Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177346 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 537-553 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177346 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1773462025-02-23T20:12:04Z Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Про асимптотичні властивості розв'язків неоднорідного диференціально-функціонального рівняння з лінійно перетвореним аргументом On the asymptotic properties of solutions of the inhomogeneous functional-differential equation with a linearly transformed argument Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. On the asymptotic properties of solutions of the inhomogeneous functional-differential equation with a linearly transformed argument. 2018 Article Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 537-553 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177346 517.929 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177346 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений неоднородного дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 537-553 — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijneodnorodnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijneodnorodnogodifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp proasimptotičnívlastivostírozvâzkívneodnorídnogodiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT belʹskijdv proasimptotičnívlastivostírozvâzkívneodnorídnogodiferencíalʹnofunkcíonalʹnogorívnânnâzlíníjnoperetvorenimargumentom AT pelûhgp ontheasymptoticpropertiesofsolutionsoftheinhomogeneousfunctionaldifferentialequationwithalinearlytransformedargument AT belʹskijdv ontheasymptoticpropertiesofsolutionsoftheinhomogeneousfunctionaldifferentialequationwithalinearlytransformedargument |
| first_indexed |
2025-11-25T00:11:03Z |
| last_indexed |
2025-11-25T00:11:03Z |
| _version_ |
1849718959251652608 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина
On the asymptotic properties of solutions of the inhomogeneous functional-differential equation with a
linearly transformed argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно пе-
ретвореним аргументом.
В первой части данной статьи исследуется уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt) + f
(
x(t), x(qt), x′(qt)
)
, (1)
где {a, b, c} ⊂ C, 0 < q < 1, f : C3 → C, f(0, 0, 0) = 0, и существует неубывающая функция
h : [0,+∞)→ [0,+∞) такая, что∣∣f(x1, x2, x3)− f(y1, y2, y3)
∣∣ ≤ h(r) max
{
|xi|, |yi|| i = 1, 3
} (
|x1 − y1|+ . . .+ |x3 − y3|
)
для всех |xi| ≤ r, |yi| ≤ r, i = 1, 3, в окрестности точки t = 0. В [1] исследовано поведение
решений однородного уравнения (1) при f ≡ 0 в окрестности точки t = 0, в [2] дано
еще одно доказательство результата работы [1], основанное на методах из статьи [3], так
же получена некоторая асимптотическая формула для нелинейного уравнения (1) при
f = f(x(t), x(qt)).
Теорема. Если |c| > 1, то для каждого непрерывно дифференцируемого решения уравне-
ния (1) x(t) = O (tv) , x′(t) = O
(
tv−1
)
, t → 0+, где v определяется из условия cqv−1 = 1,
выполняется равенство
x(t) = tv
{
g
(
ln t
ln q−1
)
+O
(
tmin{Re v−1,1}
)}
, t→ 0+, (2)
где g(s) — непрерывно дифференцируемая периодическая функция с периодом 1. И обратно,
для каждой функции g(s) существует единственное решение уравнения (1) с асимптоти-
ческой формулой (2).
Доказательство. По условию теоремы Re v > 1, следовательно, x(t) = O(tv) → 0,
t→ 0+, т. е. можно проинтегрировать уравнение (1) на отрезке [0, t] :
x(t) =
c
q
x(qt) +
t∫
0
{
ax(u) + bx(qu) + f
(
x(u), x(qu), x′(qu)
)}
du.
© Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4 537
538 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Сделаем замену переменных x(t) = tvy1(t) :
y1(t) = y1(qt) + t−v
t∫
0
{
auvy1(u) + b
q
c
uvy1(qu) +
+ f
(
uvy1(u), qvuvy1(qu), qvuvy′1(qu) + vqv−1uv−1y1(qu)
)}
du.
Выполним замену независимой переменной e−s ln q−1
= t, y1(t) = y2(s) :
y2(s+ 1)− y2(s) = e−ls
+∞∫
s
elue−(ln q−1)u ln q
×
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1) + e−luf
(
eluy2(u),
q
c
eluy2(u+ 1), elue(ln q
−1)u
[
1
c ln q
y′2(u+ 1) +
v
c
y2(u+ 1)
])}
du,
где l df= v ln q. Для сокращения записи определим функцию
g(u, x1, x2, x3)
df
= e−(ln q−1)u ln q
{
ax1 + bc−1qx2 +
+ e−luf
(
elux1,
q
c
elux2, e
lue(ln q
−1)u
[
1
c ln q
x3 +
v
c
x2
])}
,
имеющую следующие свойства: g(u, 0, 0, 0) = 0, для u ≥ 0, |xi| ≤ r, |yi| ≤ r, i = 1, 3,
выполняется неравенство
|g(u, x1, x2, x3)− g(u, y1, y2, y3)| ≤
≤ e−λuγ(a, b, c, q, r) (|x1 − y1|+ |x2 − y2|+ |x3 − y3|) ,
где величина λ df
= min
{
−Re l − ln q−1, ln q−1
}
> 0, функция γ(a, b, c, q, r) определяется на
основании уравнения (1). В новых обозначениях получаем интегральное уравнение
y2(s+ 1)− y2(s) = e−ls
+∞∫
s
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du. (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 539
Просуммируем равенства
y2(s+ n+ 1)− y2(s+ n) = e−l(s+n)
+∞∫
s+n
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2(s+ 1)− y2(s) = e−ls
+∞∫
s
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du,
y2(s+ n+ 1)− y2(s) =
n∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du.
