Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной
Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною. We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with generalized derivative....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177313 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859725275075444736 |
|---|---|
| author | Скрипник, Н.В. |
| author_facet | Скрипник, Н.В. |
| citation_txt | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною.
We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with generalized derivative.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:10:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ
ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65082, Украина
e-mail: talie@ukr.net
We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with
generalized derivative.
Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних дифе-
ренцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною.
1. Введение. При развитии теории многозначных отображений возник вопрос о том, что
понимать под производной от многозначного отображения. Основной причиной, по ко-
торой возникают трудности при введении данного понятия, является нелинейность прост-
ранства comp (Rn) , что влечет за собой отсутствие операции вычитания.
В работе [1] M. Hukuhara ввел интеграл и производную для многозначных отображе-
ний и рассмотрел как они связаны между собой. Затем T. F. Bridgland [2] ввел Huygens-
производную, Ю. Н. Тюрин [3] и H. T. Banks, M. Q. Jacobs [4] — π-производную, которая
использует теорему вложения Радстрема [5], А. В. Плотников [6, 7] — T -производную,
А. Н. Витюк [8] — дробную производную для многозначных отображений, B. Bede,
S. G. Gal [16] — обобщенную производную для интервальных отображений, а
А. В. Плотников и Н. В. Скрипник [10] — обобщенную производную для многозначных
отображений. В дальнейшем свойства этих производных рассматривались в работах [7,
11 – 18].
В 1969 г. F. S. de Blasi и F. Iervolino рассмотрели дифференциальные уравнения с произ-
водной Хукухары [11]. В дальнейшем многие авторы изучали свойства решений таких
уравнений [7, 15, 18 – 23], интегро-дифференциальные уравнения [24, 25], уравнения выс-
ших порядков [26], импульсные [15, 18] и управляемые [27, 28, 57] уравнения с производ-
ной Хукухары, а также дифференциальные включения с производной Хукухары [7, 30].
Впоследствии рассматривались также дифференциальные уравнения с π-производной
[12, 18, 31] и T -производной [6, 7], интервальные уравнения с обобщенной производной
[16, 17] и многозначные уравнения с обобщенной производной [10, 32].
Рассмотрим многозначное дифференциальное уравнение с обобщенной производной
DX
h
Φ(−φ(t))F1(t,X) = Φ(φ(t))F2(t,X), X(t0) = X0, (1)
где t ∈ [t0, T ], X0 ∈ conv (Rn) , X : [t0, T ] → conv (Rn) , F1, F2 : [t0, T ] × conv (Rn) →
→ conv (Rn) — многозначные отображения, φ : [t0, T ] → R1 — непрерывная функция,
Φ(φ) =
{
1, φ > 0,
0, φ ≤ 0.
c© Н. В. Скрипник, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3 391
392 Н. В. СКРИПНИК
Определение 1 [10, 32]. Многозначное отображениеX : [t0, T ] → conv (Rn) называет-
ся решением дифференциального уравнения (1), если оно непрерывно и на любом отрез-
ке [τi, τi+1] ⊂ [t0, T ], где функция φ(·) на интервале (ti, ti+1) имеет постоянный знак,
удовлетворяет интегральному уравнению
X(t) +
t∫
τi
Φ(−φ(s))F1(s,X(s))ds = X(τi) +
t∫
τi
Φ(φ(s))F2(s,X(s))ds. (2)
Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) > 0, то X(·) удовлетворяет интегральному
уравнению
X(t) = X(τi) +
t∫
τi
F2(s,X(s))ds
для t ∈ [τi, τi+1] и diam (X(t)) является возрастающей функцией.
Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) < 0, то X(·) удовлетворяет интегральному
уравнению
X(τi) = X(t) +
t∫
τi
F1(s,X(s))ds,
т. е.
X(t) = X(τi)
h
t∫
τi
F1(s,X(s))ds
для t ∈ [τi, τi+1] и diam (X(t)) является убывающей функцией.
Если на отрезке [τi, τi+1] функция φ(t) = 0, то X(t) = X(τi) для t ∈ [τi, τi+1] и
diam (X(t)) является постоянной функцией.
Таким образом, имеет место другое эквивалентное определение решение уравне-
ния (1).
