Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью
Розглянуто задачу без початкової умови з вiльною межею для параболiчного рiвняння зi степеневою нелiнiйнiстю. Доведено теореми єдиностi та iснування. При цьому задачу зведено до задачi типу Стефана з початковою умовою. Встановлено еквiвалентнiсть задач i двостороннi апрiорнi оцiнки для шуканих функц...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2018 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177347 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью / Ж.О. Тахиров // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 554-566 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177347 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Тахиров, Ж.О. 2021-02-14T11:36:28Z 2021-02-14T11:36:28Z 2018 Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью / Ж.О. Тахиров // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 554-566 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177347 517.956.4 Розглянуто задачу без початкової умови з вiльною межею для параболiчного рiвняння зi степеневою нелiнiйнiстю. Доведено теореми єдиностi та iснування. При цьому задачу зведено до задачi типу Стефана з початковою умовою. Встановлено еквiвалентнiсть задач i двостороннi апрiорнi оцiнки для шуканих функцiй. Вивчено поведiнку вiльної межi. We consider the problem without initial condition with free boundary for a parabolic equation with power nonlinearity. Uniqueness and existence theorems are proved. The problem is reduced to the Stefan-type problem with initial condition. Equivalence of problems and bilateral a priori estimates for the required functions are established. The behavior of the free boundary is investigated. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью Задача типу Флоріна для параболічного рівняння зі степеневою нелінійністю Florin-type problem for the parabolic equation with power nonlinearity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| spellingShingle |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью Тахиров, Ж.О. |
| title_short |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| title_full |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| title_fullStr |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| title_full_unstemmed |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| title_sort |
задача типа флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью |
| author |
Тахиров, Ж.О. |
| author_facet |
Тахиров, Ж.О. |
| publishDate |
2018 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Задача типу Флоріна для параболічного рівняння зі степеневою нелінійністю Florin-type problem for the parabolic equation with power nonlinearity |
| description |
Розглянуто задачу без початкової умови з вiльною межею для параболiчного рiвняння зi степеневою нелiнiйнiстю. Доведено теореми єдиностi та iснування. При цьому задачу зведено до задачi типу Стефана з початковою умовою. Встановлено еквiвалентнiсть задач i двостороннi апрiорнi оцiнки для шуканих функцiй. Вивчено поведiнку вiльної межi.
We consider the problem without initial condition with free boundary for a parabolic equation with power nonlinearity. Uniqueness and existence theorems are proved. The problem is reduced to the Stefan-type problem with initial condition. Equivalence of problems and bilateral a priori estimates for the required functions are established. The behavior of the free boundary is investigated.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177347 |
| citation_txt |
Задача типа Флорина для параболического уравнения со степенной нелинейностью / Ж.О. Тахиров // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 4. — С. 554-566 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tahirovžo zadačatipaflorinadlâparaboličeskogouravneniâsostepennoinelineinostʹû AT tahirovžo zadačatipuflorínadlâparabolíčnogorívnânnâzístepenevoûnelíníinístû AT tahirovžo florintypeproblemfortheparabolicequationwithpowernonlinearity |
| first_indexed |
2025-11-25T22:29:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:29:30Z |
| _version_ |
1850563897414647808 |
| fulltext |
УДК 517.956.4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Ж. О. Тахиров
Институт математики им. В. И. Романовского АН РУз
ул. М. Улугбека, 81, Ташкент, 100125, Узбекистан
e-mail: prof.takhirov@yahoo.com
We consider the problem without initial condition with free boundary for a parabolic equation with power
nonlinearity. Uniqueness and existence theorems are proved. The problem is reduced to the Stefan-type
problem with initial condition. Equivalence of problems and bilateral a priori estimates for the required
functions are established. The behavior of the free boundary is investigated.
Розглянуто задачу без початкової умови з вiльноюмежею для параболiчного рiвняння зi степеневою
нелiнiйнiстю. Доведено теореми єдиностi та iснування. При цьому задачу зведено до задачi типу
Стефана з початковою умовою. Встановлено еквiвалентнiсть задач i двостороннi апрiорнi оцiнки
для шуканих функцiй. Вивчено поведiнку вiльної межi.
Введение. Задача об ударе вязко-пластического стержня о жесткую преграду, рассмотрен-
ная в работе [1], послужила моделью для выделения интересного класса задач со свободной
границей для параболических уравнений. Новый класс задач был указан и исследован в
работе [2]. Далее были опубликованы несколько работ в этом направлении (см., например,
[3 – 5]). Для этих задач характерны наличие особенностей у неизвестных функций: при
t = 0 область вырождается в точку, в начале координат производные искомой функции
имеют точку разрыва, условие для нахождения свободной границы задано в неявной для
нее форме, и свободная граница не монотонна.
