Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка
Вивчаються лiнiйнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь високого порядку з тотожно виродженою матрицею в областi визначення при старшiй похiднiй шуканої вектор-функцiї. Дано означення iндексу й особливих точок таких систем, сформульовано умови розв’язностi та отримано формулу загального розв’яз...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177306 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 274-288 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177306 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чистяков, В.Ф. Чистякова, Е.В. 2021-02-14T10:52:28Z 2021-02-14T10:52:28Z 2017 Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 274-288 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177306 517.9 Вивчаються лiнiйнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь високого порядку з тотожно виродженою матрицею в областi визначення при старшiй похiднiй шуканої вектор-функцiї. Дано означення iндексу й особливих точок таких систем, сформульовано умови розв’язностi та отримано формулу загального розв’язку. Наведено алгоритми обчислення iндексу й особливих точок. We study linear systems of ordinary differential equations of higher order with a matrix at the highest order derivative of the sought vector-valued function identically degenerate on its domain. We give definitions of an index and a singular point for such systems, formulate conditions for solvability, and give a formula for a general solution. Algorithms for finding the index and singular points are given. Выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 15-01-03228 А, 16-51-540002 Вьет-а). ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка Обчислення індексу та особливих точок лінійних диференціально-алгебраїчних рівнянь високого порядку Calculation of index and singular points of linear differential-algebraic equations of higher order Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| spellingShingle |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка Чистяков, В.Ф. Чистякова, Е.В. |
| title_short |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| title_full |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| title_fullStr |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| title_full_unstemmed |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| title_sort |
вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка |
| author |
Чистяков, В.Ф. Чистякова, Е.В. |
| author_facet |
Чистяков, В.Ф. Чистякова, Е.В. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Обчислення індексу та особливих точок лінійних диференціально-алгебраїчних рівнянь високого порядку Calculation of index and singular points of linear differential-algebraic equations of higher order |
| description |
Вивчаються лiнiйнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь високого порядку з тотожно виродженою матрицею в областi визначення при старшiй похiднiй шуканої вектор-функцiї. Дано означення iндексу й особливих точок таких систем, сформульовано умови розв’язностi та отримано формулу загального розв’язку. Наведено алгоритми обчислення iндексу й особливих точок.
We study linear systems of ordinary differential equations of higher order with a matrix at the highest order derivative of the sought vector-valued function identically degenerate on its domain. We give definitions of an index and a singular point for such systems, formulate conditions for solvability, and give a formula for a general solution. Algorithms for finding the index and singular points are given.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177306 |
| citation_txt |
Вычисление индекса и особых точек линейных дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка / В.Ф. Чистяков, Е.В. Чистякова // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 2. — С. 274-288 — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čistâkovvf vyčislenieindeksaiosobyhtočeklineinyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravneniivysokogoporâdka AT čistâkovaev vyčislenieindeksaiosobyhtočeklineinyhdifferencialʹnoalgebraičeskihuravneniivysokogoporâdka AT čistâkovvf občislennâíndeksutaosoblivihtočoklíníinihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹvisokogoporâdku AT čistâkovaev občislennâíndeksutaosoblivihtočoklíníinihdiferencíalʹnoalgebraíčnihrívnânʹvisokogoporâdku AT čistâkovvf calculationofindexandsingularpointsoflineardifferentialalgebraicequationsofhigherorder AT čistâkovaev calculationofindexandsingularpointsoflineardifferentialalgebraicequationsofhigherorder |
| first_indexed |
2025-11-24T16:10:09Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:10:09Z |
| _version_ |
1850851100340518912 |
| fulltext |
УДК 517.9
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА*
В. Ф. Чистяков, Е. В. Чистякова
Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН
e-mail: chist@icc.ru
chistyak@gmail.com
We study linear systems of ordinary differential equations of higher order with a matrix at the highest order
derivative of the sought vector-valued function identically degenerate on its domain. We give definitions of
an index and a singular point for such systems, formulate conditions for solvability, and give a formula for
a general solution. Algorithms for finding the index and singular points are given.
Вивчаються лiнiйнi системи звичайних диференцiальних рiвнянь високого порядку з тотожно
виродженою матрицею в областi визначення при старшiй похiднiй шуканої вектор-функцiї. Да-
но означення iндексу й особливих точок таких систем, сформульовано умови розв’язностi та
отримано формулу загального розв’язку. Наведено алгоритми обчислення iндексу й особливих
точок.
1. Введение и постановка проблемы. В настоящее время при анализе сложных электриче-
ских цепей и электронных схем часто встречаются системы, включающие в себя взаимо-
связанные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) различных порядков и
алгебраические уравнения. Алгебраические уравнения отвечают за наличие в моделях
балансовых соотношений, в частности законов сохранения или уравнений состояния, а
ОДУ описывают динамику процесса (см., например, [1 – 6]). Системы взаимосвязанных
дифференциальных и алгебраических уравнений можно записать в виде векторных ОДУ
с вырожденной матрицей в области определения при старшей производной искомой век-
тор-функции
Λkx := Ak(t)x
(k)(t) +Ak−1(t)x
(k−1)(t) + . . .+A0(t)x(t) = f(t), t ∈ T := [0, 1], (1)
где Ai(t), i = 0, k, — (n× n)-матрицы, x(t) и f(t) — искомая и известная вектор-функции
соответственно, x(i)(t) = (d/dt)ix(t), x(0)(t) = x(t),
detAk(t) = 0 ∀t ∈ T. (2)
Предполагается, что входные данные имеют необходимую для дальнейших рассуж-
дений и преобразований гладкость.
Системы вида (1), удовлетворяющие условию (2), принято называть в настоящее вре-
мя дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Для случая систем первого
∗ Выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 15-01-03228
А, 16-51-540002 Вьет-а).
c© В. Ф. Чистяков, Е. В. Чистякова, 2017
274 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 275
порядка, когда k = 1, ДАУ хорошо изучены (см., например, монографии [3 – 11] и приве-
денную в них библиографию). ДАУ высокого порядка изучались, например, в работах [6,
12 – 16]. Любые системы вида (1) можно свести заменой переменных к системам первого
порядка. Однако при k > 1 ДАУ имеют ряд свойств, которые не видны после редукции.
2. Вспомогательные сведения. Оговорим некоторые моменты относительно исполь-
зуемых в работе обозначений.
