Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром
Найдены достаточные условия существования решений слабовозмущенной линейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. Установлены условия существования и единственности решений таких задач. Предложен итерационный процесс построения решения. We find sufficient conditions for exis...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177326 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром / І.А. Бондар, Р.Ф. Овчар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 465-476 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860057957355487232 |
|---|---|
| author | Бондар, І.А. Овчар, Р.Ф. |
| author_facet | Бондар, І.А. Овчар, Р.Ф. |
| citation_txt | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром / І.А. Бондар, Р.Ф. Овчар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 465-476 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Найдены достаточные условия существования решений слабовозмущенной линейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. Установлены условия существования и единственности решений таких задач. Предложен итерационный процесс построения решения.
We find sufficient conditions for existence of solutions to a weakly perturbed boundary-value problem for a system of integro-differential equations. We establish existence and uniqueness of solutions to such problems. We also give an iteration procedure for solution construction.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:02:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ СИСТЕМ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ВИРОДЖЕНИМ ЯДРОМ*
I. А. Бондар
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
e-mail: holovatska.iv@gmail.com
Р. Ф. Овчар
Нац. ун-т бiоресурсiв i природокористування України
вул. Героїв оборони, 15, Київ, 03041, Україна
We find sufficient conditions for existence of solutions to a weakly perturbed boundary-value problem
for a system of integro-differential equations. We establish existence and uniqueness of solutions to such
problems. We also give an iteration procedure for solution construction.
Найдены достаточные условия существования решений слабовозмущенной линейной краевой
задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. Установлены условия существо-
вания и единственности решений таких задач. Предложен итерационный процесс построения
решения.
У данiй роботi знайдено умови iснування та побудови розв’язкiв лiнiйних слабкозбуре-
них крайових задач для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь, де крайова умова ви-
значається за допомогою лiнiйного векторного функцiонала, кiлькiсть компонент якого
не збiгається з порядком вiдповiдної системи. Таким чином, дослiджено маловивченi не-
теровi крайовi задачi для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь у просторi абсолютно
неперервних на заданому вiдрiзку функцiй.
Задачi побудови конструктивних методiв аналiзу лiнiйних слабкозбурених крайових
задач для широкого класу систем функцiонально-диференцiальних рiвнянь, якi традицiй-
но займають одне iз центральних та важливих мiсць у якiснiй теорiї диференцiальних
рiвнянь, ґрунтовно вивчались у роботах М. В. Азбелева, О. А. Бойчука, Б. Ван-дер-Поля,
В. Вольтерра, М. М. Крилова, А. М. Ляпунова, I. Г. Малкiна, М. О. Перестюка, А. Пуанка-
ре, А. М. Самойленка. Це зумовлено, насамперед, важливiстю практичного застосування
теорiї крайових задач у теорiї нелiнiйних коливань, теорiї стiйкостi руху, теорiї керування,
у низцi радiотехнiчних, механiчних та бiологiчних задач.
Специфiка розгляду крайових задач для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь по-
лягає в тому, що їх лiнiйна частина є оператором, який не має оберненого. Цей факт
суттєво ускладнює дослiдження таких операторних рiвнянь i крайових задач для них та
призводить до того, що розв’язок крайової задачi для таких систем складається з умов
розв’язностi як самої операторної системи, так i крайової задачi для неї.
Для дослiдження iснування розв’язкiв таких задач використано апарат теорiї псевдо-
∗ Пiдтримано грантом НАН України для молодих учених 2017 р.
c© I. А. Бондар, Р. Ф. Овчар, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4 465
466 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
обернених матриць та операторiв, який розвинено у роботах А. М. Самойленка
та О. А. Бойчука [1 – 3].
