Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя
The nonstationary indentation for a blunted rigid body affecting the elastic layer is studied. The general problem formulation includes different boundary conditions on the free surface and contact region. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can serve as a rateable one...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1775 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 58-65. — Библиогр.: 8 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860221389595738112 |
|---|---|
| author | Кубенко, В.Д. |
| author_facet | Кубенко, В.Д. |
| citation_txt | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 58-65. — Библиогр.: 8 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The nonstationary indentation for a blunted rigid body affecting the elastic layer is studied. The general problem formulation includes different boundary conditions on the free surface and contact region. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can serve as a rateable one for a later period is solved exactly.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:17:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
напружень i “перевертанню” злама на кривiй (див. рис. 4). Як результат такий залишковий
напружено-деформований стан пiдвищує мiцнiсть i втомну витривалiсть елемента конст-
рукцiї. На осьове напруження σzz структурнi перетворення практично не впливають.
1. Qin Y., Zou J., Dong C. et al. Temperature-stress fields and related phenomena induced by a high current
pulsed electron beam // Nuclear Instrum. and Meth. In Phys. Research. Part B. – 2004. – 225. – P. 544–554.
2. Коваленко В.С. Микро- и нанообработка сверхмощными лазерными импульсами // Оборудование и
эксперимент для профессионалов. – 2003. – № 4. – С. 4–14.
3. Сенченков И.К., Жук Я.А. Термомеханический анализ одной модели термовязкопластического де-
формирования материалов // Прикл. механика. – 1997. – 33, № 2. – С. 41–48.
4. Сенченков И.К. Термомеханическая модель растущих цилиндрических тел из физически нелинейных
материалов // Там же. – 2005. – 41, № 9. – С. 118–126.
5. Leblond J. B., Mottet G., Devaux J. C. A theoretical and numerical approach to the plastic behavior of
steel during phase transformation. – I. Derivation of general relations // J. Mech. Phys. Solids. – 1986. –
34, No 4. – P. 395–409.
6. Юрьев С.Ф. Удельные объемы фаз в мартенситном превращении аустенита. – Москва: Металлург-
издат, 1950. – 48 с.
7. Попов А.А., Попова Л. Е. Справочник термиста. Изотермические и термокинетические диараммы
распада переохлажденного аустенита. – Москва: ГНТИ Машиностр. лит., 1961. – 430 с.
8. Махненко В.И., Великоиваненко Е.А., Кравцов Т. Г., Севрюков В.В. Численное исследование термо-
механических процессов при наплавке валов судовых механизмов и устройств // Автомат. сварка. –
2001. – № 1. – С. 3–10.
Надiйшло до редакцiї 05.09.2006Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Миколаївський державний унiверситет
УДК 532.528
© 2007
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Нестационарное вдавливание затупленного жесткого
тела в поверхность упругого слоя
The nonstationary indentation for a blunted rigid body affecting the elastic layer is studied.
The general problem formulation includes different boundary conditions on the free surface and
contact region. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can serve
as a rateable one for a later period is solved exactly.
Нестационарная контактная задача теории упругости достаточно интенсивно развивается
в последние два — три десятилетия благодаря практической актуальности, присущим осо-
бенностям физического процесса и интересным особенностям поиска решений соответству-
ющих краевых задач. Современное состояние вопроса освещено в работах [1, 2, 5]. В об-
щем случае современная задача удара тела об упругую среду или элемент конструкции
формулируется как нестационарная смешанная начально-краевая задача теории упругости
с неизвестной изменяющейся во времени границей. Последняя определяется в ходе реше-
ния задачи. Постановка задачи включает уравнения упругого деформирования ударяемого
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Рис. 1
тела; уравнение движения ударника; соотношение, представляющее силу ударного взаи-
модействия ударника и упругого тела как функцию неизвестной области контакта; урав-
нение, связывающее величину области контакта с перемещением (прониканием) ударника;
соответствующие граничные и начальные условия. В общем случае задача является связан-
ной с нечетким заданием входных параметров, что предопределяет известные трудности ее
решения.
