
T ξxG(t+ ∆t, ·)− T ξxG(t, ·)
]
−→
∆t→0
∂
∂t
T ξxG(t, ·)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
452 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
виконується в сенсi збiжностi за топологiєю простору
◦
W
Ω1
M1
(R), тому, з урахуванням не-
перервностi функцiонала ϕ, маємо
∂
∂t
(ϕ ∗G(t, ·)) =
〈
ϕξ, lim
∆t→0
1
∆t
[T ξxG(t+ ∆t, ·)− T ξxG(t, ·)]
〉
=
=
〈
ϕξ,
∂
∂t
T ξxG(t, ·)
〉
=
〈
ϕξ, T
ξ
x
∂
∂t
G(t, ·)
〉
= ϕ ∗ ∂G(t, ·)
∂t
.
Наслiдок 2 доведено.
Лема 5. У просторi (
◦
W
Ω1
M1
(R))′ справджується граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
G(t, ·)−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
G(t, ·) = δ (20)
(δ — дельта-функцiя Дiрака).
Доведення. Оскiльки G(t, ·) ∈
◦
W
Ω1
M1
(R) при кожному t ∈ (0, T ], Q(t, ·) = FB[G(t, ·)],
то, скориставшись властивiстю неперервностi перетворення Бесселя та функцiїG(t, ·), як
абстрактної функцiї параметра t iз значеннями у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R), спiввiдношення (20)
замiнимо еквiвалентним граничним спiввiдношенням
µ lim
t→+0
Q(t, ·)−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
Q(t, ·) = 1. (21)
Для доведення (21) вiзьмемо довiльну функцiю ψ ∈
◦
W
Ω
M (R) i, скориставшись теоремою
про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега, знайдемо
µ lim
t→+0
〈Q(t, ·), ψ〉 −
m∑
l=1
µl lim
t→tl
〈Q(t, ·), ψ〉 = µ lim
t→+0
∞∫
0
Q(t, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ−
−
m∑
l=1
µl lim
t→tl
∞∫
0
Q(t, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ =
∞∫
0
[
µQ(0, σ)−
m∑
l=1
µlQ(tl, σ)
]
ψ(σ)σ2ν+1 dσ =
=
∞∫
0
[
µ
µ−
∑m
k=1 µkQ1(tk, σ)
−
m∑
l=1
µl
Q1(tl, σ)
µ−
∑m
k=1 µkQ1(tk, σ)
]
ψ(σ)σ2ν+1 dσ =
=
∞∫
0
ψ(σ)σ2ν+1dσ = 〈1, ψ〉.
Звiдси випливає, що спiввiдношення (21) виконується у просторi (
◦
W
Ω
M (R))′, а отже, пра-
вильним є спiввiдношення (20).
Лему 5 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 453
Символом
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
позначатимемо клас узагальнених функцiй з
( ◦
W
Ω1
M1
(R)
)′
,
якi є згортувачами у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R).
Наслiдок 3. Нехай
ω(t, x) = ϕ ∗G(t, x), ϕ ∈ (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′, (t, x) ∈ ΠT .
Тодi у просторi
( ◦
W
Ω1
M1
(R)
)′
справджується граничне спiввiдношення
µ lim
t→+0
ω(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
ω(t, ·) = ϕ. (22)
Доведення. Оскiльки ϕ — згортувач у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R), який є досконалим просто-
ром iз неперервною операцiєю зсуву аргументу, то [4, 5]
FB[ϕ ∗G(t, ·)] = FB[ϕ] · FB[G(t, ·)] = FB[ϕ] ·Q(t, ·)
(при цьому FB[ϕ] — мультиплiкатор у просторi
◦
W
Ω
M (R)). Урахувавши цей факт та влас-
тивiсть неперервностi перетворення Бесселя, спiввiдношення (22) запишемо у виглядi
µ lim
t→+0
FB[ω(t, ·)]−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
FB[ω(t, ·)] =
= FB[ϕ](µ lim
t→+0
Q(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
Q(t, ·)) = FB[ϕ]
(вказане спiввiдношення розглядається у просторi (
◦
W
Ω
M (R))′). Врахувавши (21), прийде-
мо до (22).
