Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177300 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції / О.Є. Зернов, Ю.В. Кузіна // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 166-183 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859910255896428544 |
|---|---|
| author | Зернов, О.Є. Кузіна, Ю.В. |
| author_facet | Зернов, О.Є. Кузіна, Ю.В. |
| citation_txt | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції / О.Є. Зернов, Ю.В. Кузіна // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 166-183 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| first_indexed | 2025-12-07T16:02:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.911
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,
НЕ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИИ
А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина
Южноукр. нац. пед. ун-т им. К. Д. Ушинского
ул. Старопортофранковская, 26, Одесса, 65020, Украина
For a singular Cauchy problem
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=0
aijkt
i(x(t))j(x′(t))k + ϕ(t, x(t), x′(t)) = 0, x(0) = 0,
where N ≥ 2 and aijk are constants, a00k = 0, k ∈ {0, 1, . . . , N} , a100 6= 0, a010 6= 0, aijk = 0, 1 ≤
≤ i + j < m, k ∈ {1, . . . , N} , 2 ≤ m ≤ N, and the function ϕ is small in a certain sense, we find a
nonempty set of continuously differentiable solutions x : (0, ρ] → R, where ρ is sufficiently small, such that
x(t) =
m∑
k=1
ckt
k + o(tm), t → +0,
where c1, . . . , cm are known constants.
Для сингулярної задачi Кошi
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=0
aijkt
i(x(t))j(x′(t))k + ϕ(t, x(t), x′(t)) = 0, x(0) = 0,
де N ≥ 2, aijk —сталi, a00k = 0, k ∈ {0, 1, . . . , N} , a100 6= 0, a010 6= 0, aijk = 0, 1 ≤ i + j < m,
k ∈ {1, . . . , N} , 2 ≤ m ≤ N, функцiя ϕ є малою в деякому сенсi, знайдено непорожню множину
неперервно диференцiйовних розв’язкiв x : (0, ρ] → R (ρ є достатньо малим) таких, що
x(t) =
m∑
k=1
ckt
k + o(tm), t → +0,
де c1, . . . , cm — вiдомi сталi.
К настоящему времени сингулярная задача Коши вида
x′(t) = f(t, x(t)), x(0) = 0,
изучена достаточно подробно. Получены существенные результаты [7, 15, 17, 18] о разре-
шимости и числе решений и об асимптотическом поведении решений [3, 7]. В то же время
для задачи Коши вида
F (t, x(t), x′(t)) = 0, x(0) = 0,
c© А. Е. Зернов, Ю. В. Кузина, 2017
166 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 167
хорошо исследованы вопросы о существовании и единственности решений [1, 2, 5, 17, 20],
а также о сходимости к решению различных последовательностей приближений [4, 16, 19,
21]. Однако асимптотические свойства решений такой задачи исследованы сравнительно
мало даже в регулярном случае. В настоящей работе рассмотрен один класс сингулярных
задач данного вида и приведены достаточные условия существования непрерывно диф-
ференцируемых решений, определенных в некоторой (достаточно малой) правой полу-
окрестности начальной точки и имеющих в этой полуокрестности требуемые свойства.
При анализе поставленной задачи использовались методы качественной теории диффе-
ренциальных уравнений [6, 7], а также [8]. Эта работа является продолжением цикла ра-
бот авторов [9 – 13]. Более подробный обзор литературы, дальнейшие исследования рас-
матриваемой задачи, а также многочисленные примеры можно найти в [14].
Рассмотрим задачу Коши
P (t, x(t), x′(t)) + ϕ(t, x(t), x′(t)) = 0, (1)
x(0) = 0, (2)
где t —действительная переменная, t ∈ (0, τ), x : (0, τ) → R — неизвестная функция,
P : R× R× R → R — многочлен, определенный равенством
P (t, y1, y2) =
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=0
aijkt
iyj1y
k
2 . (3)
Здесь N— натуральное число, N ≥ 2, все i, j, k — целые неотрицательные числа, все
aijk — постоянные, причем a00k = 0, k ∈ {0, 1, . . . , N} . Предполагается, что ϕ : Dϕ →
→ R — непрерывная функция,Dϕ ⊂ (0, τ)×R×R, имеющая определенные свойства, ко-
торые будут указаны далее. Сейчас лишь отметим, что рассматриваемые далее значения
ϕ будут в некотором смысле малы в сравнении со значениями P.
Определение. Решением задачи (1), (2) будем называть непрерывно дифференцируе-
мую функцию x : (0, ρ] → R (ρ — постоянная, ρ ∈ (0, τ)) со следующими свойствами:
1) (t, x(t), x′(t)) ∈ Dϕ, t ∈ (0, ρ];
2) x тождественно удовлетворяет уравнению (1) при всех t ∈ (0, ρ];
3) limt→+0 x(t) = 0.
Исследуем вопрос о существовании решений x : (0, ρ] → R задачи (1), (2) таких, что
x(t) = Sm(t) + o(tm), t → +0.
Здесь ρ ∈ (0, τ) достаточно мало, m — некоторое натуральное число, 2 ≤ m ≤ N, мно-
гочлен Sm : R → R определяется равенством
Sm(t) =
m∑
k=1
ckt
k, (4)
где все ck — постоянные, которые однозначно выражаются только через коэффициенты
aijk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
168 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
Будем предполагать, что в уравнении (1) многочлен P имеет не произвольный, а не-
который частный вид, а именно, для (3) выполнены следующие условия:
a100 6= 0, a010 6= 0, (5)
aijk = 0, 1 ≤ i+ j < m, k ∈ {1, . . . , N} , (6)
для некоторого натурального m, 2 ≤ m ≤ N. Тогда уравнение (1) можно записать в виде
−
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i(x(t))j(x′(t))k =
m∑
i=0
m∑
j=0
l≤i+j≤m
aij0t
i(x(t))j+
+
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=1
i+j≥m+1
aijkt
i(x(t))j(x′(t))k + ϕ(t, x(t), x′(t)).
Далее будем рассматривать именно этот специальный класс уравнений (1) с начальным
условием (2).
Если потребовать, чтобы выполнялось условие
P
(
t, Sm(t), S′m(t)
)
= O(tm+1), t → +0, (7)
гдеP, Sm определены равенствами (3), (4) соответственно, то все коэффициенты c1, . . . , cm
в (4) можно найти однозначно; в частности,
c1 = −a100
a010
.
