Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах
Розглянуто слабкозбуренi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених крайових задач для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. We consider weakly pert...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2017 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177328 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 488-501 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177328 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. 2021-02-14T11:05:05Z 2021-02-14T11:05:05Z 2017 Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 488-501 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177328 517.983 Розглянуто слабкозбуренi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених крайових задач для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. We consider weakly perturbed boundary-value problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces. We obtain bifurcation conditions for solutions of weakly perturbed boundaryvalue problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces spaces from the point ε = 0. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах Слабкозбурені крайові задачі для інтегральних рівнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах Weakly perturbed boundary-value problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| spellingShingle |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. |
| title_short |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_full |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_fullStr |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_full_unstemmed |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| title_sort |
слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах |
| author |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. |
| author_facet |
Журавлев, В.Ф. Фомин, Н.П. |
| publishDate |
2017 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Слабкозбурені крайові задачі для інтегральних рівнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах Weakly perturbed boundary-value problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces |
| description |
Розглянуто слабкозбуренi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбурених крайових задач для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових просторах.
We consider weakly perturbed boundary-value problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces. We obtain bifurcation conditions for solutions of weakly perturbed boundaryvalue problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces spaces from the point ε = 0.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177328 |
| citation_txt |
Слабовозмущенные краевые задачи для интегральных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах / В.Ф. Журавлев, Н.П. Фомин // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 4. — С. 488-501 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT žuravlevvf slabovozmuŝennyekraevyezadačidlâintegralʹnyhuravneniifredgolʹmasvyroždennymâdromvbanahovyhprostranstvah AT fominnp slabovozmuŝennyekraevyezadačidlâintegralʹnyhuravneniifredgolʹmasvyroždennymâdromvbanahovyhprostranstvah AT žuravlevvf slabkozbureníkraiovízadačídlâíntegralʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT fominnp slabkozbureníkraiovízadačídlâíntegralʹnihrívnânʹfredgolʹmazvirodženimâdromubanahovihprostorah AT žuravlevvf weaklyperturbedboundaryvalueproblemsforfredholmintegralequationswithdegeneratedkernelinbanachspaces AT fominnp weaklyperturbedboundaryvalueproblemsforfredholmintegralequationswithdegeneratedkernelinbanachspaces |
| first_indexed |
2025-11-27T08:49:07Z |
| last_indexed |
2025-11-27T08:49:07Z |
| _version_ |
1850810146668675072 |
| fulltext |
УДК 517.983
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА
С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин
Житомир. нац. агроэкол. у-т
бульвар Старый, 7, Житомир, 10008, Украина
e-mail: vfz2008@ukr.net
npfomin@gmail.com
We consider weakly perturbed boundary-value problems for Fredholm integral equations with degenerated
kernel in Banach spaces. We obtain bifurcation conditions for solutions of weakly perturbed boundary-
value problems for Fredholm integral equations with degenerated kernel in Banach spaces spaces from the
point ε = 0.We propose a converging procedure for finding solutions in the form of a series
∑+∞
i=−1 ε
izi(t)
in powers of ε.
Розглянуто слабкозбуренi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим
ядром у банахових просторах. Отримано умови бiфуркацiї з точки ε = 0 розв’язкiв слабкозбу-
рених крайових задач для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у банахових
просторах. Запропоновано збiжну iтерацiйну процедуру знаходження розв’язкiв у виглядi ряду∑+∞
i=−1 ε
izi(t) за степенями ε.
Настоящая статья является продолжением исследований, начатых в [1], относительно
изучения условий разрешимости и построения решений слабовозмущенных интеграль-
ных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах.
Задачи построения конструктивных методов анализа слабонелинейных краевых за-
дач для широкого класса систем функционально-дифференциальных и других уравнений
традиционно занимают одно из важных мест в качественной теории дифференциальных
уравнений и продолжают развитие методов теории возмущений, в частности методов ма-
лого параметра Ляпунова – Пуанкаре [2] и Вишика – Люстерника [3].
