О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием
Розглянуто механiчнi системи з iмпульсною дiєю та запiзненням. Встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi за лiнiйним наближенням положення рiвноваги системи при умовi, що параметри системи змiнюються перiодично. При цьому припускається, що величина запiзнення рiвна перiоду системи. Отримано...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177341 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием / В.Н. Колесниченко, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 473-484 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177341 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Колесниченко, В.Н. Слынько, В.И. 2021-02-14T11:33:44Z 2021-02-14T11:33:44Z 2018 О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием / В.Н. Колесниченко, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 473-484 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177341 517.9 Розглянуто механiчнi системи з iмпульсною дiєю та запiзненням. Встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi за лiнiйним наближенням положення рiвноваги системи при умовi, що параметри системи змiнюються перiодично. При цьому припускається, що величина запiзнення рiвна перiоду системи. Отримано умови параметричної стiйкостi нижнього положення рiвноваги математичного маятника з урахуванням iмпульсного збурення та запiзнення. Impulsive mechanical systems with delay are considered. We establish sufficient conditions for asymptotic stability by the linear approximation of the equilibrium positions of the system with periodic parameters. It is also assumed that the delay value is equal to the period of the system. The conditions of parametric stability of the lower equilibrium position of a mathematical pendulum taking into account the impulsive perturbations and delay are derived. Выполнена при частичной поддержке Министерства образования и науки Украины, проект № 0116U004691. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием Про динамічну стійкість імпульсних механічних систем із запізненням On the dynamic stability of impulsive mechanical systems with delay Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| spellingShingle |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием Колесниченко, В.Н. Слынько, В.И. |
| title_short |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| title_full |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| title_fullStr |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| title_sort |
о динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием |
| author |
Колесниченко, В.Н. Слынько, В.И. |
| author_facet |
Колесниченко, В.Н. Слынько, В.И. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про динамічну стійкість імпульсних механічних систем із запізненням On the dynamic stability of impulsive mechanical systems with delay |
| description |
Розглянуто механiчнi системи з iмпульсною дiєю та запiзненням. Встановлено достатнi умови асимптотичної стiйкостi за лiнiйним наближенням положення рiвноваги системи при умовi, що параметри системи змiнюються перiодично. При цьому припускається, що величина запiзнення рiвна перiоду системи. Отримано умови параметричної стiйкостi нижнього положення рiвноваги математичного маятника з урахуванням iмпульсного збурення та запiзнення.
Impulsive mechanical systems with delay are considered. We establish sufficient conditions for asymptotic stability by the linear approximation of the equilibrium positions of the system with periodic parameters. It is also assumed that the delay value is equal to the period of the system. The conditions of parametric stability of the lower equilibrium position of a mathematical pendulum taking into account the impulsive perturbations and delay are derived.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177341 |
| citation_txt |
О динамической устойчивости импульсных механических систем с запаздыванием / В.Н. Колесниченко, В.И. Слынько // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 473-484 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kolesničenkovn odinamičeskoiustoičivostiimpulʹsnyhmehaničeskihsistemszapazdyvaniem AT slynʹkovi odinamičeskoiustoičivostiimpulʹsnyhmehaničeskihsistemszapazdyvaniem AT kolesničenkovn prodinamíčnustíikístʹímpulʹsnihmehaníčnihsistemízzapíznennâm AT slynʹkovi prodinamíčnustíikístʹímpulʹsnihmehaníčnihsistemízzapíznennâm AT kolesničenkovn onthedynamicstabilityofimpulsivemechanicalsystemswithdelay AT slynʹkovi onthedynamicstabilityofimpulsivemechanicalsystemswithdelay |
| first_indexed |
2025-11-25T20:32:25Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:32:25Z |
| _version_ |
1850524496016965632 |
| fulltext |
УДК 517.9
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ*
В. Н. Колесниченко, В. И. Слынько
Институт механики НАН Украины им. С. П. Тимошенко
ул. Нестерова, 3, Киев, 03057, Украина
e-mail: v.m.kolisnychenko@gmail.com
vitstab@ukr.net
Impulsive mechanical systems with delay are considered. We establish sufficient conditions for asymptotic
stability by the linear approximation of the equilibrium positions of the system with periodic parameters.