Ограниченность решения y2(s) вместе с первой производной, свойства функции g и по-
следнее равенство означают фундаментальность последовательности y2(s + n) и ее схо-
димость или сходимость ряда в правой части при n → +∞ — достаточное условие для
существования предела limn→∞ y2(s+n)
df
=w(s), периодичного w(s) ≡ w(s+1). Устремляя
в последнем равенстве n→∞, получаем формулу
w(s) = y2(s) +
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du,
из которой следует непрерывная дифференцируемость функции w(s) и оценка y2(s) =
= w(s) +O
(
e−λs
)
, s→ +∞, или
y1(t) = y2
(
− ln t
ln q−1
)
= w
(
− ln t
ln q−1
)
+O
(
t
λ
ln q−1
)
, t→ 0+,
т. е. асимптотическая формула (2).
Примем теперь равенство
y2(s) = w(s)−
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du (4)
как начальный пункт дальнейших рассуждений, иными словами, как интегральное уравне-
ние относительно неизвестной функции y2(s), где w(s) —непрерывно дифференцируемая
периодическая функция с периодом 1.
Для некоторой постоянной M1
df
= max
{
sups∈R |w(s)|, sups∈R |w′(s)|
}
, в дальнейшем все
Mi — неотрицательные числа, определим пространство функций
H
df
=
{
y(s)| y(s) ∈ C1 [s0,+∞) ,max
{
sup
s≥s0
|y(s)|, sup
s≥s0
∣∣y′(s)∣∣} ≤M1 + 1
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
540 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
и для y2(s) ∈ H — оператор
Ty2(s)
df
=w(s)−
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du.
Оценим суперпозицию
|Ty2(s)| ≤ |w(s)|+
+∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)u
∣∣g (u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)∣∣ du ≤
≤M1 +
+∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)ue−λuγ(a, b, c, q,M1 + 1)3(M1 + 1)du ≤
≤M1 + e−λs0
1
|Re l|
γ(a, b, c, q,M1 + 1)3(M1 + 1)
1
1− e−λ
.
Из последнего неравенства получаем абсолютную и равномерную сходимость ряда на
полуоси s ≥ s0, т. е. непрерывность функции Ty2(s), и если s0 достаточно велико, то
|Ty2(s)| ≤M1 + 1. Теперь оценим производную
d
ds
Ty2(s) = w′(s) + l
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
elug
(
u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)
du+
+
+∞∑
j=0
g
(
s+ j, y2(s+ j), y2(s+ j + 1), y′2(s+ j + 1)
)
,
∣∣∣∣ dds Ty2(s)
∣∣∣∣ ≤ ∣∣w′(s)∣∣+
+∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)u
∣∣g (u, y2(u), y2(u+ 1), y′2(u+ 1)
)∣∣ du+
+
+∞∑
j=0
∣∣g (s+ j, y2(s+ j), y2(s+ j + 1), y′2(s+ j + 1)
)∣∣ ≤
≤M1 + e−λs0
(
|l|
|Re l|
+ 1
)
γ(a, b, c, q,M1 + 1)3(M1 + 1)
1
1− e−λ
.
Отсюда получаем непрерывную дифференцируемость функции Ty2(s) на полуоси s ≥
≥ s0 и, при необходимости снова увеличивая s0, неравенство
∣∣∣∣ dds Ty2(s)
∣∣∣∣ ≤ M1 + 1. т. е.
Ty2(s) ∈ H.
Для y2,1(s) ∈ H и y2,2(s) ∈ H оценим разность
∣∣Ty2,1(s)− Ty2,2(s)∣∣ ≤ +∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)u
∣∣∣g (u, y2,1(u), y2,1(u+ 1), y′2,1(u+ 1)
)
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 541
− g
(
u, y2,2(u), y2,2(u+ 1), y′2,2(u+ 1)
) ∣∣∣du ≤
≤
+∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)ue−λuγ(a, b, c, q,M1 + 1)×
× 3 max
{
sup
s≥s0
|y2,1(s)− y2,2(s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1(s)− y′2,2(s)∣∣} du ≤
≤ e−λs0 3γ(a, b, c, q,M1 + 1)
|Re l| (1− e−λ)
×
×max
{
sup
s≥s0
|y2,1(s)− y2,2(s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1(s)− y′2,2(s)∣∣} .
Оценим разность производных∣∣∣∣ dds Ty2,1(s)− d
ds
Ty2,2(s)
∣∣∣∣ ≤
≤ |l|
+∞∑
j=0
e−(Re l)(s+j)
+∞∫
s+j
e(Re l)u
∣∣∣g (u, y2,1 (u) , y2,1 (u+ 1) , y′2,1 (u+ 1)
)
−
− g
(
u, y2,2 (u) , y2,2 (u+ 1) , y′2,2 (u+ 1)
) ∣∣∣du+
+
+∞∑
j=0
∣∣g (s+ j, y2,1 (s+ j) , y2,1 (s+ j + 1) , y′2,1 (s+ j + 1)
)
−
−g
(
s+ j, y2,2 (s+ j) , y2,2 (s+ j + 1) , y′2,2 (s+ j + 1)
)∣∣ ≤
≤ e−λs0 3 |l| γ(a, b, c, q,M1 + 1)
|Rel| (1− e−λ)
max
{
sup
s≥s0
|y2,1 (s)− y2,2 (s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1 (s)− y′2,2 (s)
∣∣}+
+
+∞∑
j=0
e−λ(s+j)γ (a, b, c, q,M1 + 1)×
× 3 max
{
sup
s≥s0
|y2,1(s)− y2,2(s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1(s)− y′2,2(s)∣∣} ≤
≤ e−λs0 3γ (a, b, c, q,M1 + 1)
1− e−λ
(
|l|
|Rel|
+ 1
)
×
×max
{
sup
s≥s0
|y2,1(s)− y2,2(s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1 (s)− y′2,2(s)
∣∣} .
