Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу
Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени получены условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и критерия качества. We differential systems with impulsive effects at nonfixed times, we find conditions for exis...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2016 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177285 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу / А.О. Івашкевич, Т.В. Ковальчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 493-508 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859769504380223488 |
|---|---|
| author | Івашкевич, А.О. Ковальчук, Т.В. |
| author_facet | Івашкевич, А.О. Ковальчук, Т.В. |
| citation_txt | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу / А.О. Івашкевич, Т.В. Ковальчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 493-508 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени получены условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и критерия качества.
We differential systems with impulsive effects at nonfixed times, we find conditions for existence of an optimal control. The conditions depend on the right-hand sides of the system and the quality criterion.
|
| first_indexed | 2025-12-02T06:22:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ У НЕФIКСОВАНI МОМЕНТИ ЧАСУ
А. О. Iвашкевич
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Глушкова, 4, Київ, 03680, Україна
Т. В. Ковальчук
Київ. нац. торг.-екон. ун-т
вул. Кiото, 19, Київ, 02156, Україна
We differential systems with impulsive effects at nonfixed times, we find conditions for existence of an
optimal control. The conditions depend on the right-hand sides of the system and the quality criterion.
Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные мо-
менты времени получены условия существования оптимального управления в терминах пра-
вых частей системы и критерия качества.
1. Вступ. У данiй роботi розглядається задача оптимального керування системою дифе-
ренцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю
ẋ = A(x, t) +B(x, t)u, x /∈ S,
∆x|x∈S = g(x), (1)
x(0) = x0,
з критерiєм якостi
J(u) =
T∫
0
(A0(x, t) +B0(u, t))dt → inf, (2)
де S — деяка гiперповерхня в Rd, x0 ∈ Rd — фiксований вектор, T > 0 — фiксоване чис-
ло, t ∈ [0, T ], u ∈ U ⊂ Rm, U — замкнена, опукла множина в Rm, 0 ∈ U, A(x, t) —
d-вимiрна вектор-функцiя, B(x, t) — (d × m)-вимiрна матриця, g — d-вимiрна вектор-
функцiя.
Бiльш точну постановку задачi буде наведено в основнiй частинi роботи.
Подiбнi задачi розглядались ранiше багатьма авторами. В роботах Л. Т. Ащепкова та
його учнiв (див., наприклад, [1]) розвивалися методи розв’язання такої задачi з точки зору
розривних динамiчних систем з подальшим застосуванням принципу максимума.
В монографiї [2] така задача розглядалася з точки зору оптимальних iмпульсних ке-
рувань, тобто керування мiстилося лише в iмпульснiй частинi. Автори запропонували
розв’язання такої задач методом квазiварiацiйних нерiвностей.
c© А. О. Iвашкевич, Т. В. Ковальчук, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 493
494 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
У роботi [3] задача оптимального керування iмпульсними системами зводиться до за-
дачi оптимального керування для рiвнянь з мiрами в деякому банаховому просторi, при
цьому роль керування вiдiграють скiнченнi мiри. В результатi задача набирає вигляду
dx = Axdx+ f(t, x)dt+ g(t, x)ν(dt) + C(t, x)u(dt),
x(0) = x0, t ∈ I,
J(u) =
∫
t
l(t, x(t))dt+ ψ(x(T )) + ϕ(u) → inf,
де u(dt) — мiра, що є параметром керування.
При досить серйозних обмеженнях, а саме:
1) лiпшицевiсть i лiнiйне зростання функцiй f, g, C за змiнною x;
2) слабка компактнiсть множини допустимих керувань;
3) демiнеперервнiсть оператора Lt(u) =
∫ t
0
eA(t−s)C(s, x(s))u(ds), t ∈ I,
тут доводиться iснування оптимальних керувань.
У монографiї [4] для iмпульсних систем розвиваються варiацiйнi пiдходи в комбiна-
цiї з принципом максимума. В роботах [5 – 7] отримано принцип максимума для систем з
нефiксованими моментами iмпульсiв.
У роботi [8] розглянуто задачу оптимального керування iмпульсною системою при
нелокальних крайових умовах. За допомогою варiацiї керування отримано рiзнi необхiднi
умови оптимальностi другого порядку.
Отриманi у вказаних вище роботах результати мають характер необхiдних умов iсну-
вання оптимального керування. Винятком є лiнiйний випадок, для якого з принципу мак-
симума можна отримати достатнi умови оптимальностi. Тому задача отримання достатнiх
умов оптимальностi для нелiнiйних iмпульсних систем у термiнах їхнiх правих частин та
критерiю якостi, без застосування принципу максимума, є актуальною. Зазначимо, що да-
на робота узагальнює результат роботи [9] на випадок нефiксованих моментiв iмпульсної
дiї.