1. Постановка задачi. Розглянемо слабкозбурену лiнiйну крайову задачу для системи
iнтегро-диференцiальних рiвнянь
ẋ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x(s) +B(s)ẋ(s)] ds = f(t) + ε
b∫
a
[K(t, s)x(s) +K1(t, s)ẋ(s)] ds, (1)
`x(·, ε) = α+ ε`1x(·, ε) (2)
i будемо шукати структуру множини розв’язкiв даної задачi у просторiD2[a, b] n-вимiрних
абсолютно неперервних диференцiйовних вектор-функцiй:
x = x(t, ε) : x(·, ε) ∈ D2[a, b], ẋ(·, ε) ∈ L2[a, b], x(t, ·) ∈ C(0, ε0].
Будемо використовувати такi припущення та позначення з [3 – 5]: A(t), B(t) — (m × n)-,
Φ(t) — (n×m)-, K(t, s), K1(t, s) — (n×n)-вимiрнi матрицi, складовi яких визначенi у про-
сторi iнтегровних на вiдрiзку функцiй L2[a, b]; f(t) ∈ L2[a, b] — n-вимiрна вектор-функцiя;
вектор-стовпчики матрицi Φ(t) є лiнiйно незалежними на [a, b]; α = col (α1, α2, . . . , αp) ∈
∈ Rp; `, `1 — обмеженi лiнiйнi векторнi функцiонали, визначенi у просторi абсолютно
неперервних на вiдрiзку функцiй:
` = col (`1, `2, . . . , `p) : D2[a; b] → Rp, `i : D2[a; b] → R,
`1 = col (`11, `
1
2, . . . , `
1
p) : D2[a; b] → Rp, `1j : D2[a; b] → R.
Розглянемо нетерову (n 6= p) крайову задачу (1), (2) та з’ясуємо умови бiфуркацiї її
розв’язку.
Паралельно iз слабкозбуреною крайовою задачею (1), (2) розглянемо породжуючу
крайову задачу (ε = 0)
ẋ(t)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x(s) +B(s)ẋ(s)] ds = f(t), (3)
`x(·) = α ∈ Rp. (4)
Припустимо, що задача (3), (4) нерозв’язна при будь-яких неоднорiдностях f(t) ∈
∈ L2[a, b] та α ∈ Rp.
Тодi, згiдно з критерiєм розв’язностi крайової задачi (3), (4), наведеним у роботi [3]
(теорема 2), умови
PD∗
d1
b̃ = 0, PQ∗
d2
(α− l(F (·))) = 0,
d1 = m− rankD, d2 = p− rankQ,
(5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 467
не виконуються. Нагадаємо, що
D =
Im − b∫
a
[A(s)Ψ(s) +B(s)Φ(s)] ds,−
b∫
a
A(s)ds
— (m × (m + n))-вимiрна матриця, Ψ(t) =
∫ t
a
Φ(s) ds, Ψ0(t) = [Ψ(t), In] , F (t) = f̃(t) +
+Ψ0(t)D
+b̃, b̃ =
∫ b
a
[
A(s)f̃(s) +B(s)f(s)
]
ds, Xr1(t) = Ψ0(t)PDr1
— (n × r1)-вимiрна
матриця; Q = `Xr1(·) — (p × r1)-вимiрна матриця. PD, PD∗ — ((m + n) × (m + n))-,
(m×m)-вимiрнi матрицi-ортопроектори, якi дiють з Rm+n, Rm у ядро та коядро матрицi
D вiдповiдно. Матриця PDr1
(PD∗
d1
) складається iз повної системи r1 (d1) лiнiйно незалеж-
них стовпчикiв (рядкiв) матрицi PD(PD∗). Матрицi PQ, PQ∗ — (r1 × r1)-, (p × p)-вимiрнi
ортопроектори, якi переводять простори Rr1 , Rp у ядро та коядро матрицi Q вiдповiдно.
Матриця PQr2
(PQ∗
d2
) складається iз повної системи r2 (d2) лiнiйно незалежних стовпчикiв
(рядкiв) матрицi PQ(PQ∗).
