Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности
The problem of three-dimensional stationary convection in the liquid phase is investigated. A method of studying this problem by means of the expansion in a small Reynolds number is proposed. In this case, the zero and first expansion terms are defined by the Ritz method. A formula of the dependence...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1778 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 23–27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860079237312020480 |
|---|---|
| author | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| author_facet | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. |
| citation_txt | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 23–27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The problem of three-dimensional stationary convection in the liquid phase is investigated. A method of studying this problem by means of the expansion in a small Reynolds number is proposed. In this case, the zero and first expansion terms are defined by the Ritz method. A formula of the dependence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:15:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Сейфуллин Т. Р. Корневые функционалы и корневые полиномы системы полиномов // Доп. НАН
України. – 1995. – № 5. – С. 5–8.
2. Seifullin T.R. Extension of bounded root functionals of a system of polynomial equations // Там же. –
2002. – No 7. – С. 35–42.
Поступило в редакцию 16.02.2007Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
УДК 517.988
© 2007
Член-корреспондент НАН Украины А.И. Шевченко, А. С. Миненко
Приближенный анализ одной пространственной,
конвективной задачи теплопроводности
The problem of three-dimensional stationary convection in the liquid phase is investigated.
A method of studying this problem by means of the expansion in a small Reynolds number
is proposed. In this case, the zero and first expansion terms are defined by the Ritz method.
A formula of the dependence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained.
1. Постановка задачи. Пусть Ω — заданная область в R3, граница которой состоит из
двух связных компонент Γ+ и Γ−, причем замкнутая поверхность Γ+ ограничивает непус-
тую область, замыкание которой лежит внутри ограниченной области, границей которой
является Γ−. Поверхности Γ
+
− предполагаются принадлежащими классу C3+α и не имею-
щими самопересечений. Задача Стефана при наличии конвективных движений в жидкой
фазе состоит в нахождении скорости жидкости ~V (x)) = (V1(x), V2(x), V3(x)), давления p(x),
распределения температур u±(x) и свободной поверхности Γ по следующим условиям:
λ(~V ∇)u+(x) = κ∇2u+(x), x ∈ Ω+, ∇2u−(x) = 0, x ∈ Ω−, (1)
(~V ∇)~V (x) + ∇p(x) =
1
Re
∇2~V (x) + ~f(u+), x ∈ Ω+, div ~V (x) = 0, x ∈ Ω−, (2)
~V |x∈Γ∪Γ+ = 0, (3)
u±(x)|x∈Γ± = B±(x), (4)
u+ = u− = 1, x ∈ Γ, (5)
∂u−
∂~n
∣∣∣∣
Γ
− κ
∂u+
∂~n
∣∣∣∣
Γ
= 0, (6)
где x = (x1, x2, x3); Ω± — области жидкой и твердой фазы, на которые разбивает область Ω
свободная граница раздела фаз Γ, причем ∂Ω± = Γ
⋃
Γ±, т. е. Γ лежит между Γ+ и Γ−,
ограничивая область, содержащую Γ+, и Γ предполагается не имеющая самопересечений
и лежащая внутри области Ω; ~n — единичная нормаль к Γ, направленная в сторону Ω+;
B±(x) — заданные функции на Γ±, принадлежащие классу C3+α(Γ±) и удовлетворяющие
условию ±(B±(x)−1)|x∈Γ+ > ε0 > 0. В задаче (1)–(6) параметры κ, Re, λ, ε0 предполагаются
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 23
положительными постоянными, ∇ = (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3), ~f(u) — принадлежащей классу
C2(R1), ~f ′(u) — ограниченной в R1. Укажем, что при малых числах Рейнольдса задача (1)–
(6) разрешима в классе гладких функций, при этом u± ∈ C3+α(Ω±), ~V (x) ∈ C1+α(Ω±),
а граница Γ принадлежит классу C3+α [1]. Заметим также, что замена ũ+(x) = κu+(x) при
x ∈ Ω+ и ũ−(x) = u−(x) + κ − 1 при x ∈ Ω+ позволяет условие (6) представить в виде
∂ũ−/∂~n — ∂ũ+/∂~n = 0 на Γ. В дальнейшем будем пользоваться такой записью условия (6).
Настоящая работа посвящена приближенному анализу задачи (1)–(6), в основу которого
положено разложение решения в ряд, по степеням малых чисел Рейнольдса Re, при этом
исследуется влияние конвекции на фронт кристаллизации.
Ранее метод Ритца использовался при исследовании задач типа Стефана в теплофизи-
ке [2, 3], а затем в гидродинамике — для задач типа Бернулли [4].
