Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням
Доказаны существование и инвариантность глобального аттрактора для разрывной системы, порождаемой волновым уравнением, решения которого подвержены импульсному воздействию при достижении фиксированного подмножества фазового пространства. We prove existence and invariance of a global attractor for a d...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2017 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177311 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням / О.В. Капустян, І.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 361-372 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177311 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Капустян, О.В. Романюк, І.В. 2021-02-14T10:54:29Z 2021-02-14T10:54:29Z 2017 Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням / О.В. Капустян, І.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 361-372 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177311 517.9 Доказаны существование и инвариантность глобального аттрактора для разрывной системы, порождаемой волновым уравнением, решения которого подвержены импульсному воздействию при достижении фиксированного подмножества фазового пространства. We prove existence and invariance of a global attractor for a discontinuous system generated by a wave equation such that solutions of the system undergo an impulsive perturbation as they reach a fixed set of the phase space. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням Глобальный аттрактор импульсной динамической системы, порождённой волновым уравнением Global attractor of impulsive dynamical system, generated by wave equation Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| spellingShingle |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням Капустян, О.В. Романюк, І.В. |
| title_short |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| title_full |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| title_fullStr |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| title_full_unstemmed |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| title_sort |
глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням |
| author |
Капустян, О.В. Романюк, І.В. |
| author_facet |
Капустян, О.В. Романюк, І.В. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Глобальный аттрактор импульсной динамической системы, порождённой волновым уравнением Global attractor of impulsive dynamical system, generated by wave equation |
| description |
Доказаны существование и инвариантность глобального аттрактора для разрывной системы, порождаемой волновым уравнением, решения которого подвержены импульсному воздействию при достижении фиксированного подмножества фазового пространства.
We prove existence and invariance of a global attractor for a discontinuous system generated by a wave equation such that solutions of the system undergo an impulsive perturbation as they reach a fixed set of the phase space.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177311 |
| citation_txt |
Глобальний атрактор імпульсної динамічної системи, породженої хвильовим рівнянням / О.В. Капустян, І.В. Романюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 361-372 — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânov globalʹniiatraktorímpulʹsnoídinamíčnoísistemiporodženoíhvilʹovimrívnânnâm AT romanûkív globalʹniiatraktorímpulʹsnoídinamíčnoísistemiporodženoíhvilʹovimrívnânnâm AT kapustânov globalʹnyiattraktorimpulʹsnoidinamičeskoisistemyporoždennoivolnovymuravneniem AT romanûkív globalʹnyiattraktorimpulʹsnoidinamičeskoisistemyporoždennoivolnovymuravneniem AT kapustânov globalattractorofimpulsivedynamicalsystemgeneratedbywaveequation AT romanûkív globalattractorofimpulsivedynamicalsystemgeneratedbywaveequation |
| first_indexed |
2025-11-27T01:46:31Z |
| last_indexed |
2025-11-27T01:46:31Z |
| _version_ |
1850791781821579264 |
| fulltext |
УДК 517.9
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ,
ПОРОДЖЕНОЇ ХВИЛЬОВИМ РIВНЯННЯМ
О. В. Капустян, I. В. Романюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
просп. Акад. Глушкова, 4, Київ, 03680, Україна
We prove existence and invariance of a global attractor for a discontinuous system generated by a wave
equation such that solutions of the system undergo an impulsive perturbation as they reach a fixed set of
the phase space.
Доказаны существование и инвариантность глобального аттрактора для разрывной систе-
мы, порождаемой волновым уравнением, решения которого подвержены импульсному воздей-
ствию при достижении фиксированного подмножества фазового пространства.
