Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями
З використанням теорiї полiномiальних матричних в’язок побудовано асимптотику лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної сингулярно збуреної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь довiльного m-го порядку з матрицею при старших похiдних, яка вироджується з прямуванням малого параметра до нуля. Розгля...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177334 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями / С.П. Пафик // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 368-396 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860047998326669312 |
|---|---|
| author | Пафик, С.П. |
| author_facet | Пафик, С.П. |
| citation_txt | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями / С.П. Пафик // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 368-396 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | З використанням теорiї полiномiальних матричних в’язок побудовано асимптотику лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної сингулярно збуреної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь довiльного m-го порядку з матрицею при старших похiдних, яка вироджується з прямуванням малого параметра до нуля. Розглянуто загальний випадок. А саме, передбачено, що гранична в’язка матриць має кiлька скiнченних i кiлька нескiнченних елементарних дiльникiв як однакової, так i рiзної кратностi. Наведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки.
By using the theory of polynomial matrix pencils, we construct the asymptotics of linearly independent solutions of the homogeneous singularly perturbed system of linear differential equations of arbitrary order m with matrix of higher derivatives, which degenerates as a small parameter tends to zero. The general case is considered. In this case, the limit matrix pencil has several finite and infinite elementary divisors of both the same and different multiplicities. The corresponding asymptotic estimates are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:59:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.928
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ З ВИРОДЖЕННЯМИ
С. П. Пафик
Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова
вул. Пирогова, 9, м. Київ, 01030, Україна
e-mail: s.p.pafyk@npu.edu.ua
By using the theory of polynomial matrix pencils, we construct the asymptotics of linearly independent
solutions of the homogeneous singularly perturbed system of linear differential equations of arbitrary order
m with matrix of higher derivatives, which degenerates as a small parameter tends to zero. The general
case is considered. In this case, the limit matrix pencil has several finite and infinite elementary divisors
of both the same and different multiplicities. The corresponding asymptotic estimates are given.
З використанням теорiї полiномiальних матричних в’язок побудовано асимптотику лiнiйно не-
залежних розв’язкiв однорiдної сингулярно збуреної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь
довiльного m-го порядку з матрицею при старших похiдних, яка вироджується з прямуванням ма-
лого параметра до нуля. Розглянуто загальний випадок. А саме, передбачено, що гранична в’язка
матриць має кiлька скiнченних i кiлька нескiнченних елементарних дiльникiв як однакової, так i
рiзної кратностi. Наведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки.
1. Постановка задачi. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь вигляду
εmhAm(t, ε)
dmx
dtm
+ ε(m−1)hAm−1(t, ε)
dm−1x
dtm−1
+ . . .+ εhA1(t, ε)
dx
dt
+A0(t, ε)x = 0, (1.1)
де x(t, ε) —шуканий n-вимiрний вектор, Ai(t, ε), i = 0,m,—дiйснi або комплекснозначнi
(n× n)-матрицi, ε ∈ (0; ε0] — малий дiйсний параметр, h ∈ N, ε0 � 1, t ∈ [0;T ].
Припускаємо, що виконуються такi умови:
1◦. Матрицi Ai(t, ε), i = 0,m, допускають на вiдрiзку [0;T ] рiвномiрнi асимптотичнi
розвинення за степенями ε :
Ai(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkA
(k)
i (t), i = 0,m. (1.2)
2◦. Матрицi A(k)
i (t), i = 0,m, k = 0, 1, . . . , — нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiз-
ку [0;T ].
3◦. detA
(0)
m (t) = 0 ∀tε[0;T ].
4◦. Гранична в’язка матриць
P (t, λ) =
m∑
i=0
λiA
(0)
i (t) (1.3)
системи (1.1) регулярна при всiх t ∈ [0;T ] i має кратне власне значення λ0(t), якому вiдпо-
вiдає ri скiнченних елементарних дiльникiв кратностi pi, i = 1, α, а також sj нескiнченних
елементарних дiльникiв кратностi qj , j = 1, β, причому
© С. П. Пафик, 2018
368 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 369
p1 > p2 > . . . > pα, q1 > q2 > . . . > qβ, r1 + r2 + . . .+ rα = r,
s1 + s2 + . . .+ sβ = s, r1p1 + r2p2 + . . .+ rαpα + s1q1 + s2q2 + . . .+ sβqβ = mn.
Тут i далi символом (x, y) позначається скалярний добуток у n-вимiрному комплексному
просторi.
Питання побудови асимптотичних розв’язкiв системи (1.1) за степенями малого па-
раметра вивчалося в роботах [1 – 3]. Так, у роботi [1] система (1.1) дослiджувалася у
випадку простих скiнченних та нескiнченних елементарних дiльникiв граничної в’язки
матриць (1.3), а в [2, 3] розглядалися випадки, коли в’язка матриць (1.3) має кратнi скiн-
ченнi та нескiнченнi елементарнi дiльники. Зокрема, в [2] дослiджено випадок, коли в’язка
матриць (1.3) має по одному скiнченному та нескiнченному елементарному дiльнику, а в
[3] — коли вона має кiлька скiнченних i нескiнченних елементарних дiльникiв однакової
кратностi.
У данiй роботi розглядається найбiльш загальний випадок, коли гранична в’язка мат-
риць (1.3) має кiлька скiнченних i нескiнченних елементарних дiльникiв як однакової, так
i рiзної кратностi.
Для дослiдження асимптотики лiнiйно незалежних розв’язкiв системи (1.1) використо-
вується теорiя полiномiальних матричних в’язок, викладена в [1]. У пунктi 2 доводиться
основна теорема, яка визначає вигляд формальних розв’язкiв системи (1.1) у загальному
випадку. При доведеннi цiєї теореми подається алгоритм, за яким визначаються коефiцi-
єнти вiдповiдних формальних розвинень. У заключному пунктi 3 сформульовано умови,
при виконаннi яких побудованi формальнi розв’язки мають асимптотичний характер, i
наводяться вiдповiднi асимптотичнi оцiнки.
2. Побудова формальних розв’язкiв. Розв’язки системи рiвнянь (1.1), що вiдповiдають
скiнченним елементарним дiльникам граничної в’язки матриць P (t, λ), будемо шукати у
виглядi
x(t, µ) = u(t, µ) exp
ε−h t∫
0
λ(τ, µ)dτ
, (2.1)
де u(t, µ) — n-вимiрний вектор, а λ(t, µ) —скалярна функцiя, якi зображаються у виглядi
формальних розвинень
u(t, µ) =
∞∑
k=0
µku(k)(t), (2.2)
λ(t, µ) =
∞∑
k=0
µkλ(k)(t), (2.3)
в яких µ = pi
√
ε, i = 1, α.
Покажемо, що вектор (2.1) формально задовольняє систему (1.1). Для цього пiдставимо
вектор (2.1) в систему (1.1). Диференцiюючи (2.1) k разiв, отримуємо рекурентний вираз
dkx
dtk
=
k∑
i=0
i∑
j=0
ε−jhCik
dk−iu(t, µ)
dtk−i
Di−j
[
λj
]
exp
ε−h t∫
0
λ(τ, µ)dτ
, k = 0,m, (2.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
370 С. П. ПАФИК
де
Di−j
[
λj
]
=
∑
s1+s2+...+sj=i−j
j∏
α=1
Γsα [λ], j = 1, i, i = 1,m, (2.5)
— суми всiляких добуткiв j операторiв Γsα [λ] =
dsα
dtsα
λ(t, µ), α = 1, j, з цiлими невiд’єм-
ними iндексами, сума яких дорiвнює i − j. Оператори диференцiювання, якi мiстяться в
Γsα [λ], дiють на весь вираз праворуч вiд них.
Пiдставивши вектори (2.4) у систему (1.1), дiстанемо
m∑
k=0
k∑
i=0
i∑
j=0
ε(k−j)hCikDi−j [λ
j ]Ak(t, ε)
dk−iu(t, µ)
dtk−i
= 0. (2.6)
Оскiльки функцiя λ(t, µ) зображається у виглядi формального розвинення (2.3), функ-
цiї Di−j [λ
j ], j = 1, i, i = 1,m, визначенi формулою (2.5), теж можна подати у виглядi
формальних розвинень за степенями µ :
Di−j [λ
j ] =
∞∑
k=0
µkD
(k)
i−j
[
λj
]
, j = 1, i, i = 1,m, (2.7)
де
D
(k)
i−j
[
λj
]
=
∑
s1+s2+...+sj=i−j
∑
k1+k2+...+kj=k
j∏
α=1
Γ(kα)
sα [λ], j = 1, i, i = 1,m (2.8)
(пiдсумовування здiйснюється за всiма можливими наборами цiлих невiд’ємних iндексiв
sα, kα, α = 1, j, причому сума нижнiх iндексiв дорiвнює i− j, а верхнiх — k ).