В данной работе представлено решение задачи об ударе жестким телом о поверхность
упругого слоя с целью исследовать влияние многократных отражений волн на деформи-
рование слоя с учетом распространения волновых возмущений как в поперечном, так и
в продольном направлениях. Рассматривается плоская задача, т. е. фактически предпола-
гается, что ударяющее тело является длинным цилиндром, взаимодействующим со слоем
своей боковой поверхностью. Предполагается также, что скорость проникания жесткого
тела задана, т. е. в рамках данной работы фактически рассматривается задача нестацио-
нарного вдавливания индентора в слой.
1. Жесткое тупое тело (ударник) в момент времени t = 0 достигает поверхности упру-
гого слоя z = 0 и начинает внедряться в него. Вектор скорости ударника перпендикулярен
поверхности слоя, его начальная скорость в момент касания равна V0, закон изменения
скорости в последующие моменты времени известен и задан функцией V0(t). Предполага-
ется, что скорость проникания значительно меньше скорости упругих волн в слое, глубины
проникания незначительны, контур ударника является достаточно гладкой плавно изме-
няющейся кривой. Это позволяет формулировать линейную задачу теории упругости, при
этом граничные условия задаются на невозмущенной поверхности слоя.
Для общности формулировки задачи введем безразмерные обозначения
x =
x
R
; z =
z
R
; uj =
uj
R
; t =
c0t
R
; w0 =
w0
R
; M =
M
γR2
; σjk =
σjk
K
;
c0 =
√
K
γ
; α =
cp
c0
; β =
cs
c0
; b =
β
α
; V 0 =
V0
c0
; j, k = x, z,
причем ниже черта над обозначениями будет опущена. Здесь R — характерный линей-
ный размер ударника; cp, cs — соответственно скорости распространения волн расширения
и волн сдвига в слое [8]; γ — плотность материала слоя; K — его модуль всестороннего
сжатия; σjk — компоненты напряженного состояния; w0 — перемещение ударника, отсчи-
тываемое от невозмущенной поверхности слоя; V0 — cкорость его движения; M — масса.
Отнесем упругий слой толщины h к декартовым координатам x, z: ось абсцисс направ-
лена вдоль свободной поверхности, ось ординат — вглубь слоя (рис. 1).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 59
Поведение упругой среды описывается волновыми потенциалами Φ и Ψ, которые в слу-
чае плоской задачи удовлетворяют волновым уравнениям [3, 8]
∂2Φ
∂x2
+
∂2Φ
∂z2
− 1
α2
∂2Φ
∂t2
= 0,
∂2Ψ
∂x2
+
∂2Ψ
∂z2
− 1
β2
∂2Ψ
∂t2
= 0 (1)
и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями
ux =
∂Φ
∂x
+
∂Ψ
∂z
, uz =
∂Φ
∂z
− ∂Ψ
∂x
;
σxz = β2
(
2
∂2Φ
∂x∂z
+
∂2Ψ
∂z2
− ∂2Ψ
∂x2
)
, σzz = (1 − 2b2)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂z2
− ∂2Ψ
∂x∂z
)
.
(2)
Обозначим через x∗(t) переменную абсциссу границы области контакта тела с ударником.
Граничные условия будут следующие:
в области контакта
uz
∣∣
z=0
= w0(t), |x| < |x∗|, (3)
вне области контакта
σzz
∣∣
z=0
= 0, |x| > |x∗|, (4)
всюду
σxz
∣∣
z=0
= 0, |x| > 0. (5)
Кроме того, необходимо, чтобы в области контакта напряжение σzz было сжимающим:
σzz
∣∣
z=0
> 0, |x| < |x∗|. Условия на тыльной стороне слоя при z = h сформулируем ана-
логично
uz
∣∣
z=h
= 0, σxz
∣∣
z=h
= 0. (6)
Начальные условия для волновых потенциалов нулевые. Граница области контакта опре-
деляется точками пересечения контура проникающего тела и недеформированной поверх-
ности плиты (плоскости z = 0); если поверхность движущегося тела задать в пространстве
переменных z, x, t уравнением z = F (t, x), то указанные точки x∗(t) есть корни уравнения
F (t, x) = 0. (7)
Наконец, условие (3) можно переписать в более удобном для решения виде, если продиф-
ференцировать его по времени
∂uz
∂t
∣∣∣∣
z=0
= V0(t), |x| < |x∗|, (8)
где в данном случае V0(t) — известная скорость проникания (вдавливания) тела в слой.