Определение 2 [10, 32]. Многозначное отображениеX : [t0, T ] → conv (Rn) называет-
ся решением дифференциального уравнения (1), если оно абсолютно непрерывно, удов-
летворяет уравнению (1) почти всюду на [t0, T ] и diamX(t) возрастает, если φ(t) > 0,
постоянный, если φ(t) = 0, и убывает, если φ(t) < 0.
В [37] рассмотрены вопросы существования решения уравнения (1) в общем случае, а
также в двух частных случаях: conv
(
R1
)
и CC (Rn) , n ≥ 2.
Методы усреднения в сочетании с асимптотическими представлениями (в смысле Пу-
анкаре) применяются как основной конструктивный инструмент при решении сложных
проблем аналитической динамики, описываемых дифференциальными уравнениями. Это
стало возможным благодаря работам Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова [38], Ю. А. Мит-
ропольского [39 – 41], А. М. Самойленко [18, 42], В. М. Волосова [43], Е. А. Гребенникова
[44], М. А. Красносельского, С. Г. Крейна [45], А. Н. Филатова [46, 47] и др. Возможность
применения метода усреднения к задачам оптимального управления рассмотрена в ра-
ботах Н. Н. Моисеева [48, 49], Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [50],
В. А. Плотникова [51, 52] и др.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 393
Впоследствии в роботах [7, 15, 18, 51 – 67] идея метода усреднения была распростра-
нена на дифференциальные уравнения с многозначной и разрывной правой частью, ква-
зидифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения и включения с произ-
водной Хукухары.
В данной статье мы рассмотрим возможность применения ступенчатой схемы усред-
нения к многозначным дифференциальным уравнениям с обобщенной производной.
2. Основные результаты. Рассмотрим многозначное дифференциальное уравнение с
обобщенной производной и малым параметром
DX
h
Φ(−φ(t))εF1(t,X) = Φ(φ(t))εF2(t,X), X(0) = X0, (3)
где t ∈ R+, ε > 0− малый параметр, X0 ∈ conv (Rn) , X : R+ → conv (Rn) , F1, F2 : R+ ×
× conv (Rn) → conv (Rn) — многозначные отображения, φ : R+ → R1 — непрерывная
функция, Φ(φ) =
{
1, φ > 0,
0, φ ≤ 0.
Обозначим через sj , j = 1, 2, . . . , нули функции φ(·), в левой или/и правой окрестнос-
ти которых данная функция не равна тождественно 0. Будем считать, что точки sj зану-
мерованы в возрастающем порядке, т. е. sj+1 > sj , j = 1, 2, . . . .
Также будем предполагать, что единственной точкой сгущения (если такова имеется)
точек sj , j = 1, 2, . . . , является +∞.Тогда существует положительная постоянная σ такая,
что sj+1 − sj ≥ σ, j = 1, 2, . . . .
Разобьем полуось R+ с шагом ω > 0 точками ti = iω, i = 1,∞. Рассмотрим множест-
во точек Σ, состоящее из точек {sj} и {ti}, и занумеруем их в возрастающем порядке:
{τk}∞k=1. Тогда 0 < τk+1 − τk ≤ ω.
Введем в рассмотрение многозначные отображения
F̄m(t,X) =
1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
Fm(s,X) ds, t ∈ (τk, τk+1]
, m = 1, 2. (4)
Уравнению (3) поставим в соответствие частично усредненное уравнение
DY
h
Φ(−φ(t))εF̄1(t, Y ) = Φ(φ(t))εF̄2(t, Y ), Y (0) = X0. (5)
Имеет место следующая теорема, устанавливающая близость решений систем (3) и
(5) на асимптотически большом промежутке.
Теорема 1. Пусть в области Q = {(t,X) : t ∈ R+, X ∈ D ⊂ conv (Rn)} выполнены
следующие условия:
1) многозначные отображения F1(t,X), F2(t,X) непрерывны, ограничены постоян-
ной M и удовлетворяют условию Липшица по X с постоянной λ;
2) решение Y (·) уравнения (5) с начальным условием Y (0) = X0 ∈ D′ ⊂ D определено
при t ∈ R+ для всех ε > 0 и лежит с некоторой ρ-окрестностью в области D.