Исследование условий разрешимости и построение решений слабовозмущенных кра-
евых задач для систем обыкновенных дифференциальных и функционально-дифферен-
циальных уравнений с нетеровой линейной частью в евклидовых пространствах изуча-
лись в работах [4 – 6].
Эти методы были успешно применены А. А. Бойчуком и Е. В. Панасенко [7] при ис-
следовании слабовозмущенных краевых задач для систем обыкновенных дифференци-
альных уравнений в банаховом пространстве. Известно, что дифференциальная система
линейной порождающей (ε = 0) краевой задачи имеет решение при любой правой части,
т. е. по классификации С. Г. Крейна является везде разрешимой [8].
Слабовозмущенные краевые задачи для не везде разрешимых сингулярных диффе-
ренциальных уравнений в конечномерных пространствах исследовали А. А. Бойчук,
Л. М. Шегда [9].
Специфика исследования краевых задач для систем интегральных уравнений заклю-
чается в том, что их линейная часть является оператором, который не имеет обратно-
c© В. Ф. Журавлев, Н. П. Фомин, 2017
488 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 489
го [10], что существенно усложняет исследование краевых задач для таких уравнений.
Поэтому актуальной является задача об исследовании условий возникновения решений
слабовозмущенных краевых задач для не везде разрешимых интегральных уравнений
Фредгольма с вырожденным ядром в банаховых пространствах.
Постановка задачи. Пусть C(I,B1) — банахово пространство непрерывных на конеч-
ном промежутке I = [a, b] вектор-функций f(t) со значениями в банаховом пространст-
ве B1, f(t) ∈ C(I,B1) :=
{
f(·) : I → B1, |||f ||| = supt∈I ‖f(t)‖
}
, B — банахово про-
странство.
Рассмотрим слабовозмущенную линейную краевую задачу
(Lz)(t) := z(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z(s) ds = f(t) + ε
b∫
a
K(t, s)z(s) ds, (1)
`z(·) = α+ ε`1z(·), (2)
где оператор-функции M(t) и N(t) действуют из пространства B1 в B1, сильно непре-
рывны [11] с нормами |||M ||| = supt∈I ‖M(t)‖B1 = M0 < ∞ и |||N ||| = supt∈I ‖N(t)‖B1 =
= N0 < ∞, оператор-функция K(t, s) определена в квадрате I × I и действует из про-
странства B1 в B1 по каждой переменной, сильно непрерывна по t, s с нормой |||K||| =
= supt,s∈I ‖K(t, s)‖B1 < ∞, вектор-функция f(t) принадлежит C(I,B1), ` и `1 — линей-
ные непрерывные операторы, которые действуют из пространства C(I,B1) в банахо-
во пространство B : ` : C(I,B1) → B, `1 : C(I,B1) → B, α — элемент пространства
B : α ∈ B, ε << 1 — малый параметр.
Пусть порождающая краевая задача, которая получается из (1), (2) при ε = 0,
(Lz)(t) := z(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z(s)ds = f(t), (3)
`z(·) = α (4)
не имеет решений при произвольных неоднородностях f(t) ∈ C(I,B1) и α ∈ B.
Возникают вопросы: можно ли с помощью линейных возмущений сделать задачу (1),
(2) разрешимой и каким условиям должна удовлетворять оператор-функция K(t, s) в ин-
тегральном уравнении (1) и оператор `1 в краевом условии (2)? Для исследования суще-
ствования решений этих задач используется аппарат теории обобщенно-обратных опе-
раторов.
Предварительные сведения. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма (3) с
вырожденным ядром.
Пусть
D = IB1 −
b∫
a
N(s)M(s) ds
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
490 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
— линейный оператор, который действует из банахова пространства B1 в B1 и при сде-
ланных предположениях относительно оператор-функций M(t) и N(t) является ограни-
ченным.
