Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра
Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом головних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше побудовано iнтегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної крайової задачi математичної фiзики для кусковооднорiдного суцiльного ци...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2018 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177342 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 485-495 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859667017773088768 |
|---|---|
| author | Конет, І.М. Пилипюк, Т.М. |
| author_facet | Конет, І.М. Пилипюк, Т.М. |
| citation_txt | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 485-495 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом головних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше побудовано iнтегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної крайової задачi математичної фiзики для кусковооднорiдного суцiльного цилiндра.
By using the method of integral and hybrid integral transformations, together with the method of main solutions (influence matrices and Green matrices), for the first time, we have constructed the integral representation of a unique exact analytical solution of the hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics for a piecewise homogeneous solid cylinder.
|
| first_indexed | 2025-11-30T11:46:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.946
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА
ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА
I. М. Конет, Т. М. Пилипюк
Кам’янець-Подiл. нац. ун-т iм. I. Огiєнка
вул. Огiєнка, 61, м. Кам’янець-Подiльський, 32300, Україна
e-mail: konet51@ukr.net, t-myh@i.ua
By using the method of integral and hybrid integral transformations, together with the method of
main solutions (influence matrices and Green matrices), for the first time, we have constructed the
integral representation of a unique exact analytical solution of the hyperbolic boundary-value problem of
mathematical physics for a piecewise homogeneous solid cylinder.
Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом головних
розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше побудовано iнтегральне зображення єдиного
точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної крайової задачi математичної фiзики для кусково-
однорiдного суцiльного цилiндра.
1. Вступ. Теорiя початково-крайових (мiшаних) задач для диференцiальних рiвнянь з час-
тинними похiдними гiперболiчного типу, зокрема рiвнянь математичної фiзики, — важ-
ливий роздiл сучасної теорiї диференцiальних рiвнянь, який iнтенсивно розвивається зав-
дяки численним застосуванням її досягнень при дослiдженнi рiзноманiтних математичних
моделей рiзних процесiв i явищ природи, механiки, фiзики, хiмiї, технiки, новiтнiх тех-
нологiй.
Вагомi результати з теорiї задачi Кошi та початково-крайових задач для рiвнянь i сис-
тем рiвнянь гiперболiчного типу одержано в працях Ж. Адамара [1], Л. Гордiнга [2],
Ю. О. Митропольського, Г. П. Хоми, М. I. Громяка [3], А. М. Самойленка, Б. П. Тка-
ча [4], М. М. Смирнова [5], В. А. Чернятина [6] та iнших вiдомих вiтчизняних i зарубiжних
математикiв.
Добре вiдомо, що складнiсть дослiджуваних крайових i мiшаних задач суттєво зале-
жить як вiд властивостей коефiцiєнтiв рiвнянь (рiзнi види виродженостей i особливостей
коефiцiєнтiв), так i вiд геометричної структури областi (гладкiсть межi, наявнiсть кутових
точок тощо), в якiй розглядається задача. На цей час досить детально вивчено властивостi
розв’язкiв i розвинуто рiзноманiтнi методи побудови розв’язкiв (точнi та наближенi) крайо-
вих i мiшаних задач для лiнiйних, квазiлiнiйних i деяких нелiнiйних рiвнянь рiзних типiв
(елiптичних, параболiчних, гiперболiчних) в однозв’язних областях (однорiдних середо-
вищах), якi обумовленi згаданими вище властивостями коефiцiєнтiв рiвнянь i геометрiї
областi, та побудовано функцiональнi простори коректностi задач у сенсi Адамара.
Водночас багато важливих прикладних задач термомеханiки, теплофiзики, дифузiї,
теорiї пружностi, теорiї електричних кiл, теорiї коливань механiчних систем приводять до
крайових i мiшаних задач не тiльки в однорiдних середовищах, коли коефiцiєнти рiвнянь є
неперервними, але й в неоднорiдних i кусково-однорiдних середовищах, коли коефiцiєнти
рiвнянь є кусково-неперервними чи, зокрема, кусково-сталими [7 – 9].
Виявляється, що для досить широкого класу лiнiйних крайових i мiшаних задач у
кусково-однорiдних середовищах ефективним методом побудови їхнiх точних розв’язкiв
© I. М. Конет, Т. М. Пилипюк, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4 485
486 I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
є метод гiбридних iнтегральних перетворень, породжених гiбридними диференцiальними
операторами, коли на кожнiй компонентi зв’язностi кусково-однорiдного середовища роз-
глядаються або ж рiзнi диференцiальнi оператори, або ж диференцiальнi оператори того
ж самого вигляду, але з рiзними наборами коефiцiєнтiв [10 – 13].