Для упрощения записи указание зависимости от t в работе будем иногда опускать,
если это не вызывает путаницы. Включения V (t) ∈ Ci(T ), i ≥ 1, где V (t) — матри-
ца или вектор-функция, означают, что все ее элементы дифференцируемы на T до по-
рядка i включительно. Непрерывности соответствует обозначение V (t) ∈ C(T ); симво-
лом CA(T ) обозначается пространство вещественно-аналитических матриц. Ниже также
используется запись r[V (t)] = max{rank V (t), t ∈ T}.
Под решением ДАУ (1) будем понимать любую вектор-функцию x(t) ∈ Ck(T ), кото-
рая обращает (1) в тождество на T при подстановке.
В работе используются нормы q-мерного вектора b = (b1, b2, . . . , bq)
> ∈ Rq и нормы
вектор-функции b(t) = (b1(t), b2(t), . . . , bq(t))
>, t ∈ T (> — символ транспонирования),
вычисляемые по формулам
‖b‖2E =
q∑
j=1
b2j , ‖b‖I = max
j∈[1,··· ,q]
|bj |,
‖b‖2L2(T )
=
1∫
0
‖b(s)‖2Eds, ‖b‖C(T ) = max
t∈T
‖b(t)‖I .
Выражение λĀ + B̄, где Ā, B̄ — постоянные матрицы произвольной размерности, λ
— скалярный параметр (в общем случае комплексный), называется матричным пучком.
Пучок квадратных матриц λĀ + B̄ регулярен, если существует λ = λ0: det(λ0Ā + B̄) 6=
6= 0.
Лемма 1 (см., например, [3, 17]). Для регулярного пучка (n× n)-матриц λĀ+ B̄ суще-
ствуют квадратные матрицы P, Q со свойством P (λĀ + B̄)Q = diag {λEd + J, λN +
+En−d}, где Ed, En−d — единичные матрицы размерности d и n− d соответственно, J,
N — некоторые блоки подходящей размерности, и, начиная с некоторого χ, называе-
мого индексом пучка λĀ+ B̄, имеет место равенство Nχ = 0, 1 ≤ χ ≤ n− d.
Более того, выполняется неравенство rank Ā ≥ d, где d = deg det(λĀ + B̄), deg —
степень многочлена. Равенство rank Ā = d имеет место тогда и только тогда, когда
N = 0.
Определение 1. Ненулевой многочлен det[λA(t) + B(t)], t ∈ T, где A(t), B(t) — квад-
ратные матрицы, удовлетворяет критерию „ранг-степень” на T, если:
1) r[A(t)] = r;
2) det[λA(t) +B(t)] = a0(t)λ
r + . . . , a0(t) 6= 0 ∀t ∈ T.
Из леммы 1 следует, что условия 1, 2 определения 1 эквивалентны равенству
rankA(t) = deg det[λA(t) +B(t)] = r = const, t ∈ T.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
276 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
Лемма 2 [17]. Матричный пучок вида
λÃ+ B̃ = λ
(
Er 0
0 0
)
+
(
L1 L2
L3 L4
)
,
где Lj — блоки подходящей размерности, j = 1, 4, удовлетворяет критерию „ранг-
степень” тогда и только тогда, когда detL4 6= 0, причем det
(
λÃ+ B̃
)
= λr detL4+. . . .
Определение 2 (см., например, [3]). Псевдообратной матрицей к (m × n)-матрице
M(t), t ∈ T, называется (n ×m)-матрица M+(t), удовлетворяющая для любых t ∈ T
уравнениям
M(t)M+(t)M(t) = M(t), M+(t)M(t)M+(t) = M+(t),
(M+(t)M(t))> = M+(t)M(t), (M(t)M+(t))> = M(t)M+(t).
Псевдообратная матрица определена единственным образом для любого t ∈ T и лю-
бой (m × n)-матрицы M(t) (см., например, [3]). Если матрица M(t) квадратная и неосо-
бенная, то M−1(t) = M+(t). Согласно [5], существует матрица M+(t) ∈ Cq(T ), если
M(t) ∈ Cq(T ), rankM(t) = r = const ∀t ∈ T. Если rankM(t) 6= const, t ∈ T, то хотя бы
один элемент матрицы M+(t) имеет разрыв второго рода на T.
Ниже будем использовать операторы вида
di[M ] =
M
(d/dt)M
. . .
(d/dt)iM
, Mi[M ] =
C0
0M 0 . . . 0
C0
1M
(1) C1
1M . . . 0
...
...
. . .
...
C0
iM
(i) C1
iM
(i−1) . . . CiiM
, (3)
где M ≡ M(t) — некоторая матрица из Ci(T ), Cji = i!/j!(i − j)! — биномиальные коэф-
фициенты. Эти операторы связаны формулой
di[M(t)F (t)] = Mi[M(t)]di[F (t)], (4)
где F (t) — некоторая матрица подходящей размерности из Ci(T ), вытекающая из фор-
мулы Лейбница для дифференцирования произведений.
3. Общее решение и индекс. Введем следующие понятия из работы [13] с некоторой
их модификацией.
Определение 3. Пространство решений (ПР) однородного ДАУ (1) конечномерно,
если все произведения X̃d(t)c, где X̃d(t) — (n × d)-матрица из Ck(T ), c — вектор произ-
вольных постоянных, являются решениями ДАУ и на отрезке T нет других решений.
Параметр d называется размерностью ПР системы (1).
ПР однородного ДАУ (1) бесконечномерно, если оно содержит бесконечное коли-
чество линейно независимых решений.
Определение 4. Система (1) имеет решение типа Коши, если она разрешима для лю-
бой вектор-функции f(t) ∈ Ckn(T ) и ее решения представимы в виде линейной комби-
нации
x(t, c) = Xd(t)c+ ψ(t), (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 277
гдеXd(t) — (n×d)-матрица из Ck(T ), со свойством rank dk−1[Xd(t)] = d ∀t ∈ T, dk−1[.] —
оператор из формул (3), c — вектор произвольных постоянных, ψ(t) — вектор-функ-
ция со свойством Λkψ(t) = f(t), t ∈ T, и на любом подотрезке [α0, β0] ⊆ T нет решений,
отличных от x(t, c).
Определение 5. Если существует оператор Ωl =
∑l
j=0 Lj(t)(d/d)j , где Lj(t) —
(n×n)-матрицы из C(T ), имеющий свойство Ωl◦Λky =
∑k
i=0 Ãi(t)y
(i)(t) ∀y(t) ∈ Cl+k(T ),
где Ãi(t) — (n × n)-некоторые матрицы из C(T ), det Ãk(t) 6= 0 ∀t ∈ T, то он называ-
ется левым регуляризирующим оператором (ЛРО) для системы (1), а наименьшее воз-
можное l — ее индексом.