It is also assumed that the delay value is equal to the period of the system. The conditions of parametric
stability of the lower equilibrium position of a mathematical pendulum taking into account the impulsive
perturbations and delay are derived.
Розглянуто механiчнi системи з iмпульсною дiєю та запiзненням. Встановлено достатнi умови
асимптотичної стiйкостi за лiнiйним наближенням положення рiвноваги системи при умовi, що
параметри системи змiнюються перiодично. При цьому припускається, що величина запiзнення
рiвна перiоду системи. Отримано умови параметричної стiйкостi нижнього положення рiвноваги
математичного маятника з урахуванням iмпульсного збурення та запiзнення.
Введение. Исследование устойчивости управляемых механических систем приводит к не-
обходимости учета запаздывания в обратной связи и параметрических возмущений. Если
при этом механическая система подвергается импульсным возмущениям в фиксированные
моменты времени, то математической моделью движения такой системы являются диф-
ференциальные уравнения с импульсным воздействием и запаздыванием. При этом пе-
риодические изменения параметров системы (параметрические возмущения) могут быть
причиной потери устойчивости положения равновесия механической системы, поэтому
важно установить условия устойчивости импульсной системы с запаздыванием. Примера-
ми механических систем, где возникает необходимость одновременного учета параметри-
ческих возмущений, импульсного воздействия и запаздывания в функциях обратной связи,
являются модели шагающих и прыгающих роботов [1].
Значительный вклад в развитие теории устойчивости дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием принадлежит киевской математической школе под руковод-
ством академика А. М. Самойленко. В монографии [2] изложены основы теории устой-
чивости линейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием,
включая теорию Флоке, а также теоремы прямого метода Ляпунова. Различные вопро-
сы теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием рассматривались в работах [3 – 5]. Теоремы об устойчивости линейных пе-
риодических систем и проблема обобщения теорииФлоке –Ляпунова для функционально-
дифференциальных уравнений изложены в монографии [6].
∗ Выполнена при частичной поддержке Министерства образования и науки Украины, проект
№ 0116U004691.
© В. Н. Колесниченко, В. И. Слынько, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4 473
474 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
В работе [7] для линейной системы дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием и запаздыванием предложена конструкция кусочно-дифференцируемой по вре-
мени функции Ляпунова и установлены достаточные условия асимптотической устойчиво-
сти на основе теорем прямого метода Ляпунова – Разумихина. Дальнейшее развитие идеи
о кусочно-дифференцируемой по времени функции Ляпунова проведено в работе [8]. В
работах [9, 10] получены достаточные условия асимптотической устойчивости линейной
периодической импульсной системы с запаздыванием с постоянными коэффициентами.
Эти условия сводятся к локализации корней некоторой трансцендентной функции в едини-
чном круге комплексной плоскости. Однако явные условия такой локализации, аналогич-
ные условиям Шура –Кона [11], пока неизвестны. Поэтому в этих работах исследование
локализации корней проводилось численно-аналитическими методами.
В этой работе рассматривается задача об асимптотической устойчивости линейной
периодической импульсной системы с запаздыванием в предположении, что величина
запаздывания равна периоду системы. Для исследования устойчивости применяется ото-
бражение Пуанкаре, с помощью которого исследование устойчивости сводится к иссле-
дованию локализации корней некоторой трансцендентной характеристической функции
в единичном круге комплексной плоскости. Однако, практическое применение этих усло-
вий затруднено двумя обстоятельствами. Во-первых, для вычисления характеристической
функции необходимо предварительно проинтегрировать вспомогательную неавтономную
линейную систему линейных дифференциальных уравнений, правая часть которой содер-
жит скалярный комплексный параметр, и, во-вторых, решить задачу о локализации корней
характеристического уравнения. Поэтому возникает необходимость нахождения возможно
более грубых, но легко проверяемых достаточных условий асимптотической устойчивости
линейной периодической импульсной системы с запаздыванием.