2. Постановка задачi та допомiжна лема. Нехай функцiїA(x, t), B(x, t) є неперервними
за сукупнiстю змiнних t ∈ [0, T ], x ∈ Rd, g(x) — неперервна функцiя по x ∈ Rd. Будемо
вважати, що для них виконано умову лiнiйного зростання по x, тобто iснує така стала
K > 0, що для t ∈ [0, T ] i x ∈ Rd
|A(x, t)| ≤ K(1 + |x|), ‖B(x, t)‖ ≤ K(1 + |x|), |g| ≤ K(1 + |x|), (3)
де |.|— евклiдова норма вектора, ‖.‖— норма матрицi, узгоджена з нормою вектора.
Вiдносно функцiй A0, B0 будемо вважати, що вони є неперервними за сукупнiстю
змiнних, причому A0 ≥ 0, а B0 опукла по u та
B0(u, t) ≥ a|u|p − c(t) (4)
для деяких a > 0, p > 1, c(t) ∈ L1([0, T ]).
Допустимими для задачi (1), (2) вважаються такi керування u = u(t),що u(t) ∈ Lp([0, T ]),
u(t) ∈ U, t ∈ [0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 495
Будемо вважати, що гiперповерхня S є компактом i задається рiвнянням s(x) = 0, де
s — неперервна функцiя.
Через τku позначимо моменти попадання розв’язку x(u, t) на гiперповерхню S.
Для встановлення основного результату нам знадобиться така лема.
Лема. Якщо S — компакт, виконано умови (3) i
ρ(x+ g(x), S) > 0 ∀x ∈ S, (5)
а послiдовнiсть допустимих керувань un(t) задовольняє умову
∫ T
0
|un(t)|pdt ≤ D для
деякої сталої D, незалежної вiд un(t), то iснує таке γ > 0, що для довiльного un(t) iз
даної послiдовностi τkun − τ
k−1
un ≥ γ.
Доведення. Для скорочення запису τkun позначимо через τkn . Нехай нерiвнiсть (5) не
виконується. Тодi iснує така пiдпослiдовнiсть керувань unp iз даної сiм’ї, що для деяких
двох послiдовних моментiв iмпульсної дiї вiдстань мiж ними прямує до нуля при p → ∞,
тобто τ ip+1
np − τ ipnp → 0.
Не втрачаючи загальностi можна вважати, що послiдовнiсть τn має таку властивiсть.
Iз умови (5), внаслiдок компактностi S, випливає iснування α > 0 з виконанням нерiв-
ностi
ρ(x+ g(x), S) ≥ α ∀x ∈ S.
Для кожного un(t) iснує таке τα ∈ (τ
ip
n , τ
ip+1
n ), що∣∣∣xn(τα)− xn(τ
ip
n + 0)
∣∣∣ ≥ α
2
. (6)
Дiйсно, оскiльки
ρ(xn(τ
ip
n + 0), S) ≤ ρ(xn(τ
ip
n + 0), xn(τα)) + ρ(xn(τα), S),
маємо
ρ(xn(τ
ip
n + 0), xn(τα)) ≥ ρ(xn(τ
ip
n + 0), S)− ρ(xn(τα), S).
Зазначимо, що для t ∈ (τ
ip
n , τ
ip+1
n ) розв’язок xn(t) не виходить з деякого M -околу
гiперповерхнi S, а тому iснує така стала C > 0, що |xn(t)| ≤ C для t ∈
(
τ
ip
n , τ
ip+1
n
)
.
Дiйсно, для t ∈ (τ
ip
n , τ
ip+1
n ) i q =
p
p− 1
маємо
|xn(t)|q =
∣∣∣∣∣∣∣x(τ
ip
n ) + g(x(τ
ip
n )) +
t∫
τ
ip
n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s)) ds
∣∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤ 2q−1
∣∣∣x(τ
ip
n ) + g(x(τ
ip
n ))
∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
t∫
τ
ip
n
(K(1 + |xn(s)|))q ds
t∫
τ
ip
n
(1 + |un(s)|)p ds
q
p
∣∣∣∣∣∣∣∣
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
496 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
але
t∫
τ
ip
n
(K(1 + |xn(s)|))q ds
t∫
τ
ip
n
(1 + |un(s)|)p ds
q
p
≤
≤
(2K)qT + (2K)q
t∫
τ
ip
n
|xn(t)|q ds
T +
t∫
τ
ip
n
|un(s)|p ds
q
p
≤
≤
(2K)qT + (2K)q
t∫
τ
ip
n
|xn(t)|qds
T +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
q
p
.
Врахувавши компактнiсть S, неперервнiсть функцiї g(x) на S i нерiвнiсть Гронуолла –
Беллмана, отримаємо потрiбну оцiнку для xn(t).