Поэтому для достаточно большого s0 оператор T будет оператором сжатия в полном
пространстве H относительно нормы
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
542 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
∥∥y2,1(s)− y2,2(s)∥∥ = max
{
sup
s≥s0
|y2,1(s)− y2,2(s)| , sup
s≥s0
∣∣y′2,1(s)− y′2,2(s)∣∣} ,
т. е. существует непрерывно дифференцируемое ограниченное вместе с первой производ-
ной решение уравнения (4).
Предположим, что существует еще одно решение этого уравнения с такими же свой-
ствами. Тогда на пространстве
H1
df
=
{
y(s)| y(s) ∈ C1 [s0,+∞),max
{
sup
s≥s0
|y(s)|, sup
s≥s0
∣∣y′(s)∣∣} ≤M2
}
,
где M2 — достаточно большое число, таком, что H1 включает оба решения, для доста-
точно большого s0 можно снова доказать, что T — оператор сжатия, и поэтому решения
совпадают.
Если от тождества (4) перейти к равенству (3) и продифференцировать его, то можно
убедиться, что формула x
(
e−s ln q
−1)
= elsy2(s) определяет решение уравнения (1).
Теорема 1 доказана.
Во второй части этой статьи сделано несколько замечаний относительно уравнения
h′(t) = ch(θt), где c ∈ C, 0 < θ < 1 и θ > 1, которое появляется в квантовой механике [8].
В работе [4] довольно исчерпывающе исследованы асимптотические свойства решений
уравнения
y′(x) = eαx+βy(x− 1),
где α > 0, β ∈ C, которое после логарифмической замены независимой переменной
превращается в уравнение с линейным запаздыванием. Разработанные при этом методы
применимы для широкого класса уравнений с запаздыванием, а так же используются при
изучении асимптотических свойств обобщенной гамма-функции [5]. Эта статья является
небольшим комментарием к пп. 5.1, 2 из [4] и § 6.9 из [5].
А именно ([4], § 5.1), необходимо исследовать асимптотическое поведение функции
F0(x) = −i 1√
2πα
e
λ2+2λ
2α
∫
V−ζ
e
ω2
2α
+ λ
α
(eω−ω−1) dω, (5)
где V состоит из отрезков (−πi +∞,−πi), (−πi, πi), (πi, πi +∞), | arg x| < π − δ, δ —
сколь угодно малое положительной число; ζ —единственный в полосе |Im ζ| < π, Re ζ > 0
корень уравнения ζ − αx− 1
2
α− β + lnα+ αeζ = 0 при больших |x|,
λ = αeζ = αx+
1
2
α+ β − lnα− ζ.
Рассуждения де Брейна в нашей интерпретации следующие. Асимптотическая формула
ζ = log u− 1
α
log u
u
+O
(
log2 u
u2
)
, u = x+
1
2
+
β − lnα
α
, |u| → ∞,
означает, что при больших |x| модуль |λ| тоже велик и | arg λ| < π − δ′ для некото-
рого δ′ > 0. Вначале предлагается изучить интеграл (5) в окрестности седловой точки
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 543
ω = 0 при 0 ≤ arg λ < π − δ′ ; вторая половина сектора исследуется аналогично. Для
этого путь интегрирования заменяется кривой, на которой функция eω − ω − 1 как вектор
комплексной плоскости имеет постоянное направление 1
2
(π + δ′). Эта кривая начина-
ется в
(
− 2π +
1
2
π +
1
2
δ′
)
i + ∞ и заканчивается в 1
2
(π + δ′) i + ∞. Для нее выпол-
няется оценка ω2 = O (eω − ω − 1) . В существовании такой кривой легко убедиться с
помощью двух конформных отображений. Первое из них — это суперпозиция функции
2 (eω − ω − 1) , отображающей полосу 0 < Imω < 2π на плоскость без двух лучей [0,+∞) и
[−4πi,−4πi+∞), и квадратного корня, отображающего плоскость на верхнюю полуплос-
кость, т. е. формально это
√
2 (eω − ω − 1) = ξ1. Образ начальной полосы 0 < Imω < 2π
относительно такой суперпозиции — это верхняя полуплоскость без гиперболической ар-
ки (Im ξ)(Re ξ) = −2π, Re ξ ≤ −
√
2π. Второе конформное отображение ξ2 имеет ту же
формулу, но функция 2 (eω − ω − 1) отображает полосу −2π < Imω < 0 на плоскость без
лучей [0,+∞) и [4πi, 4πi +∞), а квадратный корень отображает плоскость на нижнюю
полуплоскость. Образ полосы −2π < Imω < 0 относительно второй суперпозиции — это
нижняя полуплоскость без гиперболической арки (Im ξ)(Re ξ) = 2π, Re ξ ≤ −
√
2π. Из
равенств
√
2 (eω − ω − 1) = ξ1 = e
π+δ′
4
it, t > 0, и
√
2 (eω − ω − 1) = ξ2 = e
π+δ′
4
it, t < 0,
получаем две ветви нужной кривой. В окрестности точки ω = 0 разлагаем в степенной ряд
произведение
e
(ω(ξ))2
2α ω′(ξ) = a0 + a1ξ + a2ξ
2 + a3ξ
3 + . . . , a0 = 1.
Применяя метод Лапласа для оценки интегралов, вычисляем асимптотическую формулу в
секторе 0 ≤ arg λ < π − δ′, |λ| → ∞ :
F0(x) = e
λ2+2λ
2α
{
n∑
k=0
(−1)ka2k
(2k)!
k!