У цiй статтi методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з
методом головних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) побудовано єдиний точний
аналiтичний розв’язок гiперболiчної крайової задачi математичної фiзики для кусково-
однорiдного суцiльного цилiндра.
2. Постановка задачi. Розглянемо задачу побудови обмеженого на множинi
D =
{
(t, r, ϕ, z) | t > 0; r ∈ I+n =
n+1⋃
j=1
Ij ≡
n+1⋃
j=1
(Rj−1;Rj), R0 = 0, Rn+1 ≡ R < +∞,
ϕ ∈ [0; 2π), z ∈ (−l1; l2), lj ≥ 0, j = 1, 2, l1 + l2 ≡ l 6= 0
}
2π -перiодичного щодо кутової змiнної ϕ класичного розв’язку диференцiальних рiвнянь
з частинними похiдними гiперболiчного типу 2-го порядку [14]
∂2uj
∂t2
−
[
a2rj
(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
)
+
a2ϕj
r2
∂2
∂ϕ2
+ a2zj
∂2
∂z2
]
uj+
+ χ2
juj = fj(t, r, ϕ, z), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1, (1)
з початковими умовами
uj |t=0 = g1j (r, ϕ, z),
∂uj
∂t
∣∣∣∣
t=0
= g2j (r, ϕ, z), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1, (2)
крайовими умовами
∂su1
∂r
∣∣∣∣
r=0
= 0,
(
αn+1
22
∂
∂r
+ βn+1
22
)
un+1
∣∣∣∣
r=R
= g(t, ϕ, z), s = 0, 1, (3)
(
− ∂
∂z
+ p1
)
uj
∣∣∣∣
z=−l1
= w1
j (t, r, ϕ),
(
∂
∂z
+ p2
)
uj
∣∣∣∣
z=l2
= w2
j (t, r, ϕ), (4)
r ∈ Ij , j = 1, n+ 1
та умовами спряження [12][(
αkj1
∂
∂r
+ βkj1
)
uk −
(
αkj2
∂
∂r
+ βkj2
)
uk+1
]∣∣∣∣
r=Rk
= 0, j = 1, 2, k = 1, n, (5)
де arj , aϕj , azj , χj , pj , αkjs, βkjs — деякi невiд’ємнi сталi;
cjk = αk2jβ
k
1j − αk1jβk2j 6= 0, c1k c2k > 0, αn+1
22 ≥ 0, βn+1
22 ≥ 0, αn+1
22 + βn+1
22 6= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА . . . 487
f(t, r, ϕ, z) = {f1(t, r, ϕ, z), f2(t, r, ϕ, z), . . . , fn+1(t, r, ϕ, z)} ,
g1(r, ϕ, z) =
{
g11(r, ϕ, z), g12(r, ϕ, z), . . . , g1n+1(r, ϕ, z)
}
,
g2(r, ϕ, z) =
{
g21(r, ϕ, z), g22(r, ϕ, z), . . . , g2n+1(r, ϕ, z)
}
,
w1(t, r, ϕ) =
{
w1
1(t, r, ϕ), w1
2(t, r, ϕ), . . . , w1
n+1(t, r, ϕ)
}
,
w2(t, r, ϕ) =
{
w2
1(t, r, ϕ), w2
2(t, r, ϕ), . . . , w2
n+1(t, r, ϕ)
}
, g(t, ϕ, z)
— заданi обмеженi неперервнi функцiї;
u(t, r, ϕ, z) = {u1(t, r, ϕ, z), u2(t, r, ϕ, z), . . . , un+1(t, r, ϕ, z)}
—шукана функцiя.
3. Основна частина. Припустимо, що розв’язок задачi спряження (1) – (5) iснує i за-
данi й шуканi функцiї задовольняють умови застосовностi залучених нижче прямих та
обернених iнтегральних перетворень [10, 15, 16].
