Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними
Одержано достатнi умови iснування перiодичних розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальнофункцiональних рiвнянь з частинними похiдними. Sufficient conditions for existence of periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functional equations are obtained....
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2005 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177882 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними / Н.І. Блащак // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 154-158. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859808856854495232 |
|---|---|
| author | Блащак, Н.І. |
| author_facet | Блащак, Н.І. |
| citation_txt | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними / Н.І. Блащак // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 154-158. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Одержано достатнi умови iснування перiодичних розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальнофункцiональних рiвнянь з частинними похiдними.
Sufficient conditions for existence of periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functional equations are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:18:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ
Н. I. Блащак
Тернопiл. техн. ун-т
Україна, 46001, Тернопiль, вул. Руська, 56
Sufficient conditions for existence of periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functio-
nal equations are obtained.
Одержано достатнi умови iснування перiодичних розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiально-
функцiональних рiвнянь з частинними похiдними.
Розглянемо систему нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
ut(t, x) + Λux(t, x) = Au(t, x) + f (t, x, u(t, x), u (q1t + h1, r1x + s1) , . . .
. . . , u (qkt + hk, rkx + sk)) , (1)
де Λ = diag (λ1, . . . , λn), A = diag (a1, . . . , an), λi, ai = const, i = 1, . . . , n, qj , rj , j =
= 1, . . . , k, — довiльнi цiлi числа (qj , rj 6= 0), hj , sj , j = 1, . . . , k, — довiльнi дiйснi числа,
t ∈ R, x ∈ R, f : R×R×R(k+1)n → Rn i u(t, x) — невiдома n-вимiрна вектор-функцiя.
Питання iснування неперервно диференцiйовних при t ∈ R, x ∈ R розв’язкiв окремих
класiв систем вигляду (1) вивчались у роботах багатьох математикiв (див., наприклад,
[1 – 3] i наведену в них бiблiографiю). Зокрема, в [1] одержано достатнi умови iснуван-
ня неперервно диференцiйовних обмежених при t ∈ R, x ∈ R розв’язкiв одного класу
систем рiвнянь вигляду (1). У данiй роботi цi дослiдження продовжуються, i основною її
метою є встановлення умов iснування неперервно диференцiйовних перiодичних розв’яз-
кiв системи (1).
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1)Re ai > 0, i = 1, . . . , p, Re aj < 0, j = p + 1, . . . , n;
2) вектор-функцiя f(t, x, u0, . . . , uk) є неперервною за всiма своїми змiнними, має непе-
рервнi i обмеженi частиннi похiднi по x, u0, . . . , uk при (t, x, u0, . . . , uk) ∈ R×R×R(k+1)n,
є T -перiодичною по t i X-перiодичною по x;
3) вектор-функцiя f(t, x, u0, . . . , uk) та її частиннi похiднi
∣∣∣∣∣ ∂i1+i2
∂xi1∂ui2
j
f(t, x, u0, . . . , uk)
∣∣∣∣∣ ,
i1 + i2 = 1, j = 0, . . . , k, задовольняють умови Лiпшиця з константою ` за аргументами
u0, . . . , uk.
Тодi при достатньо малому ` система рiвнянь (1) має неперервно диференцiйовний
при (t, x) ∈ R2 розв’язок, який є T -перiодичним по t i X-перiодичним по x.
Доведення. Оскiльки згiдно з [1] неперервно диференцiйовний перiодичний по t i x
c© Н. I. Блащак, 2005
154 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ПРО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 155
розв’язок W (t, x) системи рiвнянь вигляду
ui
(
t, x
)
=
+∞∫
−∞
n∑
j=1
Gij(t− τ)fj
(
τ, λj(τ − t)u(τ, λj(τ − t) + x),
u(q1τ + h1, r1(λj(τ − t) + x) + s1), . . .
. . . , u(qkτ + hk, rk(λj(τ − t) + x) + sk)
)
dτ, i = 1, . . . , n, (2)
де матрична функцiя G(t) = (Gij(t)) визначається спiввiдношеннями
G(t) =
{
−diag (eA1t, 0) при t < 0,
diag (0, eA2t) при t > 0,
причому A1 = diag (a1, . . . , ap), A2 = diag (ap+1, . . . , an), є також перiодичним розв’яз-
ком початкової системи диференцiально-функцiональних рiвнянь (1), то для доведення
теореми достатньо довести iснування такого розв’язку для системи (2).