1. Постановка задачи. Можно показать, что при достаточно общих предположени-
ях уравнения движения механической системы с конечным числом степеней свободы
при действии параметрических и импульсных возмущений в окрестности положения рав-
новесия описываются линейной системой дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием и запаздыванием
dx
dt
= A(t)x(t) +B(t)x(t− θ), t 6= kθ,
∆x(t) = Cx(t), t = kθ,
(1.1)
где x ∈ Rn, A ∈ C(R;L(Rn)), B ∈ C (R;L (Rn)) — θ -периодические функции, описываю-
щие параметрические возмущения, ∆x(t) = x(t+0)−x(t), линейный оператор C ∈ L (Rn)
описывает импульсные возмущения.
Обозначим через x(t;ϕ0), ϕ0 ∈ C[0, θ], решение линейной системы (1.1), удовлетво-
ряющее начальному условию x(t, ϕ0) = ϕ0(t) при всех t ∈ [0, θ]. Как обычно, решение
x(t;ϕ0) считается непрерывным слева x(t− 0;ϕ0) = x(t;ϕ0).
Рассмотрим задачу об асимптотической устойчивости линейной системы (1.1).
Определение 1.1. Линейная система (1.1) называется асимптотически устойчивой по
Ляпунову, если для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что из неравенства
‖ϕ0‖C[0,θ] < δ следует, что ‖x(t;ϕ0)‖ < ε при всех t ≥ θ и
lim
t→∞
‖x(t;ϕ0)‖ = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 475
Целью настоящей работы является исследование асимптотической устойчивости ли-
нейной системы (1.1).
2. Основной результат. Наряду с системой (1.1) рассмотрим зависящее от комплексно-
го параметра λ ∈ C \ {0} линейное операторное дифференциальное уравнение
dW t
s
dt
=
(
A(t) + λ−1B(t)
)
W t
s , W s
s = I, (2.1)
и линейное операторное уравнение
dΩt
s
dt
= A(t)Ωt
s, Ωs
s = I.
Следующее утверждениепозволяет установить необходимыеидостаточные условия асимп-
тотической устойчивости линейной системы (1.1).
Лемма 2.1. Линейная система (1.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда,
когда все корни характеристического уравнения
det
(
(I + C)W θ
0 (λ)− λE
)
= 0 (2.2)
удовлетворяют неравенству |λ| < 1.
Доказательство. Сначалапроведемпереход от задачиКошидля линейной системы (1.1)
к эквивалентной ей задаче для функциональной последовательности {ϕk}k∈N0 , ϕk ∈
∈ C ([0, θ];Rn) :
dϕk+1(t)
dt
= A(t)ϕk+1(t) +B(t)ϕk(t), t ∈ (0, θ),
ϕk+1(0) = (I + C)ϕk(θ).
Применяя формулу Коши, получаем
ϕk+1(t) = Ωt
0ϕk+1(0) +
t∫
0
Ωt
sB(s)ϕk(s) ds.
Вследствие условия ϕk+1(0) = (I + C)ϕk(θ) имеем
ϕk+1(t) = Ωt
0(I + C)ϕk(θ) +
t∫
0
Ωt
sB(s)ϕk(s) ds := (Tϕk)(t).
Известно [12], что условие r(T ) < 1 является необходимым и достаточным условием
асимптотической устойчивости линейной системы (1.1), если спектр оператора T состоит
из его собственных значений и, возможно, нуля.