З iншого боку,
α
2
≤
∣∣∣xn(τα)− xn(τ
ip
n + 0)
∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
τα∫
τ
ip
n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
τα∫
τ
ip
n
(K(1 + |xn(s)|) +K(1 + |xn(s)|)un(s))ds =
=
τα∫
τ
ip
n
K(1 + |xn(s)|)(1 + |un(s)|)ds =
= K
(τα − τ
ip
n ) +
τα∫
τ
ip
n
|xn(s)| ds+
τα∫
τ
ip
n
|un(s)| ds+
τα∫
τ
ip
n
|xn(s)| |un(s)|ds
≤
≤ K
(
τα − τ
ip
n
)
+ C
(
τα − τ
ip
n
)
+D
1
p
(
τα − τ
ip
n
) 1
q
+ CD
1
p
(
τα − τ
ip
n
) 1
q → 0
при τα − τ
ip
n → 0, що суперечить (6).
Лему доведено.
3. Основний результат.
Теорема. Нехай для системи (1) з критерiєм якостi (2) виконуються умови (3), (4)
постановки задачi та умова (5). Тодi задача оптимального керування (1), (2) має розв’я-
зок у класi допустимих керувань.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 497
Доведення. Зазначимо, що множина допустимих керувань непорожня. Дiйсно, нехай
u = 0. Тодi система (1) набирає вигляду
ẋ = A(x, t),
∆x|x∈S = g(x),
x(0) = x0.
Згiдно з лемою, в данiй системi немає «биття», а тому неперервнiсть функцiї A(x, t) i
умова (3) гарантують iснування розв’язку задачi Кошi на [0, T ].
Оскiльки функцiонал J(u) ≥ 0, то iснує невiд’ємна нижня межа m значень J(u). Не-
хай un — послiдовнiсть таких допустимих керувань, що J(un) → m, n → ∞. Зауважимо,
що при досить великих m виконується нерiвнiсть J(un) ≤ m+ 1.
Звiдси та з (4) випливає
T∫
0
|un(t)|pdt ≤ 1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
.
Отже, з un(t) можна видiлити слабко збiжну пiдпослiдовнiсть. Не втрачаючи загаль-
ностi будемо вважати, що un(t) слабко збiгається до u∗(t), де u∗(t) ∈ Lp([0, T ]). Тодi за
лемою Мазура [10] знайдеться така опукла комбiнацiя bk(t) =
∑n(k)
i=1 aiui(t) елементiв
ui(t) ∈ U
(
ai ≥ 0,
∑n(k)
i=1 ai = 1
)
, що bk → u∗, k → ∞, за нормою Lp.
Таким чином, iснує збiжна майже скрiзь на [0, T ] за мiрою Лебега пiдпослiдовнiсть bkl
така, що bkl → u∗, l → ∞, для майже всiх t. Оскiльки U — опукла i замкнена множина,
то
∑n(k)
i=1 aiui(t) ∈ U. Тодi iз замкненостi множини U випливає, що u∗ ∈ U майже для всiх
t ∈ [0, T ].
Оцiнимо розв’язки xn(t), що вiдповiдають керуванню un(t).
Покажемо рiвномiрну обмеженiсть розв’язкiв xn(t) при t ∈ [0, T ]. Для q =
p
p− 1
маємо
|xn(t)|q =
∣∣∣∣∣∣x0 +
t∫
0
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds+
∑
0≤τkn<t
g(xn(τkn))
∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤ 3q−1
|x0|q +
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
(K(1 + |xn(s)|) +K(1 + |xn(s)|)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣
q
+
+
∣∣∣∣∣∣
∑
0≤τkn<t
K(1 + |xn(τkn)|)
∣∣∣∣∣∣
q . (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
498 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
Розглянемо окремо кожний iз доданкiв:∣∣∣∣∣∣
t∫
0
(K(1 + |xn(s)|) +K(1 + |xn(s)|)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤
t∫
0
(K(1 + |xn(s)|))qds
t∫
0
(1 + |un(s)|)pds
q
p
≤
≤
(2K)qT + (2K)q
t∫
0
|xn(s)|qds
T +
t∫
0
|un(s)|pds
q
p
. (8)
Позначимо c1 = (2K)qT. Оскiльки
T +
t∫
0
|un(s)|p ds
q
p
≤
T +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
q
p
= c2,
то, продовжуючи нерiвнiсть (8), переконуємось, що iнтегральний доданок у (7) оцiню-
ється виразом
c1 + (2K)qc2
t∫
0
|xn(s)|qds. (9)
Оскiльки за лемою число доданкiв у сумi у виразi (7) не перевищує
[
T
γ
]
+ 1, то для
оцiнки сумарного члена в (7) маємо∣∣∣∣∣∣
∑
0≤τkn<t
K(1 + |xn(τkn)|)
∣∣∣∣∣∣
q
≤ Kq
∑
0≤τkn<t
2q(1 + |xn(τkn)|q)
([
T
γ
]
+ 1
) q
p
≤
≤ Kq
([
T
γ
]
+ 1
) q
p
2q−1
([
T
γ
]
+ 1
)
+ 2q−1
∑
0≤τkn<t
|xn(τkn)|q
≤
≤ c3 + c4
∑
0≤τkn<t
|xn(τkn)|q, (10)
де
c3 = Kq
([
T
γ
]
+ 1
) 2q
p
2q−1, c4 = Kq
([
T
γ
]
+ 1
) q
p
2q−1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 499
Iз (7) – (10) отримуємо нерiвнiсть
|xn(t)|q ≤ c1 + |x0|q + (2K)qc2
t∫
0
|xn(s)|qds+ c3 + c4
∑
0≤τkn<t
∣∣∣xn (τkn)∣∣∣q =
= c5 + c6
t∫
0
|xn(s)|q ds+ c4
∑
0≤τkn<t
|xn(τkn)|q,
де
c5 = c1 + |x0|q + c3, c6 = (2K)qc2.
