Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів
The exact analytical solution of a stationary heat problem for two-component cylindric spaces is constructed by the method of integral transforms.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1774 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 17-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Конет, І.М. 2008-09-02T17:20:11Z 2008-09-02T17:20:11Z 2007 Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 17-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1774 517.946 The exact analytical solution of a stationary heat problem for two-component cylindric spaces is constructed by the method of integral transforms. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| spellingShingle |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів Конет, І.М. Математика |
| title_short |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| title_full |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| title_fullStr |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| title_full_unstemmed |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| title_sort |
інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів |
| author |
Конет, І.М. |
| author_facet |
Конет, І.М. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The exact analytical solution of a stationary heat problem for two-component cylindric spaces is constructed by the method of integral transforms.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1774 |
| citation_txt |
Інтегральні зображення розв'язків стаціонарних задач теплопровідності для двоскладових циліндричних просторів / І.М. Конет // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 17-22. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT konetím íntegralʹnízobražennârozvâzkívstacíonarnihzadačteploprovídnostídlâdvoskladovihcilíndričnihprostorív |
| first_indexed |
2025-11-26T11:58:24Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:58:24Z |
| _version_ |
1850620616831401984 |
| fulltext |
УДК 517.946
© 2007
I.М. Конет
Iнтегральнi зображення розв’язкiв стацiонарних задач
теплопровiдностi для двоскладових цилiндричних
просторiв
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
The exact analytical solution of a stationary heat problem for two-component cylindric spaces
is constructed by the method of integral transforms.
Стацiонарнi крайовi задачi феноменологiчної теорiї теплопровiдностi для багатошарових
(кусково-однорiдних) середовищ становлять значний теоретичний та практичний iнтерес
[1–3]. Питанням побудови методом iнтегральних перетворень точних аналiтичних розв’яз-
кiв згаданих задач у декартовiй, сферичнiй та цилiндричнiй системах координат присвяченi
монографiї [4–6]. Зокрема, в [6] розглянуто необмеженi, напiвобмеженi та обмеженi багато-
шаровi за радiальною координатою цилiндрично-круговi областi.
У цьому повiдомленнi пропонуються iнтегральнi зображення стацiонарних задач тепло-
провiдностi для двоскладових цилiндричних просторiв.
Задача про структуру стацiонарного температурного поля в ортотропному двоскладо-
вому за декартовою координатою цилiндричному просторi математично зводиться до по-
будови обмеженого в областi D = {(r, ϕ, z) : r ∈ (0;∞);ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ (−∞; 0)
⋃
(0;+∞) ≡
≡ I1
⋃
I2} 2π-перiодичного щодо кутової змiнної ϕ класичного розв’язку сепаратної системи
диференцiальних рiвнянь Пуассона [7]
[
a2
rj
(
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
)
+ a2
zj
∂2
∂z2
]
uj − χ2
juj = −fj(r, ϕ, z), z ∈ Ij , j = 1, 2, (1)
за крайовими умовами
∂ku1
∂zk
∣∣∣∣
z=−∞
= 0,
∂ku2
∂zk
∣∣∣∣
z=+∞
= 0, k = 0, 1; (2)
uj(r, ϕ, z)
∣∣∣∣
r=0
< ∞,
∂uj
∂r
∣∣∣∣
r=∞
= 0, j = 1, 2, (3)
та умовами неiдеального теплового контакту [8]
[(
b0
∂
∂z
+ 1
)
u1 − u2
]∣∣∣∣
z=0
= 0,
(
∂u1
∂z
− ν1
∂u2
∂z
)∣∣∣∣
z=0
= 0, ν1 =
λ2
λ1
.
(4)
Фiзико-механiчний змiст параметрiв i функцiй, якi беруть участь у формулюваннi за-
дачi, розкрито в [7, 8].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 17
Припустимо, що заданi й шуканi функцiї задовольняють умови застосовностi залучених
нижче iнтегральних перетворень.
До задачi (1)–(4) застосуємо скiнченне iнтегральне перетворення Фур’є щодо кутової
змiнної ϕ [6] та iнтегральне перетворення Фур’є–Бесселя щодо радiальної змiнної r [6]. Одер-
жуємо задачу про структуру обмеженого на двоскладовiй декартовiй осi I1
⋃
I2 розв’язку
сепаратної системи звичайних диференцiальних рiвнянь 2-го порядку зi сталими коефiцi-
єнтами
[
a2
j
d2
dz2
− (λ2 + χ2
j )
]
ũjm(λ, z) = −f̃ jm(λ, z), z ∈ Ij , j = 1, 2, (5)
за крайовими умовами
dkũ1m
dzk
∣∣∣∣
z=−∞
= 0,
dkũ2m
dzk
∣∣∣∣
z=+∞
= 0, k = 0, 1, (6)
та умовами спряження
[(
b0
d
dz
+ 1
)
ũ1m − ũ2m
]∣∣∣∣
z=0
= 0,
(
dũ1m
dz
− ν1
dũ2m
dz
)∣∣∣∣
z=0
= 0.