Таким образом, вопрос об устойчивости линейной системы (1.1) сводится к исследо-
ванию спектра оператора T. Можно показать, что линейный оператор T переводит огра-
ниченное множество в пространстве C[0, θ] во множество функций с равномерно огра-
ниченной производной, откуда следует его равностепенная непрерывность. По теореме
Асколи –Арцела это множество является предкомпактным в пространстве C[0, θ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
476 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
Таким образом, линейный оператор T переводит ограниченное множество в пред-
компактное, т. е. является вполне непрерывным. Известно [13], что их непрерывный и
остаточный спектры либо пусты, либо в объединении дают одноточечное множество {0}.
Следовательно, ненулевые точки спектра оператора T являются его собственными
значениями
(T − λI)ϕ = 0. (2.3)
Уравнение (2.3) эквивалентно интегральному уравнению
Ωt
0(I + C)ϕ(θ) +
t∫
0
Ωt
sB(s)ϕ(s) ds− λϕ(t) = 0. (2.4)
Из этого уравнения следует, что ϕ ∈ C1(0, θ), поэтому
A(t)Ωt
0(I + C)ϕ(θ) +A(t)
t∫
0
Ωt
sB(s)ϕ(s) ds+B(t)ϕ(t)− λdϕ(t)
dt
= 0.
Следовательно, при λ 6= 0
dϕ(t)
dt
= (A(t) + λ−1B(t))ϕ(t) (2.5)
и ϕ(t) = W t
θ(λ)ϕ(θ). Поскольку уравнение (2.5) получено дифференцированием уравне-
ния (2.4), то множество решений уравнения (2.5) шире, чем множество решений урав-
нения (2.4). Чтобы выделить из множества решений уравнения (2.5) решения уравне-
ния (2.4), подставим решение уравнения (2.5) в (2.4):Ωt
0(I + C) +
t∫
0
Ωt
sB(s)W s
θ (λ) ds− λW t
θ(λ)
ϕ(θ) = 0.
Поскольку оператор Ωt
0 невырожденный, тоI + C +
t∫
0
Ω0
sB(s)W s
θ (λ) ds− λΩ0
tW
t
θ(λ)
ϕ(θ) = 0.
Обозначим
R(t) =
t∫
0
Ω0
sB(s)W s
θ (λ) ds− λΩ0
tW
t
θ(λ)
и, продифференцировав функцию R(t), получим
dR(t)
dt
= Ω0
tB(t)W t
θ(λ)− λ dΩ0
t
dt
W t
θ(λ)− λΩ0
t
dW t
θ(λ)
dt
.
С учетом того, что
dΩ0
t
dt
= −Ωt
0A(t),
dW t
θ(λ)
dt
=
(
A(t) + λ−1B(t)
)
W t
θ(λ),
будем иметь
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 477
dR(t)
dt
= Ω0
tB(t)W t
θ(λ) + λΩt
0A(t)W t
θ(λ)− λΩ0
t
(
A(t) + λ−1B(t)
)
W t
θ(λ) = 0.
Таким образом, R(t) = R(0) = −λW 0
θ (λ), откуда, с учетом невырожденности оператора
W 0
θ (λ), находим
(
(I + C)W θ
0 (λ)− λE
)
ϕ(θ) = 0. (2.6)
Система линейных неоднородных уравнений (2.6) имеет нетривиальное решение тогда и
только тогда, когда число λ ∈ C удовлетворяет характеристическому уравнению (2.2). Сле-
довательно, спектр оператора T состоит из корней характеристического уравнения (2.2)
и, возможно, нуля.
Лемма 2.1 доказана.
Отметим, что непосредственное применение леммы 3.1 для исследования устойчивости
системы (1.1) крайне затруднительно даже в случае, когда операторы A(t) и B(t) не зависят
явно от t, поскольку характеристическое уравнение (2.2) является трансцендентным урав-
нением, проблема локализации корней для которого представляет собой трудную само-
стоятельную задачу. В общем случае, ситуация осложняется необходимостью вычисления
оператора монодромии W θ
0 (λ). Однако утверждение леммы 2.1 позволяет сформулировать
более грубое достаточное условие асимптотической устойчивости, которое будет легко
проверяемым.
