Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем
Доказана экспоненциальная устойчивость тривиального тора для класса нелинейных расширений динамической системы на торе. Полученные результаты применены к исследованию устойчивости тороидальных множеств одного класса импульсных динамических систем. We prove exponential stability of the trivial torus...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177318 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем / О.В. Капустян, Ф.А. Асроров, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 502-508 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177318 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Капустян, О.В. Асроров, Ф.А. Перестюк, Ю.М. 2021-02-14T11:00:49Z 2021-02-14T11:00:49Z 2017 Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем / О.В. Капустян, Ф.А. Асроров, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 502-508 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177318 517.9 Доказана экспоненциальная устойчивость тривиального тора для класса нелинейных расширений динамической системы на торе. Полученные результаты применены к исследованию устойчивости тороидальных множеств одного класса импульсных динамических систем. We prove exponential stability of the trivial torus for a certain class of nonlinear extensions of dynamical systems on a torus. The obtained results can be applied to a study of stability of toroidal sets for a certain class of impulsive dynamical systems. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем Об эксоненциальной устойчивости тривиального тора одного класса нелинейных импульсных систем On exponential stability of the trivial torus for a certain class of nonlinear impulsive systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| spellingShingle |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем Капустян, О.В. Асроров, Ф.А. Перестюк, Ю.М. |
| title_short |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| title_full |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| title_fullStr |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| title_full_unstemmed |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| title_sort |
про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем |
| author |
Капустян, О.В. Асроров, Ф.А. Перестюк, Ю.М. |
| author_facet |
Капустян, О.В. Асроров, Ф.А. Перестюк, Ю.М. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Об эксоненциальной устойчивости тривиального тора одного класса нелинейных импульсных систем On exponential stability of the trivial torus for a certain class of nonlinear impulsive systems |
| description |
Доказана экспоненциальная устойчивость тривиального тора для класса нелинейных расширений динамической системы на торе. Полученные результаты применены к исследованию устойчивости тороидальных множеств одного класса импульсных динамических систем.
We prove exponential stability of the trivial torus for a certain class of nonlinear extensions of dynamical systems on a torus. The obtained results can be applied to a study of stability of toroidal sets for a certain class of impulsive dynamical systems.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177318 |
| citation_txt |
Про експоненцiйну стiйкiсть тривiального тору одного класу нелiнiйних iмпульсних систем / О.В. Капустян, Ф.А. Асроров, Ю.М. Перестюк // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 502-508 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânov proeksponenciinustiikistʹtrivialʹnogotoruodnogoklasuneliniinihimpulʹsnihsistem AT asrorovfa proeksponenciinustiikistʹtrivialʹnogotoruodnogoklasuneliniinihimpulʹsnihsistem AT perestûkûm proeksponenciinustiikistʹtrivialʹnogotoruodnogoklasuneliniinihimpulʹsnihsistem AT kapustânov obéksonencialʹnoiustoičivostitrivialʹnogotoraodnogoklassanelineinyhimpulʹsnyhsistem AT asrorovfa obéksonencialʹnoiustoičivostitrivialʹnogotoraodnogoklassanelineinyhimpulʹsnyhsistem AT perestûkûm obéksonencialʹnoiustoičivostitrivialʹnogotoraodnogoklassanelineinyhimpulʹsnyhsistem AT kapustânov onexponentialstabilityofthetrivialtorusforacertainclassofnonlinearimpulsivesystems AT asrorovfa onexponentialstabilityofthetrivialtorusforacertainclassofnonlinearimpulsivesystems AT perestûkûm onexponentialstabilityofthetrivialtorusforacertainclassofnonlinearimpulsivesystems |
| first_indexed |
2025-11-25T19:33:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T19:33:30Z |
| _version_ |
1850522005479096320 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ТРИВIАЛЬНОГО ТОРА
ОДНОГО КЛАСУ НЕЛIНIЙНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
О. В. Капустян, Ф. А. Асроров, Ю. М. Перестюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01033, Україна
e-mail: alexkap@univ.kiev.ua
farhod@univ.kiev.ua
perestyuk@gmail.com
We prove exponential stability of the trivial torus for a certain class of nonlinear extensions of dynamical
systems on a torus. The obtained results can be applied to a study of stability of toroidal sets for a certain
class of impulsive dynamical systems.
