Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2017 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177322 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177322 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. 2021-02-14T11:01:29Z 2021-02-14T11:01:29Z 2017 Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177322 517.9 Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю загального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння. We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a linear matrix boundary-value problem for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator of linear boundary conditions for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. To solve the matrix differential-algebraic boundary problem with impulsive effect, we use original solvability conditions and the structure of the general solution of the linear matrix equation. Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0115U003182). ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием Матрична диференціально-алгебраїчна крайова задача з імпульсною дією Matrix differential-algebraic boundary-value problem with impulsive effect Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| spellingShingle |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. |
| title_short |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_full |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_fullStr |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_full_unstemmed |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| title_sort |
матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием |
| author |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Дзюба, М.В. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Матрична диференціально-алгебраїчна крайова задача з імпульсною дією Matrix differential-algebraic boundary-value problem with impulsive effect |
| description |
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого оператора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової задачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю загального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння.
We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a linear matrix boundary-value problem for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. We also construct a generalized Green’s operator of linear boundary conditions for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. To solve the matrix differential-algebraic boundary problem with impulsive effect, we use original solvability conditions and the structure of the general solution of the linear matrix equation.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177322 |
| citation_txt |
Матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием / С.М. Чуйко, М.В. Дзюба // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 564-573 — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT čuikosm matričnaâdifferencialʹnoalgebraičeskaâkraevaâzadačasimpulʹsnymvozdeistviem AT dzûbamv matričnaâdifferencialʹnoalgebraičeskaâkraevaâzadačasimpulʹsnymvozdeistviem AT čuikosm matričnadiferencíalʹnoalgebraíčnakraiovazadačazímpulʹsnoûdíêû AT dzûbamv matričnadiferencíalʹnoalgebraíčnakraiovazadačazímpulʹsnoûdíêû AT čuikosm matrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblemwithimpulsiveeffect AT dzûbamv matrixdifferentialalgebraicboundaryvalueproblemwithimpulsiveeffect |
| first_indexed |
2025-11-25T13:10:48Z |
| last_indexed |
2025-11-25T13:10:48Z |
| _version_ |
1850515300569579520 |
| fulltext |
УДК 517.9
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*
С. М. Чуйко, М. В. Дзюба
Донбас. гос. пед. ун-т
ул. Генерала Батюка, 19, Славянск Донецкой обл., 84116, Украина
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
chujko-slav@ukr.net
We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions of a linear matrix boundary-value
problem for a system of matrix differential-algebraic equations with impulsive effect. We also construct
a generalized Green’s operator of linear boundary conditions for a system of matrix differential-algebraic
equations with impulsive effect. To solve the matrix differential-algebraic boundary problem with impulsive
effect, we use original solvability conditions and the structure of the general solution of the linear matrix
equation.
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування, а також конструкцiю узагальненого опера-
тора Грiна для побудови розв’язкiв лiнiйної матричної диференцiально-алгебраїчної крайової
задачi з iмпульсною дiєю. Для розв’язання матричної диференцiально-алгебраїчної крайової за-
дачi з iмпульсною дiєю використано оригiнальнi умови розв’язностi, а також конструкцiю за-
гального розв’язку лiнiйного матричного рiвняння.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о построении решений [1, 2]
Z(t) ∈ C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} := C1{[a, b] \ {τi}I} ⊗ Rα×β, i = 1, 2, . . . , p,
матричного дифференциально-алгебраического уравнения [3, 4]
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), t 6= τi, (1)
подчиненных краевому условию [5 – 7]
LZ(·) = A, A ∈ Rµ×ν . (2)
Здесь
AZ ′(t) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → Cγ×δ{[a, b] \ {τi}I} := C{[a, b] \ {τi}I} ⊗ Rγ×δ
— матричный дифференциально-алгебраический оператор, который по определению
для любых скалярных функций
ζ(t), ξ(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}
∗ Выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований
Украины (номер государственной регистрации 0115U003182).
c© С. М. Чуйко, М. В. Дзюба, 2017
564 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 565
и любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈ Rα×β обеспечивает равенство
A(ζ ′(t)Ξ1 + ξ′(t)Ξ2)(t) = ζ ′(t)A(Ξ1)(t) + ξ′(t)A(Ξ2)(t).