2. Разложение решения в ряд по степеням малого параметра Re. Пусть Ω+
0 —
области, на которые разбивает Ω граница раздела фаз Γ0. Для точек поверхности введем
координаты ω = (ω1, ω2), через x(ω) ∈ Γ0 или через ω будем обозначать также соответству-
ющие точки в R3. Пусть ~n0(ω) — нормаль к Γ0, направленная внутрь Ω+
0 . Известно, что
свободная граница Γ представима в виде Γ = {x = x(ω)+~n0(ω)ρ(ω)} с некоторой функцией
ρ(ω) класса C3+α(Γ0) [1].
Предположим, что неизвестные нашей задачи можно представить в виде степенного
ряда
u±(x; Re) =
∞∑
κ=0
(Re)κu±
κ (x), Vi(x; Re) =
∞∑
κ=0
(Re)κViκ(x), p(x; Re) =
∞∑
κ=0
(Re)κpκ(x), (7)
i = 1, 2, 3 и будем считать, что
ρ(ω; Re) =
∞∑
κ=1
(Re)κρκ(ω). (8)
Подставляя эти разложения в соотношения (1)–(6), получаем бесконечное число задач.
Выпишем вначале нулевое приближение. Прежде всего, заметим, что из условий (2) и (3)
следует ~V0 = (V10, V20, V30) ≡ 0 в Ω+
0 . Выпишем теперь условия, определяющие u±
0 :
∇2u±
0 (x) = 0, x ∈ Ω±
0 , u0(x)|Γ± = B±(x), u±
0 |Γ0
= 1,
∂u−
0
∂~n0
|Γ0
−
∂u+
0
∂~n0
|Γ0
= 0.
(9)
Итак, на Γ0 будут выполняться два условия: u+
0 = u−
0 = 1, |∇u+
0 | = |∇u−
0 |. Поэтому можно
построить функцию u0(x) по формуле
u0(x) =
{
u+
0 (x), x ∈ Ω+
0 ,
u−
0 (x), x ∈ Ω−
0 ,
(10)
которая является решением следующей задачи:
∇2u0 = 0, x ∈ Ω; u0|Γ± = B±(x). (11)
Следовательно, Γ0 есть поверхность уровня гармонической в Ω функции u0(x), т. е.
Γ0 = {x ∈ Ω: u0(x) = 1}.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
3. Первое приближение. Выпишем теперь ту краевую задачу, которая отвечает мно-
жителю Re в первой степени. Из условий (1)–(6) и из разложений (7), (8) для функций
~V1(x) = (V11(x), V21(x), V31(x)), u±
1 (x) и ρ1(ω) вытекает следующая задача:
∇p0(x) = ∇2~V1(x) + ~f(u+
0 ), div ~V1(x) = 0, x ∈ Ω+
0 ; ~V1(x)|
∂Ω
+
0
= 0, (12)
λ(~V1∇)u+
0 (x) = ∇2u+
1 (x), x ∈ Ω+
0 , ∇2u−
1 (x) = 0, x ∈ Ω−
0 , u±
1 (x)|Γ± = 0, (13)
[|∇u0(x(ω))|ρ1(ω) + u1(x(ω))]|Γ0
= 0. (14)
Далее, если предположить, что поверхность Γ0 не имеет особых точек, тогда в каждой
точке ω = (ω1, ω2) ∈ Γ0 хотя бы один из определителей второго порядка функциональной
матрицы A = (∂xi/∂ωk), xi = xi(ω1, ω2), i = 1, 2, 3; κ = 1, 2 всегда отличен от нуля. Пусть
для определенности это будет определитель
∆ =
∂x1
∂ω1
·
∂x2
∂ω2
−
∂x2
∂ω1
·
∂x1
∂ω2
6= 0
в некоторой точке ω∗ = (ω∗
1 , ω
∗
2) ∈ Γ0. Тогда Γ0 в окрестности этой точки допускает явное
задание z = z(x1, x2; Re) и, аналогично (8), имеем z(x1, x2; Re) =
∞∑
κ=0
(Re)κzκ(x1, x2). Теперь
из условия Стефана (6) следует, что в окрестности точки x(ω∗) ∈ Γ0 должно выполняться