Действительно, для каждого n ∈ {1, . . . ,m} обозначим через bn коэффициент при tn
в сумме P (t, Sm(t), S′m(t)) . Тогда получим
b1 = a100 + a010c1,
bk = a010ck + gk(c1, . . . , ck−1), k ∈ {2, . . . ,m},
где g2, . . . , gm — некоторые известные многочлены. Если положить, что
bn = 0, n ∈ {1, . . . ,m}, (8)
то условие (7) будет выполнено. Так как согласно (5) a010 6= 0, то из системы уравнений
(8) можно последовательно найти все коэффициенты c1, . . . , cm, причем единственным
образом.
Очевидно, из (7) следует, что∣∣P (t, Sm(t), S′m(t))
∣∣ ≤ Ktm+1, t ∈ (0, τ), (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 169
где K — некоторая положительная постоянная.
Пусть
D =
{
(t, y1, y2) : t ∈ (0, τ), |y1 − Sm(t)| < tmγ(t), |y2 − S′m(t)| < γ(t)
}
.
Здесь γ : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывная функция, limt→+0 γ(t) = 0, Sm : R → R — мно-
гочлен, определенный равенством (4) и удовлетворяющий условию (7). Предположим,
что D ⊂ Dϕ.
Назовем условиями (А) совокупность следующих условий:
1) α 6= 0, где
α = −
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
kaijkc
j+k−1
1 , c1 = −a100
a010
; (10)
2) |ϕ(t, Sm(t), S′m(t))| ≤ tmξ(t), t ∈ (0, τ), где ξ : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывно диф-
ференцируемая функция, при этом
lim
t→+0
ξ(t)(γ(t))−1 = 0, lim
t→+0
t(ξ(t))−1 = L1,
lim
t→+0
tξ′(t)(ξ(t))−1 = L2, 0 ≤ Li < +∞, i ∈ {1, 2}
(11)
(из второго и третьего условий (11) следует, что 0 ≤ L2 ≤ 1 и, более того, если L2 < 1,
то заведомо L1 = 0, поэтому второе из условий (11) является существенным только в
случае, когда L2 = 1);
3) |ϕ(t1, x, y) − ϕ(t2, x, y)| ≤ l1(µ)|t1 − t2|, (ti, x, y) ∈ D, 0 < µ ≤ ti, i ∈ {1, 2}, где
l1 : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывная невозрастающая функция;
4) |ϕ(t, x1, y2) − ϕ(t, x2, y2)| ≤ l2(t)|x1 − x2| + l3t
m|y1 − y2|, (t, xi, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2},
где l2 : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывная функция, limt→+0 l2(t) = 0, l3 — постоянная,
0 < l3 < |α|/2.
Обозначим через U(ρ,M) множество всех непрерывно дифференцируемых функций
u : (0, ρ] → R, каждая из которых удовлетворяет условиям
|u(t)− Sm(t)| ≤ Mtmξ(t), |u′(t)− S′m(t)| ≤ |a010|l−13 Mξ(t), t ∈ (0, ρ]. (12)
Здесь ρ, M — постоянные, ρ ∈ (0, τ), M > 0.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (А). Тогда:
а) если αa010 > 0,то существуют ρ, M такие, что задача (1), (2) имеет бесконечное
множество решений, принадлежащих множеству U(ρ,M); при этом если постоянная β
удовлетворяет условию
|β − Sm(ρ)| < Mρmξ(ρ), (13)
то существует решение xβ ∈ U(ρ,M) задачи (1), (2) такое, что xβ(ρ) = β;
б) если αa010 < 0, то существуют ρ, M такие, что задача (1), (2) имеет хотя бы
одно решение, принадлежащее множеству U(ρ,M).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
170 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
Доказательство. Вначале выберем постоянные ρ, M, q. Пусть
2|a010||α|−1 < q < |a010|l−13 , (14)
M > (KL1 + 1)(|a010| − ql3)−1, (15)
где K — постоянная из условия (9). Условия, определяющие выбор ρ, здесь не приведе-
ны. Отметим лишь, что ρ достаточно мало и выбор ρ обеспечивает законность всех даль-
нейших рассуждений, в которых используется малость ρ. Далее всегда, когда требуется
достаточная малость ρ, это будет специально отмечено в ходе доказательства.
Пусть B — пространство непрерывно дифференцируемых функций x : [0, ρ] → R с
нормой
‖x‖B = max
t∈[0,ρ]
(|x(t)|+ |x′(t)|). (16)
Обозначим через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R которого удов-
летворяет условиям
|u(t)− Sm(t)| ≤ Mtmξ(t), |u′(t)− S′m(t)| ≤ qMξ(t), t ∈ (0, ρ], (17)
причем
u(0) = 0, u′(0) = c1. (18)
Кроме того, выполнено условие
∀u ∈ U ∀ε > 0 ∀ti ∈ [0, ρ], i ∈ {1, 2} : |t1 − t2| ≤ δ(ε) ⇒
∣∣u′(t1)− u′(t2)∣∣ ≤ ε, (19)
где δ(ε) = ε/(8B(tε)), B(tε) = t
−(m+1)
ε (l1(tε) + 1), причем постоянная tε ∈ (0, ρ) выбрана
так, чтобы при t ∈ (0, tε] одновременно выполнялись условия
qMξ(t) ≤ ε/37 и (2|c1|+ 1)t ≤ ε/37. (20)
Множество U является замкнутым, ограниченным, выпуклым и (в соответствии с теоре-
мой Арцела) компактным.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 171
Преобразуем уравнение (1) к виду
−
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
kaijkt
i(Sm(t))j(S′m(t))k−1(x′(t)− S′m(t)) =
m∑
i=0
m∑
j=0
l≤i+j≤m
aij0t
i(x(t))j+
+
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=1
i+j≥m+1
aijkt
i(x(t))j(x′(t))k + ϕ(t, x(t), x′(t))+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i(Sm(t))j(S′m(t))k+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i(Sm(t))j
k∑
r=2
Crk(S′m(t))k−r(x′(t)− S′m(t))r+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i
(
(x(t))j − (Sm(t))j
)
(x′(t))k (21)
(очевидно, что правая часть (21) содержит предпоследнюю сумму только при k ≥ 2;
далее об этом не будем специально упоминать). Затем рассмотрим дифференциальное
уравнение