Доказана экспоненциальная устойчивость тривиального тора для класса нелинейных расши-
рений динамической системы на торе. Полученные результаты применены к исследованию
устойчивости тороидальных множеств одного класса импульсных динамических систем.
Вступ. Одним iз важливих питань якiсної теорiї багаточастотних коливань є питання стiй-
костi iнварiантних множин динамiчних систем, визначених у прямому добутку m-вимiр-
ного тора та n-вимiрного евклiдового простору. Ключовi результати в цьому напрямку
одержано в роботах А. М. Самойленка (див., наприклад, [1]). У данiй роботi встановлено
новi умови експоненцiальної стiйкостi тривiального тора нелiнiйних розширень динамiч-
ної системи на торi, якi формулюються в термiнах властивостей правих частин системи не
на всьому торi, а лише на множинi неблукаючих точок [7]. Одержанi результати застосо-
вано до дослiдження стiйкостi тороїдальних множин одного класу iмпульсних динамiчних
систем. Вiдповiднi дослiдження для лiнiйних розширень динамiчних систем на торi було
проведено в роботах [3 – 5].
У прямому добутку m-вимiрного тора Tm та n-вимiрного евклiдового простору Rn
розглядається система диференцiальних рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ, x)x, (1)
де ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm)T ∈ Tm, x = (x1, . . . , xn)T ∈ Rn, функцiя P неперервна на Tm × Rn та
для кожного x ∈ Rn P (·, x), a(·) ∈ C(Tm), C(Tm) — простiр неперервних 2π-перiодичних
по кожнiй компонентi ϕv, v = 1, . . . ,m, функцiй, визначених на Tm.
Будемо вважати виконаними такi умови:
1) iснує M > 0 таке, що ‖P (ϕ, x)‖ ≤ M ∀ (ϕ, x) ∈ Tm × Rn;
2) для будь-якого r > 0 iснує L = L(r) > 0 таке, що ‖x′‖ ≤ r, ‖x′′‖ ≤ r ∀x′
, x
′′
∀ϕ ∈ Tm;
3)
∥∥∥P (ϕ, x′′
)
− P
(
ϕ, x
′
)∥∥∥ ≤ L
∥∥∥x′′ − x′
∥∥∥ ;
4) iснує A > 0 таке, що
∥∥∥a(ϕ′′
)
− a
(
ϕ
′
)∥∥∥ ≤ A
∥∥∥ϕ′′ − ϕ′
∥∥∥ ∀ϕ′
, ϕ
′′ ∈ Tm.
c© О. В. Капустян, Ф. А. Асроров, Ю. М. Перестюк, 2017
502 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ТРИВIАЛЬНОГО ТОРА . . . 503
Умова 4 гарантує, що система
dϕ
dt
= a(ϕ) (2)
породжує динамiчну систему на Tm, яку будемо позначати ϕt(ϕ).
Означення [7]. Точка ϕ ∈ Tm називається блукаючою точкою динамiчної системи
(2), якщо iснують окiл U(ϕ) i момент часу T = T (ϕ) > 0 такi, що
U(ϕ) ∩ ϕt(U(ϕ)) = ∅ ∀ t ≥ T.
Позначимо через Ω множину неблукаючих точок динамiчної системи (2). Оскiльки
Tm — компакт, то Ω — непорожня, iнварiантна, компактна пiдмножина Tm. Крiм того,
справедливим є таке твердження.
Лема 1 [7]. Для довiльного ε > 0 iснують T (ε) > 0, N(ε) > 0 такi, що для будь-якого
ϕ 6∈ Ω вiдповiдна траєкторiя ϕt(ϕ) знаходиться лише протягом скiнченного промiжку
часу, що не перевищує T (ε), поза ε-околом множини Ω, залишаючи цей окiл не бiльше
N(ε) разiв.
Основною метою роботи є встановлення достатнiх умов експоненцiальної стiйкостi
тривiального тора x = 0, ϕ ∈ Tm системи (1) у термiнах властивостей функцiї ϕ 7→
7→ P (ϕ, 0) на множинi неблукаючих точок Ω динамiчної системи (2), а також застосування
отриманих результатiв до дослiдження стiйкостi тороїдальних множин iмпульсних дина-
мiчних систем, породжених задачею (1).