Пiдставивши в (2.6) розвинення (1.2), (2.2), (2.3), (2.7) та прирiвнявши в отриманiй
рiвностi коефiцiєнти при однакових степенях параметра ε, в результатi отримаємо нескiн-
ченну систему векторних рiвнянь
P
(
t, λ(0)(t)
)
u(0)(t) = 0, (2.9)
P
(
t, λ(0)(t)
)
u(s)(t) = a
(s)
i (t), i = 1, α, s = 1, 2, . . . , (2.10)
де
a
(s)
i (t) = −
m∑
k=1
s∑
γ=1
D
(γ)
0
[
λk
]
A
(0)
k (t)u(s−γ)(t) + g
(s)
i (t), i = 1, α, s = 1, 2, . . . , (2.11)
g
(s)
i (t) = −
m∑
k=0
s−pi∑
γ=0
[
s−γ
pi
]∑
j=1
D
(γ)
0 [λk]A
(j)
k (t)u(s−γ−jpi)(t)−
−
m∑
k=1
k−1∑
γ=0
γ∑
j=0
s−(k−j)pih∑
δ=0
[
s−δ−(k−j)pih
pi
]∑
l=0
CγkD
(δ)
γ−j
[
λj
]
A
(l)
k (t)
dk−γu(s−δ−lpi−(k−j)pih)(t)
dtk−γ
−
−
m∑
k=2
k−1∑
γ=1
s−(k−γ)pih∑
j=0
[
s−j−(k−γ)pih)
pi
]∑
δ=0
D
(j)
k−γ [λγ ]A
(δ)
k (t)u(s−j−δpi−(k−γ)pih)(t), (2.12)
s = pi, pi + 1, . . . , i = 1, α.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 371
Покажемо, що з цiєї системи можна визначити будь-якi коефiцiєнти розвинень (2.2),
(2.3) при виконаннi умови 4◦.
З рiвняння (2.9) вiдразу дiстанемо
λ(0)(t) = λ0(t). (2.13)
Система (2.10) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли виконується наступна умова:(
a
(s)
i (t), ψj(t)
)
= 0, j = 1, rγ , i, γ = 1, α, s = 1, 2, . . . , (2.14)
де ψj(t), j = 1, rγ , γ = 1, α, — базиснi елементи нуль-простору матрицi P ∗(t, λ0(t)),
спряженої до матрицi P (t, λ0(t)).
Умову (2.14) представимо в зручному для нас виглядi. Для цього зробимо деякi до-
датковi викладки. Позначимо через E0 лiнiйну оболонку власних векторiв ϕi(t), i = 1, r
(r1 + r2 + . . . + rα = r), в’язки матриць P (t, λ0(t)), а через E0j , j = 1, α, — лiнiйну обо-
лонку векторiв ϕr1+r2+...+rj−1+i(t), i = 1, rj , j = 1, α. Тодi пiдпростiр E0 є прямою сумою
пiдпросторiв E0j , j = 1, α : E0 = E01⊕E02⊕. . .⊕E0α. Введемо до розгляду оператори проек-
тування Qj , j = 1, α, якi вiдображають n-вимiрний простiр E на rj -вимiрний пiдпростiр
E0j , j = 1, α, за правилом
Qju(t) =
rj∑
i=1
(
u(t), ψr1+r2+...+rj−1+i(t)
)
ϕr1+r2+...+rj−1+i(t), j = 1, α ∀t ∈ [0;T ].
Тодi умова сумiсностi (2.14) еквiвалентна такiй:
Qja
(s)
i (t) = 0, i, j = 1, α, s = 1, 2, . . . . (2.15)
При виконаннi цiєї умови вектори u(s)(t), s = 0, 1, . . . , визначатимемо за формулами
u(0)(t) = y(0)(t), (2.16)
u(s)(t) = H(t)a
(s)
i (t) + y(s)(t), s = 1, 2, . . . , (2.17)
де y(s)(t), s = 0, 1, . . . , — вектори з пiдпростору E0, якi потрiбно визначити так, щоб ви-
конувалась умова сумiсностi (2.15), а H(t) —матриця, напiвобернена доматрицi P (t, λ0(t)).
Умову (2.15) використаємо для визначення функцiй λ(j)(t), j = 1, 2, . . . , i векторiв
u(j)(t), j = 0, 1, . . . . Згiдно з результатами, отриманими в [3], вектори a
(s)
i (t) можемо
представити у виглядi
a
(s)
i (t) = −
s−1∑
k=0
s−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(s−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)(t)+
+
s−pi−1∑
j=0
s−pi−j∑
γ=1
P (s−pi−j)
γ (λ)σγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t)+
+ g
(s)
i (t), i = 1, α, s = 1, 2, . . . , (2.18)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
372 С. П. ПАФИК
де
P
(s)
i (λ) =
∑
j1+j2+...+ji=s
λ(j1)(t)λ(j2)(t) . . . λ(ji)(t)
— сума можливих добуткiв i функцiй λ(j)(t) з натуральними iндексами jk, сума яких
дорiвнює s. Вирази σi(H1, H2, . . . ,Hm) визначаються за рекурентними формулами
σ1(H1, H2, . . . ,Hm) = E,
σi(H1, H2, . . . ,Hm) =
min(i−1,m)∑
j=1
Hj(t)σ
i−j(H1, H2, . . . ,Hm), i = 2, 3, . . . .
У рiвностi (2.18) матрицi Hk(t), H̃k(t), k = 1,m, визначаються за формулами
Hk(t) = −H(t)
∂kP (t, λ0(t))
k!∂λk
,
H̃k(t) = −∂
kP (t, λ0(t))
k!∂λk
H(t), k = 1,m,
де
∂kP (t, λ0(t))
k!∂λk
=
m∑
i=k
Cki (λ0(t))
i−kA
(0)
i (t), k = 1,m.
Оскiльки за умовою 4◦ в’язка матриць (1.3) має ri > 1, i = 1, α, скiнченних еле-
ментарних дiльникiв кратнiстю pi > 1, i = 1, α, то згiдно з [1] їм вiдповiдає ri жорда-
нових ланцюжкiв завдовжки pi, i = 1, α, кожний. Цi ланцюжки складаються з власних
векторiв ϕ
(1)
r1+r2+...+rk−1+i
(t), i = 1, rk, k = 1, α, та вiдповiдних приєднаних векторiв
ϕ
(j)
r1+r2+...+rk−1+i
(t), i = 1, rk, j = 2, pk, k = 1, α, якi задовольняють спiввiдношення
P (t, λ0(t))ϕ
(1)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) = 0, i = 1, rk, k = 1, α, (2.19)
P (t, λ0(t))ϕ
(j)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) +
min(j−1,m)∑
γ=1
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
ϕ
(j−γ)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) = 0, (2.20)
i = 1, rk, j = 2, pk, k = 1, α, а рiвняння
P (t, λ0(t)) yr1+r2+...+rk−1+i +
min(pk,m)∑
γ=1
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
ϕ
(pk+1−γ)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) = 0,
i = 1, rk, k = 1, α, нерозв’язнi вiдносно векторiв yr1+r2+...+rk−1+i, i = 1, rk, k = 1, α.
Враховуючи сумiснiсть рiвнянь (2.19), (2.20), вектори цих жорданових ланцюжкiв ви-
значаємо за формулами
ϕ
(1)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) = ϕr1+r2+...+rk−1+i(t), i = 1, rk, k = 1, α,
ϕ
(j)
r1+r2+...+rk−1+i
(t) = σj (H1, H2, . . . ,Hm)×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 373
× ϕr1+r2+...+rk−1+i(t), i = 1, rk, j = 2, pk, k = 1, α. (2.21)
Вектори ψj(t), j = 1, r, r = r1 + r2 + . . . + rα, як i власнi вектори ϕr1+r2+...+rk−1+i(t),
i = 1, rk, k = 1, α, визначаються неоднозначно, але при будь-якому їх виборi з урахуванням
[3] справедлива формула
det
∥∥∥∥∥
(
min(pk,m)∑
γ=1
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
ϕ
(pk+1−γ)
r1+r2+...+rk−1+i
(t),
ψr1+r2+...+rk−1+j(t)
)∥∥∥∥∥
i,j=1,rk, k=1,α
6= 0 ∀t ∈ [0;T ].
Це дає змогу з урахуванням формули (2.21) визначити вектори ψr1+r2+...+rk−1+j(t), j =
= 1, rk, k = 1, α, так, щоб виконувалися спiввiдношення(
min(pk,m)∑
γ=1
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σpk−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)×
× ϕr1+r2+...+rk−1+i(t), ψr1+r2+...+rk−1+j(t)
)
=
= δr1+...+rk−1+i,r1+...+rk−1+j , i, j = 1, rk, k = 1, α. (2.22)
Виходячи з сумiсностi систем (2.19), (2.20) та рiвностей (2.21), (2.22), можна переконатися
в таких властивостях операторiв проектування Ql, l = 1, α : якщо y(1)k (t) ∈ E0k, k = 1, α, то
min(j,m)∑
γ=1
Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(1)
k (t) = 0, j = 1, pk − 1, k, l = 1, α,
(2.23)
min(pk,m)∑
γ=1
Qk
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σpk−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(1)
k (t) = y
(1)
k (t), k = 1, α, (2.24)
min(pk,m)∑
γ=1
Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σpk−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(1)
k (t) = 0, k 6= l, k = 1, α. (2.25)
Оскiльки y(k)(t) ∈ E0, а E0 = E01 ⊕ E02 ⊕ . . .⊕ E0α, маємо
y(k)(t) =
α∑
n=1
y(k)n (t),
де y(k)n (t) ∈ E0n, n = 1, α. Тодi формула (2.18) набуває вигляду
a
(s)
i (t) = −
α∑
n=1
s−1∑
k=0
s−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(s−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
374 С. П. ПАФИК
+
s−pi−1∑
j=0
s−pi−j∑
γ=1
P (s−pi−j)
γ (λ)σγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
×
× g(pi+j)i (t) + g
(s)
i (t), i = 1, α, s = 1, 2, . . . . (2.26)
З рiвностi (2.26), враховуючи властивостi (2.23) – (2.25) операторiв проектування Ql,
l = 1, α, приходимо до висновку, що умова сумiсностi (2.15) при s = 1, pα − 1 виконується.