Математическое сходство многих физических процессов дает возможность объединить
полученные результаты в одно целое.
В работе [6] M. Storm установил, что в обычных металлах некоторые коэффициенты
(a(u) — удельная теплоемкость, b(u) — коэффициент теплопроводности) нелинейной
теплопроводности имеют свойство
d
du
√
a(u)
b(u)
a(u)
= λ = const > 0.
Задача типа Стефана для таких уравнений исследована во многих работах (см., напри-
мер, [7 – 9]), где построены автомодельные решения (свободная граница построена в виде
x = α
√
t) и проведены некоторые численные эксперименты.
Существует, в основном, три типа задач со свободными границами:Флорина,Маскета –
Веригина и Стефана. Наиболее полно изучена задача Стефана. Теория задач со свободной
границей типа Стефана разработана в трудах А. Фридмана, И. Данилюка, Б. Базалия,
А. Мейрманова, А. Рубинштейна [10 – 14] и других.
Небольшую историю имеет задача Флорина (условие для свободной границы задается
в неявной для этой границы форме), возникшая в гидростроительстве при устройстве
© Ж. О. Тахиров, 2018
554 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 555
противофильтрационных завес, когда в породу основания и береговых примыканий плотин
нагнетаются глинистые растворы [15].
В настоящей работе мыисследуем задачу со свободной границей без начальных условий
в следующей постановке. Будем придерживаться обозначений, принятых в [10, 17].
1. Постановка задачи. Требуется найти пару функций (s(t), u(t, x, )) такую, что функ-
ция s(t) непрерывно дифференцируема на отрезке 0 < t ≤ T, s(0) = 0, s(t) > 0, а функция
u(t, x) в DT = {(t, x) : 0 < t ≤ T, 0 < x < s(t)} удовлетворяет уравнению
ut =
(
u−2ux
)
x
, (t, x) ∈ DT , (1)
непрерывна в DT вместе с производной ux(t, x) и удовлетворяет условиям
ux(t, 0) = αu2(t, 0), 0 < t ≤ T, (2)
ux(t, s(t)) = 0, 0 < t ≤ T, (3)
u(t, s(t)) = g(s(t)), 0 < t ≤ T. (4)
Здесь α < 0 — постоянная, g(x) > 0 определена и непрерывна в промежутке 0 ≤ x ≤ x0,
0 < s(t) < x0.
Исследования проводятся по следующей схеме. Сначала с помощью некоторых пре-
образований (годографов) задача сводится к задаче со свободной границей для новой
функции v(t, y) в некоторой нестандартной области для уравнения теплопроводности,
а затем, распрямляя левую известную границу, получаем задачу без начальных условий с
однородным граничным условием третьего рода для параболического уравнения с одним
младшим членом.
Устанавливаются некоторые первоначальные априорные оценки для v(t, y) и доказыва-
ется теорема единственности решения.
Далее рассматривается задача с начальным условием. Эта задача сводится к задаче типа
Стефана. Доказывается их эквивалентность. Для решения задачи типа Стефана установле-
ны априорные оценкишаудеровского типа и на их основе доказана теорема существования.
При этом для неизвестной границы установлены двусторонние оценки с помощью извест-
ных кривых, которые определяют поведение неизвестной границы при t → 0. В конце
статьи доказано, что при неограниченном возрастании времени свободная граница стре-
мится к некоторой постоянной.
Известно, что теплопроводность в высокополимерных системах и материалах (метал-
лах) типа Сторма описывается уравнением (1)).
В работе [16] для уравнения (1) рассмотрена краевая задача в полупрямой, и она све-
дена к интегральному уравнению Вольтерра, решенному методом последовательных при-
ближений.
2. Сведение задачи к задаче для уравнения теплопроводности. Введем новую искомую
функцию v(t, z), z = z(t, x) следующим образом [9, 16]:
u(t, x) =
1
v(t, z)
, zx(t, x) =
1
v(t, z)
= u(t, x), zt(t, x) =
ux(t, x)
u2(t, x)
, zxt = ztx.
При этом граница x = 0 переходит на
z = z(t, 0) =
t∫
0
ux(η, 0)
u2(η, 0)
dη =
t∫
0
αdη = αt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
556 Ж. О. ТАХИРОВ
а свободная граница x = s(t) — на
z(t, s(t)) =
s(t)∫
0
g(η)dη = γ(t).