До задачi (1) – (5) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворенняФур’є на декартовому
сегментi (−l1; l2) щодо змiнної z [10]:
Λs[f(z)]
l2∫
−l1
f(z)vs(z + l1)dz ≡ fs, (6)
Λ−1s [fs] =
∞∑
s=1
fs
vs(z + l1)
||vs(z + l1)||2
≡ f(z), (7)
Λs
[
d2f
dz2
]
= −γ2sfs + vs(0)
(
−df
dz
+ p1f
)∣∣∣∣
z=−l1
+ vs(l)
(
df
dz
+ p2f
)∣∣∣∣
z=l2
. (8)
У формулах (6) – (8) використовується спектральна функцiя (ядро перетворення)
vs(z + l1) =
γs cos γs(z + l1) + p1 sin γs(z + l1)√
γ2s + p21
,
квадрат норми якої має вигляд
‖vs(z + l1)‖2 ≡
l2∫
−l1
v2s(z + l1)dz =
l
2
+
(p1 + p2)
(
γ2s + p1p2
)
2
(
γ2s + p21
) (
γ2s + p22
) .
При цьому
vs(0) =
γs√
γ2s + p21
, vs(l) =
γs√
γ2s + p22
,
{γs}∞k=1 —монотонно зростаюча послiдовнiсть дiйсних рiзних додатних коренiв трансцен-
дентного рiвняння
ctg(γl) =
γ2 − p1p2
γ(p1 + p2)
,
якi утворюють дискретний спектр.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
488 I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
Iнтегральний оператор Λs, який дiє за формулою (6), внаслiдок тотожностi (8) ставить у
вiдповiднiсть тривимiрнiй початково-крайовiй задачi спряження (1) – (5) задачу побудови
обмеженого на множинi D′ = {(t, r, ϕ)|t > 0; r ∈ I+n ;ϕ ∈ [0; 2π)} 2π -перiодичного щодо
кутової змiнної ϕ класичного розв’язку диференцiальних рiвнянь
∂2ujs
∂t2
−
[
a2rj
(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
)
+
a2ϕj
r2
∂2
∂ϕ2
]
ujs+
+
(
a2zjγ
2
s + χ2
j
)
ujs = Φjs(t, r, ϕ), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1 (9)
з початковими умовами
ujs|t=0 = g1js(r, ϕ),
∂ujs
∂t
∣∣∣∣
t=0
= g2js(r, ϕ), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1, (10)
крайовими умовами
∂pu1s
∂rp
∣∣∣∣
r=0
= 0,
(
αn+1
22
∂
∂r
+ βn+1
22
)
un+1,s
∣∣∣∣
r=R
= gs(t, ϕ), p = 0, 1, (11)
та умовами спряження[(
αkj1
∂
∂r
+ βkj1
)
uks −
(
αkj2
∂
∂r
+ βkj2
)
uk+1,s
]∣∣∣∣
r=Rk
= 0, j = 1, 2, k = 1, n, (12)
де Φjs(t, r, ϕ) = fjs(t, r, ϕ) + a2zjvs(0)ω1
j (t, r, ϕ) + a2zjvs(l)ω
2
j (t, r, ϕ),
До задачi (9) – (12) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є на промiжку
[0; 2π) щодо кутової змiнної ϕ [15]:
Fm[g(ϕ)] =
2π∫
0
g(ϕ) exp(−imϕ)dϕ ≡ gm, i =
√
−1, (13)
F−1m [gm] =
Re
2π
∞∑
m=0
εmgm exp(imϕ) ≡ g(ϕ), (14)
Fm
[
d2g
dϕ2
]
= −m2Fm[g(ϕ)] ≡ −m2gm, (15)
де Re (· · · ) — дiйсна частина виразу (· · · ) щодо ϕ, ε0 = 1, εk = 2, k = 1, 2, 3, . . . .