Зафiксуємо i, i = 1, α. Знайдемо розв’язки, якi вiдповiдають ri скiнченним елемен-
тарним дiльникам в’язки матриць (3.5) кратностi pi. Для цього використаємо вектори
a
(s)
i (t), s = 1, 2, . . . . Як було встановлено вище, при s = 1, pα − 1 умова сумiсностi (2.15)
виконується. Розглянемо її при s = pα :
Qla
(pα)
i (t) = 0, l = 1, α,
або
α∑
n=1
pα−1∑
k=0
pα−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(pα−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1×
× (H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) = 0, l = 1, α, pα < pi.
З урахуванням (2.23) – (2.25) остання рiвнiсть запишеться у виглядi P (pα)
pα (λ)y
(0)
α (t) = 0.
Оскiльки P (pα)
pα (λ) 6= 0, маємо y(0)α (t) = 0.
Використовуючи метод математичної iндукцiї, неважко переконатися, що при s =
= pα, pα−1 − pα − 1, pα−1 < pi, умова (2.15) для векторiв a(s)i (t) зведеться до умови
y(k)α (t) = 0, k = 0, pα−1 − pα − 1. (2.27)
При s = pα−1 одержимо
α∑
n=1
pα−1−1∑
k=0
pα−1−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(pα−1−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1×
× (H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) = 0, l = 1, α, pα−1 < pi.
Беручи до уваги (2.27), звiдси маємо
pα−1−1∑
k=pα−1−pα
pα−1−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(pα−1−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)α (t)+
+
α−1∑
n=1
pα−1−1∑
k=0
pα−1−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
P
(pα−1−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) = 0, l = 1, α, pα−1 < pi.
Враховуючи властивостi (2.23) – (2.25) операторiв проектування Ql, l = 1, α, одержуємо
P (pα−1)
pα−1
(λ)y
(0)
α−1(t) = 0, P (pα)
pα (λ)y(pα−1−pα)
α (t) = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 375
звiдки
y
(0)
α−1(t) = 0, y(pα−1−pα)
α (t) = 0.
При s < pα−2 < pi дiстанемо
y(k)α (t) = 0, k = 0, pα−2 − pα − 1, y
(k)
α−1(t) = 0, k = 0, pα−2 − pα−1 − 1.
Продовжуючи цей процес, встановимо, що
y(k)n (t) = 0, n = i+ 1, α, k = 0, pi − pn − 1. (2.28)
Розглянемо тепер умову (2.15) для вектора a(pi)i (t) :
−
α∑
n=1
pi−1∑
k=0
pi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1×
× (H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) +Qlg
(pi)
i (t) = 0, l = 1, α.
З урахуванням формули (2.28) цi рiвностi набувають вигляду
−
i−1∑
n=1
pi−1∑
k=0
pi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
−
pi−1∑
k=0
pi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
−
α∑
n=i+1
pi−1∑
k=pi−pn
pi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1×
× (H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) +Qlg
(pi)
i (t) = 0, l = 1, α.
Згiдно з (2.23) – (2.25), звiдси маємо Qlg(pi)i (t) = 0, l = 1, i− 1, P
(pi)
pi (λ)y
(0)
i (t)−Qig(pi)i (t) =
= 0, P
(pl)
pl (λ)y
(pi−pl)
l (t)−Qlg
(pi)
i (t) = 0, l = i+ 1, α.
Беручи до уваги, що g(pi)i (t) = −K(t)y(0)(t), де
K(t) =
m∑
k=0
λk0(t)A
(1)
k (t) + δ1,h
m∑
k=1
Ck−1k λk−10 (t)A
(0)
k (t)
d
dt
+ δ1,h
m∑
k=2
k−1∑
i=1
λk−1−i0 (t)
dλi0(t)
dt
A
(0)
k (t),
одержуємо
QlK(t)y(0)(t) = 0, l = 1, i− 1,
P (pi)
pi (λ)y
(0)
i (t) +QiK(t)y(0)(t) = 0, P (pl)
pl
(λ)y
(pi−pl)
l (t) +QlK(t)y(0)(t) = 0, l = i+ 1, α.
Враховуючи рiвностi (2.28), вектор y(0)(t) подаємо у виглядi
y(0)(t) = y
(0)
i (t) + y(0)(t), (2.29)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
376 С. П. ПАФИК
де
y(0)(t) =
i−1∑
n=1
y(0)n (t).
У результатi дiстанемо
QlKy
(0)(t) +QlKy
(0)
i (t) = 0, l = 1, i− 1, (2.30)(
λ(1)(t)
)piy(0)i (t) +QiKy
(0)
i (t) +QiKy
(0)(t) = 0, (2.31)(
λ(1)(t)
)ply(pi−pl)l (t) +QlKy
(0)
i (t) +QlKy
(0)(t) = 0, l = i+ 1, α. (2.32)
Рiвняння (2.30) еквiвалентнi одному рiвнянню
i−1∑
l=1
QlKy
(0)(t) +
i−1∑
l=1
QlKy
(0)
i (t) = 0. (2.33)
Введемо позначення
i−1∑
l=1
QlK = Ki,
а через Ki позначимо звуження оператора Ki на пiдпростiр E01 ⊕ E02 ⊕ . . .⊕ E0,i−1, тобто
пiдпростiр розмiрностi r1 + r2 + . . .+ ri−1, базис якого складають вектори ϕ1(t), . . . , ϕr1(t),
ϕr1+1(t), . . . , ϕr1+r2+...+ri−1(t). У цьому базисi оператор Ki зображується у виглядi квад-
ратної матрицi Ki(t) порядку r1 + r2 + . . .+ ri−1, тобто
Ki(t) =
∥∥(K(t)ϕl(t), ψk(t)
)∥∥
k,l=1,r1+...+ri−1
.
Матриця Ki(t) оператора Ki в базисi пiдпростору E0i, зображеного векторами
ϕr1+...+ri−1+1(t), . . . , ϕr1+...+ri(t), є прямокутною:
Ki(t) =
(
K(t)ϕr1+...+ri−1+1(t), ψ1(t)
)
. . . (K(t)ϕr1+...+ri(t), ψ1(t))(
K(t)ϕr1+...+ri−1+1(t), ψ2(t)
)
. . . (K(t)ϕr1+...+ri(t), ψ2(t))
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
K(t)ϕr1+...+ri−1+1(t), ψr1+...+ri−1(t)
)
. . .
(
K(t)ϕr1+...+ri(t), ψr1+...+ri−1(t)
)
.
У базисах пiдпросторiв E01 ⊕ E01 ⊕ . . .⊕ E0,i−1 та E0i рiвняння (2.33) набуває вигляду
Ki(t)y
(0)(t) +Ki(t)y
(0)
i (t) = 0.
Припустимо, що виконується умова
5◦. detKi(t) 6= 0, i = 1, α) ∀t ∈ [0;T ].
Тодi
y(0)(t) = −K−1i (t)Ki(t)y
(0)
i (t). (2.34)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 377
Розглянемо тепер рiвняння (2.32). Позначимо QiK = Di, а звуження оператора Di на
пiдпростiр E0i — через Di. Матриця оператора Di в пiдпросторi E01 ⊕ E01 ⊕ . . . ⊕ E0,i−1
має структуру
Di(t) =
(
K(t)ϕ1(t), ψr1+...+ri−1+1(t)
)
. . .
(
K(t)ϕr1+...+ri−1(t), ψr1+...+ri−1+1(t)
)(
K(t)ϕ1(t), ψr1+...+ri−1+2(t)
)
. . .
(
K(t)ϕr1+...+ri−1(t), ψr1+...+ri−1+2(t)
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(K(t)ϕ1(t), ψr1+...+ri(t)) . . .
(
K(t)ϕr1+...+ri−1(t), ψr1+...+ri(t)
)
.
Далi, матриця оператора Di в базисi пiдпростору E0i подається у виглядi
Di(t) =
∥∥(K(t)ϕr1+...+ri−1+k(t), ψr1+...+ri−1+l(t)
)∥∥
k,l=1,ri
.
Отже, в базисах пiдпросторiв E01 ⊕ E01 ⊕ . . . ⊕ E0,i−1 та E0i рiвняння (2.32) набуває
вигляду (
λ(1)(t)
)piy(0)i (t) +Di(t)y
(0)
i (t) +Di(t)y
(0)(t) = 0.
Звiдси, враховуючи формулу (2.34), отримуємо(
Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t) +
(
λ(1)(t)
)piEri)y(0)i (t) = 0. (2.35)
Це рiвняння має ненульовi розв’язки, якщо
det
(
Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t) +
(
λ(1)(t)
)piEri) = 0. (2.36)
ВикористовуючиформулуШура [4], встановлюємо,що рiвняння (2.36) рiвносильне такому:∣∣∣∣∣Ki(t) Ki(t)
Di(t) Di(t) +
(
λ(1)(t)
)piEri
∣∣∣∣∣ = 0.
Останнє ж можемо подати у виглядi
det
(∥∥(K(t)ϕl(t), ψk(t)
)∥∥r1+...+ri
1
+
(
λ(1)(t)
)piΛri) = 0,
де Λri — дiагональна матриця (r1 + . . . + ri)-го порядку, всi дiагональнi елементи якої
дорiвнюють нулю, крiм ri останнiх, якi дорiвнюють одиницi, тобто
Λri = diag {0, Eri}.
Накладемо ще одну умову.
6◦. Припустимо, що рiвняння
det
(∥∥(K(t)ϕl(t), ψk(t)
)∥∥r1+...+ri
1
+ ηiΛri
)
= 0,
має ri простих вiдмiнних вiд нуля коренiв η(k)i (t), k = 1, ri ∀t ∈ [0;T ].