Класс линейных ограниченных обобщенно-обратных операторов, которые действу-
ют из банахова пространства B в банахово пространство B, будем обозначать через
GI(B,B). Очевидно, что оператор, принадлежащий GI(B,B), нормально разрешим
[8, 12].
В [10] показано, что если оператор D принадлежит GI(B1,B1), то при выполнении
условия
PYD
b∫
a
N(s)f(s) ds = 0,
и только при нем, операторное уравнение (3) разрешимо и имеет семейство решений
z(t) = M(t)PN(D)c+
(
L−f
)
(t), (5)
где c — произвольный элемент банахова пространства B1,
(
L−f
)
(t) = f(t) +M(t)D−
b∫
a
N(s)f(s) ds
— ограниченный обобщенно-обратный оператор к интегральному оператору L. Здесь
PN(D) : B1 → N(D) — ограниченный проектор, который проектирует банахово про-
странство B1 на нуль-пространство N(D) оператора D, PYD
: B1 → YD — ограничен-
ный проектор, который проектирует банахово пространство B1 на подпространство YD,
изоморфное нуль-пространству N(D∗) сопряженного оператора D∗, D− — ограничен-
ный обобщенно-обратный оператор, который можно построить, используя методику из
[5, 6, 14].
Далее рассмотрим в банаховом пространстве B1 линейную краевую задачу (3), (4) для
интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
Решение краевой задачи (3), (4) для интегрального уравнения будем искать в банахо-
вом пространстве C(I,B1) непрерывных на промежутке I функций z(t), которые при-
нимают значения в действительном банаховом пространстве B1. Подставив решение (5)
неоднородного операторного уравнения (3) в краевое условие (4), получим операторное
уравнение
`(M(·)PN(D))c+ `f(·) + `M(·)D−
b∫
a
N(s)f(s) ds = α. (6)
Обозначим через Q = `M(·)PN(D) оператор, который действует из банахова про-
странства B1 в банахово пространство B. Оператор Q ограничен как суперпозиция огра-
ниченного оператора ` и ограниченной оператор-функции M(t)PN(D). Тогда уравнение
(6) примет вид
Qc = α− `f(·)− `M(·)D−
b∫
a
N(s)f(s) ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 491
Пусть оператор Q принадлежит GI(B1,B). Обозначим через PN(Q) : B1 → N(Q)
ограниченный проектор банахова пространства B1 на нуль-пространство N(Q) опера-
тора Q, а через PYQ
: B → YQ ограниченный проектор банахова пространства B на под-
пространство YQ ⊂ B.
Теорема 1 [13]. Пусть D ∈ GI(B1,B1) и Q ∈ GI(B1,B).
Тогда соответствующая (3), (4) однородная (f(t) = 0, α = 0) краевая задача имеет
семейство решений
z(t) = M̃(t)c, (7)
где M̃(t) = M(t)PN(D)PN(Q), c — произвольный элемент банахова пространства B1.
Неоднородная краевая задача (3), (4) разрешима для тех и только тех f(t) ∈ C(I,B1)
и α ∈ B, которые удовлетворяют системе условий
PYD
b∫
a
N(s)f(s) ds = 0,
PYQ
α− `f(·)− `M(·)D−
b∫
a
N(s)f(s)ds
= 0,
и при этом она имеет семейство решений
z(t) = M̃(t)c+ (Gf)(t) +M(t)PN(D)Q
−α,
где
(Gf)(t) :=
[
f(t)−M(t)PN(D)Q
−`f(·)
]
+
+M(t)
[
IB1 − PN(D)Q
−`M(·)
]
D−
b∫
a
N(s)f(s) ds (8)
— обобщенный оператор Грина соответствующей (3), (4) полуоднородной (α = 0)
краевой задачи.
Основной результат. Для решения поставленной задачи применим метод Вишика –
Люстерника [3] и найдем условия возникновения решений краевой задачи (1), (2) в виде
части ряда
z(t, ε) =
+∞∑
i=−1
εizi(t) (9)
по степеням малого параметра ε, который содержит отрицательную степень ε.