x′(t) = S′m(t) + (λ(t))−1
(
m∑
i=0
m∑
j=0
aij0t
i(x(t))j +
+
N∑
i=0
N∑
j=0
N∑
k=1
i+j>m+1
aijkt
i(u(t))j(u′(t))k + ϕ(t, u(t), u′(t))+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i(Sm(t))j(S′m(t))k+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i(Sm(t))j
k∑
r=2
Crk
(
S′m(t)
)k−r (
u′(t)− S′m(t)
)r
+
+
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
aijkt
i
(
(x(t))j − (Sm(t))j
) (
u′(t)
)k)
, (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
172 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
где функция λ : R → R определяется равенством
λ(t) = −
m∑
i=0
m∑
j=0
N∑
k=1
i+j=m
kaijkt
i(Sm(t))j(S′m(t))k−1, (23)
u ∈ U — произвольная фиксированная функция. Поскольку ρ достаточно мало, то (t, u(t),
u′(t)) ∈ D, t ∈ (0, ρ], для всех u ∈ U. Отметим, что
λ(t) = (α+ o(1))tm, t → +0. (24)
Пусть
D0 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], x ∈ R} . (25)
Если (t, x) ∈ D0, то для уравнения (22) выполнены условия теоремы существования и
единственности решения и непрерывной зависимости решений от начальных данных, так
как для любого заданного r ∈ (0, ρ) в замкнутой подобластиD0(r) = {(t, x) : t ∈ [r, ρ], x ∈
∈ R} области D0 правая часть уравнения (22) непрерывна и удовлетворяет условию Лип-
шица по переменной x. Положим
Φ1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− Sm(t)| = Mtmξ(t)} ,
D1 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− Sm(t)| < Mtmξ(t)} ,
H = {(t, x) : t = ρ, |x− Sm(ρ)| < Mρmξ(ρ)} .
Пусть вспомогательная функция A1 : D0 → [0,+∞) определяется равенством
A1(t, x) = (x− Sm(t))2(tmξ(t))−2.
Обозначим через a1 : D0 → R производную этой функции в силу уравнения (22). Если
(t, x) ∈ Φ1, то легко видеть, что
a1(t, x) = 2(tmξ(t))−2(λ(t))−1
(
(a010 + o(1))(x− Sm(t))2 + (x− Sm(t))Λ1(t)
)
, t → +0,
где
|Λ1(t)| ≤ Mtmξ(t)(ql3 +M−1 +KL1M
−1 + o(1)), t → +0.
Так как ρ достаточно мало и выполнены условия (14), (15), то, принимая во внимание
(24) и равенство Mtmξ(t) = |x− Sm(t)|, выполненное при (t, x) ∈ Φ1, получаем
sign a1(t, x) = signαa010 при (t, x) ∈ Φ1.
Далее последовательно рассматриваем два случая.
I. Пусть αa010 > 0. Тогда a1(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ1. Отсюда следует, что если взять
произвольную точку (t0, x0) ∈ Φ1 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кривую
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 173
уравнения (22), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем иметь
(t, x0(t)) 6∈ D1 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Действительно, поскольку
A1(t0, x0(t0)) = A1(t0, x0) = M2, a1(t0, x0(t0)) = a1(t0, x0) > 0,
то при t0 ∈ (0, ρ) существует такое δ > 0, что
sign (A1(t, x0(t))−A1(t0, x0(t0))) = sign (t− t0), |t− t0| < δ,
или
sign
(
|x0(t)− Sm(t)| (tmξ(t))−1 −M
)
= sign (t− t0), |t− t0| < δ,
или
sign (|x0(t)− Sm(t)| −Mtmξ(t)) = sign (t− t0), |t− t0| < δ.
Если же t0 = ρ, то существует такое δ > 0, что
A1(t, x0(t)) < A1(t0, x0(t0)), t ∈ (ρ− δ, ρ),
или
|x0(t)− Sm(t)| (tmξ(t))−1 < M, t ∈ (ρ− δ, ρ),
или
|x0(t)− Sm(t)| < Mtmξ(t), t ∈ (ρ− δ, ρ).
Утверждение доказано.
Отсюда следует, что каждая из интегральных кривых уравнения (22), пересекающих
множество H, определена при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Действительно,
любая такая интегральная кривая при убывании t не может иметь общих точек с Φ1,
так как в противном случае мы получили бы противоречие с только что доказанным
утверждением.
Пусть G(ρ, xG) ∈ H — произвольная фиксированная точка. Обозначим через Ju :
(t, xu(t)) интегральную кривую уравнения (22), проходящую через точку G. Согласно
изложенному выше интегральная кривая Ju : (t, xu(t)) лежит в D1 при t ∈ (0, ρ]. Поэтому
|xu(t)− Sm(t)| ≤ Mtmξ(t), t ∈ (0, ρ]. (26)
Легко видеть, что ∣∣x′u(t)− S′m(t)
∣∣ ≤ qMξ(t), t ∈ (0, ρ]. (27)
При доказательстве (27) используются оценки, полученные при доказательстве (26), усло-
вие (14) и достаточная малость ρ. Полагаем по определению
xu(0) = 0, x′u(0) = c1. (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
174 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
Покажем, что для любого ε > 0, любого u ∈ U и любых ti ∈ [0, ρ], i ∈ {1, 2}, таких,
что |t1 − t2| ≤ δ(ε), выполнено неравенство∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ ≤ ε, (29)
т. е. докажем, что функция xu : [0, ρ] → R удовлетворяет условию (19). Для этого после-
довательно рассмотрим три возможных случая.
1. Если ti ∈ [0, tε], i ∈ {1, 2}, то в силу (20), (26) имеем∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ ≤ ∣∣x′u(t1)− S′m(t1)
∣∣+
∣∣S′m(t1)− c1
∣∣+
+
∣∣x′u(t2)− S′m(t2)
∣∣+
∣∣S′m(t2)− c1
∣∣ ≤ qMξ(t1) + (2|c2|+ 1)t1+
+ qMξ(t2) + (2|c2|+ 1)t2 ≤
4ε
37
<
ε
9
< ε. (30)
2. Если ti ∈ [tε, ρ], i ∈ {1, 2}, и |t1 − t2| ≤ δ(ε), то, используя достаточную малость ρ,
получаем
∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ ≤ (l3|α|−1 +
1
4
) ∣∣u′(t1)− u′(t2)∣∣+ (l1(tε) + 1)t−(m+1)
ε |t1 − t2|.