Соотношения (1), (2), (4)–(8) составляют формулировку начально-краевой задачи взаимо-
действия индентора и упругого слоя с изменяющейся во времени границей при заданной
скорости проникания.
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
2. Способ решения сформулированной смешанной начально-краевой задачи изложен
в [7], где указанная задача сведена к решению бесконечной системы интегральных урав-
нений Вольтерра 2-го рода. Эта система может быть решена численно путем ее усечения
и применения соответствующих квадратур для дискретизации интегральных операторов
свертки, формирующих интегральные уравнения. Существует также возможность эффек-
тивного решения данной задачи на начальной стадии взаимодействия, для которой мож-
но сформулировать несмешанную задачу, так что числовые результаты будут достаточно
правдоподобны [5–7]. Несмешанная краевая задача получается, если на всей лицевой по-
верхности плиты z = 0 вместо условий (3), (4) задать нормальную скорость
∂uz
∂t
∣∣∣∣
z=0
= H(x∗ − x)V0(t). (9)
Здесь H(x) — единичная функция Хевисайда. Таким образом, в данной формулировке ско-
рость деформирования лицевой поверхности плиты вне области контакта равна нулю.
Соотношения (1)–(2), (5)–(7), (9) составляют постановку так называемой “сверхзвуко-
вой” задачи. Для ее решения применим интегральное преобразование Лапласа по времени
с параметром s и интегральное преобразование Фурье с параметром ξ. Изображение по Ла-
пласу будем обозначать верхним индексом L, изображение по Фурье — верхним индексом F .
В результате применения интегральных преобразований с учетом начальных условий по-
лучим в пространстве изображений волновые уравнения
∂2ΦLF
∂z2
−
(
s2
α2
+ ξ2
)
∂2ΦLF
∂t2
= 0,
∂2ΨLF
∂z2
−
(
s2
β2
+ ξ2
)
∂2ΨLF
∂t2
= 0 (10)
и граничные условия
suLF
z
∣∣
z=0
=
1
s
V LF
0 (s, ξ); σLF
xz
∣∣
z=0
= 0; uLF
z
∣∣
z=h
= 0; σLF
xz
∣∣
z=h
= 0. (11)
Общее решение уравнений (10) имеет вид
ΦLF = A(s, ξ)e−(z/α)P + Ã(s, ξ)e(z/α)P , ΨLF = B(s, ξ)e−(z/β)S + B̃(s, ξ)e(z/β)S , (12)
где
P =
√
s2 + α2ξ2
α
, S =
√
s2 + β2ξ2
β
.
Здесь A(s, ξ), Ã(s, ξ), B(s, ξ), B̃(s, ξ) — функции, подлежащие определению. Из гранич-
ных условий (11) получим следующее выражение для изображения нормального напряже-
ния σLF
zz :
σLF
zz = −αV LF
0 (s, ξ){T (s, ξ)}, (13)
T (s, ξ) =
(s2 + 2β2ξ2)2
s3
√
s2 + α2ξ2
(
∞∑
m=0
e−
2mh+z
α
√
s2+α2ξ2
+
∞∑
m=0
e−
2(m+1)h−z
α
√
s2+α2ξ2
)
−
− 4β3ξ2
√
s2 + β2ξ2
αs3
(
∞∑
m=0
e
−
2mh+z
β
√
s2+β2ξ2
+
∞∑
m=0
e
−
[(2m+1)h−z]
β
√
s2+β2ξ2
)
. (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 61
При получении соотношений (14) использовались степенные разложения вида (1−e−2Ph)−1 =
= 1 +
∞∑
m=1
e−2mhP .