Аналогично матричный оператор
BZ(t) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → C1
γ×δ{[a, b] \ {τi}I}
далее будем называть алгебраическим, если для любых скалярных функций
ζ(t), ξ(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}
и любых постоянных матриц Ξ1,Ξ2 ∈ Rα×β имеет место равенство
B(ζ(t)Ξ1 + ξ(t)Ξ2)(t) = ζ(t)B(Ξ1)(t) + ξ(t)B(Ξ2)(t).
Здесь также F (t) ∈ Cγ×δ{[a, b] \ {τi}I} — непрерывная при t 6= τi матрица и LZ(·) —
линейный ограниченный матричный функционал:
LZ(·) :=
p∑
i=0
LiZ(·) : C1
α×β{[a, b] \ {τi}I} → Rµ×ν , i = 1, 2, . . . , p,
где
LiZ(·) : C1
α×β[τi, τi+1[→ Rµ×ν , i = 0, . . . , p− 1,
τ0 := a, LpZ(·) : C1
α×β[τp, b] → Rµ×ν
— линейные ограниченные матричные функционалы. Вообще говоря, предполагаем,
что α, β, γ, δ, µ, ν ∈ N — произвольные натуральные числа. Матричное дифференциаль-
но-алгебраическое уравнение (1) обобщает традиционные постановки задач как для
матричных дифференциальных уравнений [8 – 10], так и для дифференциально-алгебраи-
ческих уравнений [4, 11 – 15]. С другой стороны, матричная дифференциально-алгебраи-
ческая краевая задача (1), (2) обобщает традиционные постановки нетеровых краевых
задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1], а также дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием [1, 5 – 7].
Определим операторM[A] : Rm×n → Rm·n как оператор, который ставит в соответ-
ствие матрицеA ∈ Rm×n вектор-столбец B := M[A] ∈ Rm·n, составленный из n столбцов
матрицы A, а также обратный оператор [17 – 19]
M−1 [B] : Rm·n → Rm×n,
который ставит в соответствие вектору B ∈ Rm·n матрицу A ∈ Rm×n. Обозначим через
Ξ(j) ∈ Rα×β, j = 1, 2, . . . , α ·β, естественный базис [20] пространства Rα×β, при этом зада-
ча о нахождении решений обобщенного дифференциально-алгебраического матричного
уравнения (1) приводит к задаче о нахождении вектора z(t), компоненты которого zj(t)
определяют разложение матрицы
Z(t) =
α·β∑
j=1
Ξ(j)zj(t), zj(t) ∈ C1{[a, b] \ {τi}I}, j = 1, 2, . . . , α · β.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
566 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
Линейный дифференциально-алгебраический матричный оператор AZ ′(t) по определе-
нию представим в виде
AZ ′(t) =
αβ∑
j=1
AΞ(j)(t)z′j(t),
при этом
M
[
AZ ′(t)
]
= Ω(t) · z′(t), Ω(t) := [Ωj(t)]
α·β
j=1 ∈ C1
γ·δ×α·β{[a, b] \ {τi}I},
где
Ωj(t) = M
[
AΞ(j)(t)
]
, j = 1, 2, . . . , α · β.
Аналогично
M [BZ(t)] = Θ(t) · z(t), Θ(t) := [Θj(t)]
α·β
j=1 ∈ C1
γ·δ×α·β{[a, b] \ {τi}I},
где
Θj(t) = M
[
BΞ(j)(t)
]
, j = 1, 2, . . . , α · β.