Iнтегральний оператор Fm, який дiє за формулою (13), внаслiдок тотожностi (15) дво-
вимiрнiй початково-крайовiй задачi спряження (9) – (12) ставить у вiдповiднiсть задачу
побудови обмеженого на множинi D′′ = {(t, r) | t > 0; r ∈ I+n } розв’язку одновимiрних ди-
ференцiальних рiвнянь гiперболiчного типу 2-го порядку з оператором Бесселя
∂2ujsm
∂t2
− a2rj
(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
−
ν2jm
r2
)
ujsm +
(
a2zjγ
2
s + χ2
j
)
ujsm =
= Φjsm(t, r), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1, νjm =
aϕjm
arj
(16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА . . . 489
з початковими умовами
ujsm|t=0 = g1jsm(r),
∂ujsm
∂t
∣∣∣∣
t=0
= g2jsm(r), r ∈ Ij , j = 1, n+ 1, (17)
крайовими умовами
∂pu1sm
∂rp
∣∣∣∣
r=0
= 0,
(
αn+1
22
∂
∂r
+ βn+1
22
)
un+1,sm
∣∣∣∣
r=R
= gsm(t), p = 0, 1, (18)
та умовами спряження[(
αkj1
∂
∂r
+ βkj1
)
uksm −
(
αkj2
∂
∂r
+ βkj2
)
uk+1,sm
]∣∣∣∣
r=Rk
= 0, j = 1, 2 k = 1, n. (19)
До одновимiрної гiперболiчної початково-крайової задачi спряження (16) – (19) застосує-
мо скiнченне гiбридне iнтегральне перетворення типу Ганкеля 1-го роду на кусково-
однорiдному промiжку I+n з n точками спряження щодо радiальної змiнної r [16]:
Hpn[f(r)] =
R∫
0
f(r)V (r, λp)σ(r)rdr ≡ f̃(λp), (20)
H−1pn [f̃(λp)] =
∞∑
p=1
f̃(λp)
V (r, λp)
‖V (r, λp)‖2
≡ f(r), (21)
Hpn
[
B(m)[f(r)]
]
= −λ2pf̃(λp)−
n+1∑
k=1
α2
k
Rk∫
Rk−1
f(r)Vk(r, λp)σkrdr + a2n+1Rσn+1
(
αn+1
22
)−1×
×Vn+1(R, λp)
(
αn+1
22
df
dr
+ βn+1
22 f
)∣∣∣∣
r=R
, R0 ≡ 0, Rn+1 ≡ R. (22)
У формулах (20) – (22) застосовуються такi величини i функцiї:
V (r, λs) =
n+1∑
k=1
Vk(r, λs)Θ(r −Rk−1)Θ(Rk − r),
V1(r, λs) =
n∏
j=1
∆jJν1m(b1sr), bks = a−1k
(
λ2s + γ2k
)1/2 ≡ qk (λ2s) ,
Vk(r, λs) =
n∏
j=k
∆j
[
w
(k−1)
(νm)k;2
(λs)Jνkm(bksr)− w
(k−1)
(νm)k;1
(λs)Nνkm(bksr)
]
, k = 2, n,
Vn+1(r, λs) = w
(n)
(νm);2(λs)Jνn+1,m(bn+1,sr)− w(n)
(νm);1(λs)Nνn+1,m(bn+1,sr),
σ(r) =
n+1∑
k=1
σkΘ(r −Rk−1)Θ(Rk − r),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
490 I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
‖V (r, λs)‖2 =
R∫
0
V 2(r, λs)σ(r)rdr,
Jν(x) —цилiндрична функцiя Бесселя 1-го роду ν -го порядку; Nν —цилiндрична функцiя
Бесселя 2-го роду ν -го порядку;
ak ≡ azk, qk ≡ qk(λ2) = a−1k (λ2 + γ2k)1/2, γk ≥ 0, k = 1, n+ 1,
(νm) ≡ (νm)n+1 = (ν1m, ν2m, . . . , νn+1,m),
σk =
1
a2k
c1k · · · c1,k+1 · · · c1n
c2k · c2,k+1 · · · c2n
, σn+1 =
1
a2n+1
,
Jν,α(x) = x−αJν(x), Nν,α(x) = x−αNν(x),
uk1νkm;ij
(qpRk) =
(
νkm
Rk
αkij + βkij
)
Jνkm,0(qpRk)−R
2
kq
2
pα
k
ijJνkm+1,1(qpRk),
uk2νkm;ij
(qpRk) =
(
νkm
Rk
αkij + βkij
)
Nνkm,0(qpRk)−R
2
kq
2
pα
k
ijNνkm+1,1(qpRk),
i, j = 1, 2, k = 1, n, p = 1, n+ 1,
Ψk
(νkm,νk+1,m);ij(qkRk, qk+1Rk) = ukiνkm;11
(qkRk)u
kj
νk+1,m;22
(qk+1Rk)−
− ukiνkm;21
(qkRk)u
kj
νk+1,m;12
(qk+1Rk), k = 1, n,
w
(1)
(νm)2;p(q1R1, q2R1) ≡ Ψ1
(ν1m,ν2m);1p(q1R1, q2R1) ≡ w(1)
(νm)2;p(λ), p = 1, 2,
w
(k)
(νm)k+1;j(λ) = w
(k)
(νm)k+1;j(q1R1, q2R1, . . . , qkRk, qk+1Rk) =
= Ψk
(νkm,νk+1,m);1j(qkRk, qk+1Rk)w
(k−1)
(νm)k;2(q1R1, q2R1, . . . , qk−1Rk−1, qkRk−1)−
−Ψk
(νkm,νk+1,m);2j(qkRk, qk+1Rk)× w
(k−1)
(νm)k;1(q1R1, q2R1, . . . , qk−1Rk−1, qkRk−1),
k = 2, n, j = 1, 2, (k) = 123 . . . k, (νm)k = (ν1m, ν2m, . . . , νkm).