Тогда для любого L > 0 найдутся такие ε0(L) > 0 и C(L) > 0, что для любого
ε ∈ (0, ε0] для всех t ∈ [0, Lε−1] справедлива оценка h(X(t), Y (t)) ≤ Cε, где X(·) и Y (·)
—решения систем (3) и (5) с начальным условием X(0) = Y (0) ∈ D′.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
394 Н. В. СКРИПНИК
Доказательство. Вначале покажем, что многозначные отображения F̄m(t,X), m =
= 1, 2, ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица с постоянной λ.
При t ∈ (τk, τk+1] имеем
|F̄m(t,X)| =
∣∣∣∣∣∣ 1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
Fm(s,X)ds
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
|Fm(s,X)|ds ≤
≤ 1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
M ds = M,
h(F̄m(t,X), F̄m(t, Y )) = h
1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
Fm(s,X)ds,
1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
Fm(s, Y )ds
≤
≤ 1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
h(Fm(s,X), Fm(s, Y ))ds ≤
≤ 1
τk+1 − τk
τk+1∫
τk
λh(X,Y ) ds ≤ λh(X,Y ).
Обозначим δk = h(X(τk), Y (τk)).Пусть t ∈ (τk, τk+1].Тогда функция φ(·) на промежут-
ке (τk, τk+1) либо отрицательна, либо положительна, либо тождественно равна 0.
1. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) отрицательна, тогда
X(t) = X(τk)
h
ε
t∫
τk
F1(s,X(s))ds,
Y (t) = Y (τk)
h
ε
t∫
τk
F̄1(s, Y (s))ds.
Имеем
δk+1 = h(X(τk+1), Y (τk+1)) =
= h
X(τk)
h
ε
τk+1∫
τk
F1(s,X(s)) ds, Y (τk)
h
ε
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (s)) ds
≤
≤ δk + εh
τk+1∫
τk
F1(s,X(s)) ds,
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (s))ds
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 395
≤ δk + εh
τk+1∫
τk
F1(s,X(s)) ds,
τk+1∫
τk
F1(s, Y (s)) ds
+
+ εh
τk+1∫
τk
F1(s, Y (s)) ds,
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (s)) ds
.
Учитывая условие Липшица и ограниченность отображений Fm(·, ·), m = 1, 2, оцениваем
второе слагаемое:
εh
τk+1∫
τk
F1(s,X(s)) ds,
τk+1∫
τk
F1(s, Y (s)) ds
≤
≤ ε
τk+1∫
τk
h(F1(s,X(s)), F1(s, Y (s))) ds ≤ ελ
τk+1∫
τk
h(X(s), Y (s)) ds ≤
≤ ελ
τk+1∫
τk
[h(X(s), X(τk)) + h(X(τk), Y (τk)) + h(Y (τk), Y (s))] ds ≤
≤ ελ
τk+1∫
τk
[2εM(s− τk) + δk] ds ≤ ελ
[
Mω2ε+ δkω
]
.
Для третьего слагаемого c учетом (4) имеем
εh
τk+1∫
τk
F1(s, Y (s)) ds,
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (s)) ds
≤
≤ εh
τk+1∫
τk
F1(s, Y (s)) ds,
τk+1∫
τk
F1(s, Y (τk)) ds
+
+ εh
τk+1∫
τk
F1(s, Y (τk)) ds,
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (τk))ds
+
+ εh
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (τk)) ds,
τk+1∫
τk
F̄1(s, Y (s))ds
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
396 Н. В. СКРИПНИК
≤ ε
τk+1∫
τk
h(F1(s, Y (s)), F1(s, Y (τk)))ds+ ε
τk+1∫
τk
h(F̄1(s, Y (s)), F̄1(s, Y (τk))) ds ≤
≤ 2ελ
τk+1∫
τk
h(Y (s), Y (τk)) ds ≤ 2ελ
τk+1∫
τk
εM(s− τk) ds ≤ Mε2λω2.
Тогда
δk+1 ≤ δk + ελ
[
Mω2ε+ δkω
]
+Mε2λω2 = (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2.
2. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) положительна, тогда
X(t) = X(τk) + ε
t∫
τk
F2(s,X(s)) ds,
Y (t) = Y (τk) + ε
t∫
τk
F̄2(s, Y (s)) ds.