Поскольку, по предположению, l3|α|−1 <
1
2
, то
∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ ≤ 3
4
∣∣u′(t1)− u′(t2)∣∣+B(tε)|t1 − t2|.
В соответствии с определением множества U из условия |t1 − t2| ≤ δ(ε) следует, что
|u′(t1)− u′(t2)| ≤ ε. Поэтому имеем
∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ 6 3
4
ε+B(tε)δ(ε) =
7
8
ε < ε. (31)
3. Если t1 ∈ [0, tε] и t2 ∈ [tε, ρ], причем |t1 − t2| ≤ δ(ε) (случай, когда t2 ∈ [0, tε]
и t1 ∈ [tε, ρ], причем |t1 − t2| ≤ δ(ε), рассматривается аналогично), то, очевидно, t1, tε
принадлежат отрезку [0, tε], а tε, t2 — отрезку [tε, ρ] и при этом |tε − t2| ≤ |t1 − t2| ≤
≤ δ(ε). Поэтому можно использовать оценки, полученные в двух предыдущих случаях. В
соответствии с (30) и (31)
∣∣x′u(t1)− x′u(t2)
∣∣ ≤ ∣∣x′u(t1)− x′u(tε)
∣∣+
∣∣x′u(tε)− x′u(t2)
∣∣ ≤ ε
9
+
7ε
8
< ε.
Неравенство (29) доказано, а значит, доказано, что xu ∈ U.
Определим оператор T : U → U, положив Tu = xu.
Следует отметить, что зафиксированная ранее точка G(ρ, xG) множества H остается
неизменной при любом выборе функции u ∈ U в правой части уравнения (22). Следова-
тельно, всегда выполнено условие xu(ρ) = xG.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 175
II. Пусть αa010 < 0. Тогда a1(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ1. Отсюда следует, что если взять
произвольную точку (t0, x0) ∈ Φ1 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кривую
уравнения (22), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем иметь
(t, x0(t)) ∈ D1 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) 6∈ D1 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству, проведенному в случае
αa010 > 0.
Докажем, что среди интегральных кривых уравнения (22), пересекающих H, хотя бы
одна интегральная кривая определена при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ].
Действительно, пусть интегральная кривая уравнения (22) пересекает Φ1. Тогда при по-
следующем возрастании t она не сможет иметь общих точек с Φ1 (в противном случае
получили бы противоречие со сформулированным выше утверждением о свойствах ин-
тегральных кривых уравнения (22), пересекающих Φ1). Значит, эта интегральная кривая
пересекается с H. Определим отображение ψ : Φ1 → H так: каждой точке P ∈ Φ1 поста-
вим в соответствие точку ψ(P ) ∈ H, лежащую на той же интегральной кривой уравнения
(22), что и точка P. Обозначим через ψ(Φ1) множество образов всех точек множества Φ1
при отображении ψ. Поскольку множество Φ1 незамкнуто (оно не содержит свою пре-
дельную точку (0, 0)), то его образ ψ(Φ1) тоже является незамкнутым множеством. В то
же время множество H замкнуто. Поэтому множество Ω = H \ ψ(Φ1) непусто. Пусть
Ju : (t, xu(t)) — такая интегральная кривая уравнения (22), что (ρ, xu(ρ)) ∈ Ω. Очевидно,
что при убывании t от t = ρ эта интегральная кривая не сможет иметь общих точек с Φ1.
Поэтому указанная интегральная кривая определена при всех t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при
t ∈ (0, ρ]. Как и в случае αa010 > 0, нетрудно убедиться в том, что выполнены оценки
(26), (27). Пусть, по определению, имеют место равенства (28). Как и в случае αa010 > 0,
для любых ε > 0, u ∈ U, ti ∈ [0, ρ], i ∈ {1, 2}, доказывается выполнение условия (29),
если только |t1 − t2| ≤ δ(ε). Следовательно, доказано, что xu ∈ U.
Теперь докажем, что уравнение (22) имеет единственную интегральную кривую с ука-
занными свойствами, а именно, интегральную кривую Ju : (t, xu(t)). Действительно, рас-
смотрим однопараметрические семейства множеств
Φ2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| = νtmξ(t)(− ln t)} ,
D2(ν) = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− xu(t)| < νtmξ(t)(− ln t)} ,
где ν, ν ∈ (0, 1], — параметр. Пусть вспомогательная функция A2 : D0 → [0,+∞) опреде-
ляется равенством
A2(t, x) = (x− xu(t))2 (tmξ(t)(− ln t))−2 .
Обозначим через a2 : D0 → R производную этой функции в силу уравнения (22). Легко
видеть, что если (t, x) ∈ D0, x 6= xu(t), то
a2(t, x) = 2 (tmξ(t)(− ln t))−2 (λ(t))−1(a010 + o(1))(x− xu(t))2, t → +0.
Поскольку ρ достаточно мало, то в соответствии с (24) sign a2(t, x) = signαa010 при (t, x) ∈
∈ D0, x 6= xu(t), т. е. a2(t, x) < 0 при (t, x) ∈ D0, x 6= xu(t). В частности, a2(t, x) < 0 в
каждой точке каждой кривой Φ2(ν) построенного семейства. Поэтому если взять лю-
бую точку (t0, x0) любой кривой Φ2(ν), ν ∈ (0, 1], и рассмотреть интегральную кривую
J0(t, x0(t)) уравнения (22), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
176 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
будем иметь (t, x0(t)) ∈ D2(ν) при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) 6∈ D2(ν) при
t ∈ (t0 − δ, t0). Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение для Φ1 в слу-
чае αa010 < 0. Далее, пусть P∗(t∗, x∗) ∈ D1 \ {(0, 0)} — любая точка, удовлетворяю-
щая условию x∗ 6= xu(t∗). Существует ν∗ ∈ (0, 1] такое, что P∗ ∈ Φ2(ν∗). Обозначим
через x∗ : (t∗ − ε, t∗) → R (единственное) решение дифференциального уравнения (22),
удовлетворяющее начальному условию x(t∗) = x∗. Здесь ε > 0 достаточно мало. Пусть
(t−, t∗) — левый максимальный интервал существования этого решения (здесь t− ≥ 0).