Вступ. Теорiя iмпульсних диференцiальних рiвнянь [1, 2] є зручним математичним апа-
ратом для опису еволюцiйних процесiв з миттєвими збуреннями. Важливим класом сис-
тем з iмпульсним збуренням є розривнi (або iмпульснi) динамiчнi системи, якi характе-
ризуються тим, що їх траєкторiї зазнають iмпульсного впливу при досягненнi фiксова-
ної пiдмножини фазового простору. Рiзним аспектам якiсної теорiї таких систем у скiн-
ченновимiрному випадку присвячено роботи [3, 6]. Для нескiнченновимiрних дисипатив-
них систем однiєю з найважливiших характеристик якiсної поведiнки є глобальний атрак-
тор [7]. Для систем без єдиностi розв’язку задачi Кошi теорiю глобальних атракторiв
розвинено в роботах [8 – 11]. Дослiдження глобальних атракторiв для рiзних класiв роз-
подiлених систем з iмпульсними збуреннями у фiксованi моменти часу проведено у [12,
13]. Для iмпульсних динамiчних систем (iмпульсних ДС) деякi аспекти теорiї глобальних
атракторiв розвинено в [14 – 16] iз застосуванням до скiнченновимiрних та параболiчних
систем. У данiй роботi дослiджується глобальний атрактор iмпульсної ДС, що породжу-
ється еволюцiйним рiвнянням другого порядку,
∂2y
∂t2
+ 2β
∂y
∂t
+Ay = 0,
y(0) = y0 ∈ V, (1)
yt(0) = y1 ∈ H,
розв’язки якого
z(t) =
(
y(t)
yt(t)
)
у фазовому просторi E = V ×H зазнають iмпульсних збурень вигляду
∆z|z∈M = Iz − z, (2)
c© О. В. Капустян, I. В. Романюк, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 361
362 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
де M ⊂ E — задана iмпульсна множина, I : M → M
′
— задане iмпульсне вiдображення,
M
′ ⊂ E — фiксована множина. Для лiнiй рiвня повної енергiї [17] M = {z | ‖z‖E = a}
доведено неiснування глобального атрактора у найпростiшому випадку Iz = (1 + µ)z.
Натомiсть для множини вигляду M = {z | lp(z) = a}, де lp(·) — деяка напiвнорма в E,
до того ж lp(z) → ‖z‖E , p → ∞, ∀z ∈ E для широких класiв iмпульсних вiдображень,
включаючи багатозначнi, доведено iснування глобального атрактора та дослiджено його
iнварiантнiсть.
Побудова iмпульсної ДС з багатозначним збуренням. Нехай E — банахiв простiр,
P (E) (β(E)) — сукупнiсть усiх непорожнiх (непорожнiх обмежених) пiдмножин E.
Означення 1 [8]. Вiдображення G : R+ × E → P (E) називається багатозначним на-
пiвпотоком (м-напiвпотоком), якщо:
1) ∀x ∈ E : G(0, x) = x;
2) ∀x ∈ E ∀t, s ≥ 0: G(t+ s, x) ⊂ G(t, G(s, x)).
Якщо в умовi 2 має мiсце рiвнiсть, то м-напiвпотiк G називається строгим.
Означення 2 [8]. М-напiвпотiк G називається дисипативним, якщо
∃B0 ∈ β(X) ∀B ∈ β(X) ∃T = T (B) > 0 ∀t ≥ T : G(t, B) ⊂ B0.
Оскiльки в iмпульсних задачах ω-гранична множина дисипативного напiвпотоку може
не бути iнварiантною [14, 15], будемо використовувати наступне означення глобального
атрактора.
Означення 3 [15]. Компактна множина Θ ⊂ E називається глобальним атрактором
м-напiвпотоку G, якщо:
1) Θ є рiвномiрно притягуючою, тобто
∀B ∈ β(X) : dist (G(t, B),Θ) → 0, t → ∞;
2) Θ є мiнiмальною в класi замкнених множин, що задовольняють умову 1.
Зауважимо, що якщо для м-напiвпотоку G iснує глобальний атрактор у класичному
сенсi [8], тобто iснує компактна множина Θ1 ⊂ E,що задовольняє умову 1 i Θ1 ⊂ G(t,Θ1)
∀t ≥ 0, то Θ = Θ1.