Имеем
δk+1 = h(X(τk+1), Y (τk+1)) =
= h
X(τk) + ε
τk+1∫
τk
F2(s,X(s)) ds, Y (τk) + ε
τk+1∫
τk
F̄2(s, Y (s))ds
≤
≤ δk + εh
τk+1∫
τk
F2(s,X(s)) ds,
τk+1∫
τk
F̄2(s, Y (s)) ds
≤
≤ δk + εh
τk+1∫
τk
F2(s,X(s)) ds,
τk+1∫
τk
F2(s, Y (s)) ds
+
+ εh
τk+1∫
τk
F2(s, Y (s)) ds,
τk+1∫
τk
F̄2(s, Y (s)) ds
.
Проводя рассуждения, аналогичные случаю 1, получаем
δk+1 ≤ (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2.
3. Пусть φ(·) на промежутке (τk, τk+1) тождественно равна 0. Тогда δk+1 = δk.
В любом из трех рассмотренных случаев имеем
δk+1 ≤ (1 + ελω)δk + 2Mε2λω2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 397
Тогда, учитывая, что количество точек k + 1 не превышает сумму числа точек после-
довательности {ti} и числа точек {sj} на промежутке [0, Lε−1], т. е. величину
L
εω
+
L
εσ
,
получаем
δk+1 ≤ (1 + ελω)k+1δ0 +
[
(1 + ελω)k + . . .+ 1
]
2Mε2λω2 =
=
(1 + ελω)k+1 − 1
ελω
2Mε2λω2 =
=
(
(1 + ελω)k+1 − 1
)
2Mεω ≤ 2Mωe(k+1)ελωε ≤
≤ 2Mω
(
eλL(1+ω
σ ) − 1
)
ε.
Окончательно имеем
h(X(t), Y (t)) ≤ h(X(t), X(τk)) + h(X(τk), Y (τk)) + h(Y (τk), Y (t)) ≤
≤ 2Mω
(
eλL(1+ω
σ ) − 1
)
ε+ 2Mωε = 2MωeλL(1+ω
σ )ε = Cε.
Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение с обобщенной производной
DX
h
Φ(− sin(t))εS1+cos(t)(0) = Φ(sin(t))εS2 sin2(t)(0), X(0) = S1(0).
Частично усредненное уравнение с ω = π имеет вид
DY
h
Φ(− sin(t))εS1(0) = Φ(sin(t))εS1(0), Y (0) = S1(0).
Его решением является
Y (t) =
{
S1+εt(0), t ∈ [0, π),
S1+2επ−εt(0), t ∈ [π, 2π),
а далее продолжаем периодически.
В силу доказанной теоремы решение исходного уравненияX(t) отличается в метрике
Хаусдорфа от найденного не более чем на величину 2πε.
Литература
1. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc.
ekvacioj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
2. Bridgland T. F. Trajectory integrals of set valued functions // Pacif. J. Math. — 1970. — 33, № 1. — P. 43 – 68.
3. Тюрин Ю. Н. Математическая формулировка упрощенной модели производственного планирования
// Эконом. и мат. методы. — 1965. — 1, № 3. — С. 391 – 409.
4. Banks H. T., Jacobs M. Q. A differential calculus for multifunctions // J. Math. Anal. and Appl. — 1970. —
№ 29. — P. 246 – 272.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
398 Н. В. СКРИПНИК
5. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. — 1952. — № 3. —
P. 165 – 169.
6. Плотников А. В. Дифференцирование многозначных отображений. T -производная // Укр. мат.
журн. — 2000. — 52, № 8. — С. 1119 – 1126.
7. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999. — 354 с.
8. Витюк А. Н. Дробное дифференцирование многозначных отображений // Доп. НАН України. —
2003. — № 10. — С. 75 – 78.
9. Bede B., Stefanini L. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval dif-
ferential equations // Working Papers. — Univ. Urbino Carlo Bo, 2008.
10. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. Set-valued differential equations with generalized derivative // J. Adv. Res.
Pure Math. — 2011. — 3, № 1. — P. 144 – 160.
11. de Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione
mat. ital. — 1969. — 2, № 4 – 5. — P. 491 – 501.