та гiбридний диференцiальний оператор Бесселя
B(m) =
n+1∑
k=1
a2rkΘ(r −Rk−1)Θ(Rk − r)Bνkm ,
де
Bνkm =
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
−
ν2km
r2
— класичний диференцiальний оператор Бесселя, Θ(x) — одинична функцiя Гевiсайда.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА . . . 491
Запишемо диференцiальнi рiвняння (16) та початковi умови (17) у матричнiй формi
(
∂2
∂t2
− a2r1Bν1m + q21s
)
u1sm(
∂2
∂t2
− a2r2Bν2m + q22s
)
u2sm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(
∂2
∂t2
− a2r,n+1Bνn+1,m + q2n+1,s
)
un+1,sm
=
Φ1sm(t, r)
Φ2sm(t, r)
. . . . . . . . . . . .
Φn+1,sm(t, r)
, (23)
u1sm(t, r)
u2sm(t, r)
. . . . . . . . .
un+1,sm(t, r)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
g11sm(r)
g12sm(r)
. . . . . . . . .
g1n+1,sm(r)
, ∂
∂t
u1sm(t, r)
u2sm(t, r)
. . . . . . . . .
un+1,sm(t, r)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
t=0
=
g21sm(r)
g22sm(r)
. . . . . . . . .
g2n+1,sm(r)
, (24)
де q2js = a2zjγ
2
s + χ2
j , j = 1, n+ 1.
Iнтегральний оператор Hsn, який дiє заформулою (20), зобразимо у виглядi операторної
матрицi-рядка
Hsn[· · · ] =
R1∫
0
· · ·V1(r, λp)σ1rdr
R2∫
R1
· · ·V2(r, λp)σ2rdr
Rn∫
Rn−1
· · ·Vn(r, λp)σnrdr
R∫
Rn
· · ·Vn+1(r, λp)σn+1rdr
(25)
i застосуємо за правилом множення матриць до задачi (23), (24). Внаслiдок тотожностi (22)
одержуємо задачу Кошi
n+1∑
j=1
(
d2
dt2
+ λ2p + α2
j + q2sj
)
˜̃ujsm(t, λp)
=
n+1∑
j=1
Φ̃jsm(t, λp) + a2n+1Rσn+1(α
n+1
22 )−1Vn+1(R, λp)gsm(t), (26)
n+1∑
j=1
ũjsm(t, λp)
∣∣∣∣∣∣
t=0
=
n+1∑
j=1
g̃1jsm(λp),
d
dt
n+1∑
j=1
ũjsm(t, λp)
∣∣∣∣∣∣
t=0
=
n+1∑
j=1
g̃2jsm(λp), (27)
де
ũjsm(t, λp) =
Rj∫
Rj−1
ujsm(t, r)Vj(r, λp)σjrdr, j = 1, n+ 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
492 I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
Φ̃jsm(t, λp) =
Rj∫
Rj−1
Φ̃jsm(t, r)Vj(r, λp)σjrdr, j = 1, n+ 1,
g̃kjsm(λp) =
Rj∫
Rj−1
g̃kjsm(r)Vj(r, λp)σjrdr, j = 1, n+ 1, k = 1, 2.
Припустимо, не зменшуючи загальностi розв’язку задачi (1) – (5), що
max
{
q21s, q
2
2s(σ), . . . , q2n+1,s
}
= q21s
i покладемо всюди α2
j = q21s − q2js, j = 1, n+ 1. Задача Кошi (26), (27) набуває вигляду
d2ũsm(t, λp)
dt2
+ δ2s(λp)ũsm(t, λp) = T̃sm(t, λp), (28)
ũsm(t, λp)|t=0 = g̃1sm(λp),
dũsm(t, λp)
dt
∣∣∣∣
t=0
= g̃2sm(λp), (29)
де
ũsm(t, λp) =
n+1∑
j=1
ũjsm(t, λp),
T̃sm(t, λp) =
n+1∑
j=1
Φ̃jsm(t, λp) + a2n+1Rσn+1(α
n+1
22 )−1Vn+1(R, λp)gsm(t),
g̃ksm(λp) =
n+1∑
j=1
g̃kjsm(λp), p = 1, 2, δ2s(λp) = λ2p + a2z1γ
2
s + χ2
1.