На основании изложенного выше интегральная кривая J∗ : (t, x∗(t)) уравнения (22), про-
ходящая через точку P∗, лежит вне D2(ν∗) при всех t ∈ (t−, t∗). В то же время если t∗∗
достаточно мало, t∗∗ ∈ (0, ρ) и (t, x) — любая точка множества D1 \ {(0, 0)}, удовлетво-
ряющая условию t ∈ (0, t∗∗], то
|x− xu(t)| ≤ |x− Sm(t)|+ |xu(t)− Sm(t)| ≤ 2Mtmξ(t) < ν∗t
mξ(t)(− ln t).
Это означает, что все точки (t, x) множества D1 \ {(0, 0)}, удовлетворяющие условию
t ∈ (0, t∗∗], принадлежат множеству D2(ν∗). Пусть t∗ = min{t∗, t∗∗}. Из изложенного
выше следует, что интегральная кривая J∗ : (t, x∗(t)) уравнения (22) лежит вне D1 при
t ∈ (t−, t
∗).
Утверждение доказано.
Определим оператор T : U → U, положив Tu = xu.
Докажем, что T : U → U — непрерывный оператор. Пусть ui ∈ U, i ∈ {1, 2}, —
произвольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}.Если u1 = u2, то и x1 = x2.
Пусть далее ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Будем исследовать поведение интегральных кри-
вых дифференциального уравнения (22), в котором полагаем u = u1. Далее будем обоз-
начать полученное таким образом дифференциальное уравнение через (22∗); очевидно,
x1 : (0, ρ] → R — это решение уравнения (22∗). Положим
Φ3 =
{
(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = hν(tmξ(t))1−ν
}
,
D3 =
{
(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < hν(tmξ(t))1−ν
}
,
где ν — постоянная, удовлетворяющая условию
0 < ν < 1− 1
m
. (32)
Пусть вспомогательная функция A3 : D0 → [0,+∞) определяется равенством
A3(t, x) = (x− x2(t))2(tmξ(t))−2(1−ν).
Обозначим через a3 : D0 → R производную этой функции в силу уравнения (22∗). По-
скольку ρ достаточно мало, а ν удовлетворяет неравенствам (32), то легко видеть, что
при (t, x) ∈ Φ3
a3(t, x) = 2 (tmξ(t))−2(1−ν) (λ(t))−1×
×
(
(a010 + o(1))(x− x2(t))2 + (x− x2(t))o(1)hν (tmξ(t))1−ν
)
, t → +0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 177
Здесь использованы оценки
|u1(t)− u2(t)| = |u1(t)− u2(t)|ν |u1(t)− u2(t)|1−ν ≤
≤ ‖u1 − u2‖νB (|u1(t)− Sm(t)|+ |u2(t)− Sm(t)|)1−ν ≤
≤ hν (2Mtmξ(t))1−ν , t ∈ (0, ρ],
и ∣∣u′1(t)− u′2(t)∣∣ =
∣∣u′1(t)− u′2(t)∣∣ν ∣∣u′1(t)− u′2(t)∣∣1−ν ≤
≤ ‖u1 − u2‖νB
(∣∣u′1(t)− S′m(t)
∣∣+
∣∣u′2(t)− S′m(t)
∣∣)1−ν ≤
≤ hν(2qMξ(t))1−ν , t ∈ (0, ρ].
Так как ρ достаточно мало и hν(tmξ(t))1−ν = |x− x2(t)| при (t, x) ∈ Φ3, то в силу (24)
sign a3(t, x) = signαa010 при (t, x) ∈ Φ3.
Далее последовательно рассматриваем два случая.
1. Пусть αa010 > 0. Тогда a3(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если взять
произвольную точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кривую
уравнения (22∗), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем
иметь (t, x0(t)) 6∈ D3 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение для Φ1 в случае αa010 > 0.При
этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. На основании изложенного выше, если t уменьшается от t = ρ
до t = 0, то интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (22∗) не может иметь общих
точек с Φ3. Значит, эта интегральная кривая лежит в D3 при всех t ∈ (0, ρ], поэтому
|x1(t)− x2(t)| ≤ hν(tmξ(t))1−ν , t ∈ (0, ρ]. (33)
Далее, легко видеть, что∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ (|a010|+ o(1))|λ(t)|−1hν(tmξ(t))1−ν , t → +0,
откуда в силу (24) следует, что
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ |a010 + o(1)|
|α|+ o(1)
hν(tmξ(t))1−νt−m = o(1)hνt−m, t → +0. (34)
Поскольку ρ достаточно мало, то из (33), (34) имеем
|x1(t)− x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ hνt−m, t ∈ (0, ρ]. (35)
2. Пусть αa010 < 0. Тогда a3(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если взять
произвольную точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кривую
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
178 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
уравнения (22∗), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем
иметь (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) 6∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Это доказывается так же, как и соответствующее утверждение для Φ1 в случае αa010 < 0.
При этом
|x1(t)− x2(t)| ≤ |x1(t)− Sm(t)|+ |x2(t)− Sm(t)| ≤ 2Mtmξ(t) < hν(tmξ(t))1−ν ,
если только t ∈ (0, t(h)], где постоянная t(h) ∈ (0, ρ) достаточно мала. Значит, инте-
гральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (22∗) лежит в D3 при t ∈ (0, t(h)]. На основании
изложенного выше, если t увеличивается от t = t(h) до t = ρ, то интегральная кривая
J1 : (t, x1(t)) уравнения (22∗) не может иметь общих точек с Φ3. Следовательно, эта ин-
тегральная кривая лежит в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Поэтому выполнено неравенство (33).
Далее точно так же, как и в случае αa010 > 0, получаем оценки (34), (35).
Перейдем теперь непосредственно к доказательству непрерывности оператора T :
U → U. Пусть дано ε > 0. Очевидно, существует достаточно малое tε ∈ (0, ρ) такое, что
2Mtmξ(t) + 2qMξ(t) ≤ ε
2
при t ∈ (0, tε].