Для дальнейшего необходимо конкретизировать функцию V0(t, x). Примем, что лобо-
вая поверхность индентора в плоскости Ozx является параболической, а скорость вдав-
ливания — постоянной и равной некоторому значению V0. Тогда, как нетрудно убедиться,
функция V0(t, x) будет иметь вид
V0(t, x) = V0H(kt − x2), k = 2V0,
V LF (s, ξ) = V0
√
k
2
1
s3/2
e−ξ2k/(4s).
(15)
Таким образом, задача теперь состоит в обращении выражения (13), в котором функции
T (s, ξ) и V LF (s, ξ) имеют вид (14) и (15).
3. Ограничимся определением напряжения σzz в толще слоя вдоль оси z, справедливо
полагая это напряжение наиболее информативным. Выполним обращение преобразования
Фурье на оси z, т. е. в операторе преобразования Фурье [4], положим x = 0, так что
σL
zz(s, z, x = 0) = −αV0
√
k
π
1
s3/2
∞∫
0
e−ξ2k/(4s)T (s, ξ) dξ. (16)
Введем замену переменного в подынтегральной функции sη = ξ, предполагая s вещест-
венным положительным; получим
σL
zz = −V0α
√
k
π
{
1√
s
∞∑
m=0
[ ∞∫
0
e
−s
(
η2k
4
+ 2mh+z
α
√
1+α2η2
)
(1 + 2β2η2)2√
1 + α2η2
dη +
+
∞∫
0
e
−s
(
η2k
4
+
(2m+1)h−z
α
√
1+α2η2
)
(1 + 2β2η2)2√
1 + α2η2
dη
]
−
− 1√
s
∞∑
m=0
[ ∞∫
0
e
−s
(
η2k
4
+ 2mh+z
β
√
1+β2η2
)
4β3η2
√
1 + β2η2
α
dη +
+
∞∫
0
e
−s
(
η2k
4
+ (2m+1)h−z
β
√
1+β2η2
)
4β3η2
√
1 + β2η2
α
dη
]}
. (17)
Введем следующие обозначения:
Zmmα =
2mh + z
α
, Zmpα =
(2m + 1)h − z
α
,
Zmmβ =
2mh + z
β
, Zmpβ =
(2m + 1)h − z
β
,
и сделаем замену переменного η2k/4 + Zmnα
√
1 + α2η2 = t — в 1-й сумме (n ≡ m в 1-м
интеграле, n ≡ p во 2-м); η2k/4+Zmnβ
√
1 + β2η2 = t — во 2-й сумме (n ≡ m в 1-м интеграле,
n ≡ p во 2-м). Обозначим также
Rmmα(t, z) =
√
4α2kt + 4Z2
mmαα4 + k2,
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
Tmmα(t, z) = kt + 2Z2
mmαα2 − Zmmα
√
4α2kt + 4Z2
mmαα4 + k2,
Rmpα(t, z) =
√
4α2kt + 4Z2
mpαα4 + k2,
Tmpα(t, z) = kt + 2Z2
mpαα2 − Zmpα
√
4α2kt + 4Z2
mpαα4 + k2,
Rmmβ(t, z) =
√
4β2kt + 4Z2
mmββ4 + k2,
Tmmβ(t, z) = kt + 2Z2
mmββ2 − Zmmβ
√
4β2kt + 4Z2
mmββ4 + k2,
Rmpβ(t, z) =
√
4β2kt + 4Z2
mpββ4 + k2,
Tmpβ(t, z) = kt + 2Z2
mpββ2 − Zmpβ
√
4β2kt + 4Z2
mpββ4 + k2.