Определение 6. Если существует оператор Ω̃l, имеющий свойство
Ω̃l ◦ Λky =
k∑
i=0
Ãi(t)y
(i)(t) ∀y(t) ∈ Cl+k(T ),
где det Ãk(t) 6≡ 0, t ∈ T, для которого определен ЛРО, то изолированные точки tν ∈ T,
в которых det Ãk(tν) = 0, называются особыми точками системы (1).
Анонсируем следующий результат.
Лемма 3. Пусть: 1) в системе (1) матрицыAi(t) ∈ CA(T ), i = 0, k; 2) ПР однородного
ДАУ конечномерно. Тогда существует оператор Ω̃l : Lj(t) ∈ CA(T ) из определения 6 и
число особых точек на отрезке T конечно.
Более того, если ПР однородной ДАУ бесконечномерно, то существует оператор
Ωµ, для которого определен ЛРО, имеющий свойство
Ωµ ◦ Λky =
k∑
i=0
(
Ãi,1(t)
0
)
y(i)(t) ∀y(t) ∈ Cl+k(T ), (6)
где Ãi,1(t) — некоторые (ν × n)-матрицы из CA(T ), ν < n, rank Ãk,1(t) полный для всех
t ∈ T, кроме конечного числа точек. Для совместности ДАУ (1) необходимо выполне-
ние равенства Ωµf(t) =
(
f>1 (t) 0
)>
, где число нулевых компонент равно n− ν.
Операторы Ωl, Ω̃l, Ωµ можно строить следующим образом. Подействуем оператором
L = diag {0, (d/dt)In−r}L(t) на ДАУ (1), где L(t)Ak(t) =
(
Ak,1(t)
0
)
, L(t) ∈ CA(T ),
detL(t) 6= 0 ∀t ∈ T, нулевой блок имеет размерность ([n− r]× n), r = r[Ak(t)]. В резуль-
тате получим либо ДАУ порядка k, либо одну из систем с оператором из определений 5,
6 или равенства (6). Если новая система является ДАУ, то процесс повторяем. Произведе-
ние µ или l соответствующих операторов вида L является одним из искомых операторов
Ωl, Ω̃l,Ωµ.Согласно теореме Долежаля [21], матрицы L(t) существуют на всех шагах про-
цесса.
Пример 1. Рассмотрим ДАУ
Λ2x =
(
t 1
0 0
)
ẍ+
(
γ + 1 0
t2 t
)
ẋ+
(
0 0
2t 1
)
x = 0, t ∈ T,
где γ — вещественный параметр, ˙ ≡ d/dt,¨≡ d2/dt2. Если γ = 1, то ПР системы беско-
нечномерно: любая вектор-функция (tj ,−tj+1)>, j = 1, 2, . . . , является решением ДАУ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
278 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
Можно принять
Ω̃µ = F1diag {1, d/dt}F0diag {1, d/dt}E2,
F1 =
(
1 0
−2 1
)
, F0 =
(
1 0
−t 1
)
, µ = 2.
Если γ 6= 1, то можно принять Ωl = diag {1, d/dt}F0diag {1, d/dt}E2, l = 2. Здесь
Ã2(t) =
(
t 1
(4− γ − 1)t 2
)
. Точка t = 0 является особой. На любом отрезке [ε, 1], ε > 0
оператор Ωl является ЛРО и индекс ДАУ равен 2.
Итак, ЛРО может не существовать в двух случаях: 1) ПР однородной системы (1)
бесконечномерно; 2) на T существуют особые точки. Для гладких входных данных лем-
ма 3 не является правильной. Можно лишь утверждать, что при бесконечномерном ПР
существует отрезок T0 ⊆ T, на котором определен оператор Ωµ с непрерывными коэф-
фициентами из (6).
Определение 7. Совокупность системы (1) и ее производных до порядка i вклю-
чительно: di[Λkx − f ] = 0, t ∈ T, где di[.] — оператор из формул (3), называется
i-продолженной системой (1).
С использованием формулы (4) i-продолженную систему можно записать в виде со-
отношения
Di[A(t)]di+k[x] =
k∑
j=0
(
Oj Mi[Aj(t)] Õj
)
di+k[x] = di[f(t)], (7)
где A =
(
Ak Ak−1 . . . A0
)
,матрицаDi[A(t)] имеет размерность [(i+1)n×(i+k+1)n],
нулевые матрицы Oj , Õj имеют размерности [(i+ 1)n× jn], [(i+ 1)n× (k − j)n], j = 0, k,
соответственно. Ниже мы будем использовать разбиение
Di[A(t)] =
(
B̃i(t) Γi[A(t)]
)
, (8)
где Γi[A(t)] — блочно-треугольная квадратная матрица с блоками Ak(t) на диагонали.
Замечание 1. Использование продолженных систем восходит еще к А. Картану (см.,
например, [22]). Для систем ОДУ первого порядка, не разрешенных относительно про-
изводных, продолженные системы применялись в работах [23 – 25]. В последующем этот
метод стал стандартным при изучении ДАУ для многих авторов (см. монографии из спис-
ка литературы и приведенную в них библиографию).
Существуют и другие подходы к определению индекса ДАУ. Согласно [3], система
Āẋ+ B̄x = f(t) с регулярным пучком матриц коэффициентов λĀ+ B̄ имеет индекс, рав-
ный χ (см. лемму 1). Попытки определения индекса ДАУ A1(t)ẋ + A0(t)x = f(t), t ∈ T,
через индекс пучка λA1(t)+A0(t) натолкнулись на серьезное препятствие: в общем случае
индекс этого пучка матриц при любом t ∈ T может не совпадать с индексом пучка новой
системы после замены вида x = Q(t)y, где Q(t) — неособенная матрица из C1(T ) (см.
примеры из [5]). В ряде работ индекс определяется через число шагов последователь-
ных преобразований исходного ДАУ к системе с невырожденной матрицей при старшей
производной (см., например, монографии [3, 8 – 11] и приведенную в них библиографию).
Но может оказаться, что эти трансформации невозможны для ДАУ с гладкими коэф-
фициентами на некотором шаге процесса, а ЛРО определен на T. В работе [18] введено
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 279
понятие индекса ДАУ при k = 1, которое применительно к ДАУ (1) имеет следующий
вид.