Основний результат. Позначимо P̂ (ϕ, x) =
1
2
(
P (ϕ, x) + P T (ϕ, x)
)
для ϕ ∈ Tm, x ∈
∈ Rn, λ(ϕ, x) — найбiльше власне число P̂ (ϕ, x).
Теорема 1. Нехай виконується умова
λ(ϕ, 0) < 0 ∀ ϕ ∈ Ω. (3)
Тодi тривiальний тор системи (1) експоненцiально стiйкий, тобто iснують сталiK >
> 0, γ > 0, δ > 0 такi, що для всiх ϕ ∈ Tm та x0 ∈ Rn,
∥∥x0
∥∥ ≤ δ, справджується
нерiвнiсть ∥∥x (t, ϕ, x0
)∥∥ ≤ K
∥∥x0
∥∥ e−γt ∀ t ≥ 0, (4)
де x
(
t, ϕ, x0
)
— розв’язок задачi Кошi
dx
dt
= P (ϕt(ϕ), x)x, x(0) = x0. (5)
Доведення. Внаслiдок умови (3) та неперервної залежностi коренiв многочлена вiд
його коефiцiєнтiв [9] для деяких r > 0, γ > 0 виконується нерiвнiсть
λ(ϕ, x) < −γ ∀ ϕ ∈ Or(Ω) ∀ x, ‖x‖ < r. (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
504 О. В. КАПУСТЯН, Ф. А. АСРОРОВ, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
Для фiксованих ϕ ∈ Tm та неперервної функцiї x : [0,+∞) 7→ Rn, supt≥0 ‖x(t)‖ < r,
розглянемо задачу Кошi
dy
dt
= P (ϕt(ϕ), x(t))y, y(0) = x0. (7)
Для її розв’язку y(t) з нерiвностi Важевського [8] маємо оцiнку
‖y(t)‖ ≤ ‖x0‖ exp
t∫
0
λ(ϕs(ϕ), x(s)) ds
∀ t ≥ 0. (8)
Якщо ϕ належить Or(Ω) i ϕs(ϕ) ∈ Or(Ω) ∀ s ≥ 0, то згiдно з (6)
‖y(t)‖ ≤
∥∥x0
∥∥ e−γt ∀ t ≥ 0. (9)
Якщо ϕ належить Or(Ω), але iснує τ > 0 таке, що ϕs(ϕ) ∈ Or(Ω) ∀ s ∈ [0, τ), ϕτ (ϕ) 6∈
6∈ Or(Ω), то для t ∈ [0, τ) має мiсце оцiнка (9), а для t ≥ τ з (8) одержуємо
‖y(t)‖ ≤
∥∥x0
∥∥ e−γτ exp
t∫
τ
λ(ϕs(ϕ), x(s)) ds
=
=
∥∥x0
∥∥ e−γτ exp
t−τ∫
0
λ(ϕs(ϕτ (ϕ), x(s))ds
. (10)
Залишилось розглянути випадок ϕ 6∈ Or(Ω). Згiдно з лемою 1 iснують N(ϕ, r) ≤ N(r),
{τi(ϕ, r)}N(ϕ,r)+1
i=1 ,
∑N(ϕ,r)+1
i=1 τi(ϕ, r) =: T (ϕ, r) ≤ T (r), {t0 = 0, ti(ϕ, r)}N(ϕ,r)
i=1 такi, що
ϕt(ϕ) ∈ Or(Ω) ∀ t ∈
N(ϕ,r)⋃
k=1
(
k∑
i=1
(τi + ti−1),
k∑
i=1
(τi + ti)
)⋃N(ϕ,r)+1∑
i=1
(τi + ti−1),+∞
.
Покладемо
C = max
ϕ∈Tm, ‖x‖≤r
|λ(ϕ, x)|.
Тодi для 1 ≤ k ≤ N(ϕ, r), t ∈
[∑k
i=1(τi + ti−1),
∑k
i=1(τi + ti)
]
та для всiх t ≥
∑N(ϕ,r)+1
i=1 (τi+
+ti−1) отримуємо
exp
t∫
0
λ(ϕs(ϕ), x(s) ds
≤ exp
{
(C + γ)
k∑
i=1
τi
}
e−γt. (11)
З (9) – (11) для довiльних ϕ ∈ Tm та неперервної функцiї x : [0,+∞) 7→ Rn, supt≥0 ‖x(t)‖ <
< r, для розв’язку задачi (7) остаточно одержуємо
‖y(t)‖ ≤ K‖x0‖e−γt ∀ t ≥ 0, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ТРИВIАЛЬНОГО ТОРА . . . 505
де K = e2(C+γ)T (r).