(7)
Застосуємо до задачi (5)–(7) iнтегральне перетворення Фур’є на декартовiй осi з однiєю
точкою спряження щодо змiнної z [4]:
F1[g(z)] =
+∞∫
−∞
g(z)V (z, β)σ(z) dz ≡ g̃(β), (8)
F−1
1
[g̃(β)] =
2
π
∞∫
0
Re[g̃(β)V (z, β)]Ω1(β) dβ ≡ g(z), (9)
F1
[
(a2
1θ(−z) + a2
2θ(z))
d2g
dz2
]
=
= −β2g̃(β) − k2
1
0∫
−∞
g1(z)V1(z, β)σ1 dz − k2
2
+∞∫
0
g2(z)V2(z, β)σ2 dz, (10)
де
V (z, β) = V1(z, β)θ(−z) + V2(z, β)θ(z); σ(z) = σ1θ(−z) + σ2θ(z);
V1(z, β) =
√
ν1b2(β)
ω3(β)
[ω3(β) cos(b1(β)z) − ω5(β) sin(b1(β)z)] −
− iν1b2(β)
√
ω(β)
b1(β)ω3(β)
sin(b1(β)z); bj(β) = a−1
j (β2 + k2
j )
1/2; k2
j > 0; j = 1, 2;
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
V2(z, β) =
√
ν1b1(β)
ω3(β)
[ω2(β) cos(b2(β)z) − ω1(β) sin(b2(β)z)] −
− i
√
b1(β)ω(β)
ω3(β)
[ν1b0b2(β) cos(b2(β)z) + sin(b2(β)z)];
σ1 =
1
ν1a
2
1
; σ2 =
1
a2
1
; ω1(β) = ν1b0b1(β)b2(β); ω2(β) = ν1b2(β) + b1(β);
ω(β) = ω2
1(β) + ω2
2(β); ω3(β) = ω2
1(β) + ω2(β); ω5(β) = b0ν
2
1b2(β);
Ω1(β) = β[b2(β)ω(β)]−1; θ(x) — одинична функцiя Гевiсайда.
Систему диференцiальних рiвнянь (5) запишемо у матричнiй формi
(
a2
1
d2
dz2
− λ2 − χ2
1
)
ũ1m(λ, z)
(
a2
2
d2
dz2
− λ2 − χ2
2
)
ũ2m(λ, z)
= −
f̃1m(λ, z)
f̃2m(λ, z)
(11)
та зобразимо iнтегральний оператор F1 у виглядi операторної матрицi-рядка
F1[. . .] =
[ 0∫
−∞
. . . V1(z, β)σ1 dz
+∞∫
0
. . . V2(z, β)σ2 dz
]
. (12)
За правилом множення матриць застосуємо операторну матрицю-рядок (12) до систе-
ми (11). Внаслiдок тотожностi (10) одержуємо алгебраїчне рiвняння
(β2 + λ2 + χ2
1 + k2
1)
˜̃u1m(λ, β) + (β2 + λ2 + χ2
2 + k2
2)
˜̃u2m(λ, β) =
˜̃
f1m(β) +
˜̃
f2m(β), (13)
де
˜̃u1m(λ, β) =
0∫
−∞
ũ1m(λ, z)V1(z, β)σ1 dz; ˜̃u2m(λ, β) =
+∞∫
0
ũ2m(λ, z)V2(z, β)σ2 dz;
˜̃
f1m(λ, β) =
0∫
−∞
f̃1mn(λ, z)V1(z, β)σ1 dz;
˜̃
f2m(λ, β) =
+∞∫
0
f̃2m(λ, z)V2(z, β)σ2 dz.