(α
2
)k
λ−k−
1
2 +O
(
|λ|−n−
3
2
)}
.
В приведенных выше рассуждениях седловая точка ω = 0 была граничной точкой для
областей определения функций ξ1,2. Для лучшего понимая разработанных де Брейном
методов уместно предложить еще один способ построения указанной кривой.
В окрестности нуля разложим в степенной ряд произведение
2 (eω − ω − 1) = ω2
(
1 + 2
ω
3!
+ 2
ω2
4!
+ 2
ω3
5!
+ . . .
)
.
Функция f(ω)
df
=ω
√
1 + 2
ω
3!
+ 2
ω2
4!
+ 2
ω3
5!
+ . . . определена в окрестности нуля, диффе-
ренцируема и равна нулю в нуле, ее производная f ′(0) = 1. Поэтому в окрестности нуля
существует обратная функция g(z) такая, что g(0) = 0, g′(0) = 1 и z = f(g(z)). Отсюда
имеем
z2
2
= eg(z) − g(z)− 1.
Полагая 1
2
(π + δ′)
df
= v, z = tei
v
2 , для достаточно малых |t| ≤ ε получаем равенство
t2
2
eiv = eg(te
i v2 ) − g
(
tei
v
2
)
− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
544 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Производная имеет вид
d
dt
g
(
tei
v
2
)
= g′
(
tei
v
2
)
ei
v
2
∣∣∣
t=0
= ei
v
2 .
Предположим, что существует функция ω = ω(r), для которой выполняется тождество
eω(r) − ω(r)− 1 = reiv.
Дифференцируя его, получаем
ω′(r) =
eiv
eω(r) − 1
или, полагая Reω(r) = x(r), Imω(r) = y(r),
x′(r) =
ex cos(y − v)− cos v
e2x − 2ex cos y + 1
=
ex cos(y − v)− cos v
|eω − 1|2
,
y′(r) =
−ex sin(y − v)− sin v
e2x − 2ex cos y + 1
=
−ex sin(y − v)− sin v
|eω − 1|2
.
(6)
Обозначим Bµ(z0)
df
= {z||z0 − z| < µ} и построим множества
S1
df
= {ω| |Reω| ≤ l, |Imω| ≤ 2π} \
(
Bµ(−2πi)
⋃
Bµ(0)
⋃
Bµ(2πi)
)
,
S2
df
= {ω| |Reω| ≤ l + µ/4, |Imω| ≤ 2π + µ/4} \
(
Bµ/2(−2πi)
⋃
Bµ/2(0)
⋃
Bµ/2(2πi)
)
,
S2 ⊃ S1. Если точка ω0 = x0 + iy0 ∈ S1, то множество имеет вид
H(ω0)
df
= {ω = x+ iy||x− x0| ≤ µ/8, |y − y0| ≤ µ/8} ⊂ S2.
На компакте S2 выполняется оценка |eω − 1|2 ≥ η > 0. Поэтому на S2 выполняются
неравенства
|ex cos(y − v)− cos v|
|eω − 1|2
≤ M
η
и |−ex sin (y − v)− sin v|
|eω − 1|2
≤ M
η
,
M —постоянная. На множестве H(ω0) правые части системы (6) имеют отличный от нуля
знаменатель, следовательно, они непрерывно дифференцируемы по обеим переменным.
Отсюда и из [6, с. 142, 143] следует существование единственного решения системы (6)
с начальными условиями x(r0) = x0, y(r0) = y0 на отрезке r0 − h ≤ r ≤ r0 + h, где
h =
µη
8M
> 0. Так как h не зависит от конкретного квадрата H(ω0), то продолжать
вправо решение x(r), y(r) можно до выхода траектории за пределы множества S1 или до
бесконечности, если такого выхода не происходит. Система (6) эквивалентна равенству
eω(r) − ω(r) − reiv ≡ const, поэтому если в начальный момент r0 выполняется равенство
eω(r0)−ω(r0)−r0eiv = 1, то оно будет выполняться на всем отрезке существования решения
начальной задачи eω(r) − ω(r)− 1 = reiv.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 545
Иными словами, ω(r) — корень уравнения
eω − ω − 1 = reiv. (7)
Из принципа аргумента следует, что уравнение (7) при r ≥ 0 в полосе |Imω| < 2π имеет два
корня с учетом кратности. Из соответствующего рисунка так же получаем, что траектория
решения ω(r) не может пересекаться с горизонтальными отрезками границы множества
S1. Если радиус µ достаточно мал, то траектория не может пересекаться с границами
кругов Bµ(−2πi) и Bµ(2πi), иначе это означало бы существование корня ω1 уравнения (7)
при некотором r = r1 ≥ r0 в малой окрестности точек −2πi или 2πi, где eω1−ω1−1 ≈ 2πi
или −2πi соответственно. Но точки 2πi и −2πi не принадлежат лучу reiv, r ≥ 0, поэтому
ни при каких r уравнение (7) не может иметь корней в достаточно малых окрестностях
точек −2πi и 2πi. Относительно точки ω = 0 можно сказать следующее: при r ≥ r0
получаем
∣∣eω(r) − ω(r)− 1
∣∣ = r ≥ r0, и следовательно, точка ω(r) не может попасть в
достаточно малую окрестность начала координат, где функция eω−ω−1 принимает сколь
угодно малые значения. т. е. траектория ω(r) не может пересечь границу круга Bµ(0).