Тодi дiстанемо ri рiвнянь(
λ(1)(t)
)pi = −η(k)i (t), k = 1, ri.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
378 С. П. ПАФИК
З них визначимо piri рiзних вiдмiнних вiд нуля функцiй λ(1)(t) :
λ(1)(t)= pi
√∣∣∣η(k)i (t)
∣∣∣(cos
arg(−η(k)i (t)) + 2π(j − 1)
pi
+ i sin
arg(−η(k)i (t)) + 2π(j − 1)
pi
)
,
(2.37)
k = 1, ri, j = 1, pi, а з рiвняння (2.35) знайдемо ri вiдповiдних векторiв y(0)i (t) :
y
(0)
i (t) = ϕ∗k(t), k = 1, ri, (2.38)
де ϕ∗k(t) — власнi вектор-матрицi Di(t) − Di(t)K
−1
i (t)Ki(t), якi вiдповiдають власним
значенням ϕ∗k(t), k = 1, ri. Визначивши вектори y
(0)
i (t), за формулою (2.34) знайдемо
вектори y(0)(t), а потiм—заформулою (2.29) вектор y(0)(t). З урахуванням (2.16) дiстанемо
вектори u(0)(t). Потiм за формулою (2.32) визначимо вектори y(pi−pl)l (t), l = i+ 1, α :
y
(pi−pl)
l (t) = − 1(
λ(1)(t)
)pl (QlKy(0)i (t) +QlKy
(0)(t)
)
, l = i+ 1, α. (2.39)
Таким чином, функцiї λ(1)(t), вектори u(0)(t) та y(pi−pl)l (t), l = i+ 1, α, знайдено.
Iншi коефiцiєнти розвинень (2.2), (2.3) будемо визначати рекурентно. Зафiксуємо одну
з функцiй λ(1)(t) i вiдповiдний вектор y(0)i (t), якi знаходяться за формулами (2.37), (2.38).
Вiдповiдне власне значення та власний вектор матрицi Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t) позначимо
через ηi(t) i ϕ∗(t). Припустимо, що функцiї λ(j+1)(t) i вектор-функцiї u(j)(t) при j < r вже
вiдомi. Тодi для визначення функцiї λ(r+1)(t) та вектора u(r)(t) використаємо умову (2.15)
при s = pi + r, тобто
Qla
(pi+r)
i (t) = 0, l = 1, α.
Зважаючи на (2.26), (2.27), маємо
−
i−1∑
n=1
pi+r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
−
pi+r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
−
α∑
n=i+1
pi+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)×
×Qlσγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t) +Qlg
(pi+r)
i (t) = 0, l = 1, α.
Враховуючи властивостi (2.23) – (2.25) операторiв проектування Ql, l = 1, α, дiстаємо
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 379
−
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
−
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pn+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)×
×Qlσγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t) +Qlg
(pi+r)
i (t) = 0, l = 1, i− 1, (2.40)
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Qi
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
− P (pi)
pi (λ)y
(r)
i (t)−
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Qi
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pn+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)×
×Qi
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)Qiσ
γ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t) +Qig
(pi+r)
i (t) = 0, (2.41)
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
− P (pl)
pl
(λ)y
(pi−pl+r)
l (t)−
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)×
×Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
−
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pn
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)×
×Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
380 С. П. ПАФИК
×Qlσγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t) +Qlg
(pi+r)
i (t) = 0, l = i+ 1, α. (2.42)
Дослiдимо спочатку рiвняння (2.39). Враховуючи попереднi викладки, можемо записа-
ти g(pi+r)i (t) = −K(t)y(r)(t) + g̃
(pi+r)
i (t), де g̃(pi+r)i (t) — вже вiдомий вектор. Вектор y(r)(t)
подамо у виглядi
y(r)(t) = y(r)(t) + y
(r)
i (t) +
α∑
n=i+1
y(r)n (t), (2.43)
де
y(r)(t) =
i−1∑
n=1
y(r)n (t).
В останнiй рiвностi вектори y(r)n (t), n = i+ 1, α, — вже вiдомi згiдно з формулою (2.28).
Отже,
g
(pi+r)
i (t) = −K(t)y(r)(t)−K(t)y
(r)
i (t)−
α∑
n=i+1
K(t)y(r)n (t) + g̃
(pi+r)
i (t).
Пiдставивши цей вираз у (2.39), дiстанемо
QlKy
(r)(t) +QlKy
(r)
i (t) = QlY
(r)(t), l = 1, i− 1,
де
Y (r)(t) = −
i∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
−
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pn+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
α∑
n=i+1
K(t)y(r)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)σγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t) + g̃
(pi+r)
i (t).
Цi рiвняння еквiвалентнi одному рiвнянню
i−1∑
l=1
QlKy
(r)(t) +
i−1∑
l=1
QlKy
(r)
i (t) =
i−1∑
l=1
QlY
(r)(t).
Використавши введенi вище позначення, запишемо його у виглядi
Kiy
(r)(t) + Kiy
(r)
i (t) =
i−1∑
l=1
QlY
(r)(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 381
Перейшовши в базиси пiдпросторiв E01 ⊕ E02 ⊕ . . .⊕ E0,i−1 та E0i, з нього отримаємо
y(r)(t) = −K−1i (t)Ki(t)y
(r)
i (t) +K
−1
i (t)Ỹ (r)(t), (2.44)
де
Ỹ (r)(t) =
i−1∑
l=1
QlY
(r)(t).
Розглянемо тепер рiвняння (2.40). Враховуючи проробленi вище викладки, запишемо
його у виглядi(
λ(1)(t)
)piy(r)i (t) +Diy
(r)
i (t) +Diy
(r)(t) = −P (pi+r)
pi (λ)y
(0)
i (t) +QiZ
(r)(t),
де
Z(r)(t) = −
pi+r∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(0)
i (t)−
−
r−1∑
k=1
pi+r−k∑
j=pi
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
−
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)σγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t)−
α∑
n=i+1
K(t)y(r)n (t) + g̃
(pi+r)
i (t)
— вже вiдомий вектор.
У базисах пiдпросторiв E01 ⊕ E02 ⊕ . . .⊕ E0,i−1 та E0i, це рiвняння набуває вигляду(
λ(1)(t)
)piy(r)i (t) +Di(t)y
(r)
i (t) +Di(t)y
(r)(t) = −P (pi+r)
pi (λ)y
(0)
i (t) + Z̃(r)(t),
де Z̃(r)(t) = QiZ
(r)(t).
Врахувавши (2.44) i взявши до уваги, що −
(
λ(1)(t)
)pi = ηi(t), а y(0)i (t) = ϕ∗(t), звiдси
дiстанемо (
Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t)− ηi(t)Eri
)
y
(r)
i (t) =
= −P (pi+r)
pi (λ)ϕ∗(t) + Z̃(r)(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ỹ (r)(t). (2.45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
382 С. П. ПАФИК
Це рiвняння розв’язне вiдносно вектора y
(r)
i (t) тодi i тiльки тодi, коли його права
частина буде ортогональна до вектора ψ∗(t) : −P (pi+r)
pi (λ) (ϕ∗(t), ψ∗(t)) +
(
Z̃(r)(t), ψ∗(t)
)
−
−
(
Di(t)K
−1
i (t)Ỹ (r)(t), ψ∗(t)
)
= 0, де ψ∗(t) — елемент нуль-простору матрицi(
Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t)− ηi(t)Eri
)∗
.
Оскiльки згiдно з умовою 6◦ власне значення ηi(t) матрицi Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t) просте,
йому вiдповiдає жорданiв ланцюжок векторiв завдовжки 1. Тому вектор ψ∗(t) виберемо
так, щоб виконувалася рiвнiсть (ϕ∗(t), ψ∗(t)) = 1, t ∈ [0;T ]. Враховуючи її, в результатi
отримаємо P (pi+r)
pi (λ) =
(
Z̃(r)(t), ψ∗(t)
)
−
(
Di(t)K
−1
i (t)Ỹ (r)(t), ψ∗(t)
)
, де P̃ (pi+r)
pi (λ) — та
частина виразу P
(pi+r)
pi (λ), яка мiстить лише тi λ(i)(t), iндекси яких i ≤ r. Оскiльки
P
(pi+r)
pi (λ) = pi
(
λ(1)(t)
)pi−1λ(r+1)(t) + P̃
(pi+r)
pi (λ), з останнього рiвняння знайдемо невiдому
функцiю λ(r+1)(t) :
λ(r+1)(t) =
(
Z̃(r)(t), ψ∗(t)
)
−
(
Di(t)K
−1
i (t)Ỹ (r)(t), ψ∗(t)
)
− P̃ (pi+r)
pi (λ)
pi
(
λ(1)(t)
)pi−1 . (2.46)
При знайденiй функцiї λ(r+1)(t) рiвняння (2.44) буде розв’язним i з нього знайдемо
y
(r)
i (t) =
[
Di(t)−Di(t)K
−1
i (t)Ki(t)− ηi(t)Eri
]+
f̃
(r)
i (t), (2.47)
де f̃
(r)
i (t) — права частина рiвняння (2.44). Потiм за формулою (2.43) знайдемо вектор
y(r)(t), а за формулою (2.42) — y(r)(t). Визначивши вектор y(r)(t), за формулою (2.17)
знайдемо вектор u(r)(t). Потiм iз системи рiвнянь (2.41) знайдемо вектори y
(pi−pl+r)
l (t),
l = i+ 1, α :
y
(pi−pl+r)
l (t) = − 1(
λ(1)(t)
)pl
(
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y
(k)
i (t)−
+
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
pi+r−k∑
j=pi+1
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)+
+
α∑
n=i+1
pi−pn+r−1∑
k=pi−pn
pi+r−k∑
j=pn
min(j;m)∑
γ=1
P
(pi+r−k)
j (λ)Ql
∂γP (t, λ0(t))
γ!∂λγ
×
× σj−γ+1(H1, H2, . . . ,Hm)y(k)n (t)−
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
P (r−j)
γ (λ)×
×Qlσγ+1
(
H̃1, H̃2, . . . , H̃m
)
g
(pi+j)
i (t)−Qlg
(pi+r)
i (t)
)
, l = i+ 1, α. (2.48)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 383
Отже, iтерацiйний процес проходить. Згiдно з формулою (2.37) подiбним чином можна
побудувати ripi формальних розв’язкiв системи (1.1), якi вiдповiдають ri скiнченним
елементарним дiльникам кратностi pi в’язки матриць P (t, λ). Змiнюючи i вiд 1 до α,
ми побудуємо r1p1 + r2p2 + . . .+ rαpα формальних розв’язкiв системи (1.1).