Область DT переходит в область Ω0 = {(t, z) : 0 < t ≤ T, αt < z < γ(t)}.
Для новой функции v(t, z) получаем задачу
vt = vzz, (t, z) ∈ Ω0,
vz(t, αt) = −αv(t, αt), 0 < t ≤ T,
vz(t, γ(t)) = 0, 0 < t ≤ T,
v(t, γ(t)) =
1
g(s(t))
=
t∫
0
q(γ(η))dη + a.
где a — положительная постоянная, q(z) — известная функция.
Теперь распрямляем левую границу заменой y = z − αt, t = t и в новых независимых
переменных (t, y) имеем
vt = vyy + αvy(t, y) в Ω = {(t, y) : 0 < t ≤ T, 0 < y < h(t)}, (5)
vy(t, 0) = −αv(t, 0), 0 < t ≤ T, (6)
vy(t, h(t)) = 0, 0 < t ≤ T, (7)
v(t, h(t)) = a+
t∫
0
q(h(η))dη, 0 < t ≤ T, (8)
где h(t) = γ(t)− αt. При этом ḣ(t) = γ̇(t)− α = ṡ(t)g(s(t))− α.
Устанавливаем некоторые первоначальные априорные оценки, которые применяются
при доказательстве теоремы единственности.
Лемма 1. Пусть α < 0, q(x) > 0, qx(x) < 0. Тогда для непрерывной в Ω̄T функции v(t, y)
справедливы оценки
0 ≤ v(t, y) ≤M1 в Ω̄T , 0 ≤ vy(t, y), (t, y) ∈ ΩT .
Доказательство. Рассмотрим задачу (5) – (8). По принципу максимума [10] на левой
границе нет экстремумов. Так как q(x) > 0, то v(t, h(t)) > 0. С учетом свойств функции
q(x) имеем 0 ≤ v(t, y) ≤ q(0)T = M1 в Ω̄.
Чтобы оценить vy(t, y) = V (t, y) из задачи (5) – (8), находим
Vt = Vyy + αVy(t, y), (t, y) ∈ Ω,
V (t, 0) = −αv(t, 0), 0 < t ≤ T,
V (t, h(t)) = 0, 0 < t ≤ T.
Применяя обычный принцип максимума при t ≥ δ > 0 и устремляя δ к нулю, находим
vy(t, y) ≥ 0 в Ω̄ \ (0, 0). При этом используем способ, примененный в [2].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 557
3. Единственность решения.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда решение задачи (5) – (8) ((1) – (4))
единственно.
Доказательство. Предположим, что существуют два решения задачи (5) – (8): h1(t),
v1(t, y) на отрезке [0, T1] и h2(t), v2(t, y) на [0, T2].
Пусть T = min[T1, T2], h(t) = min{h1(t), h2(t)}, h(0) = 0,
Q =
{
(t, y) : 0 < t ≤ T, 0 < y < h(t)
}
.
В области Q̄ рассмотрим функцию
V (t, y) = v1(t, y)− v2(t, y)
и получим задачу
Vt = Vyy + αVy, (t, y) ∈ Q,
Vy = −αV (t, 0), Vy(t, h(t)) = v1y(t, h(t))− v2y(t, h(t)).
В силу теоремы о знаке производной на граничной точке экстремума [10] при x = 0
экстремума не существует. Пусть точка положительного максимума P лежит на правой
границе x = h(t), т. е. P = (t0, h(t0)).
Для определенности предположим, что h1(t0) < h2(t0). Имеем
Vy(t0, h1(t0)) = v1y(t0, h1(t0))− v2(t0, h1(t)) = −v2y(t0, h1(t0)) < 0,
что противоречит известной теореме о знаке производной.
Отсутствие отрицательного минимума в этом случае устанавливается следующим обра-
зом. Пусть V (t0, h1(t0)) — отрицательный минимум функции V (t, y) в Q̄.
Далее получаем
V (t0, h1(t0)) = v1(t0, h1(t0))− v2(t0, h1(t0)) > v1(t0, h2(t0))− v2(t0, h2(t0)) =
=
t0∫
0
q(h1(η))dη −
t0∫
0
q(h2(η))dη =
=
tT∫
0
q(h1(η))dη −
tT∫
0
q(h2(η))dη +
t0∫
t∗
q(h1(η))dη −
t0∫
t∗
q(h2(η))dη =
= V (tT , h(tT )) +
t0∫
t∗
(q(h1(η))− q(h2(η)))dη ≥ V (t∗, h(tT )) , (9)
где t∗ = {max t < t0 : h1(t) = h2(t)} (в частности t∗ = 0), т. е. h1(t∗) = h2(t∗).