12. Chalco-Cano Y., Romin-Flores H., Jiminez-Gamero M. D. Generalized derivative and π-derivative for set-
valued functions // Inf. Sci. — 2011. — 181, № 1. — P. 2177 – 2188.
13. Lasota A., Strauss A. Asymptotic behavior for differential equations which cannot be locally linearized // J.
Different. Equat. — 1971. — № 10. — P. 152 – 172.
14. Martelli M., Vignoli A. On differentiability of multi-valued maps // Boll. Unione mat. ital. — 1974. — 4,
№ 10. — P. 701 – 712.
15. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 2009. — 192 с.
16. Bede B., Gal S. G. Generalizations of the differentiability of fuzzy-number-valued functions with applications
to fuzzy differential equations // Fuzzy Sets Syst. — 2005. — № 151. — P. 581 – 599.
17. Stefanini L., Bede B. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval di-
fferential equations // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. Ser. A. — 2009. — 71, № 3 – 4. — P. 1311 –
1328.
18. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциаль-
ные уравнения с многозначной и разрывной правой частью. — Киев: Ин-т математики НАН Украи-
ны, 2007. — 428 с.
19. de Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Boll. Unione
mat. ital. — 1971. — 4, № 4. — P. 941 – 949.
20. Brandao Lopes Pinto A. J., de Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential
equations with compact convex valued solutions // Boll. Unione mat. ital. — 1970. — № 4. — P. 534 – 538.
21. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric
spaces. — Cambridge Sci. Publ., 2006.
22. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. — London:
Taylor & Francis, 2003.
23. Комлева Т. А., Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с многозначными
решениями // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 10. — С. 1326 – 1337.
24. Плотников А. В., Тумбрукаки А. В. Интегро-дифференциальные уравнения с многозначными тра-
екториями // Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 3. — С. 359 – 367.
25. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Averaging of set integrodifferential equations // Appl. Math. — 2011. — 1,
№ 2. — P. 99 – 105.
26. Piszczek M. On a multivalued second order differential problem with Hukuhara derivative // Opusc. Math. —
2008. — 28, № 2. — P. 151 – 161.
27. Арсирий А. В., Плотников А. В. Системы управления многозначными траекториями с многознач-
ным критерием качества // Укр. мат. журн. — 2009. — 61, № 8. — С. 1142 – 1147.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
СХЕМА СТУПЕНЧАТОГО УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ . . . 399
28. Plotnikov A. V., Arsirii A. V. Piecewise constant control set systems // Amer. J. Comput. and Appl. Math. —
2011. — 1, № 2. — P. 89 – 92.
29. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары //
Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 376 – 385.
30. de Blasi F. S., Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T. An existence theorem for set differential inclusions in
a semilinear metric space // Control Cybernet. — 2007. — 36, № 3. — P. 571 – 582.
31. Плотникова Н. В. Системы линейных дифференциальных уравнений с π-производной и линейные
дифференциальные включения // Мат. сб. — 2005. — 196, № 11. — С. 127 – 140.
32. Plotnikov A., Skripnik N. Existence and uniqueness theorems for generalized set differential equations //
Int. J. Control Sci. Eng. — 2012. — 2, № 1. — P. 1 – 6.
33. Плотникова Н. В. Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений // Не-
лiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 386 – 400.
34. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Нау-
ка, 1986. — 296 с.
35. Filippov A. F. Differential equations with discontinuous righthand sides. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.
Group, 1988.
36. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физмат-
лит, 2004. — 416 с.
37. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Многозначные дифференциальные уравнения с обобщенной про-
изводной // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 10. — С. 1350 – 1362.
38. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
363 с.
39. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. — М.: Наука, 1974. — 503 с.
40. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наук. думка, 1971. — 440 с.
41. Митропольский Ю. А., Хома Г. Л. Математическое обоснование асимптотических методов нелиней-
ной механики. — Киев: Наук. думка, 1983. — 216 с.
42. Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками // Мат. физика. — 1971. — Вып. 9. —
С. 101 – 117.
43. Волосов В. Н. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат.
наук. — 1962. — № 6. — С. 3 – 126.
44. Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М.: Наука, 1986. — 256 с.
45. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат.
наук. — 1955. — 10, № 3(65). — С. 147 – 152.