Перейдемо тепер до побудови формальних розв’язкiв, якi вiдповiдають нескiнченним
елементарним дiльникам в’язки матриць P (t, λ). Цi розв’язки шукатимемо у виглядi
x(t, ν) = v(t, ν) exp
ν−qh−1 t∫
0
dτ
ξ(τ, ν)
, (2.49)
де n-вимiрний вектор v(t, ν) i скалярна функцiя ξ(t, ν) подаються у виглядi формальних
розвинень
v(t, ν) =
∞∑
k=0
νkv(k)(t), (2.50)
ξ(t, ν) =
∞∑
k=0
νkξ(k)(t) (2.51)
за степенями ν =
qi√ε, i = 1, β.
Коефiцiєнти розвинень (2.49) i (2.50) визначатимемо таким чином, щоб вектор (2.48)
формально задовольняв систему (1.1).Провiвшимiркування, аналогiчнi тим, якi використо-
вувались у випадку скiнченних елементарних дiльникiв, встановимо, що коефiцiєнти роз-
винень (2.49), (2.50) мають задовольняти нескiнченну систему рiвнянь
A(0)
m (t)v(0)(t) = 0, (2.52)
A(0)
m (t)v(s)(t) = b
(s)
i (t), i = 1, β, s = 1, 2, . . . , (2.53)
де
b
(s)
i (t) = −
m−1∑
k=0
s−m+k∑
j=0
D
(j)
0
[
ξm−k
]
A
(0)
k (t)v(s−j−m+k)(t)+
+ h
(s)
i (t), i = 1, β, s = 1, 2, . . . , (2.54)
h
(s)
i (t) = −
m∑
k=0
s−qi−m+k∑
j=0
[
s−j−m+k
qi
]∑
γ=1
D
(j)
0
[
ξm−k
]
A
(γ)
k (t)v(s−j−γqi+k−m)(t)−
−
m∑
k=2
k−1∑
j=1
s−θ(k;j)∑
γ=0
s−γ−θ(k;j)∑
l=0
[
s−γ−l−θ(k;j)
qi
]∑
δ=0
D
(γ)
0 [ξm]D
(l)
k−j
[
1
ξj
]
×
×A(δ)
k (t)v(s−γ−l+δqi−θ(k;j))(t)−
m∑
k=1
k−1∑
j=0
j∑
γ=0
s−θ(k;γ)∑
l=0
s−l−θ(k;γ)∑
r=0
[
s−l−r−θ(k;γ)
qi
]∑
δ=0
Cjk×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
384 С. П. ПАФИК
×D(l)
0 [ξm]D
(r)
j−γ
[
1
ξγ
]
A
(δ)
k (t)
dk−jv(s−l−r−δqi−θ(k;γ))(t)
dtk−j
,
θ(k; j) = qi(k − j)h+m− j, i = 1, β, s = qi, qi + 1, . . . .
Покажемо, що з цiєї системи можна визначити будь-якi коефiцiєнти розвинень (2.49),
(2.50).
Векторнi рiвняння (2.52) сумiснi тодi i тiльки тодi, коли виконуються умова(
b
(s)
i (t), ψ̃j(t)
)
= 0, j = 1, sγ , γ = 1, β, s = 1, 2, . . . , (2.55)
де ψ̃j(t), j = 1, sγ , γ = 1, β, — базиснi елементи нуль-простору матрицi
(
A
(0)
m (t)
)∗
. По-
значимо через Ẽ0 лiнiйну оболонку власних векторiв ϕ̃i(t), i = 1, s, s = s1 + s2 + . . .+ sβ,
матрицi A(0)
m (t), що вiдповiдають її нульовому власному значенню, а через Ẽ0j , j = 1, β, —
лiнiйну оболонку векторiв ϕ̃s1+s2+...+sj−1+i(t), i = 1, sj , j = 1, β. Пiдпростiр Ẽ0 є прямою
сумою пiдпросторiв Ẽ0j , j = 1, β :
Ẽ0 = Ẽ01 ⊕ Ẽ02 ⊕ . . . Ẽ0β.
Введемо до розгляду оператори проектування Q̃j , j = 1, β, якi вiдображають n-вимiрний
простiр E на sj -вимiрний пiдпростiр Ẽ0j таким чином:
Q̃jv(t) =
sj∑
i=1
(
v(t), ψ̃s1+s2+...+sj−1+i(t)
)
ϕ̃s1+s2+...+sj−1+i(t), (2.56)
j = 1, β, v(t) ∈ E, t ∈ [0;T ]. Тодi умова (2.54) еквiвалентна такiй:
Q̃jb
(s)
i (t) = 0, i, j = 1, β, s = 1, 2, . . . . (2.57)
При виконаннi цiєї умови вектори v(s)(t), s = 0, 1, . . . , знаходитимемо за формулами
v(0)(t) = z(0)(t), (2.58)
v(s)(t) = G(t)b
(s)
i (t) + z(s)(t), s = 1, 2, . . . , (2.59)
де z(s)(t), i = 0, 1, . . . , — вектори з пiдпростору Ẽ0, якi потрiбно визначити так, щоб
виконувалась умова сумiсностi (2.56).
Для визначення функцiй ξ(j)(t) i векторiв v(j)(t), j = 0, 1, . . . , використаємо умо-
ву (2.56). Використовуючи результати з [4], вектори b(s)i (t) можемо подати у виглядi
b
(s)
i (t) = −
s−1∑
k=0
s−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
D
(s−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)(t)+
+
s−qi−1∑
j=0
s−qi−j∑
γ=1
D
(s−qi−j−γ)
0
[
ξγ
]
σγ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)+
+ h
(s)
i (t), i = 1, β, s = 1, 2, . . . , (2.60)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 385
де
M(t, ξ) =
m∑
i=0
ξiA
(0)
m−i(t).
Оскiльки згiдно з умовою 4◦ в’язка матриць (1.3) має si > 1 нескiнченних елемен-
тарних дiльникiв кратностi qi > 1, i = 1, β, згiдно з результатами з [1] їм вiдповiдає si
жорданових ланцюжкiв завдовжки qi, i = 1, β, кожний. Цi ланцюжки складаються з влас-
них векторiв ϕ̃(1)
s1+s2+...+sj−1+i
(t), i = 1, sj , j = 1, β, та вiдповiдних приєднаних векторiв
ϕ̃
(k)
s1+s2+...+sj−1+i
(t), i = 1, sj , k = 2, qj , j = 1, β, якi задовольняють спiввiдношення
M(t, 0) ϕ̃
(1)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) = 0, i = 1, sj , j = 1, β, (2.61)
M(t, 0)ϕ̃
(k)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) +
min(k−1,m)∑
γ=1
∂γM (t, 0)
γ!∂ξγ
×
× ϕ̃(k−γ)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) = 0, i = 1, sj , k = 2, qj , j = 1, β, (2.62)
а рiвняння
M(t, 0)zs1+s2+...+sj−1+i +
min(qj ,m)∑
γ=1
∂γM (t, 0)
γ!∂ξγ
×
× ϕ̃(qj+1−γ)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) = 0, i = 1, sj , j = 1, β, (2.63)
нерозв’язнi вiдносно векторiв zs1+s2+...+sj−1+i, i = 1, sj , j = 1, β.
Приєднанi вектори цих ланцюжкiв виражаються через власнi вектори за формулами
ϕ̃
(1)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) = ϕ̃s1+s2+...+sj−1+i(t), i = 1, sj , j = 1, β,
ϕ̃
(k)
s1+s2+...+sj−1+i
(t) = σk (G1, G2, . . . , Gm) ϕ̃s1+s2+...+sj−1+i(t), i = 1, sj , k = 2, qj , j = 1, β.
Жорданiв набiр власних i приєднаних векторiв, якi вiдповiдають нескiнченним елемен-
тарним дiльникам в’язки матриць (1.3), також є повним, тобто
det
∥∥∥∥∥
(
min(qk;m)∑
γ=1
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σqk+1−γ(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃s1+...+sk−1+i(t),
ψ̃s1+...+sk−1+j(t)
)∥∥∥∥∥
i,j=1,sk, k=1,β
6= 0 ∀t ∈ [0;T ].
Тому вектори ψ̃s1+s2+...+sk−1+j(t), j = 1, sk, k = 1, β, можемо визначити так, щоб викону-
валися спiввiдношенняmin(qk;m)∑
γ=1
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σqk+1−γ(G1, G2, . . . , Gm)ϕ̃s1+s2+...+sk−1+i(t), ψ̃s1+s2+...+sk−1+j(t)
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
386 С. П. ПАФИК
= δs1+s2+...+sk−1+i,s1+s2+...+sk−1+j , i, j = 1, sk, k = 1, β.