Из (9) заключаем, что существует другое минимальное значение V (t, y), которое мень-
ше, чем V (t0, h1(t0)).
Случай h2(t) < h1(t) доказывается аналогично.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
558 Ж. О. ТАХИРОВ
Отсутствие экстремума в случае h1(t) = h2(t) устанавливается следующим образом.
Пусть P — точка максимума (минимума) функции V (t, y) в Q̄. Тогда по известному
свойству решения параболического уравнения Vx(P ) > 0 (0 < 0). Имеем
Vy(P ) = v1y(P )− v2y(P ) = 0.
Получили противоречие.
Таким образом, v1(t, y) ≡ v2(t, y) в Q̄. Докажем, что тогда и h1(t) ≡ h2(t) на [0, T ].
Действительно, если бы нашлась точка θ ∈ [0, T ] такая, что, например, h1(θ) < h2(θ),
то в силу (7) v1y(θ, h1(θ)) = 0, а по доказанному выше vy(t, y) > 0 в Q̄. Следовательно,
0 = v1y(θ, h1(θ)) = v2y(θ, h1(θ)) > 0. Пришли к противоречию.
Теорема 1 доказана.
4. Существование решения.
Теорема 2. Пусть функция q(y) и ее производные qy, qyy непрерывны на отрезке 0 ≤
≤ y ≤ y0 и q(y) > 0, qy(y) < 0,
y0(t)∫
0
q(ξ) dξ = M1(t) > 0,
где y = y0(t) — образ x0.
Тогда решение задачи (5) – (8) существует.
Доказательство. Рассмотрим задачу со свободной границей с начальным условием в
области ΩTl =
{
0 < t ≤ Tl, 0 < y < hl(t)
}
:
vlt(t, y) = vlyy(t, y) + αvly(t, y), (t, y) ∈ ΩTl , (10)
vl(0, y) = ϕl(y), 0 ≤ y ≤ l = hl(0), (11)
vly(t, 0) = −αvl(t, 0) + ε(l), 0 ≤ t ≤ Tl, (12)
vly(t, hl(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ Tl, (13)
vl(t, hl(t)) = a+
t∫
0
q(hl(η))dη, 0 ≤ t ≤ Tl, (14)
где ϕl(y) — бесконечно дифференцируемая функция, причем ϕ′l(x) ≤ 0, ϕ′l(l) = 0, ϕl(l) =
= a, ϕ′l(0) = −αϕl(0) + ε(l), ϕ′′l (y) ≥ 0; ε(l) — монотонно возрастающая функция по l и
ε(l)→ 0 при l→ 0.
Для исследования задачи (10) – (14) перейдем к другой паре неизвестных функций(
hl(t), vt
l(t, y)
)
. Обозначим
U l(t, y) = vlt(t, y).
Тогда из (10) – (14) для
(
hl(t), U
l(t, y)
)
получим задачу типа Стефана, для которой
известно существование решения [11, 12]
U lt(t, y) = U lyy(t, y) + αUy(t, y), (t, y) ∈ Ω, (15)
U l(0, y) = ϕ′′l (y) + αϕ′l(y) = Φ(y), 0 ≤ y ≤ l, (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 559
U ly(t, 0) = −αU l(t, 0), 0 ≤ t ≤ Tl, (17)
U l(t, hl(t)) = q(hl(t)), 0 ≤ t ≤ Tl, (18)
U ly(t, hl(t)) = −q(hl(t))ḣl(t), 0 < t ≤ T. (19)
По принципу максимума при условии Φ(y) > 0 из задачи (15) – (19) непосредственно
следует, что 0 < U l(t, y) < q(0).
Далее докажем ряд лемм, используемых при доказательстве теоремы 2.
Лемма 2. Пусть пара функций
(
hl(t), U
l(t, y)
)
является решением задачи (15) – (19). Тог-
да пара
(
hl(t), v
l(t, y)
)
, где
vl(t, y) = ϕ(0) + εy − α
y∫
0
ϕl(ξ) dξ +
t∫
0
U l(η, 0)dη −
− α
y∫
0
dξ
t∫
0
U l(η, ξ)dη +
y∫
0
dξ
ξ∫
0
U l(t, x) dx (20)
является решением задачи (10) – (14).