Но и оставаться в пределах множества S1 траектория бесконечно не может, так как с
ростом r растет модуль
∣∣eω(r) − ω(r)− 1
∣∣ , и поэтому, оставаясь в полосе |Imω| < 2π,
вещественная часть Reω(r) = x(r) → +∞ при r → ∞. Последнее следует из рисунка
образа границы прямоугольника {ω| |Reω| ≤ l, |Imω| ≤ 2π} относительно функции eω −
−ω−1 или из формулы производной x′(r), которая положительна при больших по модулю
отрицательных значениях x(r).
Начальные данные r0 =
ε2
2
, ω(r0) = g
(
− εei
v
2
)
(нижняя полуплоскость) и ω(r0) =
= g
(
εei
v
2
)
(верхняя полуплоскость) для системы (6) определяют две непересекающиеся
траектории ω1(r), ω2(r) (и без самопересечений), которые в каждой точке r ≥ ε2
/
2 удов-
летворяют тождествам eωk(r) − ωk(r) − 1 = reiv, k = 1, 2, т. е. определяют два корня
уравнения (7) в полосе |Imω| < 2π. Поэтому они не могут пересекать вещественную ось
и навсегда остаются в нижней и верхней полуплоскостях соответственно. Кроме этого
пересечение ω1(r) и ω2(r) в силу того же тождества не возможно при разных r, если же
предположить их пересечение при одинаковом r2, то это противоречит единственности
решения задачи Коши для нашей системы дифференциальных уравнений. Точнее, реше-
ния должны были бы совпасть на отрезке r2−h ≤ r ≤ r2 +h, а это означало бы отсутствие
точки первого совпадения у двух решений, вышедших из разных точек. Самопересече-
ние не возможно в силу того же тождества, так как оно подразумевает совпадение точек
ωi(r3) = ωi(r4) при разных значениях аргумента r3 6= r4.
Искомая кривая определяется формулой
γ(u) =
ω1
(
u2
2
)
, u ≤ −ε,
g
(
uei
v
2
)
, −ε ≤ u ≤ ε,
ω2
(
u2
2
)
, u ≥ ε.
Согласно начальным данным двух задач Коши для ω1,2(r) кривая γ(u) непрерывна. Для
нее так же выполняется тождество u2
2
eiv = eγ(u) − γ(u)− 1, из которого получаем равен-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
546 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
ство γ′(u) =
ueiv
eγ(u) − 1
. Отсюда и из непрерывности кривой следует совпадение лево- и
правосторонних производных в точках ±ε.
Из условий |Imω(r)| = |y(r)| < 2π, Reω(r) = x(r) → ∞ при r → ∞ и равенства
eω(r)−ln r
(
1− e−ω(r)ω(r)− e−ω(r)
)
= eiv получаем асимптотические свойства кривой. А
именно, так как 1 − e−ω(r)ω(r) − e−ω(r) → 1 при r → ∞, то eω(r)−ln r → eiv. Поэтому
x(r) = ln r + o(1), y(r) = v + o(1) или y(r) = v − 2π + o(1). Поскольку согласно принципу
аргумента в полосе |Imω(r)| < π при больших r существует только один корень уравне-
ния (7) и с учетом того, что ω2(r) находится в верхней полуплоскости, а ω1(r) —в нижней,
получаем y2(r) = v + o(1), y1(r) = v − 2π + o(1). На кривой имеем∣∣ω2
k(r)
∣∣ = (ln r + o(1))2 + y2k(r) = o(r) = o (|eωk − ωk − 1|) , k = 1, 2.
Несложно проверить возможность замены в интеграле (5) пути интегрирования V − ζ
кривой γ(u) :
F0(x) = − i√
2πα
e
λ2+2λ
2α
∫
γ
e
ω2
2α
+ λ
α
(eω−ω−1) dω = − i√
2πα
e
λ2+2λ
2α
+∞∫
−∞
e
(γ(u))2
2α
+ λ
α
u2
2
eivγ′(u)du.
Перепишем интеграл
+∞∫
ε
e
(γ(u))2
2α
+ λ
2α
u2eivγ′(u)du =
+∞∫
ε
e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
+ λ
2α
u2 eiv d
du
(
ω2
(
u2
2
))
du =
=
+∞∫
ε
e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
+ λ
2α
u2eivω′2
(
u2
2
)
u du =
=
+∞∫
ε
e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
+
|λ|ei(arg λ+v)
2α
u2 eiv
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
u du
и оценим его: ∣∣∣∣∣∣
+∞∫
ε
e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
+
|λ|ei(arg λ+v)
2α
u2 eivu
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
du
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
+∞∫
ε
e
|λ| cos(arg λ+v)
2α
u2
∣∣∣∣∣∣e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
eivu
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣∣ du ≤
≤
∫ +∞
ε
e
|λ| cos v
2α
u2
∣∣∣∣∣∣e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
eiv
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣∣udu =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 547
=
+∞∫
ε
e
(|λ|−1) cos v
2α
u2e
cos v
2α
u2
∣∣∣∣∣∣e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
eiv
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣∣udu ≤
≤ e
(|λ|−1) cos v
2α
ε2
+∞∫
ε
e
cos v
2α
u2
∣∣∣∣∣∣e
(
ω2
(
u2
2
))2
2α
eiv
e
ω2
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣∣u du.
Так как
∣∣∣∣ω2
k
(
u2
2
)∣∣∣∣ = o(u2) и eω2
(
u2
2
)
=
u2
2
eo(1)+iy2
(
u2
2
)
, последний интеграл можно огра-
ничить сверху величиной
e
|λ| cos v
2α
ε2e−
cos v
2α
ε2
+∞∫
ε
e
1
2α
{
cos v+
o(u2)
u2
}
u2
udu∣∣∣∣u22 eo(1)+iy2(u22 ) − 1
∣∣∣∣ = O
(
e
|λ| cos v
2α
ε2
)
, |λ| → ∞. (8)
Для интеграла на отрезке (−∞,−ε] справедлива такая же оценка.