У класi дисипативних м-напiвпотокiв критерiєм iснування глобального атрактора в
сенсi означення 3 є виконання умови асимптотичної компактностi [15]
∀tn ↗ ∞ ∀B ∈ β(E) ∀ξn ∈ G(tn, B) послiдовнiсть {ξn} є передкомпактною в E.
Для еволюцiйних задач iз багатозначними iмпульсними збуреннями м-напiвпотiк G
породжується неперервною напiвгрупою V : R+ × E → E, траєкторiї якої при зустрiчi з
iмпульсною множиною M ⊂ E мають стрибок у множину M
′ ⊂ E, що задається ком-
пактнозначним iмпульсним вiдображенням I : M → P (M
′
). Для коректного визначення
вiдповiдного м-напiвпотоку будемо вважати виконаними такi умови [15]:
M ∩ I(M) = ∅, (3)
∀x ∈ M ∃τ = τ(x) ∀t ∈ (0, τ) : V (t, x) /∈ M. (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 363
Увiвши позначення
M+(x) =
(⋃
t>0
V (t, x)
)
∩M,
можна стверджувати, що за виконання умов (3), (4), якщо M+(x) 6= ∅, iснує момент часу
s := s(x) такий, що
V (t, x) /∈ M ∀t ∈ (0, s), V (s, x) ∈ M.
Тодi iмпульсна траєкторiя ϕ : R+ → E, що стартує з точки x ∈ E, будується таким
чином:
якщо M+(x) = ∅, то ϕ(t) = V (t, x) ∀t ≥ 0;
якщо M+(x) 6= ∅, то для s0 = s(x) > 0, x1 = V (s0, x) ∈ M i довiльного x+1 ∈ Ix1
визначаємо ϕ на [0, s0] за правилом
ϕ(t) =
V (t, x), t ∈ [0, s0),
x+1 , t = s0;
якщо M+
(
x+1
)
= ∅, то ϕ(t) = V
(
t− s0, x+1
)
∀t ≥ s0;
якщо M+
(
x+1
)
6= ∅, то для s1 = s(x+1 ) > 0, x2 = V (s1, x
+
1 ) ∈ M i довiльного x+2 ∈ Ix2
визначаємо ϕ на [s0, s0 + s1] за правилом
ϕ(t) =
V
(
t− s0, x+1
)
, t ∈ [s0, s0 + s1),
x+2 , t = s0 + s1.
Продовжуючи цей процес, отримуємо iмпульсну траєкторiю зi скiнченною або нескiн-
ченною кiлькiстю iмпульсних точок {x+n }n≥1 ⊂ E та вiдповiдних їм моментiв часу
{sn}n≥0 ⊂ (0,+∞).
Покладемо
t0 := 0, tn+1 :=
n∑
k=0
sk, n ≥ 0.
Якщо ϕ має нескiнченну кiлькiсть iмпульсiв, то для будь-яких n ≥ 0 i t ∈ [tn, tn+1] маємо
формулу
ϕ(t) =
V (t− tn, x+n ) , t ∈ [tn, tn+1),
x+n+1, t = tn+1.
Позначимо через Kx множину всiх iмпульсних траєкторiй, що стартують iз точки x.
Будемо також вважати виконаною таку умову:
∀x ∈ E кожна ϕ ∈ Kx визначена на [0,+∞), (5)
тобто для будь-якої iмпульсної траєкторiї або кiлькiсть iмпульсiв не бiльш як скiнченна,
або
∞∑
k=0
sk = ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
364 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
За виконання умов (3) – (5) коректно задано вiдображення G : R+ × E → P (E),
∀t ≥ 0 ∀x ∈ E : G(t, x) = {ϕ(t) | ϕ ∈ Kx}. (6)
Легко перевiрити [6], що формула (6) визначає строгий м-напiвпотiк, який будемо на-
зивати iмпульсною багатозначною ДС (iмпульсною БДС). Будемо казати, що iмпульсна
задача (1), (2) породжує iмпульсну БДС, якщо виконуються умови (3) – (5).