Определение 8. Пусть X = {x ≡ x(t) : Λkx − f = 0, t ∈ T} — множество решений
ДАУ (1) — не пусто и, начиная с некоторого натурального l, для любой вектор-функ-
ции xε ≡ xε(t) : ‖dl−1[Λkxε − f ]‖L2(T )
< ε найдется решение x(t) ∈ X такое, что ‖x(t)−
−xε(t)‖L2(T ) ≤ κε, κ — некоторая константа. Тогда будем говорить, что индекс ДАУ
равен l.
В работе [19] дано обобщение этого понятия на операторные уравнения. Несколько
позже похожее понятие появилось в зарубежной литературе, где вместо пространства
L2(T ) используются пространства Ci(T ), и оно называется „индексом по возмущению”.
Индекс по возмущению могут иметь ДАУ с особыми точками и бесконечномерным ПР,
но в настоящий момент не существует конструктивного алгоритма для его вычисления.
Из утверждения, приводимого ниже, следует вывод: существование ЛРО гарантирует су-
ществование индекса по возмущению.
Теорема 1. Пусть индекс системы (1) равен l. Если Ai(t) ∈ Cm(T ), i = 0, k, m =
= max{(k−1)n+r+1, 2l}, r = r[Ak(t)],то существует решение типа Коши и в формуле
(5) вектор-функция
ψ(t) =
t∫
0
K(t, s)f(s)ds+
l−k∑
j=0
Cj(t)f
(j)(t), t ∈ T, (9)
где K(t, s), Cj(t) — некоторые (n× n)-матрицы. При l < k в формуле (9) вектор-функ-
ция ψ(t) =
∫ t
0
K(t, s)f(s)ds, и при k − l = 1 ядро K(t, t) 6= 0, t ∈ T. Если k − l ≥ 2, то
Kj(t, t) = 0, Kj(t, s) = ∂jK(t, s)/∂tj , j ≤ k − l − 2, где K0(t, s) = K(t, s).
Доказательство. Введем обозначение ζ = dk−1[x]. Тогда мы можем поставить в соот-
ветствие системе (1) ДАУ первого порядка(
Eν 0
0 Ak(t)
)
ζ̇ +
(
0 −Eν
A0(t) Ã(t)
)
ζ =
(
0
f(t)
)
, t ∈ T, (10)
где ν = (k − 1)n, Ã =
(
A1 A2 . . . Ak−1
)
. Для ДАУ (10) определен ЛРО вида
diag {Eν ,Ωl}.Из [7] следует, что при этом условии для ДАУ (10) существует решение типа
Коши вида
ζ(t, c) = Xd(t)c+
t∫
0
K(t, s)f(s)ds+
l−1∑
j=0
Cj(t)f (j)(t), t ∈ T, (11)
где Xd(t) — (kn× d)-матрица, и K(t, s), Cj(t) — (kn×n)-матрицы. Из формулы (11) и вида
вектор-функции ζ следует равенство
x(k−1) = Xd,k−1(t)c+
t∫
0
Kk−1(t, s)f(s)ds+
l−1∑
j=0
Cj,k−1(t)f (j)(t), t ∈ T, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
280 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
где Xd,k−1(t) — (n× d)-матрицы, Kk−1(t, s), Cj,k−1(t) — (n× n)-матрицы, дифференцируе-
мые в областях определения. В силу связи
(k − 2)!x =
t∫
0
(t− s)k−2x(k−1)(s)ds+
k−1∑
j=0
c̃jt
j ,
где k ≥ 2, c̃j — некоторые постоянные векторы, из формулы (12) следует, что Xd(t) =
= dk−1[Xd(t)], в формуле (9) ядро K(t, s) = (t− s)k−2Kk−1(t, s)/(k− 2)!, а верхний предел
в сумме равен l − k.
Теорема 1 доказана.
Согласно результатам монографии [7], теорема 1 допускает обращение.
Лемма 4. Пусть: 1) на T для системы (1) определено решение типа Коши x(t, c) ∈
∈ Cm1(T ); 2) матрицы Ak(t), Ak−1(t), . . . , A0(t) ∈ Cm2(T ), где m1 = (k − 1)n + r + 2,
m2 = 2((k − 1)n+ r) + 3. Тогда на T определен ЛРО для системы (1).
Приведем алгоритм вычисления индекса и матричных коэффициентов ЛРО.
Лемма 5. Если, начиная с некоторого i = l, справедливы равенства
rank Γi[A(t)] = const, Γ+
i [A(t)]Γi[A(t)] =
(
En 0
0 Z22(t)
)
, t ∈ T,
гдеZ22(t) — некоторый блок подходящей размерности, то l равно индексу системы (1),
причем первые n строк матрицы Γ+
l [A(t)], разбитые на (n× n)-блоки, можно принять
в качестве коэффициентов ЛРО.
Доказательство. Согласно [5], существует матрица Γ+
i [A(t)] той же гладкости, что и
исходная матрица. Разобьем первые n строк матрицы Γ+
i [A(t)] на (n× n)-блоки(
W0 W1 . . . Wl
)
.
Если в продолженной системе Dl[A(t)]dl+k[x] = dl[f(t)] умножить блочные строки на
блоки Wj с соответствующими номерами, то получим с учетом разбиения (8) строку, со-
стоящую из матриц Ãj в определении 5, где Ãk = En.
Лемма 5 доказана.
Пример 2. Рассмотрим ДАУ, построенное на основе примера из монографии [4]:
A(t)ẍ+ [E2 + Ȧ(t)]ẋ =
(
0 w(t)
v(t) 0
)
ẍ+
(
1 ẇ(t)
v̇(t) 1
)
ẋ = f(t), f(t) ∈ C2(T ),
где v(t), w(t) ∈ C∞(T ), v(t)w(t) = 0 ∀t ∈ T. Здесь ЛРО Ω2 = (d/dt)[E2 − A(t)(d/dt)] и
индекс системы равен 2. Общее решение системы имеет вид (см. формулы (5), (9))
x(t, c) = c+
t∫
0
f(s)ds−A(t)f(t), t ∈ T, d = 2, Xd(t) = K(t, s) = E2, C0(t) = A(t).
Структура множеств, на которых v(t) = 0 или w(t) = 0, может быть очень сложной, так
как любое замкнутое множество является множеством нулей некоторой дифференци-
руемой функции. Поэтому часто невозможно разделить систему на дифференциальные
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 281
уравнения первого и второго порядков, так как не существует матрицы P (t) ∈ C(T ) :
detP (t) 6= 0, P (t)A(t) =
(
A1(t)
0
)
∀t ∈ T. В силу этого не существует непрерывных
проекторов на ядро и образ A(t), и методы из работ [3, 8 – 11] неприменимы.