Це ми передбачатимемо в подальших викладках.
Виходячи з (2.60) – (2.63), встановимо наступнi властивостi операторiв проектування
Q̃j , j = 1, β : якщо z(1)k (t) ∈ Ẽ0k, k = 1, β, то
min(j,m)∑
γ=1
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(1)
k (t) = 0, j = 1, qk − 1, k, l = 1, β,
(2.64)
min(qk,m)∑
γ=1
Q̃k
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σqk−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(1)
k (t) = z
(1)
k (t), k = 1, β, (2.65)
min(qk,m)∑
γ=1
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σqk−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(1)
k (t) = 0, k 6= l, k, l = 1, β. (2.66)
Нехай z(k)(t) — довiльний вектор з пiдпростору Ẽ0. Оскiльки Ẽ0 = Ẽ01 ⊕ Ẽ02 ⊕ . . . Ẽ0β,
його можна подати у виглядi
z(k)(t) =
β∑
n=1
z(k)n (t), (2.67)
де z(k)n (t) ∈ Ẽ0n, n = 1, β.
Використавши формулу (2.67), вектори (2.59) подамо у виглядi
b
(s)
i (t) = −
β∑
n=1
s−1∑
k=0
s−k∑
j=1
min(j,m)∑
γ=1
D
(s−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)+
+
s−qi−1∑
j=0
s−qi−j∑
γ=1
D
(s−qi−j−γ)
0
[
ξγ
]
σγ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)+
+ h
(s)
i (t), i = 1, β, s = 1, 2, . . . . (2.68)
Зафiксуємо i, i = 1, β. Знайдемо розв’язки, якi вiдповiдають si нескiнченним еле-
ментарним дiльникам кратностi qi. Для цього спочатку використаємо умову (2.56) для
векторiв (2.68). Враховуючи властивiсть (2.64) операторiв проектування Q̃j , j = 1, β, лег-
ко переконатися, що при s = 1, qβ − 1, вона виконується. Провiвши мiркування, аналогiчнi
викладеним вище при побудовi розв’язкiв першої групи, при s = qβ, qi − 1 встановимо, що
z(k)n (t) = 0, k = 0, qi − qn − 1, n = i+ 1, β. (2.69)
Розглянемо тепер умову (2.56) при s = qi :
Q̃lb
(qi)
i (t) = 0, l = 1, β.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 387
Пiдставимо в цю рiвнiсть вираз (2.68) i, врахувавши (2.69), дiстанемо
Q̃lh
(qi)
i (t)−
i−1∑
n=1
qi−1∑
k=0
qi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−
qi−1∑
k=0
qi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)−
−
β∑
n=i+1
qi−1∑
k=qi−qn
qi−k∑
j=1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t) = 0, l = 1, β.
Звiдси, взявши до уваги (2.64) – (2.66), отримаємо
Q̃γh
(qi)
i (t) = 0, γ = 1, i− 1, (2.70)(
ξ(0)(t)
)qiz(0)i (t)− Q̃ih(qi)i (t) = 0, (2.71)(
ξ(0)(t)
)qγz(qi−qγ)γ (t)− Q̃γh(qi)i (t) = 0, γ = i+ 1, β. (2.72)
Подамо вектори z(k)(t), k = 0, 1, . . . , у виглядi
z(0)(t) = z(k)(t) + z
(0)
i (t), (2.73)
де
z(0)(t) =
i−1∑
n=1
z(0)n (t).
Але h(qi)i (t) = −A(1)
m (t)z(0)(t), тому згiдно з (2.74) h(qi)i (t) = −A(1)
m (t)z(0)(t) − A(1)
m (t)z
(0)
i (t).
Тодi рiвняння (2.70) – (2.72) запишуться у виглядi
Q̃γA
(1)
m (t)z(0)(t) + Q̃γA
(1)
m (t)z
(0)
i (t) = 0, γ = 1, i− 1, (2.74)(
ξ(0)(t)
)qiz(0)i (t) + Q̃iA
(1)
m (t)z(0)(t) + Q̃iA
(1)
m (t)z
(0)
i (t) = 0, (2.75)(
ξ(0)(t)
)qγz(qi−qγ)γ (t) + Q̃γA
(1)
m (t)z(0)(t) + Q̃γA
(1)
m (t)z
(0)
i (t) = 0, γ = i+ 1, β. (2.76)
Рiвняння (2.74) еквiвалентнi рiвнянню
i−1∑
γ=1
Q̃γA
(1)
m (t)z(0)(t) +
i−1∑
γ=1
Q̃γA
(1)
m (t)z
(0)
i (t) = 0. (2.77)
Позначимо
i−1∑
γ=1
Q̃γA
(1)
m (t) = Li,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
388 С. П. ПАФИК
а через Li позначимо звуження оператора Li на пiдпростiр Ẽ01 ⊕ Ẽ01 ⊕ . . . Ẽ0,i−1. Тодi в
базисах пiдпросторiв Ẽ01 ⊕ Ẽ01 ⊕ . . . Ẽ0,i−1 та Ẽ0i рiвняння (2.77) наведемо у виглядi
Li(t)z
(0)(t) + Li(t)z
(0)
i (t) = 0, (2.78)
де Li(t) — матриця оператора Li в базисi ϕ̃j(t), j = 1, s1 + s2 + . . .+ si−1, пiдпростору
Ẽ01⊕ Ẽ02⊕ . . . Ẽ0,i−1, а Li(t) —матриця оператора Li в базисi ϕ̃s1+s2+...+si−1+j(t), j = 1, si,
пiдпростору Ẽ0i. Матрицi Li(t) та Li(t) у вiдповiдних базисах мають структуру
Li(t) =
(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃1(t)
)
(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃2(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃2(t)
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃s1+...+si−1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃s1+...+si−1(t)
)
,
Li(t) =
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃1(t)
)
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃2(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃2(t)
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃s1+...+si−1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃s1+...+si−1(t)
)
.
Припустимо далi, що виконується умова
7◦. detLi(t) 6= 0, i = 1, β) ∀t ∈ [0;T ].
Тодi з рiвняння (2.78) отримаємо
z(0)(t) = −L−1i (t)Li(t)z
(0)
i (t). (2.79)
Розглянемо тепер рiвняння (2.75). Позначимо Q̃iA(1)
m (t) = Ni, а звуження оператора Ni
на пiдпростiр Ẽ0i — через Ni. Матриця оператора Ni в пiдпросторi Ẽ01 ⊕ Ẽ02 ⊕ . . . Ẽ0,i−1
є прямокутною:
Ni(t) =
(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃s1+...+si−1+1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃s1+...+si−1+1(t)
)
(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃s1+...+si−1+2(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃s1+...+si−1+2(t)
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
A
(1)
m (t)ϕ̃1(t), ψ̃s1+...+si(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1(t), ψ̃s1+...+si(t)
)
.
Матриця ж оператора Ni в базисi пiдпростору Ẽ0i — квадратна si -го порядку:
N i(t)=
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃s1+...+si−1+1(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃s1+...+si−1+1(t)
)
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃s1+...+si−1+2(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃s1+...+si−1+2(t)
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si−1+1(t), ψ̃s1+...+si(t)
)
. . .
(
A
(1)
m (t)ϕ̃s1+...+si(t), ψ̃s1+...+si(t)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 389
Враховуючи формулу (2.79), рiвняння (2.75) у базисах цих пiдпросторiв записуємо у
виглядi (
N i(t)−Ni(t)L
−1
i (t)Li(t) +
(
ξ(0)(t)
)qiEsi) z(0)i (t) = 0. (2.80)
Воно матиме ненульовi розв’язки тодi i тiльки тодi, коли
det
(
N i(t)−Ni(t)L
−1
i (t)Li(t) +
(
ξ(0)(t)
)qiEsi) = 0
або, згiдно з формулами Шура [4],∣∣∣∣∣Li(t) Li(t)
Ni(t) N i(t) +
(
ξ(0)(t)
)qiEsi
∣∣∣∣∣ = 0.
Останню ж рiвнiсть можна подати у виглядi
det
(∥∥∥(A(1)
m (t)ϕ̃l(t), ψ̃k(t)
)∥∥∥s1+...+si
1
+
(
ξ(0)(t)
)qiΛsi) = 0,
де Λsi — дiагональна матриця (s1 + . . . + si)-го порядку, всi дiагональнi елементи якої
дорiвнюють нулю, крiм si останнiх, якi дорiвнюють одиницi, тобто Λsi = diag {0, Esi}.
Накладемо умову
8◦. Рiвняння
det !
(∥∥∥(A(1)
m (t)ϕ̃l(t), ψ̃k(t)
)∥∥∥s1+...+si
1
− θiΛsi
)
= 0
має si простих вiдмiнних вiд нуля коренiв θ(k)i (t), k = 1, si ∀t ∈ [0;T ].