Рассмотримоднопараметрическое семейство линейных системдифференциальных урав-
нений с импульсным воздействием
dy(t)
dt
= (A(t) + zB(t))y(t), t 6= kθ,
∆y(t) = Cy(t), t = kθ,
(2.7)
где y ∈ Cn, z ∈ C, |z| < 1 — комплексный параметр.
Лемма 2.2. Предположим, что все линейные системы, принадлежащие семейству (2.7),
асимптотически устойчивы.
Тогда линейная периодическая система дифференциальных уравнений с запаздыванием и
импульсным воздействием (1.1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Предположим, от противного, что уравнение (2.2) имеет корень λ0 ∈
∈ C, |λ0| ≥ 1. Тогда λ0 — мультипликатор (собственное значение) оператора монодро-
мии системы (2.7) при z = λ−10 , что противоречит асимптотической устойчивости систе-
мы (2.7). Полученное противоречие доказывает лемму 3.2.
Лемма 3.2 сводит задачу об устойчивости линейной периодической системы с запаз-
дыванием и импульсным воздействием к исследованию устойчивости семейства линейных
импульсных систем (без запаздывания). Последняя задача аналогична задаче о робастной
устойчивости, методы решения которой разработаны в [14 – 16].
Теорема 2.1. Предположим, что линейная периодическая система дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием и запаздыванием (1.1) удовлетворяет условию
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
478 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
∥∥∥(I + C)Ωθ
0
∥∥∥ exp
θ∫
0
‖Ω0
τB(τ)Ωτ
0‖ dτ
< 1. (2.8)
Тогда линейная система (1.1) асимптотически устойчива.
Доказательство. Используя формулу Коши, решение y(t, z), y(0, z) = y0, линейной
системы (2.7) представляем в интегральном виде
y(t, z) = Ωt
0y0 + z
t∫
0
Ωt
sB(s)y(s, z) ds, t ∈ [0, θ]. (2.9)
Отсюда следует
Ω0
t y(t, z) = y0 + z
t∫
0
Ω0
sB(s)Ωs
0Ω
0
sy(s, z) ds, t ∈ [0, θ].
Переходя к оценке по норме, получаем
∥∥Ω0
t y(t, z)
∥∥ ≤ ‖y0‖+
t∫
0
∥∥Ω0
sB(s)Ωs
0
∥∥∥∥Ω0
sy(s, z)
∥∥ ds, t ∈ [0, θ].
Применяя лемму об интегральном неравенстве Гронуолла – Беллмана, имеем
∥∥Ω0
t y(t, z)
∥∥ ≤ ‖y0‖ exp
t∫
0
‖Ω0
sB(s)Ωs
0‖ ds
, t ∈ [0, θ].
Далее,
y(θ+, z) = (I + C)y(θ, z) = (I + C)Ωθ
0y0 + z(I + C)
θ∫
0
Ωθ
sB(s)y(s) ds =
= (I + C)Ωθ
0
y0 + z
θ∫
0
Ω0
sB(s)Ωs
0Ω
0
sy(s) ds
.
Следовательно,
‖y(θ+, z)‖ ≤
∥∥∥(I + C)Ωθ
0
∥∥∥
‖y0‖+
θ∫
0
‖Ω0
sB(s)Ωs
0‖‖Ω0
sy(s)‖ ds
≤
≤
∥∥∥(I + C)Ωθ
0
∥∥∥
1 +
θ∫
0
∥∥Ω0
sB(s)Ωs
0
∥∥ exp
s∫
0
∥∥Ω0
τB(τ)Ωτ
0
∥∥ dτ
ds
‖y0‖ =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 479
=
∥∥∥(I + C)Ωθ
0
∥∥∥ exp
θ∫
0
∥∥Ω0
τB(τ)Ωτ
0
∥∥ dτ
‖y0‖.