Припустимо, що max{χ2
1, χ
2
2} = χ2
2 i покладемо всюди k2
1 = χ2
2 − χ2
1 > 0, k2
2 = 0. Рiв-
няння (13) набуває вигляду
(β2 + λ + χ2
2)
˜̃um(λ, β) =
˜̃
fm(λ, β), (14)
де
˜̃um(λ, β) = ˜̃u1m(λ, β) + ˜̃u2m(λ, β);
˜̃
fm(λ, β) =
˜̃
f1m(λ, β) +
˜̃
f2m(λ, β).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 19
Iз рiвняння (14) знаходимо функцiю
˜̃um(λ, β) =
˜̃
fm(λ, β)
β2 + λ2 + χ2
2
. (15)
Оскiльки суперпозицiя операторiв F1 та F−1
1
є одиничним оператором, то оператор F−1
1
зобразимо у виглядi операторної матрицi-стовпця
F−1
1
[. . .] =
2
π
∞∫
0
Re[. . . V1(z, β)]Ω1(β) dβ
2
π
∞∫
0
Re[. . . V2(z, β)]Ω1(β) dβ
. (16)
За правилом множення матриць застосуємо операторну матрицю-стовпець (16) до мат-
рицi-елемента [˜̃um(λ, β)], де функцiя ˜̃um(λ, β) визначена формулою (15). Одержуємо єдиний
обмежений розв’язок задачi (5)–(7):
ũjm(λ, z) =
2
π
∞∫
0
Re[
˜̃
fm(λ, β)Vj(z, β)]
β2 + λ2 + χ2
2
Ω1(β) dβ, j = 1, 2. (17)
Застосувавши послiдовно до функцiй ũjm(λ, z), визначених формулами (17), оберненi
оператори Фур’є–Бесселя та Фур’є, одержуємо функцiї
uj(r, ϕ, z) =
∞∫
0
2π∫
0
0∫
−∞
Ej1(r, ρ, ϕ − α, z, ξ)f1(ρ, α, ξ)σ1ρ dξdαdρ +
+
∞∫
0
2π∫
0
∞∫
0
Ej2(r, ρ, ϕ − α, z, ξ)f2(ρ, α, ξ)σ2ρ dξdαdρ, j = 1, 2, (18)
якi описують структуру стацiонарного температурного поля в ортотропному двоскладовому
цилiндричному просторi.
У формулах (18) беруть участь компоненти фундаментальної матрицi розв’язкiв
Ejk(r, ρ, ϕ, z, ξ) =
1
π2a2
rj
∞∑
m=0
εmEjk,m(r, ρ, z, ξ) cos(mϕ) (19)
елiптичної крайової задачi (1)–(4), де
Ejk,m(r, ρ, z, ξ) =
∞∫
0
∞∫
0
Re[Vj(z, β)Vk(ξ, β)]
β2 + λ2 + χ2
2
Ω1(β) dβJm(λr)Jm(λρ)λdλ. (20)
Вiдомо [9], що
∞∫
0
Jν(λr)Jν(λρ)λdλ
λ2 + a2
≡ Eν(ar, aρ) =
{
Iν(ar)Kν(aρ), 0 < r < ρ < ∞,
Iν(aρ)Kν(ar), 0 < ρ < r < ∞,
(21)
де Iν(x) — модифiкована цилiндрична функцiя 1-го роду ν-го порядку; Kν(x) — модифiко-
вана цилiндрична функцiя 2-го роду ν-го порядку.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Отже, формула (20) набуває вигляду
Ejk,m(r, ρ, z, ξ) =
∞∫
0
Em
(√
β2 + χ2
2r,
√
β2 + χ2
2ρ
)
Re[Vj(z, β)Vk(ξ, β)]Ω1(β) dβ. (22)
Пiдсумком викладеного вище є така теорема.
Теорема. Припустимо, що:
1) функцiя f1(r, ϕ, z) неперервна i має обмежену варiацiю за кожною змiнною на мно-
жинi {(r, ϕ, z) : r ∈ (0;∞); ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ I1}, абсолютно сумовна на промiжку I1 i зникає
разом зi своїми частинними похiдними першого порядку при z → −∞;
2) функцiя f2(r, ϕ, z) неперервна i має обмежену варiацiю за кожною змiнною на мно-
жинi {(r, ϕ, z) : r ∈ (0;∞); ϕ ∈ [0; 2π); z ∈ I2}, абсолютно сумовна на промiжку I2 i зникає
разом зi своїми частинними похiдними першого порядку при z → +∞;
3) функцiї fj(r, ϕ, z), j = 1, 2, абсолютно сумовнi з вагою r на промiжку {r : r > 0}
i зникають разом зi своїми частинними похiдними першого порядку при r → ∞;
4) функцiї fj(r, ϕ, z), j = 1, 2, задовольняють умови спряження.
Тодi в класi двiчi неперервно диференцiйовних в областi D вектор-функцiй u(r, ϕ, z) =
= {u1(r, ϕ, z), u2(r, ϕ, z)}, що задовольняють умови 1–3, єдиний обмежений розв’язок елiп-
тичної перiодичної крайової задачi (1)–(4) визначається формулами (18).