З аналога нерiвностi Гронуолла – Беллмана [11, с. 30] маємо
|xn(t)|q ≤ c5e
c6T
∏
0≤τkn<t
(1 + c4) = c5e
c6T (1 + c4)
[
T
γ
]
+1
= C для t ∈ [0, T ]. (11)
Останнє означає, що xn(t) рiвномiрно обмеженi на [0, T ].
Нехай τ1n — момент першого попадання розв’язку xn(t) на гiперповерхню S. Продов-
жимо xn(t) на [0, T ] таким чином:
yn(t) =
{
xn(t), t ∈ [0, τ1n],
xn(τ1n), t ∈ [τ1n, T ].
(12)
Покажемо рiвностепеневу неперервнiсть yn(t) на [0, T ].
Нехай s1, s2 ∈ [0, τ1n], s1 < s2. Оскiльки |xn(t)| ≤ C, то
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(s1)− xn(s2)| =
∣∣∣∣∣∣
s2∫
s1
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K
(s2 − s1) +
s2∫
s1
|xn(s)| ds+
s2∫
s1
|un(s)| ds+
s2∫
s1
|xn(s)| |un(s)| ds
≤
≤ K(s2 − s1) + C(s2 − s1) +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
500 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
Нехай s1 < τ1n < s2 < T, тодi
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(s1)− xn(τ1n)| =
∣∣∣∣∣∣∣
τ1n∫
s1
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K(s2 − s1) + C(s2 − s1) +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q .
Отже, yn(t), t ∈ [0, T ], — рiвностепенево неперервна функцiя, тому iснує рiвномiрно
збiжна на [0, T ] пiдпослiдовнiсть ynk(t). Не втрачаючи загальностi можна вважати, що
yn(t) ⇒ y∗(t), n → ∞, t ∈ [0, T ].
Позначимо limn→∞ inf τ1n = τ1. Будемо розглядати промiжок [0, τ1].
Виберемо з послiдовностi
{
τ1n
}
n→∞ таку пiдпослiдовнiсть
{
τ1nk
}
k→∞ , що τ1nk → τ1,
nk → ∞. Не втрачаючи загальностi будемо вважати, що τ1n → τ1, n → ∞.
Для довiльно малого ε > 0 розглянемо промiжок τ1n ∈ (τ1 − ε, τ1]. Нехай у ньому
мiститься нескiнченна кiлькiсть τ1n. Тодi з послiдовностi
{
τ1n
}
n→∞ можна видiлити моно-
тонну зростаючу пiдпослiдовнiсть
{
τ1nk
}
k→∞ . Вважаємо, що τ1nk := τ1n, n → ∞.
На промiжку t ∈ [0, τ1 − ε] послiдовнiсть yn(t) = xn(t) i, отже, послiдовнiсть xn(t)
рiвномiрно збiгається до y∗(t). Позначимо y∗(t) = x∗1(t), t ∈ [0, τ1 − ε].
Покажемо, що x∗1(t) є розв’язком системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t) на [0, τ1−
−ε], тобто, що при t ∈ [0, τ1 − ε] справджується рiвнiсть
x∗1(t) = x0 +
t∫
0
(A(x∗1(s), s) +B(x∗1(s), s)u
∗(s))ds.
Маємо
xn(t) = x0 +
t∫
0
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds. (13)
Перейдемо у (13) до границi при n → ∞:
x∗1(t) = x0 + lim
n→∞
t∫
0
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 501
За теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть з урахуванням лiнiйного зростання функ-
цiї A(x, t) i рiвномiрної обмеженостi розв’язкiв xn(t) маємо
lim
n→∞
t∫
0
A(xn(s), s)ds =
t∫
0
A(x∗1(s), s)ds.