Iмпульсна БДС, породжена задачею (1), (2). Розглянемо триплет гiльбертових просто-
рiв V ⊂ H ⊂ V ∗ з компактним та щiльним вкладенням, ‖ ·‖ та (·, ·) — норма та скалярний
добуток в H, A : V → V ∗ — лiнiйний, неперервний, самоспряжений, коерцитивний опе-
ратор. Тому функцiя 〈Au, u〉
1
2 визначає норму в V, яку будемо позначати ‖u‖V .
Розглядається еволюцiйна задача (β > 0):
∂2y
∂t2
+ 2β
∂y
∂t
+Ay = 0,
y|t=0 = y0 ∈ V, (7)
yt|t=0 = y1 ∈ H.
Задача (7) у фазовому просторiE = V ×H породжує неперервну напiвгрупу V : R+×E →
→ E, де
V (t, z0) = z(t) =
(
y(t)
yt(t)
)
для z0 =
(
y0
y1
)
∈ E.
Норма в E задається рiвнiстю
‖z‖E = ‖y‖V + ‖w‖ для z =
(
y
w
)
∈ E.
Iмпульсну ДС, породжену траєкторiями задачi (7), уперше було дослiджено в роботi
[17], де в якостi iмпульсної множини розглядалась множина рiвня повної енергiї
M = {z ∈ E | ‖z‖E = a}.
Покажемо, що вже для найпростiшого iмпульсного вiдображення Iz = (1+µ)z, µ > 0,
така iмпульсна ДС не має глобального атрактора. Аналогiчну ситуацiю в параболiчному
випадку було розглянуто в [15].
Для a > 0, µ > 0 розглядаємо iмпульснi параметри
M = {z ∈ E | ‖z‖E = a} , Iz = (1 + µ)z. (8)
Лема. Для будь-яких a > 0, µ > 0 задача (7), (8) породжує iмпульсну ДС, яка є диси-
пативною, проте не має глобального атрактора.
Доведення. Перевiримо умови (3) – (5). Умова (3) випливає з (8). Для доведення (4)
зауважимо, що для z(t) = V (t, z0) маємо рiвнiсть
‖z(t)‖2E = ‖z0‖2E − 4β
t∫
0
‖yt(s)‖2 ds ∀t ≥ 0, (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 365
яка гарантує, що для z0 6= 0 функцiя t → ‖z(t)‖E є строго спадною на [0,+∞).
Доведемо (5). Нехай z0 ∈ M
′
= {‖z‖E = a(1 + µ)} i для деякого t = t(z0) > 0 z(t) ∈
∈ M. Тодi згiдно з (9)
a2 = a2(1 + µ)2 − 4β
t∫
0
‖yt(s)‖2 ds.
Оскiльки ‖yt(t)‖2 ≤ ‖z(t)‖2E ≤ a2(1 + µ)2 ∀t ≥ 0, то
a2
[
(1 + µ)2 − 1
]
= 4β
t∫
0
‖yt(s)‖2 ds ≤ 4βta2(1 + µ)2.
Отже,
t ≥ (1 + µ)2 − 1
4β(1 + µ)2
=
1
4β
[
1− 1
(1 + µ)2
]
. (10)
З (10) випливає виконання умови (5), отже, задача (7), (8) породжує iмпульсну ДС.
Позначимо її через V̂ . Оскiльки згiдно з результатами [7] iснують c > 0, η > 0 такi,
що для z(t) = V (t, z0), z0 ∈ E, справджується оцiнка
‖z(t)‖E ≤ c‖z0‖Ee−ηt ∀t ≥ 0, (11)
то спiввiдношення (9) – (11) гарантують дисипативнiсть V̂ .
Крiм того, будь-яка траєкторiя ДС V̂ , яка потрапила на множинуM
′
, буде мати нескiн-
ченну кiлькiсть iмпульсних збурень, промiжки мiж якими оцiнюються правою части-
ною (10).
Тепер нехай {λi}, {ψi}— розв’язки спектральної задачi
Aψi = λiψi, i ≥ 1, (12)
до того ж {ψi} ⊂ V — ортонормований базис в H, 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . , λi → ∞, i → ∞.