Тогда выражение (17) примет вид
σL
zz = −V0α
√
k
π
1√
s
∞∑
m=0
∞∫
0
e−st
{
Fmmα(t, z) + Fmpα(t, z) − 16β3
αk2
Gmmβ(t, z) −
− 16β3
αk2
Gmpβ(t, z)
}
dt, (18)
где
Fmmα(t, z) =
H(t − Zmmα)
(
1 + 2β2 4
k2
Tmmα(t, z)
)2
√
1 + α2
4
k2
Tmmα(t, z)
(
1 − 2Zmmαα2
Rmmα(t, z)
)
√
Tmmα(t, z)
,
Gmmβ(t, z) = H(t − Zmmβ)
√
Tmmβ(t, z)
√
1 + β2
4
k2
Tmmβ(t, z)
(
1 − 2Zmmββ2
Rmmβ(t, z)
)
,
Fmpα(t, z) =
H(t − Zmpα)
(
1 + 2β2 4
k2
Tmpα(t, z)
)2
√
1 + α2
4
k2
Tmpα(t, z)
(
1 − 2Zmpαα2
Rmpα(t, z)
)
√
Tmpα(t, z)
,
Gmpβ(t, z) = H(t − Zmpβ)
√
Tmpβ(t, z)
√
1 + β2
4
k2
Tmpβ(t, z)
(
1 − 2Zmpββ2
Rmpβ(t, z)
)
.
Нетрудно заметить, что интеграл, стоящий под знаком суммы в выражении (18), есть не
что иное, как оператор преобразования Лапласа. Таким образом, подынтегральная функ-
ция — оригинал. Тогда, если принять во внимание, что функция 1/
√
s имеет оригинал вида
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 63
1/
√
πt [4] и применить теорему о свертке оригиналов, окончательно получим следующее
выражение для нормального напряжения σzz:
σzz = −V0α
√
k
π
{
∞∑
m=0
t∫
Zmmα
1√
t − τ
Fmmα(τ, z)dτ +
∞∑
m=0
t∫
Zmpα
1√
t − τ
Fmpα(τ, z)dτ −
− 16β3
αk2
∞∑
m=0
t∫
Zmmβ
1√
t − τ
Gmmβ(τ, z)dτ − 16β3
αk2
∞∑
m=0
t∫
Zmpβ
1√
t − τ
Gmpβ(τ, z)dτ
}
. (19)
Формула (19) является точным выражением нормального напряжения σzz(t, z) в произволь-
ной точке слоя, лежащей на оси z. Оно представлено в виде четырех бесконечных сумм.
Каждый m-й член первой (второй) суммы представляет собой m-ю волну расширения, отра-
женную от лицевой (тыльной) поверхности слоя; каждый m-й член третьей(четвертой) сум-
мы представляет собой m-ю волну искажения, отраженную от лицевой (тыльной) поверх-
ности слоя. Удерживая в упомянутых суммах конечное число членов N , получим в точке z
точное значение напряжения с учетом N отражений, справедливое на интервале времени,
определяемом неравенствами z/α < t < (2Nh + z)/α.
4. Вычисление нормального напряжения выполнялось численно на основе известного
незамкнутого метода Ромберга, используемого для вычисления определенных интегралов
с особенностью в конечной точке интервала интегрирования. Приведенные ниже резуль-
таты расчетов были выполнены для заданной постоянной скорости проникания тела с па-
раболической фронтальной частью V0 = 0,01 и толщины слоя h = 0,2 (в безразмерных
обозначениях)при следующих значениях упругих параметров: α = 1,1, β = 0,3.