Питання полягає в тому, чи можна крайову задачу (3), (4) зробити розв’язною шля-
хом введення лiнiйного збурення i якщо можна, то якими повиннi бути збуренi матрицi
K(t, s), K1(t, s), щоб крайова задача (1), (2) була скрiзь розв’язною. Наша мета — вста-
новити умови iснування та алгоритм побудови структури множини розв’язку x = x(t, ε)
крайової задачi (1), (2). Основний метод, який використовується для аналiзу поставле-
ного завдання, ґрунтується на теорiї псевдообернених матриць [1, 3] та методi Вiшика –
Люстерника [6].
Таким чином, будемо шукати розв’язок x = x(t, ε) крайової задачi (1), (2) у виглядi
частини ряду Лорана за степенями малого параметра ε :
x(t, ε) =
∞∑
k=−1
εkxk(t, ck) =
x−1(t, c−1)
ε
+ x0(t, c0) + εx1(t, c1) + . . . , (6)
який є збiжним при фiксованому ε ∈ (0, ε∗].
2. Iтерацiйний процес побудови розв’язку. Пiдставивши ряд (6) у крайову задачу (1),
(2) i прирiвнявши коефiцiєнти при однакових степенях ε, прийдемо до iтерацiйного про-
цесу, на першому кроцi якого, при ε−1, отримаємо однорiдну крайову задачу
ẋ−1(t, c−1)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x−1(s, c−1) +B(s)ẋ−1(s, c−1)] ds = 0,
`x−1(·, c−1) = 0.
Згiдно з критерiєм розв’язностi (теорема 2 [3]), однорiдна крайова задача завжди розв’яз-
на i має r2-параметричну (r2 = r1 − n2) сiм’ю розв’язкiв
x−1(t, c−1) = Xr2(t)c−1, (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
468 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
де c−1 ∈ Rr2 — r2-вимiрний вектор сталих, який буде визначено на наступному кроцi,
Xr2(t) = Ψ0(t)PDr1
PQr2
— (n× r2)-вимiрна матриця.
На другому кроцi, при ε0, отримаємо неоднорiдну крайову задачу
ẋ0(t, c0)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x0(s, c0) +B(s)ẋ0(s, c0)] ds = f−1(t), (8)
`x0(·, c0) = α−1. (9)
Тут
f−1(t) := f(t) +
b∫
a
[K(t, s)x−1(s, c−1) +K1(t, s)ẋ−1(s, c−1)] ds =
= f(t) +
b∫
a
[
K(t, s)Xr2(s) +K1(t, s)Ẋr2(s)
]
ds c−1, (10)
α−1 := α+ `1x−1(·, c−1) = α+ `1Xr2(·)c−1.
Крайова задача (8), (9) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли неоднорiдностi f−1(t) ∈
∈ L2[a; b] та α−1 ∈ Rp задовольняють умови
PD∗
d1
b̃−1 = 0, PQ∗
d2
(α−1 − `F−1(·)) = 0, (11)
де
F−1(t) := f̃−1(t) + Ψ0(t)D
+b̃−1 =
= F (t) +
L̃(t) + Ψ0(t)D
+
b∫
a
[
A(s)L̃(s) +B(s)L(s)
]
ds
c−1,
b̃−1 :=
b∫
a
[
A(s)f̃−1(s) +B(s)f−1(s)
]
ds, f̃−1(t) =
t∫
a
f−1(s)ds.
Пiдставивши (7) у (11), отримаємо алгебраїчну систему вiдносно c−1 :
B0c−1 = g−1, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 469
де
B0 :=
PD∗
d1
b∫
a
[
A(s)L̃(s) +B(s)L(s)
]
ds
PQ∗
d2
`1Xr2(·)− `
L̃(·) + Ψ0(·)D+
b∫
a
[A(s)L̃(s) +B(s)L(s)]ds
, (13)
g−1 :=
[
−PD∗
d1
b̃
−PQ∗
d2
(α− `F (·))
]
,
L(t) =
b∫
a
[
K(t, s)Xr2(s) +K1(t, s)Ẋr2(s)
]
ds, L̃(t) =
t∫
a
L(s) ds.
Тут L(t), B0 — вiдповiдно (n × r2)-, ((d1 + d2) × r2)-вимiрнi матрицi, компоненти яких
належать простору L2[a; b].