Наслiдок 3 доведено.
Функцiя ω(t, ·) є розв’язком рiвняння (4). Справдi, оскiльки ϕ — згортувач у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R), то
Afω(t, ·) = F−1
B [f(σ)FB[ϕ ∗G(t, ·)]] = F−1
B [f(σ)FB[ϕ]Q(t, σ)] =
= F−1
B
[
∂
∂t
Q(t, σ)FB[ϕ]
]
= F−1
B
[
FB
[
∂
∂t
G(t, ·)
]
FB[ϕ]
]
=
= F−1
B
[
FB
[
ϕ ∗ ∂G(t, ·)
∂t
]]
= ϕ ∗ ∂G(t, ·)
∂t
.
З iншого боку (див. наслiдок 2),
∂
∂t
(ϕ ∗G(t, ·)) = ϕ ∗ ∂G(t, ·)
∂t
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
454 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Звiдси дiстаємо, що функцiя ω(t, ·) задовольняє рiвняння (4) у звичайному розумiннi.
З наслiдку 3 випливає, що для рiвняння (4) m-точкову за часом задачу можна ставити
так: знайти розв’язок u ∈ C1
(
(0, T ],
◦
W
Ω1
M1
(R)
)
рiвняння (4), який задовольняє умову
µ lim
t→+0
u(t, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
u(t, ·) = ϕ, ϕ ∈ (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′, (23)
де граничне спiввiдношення (23) розглядається у просторi
( ◦
W
Ω
M (R)
)′
(обмеження на па-
раметри µ, µ1, . . . , µm, t1, . . . , tm такi ж, як у випадку задачi (4), (5)).
Iз доведеного ранiше випливає, що функцiя u(t, x) = ϕ ∗G(t, x), ϕ ∈
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
, є
розв’язком рiвняння (4). Якщо ϕ = δ ∈
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
, то ϕ∗G(t, ·) = G(t, ·), тобто функ-
цiяG(t, ·) також є розв’язком рiвняння (4). Врахувавши цей факт, а також спiввiдношення
(20), функцiю G далi називатимемо фундаментальним розв’язком багатоточкової зада-
чi (4), (23).
Теорема. Задача (4), (23) коректно розв’язна. Розв’язок дається формулою u(t, x) =
= ϕ ∗G(t, x), (t, x) ∈ ΠT , u(t, ·) ∈
◦
W
Ω1
M1
(R) при кожному t ∈ (0, T ].
Доведення. Функцiя u(t, x) = ϕ ∗G(t, x) задовольняє рiвняння (4). Розв’язок u(t, ·) не-
перервно залежить вiд функцiї, яка задає умову (23) в тому розумiннi, що якщо {ϕ,ϕn, n ≥
≥ 1} ⊂
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
i ϕn → ϕ, n → ∞, у просторi
( ◦
W
Ω1
M1
(R)
)′
, то un(t, ·) = ϕn∗G(t, ·) →
→ u = ϕ ∗G(t, ·), n → ∞, у просторi
◦
W
Ω1
M1
(R). Ця властивiсть випливає з властивостi не-
перервностi операцiї згортки.
Залишається переконатися в тому, що задача (4), (23) має єдиний розв’язок. Для цього
розглянемо задачу Кошi
∂v
∂t
+A∗fv = 0, (t, x) ∈ [0, t0)× R, 0 ≤ t < t0 ≤ T, (24)
v(t, ·)|t=t0 = g, g ∈ (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′, (25)
де A∗f — звуження спряженого оператора до оператора A на простiр
◦
W
Ω1
M1
(R) ⊂
(
◦
W
Ω1
M1
(R)
)′
.
Умову (25) розумiємо в слабкому сенсi. Iз результатiв, одержаних у [5], випливає, що
задача Кошi (24), (25) розв’язна, при цьому v(t, ·) ∈
◦
W
Ω1
M1
(R) при кожному t ∈ [0, t0).