4. Другие способы вычисления индекса. Вычисление индекса с использованием лем-
мы 5 имеет большой недостаток: нужно вычислять производные входных данных. На-
чиная с конца 70-х годов прошлого века, получен ряд признаков разрешимости ДАУ на
основе изучения свойств соответствующих им матричных пучков.
Лемма 6 [17, 20]. Если в ДАУ (1)Ak(t), Ak−1(t), . . . , A0(t) ∈ C1(T ),то она имеет индекс
1 тогда и только тогда, когда многочлен det[λAk(t) + Ak−1(t)] удовлетворяет крите-
рию „ранг-степень” на T. В формуле (5) параметр d = (k − 1)n+ r.
Более того, если справедливы оценки и равенство
‖Ak(t)− Ãk(t)‖ ≤ ε, ‖Ak−1(t)− Ãk−1(t)‖ ≤ ε,
rank Ãk(t) = rankAk(t) = r ∀t ∈ T, ε ∈ [0, ]ε0],
то, начиная с некоторого ε0, многочлен пучка det[λÃk(t)+Ãk−1(t)] удовлетворяет кри-
терию „ранг-степень” на T и справедлива оценка ‖a0(t)− ã0(t)‖C(T ) ≤ κε, κ = const > 0.
Полные сведения в этом направлении можно получить для ДАУ вида (1) с постоян-
ными матрицами коэффициентов
Λkx := Akx
(k)(t) +Ak−1x
(k−1)(t) + . . .+A0x(t) = f(t), t ∈ T, f(t) ∈ Cnk(T ). (13)
Поставим в соответствие ДАУ λ-матрицу A(λ) = Akλ
k +Ak−1λ
k−1 + . . .+A1λ+A0.
Теорема 2. Пусть в ДАУ (13): 1) det Ak = 0; 2) λ-матрицаA(λ) регулярна: существу-
ет число λ0 такое, что detA(λ0) 6= 0.
Тогда:
1) для системы (13) определено решение типа Коши в виде (5), где d = deg det A(λ);
2) для системы (13) определен ЛРО с постоянными матрицами коэффициентов, где
а) если nk − d кратно n − r, то индекс ДАУ l = (nk − d)/(n − r), r = rankAk, б) если
nk − d не кратно n− r, то l = [(nk − d)/(n− r)] + 1;
3) неравенство l ≤ k выполнено тогда и только тогда, когда выполнено „доминант-
ное свойство” d ≥ kr (при k = 1 это критерий „ранг-степень”);
4) в формуле (9) ядро интегрального оператора K(t, s) = K(t − s), Cj(t) = Cj —
постоянные матрицы, причем справедливы оценки
‖dk−1[Xd(t)]‖ ≤ κe(γ∗+ε)t, ‖K(t− s)‖ ≤ κ1e
[γ∗+ε](t−s),
где κ, κ1 — некоторые положительные константы, ε — произвольно малое число, γ∗
— максимальная вещественная часть корней уравнения detA(λ) = 0, нормы матриц
согласованы с нормой вектора ‖.‖I .
Первый пункт теоремы доказан в [12]. Второй и третий пункты теоремы доказаны
в [26]. Последний пункт следует из представления любого решения однородной системы
(13) в виде суммы функций µj(t)e
λjt, j = 1, d, где λj — корни уравнения detA(λ) = 0,
µj(t) — многочлены с постоянными коэффициентами степени не выше kn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
282 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
Приведем усиление утверждения из [14], основанное на обобщении критерия „ранг-
степень” для многопараметрических пучков матриц.
Теорема 3. Пусть для системы (1) выполнены условия:
1) Ak(t), Ak−1(t), . . . , A0(t), f(t) ∈ Ck(T );
2) r[Ak(t)] = rk < n, r[(Ak(t)|Ak−1(t))] = rk + rk−1 < n, . . . r[(Ak(t)|Ak−1(t)| . . .
. . . |Ak−j(t))] = rk + rk−1 + . . .+ rk−j ;
3) det[λkAk(t) + λk−1Ak−1(t) + . . . + Ak−j(t)] = detAk(t, λk, λk−1, . . . , λk−j+1) =
= a0(t)λ
rk
k λ
rk−1
k−1 . . . λ
rk−j+1
k−j+1 + . . . , a0(t) 6= 0 ∀t ∈ T, где λk, λk−1, . . . , λk−j+1 — скалярные
параметры (в общем случае комплексные). Тогда для системы (1) существует ЛРО и
l = j ≤ k.
Параметр из формулы (5) d = krk + (k − 1)rk−1 + . . .+ (k − j)rk−j .
Доказательство. Зафиксируем параметры λ∗k−1, . . . , λ
∗
k−j+1 при ненулевых значениях.
В силу леммы 1 пучок матриц Ak(t, λk, λ∗k−1, . . . , λ∗k−j+1) удовлетворяет критерию „ранг-
степень” на T и rankAk(t) = rk ∀t ∈ T. Cледовательно, найдутся неособенные матрицы
Pk(t), Qk(t) ∈ Ck(T ) такие, что
PkAk(t, λk, λk−1, . . . , λk−j+1)Qk = λk
(
Erk 0
0 0
)
+ λk−1
(
Ak−1,11 Ak−1,12
Ak−1,21 Ak−1,22
)
+ . . .
. . .+
(
Ak−j,11 Ak−j,12
Ak−j,21 Ak−j,22
)
. (14)
Тогда по лемме 2 и в силу условия 2 настоящей теоремы имеем
det PkAk(t, λk, λk−1, . . . , λk−j+1)Qk = det[Pk(t)Qk(t)]λ
rk
k det L4(t, λk−1, . . . , λk−j+1),
L4(t, λk−1, . . . , λk−j+1) = [λk−1Ak−1,22(t) + λk−2Ak−2,22(t) + . . .+Ak−j,22(t)] .
Зафиксируем параметры λ∗k−2, . . . , λ
∗
k−j+1 при ненулевых значениях. В силу третьего усло-
вия теоремы пучок матриц L4(t, λk−1, λ
∗
k−2, . . . , λ
∗
k−j+1) удовлетворяет критерию „ранг-
степень” на T и rankAk−1,22(t) = rk−1 ∀t ∈ T. Следовательно, найдутся неособенные
матрицы Pk−1(t), Qk−1(t) ∈ Ck(T ) со свойством
Pk−1L4(t, λk−1, . . . , λk−j+1)Qk−1 = λk−1
(
Erk−1
0
0 0
)
+ λk−2
(
A1
k−2,11 A1
k−2,12
A1
k−2,21 A1
k−2,22
)
+ . . .