Подставив ряд (9) в краевую задачу (3), (4), приравняем коэффициенты при одинако-
вых степенях ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
492 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
При ε−1 приходим к однородной краевой задаче
z−1(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z−1(s) ds = 0, (10)
`z−1(·) = 0 (11)
для определения z−1(t).
По теореме 1 однородная краевая задача (10), (11) имеет решение
z−1(t, c−1) = M̃(t)c−1, (12)
где c−1 ∈ B1 — произвольный элемент, который будет найден ниже.
Приравнивая коэффициенты при ε0, получаем краевую задачу
z0(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z0(s) ds = f(t) +
b∫
a
K(t, s)z−1(s) ds, (13)
`z0(·) = α+ `1z−1(·) (14)
для определения коэффициента z0(t).
По теореме 1 линейная неоднородная краевая задача (13), (14) имеет решения тогда
и только тогда, когда выполняется система условий
PYD
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)z−1(τ) dτ
ds = 0,
PYQ
α+ `1M̃(·)c−1 − `
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z−1(s)ds
−
−`M(·)D−
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)z−1(τ) dτ
ds
= 0.
Подставив z−1(t, c−1) из (12), получим систему уравнений
PYD
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)M̃(τ)c−1dτ
ds = 0,
(15)
PYQ
α+ `1M̃(·)c−1 − `
f(·) +
b∫
a
K(·, s)M̃(s)c−1 ds
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 493
−`M(·)D−
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)M̃(τ)c−1dτ
ds
= 0.
Обозначив
B0 =
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)M̃(τ) dτ ds
PYQ
{
`1M̃(·)− `
∫ b
a
K(·, s)M̃(s) ds−
− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)M̃(τ) dτ ds
}
, (16)
из (15) получим операторное уравнение относительно элемента c−1 ∈ B1:
B0c−1 = −
PYD
∫ b
a
N(s)f(s) ds
PYQ
{
α− `f(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)f(s) ds
}
. (17)
Оператор B0 действует из банахова пространства B1 в прямое произведение банахо-
вых пространств B1×B. Пусть оператор B0 принадлежит GI(B1,B1×B). Тогда он нор-
мально разрешим и существуют ограниченные проекторы PN(B0) : B1 → N(B0), PYB0
:
B1 × B → YB0 и ограниченный обобщенно-обратный оператор B−0 : B1 × B → B1 к
оператору B0.
В результате нормальной разрешимости оператора B0 уравнение (17) имеет решение
тогда и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условиям
PYB0
PYD
∫ b
a
N(s)f(s) ds
PYQ
{
α− `f(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)f(s) ds
}
= 0.
Последнее условие будет выполняться, если выполняется условие
PYB0
[
PYD
PYQ
]
= 0, (18)
а операторное уравнение (17) при этом будет иметь хотя бы одно решение
c−1 = −B−0
PYD
∫ b
a
N(s)f(s) ds
PYQ
{
α− `f(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)f(s) ds
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
494 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
Подставляя найденное c−1 в (12), получаем решение
z−1(t, c−1) = −M̃(t)B−0
PYD
∫ b
a
N(s)f(s) ds
PYQ
{
α− `f(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)f(s) ds
}
краевой задачи (10), (11). При этом краевая задача (13), (14) имеет семейство решений
z0(t, c0) = M̃(t)c0 + z̄0(t), (19)
где c0 ∈ B1 — произвольный элемент пространства B1, который будет определен на
следующем шаге итерационного процесса,
z̄0(t) = M(t)PN(D)Q
− [α+ `1z−1(·, c−1)] +
G
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z−1(s) ds
(t),
G — обобщенный оператор Грина (8).