Розглянемо послiдовнiсть
z
(n)
0 =
0
a(1 + µ)ψn
, n ≥ 1.
Тодi z(n)0 належить M
′
i iснує tn := t(z
(n)
0 ) таке, що V
(
tn, z
(n)
0
)
належить M. Далi z(n)1 =
= (1 + µ) V
(
tn, z
(n)
0
)
= V̂
(
tn, z
(n)
0
)
∈ M ′
i т. д. На n-му кроцi одержуємо
ξn := z(n)n = V̂
(
n · tn, z(n)0
)
∈ M ′
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
366 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
При цьому {z(n)0 } є обмеженою в E, згiдно з (10) n · tn ↗ ∞ i з урахуванням лiнiйностi (7)
ξn =
(
cn
dn
)
ψn.
Отже, якщо {ξn} має граничну точку в E, то це точка 0, але ‖ξn‖2E = a(1 + µ), тому
{ξn} не передкомпактна, а отже, iмпульсна ДС V̂ не має глобального атрактора.
Лему доведено.
Для фiксованого p ≥ 1 розглянемо функцiю lp : E → R,
lp(z) =
(
p∑
i=1
{
λi(y, ψi)
2 + (w,ψi)
2
}) 1
2
для z =
(
y
w
)
∈ E,
де {λi}, {ψi}— розв’язки задачi (12).
Згiдно з рiвнiстю Парсеваля
∀z ∈ E : lp(z) → ‖z‖E , p → ∞.
Розглянемо такi iмпульснi параметри для p ≥ 1, a > 0, µ > 0:
M = {z ∈ E| lp(z) = a} ,
M
′
= {z ∈ E| lp(z) = a(1 + µ)} ,
(13)
I : M → P (M
′
) компактнозначне, i для z =
∑∞
i=1
(
ci
di
)
ψi ∈ M
I(z)⊆ I0(z) =
p∑
i=1
(
c
′
i
d
′
i
)
ψi+
∞∑
i=p+1
(
ci
di
)
ψi
∣∣∣∣ p∑
i=1
{
λi
(
c
′
i
)2
+
(
d
′
i
)2}
= a2(1 + µ)2
. (14)
Наприклад, вiдображення I може збiльшувати в 1 + µ разiв першi p координат:
I
( ∞∑
i=1
(
ci
di
)
ψi
)
= (1 + µ)
p∑
i=1
(
ci
di
)
ψi +
∞∑
i=p+1
(
ci
di
)
ψi.
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема. Задача (7), (13), (14) породжує дисипативну iмпульсну БДС G, що має гло-
бальний атрактор Θ, причому якщо вiдображення I є напiвнеперервним зверху [8], то
Θ \M = G(τ,Θ \M) ∀τ ≥ 0. (15)
Доведення. Для будь-якого z0 =
(
y0
y1
)
∈ E
z(t) = V (t, z0) =
(
y(t)
yt(t)
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 367
i для будь-якого i ≥ 1 функцiї
ui(t) = (y(t), ψi), vi(t) = u
′
i(t) = (yt(t), ψi)
задовольняють задачу Кошi:
u
′′
i (t) + 2βu
′
i + λiui(t) = 0,
ui(0) = (y0, ψi), u
′
i(0) = (y1, ψi).
(16)
Крiм того, для будь-якого t ≥ 0 справджується рiвнiсть
λiu
2
i (t) + v2i (t) = λiu
2
i (0) + v2i (0)− 4β
t∫
0
v2i (s) ds. (17)
З (16), (17) виводимо, що для lp(z0) 6= 0 функцiя
t → l2p(z(t)) =
p∑
i=1
{
λiu
2
i (t) + v2i (t)
}
строго спадає на [0,+∞), зокрема виконується умова (4). З (16) також отримуємо
∃c > 0 ∃η > 0 ∀i ≥ 1 ∀t ≥ 0 :
λiu
2
i (t) + v2i (t) ≤ c2
(
λiu
2
i (0) + v2i (0)
)
e−2ηt. (18)
Нехай z0 належить IM. Згiдно з (17), (18) iснує t > 0 таке, що z(t) належить M. Отже,
a2 = a2(1 + µ)2 − 4β
t∫
0
p∑
i=1
v2i (s) ds. (19)
З (17) отримуємо
p∑
i=1
v2i (t) ≤ a2(1 + µ)2 ∀t ≥ 0. (20)
Тодi з (19), (20) маємо
t ≥ 1
4β
(
1− 1
(1 + µ)2
)
.