На рис. 2, a изображены графики развития напряжения в трех характерных точках
по толщине слоя: на лицевой поверхности (z = 0), на срединной линии (z = h/2) и на
тыльной поверхности (z = h). Отчетливо видны скачки напряжения в моменты прихода
волны расширения. Скачок нормального напряжения σzz(t, 0, 0) при t = 0 на лицевой по-
верхности слоя имеет следующее значение: σzz(0, 0, 0) = V0(0)
√
1 +
4
3
µ
K
. В середине слоя
имеет место удвоенное количество упомянутых скачков, которое обусловлено тем обстоя-
тельством, что в данную точку приходят поочередно волны, отраженные как от лицевой,
так и от тыльной поверхности. Падение напряжения между скачками практически не на-
блюдается, в целом имеет место рост напряжения со временем во всех точках на оси z
слоя, причем интенсивность роста увеличивается. Обратим внимание на скачки напряже-
ния на тыльной поверхности: их величина больше, чем в точке z = h/2; это обусловле-
но удвоением напряжения вследствие выбранных граничных условий (6) на тыльной гра-
ни. Рис. 2, б представляет распределение напряжения σzz по толщине слоя в различные
моменты времени t = 0,05; 0,10; 0,15; 0,20. На рисунке движение волнового возмущения
происходит слева направо, т. е. в рамках временного промежутка, в течение которого суще-
ствуют лишь прямые волны. Из рисунка видно, что рассматриваемое ударное воздействие
обусловливает появление скачков на фронте волны расширения, тогда как волна искаже-
ния приводит к образованию излома на графике нормального напряжения. Пунктирная
линия проведена через излом на каждом из графиков, который и является фронтом волны
искажения.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №4
1. Механика контактных взаимодействий / Под ред. И.И. Воровича, В.М. Александрова. – Москва:
Физматгиз, 2001. – 670 с.
2. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. –
Москва: Наука, Физматгиз, 1995. – 352 с.
3. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
ГИФМЛ, 1961. – 524 с.
5. Кубенко В.Д. Удар затупленных тел о поверхность жидкости или упругой среды // Прикл. мех. –
2004. – 40, № 11. – С. 3–44.
6. Кубенко В.Д., Марченко Т.А. Осесимметричная задача соударения двух одинаковых тел враще-
ния // Там же. – № 7. – С. 70–80.
7. Кубенко В.Д., Марченко Т.А., Старовойтов Э.И. Об определении напряженого состояния плоского
упругого слоя при ударе тупым жестким телом о его поверхность // Доп. НАН України. – 2006. –
№ 8. – С. 47–56.
8. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – Москва: ГИФМЛ, 1961. – 220 с.
Поступило в редакцию 20.07.2006Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
П.С. Ковальчук, Л.А. Крук
Анализ нелинейного взаимодействия изгибных форм
композитных цилиндрических оболочек, заполненных
жидкостью
(Представлено академиком НАН Украины В.Д. Кубенко)
The problem of the particularities of a multimode nonlinear deformation of the orthotropic
cylindrical shells filled by a liquid on their free vibrations is considered. The main attention is
paid to the analysis of the interaction of different forms (the modes) of a carrying shell on the
realization of internal resonances.
Проблеме нелинейных колебаний тонких цилиндрических оболочек с учетом взаимодейст-
вия различных изгибных форм посвящены работы [1, 2 и др.]. В [3, 4] исследованы особен-
ности влияния жидкостного заполнителя (частичное заполнение) на процессы динамичес-
кого взаимодействия форм несущих оболочек.
В данной работе рассматривается задача о многомодовых нелинейных колебаниях ком-
позитных цилиндрических оболочек (ортотропная модель), полностью заполненных жид-
костью. Главное внимание уделяется изучению специфики взаимодействия в условиях ре-
зонансов сопряженных и несопряженных изгибных форм этих оболочек при свободных ко-
лебаниях совокупной системы оболочка — жидкость.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №4 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1775 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:17:58Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кубенко, В.Д. 2008-09-02T17:20:45Z 2008-09-02T17:20:45Z 2007 Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя / В.Д. Кубенко // Доп. НАН України. — 2007. — N 4. — С. 58-65. — Библиогр.: 8 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1775 532.528 The nonstationary indentation for a blunted rigid body affecting the elastic layer is studied. The general problem formulation includes different boundary conditions on the free surface and contact region. A simplified nonmixed problem that is valid during early times and can serve as a rateable one for a later period is solved exactly. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя Article published earlier |
| spellingShingle | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя Кубенко, В.Д. Механіка |
| title | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_full | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_fullStr | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_full_unstemmed | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_short | Нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| title_sort | нестационарное вдавливание затупленного жесткого тела в поверхность упругого слоя |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1775 |
| work_keys_str_mv | AT kubenkovd nestacionarnoevdavlivaniezatuplennogožestkogotelavpoverhnostʹuprugogosloâ |