Поэтому если t ∈ (0, tε], то
|x1(t) + x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ |x1(t)− Sm(t)|+ |x2(t)− Sm(t)|+
+
∣∣x′1(t)− S′m(t)
∣∣+
∣∣x′2(t)− S′m(t)
∣∣ ≤ 2Mtmξ(t) + 2qMξ(t) ≤ ε
2
.
Если же t ∈ [tε, ρ], то на основании (35)
|x1(t)− x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ hνt−mε . (36)
Положим
δ(ε) =
(ε
2
tmε
) 1
ν
.
Если h < δ(ε), то из (36) получаем
|x1(t)− x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ ε
2
(37)
при t ∈ [tε, ρ]. В то же время неравенство (37) выполнено при t ∈ (0, tε] и, кроме того,
xi(0) = 0, x′i(0) = c1, i ∈ {1, 2}. (38)
Значит,
max
t∈[0,ρ]
(
|x1(t)− x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣) ≤ ε
2
, или ‖x1 − x2‖B ≤
ε
2
.
Итак, для любого ε > 0 указано δ(ε) > 0 такое, что из соотношения ‖u1−u2‖B = h < δ(ε)
следует, что ‖Tu1 − Tu2‖B = ‖x1 − x2‖B ≤
ε
2
< ε. Проведенные рассуждения не зависят
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 179
ни от выбора ε > 0, ни от выбора ui ∈ U, i ∈ {1, 2}.Непрерывность оператора T : U → U
доказана.
Таким образом, непрерывный оператор T : U → U отображает замкнутое, ограни-
ченное, выпуклое, компактное множествоU в себя. На основании теоремы Шаудера этот
оператор имеет в U хотя бы одну неподвижную точку, т. е. существует хотя бы один эле-
мент x0 ∈ U такой, что
Tx0 = x0. (39)
Функция x0 : (0, ρ] → R является решением задачи (1), (2), принадлежащим множест-
ву U(ρ,M). Кроме того, если мы вернемся к способу построения оператора T : U → U в
случае, когда αa010 > 0, то увидим, что точка G(ρ, xG) ∈ H была выбрана произвольным
образом. В частности, можно взять и точкуG(ρ, β), если только для постоянной β выпол-
нено неравенство (13). Тогда полученное решение x0 : (0, ρ] → R будет удовлетворять
условию x0(ρ) = β.
Теорема 1 доказана.
Назовем условиями (B) совокупность следующих условий:
1) выполнено неравенство α 6= 0, где постоянная α определена формулой (10);
2) |ϕ(t, Sm(t), S′m(t))| ≤ tmξ(t), t ∈ (0, τ), где ξ : (0, τ) → (0,+∞) — непрерывно диф-
ференцируемая функция, удовлетворяющая условиям (11) (из второго и третьего усло-
вий (11) следует, что 0 ≤ L2 ≤ 1 и, более того, если L2 < 1, то заведомо L1 = 0, поэтому
второе из условий (11) является существенным только в случае, когда L2 = 1);
3) |ϕ(t, x1, y1) − ϕ(t, x2, y2)| ≤ l2t
m−1|x1 − x2| + l3t
m|y1 − y2|, (t, xi, yi) ∈ D, i ∈ {1, 2},
где l2, l3 — постоянные, l2 + l3 <
|α|
2
.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (B). Тогда:
а) если αa010 > 0,то существуют ρ, M такие, что задача (1), (2) имеет бесконечное
множество решений, принадлежащих множеству U(ρ,M); при этом если постоянная
β удовлетворяет условию (13), то существует единственное решение xβ ∈ U(ρ,M)
задачи (1), (2) такое, что xβ(ρ) = β;
б) если αa010 < 0, то существуют ρ, M такие, что задача (1), (2) имеет единствен-
ное решение, принадлежащее множеству U(ρ,M).
Доказательство. Вначале выберем постоянные ρ, M, q. Пусть постоянные q, M удов-
летворяют соответственно условиям (14), (15). Условия, определяющие выбор ρ, здесь не
приводим. Как и при доказательстве теоремы 1, отметим лишь, что ρ достаточно мало.
Законность всех дальнейших рассуждений, связанных с малостью ρ, обеспечена выбо-
ром ρ; каждый раз, когда потребуется достаточная малость ρ, это будет ниже специально
отмечено в ходе доказательства.
Пусть B — пространство непрерывно дифференцируемых функций x : [0, ρ] → R с
нормой (16). Обозначим через U подмножество B, каждый элемент u : [0, ρ] → R ко-
торого удовлетворяет неравенствам (17), причем выполнены условия (18). Множество
U замкнуто и ограничено. Преобразуем уравнение (1) к виду (21) и будем далее рас-
сматривать дифференциальное уравнение (22), в котором u ∈ U — произвольная фик-
сированная функция, а функция λ : R → R определена равенством (23). Отметим, что
выполнено условие (24). Поскольку ρ достаточно мало, то (t, u(t), u′(t)) ∈ D, t ∈ (0, ρ]
для всех u ∈ U. Рассмотрим те же множества D0, Φ1, D1, H и вспомогательную функцию
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
180 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
A1 : D0 → [0,+∞), что и при доказательстве теоремы 1. Обозначим через a1 : D0 → R
производную функции A1 : D0 → [0,+∞) в силу уравнения (22). Тогда легко видеть, что
sign a1(t, x) = signαa010 при (t, x) ∈ Φ1,
так как ρ достаточно мало. Далее последовательно рассматриваем два случая.
1. Пусть αa010 > 0. Тогда, как и при доказательстве теоремы 1, покажем, что каждая
из интегральных кривых уравнения (22), пересекающих H, определена при t ∈ (0, ρ] и
лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. Пусть G(ρ, xG) ∈ H — произвольная фиксированная
точка. Обозначим через Ju : (t, xu(t)) интегральную кривую уравнения (22), проходящую
через точку G. Если считать по определению выполненными условия (28), то функция
xu : [0, ρ] → R принадлежит множеству U. (Для доказательства проводим те же рассуж-
дения, что и при доказательстве теоремы 1.) Определим оператор T : U → U, положив
Tu = xu. Здесь необходимо отметить, что точка G(ρ, xG) остается неизменной при лю-
бом выборе функции u ∈ U в правой части уравнения (22), поэтому xu(ρ) = xG при
любом выборе u ∈ U.