Отсюда следует асимптотическая устойчивость всех систем семейства (2.7) при |z| ≤ 1.
Теорема 2.1 доказана.
Приведем некоторые следствия доказанной теоремы в частных случаях.
1. Скалярное уравнение. Для скалярного уравнения
dx
dt
= a(t)x(t) + b(t)x(t− θ), t 6= kθ,
∆x(t) = cx(t), t = kθ
достаточные условия асимптотической устойчивости имеют вид
1
θ
θ∫
0
(a(s) + |b(s)|) ds+ ln |1 + c| < 0.
Если a(s) = a, b(s) = b — постоянные и c = 0, то приходим к известным условиям
устойчивости дифференциального уравнения с запаздыванием не зависимо от величины
запаздывания a+ |b| < 0 [6].
2. Оператор A(t) постоянный. Если A(t) = A0, то Ωt
0 = eA0t, и условие асимптотиче-
ской устойчивости системы (1.1) принимает вид
∥∥∥(I + C)eAθ
∥∥∥ exp
θ∫
0
∥∥e−AτB(τ)eAτ
∥∥ dτ
< 1.
3. Оператор A(t) кососимметричный. Условия асимптотической устойчивости систе-
мы (1.1) принимают особенно простой вид в случае, когда оператор A(t) кососимметрич-
ный, т. е. AT (t) = −A(t) :
‖I + C‖ exp
θ∫
0
‖B(τ)‖ dτ
< 1.
3. Динамическая устойчивость математического маятника при действии импульсных и
параметрических возмущений. Рассмотрим колебания математического маятника, подвер-
женного в фиксированные моменты времени t = kθ импульсному воздействию с импуль-
сом p под действием непотенциальных сил F.
Уравнение движения маятника в форме дифференциального уравнения Лагранжа вто-
рого рода имеет вид уравнений
d
dt
(
∂L
∂ϕ̇
)
− ∂L
∂ϕ
= Qϕ, t 6= kθ,
и условий сопряжения (условия Эрдмана –Вейерштрасса), которые выполняются в момен-
ты импульсного воздействия t = kθ :
∂L
∂ϕ̇
∣∣∣∣
t=kθ+0
− ∂L
∂ϕ̇
∣∣∣∣
t=kθ
= pϕ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
480 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
где L =
ml2ϕ̇2
2
+mgl(1−cosϕ) —функция Лагранжа, Qϕ —обобщенная непотенциальная
сила, соответствующая обобщенной координате ϕ, pϕ — обобщенный импульс силы,
соответствующий обобщенной координате ϕ и действующий в фиксированные моменты
времени t = kθ,
Qϕ = F
∂r
∂ϕ
= l(−Fx sinϕ(t) + Fy cosϕ(t)), pϕ = p
∂r
∂ϕ
= l(−px sinϕ(t) + py cosϕ(t)).
Следовательно, уравнения движения можно представить в виде системы дифференци-
альных уравнений с импульсным воздействием
ϕ̈(t) +
g
l
sinϕ(t) =
1
ml
(−Fx sinϕ(t) + Fy cosϕ(t)) , t 6= kθ,
∆ϕ(t) = 0, t = kθ,
∆ϕ̇(t) =
1
ml
(−px sinϕ(t) + py cosϕ(t)), t = kθ.
Предположим, что приложенный импульс постоянен по величине и направлению px = −p,
py = 0 и, кроме диссипативных сил, на маятник действует управляющая запаздывающая
переменная позиционная сила, т. е.
Fx = 2µl sinϕϕ̇(t) + b(t) sinϕ(t− θ) cosϕ(t),
Fy = −2µl cosϕϕ̇(t)− b(t) sinϕ(t− θ) sinϕ(t),
где b(t) — кусочно-непрерывная θ -периодическая функция.