Система (12) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PB∗
0
g−1 = 0, (14)
i має r2-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
c−1 = B+
0 g−1 + PB0 c̃, c̃ ∈ Rr2 .
Виконання умови (14) перевiрити важко, але якщо виконується умова
PB∗
0
[
PD∗
d1
PQ∗
d2
]
= 0, (15)
то система (12) має хоча б один розв’язок вигляду c−1 = B+
0 g−1, c−1 ∈ Rr2 . Тут B+
0 —
(r2 × (d1 + d2))-вимiрна матриця, псевдообернена (за Муром – Пенроузом) до B0.
Таким чином, якщо має мiсце рiвнiсть (15), то крайова задача (8), (9) має r2-парамет-
ричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
x0(t, c0) = Xr2(t)c0 + Y−1(t, c−1),
Y−1(t, c−1) := F−1(t) + Ψ0(t)PDr1
Q+(α−1 − `(F−1(·, c−1))),
(16)
де c0 — r2-вимiрний вектор сталих, який буде визначено на наступному кроцi.
При ε1 отримаємо крайову задачу
ẋ1(t, c1)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x1(s, c1) +B(s)ẋ1(s, c1)] ds = f0(t), (17)
`x1(·, c1) = α0. (18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
470 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
Тут
f0(t) =
b∫
a
[K(t, s)x0(s, c0) +K1(t, s)ẋ0(s, c0)] ds =
=
b∫
a
[
K(t, s)Xr2(s) +K1(t, s)Ẋr2(s)
]
dsc0+
+
b∫
a
[
K(t, s)Y−1(s, c−1) +K1(t, s)Ẏ−1(s, c−1)
]
ds =
= L(t)c0 +M−1(t, c−1),
α0 = `1x0(·, c0) = `1Xr2c0 + `1Y−1(·, c−1).
Таким чином,
M−1(t, c−1) :=
b∫
a
[
K(t, s)Y−1(s, c−1) +K1(t, s)Ẏ−1(s, c−1)
]
ds.
Умова розв’язностi задачi (17), (18) є такою:
PD∗
d1
b̃0 = 0, PQ∗
d2
(α0 − `F0(·)) = 0, (19)
де
F0(t) = f̃0(t) + Ψ0(t)B
+
0 b̃0,
b̃0 =
b∫
a
[
A(s)f̃0(s) +B(s)f0(s)
]
ds, f̃0(t) =
t∫
a
f0(s)ds.
Пiдставивши x0(t, c0) (16) у рiвностi (19), отримаємо подiбну до (12) алгебраїчну сис-
тему
B0c0 = g0, (20)
яка є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконується рiвнiсть
PB∗
0
g0 = 0. (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 471
Тут
g0 :=
PD∗
d1
b∫
a
[
A(s)M̃−1(s, c−1) +B(s)M−1(s, c−1)
]
ds
PQ∗
d2
(
`1
(
F−1(·) + Ψ0(·)PDr1
Q+ (α−1 − `F−1(·))
)
−
− `
M̃−1(·, c−1) + Ψ0(·)D+
b∫
a
[
A(s)M̃−1(s, c−1) +B(s)M−1(s, c−1)
]
ds
)
,
M̃−1(t, c−1) =
t∫
a
M−1(s, c−1) ds.
Як i у попередньому випадку, достатньо, щоб виконувалась умова (18), тодi один iз
розв’язкiв системи (15) має вигляд c0 = B+
0 g0, c0 ∈ Rr2 .
Таким чином, якщо виконується умова (15), то крайова задача (17), (18) має r2-пара-
метричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
x1(t, c1) = Xr2(t)c1 + F0(t) + Ψ0(t)PDr1
Q+(α0 − `F0(·)),
де c1 — r2-вимiрний вектор сталих, який буде визначено на наступному кроцi даного iте-
рацiйного процесу.