условие
z1(x1, x2)
[(
∂u−
0
∂x1
·
∂2u−
0
∂x1∂x3
+
∂u−
0
∂x2
·
∂2u−
0
∂x2∂x3
+
∂u−
0
∂x3
·
∂2u−
0
∂x2
3
)
−
−
(
∂u+
0
∂x1
·
∂2u+
0
∂x1∂x3
+
∂u+
0
∂x2
·
∂2u+
0
∂x2∂x3
+
∂u+
0
∂x3
·
∂2u+
0
∂x2
3
)]
+
+
[(
∂u−
0
∂x1
·
∂u−
1
∂x1
+
∂u−
0
∂x2
·
∂u−
1
∂x2
+
∂u−
0
∂x3
·
∂u−
1
∂x3
)
−
−
(
∂u+
0
∂x1
·
∂u+
1
∂x1
+
∂u+
0
∂x2
·
∂u+
1
∂x2
+
∂u+
0
∂x3
·
∂u+
1
∂x3
)]
= 0. (15)
Задача (12)–(14), во-первых, линейна, во-вторых, ее нужно решать в известных облас-
тях Ω±
0 . После того как функции u±
0 (x) и ~V1(x) определены соответственно в областях Ω±
0
и Ω+
0 , из соотношений (13), (14) находим функции u±
1 (x), заданные в тех же областях Ω±
0
и ρ1(ω(x)). Далее справедливы равенства
u+
1 = u−
1 ,
∂u+
1
∂x1
=
∂u−
1
∂x1
,
∂u+
1
∂x2
=
∂u−
1
∂x2
,
∂u+
1
∂x3
=
∂u−
1
∂x3
, x ∈ Γ0. (16)
Таким образом, теперь можно построить функцию u1(x) по формуле
u1(x) =
{
u+
1
(x), x ∈ Ω+
0
,
u−
1 (x), x ∈ Ω−
0 ,
(17)
которая является решением следующей задачи:
∇2u1(x) = F (x), x ∈ Ω; u1(x)|Γ± = 0, (18)
где F (x) = λ(~V1∇)u+
0 при x ∈ Ω+
0 и F (x) ≡ 0 при x ∈ Ω−
0 . Итак, доказана лемма.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 25
Лемма. Пусть функции u0(x) и u1(x) являются решениями соответственно задач
(11) и (18). Тогда приближения u±
0 (x) и u±
1 (x) можно задать формулами (10) и (17).
При этом Γ0 представляет собой поверхность класса C∞ (в предположении звездности
поверхностей Γ±), не имеющую самопересечений и расположенную относительно Γ+ и Γ−
аналогично поверхности Γ в задаче (1)–(6).
4. Второе приближение. Рассмотрим теперь второе приближение (~V2, u
±
2 , ρ2) зада-
чи (1)–(6) для малых чисел Рейнольдса. Имеем
(~V2∇)~V1 + ∇p1 = ∇2~V2 + ~f ′(u+
0 )u+
1 , div ~V2 = 0, x ∈ Ω+
0 ; ~V2|∂Ω
+
0
= 0,
λ(~V1∇)u+
1 + λ(~V2∇)u+
0 = ∇2u+
2 , x ∈ Ω+
0 ; ∇2u−
2 = 0, x ∈ Ω−
0 , u±
2 (x)|Γ± = 0;
[
|∇u0(x)|ρ2(ω) +
∂u1(x)
∂~n0
· ρ1(ω) +
1
2
d2u0
dt2
(x(ω) + t~n0(ω)ρ1(ω))|t=0 + u2(x)
]∣∣∣∣
Γ0
= 0.
(19)
Кроме того, в окрестности точки x(ω∗) ∈ Γ0 справедливо представление
(
∂u±
∂xκ
)2
∣∣∣∣
Γ
=
(
∂u±
0
∂xκ
)2
+ 2Re
[
z1(x1, x2)
∂u±
0
∂xκ
∂2u±
0
∂xκ∂x3
+
∂u±
0
∂xκ
∂u±
1
∂xκ
]
+
+ (Re)2
[
∂2u±
0
∂xκ∂x3
+
(
∂u±
1
∂xκ
)2
+ 2z2(x1, x2)
∂u±
0
∂xκ
∂2u±
0
∂xκ∂x3
+ 2z1(x1, x2)
∂u±
0
∂xκ
∂2u±
1
∂xκ∂x3
+
+ 2
∂u±
0
∂xκ
∂u±
2
∂xκ
+ 2z1(x1, x2)
∂u±
1
∂xκ
∂2u±
0
∂xκ∂x3
]
+ o((Re)2), κ = 1, 2, 3.
Отсюда, аналогично тому как это сделано в лемме для приближения u±
1 (x), следует, что
можно ввести в рассмотрение функцию u2(x) по формуле u2(x) = u+
2 (x) при x ∈ Ω+
0
и u2(x) = u−
2 (x) при x ∈ Ω−
0 . Таким образом, доказана теорема.