Розв’язок системи (2) будемо будувати за допомогою методу послiдовних наближень,
якi визначимо формулами
u0
i (t, x) = 0,
um
i
(
t, x
)
=
+∞∫
−∞
n∑
j=1
Gij(t− τ)fj
(
τ, λj(τ − t) + x, um−1(τ, λj(τ − t) + x),
um−1(q1τ + h1, r1(λj(τ − t) + x) + s1), . . .
. . . , um−1(qkτ + hk, rk(λj(τ − t) + x) + sk)
)
dτ, (3)
i = 1, . . . , n, m = 1, 2, . . . .
Покажемо, що при всiх m ≥ 1, t ∈ R, x ∈ R виконуються оцiнки∣∣um
i (t, x)− um−1
i (t, x)
∣∣ ≤ Nθm−1, i = 1, . . . , n, (4)
де 0 < θ < 1.
Згiдно з умовою 2 теореми покладемо
sup |f(t, x, 0, . . . , 0)| = K при t ∈ R, x ∈ R, (5)
sup
∣∣∣∣∣∂i1+i2f(t, x, u0, . . . , uk)
∂xi1∂ui2
j
∣∣∣∣∣ ≤ ` при t ∈ R, x ∈ R, uj ∈ R, (6)
j = 0, . . . , k,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
156 Н. I. БЛАЩАК
де |f | = max
1≤i≤n
|fi|. Оскiльки для функцiї G(t) виконується оцiнка [1]
|G(t)| ≤ Le−α|t| при всiх t 6= 0, (7)
де L,α — додатнi сталi, то, враховуючи (3) i (5), одержуємо
|u1
i (t, x)− u0
i (t, x)| = |u1
i (t, x)| ≤
≤
+∞∫
−∞
max
i
n∑
j=1
|Gij(t− τ)||fj(τ, λj(τ − t) + x, 0, . . . , 0)|dτ ≤
≤ K
+∞∫
−∞
|G(t− τ)|dτ ≤ K
2L
α
, i = 1, . . . , n.
Отже, поклавши N = K
2L
α
, одержимо, що оцiнки (4) справджуються для m = 1.
Мiркуючи за iндукцiєю, припустимо, що оцiнки (4) мають мiсце для деякого m ≥ 1, i
покажемо, що вони не змiняться при переходi вiд m до m + 1. Справдi, на пiдставi (3), (7)
i умови 3 теореми маємо
|um+1
i (t, x)− um
i (t, x)| ≤
+∞∫
−∞
n∑
j=1
|Gij(t− τ)|`
k∑
p=0
|um(qpτ + hp, rp(λj(τ − t) + x) + sp)−
− um−1(qpτ + hp, rp(λj(τ − t) + x) + sp)|dτ ≤
≤ Nθm−1(k + 1)`
+∞∫
−∞
|G(t− τ)|dτ ≤
≤ Nθm−1 2L
α
(k + 1)`,
де q0 = r0 = 1, h0 = s0 = 0.
Оскiльки θ =
2L
α
(k + 1)` < 1 при достатньо малому `, то оцiнки (4) виконуються для
m + 1 i, отже, для всiх m ≥ 1.