Щоб одержати аналогiчну оцiнку для x
(
t, ϕ, x0
)
, виберемо x0 так, щоб ‖x0‖ ≤
≤ r
2K
, i розглянемо послiдовнiсть задач (7)
dyn+1
dt
= P (ϕt(ϕ), yn(t))yn+1, yn+1(0) = x0, (13)
де n ≥ 0, y0(t) ≡ x0.
Згiдно з (12)
‖yn(t)‖ ≤ K
∥∥x0
∥∥ e−γt ≤ r
2
∀ t ≥ 0 ∀ n ≥ 1. (14)
Тодi для довiльного T > 0 i всiх t ∈ [0, T ] справджуються оцiнки
‖y1(t)− y0(t)‖ ≤ Mrt,
‖yn+1(t)− yn(t)‖ ≤
t∫
0
(Lr‖yn(s)− yn−1(s)‖+M‖yn+1(s)− yn(s)‖) ds ∀ n ≥ 1,
де додатнi сталi M i L = L(r) взято з умов 2, 3. Тепер з нерiвностi Гронуолла виводимо,
що для всiх n ≥ 0, t ∈ [0, T ]
‖yn+1(t)− yn(t)‖ ≤ Mr
(Lr)neMTn
(n+ 1)!
tn+1. (15)
Оцiнка (15) означає, що
yn → y в C ([0, T ];Rn) ∀ T > 0. (16)
Переходячи до границi в (13), внаслiдок єдиностi розв’язку задачi Кошi для (1) одержуємо
y(t) ≡ x
(
t, ϕ, x0
)
. Крiм того, з (14) виводимо оцiнку∥∥x (t, ϕ, x0
)∥∥ ≤ K
∥∥x0
∥∥ e−γt ∀ t ≥ 0, (17)
яка справедлива для всiх x0 з
∥∥x0
∥∥ ≤ r
2K
та для всiх ϕ ∈ Tm.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. Легко бачити, що оцiнки (6), (9) – (11) гарантують для довiльних ϕ ∈
∈ Tm виконання нерiвностi
exp
t∫
0
δ(ϕs(ϕ), r)ds
≤ Ke−γt ∀ t ≥ 0, (18)
де
δ(ϕ, r) = max
‖x‖≤r
λ(ϕ, x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
506 О. В. КАПУСТЯН, Ф. А. АСРОРОВ, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
Як приклад розглянемо на T1 × R2 систему
dϕ
dt
= − sin2
(ϕ
2
)
, (19)
dx1
dt
dx2
dt
=
− cos(ϕ+ x1) sin
(
ϕ+ x2
2
)
sin
(
ϕ− x3
2
)
− cos(ϕ+ x1)
( x1
x2
)
. (20)
Динамiчна система на T1, породжена (19), має множину неблукаючих точок
Ω = {ϕ = 0}.
Симетрична матриця P (0, 0̄) =
(
−1 0
0 −1
)
має власнi числа λ1 = λ2 = −1, отже, ви-
конано умову (6) i за теоремою 1 тривiальний тор системи (19), (20) є експоненцiально
стiйким.
Застосування до iмпульсної задачi. У фазовому просторi Tm × Rn розглядається
iмпульсна система диференцiальних рiвнянь
dϕ
dt
= a(ϕ),
dx
dt
= P (ϕ, x)x, (21)
4x|ϕ∈Γ = I(ϕ, x)x, (22)
де функцiї a, P задовольняють умови (1) – (4) та (2), I неперервна й обмежена на Tm×Rn
та I(·, x) ∈ C(Tm) для кожного x ∈ Rn.