46. Филатов А. Н. Усреднение в системах дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне-
ний. — Ташкент: Фан, 1971. — 280 с.
47. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных
уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.
48. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. — 528 с.
49. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981. — 400 с.
50. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. — М.: Наука, 1980. —
384 с.
51. Плотников В. А. Асимптотические методы в задачах оптимального управления. — Одесса: Одес.
гос. ун-т, 1976. — 103 с.
52. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 187 с.
53. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат.
журн. — 1989. — 41, № 1. — С. 121 – 125.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
400 Н. В. СКРИПНИК
54. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Обзор результатов // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механi-
ка. — 2010. — 15, вип. 18. — С. 71 – 87.
55. Плотников В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам
оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1979. — № 8. — С. 1427 – 1433.
56. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений // Укр. мат. журн. — 1979. — 31, № 5. —
С. 573 – 576.
57. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары //
Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 3. — С. 376 – 385.
58. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение уравнений с производной Хукухары, многозначным
управлением и запаздыванием // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика i механiка. — 2007. — 12, вип. 7. —
С. 130 – 139.
59. Скрипник Н. В. Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары //
Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 3. — С. 416 – 432.
60. Скрипник Н. В. Теорема Красносельского – Крейна для дифференциальных уравнений и включений
с многозначными решениями // Вiсн. Харкiв. нац. ун-ту. Математика, прикл. математика i механiка. —
2008. — № 826. — С. 87 – 99.
61. Скрипник Н. В. Усереднення iмпульсних диференцiальних рiвнянь з похiдною Хукухари // Вiсн. Чер-
нiв. нац. ун-ту iм. Ю. Федьковича. — 2008. — Вип. 374. — С. 109 – 115.
62. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend.
Math. — 1976. — 9, № 3. — P. 397 – 408.
63. Klimchuk S., Plotnikov A., Skripnik N. Overview of V. A. Plotnikov’s research on averaging of differential
inclusions // Physica D. — 2012. — 241, № 22. — P. 1932 – 1947.
64. Perestyuk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effects:
multivalued right-hand sides with discontinuities // De Gruyter Stud. Math. — Berlin; Boston: Walter De
Gruyter GmbHCo., 2011. — 307 p.
65. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. Generalized set differential equations // Совр. пробл. математики и ее при-
ложения в естественных науках и информ. технологиях: Сб. тез. докл. междунар. конф. — Харьков:
Апостроф, 2012. — C. 14.
66. Plotnikov V. A., Kichmarenko O. D. Averaging of differential equations with maxima // Vestn. Chernov.
Univ. — 2002. — 150. — P. 78 – 82.
67. Plotnikov V. A., Rashkov P. I. Averaging in differential equations with Hukuhara derivative and delay //
Funct. Different. Equat. — 2001. — № 8. — P. 371 – 381.
Получено 10.11.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177313 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:10:33Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скрипник, Н.В. 2021-02-14T10:54:49Z 2021-02-14T10:54:49Z 2017 Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 3. — С. 391-400 — Бібліогр.: 67 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177313 517.9 Обґрунтовано можливiсть застосування схiдчастої схеми усереднення до багатозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною. We substantiate applicability of the three-step averaging scheme to multivalued differential equations with generalized derivative. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной Схема ступінчастого усереднення для многозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною A three-step averaging scheme for multivalued differential equations with generalized derivative Article published earlier |
| spellingShingle | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной Скрипник, Н.В. |
| title | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| title_alt | Схема ступінчастого усереднення для многозначних диференцiальних рiвнянь з узагальненою похiдною A three-step averaging scheme for multivalued differential equations with generalized derivative |
| title_full | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| title_fullStr | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| title_full_unstemmed | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| title_short | Схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| title_sort | схема ступенчатого усреднения для многозначных дифференциальных уравнений с обобщенной производной |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177313 |
| work_keys_str_mv | AT skripniknv shemastupenčatogousredneniâdlâmnogoznačnyhdifferencialʹnyhuravneniisobobŝennoiproizvodnoi AT skripniknv shemastupínčastogouserednennâdlâmnogoznačnihdiferencialʹnihrivnânʹzuzagalʹnenoûpohidnoû AT skripniknv athreestepaveragingschemeformultivalueddifferentialequationswithgeneralizedderivative |