Нехай Qtt0 :
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
→
◦
W
Ω1
M1
(R) — оператор, який зiставляє функцiоналу g ∈
∈
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
розв’язок задачi (24), (25). Оператор Qtt0 є лiнiйним i неперервним, ви-
значеним для довiльних t i t0 таких, що 0 ≤ t < t0 ≤ T, i має такi властивостi:
∀g ∈
(
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
:
dQtt0g
dt
+A∗fQ
t
t0g = 0, lim
t→t0
Qtt0g = g
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 455
(границя розглядається у просторi (
◦
W
Ω1
M1
(R))′).
Розглянемо розв’язок u(t, x), (t, x) ∈ ΠT , задачi (4), (23), який розумiтимемо як регу-
лярний функцiонал iз простору (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′ ⊃
◦
W
Ω1
M1
(R). Доведемо, що задача (4), (23)
може мати лише єдиний розв’язок у просторi (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′. Для цього досить довести, що
єдиним розв’язком рiвняння (4) при нульовiй граничнiй умовi може бути лише функцiо-
нал u(t, x) ≡ 0 (при кожному t ∈ (0, T ]). Застосуємо функцiонал u до функцiї Qtt0g ∈
∈
◦
W
Ω1
M1
(R), де g — довiльно фiксований елемент iз простору
◦
W
Ω1
M1
(R) ⊂
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
.
Диференцiюючи по t i використовуючи рiвняння (4), (24), знаходимо
∂
∂t
〈
u,Qtt0g
〉
=
〈
∂u
∂t
,Qtt0g
〉
+
〈
u,
∂Qtt0g
∂t
〉
= 〈Afu,Qtt0g〉 − 〈u,A
∗
fQ
t
t0g〉 =
= 〈Afu,Qtt0g〉 − 〈Afu,Q
t
t0g〉 = 0, t ∈ [0, t0).
Звiдси випливає, що 〈u(t, ·), Qtt0g〉 є сталою величиною. Iз властивостей абстрактних функ-
цiй випливає спiввiдношення
lim
t→t0
〈u(t, ·), Qtt0g〉 = 〈u(t0, ·), g〉 = const ≡ c
у довiльнiй точцi t0 ∈ (0, T ]. Отже, якщо в (23) f = 0, то
µ lim
t→+0
〈u(t, ·), g〉 −
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈u(t, ·), g〉 = c
(
µ−
m∑
k=1
µk
)
= 0,
тобто c = 0. Таким чином, 〈u(t, ·), g〉 = 0 ∀g ∈
◦
W
Ω1
M1
(R), тобто u(t0, x) — нульовий
функцiонал iз простору (
◦
W
Ω1
M1
(R), ∗)′. Оскiльки t0 ∈ (0, T ] i вибране довiльним чином, то
u(t, x) ≡ 0 для всiх t ∈ (0, T ].
Теорему доведено.
Як приклад, розглянемо рiвняння (4) з оператором Af , побудованим за функцiєю
f(x) = −x
2
2
, x ∈ R. У цьому випадку
Af =
1
2
Bν =
1
2
(
d2
dx2
+ (2ν + 1)−1x−1 d
dx
)
, ν > −1
2
,
а рiвняння (4) — це рiвняння з оператором Бесселя
∂u
∂t
=
1
2
(
∂2u
∂x2
+
2ν + 1
x
∂u
∂x
)
, ν > −1
2
, (t, x) ∈ ΠT . (26)
Функцiя f(z) = −z
2
2
є елементом простору
◦
P
Ω
M , де M(x) =
x2
2
, Ω(y) =
y2
2
. Справдi,
e−z
2/2 ∈ W y2/2
x2/2
, оскiльки ∣∣∣e−z2/2∣∣∣ =
∣∣∣e−(x+iy)2/2
∣∣∣ = e−x
2/2+y2/2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
456 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, А. О. ШИРОКОВСЬКИХ
Крiм того, функцiя
−z2
2
— мультиплiкатор у просторi W y2/2
x2/2
. Стала c в нерiвностi (11) у
даному випадку дорiвнює одиницi, тобто умова c ≤ m, m ∈ N, виконується. Внаслiдок
доведеної теореми нелокальна m-точкова за часом задача для рiвняння (26) коректно
розв’язна, якщо f ∈
( ◦
W
Ω1
M1
(R), ∗
)′
, де Ω1 та M1 — функцiї, двоїстi за Юнгом до функцiй
M та Ω вiдповiдно. У цьому випадку маємо Ω1(y) =
y2
2
, M1(x) =
x2
2
(див. приклад з п. 1).