Таким образом, задача о построении решений обобщенного дифференциально-алгебраи-
ческого матричного уравнения (1) приведена к задаче о нахождении решений
z(t) ∈ C1
α·β {[a, b] \ {τi}I}
традиционного дифференциально-алгебраического уравнения [4, 5, 11 – 14]
Ω(t) · z′(t) = Θ(t) · z(t) + F(t), F(t) := M[F (t)]. (3)
При условии [3, 5, 14, 15, 23]
PΩ∗(t)Θ(t) = 0, PΩ∗(t)F(t) = 0 (4)
в случае
Ω+(t)Θ(t) ∈ Cα·β×α·β{[a, b] \ {τi}I}, Ω+(t)F(t), PΩ%(t)ϕ(t) ∈ Cα·β×%{[a, b] \ {τi}I} (5)
система (3) разрешима относительно производной
dz
dt
= Ω+(t)Θ(t)z + F(t, ϕ(t)), F(t, ϕ(t)) := Ω+(t)F(t) + PΩ%(t)ϕ(t).
Здесь PΩ∗(t) — (γ · δ × γ · δ)-матрица-ортопроектор: PΩ∗(t) : Rγ·δ → N (Ω∗(t)) , PΩ%(t) —
(α·β×%)-матрица, составленная из % линейно независимых столбцов (α·β×α·β)-матрицы-
ортопроектора PΩ(t) : Rα·β → N(Ω(t)).
2. Случай разрешимости системы (3) относительно производной. Обозначим через
X0(t) нормальную фундаментальную матрицу [1]
dX0(t)
dt
= Ω+(t)Θ(t)X0(t), X0(a) = Iαβ, t ∈ [a; τ1[,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 567
полученной традиционной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При
условии (4), (5) система (3) имеет решение вида
z(t, c) = X0(t)c+K [F(s, ϕ(s))] (t),
K [F(s, ϕ(s))] (t) := X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)F(s, ϕ(s)) ds,
которое определяет решение обобщенного матричного дифференциально-алгебраиче-
ского уравнения (1)
Z(t, c) = W (t, c) +K [F(s, ϕ(s))] (t), W (t, c) := M−1 [X0(t)c] , c ∈ Rα·β, (6)
где
K [F(s, ϕ(s))] (t) := M−1 {K [F(s, ϕ(s))] (t)} , t ∈ [a; τ1[,
— обобщенный оператор Грина задачи Коши Z(a) = 0 для дифференциально-алгеб-
раической системы (1).
Таким образом, доказано следующее достаточное условие разрешимости задачи Ко-
ши для системы (1).
Лемма. При условиях (4) и (5) матричная задача Коши Z(a) = A для дифференци-
ально-алгебраической системы (1) однозначно разрешима для любого начального зна-
чения A ∈ Rµ×ν . При условиях (4) и (5) общее решение (6) задачи Коши Z(a) = A для
дифференциально-алгебраической системы (1) при t ∈ [a; τ1[ определяет обобщенный
оператор Грина задачи Коши Z(a) = 0 для дифференциально-алгебраической системы
(1) и общее решение W (t, c) задачи Коши Z(a) = A для однородной части дифферен-
циально-алгебраического уравнения (1).
Предположим условия (4) и (5) выполненными. В этом случае фундаментальную
матрицу нетривиальных решений задачи
z′ = Ω+(t)Θ(t)z, t 6= τi, `z(·) := MLZ(·) = 0
ищем в виде
X(t) =
X0(t)U0, U0 ∈ Rα·β×α·β, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)U1, U1 ∈ Rα·β×α·β, t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)Up, Up ∈ Rα·tβ×α·β, t ∈ [τp; b],
U :=
U0
U1
. . .
Up
∈ Rα·β(p+1)×α·β. (7)
Подставляя матрицу (7) в краевое условие (2), получаем уравнение
QU = 0, `iz(·) := MLiZ(·), Q :=
[
`0X0(·) `1X0(·) . . . `pX0(·)
]
. (8)
Обозначим через PQ : Rα·β(p+1) → N(Q) матрицу-ортопроектор. При условии PQ = 0
однородная часть задачи (1), (2) имеет только нулевое решение; если же PQ 6= 0, то
однородная часть задачи (1), (2) имеет решение вида z(t, c) = X(t)c, где
U = PQC, C ∈ Rα·β(p+1)×α·β.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
568 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
Пусть
PQ =
P
(0)
Q
P
(1)
Q
. . .