Доказательство. Непосредственным дифференцированием из (20) находим
vly(t, y) = −αϕ(y) + ε− α
t∫
0
U l(η, y)dη +
y∫
0
U l(t, ξ)dξ,
vlyy(t, y) = αϕ′(y)− α
t∫
0
Uy(η, y)dη + U l(t, y),
vlt(t, y) = U l(t, 0)− α
y∫
0
U(t, ξ) dξ +
y∫
0
dξ
ξ∫
0
Ut(t, x) dx =
= U l(t, 0)− α
y∫
0
U l(t, ξ) dξ +
y∫
0
dξ
ξ∫
0
(
U lxx + αU lx
)
dx = U(t, y),
vyy+αvy = −α
(
ϕ′l(y) + αϕl(y)
)
−εα+U l(t, y)+α
y∫
0
U l(t, x)dx−α
t∫
0
(
U ly(η, y) + αU l(η, y)
)
dη.
Далее применяем следующие соотношения
t∫
0
(U ly(η, y) + αU l(η, y))dη =
t∫
0
(vlyη(η, y) + αvlη(η, y))dη =
= vly(t, y) + αvl(t, y)− ϕ′l(y)− αϕl(y),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
560 Ж. О. ТАХИРОВ
vly(t, y) = −αvl(t, y) +
y∫
0
U l(t, ξ) dξ + ε.
Имеем
vyy + αvy = U l(t, y),
т. е. уравнение выполняется.
Теперь проверяется выполнение начального и граничных условий. Выполнение усло-
вия (12):
vly(t, 0) + αvl(t, 0) = −αϕl(0)− α
t∫
0
U l(η, 0)dη + αϕl(0) + ε+ α
t∫
0
U l(η, 0)dη = ε.
Выполнение начального условия:
vl(0, y) = ϕl(0)− α
y∫
0
ϕl(ξ) dξ +
y∫
0
dξ
ξ∫
0
U l(0, x)dx+ εy =
= ϕl(0) + εy − α
y∫
0
ϕl(ξ) dξ +
y∫
0
(
ϕ′l(ξ) + αϕl(ξ)
)
dξ−
−
y∫
0
(
ϕ′l(0) + αϕl(0)
)
dξ = ϕl(y).
Условие (14):
vl(t, h(t)) = a+
t∫
0
d
dτ
vl(τ, hl(τ))dτ = a+
t∫
0
(
vlτ + vlyhl(τ)
)
dτ =
= a+
t∫
0
U l(τ, h(τ))dτ = a+
t∫
0
q(hl(τ)) dτ.
Условие (13):
vly(t, y) + αvl(t, y) = ε+
y∫
0
U l(t, ξ) dξ.
Отсюда имеем
d
dt
(
vly(t, h(t)) + αvl(t, h(t))
)
=
d
dt
hl(t)∫
0
U l(t, ξ) dξ =
= ḣl(t)U
l(t, h(t)) +
t∫
0
U lt(t, ξ) dξ =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 561
= ḣl(t)q(hl(t)) +
hl(t)∫
0
(
U lξξ(t, ξ) + U lξ(t, ξ)
)
dξ =
= ḣl(t)q(hl(t)) + U ly(t, hl(t))+
+ αU l(t, hl(t))− U ly(t, 0)− αU l(t, 0) = αq(hl(t)).
Интегрируя, находим
vy(t, h(t)) + αv(t, h(t)) = ϕ′l(l) + αϕl(l) +
t∫
0
q(hl(η))dη.
Так как
αvl(t, hl(t)) = αa+ α
t∫
0
q(hl(η))dη, ϕ(l) = a, ϕ′(l) = 0,
то vly(t, hl(t)) = 0.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть q′′(y) + αq′(y) ≤ 0 и существует постоянная k > 0 такая, что
k > max
∥∥q′′(y)− q(y)
∥∥,
∥∥∥∥∥∥ 1
y0
ψ(l) +
y0∫
0
q(ξ) dξ
∥∥∥∥∥∥ , ‖q(y)‖
.
Если h−l (t) является решением уравнения
ψ(l) + kh−l (t) =
h−l (t)∫
0
q(ξ) dξ, (21)
то
h−l (t) ≤ hl(t), 0 ≤ t ≤ Tl.
Здесь ψ(l) = αϕ(l)− ε(l) < 0, 0 < hl(t) < y0(t) = z(t, x0)− αt.
Доказательство. В задаче (15) – (19), произведя замену m(t, y) = U l(t, y) − q(y) − k,
находим
myy −mt + αmy = −q′′(y)− α′(y) ≥ 0,
my(t, 0) + αm(t, 0) = −q′(0)− αq(0) + αk,
m(t, hl(t)) = −k < 0,
my(t, hl(t)) + q′(h(t)) = −qḣl(t),
m(0, y) = ϕ′′(y)− q(y)− k ≥ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
562 Ж. О. ТАХИРОВ
Отсюда по принципу максимума имеем
m(t, y) = U l(t, y)− q(y)− k = vt − q(y)− k = vlyy + αvly(t, y)− q(y)− k ≤ 0.