Обобщенный оператор ГринаG краевой задачи (13), (14) действует на оператор-функ-
цию f(t) +
∫ b
a
K(t, s)z−1(s) ds по правилу
G
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z−1(s)ds
(t) := f(t) +
b∫
a
K(t, s)z−1(s) ds−
−M(t)PN(D)Q
−`
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z−1(s) ds
+
+M(t)
[
IB1 − PN(D)Q
−`M(·)
]
×
×D−
b∫
a
N(s)
f(s) +
b∫
a
K(s, τ)z−1(s) dτ
ds.
При ε1 для определения коэффициента z1(t) приходим к краевой задаче
z1(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z1(s) ds =
b∫
a
K(t, s)z0(s) ds, (20)
`z1(·) = `1z0(·). (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 495
По теореме 1 линейная неоднородная краевая задача (20), (21) разрешима тогда и
только тогда, когда выполняется система условий
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z0(τ) dτ ds = 0,
PYQ
`1 [M̃(·)c0 + z̄0(·)
]
− `
b∫
a
K(·, s)z0(s)ds−
−`M(·)D−
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z0(τ) dτ ds
= 0.
Подставляя z0(t, c0) из (19), с учетом (16) получаем операторное уравнение относительно
элемента c0 ∈ B1:
B0c0 = −
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄0(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
}
. (22)
Вследствие нормальной разрешимости оператора B0 уравнение (22) имеет решение тог-
да и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условию
PYB0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄0(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
}
= 0.
При выполнении (18) это условие будет выполнено и операторное уравнение (22) будет
иметь хотя бы одно решение
c0 = −B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄0(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
}
.
Подставляя c0 в (19), получаем решение краевой задачи (13), (14):
z0(t, c0) =−M̃(t)B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄0(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄0(τ) dτ ds
}
+ z̄0(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
496 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
При этом краевая задача (20), (21) имеет семейство решений
z1(t, c1) = M̃(t)c1 + z̄1(t), (23)
где
z̄1(t) = M(t)PN(D)Q
−`1z0(·) +
G
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z0(s)ds
(t),
G — обобщенный оператор Грина (8), а c1 ∈ B1 — произвольный элемент пространства
B1, который будет определен на следующем шаге итерационного процесса.
При ε2 для определения коэффициента z2(t) приходим к краевой задаче
z2(t)−M(t)
b∫
a
N(s)z2(s) ds =
b∫
a
K(t, s)z1(s) ds, (24)
`z2(·) = `1z1(·). (25)
По теореме 1 линейная неоднородная краевая задача (24), (25) разрешима тогда и
только тогда, когда выполняется система условий
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z1(τ)dτ ds = 0,
PYQ
`1 [M̃(·)c1 + z̄1(·)
]
− `
b∫
a
K(·, s)z1(s) ds−
−`M(·)D−
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)z1(τ) dτ ds
= 0.
Подставляя z1(t, c1) из (23), с учетом (16) получаем операторное уравнение относительно
элемента c1 ∈ B1:
B0c1 = −
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
}
. (26)
Вследствие нормальной разрешимости оператора B0 уравнение (26) имеет решение тог-
да и только тогда, когда его правая часть удовлетворяет условиям
PYB0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
}
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 497
При выполнении условия (18) эти условия будут выполнены и операторное уравнение
(26) будет иметь хотя бы одно решение
c1 = −B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
}
.
Подставляя найденное c1 в (23), получаем решение краевой задачи (20), (21):
z1(t) =−M̃(t)B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄1(τ) dτ ds
}
+ z̄1(t).
При этом краевая задача (24), (25) имеет семейство решений
z2(t, c2) = M̃(t)c2 + z̄2(t),
где
z̄2(t) = M(t)PN(D)Q
−`1z1(·) +
G
f(·) +
b∫
a
K(·, s)z1(s) ds
(t),
G — обобщенный оператор Грина (8), а c2 — произвольный элемент пространства B1,
который будет определен на следующем шаге итерационного процесса.