Тодi (
ξ(0)(t)
)qi = −θ(k)i (t), k = 1, si,
звiдки визначимо qisi рiзних вiдмiнних вiд нуля функцiй ξ(0)(t) :
ξ(0)(t) = qi
√∣∣∣θ(k)i (t)
∣∣∣(cos
arg(−θ(k)i (t)) + 2π(j − 1)
qi
+
+ i sin
arg(−θ(k)i (t)) + 2π(j − 1)
qi
)
, k = 1, si, j = 1, qi. (2.81)
Далi, з рiвняння (2.80) знайдемо si вiдповiдних векторiв z(0)i (t) :
z
(0)
i (t) = ϕ̃∗k(t), k = 1, si, (2.82)
де ϕ̃∗k(t) — власнi вектори матрицi N i(t) − Ni(t)L
−1
i (t)Li(t), якi вiдповiдають власним
значенням θ
(k)
i (t), k = 1, si. Визначивши вектори z
(0)
i (t), за формулою (2.79) знайдемо
z(0)(t), а за формулою (2.73) — z(0)(t). Подавши його у вiдповiдному базисi, згiдно з
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
390 С. П. ПАФИК
(2.57) визначимо й вектор v(0)(t). Потiм iз рiвнянь (2.76) одержимо вектори z
(qi−qγ)
γ (t),
γ = i+ 1, β :
z
(qi−qγ)
γ (t) = − 1(
ξ(0)(t)
)qγ (Q̃γA(1)
m (t)z(0)(t) + Q̃γA
(1)
m (t)z
(0)
i (t)
)
, γ = i+ 1, β. (2.83)
Iншi коефiцiєнти розвинень (2.49), (2.50) визначаються рекурентнимчином. Зафiксуємо
одну з функцiй ξ(0)(t) i вiдповiдний вектор z(0)(t), якi визначаються за формулами (2.81),
(2.82). Вiдповiдне власне значення i власний вектор матрицi N i(t) − Ni(t)L
−1
i (t)Li(t) по-
значимо через θi(t) i ϕ̃∗(t). Припустимо, що функцiї ξ(j)(t) i вектори v(j)(t) при j < r вже
вiдомi. Тодi для визначення функцiї ξ(r)(t) i вектора v(r)(t) використаємо умову (2.56) при
s = qi + r :
Q̃γb
(qi+r)
i (t) = 0, γ = 1, β.
Скориставшись властивостями (2.64) – (2.66) операторiв проектування Q̃γ , γ = 1, β, цю
умову подамо у виглядi
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)−
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
Q̃lσ
γ+1×
×
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t) + Q̃lh
(qi+r)
i (t) = 0, l = 1, i− 1, (2.84)
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−D(0)
0
[
ξqi
]
z
(r)
i (t)−
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)−
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
Q̃iσ
γ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t) + Q̃ih
(qi+r)
i (t) = 0, (2.85)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 391
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)−D(0)
0 [ξql ] z(qi−ql+r)(t)−
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
Q̃lσ
γ+1×
×
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t) + Q̃lh
(qi+r)
i (t) = 0, l = i+ 1, β. (2.86)
Розглянемо спочатку рiвняння (2.84). Вектор h(qi+r)i (t), який мiститься в ньому, подамо
у виглядi h(qi+r)i (t) = −A(1)
m (t)z(r)(t) + h̃
(qi+r)
i (t), де h̃(qi+r)i (t) — вже вiдомий вираз згiдно
з припущенням iндукцiї. Водночас, враховуючи позначення
z(r)(t) =
i−1∑
n=1
z(r)n (t),
записуємо
z(r)(t) = z(r)(t) + z
(r)
i (t) +
β∑
n=i+1
z(r)n (t),
де z(r)n (t), n = i+ 1, β, — вже вiдомi вектори згiдно з припущенням iндукцiї. Тодi
h
(qi+r)
i (t) = −A(1)
m (t)z(r)(t)−A(1)
m (t)z
(r)
i (t)−
β∑
n=i+1
A(1)
m (t)z(r)n (t) + h̃
(qi+r)
i (t)
i рiвняння (2.84) перепишемо у виглядi
Q̃lA
(1)
m (t)z(r)(t) + Q̃lA
(1)
m (t)z
(r)
i (t) = Q̃lR
(r)(t), l = 1, i− 1, (2.87)
де
R(r)(t) = −
β∑
n=i+1
A(1)
m (t)z(r)n (t) + h̃
(qi+r)
i (t) +
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
×
× σγ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)−
−
i∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
392 С. П. ПАФИК
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t).
Рiвняння (2.87) еквiвалентнi одному рiвнянню
i−1∑
l=1
Q̃lA
(1)
m (t)z(r)(t) +
i−1∑
l=1
Q̃lA
(1)
m (t)z
(r)
i (t) =
i−1∑
l=1
Q̃lR
(r)(t).
Враховуючи введенi вище позначення, це рiвняння зобразимо у виглядi
Liz
(r)(t) + Liz
(r)
i (t) =
i−1∑
l=1
Q̃lR
(r)(t).
Перейшовши в базиси пiдпросторiв Ẽ01 ⊕ Ẽ02 ⊕ . . . Ẽ0,i−1 та Ẽ0i, матимемо
Li(t)z
(r)(t) + Li(t)z
(r)
i (t) = R̃(r)(t),
де
R̃(r)(t) =
i−1∑
l=1
Q̃lR
(r)(t),
звiдки завдяки умовi 7◦ отримаємо
z(r)(t) = −L−1i (t)Li(t)z
(r)
i (t) + L
−1
i (t)R̃(r)(t). (2.88)
Розглянемо тепер рiвняння (2.85). Враховуючи попереднi викладки, записуємо його у
виглядi
−D(0)
0
[
ξqi
]
z
(r)
i (t)−
qi+r∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(0)
i (t)−
−D(r)
0 [ξqi ]z
(0)
i (t)−
r−1∑
k=1
qi+r−k∑
j=qi
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)+
+ Q̃ih̃
(qi+r)
i (t)−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃i
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 393
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
β∑
n=i+1
Q̃iA
(1)
m (t)z(r)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
Q̃iσ
γ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)−
− Q̃iA(1)
m (t)z(r)(t)− Q̃iA(1)
m (t)z
(r)
i (t) = 0
або (
ξ(0)(t)
)qiz(r)i (t) +N iz
(r)
i (t) +Niz
(r)(t) = −D(r)
0
[
ξqi
]
z
(0)
i (t) + Q̃iS
(r)(t),
де
S(r)(t) = −
qi+r∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(0)
i (t)−
−
r−1∑
k=1
qi+r−k∑
j=qi
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)−
−
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
−
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
] ∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)+
+
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
σγ+1
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)−
+
β∑
n=i+1
A(1)
m (t)z(r)n (t) + h̃
(qi+r)
i (t)
— вже вiдомий вектор. Перейшовши в базиси пiдпросторiв Ẽ01 ⊕ Ẽ02 ⊕ . . . Ẽ0,i−1 та Ẽ0i,
матимемо(
ξ(0)(t)
)qiz(r)i (t) +N i(t)z
(r)
i (t) +Ni(t)z
(r)(t) = −D(r)
0
[
ξqi
]
z
(0)
i (t) + S̃(r)(t),
де S̃(r)(t) = Q̃iS
(r)(t). Скориставшись формулою (2.88) i взявши до уваги, що(
ξ(0)(t)
)qi = −θi(t), z
(0)
i (t) = ϕ̃∗(t),
в результатi дiстанемо(
N i(t)−Ni(t)L
−1
i Li(t)− θi(t)Esi
)
z
(r)
i (t) =
−D(r)
0
[
ξqi
]
ϕ̃∗(t)−Ni(t)L
−1
i (t)R̃(r)(t) + S̃(r)(t). (2.89)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
394 С. П. ПАФИК
Оскiльки за припущенням 8◦ власне значення θi(t) матрицi N i(t)−Ni(t)L
−1
i Li(t) просте,
вектор ψ̃∗(t) можемо вибрати так, щоб виконувалася рiвнiсть
(
ϕ̃∗(t), ψ̃∗(t)
)
= 1 ∀t ∈ [0;T ],
де ψ̃∗(t) — елемент нуль-простору
(
N i(t)−Ni(t)L
−1
i Li(t)− θi(t)Esi
)∗
, що й передбача-
тимемо далi.
Для того щоб рiвняння (2.89) мало розв’язки, необхiдно i достатньо, щоб виконувалася
умова
D
(r)
0 [ξqi ] =
(
S̃(r)(t), ψ̃∗(t)
)
−
(
Ni(t)L
−1
i (t)R̃(r)(t), ψ̃∗(t)
)
.
Оскiльки
D
(r)
0
[
ξqi
]
= qiξ
(r)(t)
(
ξ(0)(t)
)qi−1 + D̃
(r)
0
[
ξqi
]
,
де доданок D̃(r)
0
[
ξqi
]
мiстять лише тi функцiї ξ(j)(t), iндекси яких меншi r, звiдси дiстаємо
ξ(r)(t) =
(
S̃(r)(t), ψ̃∗(t)
)
−
(
Ni(t)L
−1
i (t)R̃(r)(t), ψ̃∗(t)
)
− D̃(r)
0
[
ξqi
]
qi
(
ξ(0)(t)
)qi−1 . (2.90)
При цих значеннях ξ(r)(t) рiвняння (2.89) розв’язне i з нього одержуємо
z
(r)
i (t) =
[
N i(t)−Ni(t)L
−1
i Li(t)− θi(t)Esi
]+
d̃
(r)
i (t), (2.91)
де d̃
(r)
i (t) — права частина рiвняння (2.89). Потiм за формулою (2.88) знайдемо вектор
z(0)(t), а отже, й z(r)(t). Нарештi, за формулою (2.58) отримаємо вектор v(r)(t).