Крiм того,
lim
n→∞
t∫
0
B(x∗1(s), s)(un(s)− u∗(s))ds = 0,
що випливає зi слабкої збiжностi un до u∗. Використовуючи спiввiдношення
lim
n→∞
B(xn(t), t) = B(x∗1(t), t),
що виконується рiвномiрно поза деякою множиною δ довiльної малої мiри, i нерiвнiсть∫
δ
|un(s)|ds ≤
(∫ t
0
|un(s)|pds
) 1
p
|δ|
1
q , неважко бачити, що
lim
n→∞
t∫
0
|B(xn(s), s)−B(x∗1(s), s)||un(s)|ds = 0,
t∫
0
B(xn(s), s)un(s)ds →
t∫
0
B(x∗1(s), s)u
∗(s)ds.
Отже,
lim
n→∞
t∫
0
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds =
t∫
0
(A(x∗1(s), s) +B(x∗1(s), s)u
∗(s))ds, (14)
тобто x∗1(t) є розв’язком системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t) на [0, τ1 − ε].
Покажемо, що iснує границя функцiї x∗1(τ
1 − ε) при ε → 0. Дiйсно, нехай ε1 < ε2. Тодi
|x∗1(τ1 − ε1)− x∗1(τ1 − ε2)| =
∣∣∣∣∣∣∣
τ1−ε1∫
τ1−ε2
(A(x∗1(s), s) +B(x∗1(s), s)u
∗(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ K(ε2 − ε1)+
+ C(ε2 − ε1) +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(ε2 − ε1)
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(ε2 − ε1)
1
q → 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
502 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
при ε2 − ε1 → 0.
Позначимо
lim
ε→0
x∗1(τ
1 − ε) = x∗1(τ
1). (15)
Покажемо, що x∗1(τ
1) ∈ S. Для цього доведемо, що xn(τ1n) → x∗1(τ
1) при n → ∞.
Дiйсно, вiзьмемо довiльне µ > 0 i покажемо iснування такого натуральногоN,що при
n > N виконується нерiвнiсть
|xn(τ1n)− x∗1(τ1)| < µ. (16)
Тодi
|xn(τ1n)− x∗1(τ1)| ≤ |xn(τ1n)− x∗1(τ1 − ε)|+ |x∗1(τ1 − ε)− x∗1(τ1)|.
Для першого доданка в лiвiй частинi останньої нерiвностi маємо
|xn(τ1n)− x∗1(τ1 − ε)| ≤ |xn(τ1 − ε)− x∗1(τ1 − ε)|+ |xn(τ1n)− xn(τ1 − ε)|.
Оскiльки τ1n > τ1 − ε, то з (13) випливає, що
|xn(τ1n)− xn(τ1 − ε)|q ≤ εc5, (17)
де c5 — стала, що не залежить вiд u i ε.
Звiдси випливає, що для довiльного n iснує таке ε1 > 0, що при ε < ε1 виконується
нерiвнiсть
|xn(τ1n)− xn(τ1 − ε)| < µ
3
. (18)
Iснує також таке натуральне N1, що для довiльного n > N1 виконується нерiвнiсть
|xn(τ1n)− x∗1(τ1 − ε)| <
µ
3
(19)
внаслiдок рiвномiрної збiжностi xn до x∗1 на [0, τ1 − ε] при ε < ε1.
З (15) також випливає iснування такого ε2, що при ε < ε2 виконується нерiвнiсть
|x∗1(τ1 − ε)− x∗1(τ1)| <
µ
3
. (20)
З (17) – (20) випливає, що xn(τ1n) прямує до x∗1(τ
1) при n → ∞.
Оскiльки s(xn(τ1n)) = 0, то з неперервностi функцiї s(x) випливає, що s(x∗1(τ
1)) = 0.
Розглянемо випадок, коли нескiнченна кiлькiсть τ1n мiститься у промiжку (τ1, τ1 + ε).
З послiдовностi {τ1n}n→∞ можна видiлити монотонну спадну пiдпослiдовнiсть {τ1nk}k→∞.
Вважаємо, що τ1nk := τ1n, n → ∞.
На промiжку t ∈ [0, τ1] послiдовнiсть yn(t) = xn(t) i, отже, послiдовнiсть xn(t) piвно-
мiрно збiгається до y∗(t). Позначимо y∗(t) = x∗1(t), t ∈ [0, τ1].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 503
Аналогiчно попередньому випадку, x∗1(t) є розв’язком системи (1), що вiдповiдає ке-
руванню u∗(t) на [0, τ1].
Покажемо, що x∗1(τ
1) ∈ S. Доведемо, що xn(τ1n) → x∗1(τ
1) при n → ∞.