. . .+
(
A1
k−j,11 A1
k−j,12
A1
k−j,21 A1
k−j,22
)
.
Итак, умножая справа и слева на матрицы diag {Erk , Pk−1}Pk, Qkdiag {Erk , Qk−1} исход-
ный пучок матриц, приводим его к виду
λk
Erk 0 0
0 0 0
0 0 0
+ λk−1
Ãk−1,11 Ãk−1,12 Ãk−1,13
Ãk−1,21 Erk−1
0
Ãk−1,31 0 0
+ λk−2Ãk−2 + . . .+ Ãk−j . (15)
Здесь Ãk−1,31 ≡ 0, t ∈ T. Если Ãk−1,31(t0) 6= 0, t0 ∈ T, то в точке t0 нарушается условие 2
теоремы: max rank (Ak(t0)|Ak−1(t0)) > rk+rk−1.Умножая второй столбец в пучке (15) на
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 283
блок Ãk−1,21 и вычитая из первого столбца, мы обращаем этот блок в нуль. Преобразо-
вание к такому виду достигается умножением слева на матрицу Qkdiag {Erk , Qk−1}Q̃, где
матрица Q̃ соответствует преобразованию, обращающему блок Ãk−1,21 в нуль.
Процесс можно продолжить, так как блок
L1
4(t, λk−2, λk−3, . . . , λk−j+1) = λk−2Ã
1
k−2,33 + λk−3Ã
1
k−3,33 + . . .+ Ã1
k−j,33
удовлетворяет критерию „ранг-степень” на T и т. д. Произведения матриц преобразова-
ний слева и справа являются неособенными на T матрицами P,Q ∈ Ck(T ).
Вернемся к системе (1). Умножая систему на матрицу P и производя замену x = Qy,
получаем в общем случае набор подсистем вида
y
(k)
1 +Rk−1,1y
(k−1) + . . .+R0,1y = f1, . . . , y
(j)
j +Rk−j−1,jy
(j−1) + . . .+R0,jy = fj , t ∈ T,
где
y> =
(
y>1 y>2 , . . . y>j
)>
,
(
f>1 f>2 , . . . f>j
)>
= Pf.
При заменах переменных следует учитывать такой факт: например, на первом шаге про-
цесса матрицы PkAkQ
(j)
k , j = 0, k, имеют n − rk нулевых строк, причем эта замена не
меняет остальных уравнений (15), и т. д. В качестве ЛРО можно взять оператор
diag {Erk , (d/dt)Erk−1
, . . . , (d/dt)jErk−j
}P.
Формула для определения параметра d очевидна.
Теорема 3 доказана.
При доказательстве теоремы мы неявно предполагали, что в условии ri ≥ 1, i =
= k − 1, k − j − 1. Доказательство усложняется, но теорема остается справедливой при
допущении, что некоторые ri = 0.
Пример 3. Система (1) имеет индекс j, если
r[Ak(t)] = rk < n, . . . , r[(Ak(t)|Ak−1(t)| . . . |Ak−j(t))] = n, ri = 0, i = k − 1, k − j − 1,
det(λkAk(t) + λk−1Ak−1(t) + . . .+Ak−j(t)) = a0(t)λ
rk
k + . . . , a0(t) 6= 0 ∀t ∈ T.
Пример 4. Пусть
Λ2x :=
1− s(t) c(t) c(t)
c(t) 1 + s(t) 1 + s(t)
c(t) 1 + s(t) 1 + s(t)
ẍ+
γ(t) 0 c(t)
0 γ(t) 1 + s(t)
γ(t)c(t) γ(t)s(t) 1 + s(t)
ẋ+
+
s(t) c(t) s(t)
−c(t) 1 + s(t) 1− s(t)
0 s(t) 2
x = f(t), t ∈ T,
где s(t) = sin g(t), c(t) = cos g(t), g(t), γ(t) — произвольные функции из C3(T ).
Проверяем условия теоремы 3: r[A2(t)] = 1, r[(A2(t)|A1(t))] = 2,
r[(A2(t)|A1(t)|A0(t))] = 3, det [λ2A2(t) + λ1A1(t) +A0(t)] = 2γ(t)λ2λ1 + . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
284 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
Итак, ДАУ имеет индекс 2 при γ(t) 6= 0 ∀t ∈ T, разрешима при любой f(t) ∈ C3(T ) и ее
общее решение описывается формулами (5), (9), где параметр d = 3. В варианте утвер-
ждения из [14] требуется проверять постоянство ранга составных матриц, но для нашего
примера надо приложить определенные усилия, чтобы доказать этот факт: миноры, „не-
сущие ранг”, могут двигаться по всей матрице при t ∈ [0, 1].
При аналитических входных данных, выполнении условия 2 и невыполнении в отдель-
ных точках условия 3 теоремы 3 все эти точки tj : a0(tj) = 0, tj ∈ T, являются особыми (в
частности, это точки перемены ранга матрицы Ak(t)). В примере 4 это точки, в которых
γ(tj) = 0.
Пример 5. Постоянство ранга матрицы Ak(t), t ∈ T, не гарантирует отсутствия на
отрезке T особых точек. Рассмотрим два ДАУ с конечномерным ПР:(
t(1 + et) 0
tet 0
)
ẋ+
(
1 + et 1
et 1
)
x = 0,
(
t 0
ett 0
)
ẏ +
(
−1 0
−et et(t− 1)
)
y = 0, t ∈ T.
Здесь в первом случае особая точка t1 = 0, а во втором особыми точками являются
t1 = 0, t2 = 1. Коэффициенты многочленов detA1(t, λ1) соответственно имеют вид
a0,1(t) = t, a0,2(t) = −ett(t− 1).
Общие решения ДАУ таковы: x(t, c) =
(
0 0
)>
, y(t, c) =
(
t 0
)>
c, c ∈ R1. Выреза-
ние особой точки из отрезка интегрирования может менять размерность ПР системы:
x(t, c) =
(
1/t 0
)>
c, t ∈ Tε = [ε, 1], ε > 0. Во второй системе при t ∈ Tε rankA1(t) =
= const, но на Tε имеется особая точка t2 = 1.
ДАУ, удовлетворяющие теореме 1, имеют важное свойство. Если через точку (γ ∈
∈ T, x(j)(γ) = aj , j = 0, k − 1), где aj — заданные векторы из Rn, проходит решение, то
только одно, так как rank dk−1[Xd(γ)] = d ∀γ ∈ T. Вторая система в примере 5 имеет
бесконечное число решений, проходящих через точку y(0) = 0.