Iмпульсна множина Γ задається рiвнiстю
Γ = {ϕ ∈ Tm | Φ(ϕ) = 0}, (23)
де Φ ∈ C(Tm). Будемо вважати, що для будь-якого ϕ ∈ Tm iснують {ti(ϕ)}∞i=1 ⊂ (0,+∞)
— коренi рiвняння Φ(ϕt(ϕ)) = 0, причому
∃ θ > 0 ∀ ϕ ∈ Tm ∀ i ≥ 1: ti+1(ϕ)− ti(ϕ) ≥ θ. (24)
Покладемо
α = max
ϕ∈Γ
‖E + I(ϕ, 0)‖,
де E — одинична матриця.
Теорема 2. Нехай виконується умова (24) i
1
θ
lnα+ λ(ϕ, 0) < 0 ∀ ϕ ∈ Ω. (25)
Тодi тривiальний тор системи (21), (22) є експоненцiально стiйким.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
ПРО ЕКСПОНЕНЦIАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ ТРИВIАЛЬНОГО ТОРА . . . 507
Доведення. Без обмеження загальностi будемо вважати, що α > 1. Тодi з нерiвностi
(25) та мiркувань неперервностi отримуємо, що для деяких r > 0, γ > 0 справджується
нерiвнiсть
1
θ
lnα(r) + δ(ϕ, r) ≤ −γ ∀ ϕ ∈ Or(Ω), (26)
де
α(r) = max
ϕ∈Γ,‖x‖≤r
‖E + I(ϕ, x)‖, δ(ϕ, r) = max
‖x‖≤r
λ(ϕ, x).
Вибираючи ‖x0‖ ≤ r
2K2α(r)
, ϕ ∈ Tm, для розв’язку x(t) iмпульсної задачi (21), (22) з
x(0) = x0 на iнтервалi [0, t1] згiдно з (17) маємо
‖x(t)‖ ≤ r
2Kα(r)
≤ r
2
.
Отже,
‖x(t)‖ ≤
∥∥x0
∥∥ exp
t∫
0
δ(ϕs(ϕ), r)ds
≤ K
∥∥x0
∥∥ e−γt ∀ t ∈ [0, t1],
‖x(t1 + 0)‖ ≤ α(r)‖x(t1)‖ ≤ r
2K
.
Аналогiчно, з (17) на iнтервалi [t1, t2] отримуємо ‖x(t)‖ ≤ r
2
, oтже,
‖x(t)‖ ≤ ‖x(t1 + 0)‖ exp
t∫
t1
δ(ϕs(ϕ), r)ds
≤
≤ ‖x0‖α(r) exp
t∫
0
δ(ϕs(ϕ), r)ds
≤
≤ Kα(r)
∥∥x0
∥∥ e(−γ− 1
θ
lnα(r))t,
‖x(t2 + 0)‖ ≤ α(r)‖x(t2)‖ ≤ r
2K
e−γθ ∀ t ∈ [t1, t2].
Продовжуючи цей процес, на n-му кроцi одержуємо
‖x(tn + 0)‖ ≤ α(r)‖x(tn)‖ ≤ r
2K
e−(n−1)γθ,
‖x(t)‖ ≤ Kα(r)
∥∥x0
∥∥ e−γt ∀ t ∈ [tn, tn+1],
що i означає шукану експоненцiальну стiйкiсть.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
508 О. В. КАПУСТЯН, Ф. А. АСРОРОВ, Ю. М. ПЕРЕСТЮК
Лiтература
1. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. — М.: Наука,
1987. — 304 с.
2. Самойленко А. М., Перестюк H. A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 c.
3. Перестюк М. О., Фекета П. В. Iнварiантнi многовиди одного класу систем диференцiальних рiвнянь
з iмпульсним збуренням // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 2. — P. 240 – 252.
4. Feketa P., Perestyuk Yu. Perturbation theorems for a multifrequency system with pulses // J. Math. Sci. —
2016. — 217, № 4. — P. 515 – 524.
5. Перестюк М. М., Перестюк Ю. М. Про стiйкiсть тороїдального многовиду одного класу динамiчних
систем // Нелiнiйнi коливання. — 2016. — 19, № 4. — С. 555 – 563.
6. Perestyuk M. O., Kapustyan O. V. Global attractors of impulsive infinite-dimensional systems // Ukr. Math.
J. — 2016. — 68, № 4. — P. 517 – 528.
7. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Гостех-
теориздат, 1947.
8. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
9. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix analysis. — Cambridge Univ. Press, 2012.
Одержано 27.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|