Для цього розглянемо нерiвнiсть
|xn(τ1n)− x∗1(τ1)| ≤ |xn(τ1n)− xn(τ1)|+ |xn(τ1)− x∗1(τ1)|.
Для першого доданка у правiй частинi останньої нерiвностi маємо
∣∣xn(τ1n)− xn(τ1)
∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣∣
τ1n∫
τ1
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤
∣∣∣∣∣∣∣
τ1n∫
τ1
K(1 + |xn(s)|)(1 + |un(s)|)ds
∣∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤
∣∣∣∣∣∣∣
τ1n∫
τ1
K(1 + C)(1 + |un(s)|)ds
∣∣∣∣∣∣∣
q
≤
≤ c2
τ1n∫
τ1
(K(1 + C))qds ≤ c5(τ
1
n − τ1) → 0, n → ∞.
Другий доданок також прямує до нуля внаслiдок рiвномiрної збiжностi xn(t) до x∗1(t), t ∈
∈ [0, τ1].
Отже,
xn(τ1n) → x∗1(τ
1) при n → ∞, (21)
а тому x∗1(τ
1) належить S.
Нехай τ2n — момент другого попадання розв’язку xn(t) на гiперповерхню S. Тодi xn(t)
можна продовжити на [0, T ] таким чином:
yn(t) =
xn(τ2n), t ≥ τ2n,
xn(t), t ∈ [τ1n, τ
2
n],
xn(τ1n) + g(xn(τ1n)), t ∈ [0, τ1n].
(22)
Покажемо рiвностепеневу неперервнiсть yn(t), t ∈ [0, T ].
Нехай s1, s2 ∈ [τ1n, τ
2
n], s1 < s2. Тодi, як i в попередньому випадку, маємо
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(s1)− xn(s2)| ≤ K(s2 − s1) + C(s2 − s1)+
+
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
504 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q .
Нехай τ1n < s1 < τ2n < s2 < T, тодi
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(s1)− xn(τ2n)| =
∣∣∣∣∣∣∣
τ2n∫
s1
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K(s2 − s1) + C(s2 − s1) +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − s1)
1
q .
Нехай 0 < s1 < τ1n < s2 < τ2n, тодi
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(τ1n) + g(xn(τ1n))− xn(s2)| =
=
∣∣∣∣∣xn(τ1n) + g(xn(τ1n))− xn(τ1n)− g(xn(τ1n))−
−
s2∫
s1
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
∣∣∣∣∣ ≤
≤ K(s2 − τ1n) + C(s2 − τ1n) +
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − τ1n)
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(s2 − τ1n)
1
q .
Отже, функцiя yn(t), t ∈ [0, T ], є рiвностепенево неперервною, тому iснує рiвномiрно
збiжна на [0, T ] пiдпослiдовнiсть. Не втрачаючи загальностi можна вважати, що yn(t) ⇒
⇒ y∗(t), n → ∞, t ∈ [0, T ].
Позначимо limn→∞ inf τ2n = τ2. Використавши доведену вище лему, покажемо, що
τ2 ≥ τ1 +
γ
2
. Для цього розглянемо рiзницю τ2 i τ1:
τ2 − τ1 = |τ2 − τ2n + τ2n − τ1n + τ1n − τ1| ≥ |τ2n − τ1n| − |τ2 − τ2n + τ1n − τ1|. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 505
Далi розглянемо другий доданок: |τ2 − τ2n + τ1n − τ1| ≤ |τ2 − τ2n|+ |τ1n − τ1| ≤
γ
2
, оскiльки
для великих n |τ2 − τ2n| <
γ
4
та |τ1n − τ1| <
γ
4
.
Повертаючись до нерiвностi (23), отримуємо
τ2 − τ1 ≥ |τ2n − τ1n| −
γ
2
≥ γ
2
.
Отже, τ2 ≥ τ1 +
γ
2
.
Будемо розглядати промiжок [τ1, τ2]. Зафiксуємо довiльне ε > 0 i розглянемо випадки
промiжкiв, в яких мiститься нескiнченна кiлькiсть τ1n та τ2n :
1) τ1n ∈ (τ1 − ε, τ1], τ2n ∈ (τ2 − ε, τ2],
2) τ1n ∈ (τ1 − ε, τ1], τ2n ∈ [τ2, τ2 + ε),
3) τ1n ∈ [τ1, τ1 + ε), τ2n ∈ (τ2 − ε, τ2],
4) τ1n ∈ [τ1, τ1 + ε), τ2n ∈ [τ2, τ2 + ε).