Безпосередньо перевiряється, що єдиним розв’язком задачi (28), (29) є функцiя
ũsm(t, λp) = Gs(t, λp)g̃
2
sm(λp) +
d
dt
Gs(t, λp)g̃
1
sm(λp) +
t∫
0
Gs(t− τ, λp)T̃sm(τ, λp) dτ, (30)
де функцiя Кошi (розв’язуюча функцiя) має вигляд Gs(t, λp) =
sin(δs(λp)t)
δs(λp)
.
Оскiльки суперпозицiя операторiв Hsn та H−1sn є одиничним оператором(
Hsn ◦H−1sn = H−1sn ◦Hsn = I
)
,
то оператор H−1sn , як обернений до оператора (25), зобразимо у виглядi операторної
матрицi-стовпця
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА . . . 493
H−1pn [· · · ] =
∑∞
p=1
· · · V1(r, λp)
‖V (r, λp)‖2∑∞
p=1
· · · V2(r, λp)
‖V (r, λp)‖2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∑∞
p=1
· · · Vn+1(r, λp)
‖V (r, λp)‖2
. (31)
Застосуємо за правилом множення матриць операторну матрицю-стовпець (31)
до матрицi-елемента [ũsm(t, λp)] , де функцiя ũsm(t, λp) визначена формулою (30). Одер-
жуємо єдиний розв’язок одновимiрної гiперболiчної початково-крайової задачi спряжен-
ня (16) – (19):
ujsm(t, r) =
∞∑
p=1
ũsm(t, λp)
Vj(r, λp)
‖V (r, λp)‖2
, j = 1, n+ 1. (32)
Застосувавши послiдовно до функцiй ujsm(t, r), визначених формулами (32), оберненi
оператори Λ−1s та F−1m i виконавши нескладнi перетворення, одержуємо функцiї
uj(t, r, ϕ, z) =
n+1∑
k=1
t∫
0
Rk∫
Rk−1
2π∫
0
l2∫
−l1
Ejk(t− τ, r, ρ, ϕ− α, z, ξ)fk(τ, ρ, α, ξ)σkρdξdαdρdτ+
+
∂
∂t
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
2π∫
0
l2∫
−l1
Ejk(t, r, ρ, ϕ− α, z, ξ)g1k(ρ, α, ξ)σkρdξdαdρ+
+
n+1∑
k=1
Rk∫
Rk−1
2π∫
0
l2∫
−l1
Ejk(t, r, ρ, ϕ− α, z, ξ)g2k(ρ, α, ξ)σkρdξdαdρ+
+
n+1∑
k=1
a2zk
t∫
0
Rk∫
Rk−1
2π∫
0
[
W 1
jk(t− τ, r, ρ, ϕ− α, z)w1
k(τ, ρ, α) +
+W 2
jk(t− τ, r, ρ, ϕ− α, z)w2
k(τ, ρ, α)
]
σkρdαdρdτ+
+
t∫
0
2π∫
0
l2∫
−l1
Wjr(t− τ, r, ϕ− α, z, ξ)g(τ, α, ξ) dξ dαdτ, j = 1, n+ 1, (33)
якi визначають єдиний розв’язок гiперболiчної початково-крайової задачi (1) – (5).
У формулах (33) застосовано компоненти
Ejk(t, r, ρ, ϕ, z, ξ) =
1
2π
∞∑
m=0
∞∑
s=1
∞∑
p=1
εmGs(t, λp)
Vj(r, λp)Vk(ρ, λp)
‖V (r, λp)‖2
×
× vs(z + l1)vs(ξ + l1)
||vs(z + l1)||2
cos(mϕ), j, k = 1, n+ 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
494 I. М. КОНЕТ, Т. М. ПИЛИПЮК
матрицi впливу (функцiї впливу) E(t, τ, ρ, ϕ, z, ξ) = [Ejk(t, r, ρ, ϕ, z, ξ)]
n+1
j,k=1 , компоненти
W 1
jk(t, r, ρ, ϕ, z) = Ejk(t, r, ρ, ϕ, z,−l1) нижньої тангенцiальної матрицi Грiна (нижнi тан-
генцiальнi функцiї Грiна) W 1(t, r, ρ, ϕ, z) =
[
W 1
jk(t, r, ρ, ϕ, z)
]n+1
j,k=1
, компоненти
W 2
jk(t, r, ρ, ϕ, z) = Ejk(t, r, ρ, ϕ, z, l2)
верхньої тангенцiальноїматрицi Грiна (верхнi тангенцiальнiфункцiї Грiна)W 2(t, r, ρ, ϕ, z) =
=
[
W 2
jk(t, r, ρ, ϕ, z)
]n+1
j,k=1
та компоненти
Wjr(t, r, ϕ, z, ξ) = a2n+1Rσn+1(α
n+1
22 )−1Ej,n+1(t, r, R, ϕ, z, ξ)
радiальної матрицi Грiна (радiальнi функцiї Грiна) Wr(t, r, ϕ, z, ξ) = [Wjr(t, r, ϕ, z, ξ)]
n+1
j=1
розглянутої задачi.