P
(p)
Q
, C = Ĩ · C(0), Ĩ =
Iα·β
Iα·β
. . .
Iα·β
,
где P (0)
Q , P
(1)
Q , . . . , P
(p)
Q — (α · β × α · β(p + 1))-мерные блоки ортопроектора PQ, C(0) —
произвольная постоянная (α · β × α · β)-матрица, Ĩ — постоянная (α · β(p + 1) × α · β)-
матрица. В новых обозначениях общее решение уравнения (8) определяют матрицы
U0 = P
(0)
Q ĨC(0), U1 = P
(1)
Q ĨC(0), . . . , Up = P
(p)
Q ĨC(0), U =
P
(0)
Q ĨC(0)
P
(1)
Q ĨC(0)
. . . . . .
P
(p)
Q ĨC(0)
.
Таким образом, при условиях (4), (5) и PQ 6= 0 однородная часть задачи (1), (2) имеет
решение
Z(t, c) = W (t, c) := M−1 [X(t)c] , c ∈ Rα·β,
представимое фундаментальной матрицей X(t).
3. Обобщенный оператор Грина. При условиях (4), (5) решение неоднородной диффе-
ренциально-алгебраической задачи (1), (2) с импульсным воздействием ищем, используя
решение неоднородной краевой задачи
dz
dt
= Ω+(t)Θ(t)z + F(t, ϕ(t)), `z(·) := MLZ(·) = MA
в виде
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) :=
X0(t)ξ0 +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)ξ1 +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)ξp +K [F(s, ϕ(s))] (t), t ∈ [τp; b].
Здесь ξ0, ξ1, . . . , ξp — постоянные, для нахождения которых используем уравнение
Qξ = M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} , ξ := col (ξ0, . . . , ξp) ∈ Rα·β(p+1),
разрешимое тогда и только тогда, когда
PQ∗M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} = 0, (9)
где PQ∗ — ортопроектор: Rµ·ν → N(Q∗). Следуя традиционной классификации краевых
задач [1], случай PQ∗ 6= 0 назовем критическим. В этом случае условия существования и
вид общего решения задачи (1), (2) определяет следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 569
Теорема. При условиях (4) и (5) однородная часть дифференциально-алгебраической
задачи с импульсным воздействием (1), (2) имеет решение
Z(t, c) = W (t, c) := M−1 [X(t)c] , c ∈ Rα·β,
представимое фундаментальной матрицей
X(t) =
X0(t)P
(0)
Q ĨC(0), t ∈ [a, τ1],
X0(t)P
(1)
Q ĨC(0), t ∈ [τ1, τ2],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)P
(p)
Q ĨC(0), t ∈ [τp, b].
При условиях (4) и (5) линейная неднородная дифференциально-алгебраическая задача
с импульсным воздействием (1), (2) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено
условие (9). В этом случае задача (1), (2) имеет решение
Z(t, c) = W (t, c) + G [F(s, ϕ(s));MA] (t), c ∈ Rα·β,
представимое обобщенным оператором Грина
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) := M−1 {G [F(s, ϕ(s));MA] (t)} ,
где
col (ξ0, . . . , ξp) := Q+M{A− LK [F(s, ϕ(s))] (·)} .
Утверждение теоремы существенно упрощается в некритическом (PQ∗ = 0) случае,
при этом линейная неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульс-
ным воздействием (1), (2) разрешима для любых неоднородностей.
Пример. Требованиям доказанной теоремы удовлетворяет матричная дифференци-
ально-алгебраическая краевая задача с импульсным воздействием
AZ ′(t) = BZ(t) + F (t), t ∈ [−1; 1], t 6= τ1, LZ(·) = A, (10)
где
AZ ′(t) :=
3∑
i=1
2∑
j=1
Ŝi(t) Šj(t)Z
′(t) R̂i(t) Řj(t),
Ŝ1 := Ŝ2 :=
0 1 0
0 0 0
1 0 0
0 0 0
, Ŝ3 :=
0 0 1
1 0 0
0 0 0
0 0 0
,
Š1 :=
0 1 0
0 0 0
1 0 0
, Š2 :=
0 1 1
0 0 0
0 0 0
, R̂1 :=
(
1 1
0 0
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
570 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
R̂2 :=
(
1 0
1 0
)
, R̂3 :=
(
0 1
0 1
)
, Ř1 :=
(
1 0 0
1 0 0
)
, Ř2 :=
(
0 1 0
0 1 0
)
.