При ε2 отримаємо крайову задачу
ẋ2(t, c2)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)x2(s, c2) +B(s)ẋ2(s, c2)] ds = f1(t), (22)
`x2(·, c2) = α1. (23)
Тут
f1(t) =
b∫
a
[K(t, s)x1(s, c1) +K1(t, s)ẋ1(s, c1)] ds = L(t)c1 +M0(t, c0),
α1 := `1x1(·, c1) = `1Xr2c1 + `1Y0(·, c0),
Y0(t, c0) := F0(t, c0) + Ψ0(t)PDr1
Q+(α0 − `(F0(·, c0))),
M0(t, c0) :=
b∫
a
[
K(t, s)Y0(s, c0) +K1(t, s)Ẏ0(s, c0)
]
ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
472 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
Умова розв’язностi крайової задачi (22), (23) має вигляд
PD∗
d1
b̃1 = 0, PQ∗
d2
(α1 − `F1(·)) = 0, (24)
де
F1(t) = f̃1(t) + Ψ0(t)D
+b̃1, b̃1 =
b∫
a
[
A(s)f̃1(s) +B(s)f1(s)
]
ds, f̃1(t) =
t∫
a
f1(s) ds.
Пiдставивши вираз
x1(t, c1) = Xr2(t)c1 + F0(t) + Ψ0(t)PDr1
Q+(α0 − `F0(·))
у (24), отримаємо алгебраїчну систему
B0c1 = g1, (25)
яка є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PB∗
0
g1 = 0. (26)
Тут
g1 :=
PD∗
d1
b∫
a
[
A(s)M̃0(s, c0) +B(s)M0(s, c0)
]
ds
PQ∗
d2
(
`1(F0(·) + Ψ0(·)PDr1
Q+(α0 − `F0(·)))−
− `
M̃0(·, c0) + Ψ0(·)D+
b∫
a
[
A(s)M̃0(s, c0) +B(s)M0(s, c0)
]
ds
)
,
M0(t, c0) :=
b∫
a
[
K(t, s)
(
F0(s, c0) + Ψ0(s)PDr1
Q+ (α0 − `F0(·, c0))
)
+
+K1(t, s)
(
Ḟ0(s, c0) + Ψ̇0(s)PDr1
Q+(α0 − `Ḟ0(·, c0))
)]
ds,
M̃0(t, c0) =
t∫
a
M0(s, c0) ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 473
Тодi один iз розв’язкiв системи (25) має вигляд
c1 = B+
0 g1, c1 ∈ Rr2 .
Легко показати за допомогою iндукцiї, що (15) є умовою розв’язностi i крайової зада-
чi, яку ми отримаємо на k-му кроцi iтерацiйного процесу
ẋk(t, ck)− Φ(t)
b∫
a
[A(s)xk(s, ck) +B(s)ẋk(s, ck)] ds = fk−1(t), (27)
`xk(·, ck) = αk−1. (28)
Тут
fk−1(t) :=
b∫
a
[K(t, s)xk−1(s, ck−1) +K1(t, s)ẋk−1(s, ck−1)] ds =
=
b∫
a
[
K(t, s)Xr2(s) +K1(t, s)Ẋr2(s)
]
dsck−1+
+
b∫
a
[
K(t, s)Yk−2(s, ck−2) +K1(t, s)Ẏk−2(s, ck−2)
]
ds,
αk−1 := `1xk−1(·, ck−1) = `1Xr2(·)ck−1 + `1Yk−2(·, ck−2),
де
Yk−2(t, ck−2) := Ψ0(t)PDr1
Q+ (αk−1 − `Fk−2(·, ck−2)) + Fk−2(t, ck−2),
Fk−2(t, ck−2) := f̃k−2(t) + Ψ0(t)D
+b̃k−2,
b̃k−2 =
b∫
a
[
A(s)f̃k−2(s) +B(s)fk−2(s)
]
ds, f̃k−2(t) =
t∫
a
fk−2(s) ds.