З (21) одержуємо (5), тобто задача (7), (13), (14) породжує iмпульсну БДС G за форму-
лою (6).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
368 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
Оскiльки iмпульсного збурення зазнають лише першi p координат фазового вектора
z, то з (17), (18) виводимо
∀z0 ∈ E ∀t ≥ 0 ∀z(·) ∈ Kz0 : ‖z(t)‖2E =
∞∑
i=1
(
λiu
2
i (t) + v2i (t)
)
≤ c2‖z0‖2Ee−2ηt + a2(1 + µ)2,
що й означає дисипативнiсть G.
Доведемо асимптотичну компактнiсть. Розглянемо ξn ∈ G(tn, z
0
n), де
∥∥z0n∥∥E ≤ r,
tn ↗ ∞. Тодi ξn = zn(tn), де zn(·) ∈ Kz0n
. Якщо для нескiнченно багатьох n ≥ 1 zn(·)
не зазнають iмпульсних збурень, то zn(tn) = V
(
tn, z
0
n
)
i згiдно з (11)
ξn → 0 в E.
З iншого боку, якщо τn > 0 — момент першого потрапляння V
(
·, z0n
)
на множину M, то
з (11) отримуємо
a2 ≤
∥∥V (τn, z0n)∥∥2E ≤ c2r2e−2ητn .
Звiдси
τn ≤
1
η
ln
cr
a
,
тобто за невiд’ємного часу, який залежить лише вiд r,фазова точка опиняється в множинi
IM.Отже, можемо вважати, що z0n ∈ IM,
∥∥z0n∥∥E ≤ r. Тодi для zn(t) =
∑∞
i=1
(
u
(n)
i (t)
v
(n)
i (t)
)
ψi
∀i ≥ p+ 1 згiдно з (18)
λi
(
u
(n)
i (tn)2
)
+
(
v
(n)
i (tn)
)2
≤ c2
(
λiu
2
i (0)2 + v2i (0)
)
e−2ηtn .
З iншого боку, згiдно з (17)
p∑
i=1
(
λi
(
u
(n)
i (tn)
)2
+
(
v
(n)
i (tn)
)2)
∈
[
a2, a2(1 + µ)2
]
.
Тодi по пiдпослiдовностi u(n)i (tn) → ci, v
(n)
i (tn) → di ∀i ∈ 1, p,Отже, для ξ =
∑p
i=1
(
ci
di
)
ψi
‖ξn − ξ‖2E ≤
p∑
i=1
{
λi
(
u
(n)
i (tn)− ci
)2
+
(
v
(n)
i (tn)− di
)2}
+ c2e−2ηtnr2 → 0, n → ∞. (21)
З (21) одержуємо передкомпактнiсть ξn.
Таким чином, iмпульсна БДС G має глобальний атрактор Θ, причому з [8]
Θ =
{
ξ | ξ = lim
n→∞
ξn, ξn ∈ G(tn, B), B ∈ β(E), tn ↗ ∞
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 369
Тодi, враховуючи (11), (21), маємо
Θ =
{
p∑
i=1
(
ci
di
)
ψi
∣∣∣∣ p∑
i=1
{
λic
2
i + d2i
}
∈
[
a2, a2(1 + µ)2
]}
∪ {0}.
Доведемо рiвнiсть (15) за умови напiвнеперервностi зверху вiдображення I. Оскiльки
Iz ∀z ∈ M — компакт, то напiвнеперервнiсть зверху вiдображення I еквiвалентна такiй
властивостi [8]:
якщо zn ∈ M, zn → z, то
∀z+n ∈ Izn ∃z+ ∈ Iz таке, що по пiдпослiдовностi z+n → z+. (22)
В однозначному випадку (22) зводиться до неперервностi I : M → M
′
. Серед багатознач-
них вiдображень властивiсть (22) задовольняє I0, означене в (14).