Действуя по индукции, для определения коэффициентов zi(t) при εi ряда (9) приходим
к краевым задачам
zi(t)−M(t)
b∫
a
N(s)zi(s) ds =
b∫
a
K(t, s)zi−1(s) ds, (27)
`zi(·) = `1zi−1(·) (28)
для определения коэффициентов zi(t).
Линейные неоднородные краевые задачи (27), (28) по теореме 1 разрешимы тогда и
только тогда, когда выполняется система условий
PYD
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)zi−1(τ) dτ ds = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
498 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИН
PYQ
`1 [M̃(·)ci−1 + z̄i−1(·)
]
− `
b∫
a
K(·, s)zi−1(s)ds−
−`M(·)D−
b∫
a
N(s)
b∫
a
K(s, τ)zi−1(τ) dτ ds
= 0.
Подставляя
zi−1(t, ci−1) = M̃(t)ci−1 + z̄i−1(t), (29)
с учетом (16) получаем операторные уравнения относительно элементов ci−1 ∈ B1:
B0ci−1 = −
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄i−1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
}
. (30)
Вследствие нормальной разрешимости оператораB0 уравнения (30) имеют решения тог-
да и только тогда, когда
PYB0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄i−1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
}
= 0. (31)
При выполнении условия (18) условия (31) будут выполняться и каждое из операторных
уравнений (30) будет иметь хотя бы одно решение
ci−1 = −B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄0(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
}
.
Подставляя ci−1 в (29), получаем решения краевых задач (27), (28):
zi−1(t) = −M̃(t)B−0 ×
×
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄i−1(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i−1(τ) dτ ds
}
+ z̄i−1(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 499
где
z̄i(t) = M(t)PN(D)Q
−`1zi−1(·) +
G b∫
a
K(·, s)zi−1(s) ds
(t).
Таким образом, имеем итерационный алгоритм построения решения краевой задачи
(1), (2):
zi(t, ci) =
M(t)PN(D)PN(Q)c−1, если i = −1,
M(t)PN(D)PN(Q)ci + z̄i(t), если i = 0,∞,
(32)
ci =
−B−0
PYD
∫ b
a
N(s)f(s)ds
PYQ
{
α− `f(·)− `M(·)D− ×
×
∫ b
a
N(s)f(s) ds
}
, если i = −1,
−B−0
PYD
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z̄i(τ) dτ ds
PYQ
{
`1z̄i(·)− `M(·)D−
∫ b
a
N(s)×
×
∫ b
a
K(s, τ)z̄i(τ)dτds
}
, если i = 0,∞,
(33)
z̄i(t) =
M(t)PN(D)Q
− [α+ `1z−1(·, c−1)] +
+
(
G
[
f(·) +
∫ b
a
K(·, s)z−1(s) ds
])
(t), если i = 0,
M(t)PN(D)Q
−`1zi−1(·)+
+
(
G
∫ b
a
K(·, s)zi−1(s) ds
)
(t), если i = 1,∞,
(34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
500 В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, Н. П. ФОМИНG b∫
a
K(·, s)zi−1(s) ds
(t) :=
:=
f(t) +
∫ b
a
K(t, s)z−1(s) ds−M(t)PN(D)Q
−`×
×
[
f(·) +
∫ b
a
K(·, s)z−1(s) ds
]
+
+M(t)
[
IB1 − PN(D)Q
−`M(·)
]
×
×D−
∫ b
a
N(s)
[
f(s) +
∫ b
a
K(s, τ)z−1(s) dτ
]
ds, если i = 0,
∫ b
a
K(t, s)zi−1(s) ds−M(t)PN(D)Q
−×
×`
∫ b
a
K(·, s)zi−1(s) ds+M(t)
[
IB1 − PN(D)Q
−`M(·)
]
×
×D−
∫ b
a
N(s)
∫ b
a
K(s, τ)z−1(s) dτ ds, если i = 1,∞.
(35)
Доказательство сходимости ряда (9) можно провести, используя методику [1, 5, 7].