Теорема. Пусть функции u0(x), u1(x) и u2(x) — решения соответственно задач (11),
(18) и (19). Тогда при малых числах Рейнольдса справедлива формула
x = x(ω) − ~n0(ω)
Re u1(x(ω))
|∇u0(x(ω))|
−
(Re)2~n0(ω)
|∇u0(x(ω))|
[
ρ1(ω)
∂u1(x(ω))
∂~n0
+
1
2
d2u0
dt2
(x(ω) +
+ t~n0(ω)ρ1(ω))|t=0 + u2(x(ω))
]
+ 0((Re)2),
ρ1(ω) = −
u1(x(ω))
|∇u0(x(ω))|
, ω ∈ Γ0.
(20)
Формула (20) позволяет исследовать зависимость Γ от чисел Rе.
Замечание. Функции u0(x), u1(x) и u2(x), заданные в Ω, можно построить методом Рит-
ца, используя затем теоремы Харрик [5, 6] и рассуждения, предложенные в [7, с. 126], мож-
но доказать также сходимость соответствующих приближений Ритца к точным решениям
в W 1
2 (Ω) и C(Ω) [8].
1. Дегтярев С.П. Классическая разрешимость многомерной стационарной задачи Стефана с конвекци-
ей // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1986. – № 3. – С. 10–13.
2. Миненко А.С. Вариационные задачи со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. – 354 с.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №7
3. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной границей //
Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294.
4. Миненко А.С. Осесимметричное течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995. – 47,
№ 4. – С. 477–488.
5. Харик И.Ю. О проблеме аппроксимации функций, связанной с исследованием сходимости вариаци-
онных процессов // Докл. АН СССР. – 1951. – 81, № 2. – С. 157–160.
6. Харик И.Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого
вида // Мат. сб. – 1955. – 37, № 2. – С. 353–384.
7. Ильин В.П. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их применение к исследо-
ванию сходимости вариационных процессов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1959. – 53. – С. 64–127.
8. Миненко А.С. О минимизации одного интегрального функционала методом Ритца // Укр. мат.
журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1385–1394.
Поступило в редакцию 18.12.2006Институт проблем искусственного интеллекта
НАН Украины, Донецк
УДК 517.956.4
© 2007
О.В. Шиян
О динамике бегущих волн в системе уравнений
Ван-дер-Поля с малой диффузией
(Представлено академиком НАН Украины А.М. Самойленко)
The dynamics of traveling waves for a system of parabolic equations of the van-der-Pol type
with small diffusion on a circle with radius r is studied. The existence, interaction, asymptotic
form, and stability of these waves are analyzed. It is proved that the number of stable traveling
waves increases with the radius r, and it is shown that the interaction of the waves satisfies
the 1 : 2 principle.
Рассмотрим систему параболических уравнений ван-дер-полевского типа:
u̇ − v = δ(du∆u + duv∆v),
v̇ + u = 2δ(1 − u2)v + δ(dvu∆u + dv∆v)
(1)
с периодическими граничными условиями
u(t, x) = u(t, x + 2πr), v(t, x) = v(t, x + 2πr). (2)
Здесь точка означает дифференцирование по переменной t; 0 < δ ≪ 1 — коэффициент
трения; du, duv, dvu, dv — коэффициенты диффузии; ∆ — одномерный оператор Лапласа;
r > 0. Далее предполагается, что 4dudv > (duv + dvu)2. В этом случае система (1)–(2)
является системой параболических уравнений типа реакции-диффузии [1].
Система (1)–(2) является простейшей математической моделью автоволновой среды
и изучалась в ряде работ (см. [2–4] и цитированную в них литературу).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №7 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1778 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:15:38Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевченко, А.И. Миненко, А.С. 2008-09-02T17:22:19Z 2008-09-02T17:22:19Z 2007 Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности / А.И. Шевченко, А.С. Миненко // Доп. НАН України. — 2007. — N 7. — С. 23–27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1778 517.988 The problem of three-dimensional stationary convection in the liquid phase is investigated. A method of studying this problem by means of the expansion in a small Reynolds number is proposed. In this case, the zero and first expansion terms are defined by the Ritz method. A formula of the dependence of the free-boundary equation on the Reynolds number is obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности Article published earlier |
| spellingShingle | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности Шевченко, А.И. Миненко, А.С. Математика |
| title | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| title_full | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| title_fullStr | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| title_full_unstemmed | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| title_short | Приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| title_sort | приближенный анализ одной пространственной, конвективной задачи теплопроводности |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1778 |
| work_keys_str_mv | AT ševčenkoai približennyianalizodnoiprostranstvennoikonvektivnoizadačiteploprovodnosti AT minenkoas približennyianalizodnoiprostranstvennoikonvektivnoizadačiteploprovodnosti |