2. Пусть αa010 < 0. Тогда, как и при доказательстве теоремы 1, покажем, что среди
интегральных кривых уравнения (22), которые пересекают H, существует одна и только
одна интегральная кривая (будем обозначать ее через Ju : (t, xu(t))), которая определена
при t ∈ (0, ρ] и лежит в D1 при всех t ∈ (0, ρ]. При этом рассматриваем те же однопа-
раметрические семейства множеств Φ2(ν), D2(ν) (где ν — параметр, ν ∈ (0, 1]) и вспо-
могательную функцию A2 : D0 → [0,+∞), что и при доказательстве теоремы 1. Считая
выполненными по определению равенства (28), получаем, как и при доказательстве тео-
ремы 1, что xu ∈ U. Определим оператор T : U → U равенством Tu = xu.
Докажем, что T : U → U — сжимающий оператор. Пусть ui ∈ U, i ∈ {1, 2}, — про-
извольные фиксированные функции и Tui = xi, i ∈ {1, 2}. Если u1 = u2, то и x1 = x2.
Пусть далее ‖u1 − u2‖B = h, h > 0. Будем исследовать поведение интегральных кри-
вых дифференциального уравнения (22), в котором полагаем u = u1. При этом полу-
ченное таким образом дифференциальное уравнение обозначим через (22∗). Очевидно,
x1(0, ρ] → R — решение уравнения (22∗). Положим
Φ3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| = ηtmh} ,
D3 = {(t, x) : t ∈ (0, ρ], |x− x2(t)| < ηtmh} ,
где η — постоянная, удовлетворяющая условию
(l2 + l3)|a010|−1 < η < (|α| − (l2 + l3))|a010|−1.
Определим вспомогательную функцию A3 : D0 → [0,+∞) равенством
A3(t, x) = (x− x2(t))2t−2m
и обозначим через a3 : D0 → R производную этой функции в силу уравнения (22∗). По-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 181
скольку
|u1(t)− u2(t)| =
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
u′1(s) ds−
t∫
0
u′2(s) ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
∣∣u′1(s)− u′2(s)∣∣ ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
max
s∈[0,ρ]
(
|u1(s)− u2(s)|+
∣∣u′1(s)− u′2(s)∣∣) ds
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
t∫
0
h ds
∣∣∣∣∣∣ = ht, t ∈ (0, ρ],
и, кроме того,∣∣u′1(t)− u′2(t)∣∣ ≤ max
t∈[0,ρ]
(
|u1(t)− u2(t)|+
∣∣u′1(t)− u′2(t)∣∣) = h, t ∈ (0, ρ],
то легко видеть, что
a3(t, x) = 2t−2m(λ(t))−1
(
(a010 + o(1))(x− x2(t))2+
+(x− x2(t))(l2 + l3 + o(1))tmh) , t → +0.
Так как tmh =
1
η
|x − x2(t)| при (t, x) ∈ Φ3, ρ достаточно мало и
1
η
(l2 + l3) < |a010|, то в
силу (24)
sign a3(t, x) = signαa010 при (t, x) ∈ Φ3.
Далее последовательно рассматриваем два случая.
1. Пусть αa010 > 0. Тогда a3(t, x) > 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если взять
произвольную точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кри-
вую уравнения (22∗), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем
иметь (t, x0(t)) 6∈ D3 при t ∈ (t0, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) ∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0).
Это доказывается так же, как и аналогичное утверждение для Φ1 (случай αa010 > 0) при
доказательстве теоремы 1. При этом x1(ρ) = x2(ρ) = xG. На основании изложенного
выше, если t уменьшается от t = ρ до t = 0, то интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) урав-
нения (22∗) не может иметь общих точек с Φ3. Следовательно, эта интегральная кривая
лежит в D3 при всех t ∈ (0, ρ]. Значит,
|x1(t)− x2(t)| ≤ ηtmh, t ∈ (0, ρ]. (40)
Поэтому ∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ (|a010|η + l2 + l3 + o(1))|λ(t)|−1tmh, t → +0.
В силу (24) ∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ ((|a010|η + l2 + l3)|α|−1 + o(1)
)
h, t → +0. (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
182 А. Е. ЗЕРНОВ, Ю. В. КУЗИНА
Обозначим
ω =
1
2
(
1 + (|a010|η + l2 + l3)|α|−1
)
. (42)
Поскольку, по предположению, (|a010|η + l2 + l3)|α|−1 < 1, то 0 < ω < 1. Вследствие
достаточной малости ρ из (40) – (42) следует, что
|x1(t)− x2(t)|+
∣∣x′1(t)− x′2(t)∣∣ ≤ ωh (43)
при t ∈ (0, ρ]. Из (38), (43) следует, что ‖x1 − x2‖B ≤ ωh, откуда имеем
‖Tu1 − Tu2‖B ≤ ω‖u1 − u2‖B, где 0 < ω < 1. (44)
2. Пусть αa010 < 0. Тогда a3(t, x) < 0 при (t, x) ∈ Φ3. Отсюда следует, что если взять
любую точку (t0, x0) ∈ Φ3 и обозначить через J0 : (t, x0(t)) интегральную кривую урав-
нения (22∗), проходящую через эту точку, то при достаточно малом δ > 0 будем иметь
(t, x0(t)) ∈ D3 при (t, t0 + δ) (здесь t ≤ ρ) и (t, x0(t)) 6∈ D3 при t ∈ (t0 − δ, t0). Это
доказывается так же, как и аналогичное утверждение для Φ1 (случай αa010 < 0) при до-
казательстве теоремы 1. При этом в силу (17)
|x1(t)− x2(t)| ≤ |x1(t)− Sm(t)|+ |x2(t)− Sm(t)| ≤ 2Mtmξ(t) < ηtmh, (45)
если только t ∈ (0, t(h)], где постоянная t(h) ∈ (0, ρ) достаточно мала. В соответствии с
(45) интегральная кривая J1 : (t, x1(t)) уравнения (22∗) лежит в D3 при t ∈ (0, t(h)]. Если
t возрастает от t = t(h) до t = ρ, то, согласно изложенному выше, интегральная кривая
J1 : (t, x1(t)) не может иметь общих точек с Φ3. Следовательно, эта интегральная кривая
лежит вD3 при всех t ∈ (0, ρ].Далее, как и в случае αa010 > 0, последовательно получаем
оценки (40) – (44).