Оскiльки всi випадки доводяться аналогiчно, то розглянемо лише випадок τ1n ∈ [τ1, τ1+
+ε), τ2n ∈ (τ2 − ε, τ2]. Нехай нескiнченна кiлькiсть τ1n та τ2n мiститься у промiжках τ1n ∈
∈ [τ1, τ1 + ε), τ2n ∈ (τ2 − ε, τ2]. Як i у попередньому випадку, з послiдовностей τ1n та τ2n
можемо видiлити монотонно спадну τ1nk та монотонно зростаючу τ2nk пiдпослiдовностi.
Вважаємо, що τ1nk := τ1n, τ
2
nk
:= τ2n, n → ∞.
На промiжку t ∈ [τ1 + ε, τ2 − ε] послiдовнiсть yn(t) = xn(t) i, отже, послiдовнiсть xn(t)
рiвномiрно збiгається до y∗(t). Позначимо y∗(t) := x∗2(t), t ∈ [τ1 + ε, τ2 − ε].
Покажемо, що x∗2(t) є розв’язком системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t) на [τ1 +
+ε, τ2 − ε], тобто що при t ∈ [τ1 + ε, τ2 − ε] справджується рiвнiсть
x∗2(t) = x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)) +
t∫
τ1+ε
(A(x∗2(s), s) +B(x∗2(s), s)u
∗(s))ds.
При t ∈ [τ1 + ε, τ2 − ε] xn(t) задовольняє рiвняння
xn(t) = xn(τ1n) +
t∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds+ g(x∗1(τ
1)), (24)
а на пiдставi (22) маємо xn(τ1n) + g(x∗1(τ
1)) → x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)). Переходячи у (24) до
границi при n → ∞, отримуємо
x∗2(t) = x∗1(τ
1
n) + g(x∗1(τ
1)) + lim
n→∞
t∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
506 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
Аналогiчно (14) можна показати, що
lim
n→∞
t∫
0
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds =
t∫
0
(A(x∗2(s), s) +B(x∗2(s), s)u
∗(s))ds.
Отже, x∗2(t) = x∗1(τ
1
n) + g(x∗1(τ
1)) +
∫ t
τ1+ε
(A(x∗2(s), s) + B(x∗2(s), s)u
∗(s))ds, а тому x∗2(t)
на [τ1 + ε, τ2 − ε] є розв’язком системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t).
Як i у попередньому випадку, неважко переконатися в iснуваннi границi limε→0 x
∗
2(τ
1 +
+ε), яку позначимо x∗2(τ
1).
Зазначимо також, що limn→∞ xn(τ1 + ε) = x∗2(τ
1 + ε). Доведемо рiвнiсть
x∗2(τ
1) = x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)).
Розглянемо xn(τ1 + ε):
xn(τ1 + ε) = xn(τ1n) + g(xn(τ1n)) +
τ1+ε∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s)) ds. (25)
Оскiльки limn→∞(xn(τ1n) + g(xn(τ1n))) = x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)), то, переходячи у рiвностi
(25) до верхньої границi, отримуємо
lim
n→∞
xn(τ1 + ε) = lim
n→∞
xn(τ1 + ε) = x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1))+
+ lim
n→∞
τ1+ε∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds
або
x∗2(τ
1 + ε) = x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)) + lim
n→∞
τ1+ε∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds. (26)
Але для кожного n маємо
τ1+ε∫
τ1n
(A(xn(s), s) +B(xn(s), s)un(s))ds ≤ K(τ1 + ε− τ1n) + C(τ1 + ε− τ1n)+
+
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(τ1 + ε− τ1n)
1
q+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 507
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
(τ1 + ε− τ1n)
1
q ≤ Kε+ Cε+
+
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
ε
1
q+
+ C
1
a
m+ 1 +
T∫
0
c(t)dt
1
p
ε
1
q → 0 при ε → 0,
тому i верхня границя в (26) прямує до нуля при ε → 0. Тодi з (26) отримуємо x∗2(τ
1) =
= x∗1(τ
1) + g(x∗1(τ
1)).
Як i у попередньому випадку, доводиться iснування границi limε→0 x
∗
2(τ
2 − ε) = x∗2(τ
2)
та те, що x∗2(τ
2) ∈ S.
Продовживши дану процедуру, побудуємо функцiю
x∗(t) =
x∗1(t), t ∈ [0, τ1],
x∗2(t), t ∈ [τ1, τ2],
. . . . . .
x∗n(t), t ∈ [τn, T ],
(27)
яка є розв’язком задачi (1), тобто x∗(t) задовольняє рiвняння
x∗(t) = x0 +
t∫
0
(A(x∗(s), s) +B(x∗(s), s)u∗(s))ds+
∑
i
g(x∗(τ i)).
Покажемо, що u∗(t) — оптимальне керування, тобто J(u∗) = m. Маємо
lim
n→∞
J(un) = lim
n→∞
T∫
0
(A0(xn(t), t) +B0(un(t), t))dt.