Крайова задача (27), (28) є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконуються умови
PQ∗
d1
b̃k−1 = 0, PD∗
d2
(αk−1 − `Fk−1(·)) = 0, (29)
i має r2-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних розв’язкiв
xk(t, ck) = Xr2(t)ck + Yk−1(t, ck−1), (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
474 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
де
Yk−1(t, ck−1) := Ψ0(t)PDr1
Q+ (αk−1 − `Fk−1(·, ck−1)) + Fk−1(t, ck−1), (31)
Fk−1(t, ck−1) := f̃k−1(t) + Ψ0(t)D
+b̃k−1, (32)
b̃k−1 =
b∫
a
[
A(s)f̃k−1(s) +B(s)fk−1(s)
]
ds, f̃k−1(t) =
t∫
a
fk−1(s) ds, (33)
а ck — r2-вимiрний вектор сталих, який буде визначено на наступному кроцi. В результатi
отримаємо алгебраїчну систему
B0ck = gk, (34)
яка є розв’язною тодi i тiльки тодi, коли виконується умова
PB∗
0
gk = 0. (35)
Тут
gk :=
PD∗
d1
b∫
a
[
A(s)M̃k−1(s, ck−1) +B(s)Mk−1(s, ck−1)
]
ds
PQ∗
d2
(
`1(Fk−1(·) + Ψ0(·)PDr1
Q+(αk−1 − `Fk−1(·)))−
− `
M̃k−1(·, ck−1) + Ψ0(·)D+
b∫
a
[
A(s)M̃k−1(s, ck−1) +B(s)Mk−1(s, ck−1)
]
ds
)
,
(36)
Mk−1(t, ck−1) :=
b∫
a
[
K(t, s)
(
Fk−1(s, ck−1) + Ψ0(s)PDr1
Q+(αk−1 − `Fk−1(·, ck−1))
)
+
+K1(t, s)
(
Ḟk−1(s, ck−1) + Ψ̇0(s)PDr1
Q+(αk−1 − `Ḟk−1(·, ck−1))
)]
ds, (37)
M̃k−1(t, ck−1) =
t∫
a
Mk−1(s, ck−1)ds.
Тодi один iз розв’язкiв системи (34) має вигляд
ck = B+
0 gk, ck ∈ Rr2 , k = 0, 1, 2, . . . . (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
БIФУРКАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 475
Таким чином, крайова задача (27), (28) є розв’язною, якщо виконується умова (15), i
має розв’язок (30).
Справедливим є наступне твердження.
Теорема. Припустимо, що крайова задача (1), (2) задовольняє вказанi вище умови
так, що породжуюча крайова задача (3), (4) є нерозв’язною при будь-яких f(t) ∈ L2[a, b],
α ∈ Rp.
Якщо виконується умова
PB∗
0
[
PD∗
d1
PQ∗
d2
]
= 0,
то крайова задача (1), (2) буде мати хоча б один розв’язок у виглядi ряду
x(t, ε) =
∞∑
k=−1
εkxk(t, ck), (39)
який збiгається при фiксованому ε ∈ (0; ε∗], а коефiцiєнти даного ряду визначаються з
формул (30) – (38).
Таким чином, у данiй роботi дослiджено питання розв’язностi слабкозбуреної крайо-
вої задачi для системи фредгольмових iнтегро-диференцiальних рiвнянь (1), (2). Показа-
но, що такi задачi є нетеровими у вiдповiдних просторах.
Використовуючи метод Вiшика – Люстерника [6], показано, що розв’язки
x = x(t, ε) : x(·, ε) ∈ D2[a, b], ẋ(·, ε) ∈ L2[a, b], x(t, ·) ∈ C(0, ε∗],
таких задач мають вигляд частин ряду Лорана за степенями малого параметра ε :
x(t, ε) =
∞∑
k=−1
εkxk(t, ck), ck ∈ Rρ.
Доведено збiжнiсть таких рядiв при фiксованому ε ∈ (0, ε∗]. Збiжнiсть вiдповiдних рядiв
iз похiдних доводиться, як у роботах [4, 5].