Отметим, что комплексное число −λe
iv
2α
имеет положительную вещественную часть, а
точнее
∣∣∣∣arg
(
−λe
iv
2α
)∣∣∣∣ ≤ 1
2
(π − δ′) df
= v1.
Разложим в окрестности нуля в степенной ряд функцию
e
(γ(u))2
2α γ′(u) = b0 + b1u+ b2u
2 + b3u
3 + . . .
и распишем интеграл
ε∫
−ε
e
(γ(u))2
2α
+ λ
2α
u2eivγ′(u)du =
ε∫
−ε
e
λ
2α
u2eiv
(
b0 + b1u+ b2u
2 + . . .
)
du =
{
−λe
iv
2α
df
=λ1
}
=
= b0
ε∫
−ε
e−λ1u
2
du+ b2
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u2du+ b4
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u4du+ . . .
. . .+ b2n
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u2ndu+
ε∫
−ε
e−λ1u
2
O
(
u2n+2
)
du.
Оценим остаток∣∣∣∣∣∣
−ε∫
−∞
e−λ1u
2
ukdu
∣∣∣∣∣∣ ≤
−ε∫
−∞
e−Reλ1u2 |u|kdu ≤
−ε∫
−∞
e−|λ1| cos v1u
2 |u|kdu ≤
≤ e−(|λ1|−1) cos v1ε2
−ε∫
−∞
e− cos v1u2 |u|kdu = O
(
e−|λ1|ε
2 cos v1
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
548 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
и слагаемое∣∣∣∣∣∣
ε∫
−ε
e−λ1u
2
O
(
u2n+2
)
du
∣∣∣∣∣∣ ≤
ε∫
−ε
e−Reλ1u2Lu2n+2du =
= L
+∞∫
−∞
e−Reλ1u2u2n+2du ≤ L
+∞∫
−∞
e−|λ1| cos v1u
2
u2(n+1)du =
= L|λ1|−n−
3
2 (cos v1)
−n− 3
2 Γ
(
n+
3
2
)
= O
(
|λ1|−n−
3
2
)
,
где L — некоторая постоянная. Теперь можно записать последнюю сумму интегралов в
форме
b0
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
du+ b2
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u2du+ b4
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u4du+ . . .
. . .+ b2n
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u2n du+O
(
|λ1|−n−
3
2
)
=
= {Reλ1 > 0} =
n∑
k=0
b2kΓ
(
k +
1
2
)
λ
−k− 1
2
1 +O
(
|λ1|−n−
3
2
)
=
=
n∑
k=0
b2k
√
π
(2k)!
k!22k
λ
−k− 1
2
1 +O
(
|λ1|−n−
3
2
)
=
{
λ1 = −λe
iv
2α
}
=
= e−i
v
2 i
√
παλ−
1
2
{
n∑
k=0
b2k
(
e−i
v
2
)2k
(−1)k
(2k)!
k!2k−
1
2
αkλ−k +O
(
|λ|−n−1
)}
.
Отсюда, учитывая (8), получаем формулу
+∞∫
−∞
e
(γ(u))2
2α
+ λ
2α
u2eiv γ′(u)du =
= e−i
v
2 i
√
2παλ−
1
2
{
n∑
k=0
b2k
(
e−i
v
2
)2k
(−1)k
(2k)!
k!2k
αkλ−k +O
(
|λ|−n−1
)}
.
Разложим в окрестности нуля в степенной ряд произведение
e
(g(z))2
2α g′(z) = a0 + a1z + a2z
2 + a3z
3 + . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 549
Тогда
e
(γ(u))2
2α γ′(u) = e
(
g
(
ue
i v2
))2
2α
d
du
g
(
uei
v
2
)
=
= a0e
i v
2 + a1
(
ei
v
2
)2
u+ a2
(
ei
v
2
)3
u2 + a3
(
ei
v
2
)4
u3 + . . . .
Отсюда получаем bm
(
ei
v
2
)−m−1
= am, m ≥ 0,
+∞∫
−∞
e
(γ(u))2
2α
+ λ
2α
u2eivγ′(u) du = i
√
2πα
{
n∑
k=0
(−1)ka2k
(2k)!
k!
(
1
2
α
)k
λ−k−
1
2 +O
(
|λ|−n−
3
2
)}
и асимптотическую формулу для F0(x).
Из § 5.2 [4] необходимо исследовать асимптотическое поведение функции
G0(x) =
1√
2πα
e−
λ2+2λ
2α
+∞−ζ∫
−∞−ζ
e−
ω2
2α
− λ
α
(eω−ω−1) dω, (9)
где ζ и λ такие же, как и в определении функции F0(x). С учетом логарифмической
замены независимой переменной функция G0(x) —решение уравнения h′(t) = ch(θt), где
θ > 1, которое изучалось в [7].
Рассуждения де Брейна в нашем переводе следующие. Сравнивая этот и предыдущий
случаи, сталкиваемся с серьезными трудностями. Если ω находится в левой полуплоско-
сти и |ω| большой, то слагаемое с eω − ω − 1 в степени экспоненты больше не играет
главную роль. Поэтому мы не можем взять путь интегрирования, который асимптотически
составляет угол больше чем π/4 с отрицательной вещественной полуосью. Дело в том, что
ω = 0 — главная седловая точка лишь в случае, когда | arg λ| < 3
4
π − δ′, иначе седловая
точка в окрестности ω = λ будет делать основной вклад в асимптотическое поведение.