Отже, для рiвняння (26) вказана задача коректно розв’язна у просторi
( ◦
W
y2/2
x2/2
(R), ∗
)′
,
при цьому u(t, x) = ϕ ∗G(t, x), де
G(t, x) = 2−ν−1/2Γ−1(ν + 1)
∞∑
r=0
1
µr+1
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
1
(2λ(t, r))ν+1
e−x
2/(2λ(t,r)),
де λ(t, r) = t1r1 + . . . + tmrm + t. Зокрема, якщо f = δ ∈
( ◦
W
x2/2
x2/2
(R), ∗
)′
, m = 1, t1 = T
(випадок двоточкової задачi), то
u(t, x) = G(t, x) = 2−2ν−3/2µ−1Γ−1(ν + 1)
∞∑
r=0
(
µ1
µ
)r 1
(t+ rT )ν+1
e
− x2
2(t+rT ) .
Лiтература
1. Крехивский В. В., Матийчук М. И. Фундаментальные решения и задача Коши для линейных парабо-
лических систем с оператором Бесселя // Докл. АН СССР. — 1968. — 181, № 6. — С. 1320 – 1323.
2. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с диффе-
ренциальным оператором Бесселя // Мат. сб. — 1955. — 36, № 2. — С. 299 – 310.
3. Городецький В. В., Житарюк I. В. Задача Кошi для одного класу параболiчних систем з оператором
Бесселя в просторах узагальнених функцiй // Доп. АН УРСР. — 1991. — № 7. — С. 20 – 23.
4. Городецкий В. В., Мартынюк О. В. Задача Коши для эволюционных уравнений с оператором Бесселя
бесконечного порядка. I // Изв. вузов. Математика. — 2010. — № 6. — С. 3 – 15.
5. Городецкий В. В., Мартынюк О. В. Задача Коши для эволюционных уравнений с оператором Бесселя
бесконечного порядка. II // Изв. вузов. Математика. — 2010. — № 7. — С. 31 – 42.
6. Гуревич Б. Л. Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для
конечно-разностных схем // Докл. АН СССР. — 1954. — 99, № 6. — С. 893 – 896.
7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. — М.: Физ-
матгиз, 1958. — 274 с.
8. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М.: Физматгиз,
1958. — 307 с.
9. Pathak R. S. On Hankel transformable spaces and a Cauchy problem // Can. J. Math. — 1985. — 37, № 1. —
P. 84 – 106.
10. Duran Antonio J. Gel’fand – Shilov spaces for the Hankel transform // Indag. Math. (N. S.). — 1992. — 3,
№ 2. — P. 137 – 151.
11. Marrero I. The Fourier – Bessel transformation and the Gelfand – Shilov spaces of type W // Bol. Soc. mat.
mexic. — 2003. — 9, № 2. — P. 257 – 271.
12. Sharma V. D., Dolas P. D. Some S-type spaces of Fourier – Stieltjes transform // Int. J. Eng. and Innov.
Technol. — 2013. — 3, № 3. — P. 361 – 363.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
ПРО ОДНЕ УЗАГАЛЬНЕННЯ ЗАДАЧI КОШI . . . 457
13. Prasad A., Mahato A. The fractional wavelet transform on spaces of type W // Integral Transforms and
Special Functions. — 2013. — 24, № 3. — P. 239 – 250.
14. Pathak R. S. The wavelet transform on spaces of type W. The wavelet transform // Atlantis Stud. Math. Eng.
and Sci. — 2009. — 4. — P. 83 – 91.
15. Городецький В. В. Про гладкi розв’язки B-параболiчних рiвнянь та множини їх початкових значень //
Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. праць. — 1996. — Вип. 12. —
С. 268 – 272.
16. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
17. Белавин И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических
процессов с учетом пространственного распределения // Журн. вычислит. математики и мат. физи-
ки. — 1998. — 38, № 6. — С. 885 – 902.
18. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. — М.: Наука, 1980. — 208 с.
19. Романко В. К. Граничные задачи для одного класса дифференциальных операторов // Дифференц.
уравнения. — 1974. — 10, № 11. — С. 117 – 131.
20. Макаров А. А. Существование корректной двухточечной краевой задачи в слое для систем псевдо-
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 1. — С. 144 – 150.
21. Чесалин В. И. Задача с нелокальными граничными условиями для абстрактных гиперболических
уравнений // Дифференц. уравнения. — 1979. – 15, № 11. — С. 2104 – 2106.
22. Илькив В. С., Пташник Б. И. Некоторая нелокальная двухточечная задача для систем уравнений с
частными производными // Сиб. мат. журн. — 2005. — 46, № 11. — С. 119 – 129.
23. Готинчан Т. I. Про нетривiальнiсть та вкладення просторiв типу W // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту: Зб.
наук. праць. Математика. — 2003. — Вип. 160. — С. 39 – 44.
24. Готинчан Т. I., Атаманюк Р. М. Рiзнi форми означення просторiв типу W // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту:
Зб. наук. праць. Математика. — 2001. — Вип. 111. — С. 21 – 26.
25. Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. —
1951. — 6, вып. 2. — С. 102 – 143.
26. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике. — М.: Наука, 1977. — 832 с.
Одержано 15.03.16,
пiсля доопрацювання — 26.06.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177281 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:18:10Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Широковських, А.О. 2021-02-14T08:15:40Z 2021-02-14T08:15:40Z 2016 Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк, А.О. Широковських // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 435-457 — Бібліогр.: 26 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177281 517.956 Доказана корректная разрешимость нелокальной многоточечной по времени задачи для эволюционных уравнений с операторами Бесселя бесконечного порядка и граничным условием в пространстве обобщенных функций типа W'. We prove correct solvability of a nonlocal time multipoint problem for an evolution equations with infinite order Bessel operators and a boundary condition in a W'-type space of distributions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу Об одном обобщении задачи Коши для сингулярных эволюционных уравнений параболического типа On a generalization of a Cauchy problem for singular parabolic type evolution equations Article published earlier |
| spellingShingle | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Широковських, А.О. |
| title | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| title_alt | Об одном обобщении задачи Коши для сингулярных эволюционных уравнений параболического типа On a generalization of a Cauchy problem for singular parabolic type evolution equations |
| title_full | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| title_fullStr | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| title_full_unstemmed | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| title_short | Про одне узагальнення задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| title_sort | про одне узагальнення задачі коші для сингулярних еволюційних рівнянь параболічного типу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177281 |
| work_keys_str_mv | AT gorodecʹkiivv proodneuzagalʹnennâzadačíkošídlâsingulârnihevolûcíinihrívnânʹparabolíčnogotipu AT martinûkov proodneuzagalʹnennâzadačíkošídlâsingulârnihevolûcíinihrívnânʹparabolíčnogotipu AT širokovsʹkihao proodneuzagalʹnennâzadačíkošídlâsingulârnihevolûcíinihrívnânʹparabolíčnogotipu AT gorodecʹkiivv obodnomobobŝeniizadačikošidlâsingulârnyhévolûcionnyhuravneniiparaboličeskogotipa AT martinûkov obodnomobobŝeniizadačikošidlâsingulârnyhévolûcionnyhuravneniiparaboličeskogotipa AT širokovsʹkihao obodnomobobŝeniizadačikošidlâsingulârnyhévolûcionnyhuravneniiparaboličeskogotipa AT gorodecʹkiivv onageneralizationofacauchyproblemforsingularparabolictypeevolutionequations AT martinûkov onageneralizationofacauchyproblemforsingularparabolictypeevolutionequations AT širokovsʹkihao onageneralizationofacauchyproblemforsingularparabolictypeevolutionequations |