5. Применение теории интегро-алгебраических уравнений и вычислительные аспек-
ты определения индекса. Один из способов вычисления индекса ДАУ связан с использо-
ванием свойств уравнений вида
(Λ0 + V )z := A(t)z(t) +
t∫
0
K(t, s)z(s)ds = f(t), detA(t) ≡ 0, t ∈ T, (16)
где A(t), K(t, s) — (n × n)-матрицы, z(t) и f(t) — искомая и известная вектор-функции
соответственно. Cистемы (16) принято называть интегро-алгебраическими уравнениями
(ИАУ).
Определение 9. Если существует оператор
Ωl =
l∑
j=0
Lj(t)(d/d)j ,
где Lj(t) — (n× n)-матрицы из C(T ), имеющий свойство
Ωl ◦ (Λ0 + V )y = Ã(t)z(t) +
t∫
0
Ωl[K(t, s)]z(s)ds ∀z(t) ∈ Cl(T ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 285
где Ã(t) — некоторая (n × n)-матрица из C(T ), det Ã(t) 6= 0 ∀t ∈ T, то он называется
левым регуляризирующим оператором (ЛРО) для системы (16), а наименьшее возмож-
ное l — ее индексом.
Определение 10. Совокупность системы (16) и ее производных до порядка i вклю-
чительно: di[(Λ0 + V )y − f ] = 0, t ∈ T, где di[.] — оператор из формул (3), называется
i-продолженной системой (16).
Формулы (4) позволяют i-продолженную систему (16) записать в виде соотношения
Γi[A,K](t)di[x] +
t∫
0
di[K(t, s)]z(s)ds = di[f(t)], t ∈ T, (17)
где Γi[A,K](t) — блочно-треугольная [(i+1)n×(i+1)n]-матрица с блоками в виде матрицы
A(t) на диагонали. Остальные элементы являются линейными комбинациями производ-
ных матриц A(t), K(t, t) c множителями в виде биномиальных коэффициентов.
Лемма 7 [27]. Если, начиная с некоторого i = l, справедливы равенства
rank Γi[A,K](t) = const, Γ+
i [A,K](t)Γi[A,K](t) =
(
En 0
0 Z22(t)
)
, t ∈ T,
где Z22(t) — некоторый блок подходящей размерности, то l равно индексу системы
(1), причем первые n строк матрицы Γ+
l [A,K](t), разбитые на (n × n)-блоки, можно
принять в качестве коэффициентов ЛРО.
Интегрируя k раз систему (1), получаем систему интегральных уравнений вида
Ak(t)x(t) +
t∫
0
k−1∑
j=0
(t− s)jWj(s)
x(s)ds =
t∫
0
(t− s)k−1f(s)ds+
k−1∑
j=0
tjcj , t ∈ T, (18)
где Wj(s) — линейные комбинации матриц Ak(t), Ak−1(t), . . . , A0(t) и их производных,
cj — некоторые постоянные векторы. В силу перестановочности операций дифферен-
цирования и интегрирования индексы систем (1) и (18) совпадают.
Для примера запишем систему вида (18) для ДАУ (1) при k = 2. Имеем
A2(t)x(t) +
t∫
0
[W0(s) + (t− s)W1(s)]x(s)ds =
t∫
0
(t− s)f(s)ds+
1∑
j=0
tjcj , t ∈ T, (19)
гдеW0(s) = A1(s)−2Ȧ2(s), W1(s) = A0(s)−Ȧ1(s)+Ä2(s), c0 = A2(0)x(0), c1 = A2(0)ẋ(0)+
+[A1(0)− Ȧ2(0)]x(0). Рассмотрим матрицы
Γ2[A,K](t) =
A2 0 0
A1 − Ȧ2 A2 0
A0 A1 A2
, Γ2[A(t)] =
A2 0 0
A1 + Ȧ2 A2 0
A0 + Ȧ1 + Ä2 A1 + 2Ȧ2 A2
.
(20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
286 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
Матрицы (20) соответствуют системам (19) и (1) при k = 2. Итак, переход к ИАУ умень-
шает количество производных входных данных, необходимое для вычисления индекса
ДАУ.
Малые возмущения входных данных, возникающие, например, при применении раз-
ностных аппроксимаций для вычисления производных в матрицах из лемм 5, 7 или из-за
ошибок округления, могут сильно искажать результат вычислений.
Пример 6. Система Nẋ +
(
1 0
δ 1
)
x = f(t), N =
(
0 1
0 0
)
имеет индекс 2, если
δ = 0 : Ω2 = (d/dt)E2 − (d/dt)2N. Если δ 6= 0, то индекс равен 1: Ω1 = diag {1, d/dt}.
Пример 7. Для матрицы Aδ = diag {1, δ} имеют место соотношения
A+
δ =
(
1 0
0 1/δ
)
, δ 6= 0,
∥∥A+
δ
∥∥ → ∞, δ → 0, A+
0 =
(
1 0
0 0
)
.
Поэтому нужно указать методы приближенного вычисления, позволяющие построить
регуляризирующие алгоритмы. Построение этих алгоритмов часто базируется на пара-
метризации исходной задачи. Начнем с анализа методов вычисления произведений
матриц из лемм 5, 7.
Лемма 8. Если выполняется неравенство
∥∥∥A− Ã∥∥∥ ≤ ε, где A и Ã — некоторые (ν ×
×n)-матрицы и rankA < min{ν, n},то, начиная с некоторых значений положительных
параметров ε, τ, справедлива оценка∥∥∥A+A− G̃(τ)
∥∥∥ ≤ κ̃0τ + κ̃1ε/τ
2,
где G̃(τ) = (τEn + Ã>Ã)−1Ã>Ã, κ̃0, κ̃1 = const > 0.
Доказательство. Неравенство треугольника позволяет записать∥∥∥A+A− G̃(τ)
∥∥∥ =
∥∥∥A+A−G(τ) +G(τ)− G̃(τ)
∥∥∥ ≤ ∥∥A+A−G(τ)
∥∥+
∥∥∥G(τ)− G̃(τ)
∥∥∥ . (21)
Для неособенной матрицы M имеет место оценка∥∥∥M−1 − M̃−1∥∥∥ / ∥∥M−1∥∥ ≤ ε cond (M)/(1− ε cond (M)). (22)
где число cond (M) = ‖M‖
∥∥M−1∥∥ называется обусловленностью матрицы M.