Для наших целей поведение G0(x) для x, расположенных далеко в левой полупло-
скости, не важно. Поэтому мы считаем | arg λ| < 3
4
π − δ′ и сначала исследуем случай
0 ≤ arg λ <
3
4
π − δ′. В качестве пути интегрирования можем теперь взять кривую, прохо-
дящуючерез начало координат, на которой вектор eω−ω−1 имеет постоянное направление
−1
4
π. Часть этой кривой, расположенная справа от точки ω = 0, легко строится с помощью
метода, использованного в § 5.1. Для части слева от точки ω = 0 лучше использовать образ
левой ω -полуплоскости относительно функции η = eω − ω − 1.
Еще раз используя обычную технику, окончательно получаем
G0(x) = e−
λ2+2λ
2α
{
n∑
k=0
(−1)kb2k
(2k)!
k!
(α
2
)k
λ−k−
1
2 +O
(
|λ|−n−
3
2
)}
равномерно по |λ| → ∞, | arg λ| < 3
4
π − δ′. Множители bk — это коэффициенты сте-
пенного ряда функции exp
(
−ω2
/
2α
)
· dω/dξ, в частности, b0 = 1. В силу определения λ
асимптотическая формула функции G0(x) справедлива для |x| → ∞, | arg x| < 3
4
π − δ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
550 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Дальше нужная кривая, существование которой уже доказано, будет еще раз построена
вторым способом.
Переопределим величину v df
=−1
4
π +
δ′
2
и построим для нового значения v систему (6)
и новые множества
S1
df
= {ω| − l ≤ Reω ≤ 0, |Imω| ≤ h} \
(⋃
n∈Z
Bµ (2πni)
)
,
S2
df
= {ω| − l − µ/4 ≤ Reω ≤ µ/4, |Imω| ≤ h+ µ/4} \
(⋃
n∈Z
Bµ/2(2πni)
)
,
S2 ⊃ S1. Дословно повторяя рассуждения для функции F0(x), заключаем, что если ω(r0) ∈
∈ S1, то решение системы (6) с такими начальными данными можно продолжать вправо
до выхода траектории за пределы множества S1 или до бесконечности, если такого выхода
не происходит. Система (6) по-прежнему эквивалентна равенству eω(r) − ω(r) − reiv ≡
≡ const. Предположим eω(r0) − ω(r0) − r0eiv = 1. Тогда eω(r) − ω(r) − 1 = reiv, r ≥ r0. Из
последнего равенства следует, что если r0 > 0, то траектория ω(r) не может пересекать
мнимую и вещественную оси, а так же границы кругов Bµ(2πni), n ∈ Z, 2π|n| ≤ h
при достаточно малом µ, более того, траектория должна выйти на границу множества
S1. В левой полуплоскости справедлива оценка r ≥ |ω(r)| − 2, поэтому произвольность
параметров h и l в определении множества S1 означает, что решение ω(r) продолжается
на всю полуось [r0,+∞). Также решение не может оставаться во множестве {ω| − l ≤
≤ Reω ≤ 0}, где l — произвольное фиксированное число. Поэтому ω′(r) = −eiv(1 + o(1))
и ω(r) = −reiv − 1 + o(1), r →∞.
Чтобы построить кривую в правой полуплоскости, определим множества
S1
df
= {ω|0 ≤ Reω ≤ l, −2π ≤ Imω ≤ 0} \
(
Bµ(−2πi)
⋃
Bµ(0)
)
,
S2
df
= {ω| − µ/4 ≤ Reω ≤ l + µ/4, −2π − µ/4 ≤ Imω ≤ µ/4} \
(
Bµ/2(−2πi)
⋃
Bµ/2(0)
)
,
S2 ⊃ S1. Если ω(r0) находится внутри множества S1 и eω(r0) − ω(r0) − r0e
iv = 1, то,
повторяя рассуждения для случая F0(x), заключаем, что траектория ω(r) выходит на
границу множества S1 в точке Reω(r1) = l, −2π < Imω(r1) < 0. Так как число l про-
извольно, то решение ω(r) продолжается вправо на всю полуось [r0,+∞). Из тождества
eω(r) − ω(r) − 1 = reiv, r ≥ r0 и свойства ω(r) ∈ {ω|0 < Reω, −2π < Imω < 0} получаем
Reω(r)→ +∞, r →∞. Тогда из равенства eω(r)−ln r
(
1− e−ω(r)ω(r)− e−ω(r)
)
= eiv следует
x(r) = ln r + o(1), y(r) = v + o(1). Отсюда
∣∣ω2(r)
∣∣ = o(r).
Теперь снова через функцию g
(
uei
v
2
)
, −ε ≤ u ≤ ε гладко соединяем левую и правую
ветви искомой кривой γ(u).
Также не сложно проверить возможность замены в интеграле (9) пути интегрирования
(−∞− ζ,+∞− ζ) кривой γ(u)
G0(x) =
1√
2πα
e−
λ2+2λ
2α
∫
γ
e−
ω2
2α
− λ
α
(eω−ω−1)dω =
1√
2πα
e−
λ2+2λ
2α
+∞∫
−∞
e−
(γ(u))2
2α
− λ
α
u2
2
eivγ′(u) du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 551
Перепишем интеграл в виде
−ε∫
−∞
e−
(γ(u))2
2α
− λ
α
u2
2
eivγ′(u)du =
−ε∫
−∞
e−
(
ω1
(
u2
2
))2
2α
− λ
α
u2
2
eiv d
du
(
ω1
(
u2
2
))
du =
=
−ε∫
−∞
e−
(
ω1
(
u2
2
))2
2α
− |λ|e
i(arg λ+v)
2α
u2 eiv
e
ω1
(
u2
2
)
− 1
u du.