Тогда уравнения движения маятника принимают вид
ϕ̈(t) +
2µ
m
ϕ̇(t) +
g
l
sinϕ(t) =
b(t)
ml
sinϕ(t− θ), t 6= kθ,
∆ϕ(t) = 0, t = kθ,
∆ϕ̇(t) =
p
ml
sinϕ(t), t = kθ.
Обозначим ω2 =
g
l
и введем безразмерное время τ = ωt и безразмерные параметры
µ =
µ
mω
, b(τ) =
b(τ/ω)
mlω2
, p =
p
mlω
, θ = ωθ.
В безразмерных переменных система уравнений движения имеет вид
ϕ′′(τ) + 2µϕ′(τ) + sinϕ(τ) = b(τ) sinϕ(τ − θ), τ 6= kθ,
∆ϕ(τ) = 0, τ = kθ,
∆ϕ′(τ) = p sinϕ(τ), τ = kθ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 481
Очевидно, что эта система имеет два положения равновесия ϕ∗1 = 0 (нижнее) и ϕ∗2 = π
(верхнее).
Рассмотрим вопрос об устойчивости нижнего положения равновесия. Линеаризован-
ную систему уравнений возмущенного движения в окрестности нижнего положения рав-
новесия можно представить в виде линейной периодической системы дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием
dx(τ)
dτ
= Ax(τ) + b(τ)Bx(τ − θ), τ 6= kθ,
∆x(τ) = pCx(τ), τ = kθ,
где x ∈ R2, матрицы A, B и C имеют вид
A =
(
0 1
−1 −2µ
)
, B =
(
0 0
0 1
)
, C =
(
0 0
1 0
)
.
Нетрудно вычислить
eAτ = e−µτ
(
a11(τ) a12(τ)
a21(τ) a22(τ)
)
,
где
a11(τ) = cos(Ωτ) +
µ
Ω
sin(Ωτ), a12(τ) = −a21(τ) =
sin(Ωτ)
Ω
,
a22(τ) = cos(Ωτ)− µ
Ω
sin(Ωτ),
Ω =
√
1− µ2 (здесь предполагается, что µ ∈ (0, 1));
Φ = (I + pC)eAθ = e−µθ
(
a11(θ) a12(θ)
pa11(θ)− a12(θ) a22(θ) + pa12(θ)
)
,
K(τ) = b(τ)e−AτBeAτ = b(τ)
(
a12(−τ)a21(τ) a12(−τ)a22(τ)
a22(−τ)a21(τ) a22(−τ)a22(τ)
)
.
Несложно показать, что
‖K(τ)‖ = |b(τ)|
√
(a212(−τ) + a222(−τ))(a221(τ) + a222(τ)) =
= |b(τ)|
(
1 +
4µ2
Ω4
sin4(Ωτ)
)1/2
,
‖Φ‖ = e−µθ
√
s+
√
s2 − 4
2
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
482 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
s = a211(θ) + a212(θ) + (pa11(θ)− a12(θ))2 + (a22(θ) + pa12(θ))
2 =
= 2
(
cos2(Ωθ) +
1 + µ2
Ω2
sin2(Ωθ)
)
− 4µ
Ω2
sin2(Ωθ)p +
+
(
cos2(Ωθ) +
1 + µ2
Ω2
sin2(Ωθ) +
2µ
Ω
sin(Ωθ) cos(Ωθ)
)
p2.
Следовательно, достаточные условия асимптотической устойчивости нижнего положения
равновесия маятника принимают вид√
s+
√
s2 − 4
2
exp
θ∫
0
|b(τ)|
(
1 +
4µ2
Ω4
sin4(Ωτ)
)1/2
dτ − µθ
< 1.