Зауваження 1. Якщо max{χ2
1, χ
2
2} = χ2
1, то потрiбно покласти k2
1 = 0, k2
2 = χ2
1 − χ2
2 > 0
i у формулах (22) замiсть
√
β2 + χ2
2 писати
√
β2 + χ2
1.
Наслiдок. Якщо функцiї fj(r, ϕ, z) не залежать вiд кутової змiнної ϕ, то згiдно з фор-
мулами (18), (9), (22) структуру розв’язку крайової задачi (1)–(4) визначають функцiї
uj(r, z) =
∞∫
0
0∫
−∞
E∗
j1(r, ρ, z, ξ)f1(ρ, ξ)σ1ρ dξdρ +
∞∫
0
+∞∫
0
E∗
j2(r, ρ, z, ξ)f2(ρ, ξ)σ2ρ dξdρ, (23)
де
E∗
jk(r, ρ, z, ξ) =
1
πa2
rj
∞∫
0
E0
(√
β2 + χ2
2r,
√
β2 + χ2
2ρ
)
Re[Vj(z, β)Vk(ξ, β)]Ω1(β) dβ.
Зауваження 2. При b0 = 0 безпосередньо з формул (18), (23) одержуємо структуру
стацiонарного температурного поля у випадку здiйснення на площинi z = 0 iдеального теп-
лового контакту. Крiм того, у випадку a2
rj = a2
zj ≡ a2
j > 0 формули (18), (23) визначають
структуру стацiонарного температурного поля в iзотропному двоскладовому цилiндрично-
му просторi.
Таким чином, при найбiльш загальних припущеннях у межах феноменологiчної теорiї
теплопровiдностi побудовано iнтегральнi зображення точних аналiтичних розв’язкiв ста-
цiонарних задач у двоскладових цилiндричних просторах. Одержанi розв’язки носять ал-
горитмiчний характер, неперервно залежать вiд параметрiв та даних задачi й можуть бути
використанi як в теоретичних дослiдженнях, так i в iнженерних розрахунках.
1. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. –
Москва: Наука, 1984. – 368 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 21
2. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – Киев: Наук. думка,
1992. – 280 с.
3. Сергиенко И.В., Скопецкий В. В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование про-
цессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
4. Ленюк М.П. Температурнi поля в плоских кусково-однорiдних ортотропних областях. – Київ: Iн-т
математики НАН України, 1997. – 188 с.
5. Конет I.М. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в ортотропних сферичних областях. –
Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 209 с.
6. Конет I.М., Ленюк М.П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових
областях. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
7. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорiя рiвнянь математичної фiзики. – Київ: Либiдь, 2001. – 336 с.
8. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – Москва: Мир, 1964. – 517 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – Москва: Наука,
1971. – 1108 с.
Надiйшло до редакцiї 26.10.2006Кам’янець-Подiльський державний унiверситет
УДК 512.54
© 2007
Я.В. Лавренюк
Автоморфiзми iндуктивних границь з дiагональними
зануреннями скiнченних симетричних та знакозмiнних
груп
(Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком)
We show that every automorphism of a diagonal limit of finite symmetric groups is locally inner.
1. Будемо говорити, що занурення симетричних груп Sym(X1) → Sym(X2) дiагональне,
якщо кожна нетривiальна орбiта групи Sym(X1) на множинi X2 є природною. Дiагональне
занурення називається строго дiагональним, якщо немає тривiальних орбiт. Так само ви-
значається дiагональне занурення у випадку знакозмiнних груп. Дiагональною границею
скiнченних симетричних (знакозмiнних) груп називатимемо iндуктивну границю з дiаго-
нальними зануреннями скiнченних симетричних (знакозмiнних) груп, якщо вона не є фiнi-
тарною симетричною (знакозмiнною) групою.
У роботах [1, 2] дослiджувалися автоморфiзми дiагональних границь у випадку строго
дiагональних занурень для симетричних i знакозмiнних груп. Зокрема, було встановлено,
що кожен автоморфiзм iндуктивної границi iз строго дiагональними зануреннями скiнчен-
них симетричних груп є локально внутрiшнiм.
Iншi властивостi дiагональних границь скiнченних симетричних i знакозмiнних груп
можна знайти в [3].
У даному повiдомленнi дослiджуються автоморфiзми дiагональних границь загального
вигляду для скiнченних симетричних i знакозмiнних груп.
2. Нехай (T, v0) — локально скiнченне кореневе дерево з коренем v0. Для довiльних
вершин u, v дерева T (u, v ∈ V (T )) вiдстанню d(u, v) мiж u та v є довжина найкоротшого
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
|