Кроме того,
BZ(t) :=
3∑
i=1
2∑
j=1
Φ̂i(t) Φ̌j(t)Z(t) Ψ̂i(t) Ψ̌j(t),
где
Φ̂1 :=
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̂2 :=
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̂3 :=
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, Φ̌1 :=
0 0 0
0 0 0
1 0 0
,
Φ̌2 :=
0 0 0
0 2 0
0 0 0
, Ψ̂1 := Ψ̂3 :=
(
1 0
0 0
)
, Ψ̂2 :=
(
0 1
0 0
)
,
Ψ̌1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)
, Ψ̌2 :=
(
0 0 1
0 0 0
)
, F (t) :=
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 0
.
Импульсное воздействие определяют равенства
LZ(·) :
√
eZ(−1)− Z(0) = 0, Z(−1)− Z(1) = 0, A := 0.
Пусть
Ξ∗1 :=
(
1 0 0
0 0 0
)
,Ξ∗2 :=
(
0 1 0
0 0 0
)
, . . . ,Ξ∗6 :=
(
0 0 0
0 0 1
)
— естественный базис пространства R3×2. Поскольку
Ω(t) =
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 3 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 1
0 3 3 0 1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
, Θ(t) =
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 571
то условия (4) и (5) выполнены,
Ω+(t)Θ(t) =
1
2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
∈ C6×6[−1; 1],
при этом матричная дифференциально-алгебраическая краевая задача (10) представляет
критический случай (PQ∗ 6= 0). Здесь
PQ∗ =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
В силу неравенства PQ 6= 0 однородная часть дифференциально-алгебраической краевой
задачи (10) имеет нетривиальные решения
W (t, c1) = c1
et/2 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, t ∈ [−1; 0[,
W (t, c1) = c1
1 + et/2 1 + et/2 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
, t ∈ [0; 1].
Заметим, что % = 1 6= 0, при этом решение дифференциально-алгебраической задачи
(10) зависит от произвольной функции ϕ(t) ∈ C[−1; 1]. Положим ϕ(t) := 0. Обобщенный
оператор Грина задачи Коши Z(−1) = 0 для дифференциально-алгебраической системы
(10) имеет вид
K [F(s, ϕ(s))] (t) =
t+ 1
2
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [−1; τ1[,
и позволяет проверить выполнение условия (9). Поскольку требование (9) выполнено,
неоднородная дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздействием (10)
разрешима. При этом дифференциально-алгебраическая задача с импульсным воздей-
ствием (10) имеет решение
Z(t, c1) = W (t, c1) + G [F(s, ϕ(s));MA] (t), c1 ∈ Rα·β,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
572 С. М. ЧУЙКО, М. В. ДЗЮБА
представимое обобщенным оператором Грина
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) =
t− (t+ 1)
√
e
2 (1−
√
e)
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [−1; 0[,
G [F(s, ϕ(s));MA] (t) =
t− 2− (t− 1)
√
e
2 (1−
√
e)
0 0
0 0
1 −1
, t ∈ [0; 1].
Найденные условия разрешимости, а также конструкция обобщенного оператора
Грина матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи с импульсным воз-
действием (1), (2) обобщают традиционные результаты как для матричных дифферен-
циальных уравнений [8, 9, 10, 22], так и для дифференциально-алгебраических уравнений
[4, 11 – 15, 23]. С другой стороны, найденные условия разрешимости, а также конструкция
обобщенного оператора Грина краевой задачи матричной дифференциально-алгебраи-
ческой задачи (1), (2) обобщают условия разрешимости и конструкцию обобщенного
оператора Грина для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [1], а также
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием [1, 5 – 7].