Теорема 2. Пусть D ∈ GI(B1,B1), Q ∈ GI(B1,B) и порождающая краевая задача
(3), (4) при произвольных неоднородностях f(t) ∈ C(I,B1) и α ∈ B не имеет решений.
Тогда если операторB0 ∈ GI(B1,B1×B) и выполняются условия (18), то слабовоз-
мущенная краевая задача (1), (2) при произвольных неоднородностях f(t) ∈ C(I,B1)
и α ∈ B имеет семейство решений в виде абсолютно сходящегося при произвольных
фиксированных ε ∈ (0, ε∗] ряда
z(t, ε) =
+∞∑
i=−1
εizi(t),
коэффициенты которого определяются с помощью итерационного алгоритма (32) –
(35).
Замечание 1. Если PN(B0) = 0, то операторные уравнения (17), (22) и т. д. на каждом
шаге итерационного процесса будут n-нормальными и однозначно разрешимыми [14].
При этом оператор B−0 будет левым обратным оператором (B0)
−1
l .
Тогда при выполнении условий (18) краевая задача (1), (2) будет иметь семейство ре-
шений в виде ряда (4), коэффициенты которого определяются с помощью итерационно-
го алгоритма (32) – (35), в котором B−0 = (B0)
−1
l .
Замечание 2. Если PYB0
= 0, то операторные уравнения (17), (22) и т. д. на каждом
шаге итерационного процесса будут d-нормальными и везде разрешимыми [14]. При этом
оператор B−0 будет правым обратным оператором (B0)
−1
r .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
СЛАБОВОЗМУЩЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА . . . 501
Тогда условия (18) будут всегда выполненными и краевая задача (1), (2) при про-
извольных неоднородностях f(t) ∈ C(I,B1) будет иметь семейство решений в виде ряда
(4), коэффициенты которого определяются с помощью итерационного алгоритма (32) –
(35), в котором B−0 = (B0)
−1
r .
Замечание 3. Условия (18) являются достаточными условиями существования реше-
ния краевой задачи (1), (2). Если эти условия не выполняются, то решение краевой за-
дачи (1), (2) в виде ряда (4) не существует. Но решение краевой задачи (1), (2) может
существовать в виде ряда
∑+∞
i=−2 ε
izi(t).
Литература
1. Журавлев В. Ф., Фомин Н. П. Слабовозмущенные интегральные уравнения Фредгольма с вырожден-
ным ядром в банаховых пространствах // Нелiнiйнi коливання. — 2017. — 20, № 1. — С. 85 – 97.
2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1950. — 472 с.
3. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. – C. 3 – 80.
4. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — Киев: Наук. думка, 1990. — 96 с.
5. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 319 с.
6. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 323 p.
7. Бойчук А. А., Панасенко Є. В. Слабкозбуренi крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь у банахо-
вому просторi // Нелiнiйнi коливання. — 2010. — 13, № 3. — C. 291 – 304.
8. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971. — 104 с.
9. Boichuk A. A., Shegda L. M. Bifurcation of solutions of singular Fredholm boundary-value problems //
Different. Equat. — 2011. — 47, № 4. — P. 453 – 461.
10. Zhuravl’ov V. P. Generalized inversion of Fredholm integral operators with degenerate kernels in Banach
spaces // J. Math. Sci. — 2015. — 212, № 3. — P. 275 – 289.
11. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 534 с.
12. Попов М. М. Доповнювальнi простори i деякi задачi сучасної геометрiї просторiв Банаха // Матема-
тика сьогоднi’07. — 2007. — Вип. 13. — C. 78 – 116.
13. Журавльов В. П. Лiнiйнi крайовi задачi для iнтегральних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром у
банахових просторах // Бук. мат. журн. — 2014. — 2, № 4. — С. 57 – 66.
14. Zhuravlev V. F. Solvability criterion and representation of solutions of n-normal and d-normal linear operator
equations in a Banach space // Ukr. Math. J. — 2010. — 62, № 2. — P. 186 – 202.
Получено 11.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 4
|