Учитывая асимптотическую формулу ω1(r) = −reiv−1+o(1) и следующую отсюда оценку
Re
{
−
(
ω1
(
u2
2
))2
}
< 0 при больших по модулю u, оцениваем последний интеграл:
∣∣∣∣∣∣
−ε∫
−∞
e−
(
ω1
(
u2
2
))2
2α
− |λ|e
i(arg λ+v)
2α
u2 eiv
eω1
(
u2
2
)
− 1
udu
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ L
−ε∫
−∞
e−
|λ| cos(arg λ+v)
2α
u2
∣∣∣∣∣ eivu
eω1
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣ du ≤
≤ L
−ε∫
−∞
e−
|λ| cos
(
π
2−
δ′
2
)
2α
u2
∣∣∣∣∣ eivu
eω1
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣ du ≤
≤ Le−
(|λ|−1) cos
(
π−δ′
2
)
2α
ε2
∫ −ε
−∞
∣∣∣∣∣∣∣
e−
cos
(
π−δ′
2
)
2α
u2eivu
eω1
(
u2
2
)
− 1
∣∣∣∣∣∣∣ du =
= O
(
e−
|λ| cos
(
π−δ′
2
)
2α
ε2
)
, |λ| → ∞, (10)
где L—некоторая постоянная. Для интеграла на отрезке [ε,+∞) с помощью рассуждений
для функции F0(x) можно установить аналогичную экспоненциальную оценку.
Разложим в окрестности нуля в степенной ряд функцию
e−
(γ(u))2
2α γ′(u) = c0 + c1u+ c2u
2 + c3u
3 + . . .
и распишем интеграл
ε∫
−ε
e−
(γ(u))2
2α
− λ
α
u2
2
eivγ′(u)du =
=
{
λeiv
2α
df
=λ1
}
= c0
ε∫
−ε
e−λ1u
2
du+ c2
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u2du+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
552 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+ c4
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u4du+ . . .+ c2n
ε∫
−ε
e−λ1u
2
u2ndu+
ε∫
−ε
e−λ1u
2
O
(
u2n+2
)
du.
Оценим остаток
−ε∫
−∞
e−λ1u
2
ukdu = O
(
e−|λ1|ε
2 cos
(
π−δ′
2
))
и слагаемое
ε∫
−ε
e−λ1u
2
O
(
u2n+2
)
du = O
(
|λ1|−n−
3
2
)
.
Теперь последнюю сумму интегралов можно записать в следующей форме:
c0
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
du+ c2
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u2du+ c4
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u4du+ . . .+ c2n
+∞∫
−∞
e−λ1u
2
u2ndu+
+O
(
|λ1|−n−
3
2
)
= {Reλ1 > 0} =
n∑
k=0
c2kΓ
(
k +
1
2
)
λ
−k− 1
2
1 +O
(
|λ1|−n−
3
2
)
=
=
n∑
k=0
c2k
√
π
(2k)!
k!22k
λ
−k− 1
2
1 +O
(
|λ1|−n−
3
2
)
=
{
λ1 =
λeiv
2α
}
=
=
√
2παλ−
1
2
{
n∑
k=0
c2k
(
e−i
v
2
)2k+1 (2k)!
k!2k
αkλ−k +O
(
|λ|−n−1
)}
.
Отсюда, учитывая (10), получаем формулу
+∞∫
−∞
e−
(γ(u))2
2α
− λ
α
u2
2
eivγ′(u) du =
√
2παλ−
1
2
{
n∑
k=0
c2k
(
e−i
v
2
)2k+1 (2k)!
k!2k
αkλ−k +O
(
|λ|−n−1
)}
.
Разложим в окрестности нуля в степенной ряд произведение
e−
(g(z))2
2α g′(z) = b0 + b1z + b2z
2 + b3z
3 + . . . .
Тогда имеем
e−
(γ(u))2
2α γ′(u) = e−
(
g
(
ue
i v2
))2
2α
d
du
g
(
uei
v
2
)
=
= b0e
i v
2 + b1
(
ei
v
2
)2
u+ b2
(
ei
v
2
)3
u2 + b3
(
ei
v
2
)4
u3 + . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРОДНОГО . . . 553
Отсюда получаем cm
(
ei
v
2
)−m−1
= bm, m ≥ 0,
+∞∫
−∞
e−
(γ(u))2
2α
− λ
α
u2
2
eivγ′(u)du =
√
2πα
{
n∑
k=0
b2k
(2k)!
k!
(α
2
)k
λ−k−
1
2 +O
(
|λ|−n−
3
2
)}
и асимптотическую формулу
G0(x) = e−
λ2+2λ
2α
{
n∑
k=0
b2k
(2k)!
k!
(α
2
)k
λ−k−
1
2 +O
(
|λ|−n−
3
2
)}
.
Литература
1. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9, № 9. – С. 1627 – 1645.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x − 1). I, II // Proc. Koninklijke
Nederlandse Akad. Wetensch.: Ser. A: Math. Sci. – 1953. – 15, № 5. – P. 449 – 458; 459 – 464.
3. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функцио-
нальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 38, № 1. – С. 1 – 5.
4. де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. – М.: Мир, 1961. – 247 с.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1950. – 473 с.
6. Heard M. L. A family of solutions of the initial value problem for the equation x′(t) = ax(λt), λ > 1 //
Aequationes Math. – 1973. – 9, № 2-3. – P. 273 – 280.
7. Spiridonov V. Universal superpositions of coherent states and self-similar potentials // Phys. Rev. A. – 1995. –
52. – P. 1909 – 1935.
Получено 14.03.2018,
после доработки — 04.08.2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
|