Приведем численные результаты исследования асимптотической устойчивости нижнего
положения маятника.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
О ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 483
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7 Рис. 8
Пусть µ = 0,1, b(τ) = b0 sin
4πτ
θ
. На рис. 1 – 6 изображены области асимптотической
устойчивости в пространстве параметров (|b0|, p) при различных значениях θ. На рис. 7
приведен график зависимости p1 = p1(θ), где p1 — абсцисса максимума на графике
зависимости (|b0|, p), а на рис. 8 — график зависимости p2 = p2(θ), где p2 — абсцисса
минимума на графике зависимости (|b0|, p).
4. Обсуждение результатов. Предложенныйподход к исследованию устойчивости весь-
ма прост и эффективен. Он позволяет получить условия асимптотической устойчиво-
сти при параметрических возмущениях механических систем с импульсным воздействи-
ем. Особенно эффективны эти условия в ряде частных случаев, рассмотренных в п. 2.
В общем случае для применения этих условий необходимо вычислить матрицант Ωt
s.
Другая возможность состоит в исследовании асимптотической устойчивости однопара-
метрического семейства линейных импульсных систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. В этом случае можно применять прямой метод Ляпунова, а в случае на-
личия малого параметра в системе — асимптотические методы Крылова – Боголюбова –
Митропольского.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
484 В. Н. КОЛЕСНИЧЕНКО, В. И. СЛЫНЬКО
Литература
1. Бордюг Б. А., Ларин В. Б., Тимошенко А. Г. Задачи управления шагающими аппаратами. – К.: Наук. думка,
1985.
2. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations // Singapore: World Sci., 1995.
3. Dvirnyi A. I., Slyn’ko V. I. Application of Lyapunov’s direct method to the study of the stability of solutions to
systems of impulsive differential equations // Math. Notes. – 2014. – 96, № 1. – P. 26 – 37.
4. Dvirnyj A. I., Slyn’ko V. I. Investigating stability using nonlinear quasi-homogeneous approximation to differential
equations with impulsive action // Sb. Math. – 2014. – 205, № 6. – P. 862 – 891.
5. Ignat’ev A. O., Ignat’ev O. A., Soliman A. A. Asymptotic stability and instability of the solutions of systems
with impulse action // Math. Notes. – 2006. – 80, № 4. – P. 491 – 499.
6. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1984.
7. Слынько В. И. Об условиях устойчивости движения линейных импульсных систем с запаздыванием //
Прикл. механика. – 2005. – 41, № 6. – С. 130 – 139.
8. Иванов И. Л. Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях // Электрон. моделирование. –
2014. – 36, № 5. – С. 17 – 26.
9. Иванов И. Л., Слынько В. И. Критерий устойчивости автономных линейных систем с запаздыванием и
периодическим импульсным воздействием // Прикл. механика. – 2013. – 49, № 6. – С. 120 – 131.
10. Ivanov I. L., Slyn’ko V. I. Stability criterion of linear systems with delay and two-periodic impulse excitation //
Autom. Remote Control. – 2012. – 73, № 9. – P. 1456 – 1468.
11. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. – М.: Наука, 1979. – 304 с.
12. Daletskii Yu. L., Krein M. G. Stability of solutions of differential equations in Banach space. – Amer. Math.
Soc., 1974.
13. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. – New-York; London: Intersci. Publ., 1958.
14. Liu. B., Liu X., Liao X. Robust stability of uncertain impulsive dynamical systems // J. Math. Anal. Appl. –
2004. – 290. – P. 519 – 533.
15. Slyn’ko V. I., Denisenko V. S. Robust stability of systems of linear differential equations with periodic impulsive
influence // Autom. Remote Control. – 2012. – 73, № 6. – P. 1005 – 1015.
16. Denisenko V. S., Slyn’ko V. I. Interval stability of linear impulsive systems // J. Comput. Syst. Sci. Int. – 2015. –
54, № 1. – P. 1 – 12.
Получено 23.10.2017,
после доработки — 29.10.2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
|