Согласно [3], для первого слагаемого в сумме (21) имеем ‖A+A−G(τ)‖ ≤ κ0τ. Далее,
из определения числа обусловленности следует, что cond (τEn + Ã>Ã) = O (1/τ) . Тогда
при достаточно малом ε, применяя формулу (22), получаем соотношение∥∥∥G(τ)− G̃(τ)
∥∥∥ = O
(
ε/τ2
)
.
Лемма 8 доказана.
Из леммы 8 следует, что, связывая параметр регуляризации τ с уровнем возмущений
входных данных по правилу τ = κε1/3, κ = const > 0, получаем неравенство∥∥∥A+A− G̃(τ)
∥∥∥ ≤ (κ̃0 + κ̃1)κε
1/3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНДЕКСА И ОСОБЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ . . . 287
Способы решения неустойчивых задач линейной алгебры с учетом входных погрешнос-
тей можно найти, в частности, в [28].
Для вычисления индекса ДАУ (13) можно использовать такое утверждение.
Лемма 9. Пусть λ-матрицаA(λ) = Akλ
k+Ak−1λ
k−1 + . . .+A1λ+A0 регулярна. Тогда
справедливо соотношение
g(mτ)/g(τ) = ml +O(τ), τ → 0, (23)
где l — индекс системы (13),
g(τ) =
∥∥∥∥(Ak + τAk−1 + . . .+ τk−1A1 + τkA0
)−1∥∥∥∥ ,
m — натуральное число (больше единицы).
Лемма доказана в работе [5] для ДАУ Āẋ + B̄x = f(t), где g(τ) =
∥∥∥(Ā+ τB̄
)−1∥∥∥ ,
χ = l. В рассматриваемом случае переходим от ДАУ (13) к ДАУ (10) и применяем уже
известный результат. При наличии входных возмущений можно указать связь параметра
регуляризации τ с уровнем возмущений входных данных по правилу τ = κε1/(l+1) [29].
На практике задаем некоторое m и вычисляем при τ → 0 соотношение (23) до тех
пор, пока не начнут существенно сказываться ошибки округления и входные возмущения
(см., например, [28]), после чего делаем заключение о величине индекса системы (13).
Литература
1. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем. — Новосибирск: Наука, 1988. – 271 с.
2. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. — М.: Радио и
связь, 1988. — 560 с.
3. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. — Новосибирск: Наука, 1980. — 224 с.
4. Brenan K. E., Campbell S. L. Petzold L. R. Numerical solution of initial-value problems in differential-
algebraic equations // Classics Appl. Math. — 1996. — 14. — 314 p.
5. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. — Новосибирск:
Наука, 1996. — 278 c.
6. Власенко Л. А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравне-
ниями. — Днепропетровск: Систем. технологии, 2006. — 274 с.
7. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле-
дования. — Новосибирск: Hаука, 1998. — 224 с.
8. Бояринцев Ю. Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем урав-
нений. — Новосибирск: Hаука, 1996. — 261 с.
9. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
нями. — Київ.: Вища шк., 2000. — 294 с.
10. Kunkel P., Mehrmann V. Differential-algebraic equations. Analysis and numerical solution. — Zúrich, Swi-
tzerland: EMS Publ. House, 2006. — 377 p.
11. Lamour R., Marz R., Tischendorf C. Differential-algebraic equations: a projector based analysis. — Berlin;
Heidelberg: Springer-Verlag, 2013. — 676 p.
12. Лузин Н. Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений // Автоматика и
телемеханика. — 1940. — № 5. — С. 4 – 66.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
288 В. Ф. ЧИСТЯКОВ, Е. В. ЧИСТЯКОВА
13. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром // Алгебро-диф-
ференциальные системы и методы их решения: сб. науч. трудов. — Новосибирск: Наука, 1993. — 93 с.
14. Bulatov M. V., Ming-Gong Lee. Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-
algebraic equations // Different. Equat. — 2008. — 44, № 10. — P. 1353 – 1360.
15. Pafyk S. P., Yakovets’ V. P. On the structure of the general solution and conditions of solvability of the Cauchy
problem for degenerate linear systems of higher-order differential equations // Ukr. Math. J. — 2011. — 65,
№ 2. — P. 328 – 340.
16. Mehrmann V., Chunchao Shi. Transformation of high order linear differential-algebraic systems to first or-
der // Numer. Algorithms. — 2006. — 42. — P. 281 – 307.
17. Чистяков В. Ф. Об одной теореме существования решений у сингулярных линейных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений // Численные методы механики сплошной среды. — 1981. —
12, № 6. — C. 135 – 149.
18. Булатов М. В., Чистяков В. Ф. Один метод численного решения линейных сингулярных систем
ОДУ индекса выше единицы // Численные методы анализа и их приложения. — Иркутск: СЭИ СО
АН СССР, 1987. — С. 100 – 105.
19. Чистяков В. Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их инте-
гральных аналогах // Функции Ляпунова и их применения. — Новосибирск: Наука, 1987. — С. 231 – 239.
20. Чистяков В. Ф. О связи свойств вырожденных систем и задач вариационного исчисления. — Ир-
кутск, 1989. — 29 с. — (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР; № 5).
21. Silverman L. M., Bucy R. S. Generalizations of theorem of Dolezal // Math. System Theory. — 1970. — 4. —
P. 334 – 339.
22. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в
газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1984. — 272 с.
23. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:
Наука, 1978. — 304 с.
24. Чистяков В. Ф. О связи структуры пучка матриц с существованием решений неявной системы ОДУ //
Методы оптимизации и исследования операций. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. — С. 194 – 202.
25. Campbell S. L. Non-BDF methods for the solution of linear time varying implicit differential equations //
Proс. Amer. Contr. Conf., San Diego, Calif., 5 – 6 June, 1984. — 3. — P. 1315 – 1318.
26. Bulatov M. V., Chistyakov V. F. The properties of differential-algebraic systems and their integral analogs. —
1997. — 36 p. — (Preprint / Mem. Univ. Newfoundland).
27. Чистяков В. Ф. О разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерра 4 рода. I // Дифференц.
уравнения. — 2002. — 38, № 5. — С. 698 – 707.
28. Годунов С. К. Антонов А. Г., Кирилюк О. П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем
линейных уравнений в евклидовых пространствах. — Новосибирск: Наука, 1988. — 456 с.
29. Бормотова О. В., Чистяков В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа
Коши – Ковалевской // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2004. — 44, № 8. — С. 1380 –
1387.
Получено 20.08.16,
после доработки — 14.02.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 2
|