Пiсля цього з рiвняння (2.86) визначимо вектори z(qi−ql+r)l (t), l = i+ 1, β :
z
(qi−ql+r)
l (t) = − 1(
ξ(0)(t)
)ql
(
i−1∑
n=1
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t) +
r−1∑
k=0
qi+r−k∑
j=qi+1
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
×
× Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z
(k)
i (t)+
+
β∑
n=i+1
qi−qn+r−1∑
k=qi−qn
qi+r−k∑
j=qi
min(j;m)∑
γ=1
D
(qi+r−k−j)
0
[
ξj
]
Q̃l
∂γM(t, 0)
γ!∂ξγ
×
× σj−γ+1(G1, G2, . . . , Gm)z(k)n (t)−
r−1∑
j=0
r−j∑
γ=1
D
(r−j−γ)
0
[
ξγ
]
Q̃lσ
γ+1×
×
(
G̃1, G̃2, . . . , G̃m
)
h
(qi+j)
i (t)− Q̃lh
(qi+r)
i (t)
)
, l = i+ 1, β. (2.92)
Iтерацiйний процес проходить. Згiдно з формулою (2.81) подiбним чином можна по-
будувати siqi формальних розв’язкiв системи (1.1), якi вiдповiдають si нескiнченним
елементарним дiльникам кратностi qi кожний. Змiнюючи l вiд 1 до β, будуємо s1q1 +
+ s2q2 + . . .+ sβqβ формальних розв’язкiв другої групи.
Пiдсумком проведених викладок є така теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
АCИМПТОТИКА ЗАГАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ЛIНIЙНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ . . . 395
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1◦– 8◦, то на вiдрiзку [0;T ] система диференцi-
альних рiвнянь (1.1) має r1p1 + r2p2 + . . .+ rαpα формальних розв’язкiв вигляду
xi(t, µ) = ui(t, µ) exp
ε−h t∫
0
λi(τ, µ)dτ
, i = 1, r1p1 + . . .+ rαpα,
що вiдповiдають скiнченним елементарним дiльникам граничної в’язки матриць (1.3), i s1q1+
+ s2q2 + . . .+ sβqβ розв’язкiв вигляду
xj(t, ν) = vj(t, ν) exp
ν−qsh−1 t∫
0
dτ
ξj(τ, ν)
, j = 1, s1q1 + . . .+ sβqβ,
якi вiдповiдають нескiнченним елементарним дiльникам цiєї в’язки, де ui(t, µ) та vj(t, ν) —
n-вимiрнi вектори, а λi(t, µ) та ξj(t, ν) — скалярнi функцiї, якi зображуються у виглядi
формальних розвинень (2.2), (2.49), (2.3), (2.50).
Побудованi формальнi розв’язки, що будуються за вказаним алгоритмом, лiнiйно неза-
лежнi в тому розумiннi, що такими будуть l -наближення x(l)i (t, µ), x
(l)
j (t, ν), утворенi шля-
хом обривання розвинень (2.2), (2.3), (2.49), (2.50) на l -му членi, якщо l ≥ max(p1−1, q1−1).
Тому їхня лiнiйна комбiнацiя буде загальним формальним розв’язком системи (1.1).
3. Асимптотичнi властивостi формальних розв’язкiв. Використовуючи [5, 6], можна
переконатися, що отриманi розв’язки є асимптотичним розвиненням точних лiнiйно неза-
лежних розв’язкiв системи (1.1) при ε −→ 0.
Правильна така теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1 i функцiї
Reλ0(t) +
pγh−1∑
s=1
µs Reλ
(s)
i (t), i = 1, pγrγ , γ = 1, α,
qγh∑
s=0
νsReξ
(s)
j (t), j = 1, qγsγ , γ = 1, β,
не змiнюють знака на вiдрiзку [0;T ], тодi на цьому вiдрiзку для формальних розв’язкiв
xi(t, µ), i = 1, pγrγ , γ = 1, α, xj(t, ν), j = 1, qγsγ , γ = 1, β, системи (1.1) iснують такi
точнi розв’язки x̃i(t, µ), i = 1, pγrγ , γ = 1, α, x̃j(t, ν), j = 1, qγsγ , γ = 1, β, цiєї системи, для
яких данi формальнi розв’язки є асимптотичними розвиненнями при ε → 0. Для будь-якого
натурального l i достатньо малого ε виконуються такi нерiвностi:∥∥∥x(l)i (t, µ)− x̃i(t, µ)
∥∥∥ ≤
≤ cµl−pγhε
1−δ
δ sup
t∈[0;T ]
exp
ε−h t∫
t0
Reλ0(τ) +
pγh−1∑
s=1
µsReλ
(s)
i (τ)
dτ
,
∥∥∥∥∥dkx(l)i (t, µ)
dtk
− dkx̃i(t, µ)
dtk
∥∥∥∥∥ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
396 С. П. ПАФИК
≤ cµl−(k+pγ)hε
1−δ
δ sup
t∈[0;T ]
exp
ε−h t∫
t0
Reλ0(τ) +
pγh−1∑
s=1
µs Reλ
(s)
i (τ)
dτ
,
i = 1, pγrγ , γ = 1, α, k = 1,m− 1, для розв’язкiв, якi вiдповiдають кратним скiнченним
елементарним дiльникам, i
∥∥∥x(l)j (t, ν)− x̃j(t, ν)
∥∥∥ ≤ cνl−qγh−1ε 1−δ
δ sup
t∈[0;T ]
exp
ν−qγh−1 t∫
t0
∑qγh
s=0
νsRe ξ
(s)
j (τ)∣∣∣ξ(l)j (τ, ν)
∣∣∣2 dτ
,
∥∥∥∥∥dkx
(l)
j (t, ν)
dtk
− dkx̃j(t, ν)
dtk
∥∥∥∥∥ ≤ cνl−(k+qγ)h−1ε 1−δ
δ sup
t∈[0;T ]
exp
ν−qγh−1 t∫
t0
∑qγh
s=0
νsRe ξ
(s)
j (τ)∣∣∣ξ(l)j (τ, ν)
∣∣∣2 dτ
,
j = 1, qγsγ , γ = 1, β, k = 1,m− 1, для розв’язкiв, якi вiдповiдають нескiнченним елементар-
ним дiльникам, де c — деяка стала, яка не залежить вiд ε, а µ =
pi√ε, i = 1, α, ν =
qj√ε,
j = 1, β, δ = max(p1, q1).
Зауваження 3.1. У наведених оцiнках фiгурують експоненцiальнi множники, якi бу-
дуть експоненцiально малими, якщо вiдповiдним чином вибирати нижню межу iнтегру-
вання, що мiститься пiд знаком експоненти: якщо пiдiнтегральний вираз недодатний, то
покладаємо t0 = 0, якщо ж цей вираз невiд’ємний, то беремо t0 = T.
Лiтература
1. Пафик С. П., Яковець В. П. Побудова асимптотики розв’язкiв лiнiйних сингулярно збурених систем
диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв з виродженнями // Наук. часопис Нац. пед. ун-ту iм. М. П. Дра-
гоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. – 2012. – Вип. 13. – С. 201 – 217.
2. Пафик С. П., Яковець В. П. Асимптотика загального розв’язку лiнiйних сингулярно збурених систем
диференцiальних рiвнянь вищих порядкiв з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки
матриць // Нелiнiйнi коливання. – 2014. – 17, № 3. – С. 379 – 398.
3. Пафик С. П. Асимптотика загального розв’язку лiнiйних сингулярно збурених систем диференцiальних
рiвнянь вищих порядкiв з виродженнями у випадку кратного спектра граничної в’язки матриць // Динам.
системы. – 2014. – 3(31), № 3, 4. – С. 255 – 274.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
5. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями. –
К.: Вища шк., 2000. – 294 с.
6. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифферен-
циальных уравнений с вырождениями. – К.: Вища шк., 1991. – 207 с.
Одержано 03.01.18,
пiсля доопрацювання — 29.06.18
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177334 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:59:15Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пафик, С.П. 2021-02-14T11:06:41Z 2021-02-14T11:06:41Z 2018 Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями / С.П. Пафик // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 3. — С. 368-396 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177334 517.928 З використанням теорiї полiномiальних матричних в’язок побудовано асимптотику лiнiйно незалежних розв’язкiв однорiдної сингулярно збуреної системи лiнiйних диференцiальних рiвнянь довiльного m-го порядку з матрицею при старших похiдних, яка вироджується з прямуванням малого параметра до нуля. Розглянуто загальний випадок. А саме, передбачено, що гранична в’язка матриць має кiлька скiнченних i кiлька нескiнченних елементарних дiльникiв як однакової, так i рiзної кратностi. Наведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки. By using the theory of polynomial matrix pencils, we construct the asymptotics of linearly independent solutions of the homogeneous singularly perturbed system of linear differential equations of arbitrary order m with matrix of higher derivatives, which degenerates as a small parameter tends to zero. The general case is considered. In this case, the limit matrix pencil has several finite and infinite elementary divisors of both the same and different multiplicities. The corresponding asymptotic estimates are given. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями Асимптотика общего решения линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений высшего порядка с вырождениями Asymptotics of the general solution of the linear singularly perturbed system of higher-order differential equations with degenerations Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями Пафик, С.П. |
| title | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| title_alt | Асимптотика общего решения линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений высшего порядка с вырождениями Asymptotics of the general solution of the linear singularly perturbed system of higher-order differential equations with degenerations |
| title_full | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| title_fullStr | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| title_full_unstemmed | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| title_short | Асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| title_sort | асимптотика загального розв’язку лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь вищого порядку з виродженнями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177334 |
| work_keys_str_mv | AT pafiksp asimptotikazagalʹnogorozvâzkulíníinoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹviŝogoporâdkuzvirodžennâmi AT pafiksp asimptotikaobŝegorešeniâlineinoisingulârnovozmuŝennoisistemydifferencialʹnyhuravneniivysšegoporâdkasvyroždeniâmi AT pafiksp asymptoticsofthegeneralsolutionofthelinearsingularlyperturbedsystemofhigherorderdifferentialequationswithdegenerations |