Нехай ξ ∈ Θ \M, τ ∈
(
0,
1
8β
(
1− 1
(1 + µ)2
))
. Якщо ξ = 0, то 0 = G(t, 0) ∀t ≥ 0. З
iншого боку,
ξ =
p∑
i=1
(
ci
di
)
ψi, де
p∑
i=1
{
λic
2
i + d2i
}
∈
(
a2, a2(1 + µ)2
]
.
Згiдно з попереднiми мiркуваннями можемо вважати, що ξ = lim ξn, де ξn = ϕn(tn),
tn ↗ ∞, ϕn ∈ Kz0n
,
∥∥z0n∥∥E ≤ r, i, крiм того,
∀n ≥ 1 ∀t ≥ 0: l2p(ϕn(t)) ∈
(
a2, a2(1 + µ)2
]
.
Для досить великих n ≥ 1 розглянемо
ψn(p) = ϕn(p+ tn − τ), p ≥ 0.
Внаслiдок асимптотичної компактностi по пiдпослiдовностi
ηn := ϕn(tn − τ) → η ∈ Θ.
Таким чином, ψn ∈ Kηn , ηn /∈ M, ηn → η, ξn = ψn(τ).
Нехай η /∈ M. Тодi iснує δ ∈ (0, µ) таке, що для ηn =
∑p
i=1
(
c
(n)
i
d
(n)
i
)
ψi
l2p(ηn) ∈
[
a2(1 + δ)2, a2(1 + µ)2
]
∀n ≥ 1.
Нехай sn > 0 — момент першого iмпульсного збурення для ψn. Тодi з (17), (18) по
пiдпослiдовностi sn → s ≥ 1
4β
(1 + δ)2 − 1
(1 + µ)2
> 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
370 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
Якщо τ < s, то τ < sn, отже,
ψn(τ) = ξn = V (τ, ηn) → V (τ, η) = ξ = G(τ, η) ∈ G(τ,Θ \M).
Якщо τ > s, то τ > sn, отже,
V (sn, ηn) = zn → V (s, η) = z,
i для ψn(sn) = z+n ∈ I(zn) згiдно з (22)
z+n → Z+ ∈ I(z).
Тодi
ψn(τ) = V
(
τ − sn, z+n
)
→ V
(
τ − s, z+
)
∈ G(τ, η) ⊂ G(τ,Θ \M).
Якщо τ = s < sn, то
ξn = ψn(τ) = V (τ, ηn) → V (τ, η) = V (s, η) = ξ,
але ξ ∈ Θ \M, а V (s, η) ∈ M, отже ця ситуацiя є неможливою.
Якщо τ = s > sn, то
ψn(τ) = V (τ − sn, z+n ) → z+ ∈ G(τ, η) ⊂ G(τ,Θ \M).
Таким чином, якщо η /∈ M, то ξ ∈ G(τ, η) ⊂ G(τ,Θ \M).
Розглянемо випадок, коли η ∈ M. Оскiльки l2p(ηn) ∈
(
a2, a2(1 + µ)2
]
i lp(ηn) → a, то
для sn — моменту першого iмпульсного збурення траєкторiї ψn — з (17) маємо sn → 0.
Тодi zn = V (sn, ηn) → η, ψn(sn) = z+n ∈ I(zn), z+n → z+ ∈ Iη. Крiм того, оскiльки
z+n = ψn(sn) = ϕn(sn + tn − τ), то z+ ∈ Θ \M. Далi, згiдно з вибором τ, ξn = ψn(τ) =
= V (τ − sn, z+n ) → ξ = V (τ, z+) ⊂ G(τ,Θ \M).
Таким чином, одержуємо
Θ \M ⊂ G(τ,Θ \M) ∀τ ∈
(
0,
1
8β
(
1− 1
(1 + µ)2
))
.