Оскiльки функцiяA0(x, t) є неперервною, а xn(t) — рiвномiрно обмеженою, то за пер-
шою теоремою Вейєрштрасса A0(xn(t), t) i A0(x∗(t), t) — обмеженi функцiї. Тодi за тео-
ремою Лебега про граничний перехiд
lim
n→∞
T∫
0
(A0(xn(t), t))dt →
T∫
0
(A0(x∗(t), t))dt.
Оскiльки B0(u, t) опукла по u, то внаслiдок слабкої напiвнеперервностi знизу
T∫
0
B0(un(t), t) dt
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
508 А. О. IВАШКЕВИЧ, Т. В. КОВАЛЬЧУК
маємо
lim
n→∞
T∫
0
B0(un(t), t)dt ≥ lim
n→∞
T∫
0
B0(un(t), t)dt ≥
T∫
0
B0(u∗(t), t)dt,
lim
n→∞
J(un(t)) ≥ J(u∗(t)).
Отже, u∗(t) — оптимальне керування.
Теорему доведено.
Лiтература
1. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами. — Новосибирск: Наука, 1987. —
226 с.
2. Бенсусан А., Лионс Ж.-А. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. — М.: Наука,
1987. — 600 с.
3. Ahmed N. U. Optimal control for a general class of impulsive systems on Banach spaces // Proc. 42nd IEEE
Conf. Decision and Control Maui (Hawaii USA, December 2003). — P. 480 – 485.
4. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. — М.: Физмат-
лит, 2000. — 256 с.
5. Асланян А. А. Необходимые условия оптимальности в задачах управления системами дифференци-
альных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени // Докл. АН
УССР. Сер. А. — 1982. — № 9. — С. 58 – 61.
6. Асланян А. А. Принцип максимума для разрывных динамических систем // Теория функций, функци-
он. анализ и их прил. — 1982. — Вып. 37. — С. 132 – 137.
7. Асланян А. А. Условия оптимальности в задачах управления системами с импульсным воздействием
// Докл. АН УССР. Сер. А. — 1982. — № 11. — С. 3 – 6.
8. Шарифов Я. В. Оптимальное управление для систем с импульсным воздействием при нелокальных
краевых условиях // Изв. вузов. Математика. — 2013. — № 2. — С. 75 – 84.
9. Зима Г. С. Iснування оптимального керування для деяких класiв систем диференцiальних рiвнянь з
iмпульсною дiєю // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика. Механiка. — 2013. — 18, вип. 2. — С. 20 – 28.
10. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
11. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci., 1995. — 400 p.
Одержано 23.11.15,
пiсля доопрацювання — 22.02.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177285 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T06:22:50Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Івашкевич, А.О. Ковальчук, Т.В. 2021-02-14T08:17:30Z 2021-02-14T08:17:30Z 2016 Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу / А.О. Івашкевич, Т.В. Ковальчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 493-508 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177285 517.9 Для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени получены условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и критерия качества. We differential systems with impulsive effects at nonfixed times, we find conditions for existence of an optimal control. The conditions depend on the right-hand sides of the system and the quality criterion. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу Существование оптимального управления для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени Existence of an optimal control for differential systems with impulsive effects at nonfixed times Article published earlier |
| spellingShingle | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу Івашкевич, А.О. Ковальчук, Т.В. |
| title | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| title_alt | Существование оптимального управления для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в нефиксированные моменты времени Existence of an optimal control for differential systems with impulsive effects at nonfixed times |
| title_full | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| title_fullStr | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| title_full_unstemmed | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| title_short | Існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| title_sort | існування оптимального керування для систем диференціальних рівняннь з імпульсною дією у нефіксовані моменти часу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177285 |
| work_keys_str_mv | AT ívaškevičao ísnuvannâoptimalʹnogokeruvannâdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânnʹzímpulʹsnoûdíêûunefíksovanímomentičasu AT kovalʹčuktv ísnuvannâoptimalʹnogokeruvannâdlâsistemdiferencíalʹnihrívnânnʹzímpulʹsnoûdíêûunefíksovanímomentičasu AT ívaškevičao suŝestvovanieoptimalʹnogoupravleniâdlâsistemdifferencialʹnyhuravneniisimpulʹsnymvozdeistviemvnefiksirovannyemomentyvremeni AT kovalʹčuktv suŝestvovanieoptimalʹnogoupravleniâdlâsistemdifferencialʹnyhuravneniisimpulʹsnymvozdeistviemvnefiksirovannyemomentyvremeni AT ívaškevičao existenceofanoptimalcontrolfordifferentialsystemswithimpulsiveeffectsatnonfixedtimes AT kovalʹčuktv existenceofanoptimalcontrolfordifferentialsystemswithimpulsiveeffectsatnonfixedtimes |