Знайдено достатнi умови iснування розв’язкiв слабкозбуреної лiнiйної крайової задачi
для системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь (1), (2), з’ясовано умови iснування та єди-
ностi розв’язкiв таких задач.
Зауваження 1. Умова (15) є достатньою умовою iснування розв’язку задачi (1), (2).
Якщо умова (15) не виконується, то розв’язок задачi (1), (2) у виглядi ряду (6) не iснує,
але може iснувати у виглядi частини ряду Лорана типу (6) з k ≥ −2.
Зауваження 2. У данiй роботi розглядаються простори D2[a, b] та L2[a, b]. Згiдно з [7],
замiсть них ми можемо розглядати соболєвський простiр W 1
2 [a, b]. Всi результати, отри-
манi у цих просторах, iз вiдповiдними уточненнями можуть бути узагальненi на простори,
коли x(·, ε) ∈ Dp[a, b], ẋ(·, ε) ∈ Lp[a, b], 1 < p < ∞ [8, с. 49].
Автори висловлюють подяку професору О. А. Бойчуку за увагу до роботи.
Лiтература
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
2nd ed. // Inverse and Ill-Posed Problems. Series 59. — 2016. — xvi + 298 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
476 I. А. БОНДАР, Р. Ф. ОВЧАР
2. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А.М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
3. Самойленко A. М., Бойчук О. А., Кривошея С. А. Крайовi задачi для систем лiнiйних iнтегро-дифе-
ренцiальних рiвнянь з виродженим ядром // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1576 – 1579.
4. Головацька I. А. Слабкозбуренi системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь // Нелiнiйнi коливання. —
2012. — 15, № 2. — С. 151 – 164.
5. Golovatska I. Weakly perturbed boundary-value problems of integro-differential equations // Tatra Mt.
Math. Publ. — 2013. — 54. — P. 61 – 71.
6. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. — С. 3 – 80.
7. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1988. — 304 с.
8. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.: Высш. шк., 1977. — 430 с.
Одержано 14.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177326 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:02:22Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондар, І.А. Овчар, Р.Ф. 2021-02-14T11:02:10Z 2021-02-14T11:02:10Z 2017 Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром / І.А. Бондар, Р.Ф. Овчар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 465-476 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177326 517.929 Найдены достаточные условия существования решений слабовозмущенной линейной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений. Установлены условия существования и единственности решений таких задач. Предложен итерационный процесс построения решения. We find sufficient conditions for existence of solutions to a weakly perturbed boundary-value problem for a system of integro-differential equations. We establish existence and uniqueness of solutions to such problems. We also give an iteration procedure for solution construction. Пiдтримано грантом НАН України для молодих учених 2017 р. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром Бифуркация решений краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с вырожденным ядром Bifurcations of solutions to a boundary-value problem for integro-differential systems with degenerate kernel Article published earlier |
| spellingShingle | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром Бондар, І.А. Овчар, Р.Ф. |
| title | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| title_alt | Бифуркация решений краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений с вырожденным ядром Bifurcations of solutions to a boundary-value problem for integro-differential systems with degenerate kernel |
| title_full | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| title_fullStr | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| title_full_unstemmed | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| title_short | Біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| title_sort | біфуркація розв'язків крайової задачі для систем інтегро-диференціальних рівнянь з виродженим ядром |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177326 |
| work_keys_str_mv | AT bondaría bífurkacíârozvâzkívkraiovoízadačídlâsistemíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzvirodženimâdrom AT ovčarrf bífurkacíârozvâzkívkraiovoízadačídlâsistemíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzvirodženimâdrom AT bondaría bifurkaciârešeniikraevoizadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravneniisvyroždennymâdrom AT ovčarrf bifurkaciârešeniikraevoizadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravneniisvyroždennymâdrom AT bondaría bifurcationsofsolutionstoaboundaryvalueproblemforintegrodifferentialsystemswithdegeneratekernel AT ovčarrf bifurcationsofsolutionstoaboundaryvalueproblemforintegrodifferentialsystemswithdegeneratekernel |