Тодi, оскiльки G є строгим,
Θ \M ⊂ G(k · τ,Θ \M) ∀k ≥ 1.
Отже,
Θ \M ⊂ G(t,Θ \M) ∀t ≥ 0. (23)
З iншого боку, оскiльки Θ — глобальний атрактор, то
∀ε > 0 ∃T = T (Θ) ∀t ≥ T : G(t,Θ \M) ⊂ Oε(Θ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
ГЛОБАЛЬНИЙ АТРАКТОР IМПУЛЬСНОЇ ДИНАМIЧНОЇ СИСТЕМИ . . . 371
Тодi з (23) отримуємо
∀s ≥ 0 ∀t ≥ T (Θ): G(s,Θ \M) ⊂ G(t+ s,Θ \M) ⊂ Oε(Θ),
а це внаслiдок довiльностi ε > 0 i компактностi Θ означає, що
G(s,Θ \M) ⊂ Θ ∀s ≥ 0.
Оскiльки за побудовою iмпульсної БДС
∀s > 0 ∀x ∈ E : G(s, x) /∈ M,
то остаточно одержуємо
G(s,Θ \M) ⊂ Θ \M ∀s ≥ 0. (24)
Iз (23) i (24) одержуємо рiвнiсть (15).
Теорему доведено.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Перестюк H. A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 287 с.
2. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equitations. — Singapore: World Sci., 1995. —
462 p.
3. Kaul S. K. Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems // J. Appl. Math. and
Stochast. Anal. — 1994. — 7, № 4. — P. 509 – 523.
4. Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems // Inform. and Control. — 1996. — 9. —
P. 298 – 322.
5. Ciesielski K. On stability in impulsive dynamical systems // Bull. Pol. Acad. Sci. Math. — 2004. — 52. —
P. 81 – 91.
6. Bonotto E. M. Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems // J. Math. Anal. and Appl. —
2007. — 332. — P. 81 – 96.
7. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. — New York: Springer, 1988. —
500 p.
8. Melnik V. S., Valero J. On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions // Set-Valued
Analysis. — 1998. — № 6. — P. 83 – 111.
9. Melnik V. S., Kapustyan O. V. On global attractors of multivalued semidynamic systems and their approxi-
mations // Dokl. Akad. Nauk. — 1998. — 366, № 2. — P. 445 – 448.
10. Kapustyan O. V., Shkundin D. V. Global attractor of one nonlinear parabolic equation // Ukr. Math. J. —
2003. — 55, № 4. — P. 446 – 455.
11. Kapustyan O. V., Kasyanov P. O., Valero J. Structure and regularity of the global attractor of a reaction-
diffusion equation with non-smooth nonlinear term // Discrete and Contin. Dyn. Syst. — 2014. — 34. —
P. 4155 – 4182.
12. Капустян О. В., Перестюк М. О. Глобальний атрактор еволюцiйного включення з iмпульсним впли-
вом у фiксованi моменти часу // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 8. — С. 1283 – 1294.
13. Kapustyan O. V., Valero J., Iovane G. Asymptotic behavior of reaction-diffusion equations with non-damped
impulsive effects // Nonlinear Anal. — 2008. — 68. — P. 2516 – 2530.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
372 О. В. КАПУСТЯН, I. В. РОМАНЮК
14. Bonotto E. M., Demuner D. P. Attractors of impulsive dissipative semidynamical systems // Bull. Sci. Math. —
2013. — 137. — P. 617 – 642.
15. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems // Ukr. Math.
J. — 2016. — 68, № 4. — P. 517 – 528.
16. Романюк I. Глобальний атрактор для однiєї многозначної iмпульсної динамiчної системи // Вiсн. Київ.
нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Математика. Механiка. — 2016. — 35. — С. 14 – 19.
17. Myshkis A. D. Vibrations of the string with energy dissipation and impulsive feedback support // Nonlinear
Anal.: Theory, Methods and Appl. — 1996. — 26, № 7. – P. 1271 – 1278.
Одержано 22.02.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
|