Интегрируя это неравенство по y в пределах от 0 до hl(t), получаем
vy(t, hl(t))− vy(t, 0) + αv(t, hl(t))− αv(t, 0) + khl(t) ≤
hl(t)∫
0
q(ξ) dξ.
С учетом граничных условий задачи (10) – (14)
ψ(l) + khl(t) + α
t∫
0
q(hl(η))dη ≤
hl(t)∫
0
q(ξ) dξ.
Очевидно, что для h−l (t) ≤ hl(t) получается уравнение
ψ(l) + kh−l (t) =
h−l (t)∫
0
q(ξ) dξ.
Таким образом, h−l (t) ≤ hl(t), где h−l (t) — решение уравнения (21).
Замечание 1. Разрешимость уравнения (21) относительно h−l (t) устанавливается сле-
дующим образом. Рассмотрим в промежутке 0 ≤ y ≤ y0 функцию
B(t, y) = ψ(l) + ky −
y0(t)∫
0
q(ξ) dξ.
Проверим свойство непрерывных функций
B(t, 0) = ψ(l) < 0, B(t, y0) = ψ(l) + ky0 −
y0(t)∫
0
q(ξ) dξ > 0, B′y(t, y) = k − q(y) > 0.
Следовательно, существует корень функции по y.
Лемма 4. Пусть TH ≥ maxy |q(y)− ϕ′(y)| и функция h+
l (t) является решением урав-
нения
H(t+ T )h+
l (t) =
h+l (t)∫
0
q(ξ) dξ − αq(0)t− ψ(l). (22)
Тогда
hl(t) ≤ h+
l (t), 0 ≤ t ≤ Tl.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 563
Доказательство. В задаче (15) – (19) введем функцию m(t, y) = U l(t, y)−q(y)+H(t+T )
и получим задачу
myy −mt + αmy = −H − q′′ − αq′ ≤ 0,
m(0, y) = ϕ′′(y)− q(y) +HT ≥ 0,
my(t, 0) = −αm(t, 0)− α(q −H(t+ T ))− q ≤ 0,
m(t, hl(t)) = H(t+ T ) > 0, 0 ≤ t ≤ Tl.
Отсюда по принципу максимума
m(t, y) = vlyy + αvly ≥ q(y) +H(t+ T ). (23)
Интегрируя (23) по y в пределах от 0 до hl(t), имеем
vly(t, hl(t))− vly(t, 0) + αvl(t, hl(t))− αvl(t, 0) ≥
hl(t)∫
0
q(ξ) dξ −H(t+ T )hl(t)
или
ψ(l) + α
t∫
0
q(h(η))dη +H(t+ T )hl(t) ≥
hl(t)∫
0
q(ξ) dξ.
Заключаем, что для h+
l (t) ≥ hl(t) получается уравнение
(t+ T )Hh+
l (t) + αq(0)t =
h+l (t)∫
0
q(ξ) dξ − ψ(l).
Таким образом, h+
l (t) ≥ hl(t), где h+
l (t) — решение уравнения (22).
Замечание 2. Для того чтобы доказать разрешимость (22) относительно h+
l (t), рассмот-
рим функцию
R(t, y) = H(t+ T )y −
y∫
0
q(ξ) dξ + αq(0)t+ ψ(l), 0 ≤ y ≤ y0.
Проверим справедливость равенств
H(t, 0) = αq(0) + ψ(l) < 0,
R(t, y0) = H(t+ T )y0 + αq(0)t+ ψ(l)−
y0∫
0
q(ξ) dξ > 0 за счет выбора H,
Ry(t, y) = H(t+ T )− q(y) > 0.
Таким образом, hl(t) ≤ h+
l (t), где h+
l (t) — решение уравнения (22).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
564 Ж. О. ТАХИРОВ
Замечание 3. Отметим, что в пределе l → +0 функция h+
l (t) монотонно сходится к
функции h+(t), которая является решением уравнения
(t+ T )Hh+(t) + αq(0)t =
h+(t)∫
0
q(ξ) dξ,
причем h+(t) будет оценивать сверху h(t) из задачи (5) – (8) и ḣ+(t) > 0.
5. Поведение свободной границы hl(t) .
Лемма 5. Для 0 ≤ t ≤ Tl равномерно по l ≤ l0 ≤ y0 выполняется оценка
0 < ḣl(t) ≤ N, N = const > 0, 0 ≤ t ≤ Tl.