З використанням властивостей функцiй впливу Ejk(t, r, ρ, ϕ, z, ξ) i функцiй Грiна W p
jk(t,
r, ρ, ϕ, z), p = 1, 2, Wjr(t, r, ϕ, z, ξ) безпосередньо перевiряється, що функцiї uj(t, r, ϕ, z),
визначенi за формулами (33), задовольняють рiвняння (1), початковi умови (2), крайовi
умови (3), (4) та умови спряження (5) в сенсi теорiї узагальнених функцiй [17].
Єдинiсть розв’язку (33) випливає з його структури (iнтегрального зображення) та єди-
ностi головних розв’язкiв (функцiй впливу i функцiй Грiна) задачi (1) – (5).
Методами з [17, 18] можна довести, що при вiдповiдних умовах на вихiднi данi, фор-
мули (33) визначають обмежений класичний розв’язок гiперболiчної початково-крайової
задачi спряження (1) – (5).
Пiдсумком викладеного вище є така теорема.
Теорема. Якщо функцiї fj(t, r, ϕ, z), gpj (r, ϕ, z), wpj (t, r, ϕ), p = 1, 2, задовольняють
умови:
1) двiчi неперервно диференцiйовнi за кожною змiнною;
2) мають обмежену варiацiю за геометричними змiнними;
3) для них справджуються умови спряження, а функцiя g(t, ϕ, z) задовольняє умови 1, 2,
то гiперболiчна початково-крайова задача спряження (1) – (5) має єдиний обмежений класич-
ний розв’язок, який визначається за формулами (33).
Зауваження 1. У випадку arj = aϕj = azj ≡ aj > 0 формули (33) визначають струк-
туру розв’язку гiперболiчної початково-крайової задачi спряження (1) – (5) в iзотропному
кусково-однорiдному суцiльному цилiндрi.
Зауваження 2. Параметри αn+1
22 , βn+1
22 дозволяють видiляти з формул (33) розв’язки
початково-крайових задач у випадках задання на радiальнiй поверхнi r = R крайової
умови 1-го роду
(
αn+1
22 = 0, βn+1
22 = 1
)
, 2-го роду
(
αn+1
22 = 1, βn+1
22 = 0
)
та 3-го роду(
αn+1
22 = 1, βn+1
22 ≡ h > 0
)
.
Зауваження 3. Параметри pj , j = 1, 2, дозволяють видiляти з формул (33) розв’язки
початково-крайових задач у випадках задання на площинах z = −l1, z = l2 крайових умов
1-го й 2-го роду та їхнiх можливих комбiнацiй (1–1, 1–2, 2–1, 2–2).
Зауваження 4. У випадку χj ≡ 0 рiвняння (1) є класичним тривимiрним неоднорiд-
ним хвильовим рiвнянням (рiвнянням коливань, рiвнянням Даламбера) для ортотропного
середовища у цилiндричнiй системi координат.
Зауваження 5. Якщо αk11 = 0, βk11 = 1, αk12 = 0, βk12 = 1, αk21 = Ek1 , β
k
21 = 0, αk22 =
= Ek2 , β
k
22 = 0, де Ek1 , Ek2 — модулi Юнга, k = 1, 2, то умови спряження (5) збiгаються з
класичними умовами iдеального механiчного контакту.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ГIПЕРБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ КУСКОВО-ОДНОРIДНОГО СУЦIЛЬНОГО ЦИЛIНДРА . . . 495
Таким чином, у зазначених випадках 4, 5 розглянуто гiперболiчну крайову задачу ма-
тематичної фiзики (1) – (5) є математичною моделлю вимушених коливних процесiв у
кусково-однорiдному суцiльному цилiндрi.