Проведенные рассуждения не зависят от выбора функций ui ∈ U, i ∈ {1, 2}. Следова-
тельно, доказано, что T : U → U — сжимающий оператор.
Таким образом, сжимающий оператор T : U → U отображает в себя замкнутое и
ограниченное множество U. На основании принципа Банаха сжатых отображений этот
оператор имеет в U единственную неподвижную точку, т. е. существует единственный
элемент x0 ∈ U такой, что справедливо равенство (39). Очевидно, функция x0 : (0, ρ] → R
является единственным решением задачи (1), (2), принадлежащим множеству U(ρ,M).
Кроме того, если обратиться к способу построения оператора T : U → U в случае αa010 >
> 0, то заметим, что выбор точки G(ρ, xG) множества H был произволен. Поэтому если
β — любая постоянная, для которой выполнено условие (13), то в качестве фиксирован-
ной точкиG(ρ, xG) можно взять точкуG(ρ, β). Тогда полученное (единственное) решение
x : (0, ρ] → R задачи (1), (2) будет удовлетворять условию x0(ρ) = β.
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Арнольд В. И. Теория катастроф. — М.: Наука, 1990. — 128 с.
2. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:
Наука, 1978. — 304 c.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
СИНГУЛЯРНАЯ ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 183
3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Мир, 1968. — 464 с.
4. Витюк А. Н. Обобщенная задача Коши для системы дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных // Дифференц. уравнения. — 1971. — 7, № 9. — С. 1575 – 1580.
5. Давыдов А. А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешенного относительно
производной, в окрестности особой точки // Функцион. анализ и его прил. — 1985. — 19, № 2. — С. 1 –
10.
6. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
7. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и
техника, 1979. — 744 с.
8. Зернов А. Е. Качественный анализ неявной сингулярной задачи Коши // Укр. мат. журн. — 2001. —
53, № 3. — С. 302 – 310.
9. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Качественный анализ сингулярной задачи Коши для дифференциально-
го уравнения, не разрешенного относительно производной // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39,
№ 10. — С. 1307 – 1314.
10. Зернов О. Є., Кузiна Ю. В. Асимптотична поведiнка розв’язкiв сингулярної задачi Кошi F (t, x(t),
x′(t)) = 0, x(0) = 0 // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2005. — Вип. 269. — С. 43 – 48.
11. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Качественное исследование сингулярной задачи Коши F (t, x(t), x′(t)) = 0,
x(0) = 0 // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 12. — С. 1720 – 1723.
12. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Геометрический анализ некоторой сингулярной задачи Коши // Нелiнiйнi
коливання. — 2004. — 7, № 1. — С. 67 – 80.
13. Зернов А. Е., Кузина Ю. В. Качественный анализ задачи Коши F (t, x(t), x′(t)) = 0, x(0) = 0 // Совр.
математика и ее прил. — 2005. — 36, ч. 2. — С. 78 – 85.
14. Кузина Ю. В. Асимптотическое поведение решений некоторых обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной неизвестной функции: Дис. . . .
канд. физ.-мат. наук. — Одесса, 2006.
15. Кигурадзе И. Т. О задаче Коши для сингулярной системы дифференциальных уравнений // Диффе-
ренц. уравнения. — 1965. — 1, № 10. — С. 1271 – 1291.
16. Рудаков В. П. О существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений
первого порядка, частично разрешенных относительно производных // Изв. вузов. Математика. —
1971. — № 9. — С. 79 – 84.
17. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк I. О. Диференцiальнi рiвняння. — Київ: Либiдь, 2003. —
600 с.
18. Чечик В. А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений c сингулярностью //
Тр. Моск. мат. о-ва. — 1959. — № 8. — С. 155 – 198.
19. Anichini G., Conti G. Boundary value problems for implicit ODE’s in a singular case // Different. Equat.
and Dynam. Syst. — 1999. — 7, № 4. — P. 437 – 459.
20. Conti R. Sulla risoluzione dell’ equazione F (t, x, dx/dt) = 0 // Ann. mat. pura ed appl. — 1959. — № 48. —
P. 97 – 102.
21. Kowalsky Z. The polygonal method of solving the differential equation y′ = h(t, y, y, y′) // Ann. Pol.
Math. — 1963. — 13, № 2. — P. 173 – 204.
Получено 19.02.08,
после доработки — 23.02.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177300 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:02:35Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зернов, О.Є. Кузіна, Ю.В. 2021-02-14T10:50:22Z 2021-02-14T10:50:22Z 2017 Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції / О.Є. Зернов, Ю.В. Кузіна // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 166-183 — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177300 517.911 uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції Сингулярная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной неизвестной функции A singular Cauchy problem for an ordinary differential equation not solved with respect to the derivative of the unknown function Article published earlier |
| spellingShingle | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції Зернов, О.Є. Кузіна, Ю.В. |
| title | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| title_alt | Сингулярная задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной неизвестной функции A singular Cauchy problem for an ordinary differential equation not solved with respect to the derivative of the unknown function |
| title_full | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| title_fullStr | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| title_full_unstemmed | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| title_short | Сингулярна задача Коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| title_sort | сингулярна задача коші для звичайного диференціального рівняння, не розв'язаного відносно похідної невідомої функції |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177300 |
| work_keys_str_mv | AT zernovoê singulârnazadačakošídlâzvičainogodiferencíalʹnogorívnânnânerozvâzanogovídnosnopohídnoínevídomoífunkcíí AT kuzínaûv singulârnazadačakošídlâzvičainogodiferencíalʹnogorívnânnânerozvâzanogovídnosnopohídnoínevídomoífunkcíí AT zernovoê singulârnaâzadačakošidlâobyknovennogodifferencialʹnogouravneniânerazrešennogootnositelʹnoproizvodnoineizvestnoifunkcii AT kuzínaûv singulârnaâzadačakošidlâobyknovennogodifferencialʹnogouravneniânerazrešennogootnositelʹnoproizvodnoineizvestnoifunkcii AT zernovoê asingularcauchyproblemforanordinarydifferentialequationnotsolvedwithrespecttothederivativeoftheunknownfunction AT kuzínaûv asingularcauchyproblemforanordinarydifferentialequationnotsolvedwithrespecttothederivativeoftheunknownfunction |