Доказательство. Рассмотрим задачу (15) – (19). Имеем Uy(0, hl(0)) = U ly(0, l) = Φ′(l) =
= −q(l)ḣ(0). Поскольку Φ′(l) < 0, q(l) > 0, то h′l(0) > 0. Доказано, что U(t, y) > 0 в Ω̄.
Пусть t0 — наименьшее значение t, для которого h′l(t0) = 0. Так как на левой границе
нет экстремума и Φ′(y) < 0, qy(y) < 0, то в точке (t0, hl(t0)) функция U(t, x) достигает
минимум.По теореме о знаке производной в граничной точке экстремума [10] должно быть
Uy(t0, hl(t0)) < 0. Но по предположению h′l(t0) = 0 и условию (19) имеем Uy(t0, hl(t0)) = 0,
что противоречит указанному неравенству.
Таким образом, h′l(t0) > 0 на [0, Tl].
Для того чтобы установить оценку сверху для функции h′l(t0), согласно (19) достаточно
оценить −U ly(t, hl(t)) сверху.
Рассмотрим в DTl при t ≤ θ ≤ Tl функцию
w(t, y) = U(t, y)− q(y)−M ln(1− y + hl(θ)), (24)
где положительная постоянная M будет выбрана ниже в задаче (25).
Для w(t, y) получим задачу
wyy − wt + αwy = −q′(y)− αq′(y) +
M
(1− y + hl(θ))2
+
αM
(1− y + hl(θ))
≥ 0,
w(0, y) = Φ(y)− q(y)−M ln(1− y + hl(θ)) ≤ 0,
(25)
w(t, hl(t)) = −M ln(1 + hl(θ)− hl(t)) ≤ 0,
wy(t, 0) = αw(t, 0)− q′′(0)− αq(0) +
M
1 + hl(θ)
− αM ln(1 + hl(θ)) ≥ 0.
Отсюда w(t, y) ≤ 0. Следовательно,
w(θ, hl(θ)) = 0 и wy(θ, hl(θ)) ≥ 0.
Тогда
wy(θ, hl(θ)) = Uy(θ, hl(θ))− q′(hl(θ)) +M ≥ 0
или
−Uy(θ, hl(θ)) ≤ −q′(hl(θ)) +M = N1.
Из (19) находим
0 < ḣl(t) = −Uy(t, hl(t))
q(hl(t))
≤ N1
q(x0)
.
Лемма 5 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
ЗАДАЧА ТИПА ФЛОРИНА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 565
Тем самым установлено, что задачи (1) – (4) и (15) – (19) разрешимы на любом отрезке
времени [0, T ].
Применяя оценки в пространстве C1+α из [10, 17], получаем равномерные по l ≤ l0
оценки норм Гельдера для функций U l(t, y), U ly(t, y). Из условия (19) вытекает, что про-
изводные ḣl(t) равномерно по l ≤ l0 удовлетворяют условию Гельдера на отрезке [0, T ] и,
следовательно, на основе известных оценок шаудеровского типа [17] для решений пара-
болических уравнений можно утверждать, что равномерно по l нормы Гельдера U lt(t, y),
U lyy(t, y) ограничены на любом множестве{
(t, y) : 0 < δ ≤ t ≤ T, 0 < s ≤ x ≤ hl(t)
}
.
Учитывая установленную в лемме 2 связь между функциями vl(t, y) и U l(t, y), а также
доказанные в леммах 3 – 6 оценки и используя теорему Арцела, получаем существование
такой последовательности l = lν → +0 при v → +∞, что:
1) функции hlν (t) → h(t) равномерно на [0, T ], причем h(t) > 0, ḣ(t) > 0 на [0, T ](
вблизи точки t = 0 существенно используются оценки ḣ(t) ≤ hlν (t) ≤ h+
lν
(t) → h+(t)(
h−(0) = h+(0) = 0
))
;
2) функция U lν(t, y) в области DT сходится к непрерывному в D̄T решению U(t, y)
уравнения (15), имеющему на любом множестве {(t, y) : 0 < δ ≤ t ≤ T, 0 < x < h(t)}
непрерывные производные Uy(t, y), Ut(t, y), Uyy(t, y), причем
U(t, h(t)) = q(h(t)), Ux(t, h(t)) = −q(h(t))ḣ(t);
3) в каждой точке DT функция vlν(t, y) сходится к решению задачи (5) – (8).