4. Висновки. За допомогою методу iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень
у поєднаннi з методом головних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше по-
будовано iнтегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної
крайової задачi математичної фiзики для кусково-однорiдного суцiльного цилiндра. Одер-
жаний розв’язок носить алгоритмiчний характер, неперервно залежить вiд параметрiв i
даних задачi та може бути використаний як у подальших теоретичних дослiдженнях, так
i в практицi iнженерних розрахункiв реальних процесiв, якi моделюються гiперболiчними
крайовими задачами математичної фiзики кусково-однорiдних середовищ.
Лiтература
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. –
М.: Наука, 1978. – 352 с.
2. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 122 с.
3. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых
уравнений гиперболического типа. – К.: Наук. думка, 1991. – 232 с.
4. Самойленко А. М., Ткач Б. П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравне-
ний с частными производными. – К.: Наук. думка, 1992. – 208 с.
5. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. –М.: Наука, 1969. – 292 с.
6. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. –
М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1991. – 112 с.
7. Сергиенко И. В., Скопецкий В. В., Дейнека В. С. Математическое моделирование и исследование процессов
в неоднородных средах. – К.: Наук. думка, 1991. – 432 с.
8. Дейнека В. С., Сергиенко И. В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями сопряжения. –
К.: Наук. думка, 1998. – 614 с.
9. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. – К.: Наук. думка,
2001. – 606 с.
10. Конет I. М., Ленюк М. П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових
областях. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
11. Громик А. П., Конет I. М., Ленюк М. П. Температурнi поля в кусково-однорiдних просторових середови-
щах. – Кам’янець-Подiльський: Абетка-Свiт, 2011. – 200 с.
12. Конет I. М. Гiперболiчнi крайовi задачi математичної фiзики в кусково-однорiдних просторових середо-
вищах. – Кам’янець-Подiльський: Абетка-Свiт, 2013. – 120 с.
13. Конет I. М., Пилипюк Т. М. Параболiчнi крайовi задачi в кусково-однорiдних середовищах. – Кам’янець-
Подiльський: Абетка-Свiт, 2016. – 244 с.
14. Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. – К.: Либiдь, 2006. – 424 с.
15. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. – М.: Гостехтеориздат, 1956. –
204 с.
16. Быблив О. Я., Ленюк М. П. Интегральные преобразования Ханкеля 1-го рода для кусочно-однородных
сегментов с применением к задачам математической физики. – К.: Вычисл. и прикл. математика, 1988. –
Вып. 65. – С. 24 – 34.
17. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
18. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
Одержано 20.10.2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177342 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T11:46:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Конет, І.М. Пилипюк, Т.М. 2021-02-14T11:33:58Z 2021-02-14T11:33:58Z 2018 Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра / І.М. Конет, Т.М. Пилипюк // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 485-495 — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177342 517.946 Методом iнтегральних i гiбридних iнтегральних перетворень у поєднаннi з методом головних розв’язкiв (матриць впливу та матриць Грiна) вперше побудовано iнтегральне зображення єдиного точного аналiтичного розв’язку гiперболiчної крайової задачi математичної фiзики для кусковооднорiдного суцiльного цилiндра. By using the method of integral and hybrid integral transformations, together with the method of main solutions (influence matrices and Green matrices), for the first time, we have constructed the integral representation of a unique exact analytical solution of the hyperbolic boundary-value problem of mathematical physics for a piecewise homogeneous solid cylinder. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра Гиперболическая краевая задача для кусочно-однородного сплошного цилиндра Hyperbolic boundary-value problem for a piecewise homogeneous solid cylinder Article published earlier |
| spellingShingle | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра Конет, І.М. Пилипюк, Т.М. |
| title | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| title_alt | Гиперболическая краевая задача для кусочно-однородного сплошного цилиндра Hyperbolic boundary-value problem for a piecewise homogeneous solid cylinder |
| title_full | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| title_fullStr | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| title_full_unstemmed | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| title_short | Гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| title_sort | гіперболічна крайова задача для кусково-однорідного суцільного циліндра |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177342 |
| work_keys_str_mv | AT konetím gíperbolíčnakraiovazadačadlâkuskovoodnorídnogosucílʹnogocilíndra AT pilipûktm gíperbolíčnakraiovazadačadlâkuskovoodnorídnogosucílʹnogocilíndra AT konetím giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogosplošnogocilindra AT pilipûktm giperboličeskaâkraevaâzadačadlâkusočnoodnorodnogosplošnogocilindra AT konetím hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoussolidcylinder AT pilipûktm hyperbolicboundaryvalueproblemforapiecewisehomogeneoussolidcylinder |