Заметим, что аналогичные условия разрешимости, а также конструкция обобщен-
ного оператора Грина матричной дифференциально-алгебраической краевой задачи с
импульсным воздействием (1), (2) могут быть получены и в случае неразрешимости сис-
темы (3) относительно производной [3, 23], в частности в случае разрешимости систе-
мы (3) относительно неизвестной [3]. Кроме того, аналогичные условия разрешимости, а
также конструкция обобщенного оператора Грина матричной дифференциально-алгеб-
раической краевой задачи с импульсным воздействием (1), (2) могут быть получены для
краевой задачи с импульсным воздействием в абстрактных пространствах [1, 24, 25].
Литература
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
2th ed. — Berlin; Boston: De Gruyter, 2016. — 298 p.
2. Азбелев Н. В., Максимов Н. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифферен-
циальных уравнений. — М.: Наука, 1991. — 277 с.
3. Chuiko S. M. A generalized matrix differential-algebraic equation // J. Math. Sci. — 2015. — 210, № 1. —
P. 9 – 21.
4. Campbell S. L. Singular systems of differential equations. — San Francisco etc.: Pitman Adv. Publ. Program,
1980. — 178 p.
5. Чуйко С. М. Нетеровы краевые задачи для вырожденных дифференциально-алгебраических систем
с линейным импульсным воздействием // Динам. системы. — 2014. — 4(32), № 1 – 2. — С. 89 – 100.
6. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. —
2001. — 37, № 8. — С. 1132 – 1135.
7. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Доклады РАН. — 2001. —
379, № 2. — С. 170 – 172.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 367 с.
9. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 2. —
C. 14 – 23.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
МАТРИЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА . . . 573
10. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A critical periodic boundary-value problem for a matrix Riccati equations //
Different. Equat. — 2001. — 37, № 4. — P. 464 – 471.
11. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. — Новосибирск:
Наука, 1996. — 280 с.
12. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и иссле-
дования. — Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.
13. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A., Chistyakov V. F. Application of perturbation theory to the solvability analysis
of differential algebraic equations // Comput. Math. and Math. Phys. — 2013. — 53, № 6. — P. 777 – 788.
14. Chuiko S. M. To the issue of a generalization of the matrix differential-algebraic boundary-value problem //
J. Math. Sci. — 2017. — 227, № 1. — P. 16 – 32.
15. Чуйко С. М. Линейные нетеровы краевые задачи для дифференциально-алгебраических систем //
Компьютер. исслед. и моделирование. — 2013. — 5, № 5. — С. 769 – 783.
16. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type // Ukr.
Math. J. — 1998. — 50, № 8. — P. 1162 – 1169.
17. Чуйко С. М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестн. Одес. нац. ун-та. Математика и
механика. — 2014. — 19, вып. 1 (21). — С. 49 – 57.
18. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестн. Харьков. нац. ун-та им.
В. Н. Каразина. Математика, прикл. математика и механика. — 2014. — № 1120. — C. 85 – 94.
19. Чуйко С. М. О решении обобщенного матричного уравнения Сильвестра // Чебышев. сб. — 2015. —
16, вып. 1. — С. 52 – 66.
20. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.
21. Chuiko S. M. Generalized Green operator of Noetherian boundary-value problem for matrix differential
equation // Russian Math. — 2016. — 60, № 8. — P. 64 – 73.
22. Лаптинский В. Н., Маковецкий И. И. К конструктивному анализу двухточечной краевой задачи для
нелинейного уравнения Ляпунова // Дифференц. уравнения. — 2005. — 41, № 7. — С. 994 – 996.
23. Chuiko S. M. The Green’s operator of a generalized matrix linear differential-algebraic boundary-value
problem // Sib. Math. J. — 2015. — 56, № 4. — P. 752 – 760.
24. Чуйко С. М. Линейная краевая задача для матричного дифференциального уравнения // Дифференц.
уравнения. — 2016. — 52, № 11. — C. 1578 – 1579.
25. Чуйко С. М. О разрешимости матричной краевой задачи // Итоги науки и техники. Совр. математика
и ее приложения. Тематические обзоры. — 2017. — 132. — C. 140 – 144.
Получено 07.04.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|