6. Асимптотическое поведение свободной границы при неограниченном возрастании вре-
мени. Предположим, что выполнены все условия леммы 5 при любом t > 0. В силу
результатов, полученных в леммах 2 – 5, функция hl(t) строго монотонна и ограничена при
t ≥ 0. Следовательно, существует
lim
t→+∞
hl(t) = hl(∞) ≤ y0.
Лемма 6. Справедливо равенство limt→+∞ hl(t) = ht(∞) = y0.
Доказательство. Предположим противное: hl(∞) = y0 − δ < y0. Согласно свойствам
q(x) из (14) имеем
vl(t, hl(t))
t
=
a
t
+
1
t
t∫
0
q(hl(η))dη ≥ 1
t
t∫
0
q(y0 − δ) +
a
t
= q(y0 − δ) = const > 0. (26)
Теперь интегрируя уравнение (15), находим
0 =
t∫
0
dη
hl(η)∫
0
((
U lξ + αU l
)
ξ
− U lη
)
dξ =
∫
Γ
(
U lξ + αU l
)
dη + U ldξ.
Отсюда
t∫
0
Φ(ξ) dξ −
hl(t)∫
0
U l(t, ξ) dξ + α
t∫
0
q(hl(η)) dη =
l∫
0
Φ(ξ) dξ −
t∫
0
U l(t, ξ) dξ + αvl(t, hl(t)) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
566 Ж. О. ТАХИРОВ
Далее,
−αvl(t, hl(t)) =
l∫
0
Φ(ξ) dξ −
he(t)∫
0
U l(t, ξ) dξ.
Так как U l(t, ξ) > 0, то
−αvl(t, hl(t)) <
l∫
0
Φ(ξ) dξ = const
или
vl(t, hl(t))
t
<
const
t
. (27)
При t→ +∞ из (26) и (27) получаем противоречие.
Лемма 6 доказана.
Литература
1. Баренблатт Г. И., Ишлинский А. Ю. Об ударе вязко-пластического стержня о жесткую преграду // Прикл.
математика и механика. – 1962. – 26, № 3. – C. 497 – 502.
2. Кружков С. Н. О некоторых задачах с неизвестной границей для уравнения теплопроводности // Прикл.
математика и механика. – 1967. – 31, № 6. – C. 1009 – 1020.
3. Кружков С. Н., Якубов С. О разрешимости одного класса задач с неизвестной границей для уравнения
теплопроводности и поведении решений при неограниченном возрастании времени // Динамика сплош.
среды. – 1978. – Вып. 36. – C. 46 – 70.
4. Fasano A., Primicerio M. Viscoplastic impact of a rod on a wall // Boll. Unione Mat. Ital. Ser. 4. – 1975. – 7,
№ 3. – P. 531 – 555.
5. Takhirov J., Turaev R. The free boundary problem without initial condition // J. Math. Sci. – 2012. – 187, № 1. –
P. 86 – 100.
6. Storm M. L. Heat conduction in simple metals // J. Appl. Phys. – 1951. – 22, № 7. – P. 940 – 951.
7. Hill J. M., Hart V. G. The Stefan problem in nonlinear heat conduction // J. Appl. Math. Phys. – 1986. – 37. –
P. 206 – 229.
8. Briozzo A. C., Natale M. One-dimensional nonlinear Stefan problem in Storm’s materials // Mathematics. –
2014. – 2. – P. 1 – 11.
9. De Lillo S., Salvatori M. C. A two-phase free boundary problem for the nonlinear heat equation // J. Nonlin.
Math. Phys. – 2004. – 11, № 1. – P. 134 – 140.
10. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 428 с.
11. Мейрманов А. Задача Стефана. – Новосибирск: Наука, 1986. – 240 с.
12. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. – Рига: Звайзгне, 1967. – 457 с.
13. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. – 1985. – 40, вып. 5(245). – С. 133 – 185.
14. Bazaliy B. V., Friedman A. A free boundary problem for an elliptic-parabolic system: Application to a model of
tumor growth // Comm. Partial Differential Equations. – 2003. – 28. – P. 517 – 560.
15. Флорин В. А. Уплотнение земляной среды и фильтрация при переменной пористости с учетом влияния
связанной воды // Изв. АН СССР. – 1951. – № 11. – С. 1625 – 1649.
16. де Лилло С., Луно Г., СоммакалМ. Решения нелинейной задачи теплопроводности на полупрямой // Теорет.
мат. физика. – 2007. – 152, № 1. – C. 58 – 65.
17. Кружков С. Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Тр. Моск.
мат. о-ва. – 1967. – 16. – C. 329 – 346.
Получено 16.09.2017,
после доработки — 31.07.2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 4
|