Таким чином, всi наближення um
i (t, x), i = 1, . . . , n, m = 0, 1, . . . , мають сенс, є не-
перервними T -перiодичними по t i X-перiодичними по x функцiями (згiдно з (3)) i для
них справджуються оцiнки (4). Звiдси безпосередньо випливає, що послiдовнiсть вектор-
функцiй
um(t, x) = (um
1 (t, x), . . . , um
n (t, x)), m = 0, 1, . . . ,
рiвномiрно збiгається при t ∈ R, x ∈ R до деякої неперервної T -перiодичної по t, X-
перiодичної по x вектор-функцiї W (t, x) = (W1(t, x), . . . ,Wn(t, x)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
ПРО ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 157
Доведемо тепер, що знайденi функцiї Wi(t, x) мають неперервнi першi похiднi по t i
x. Зауважимо, що з умови 3 теореми випливає, що всi наближення, побудованi при дове-
деннi iснування розв’язку, мають неперервнi похiднi по t i x. Тому, диференцiюючи по t i
x спiввiдношення (2), одержуємо
∂um
i (t, x)
∂x
=
+∞∫
−∞
n∑
j=1
Gij(t− τ)
(
∂fj(τ, t, x)
∂x
+
k∑
p=0
rp
∂fj(τ, t, x)
∂up
×
× ∂um−1(qpτ + hp, rp(λj(τ − t) + x) + sp)
∂x
)
dτ, (8)
∂um
i (t, x)
∂t
= fi
(
t, x, um−1(t, x), um−1(q1t + h1, r1x + s1), . . .
. . . , um−1(qkt + hk, rkx + sk)
)
+aiu
m
i (t, x)+
+
+∞∫
−∞
n∑
j=1
Gij(t− τ)
(
−λj
∂fj(τ, t, x)
∂x
− λj
k∑
p=0
rp
∂fj(τ, t, x)
∂up
×
× ∂um−1(qpτ + hp, rp(λj(τ − t) + x) + sp)
∂x
)
dτ, (9)
де
(τ, t, x) =
(
τ, λj(τ − t) + x, um−1(τ, λj(τ − t) + x), um−1(q1τ+
+ h1, r1(λj(τ − t) + x) + s1), . . . , um−1(qkτ + hk, rk(λj(τ − t) + x) + sk)
)
.
Iз (8) i (9) видно, що для доведення iснування i неперервностi перших похiдних по t, x
достатньо довести, що послiдовностi
∂um
i (t, x)
∂x
, i = 1, . . . , n, m = 0, 1, . . . ,
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, x ∈ R.
Аналогiчно тому, як було доведено оцiнки (4), враховуючи (4) – (7), (8), можна пока-
зати, що при всiх m ≥ 1, t ∈ R, x ∈ R виконуються оцiнки∣∣∣∣∂um
i (t, x)
∂x
−
∂um−1
i (t, x)
∂x
∣∣∣∣ ≤ Ñ θ̃m−1, i = 1, . . . , n, (10)
де Ñ >
2L
α
` — достатньо велика додатна стала, а θ̃ — деяка додатна стала (залежить вiд
α, L, N, Ñ , K, `) така, що при достатньо малому ` виконується умова θ̃ < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
158 Н. I. БЛАЩАК
Iз (10) випливає, що послiдовностi
∂um
i (t, x)
∂x
, i = 1, . . . , n, m = 0, 1, . . . ,
рiвномiрно збiгаються при t ∈ R, x ∈ R до неперервних функцiй
∂Wi(t, x)
∂x
, i = 1, . . . , n.
Теорему доведено.
1. Блащак Н. I., Пелюх Г. П. Про обмеженi на R2 розв’язки одного класу систем нелiнiйних рiвнянь з
частинними похiдними i лiнiйними вiдхиленнями аргументiв // Iнтегральнi перетворення та їх застосу-
вання до крайових задач. — Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. — С. 29 – 33.
2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.
3. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся ар-
гументом // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. — Киев: Наук. думка, 1977.
— С. 221 – 247.
Одержано 29.04.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-177882 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:18:24Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Блащак, Н.І. 2021-02-17T06:49:25Z 2021-02-17T06:49:25Z 2005 Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними / Н.І. Блащак // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 154-158. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177882 517.9 Одержано достатнi умови iснування перiодичних розв’язкiв системи нелiнiйних диференцiальнофункцiональних рiвнянь з частинними похiдними. Sufficient conditions for existence of periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functional equations are obtained. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними О периодических решениях системы нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с частными производными On periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functional equations Article published earlier |
| spellingShingle | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними Блащак, Н.І. |
| title | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| title_alt | О периодических решениях системы нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с частными производными On periodic solutions of a system of nonlinear partial differential-functional equations |
| title_full | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| title_fullStr | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| title_full_unstemmed | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| title_short | Про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| title_sort | про періодичні розв'язки системи нелінійних диференціально-функціональних рівнянь з частинними похідними |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/177882 |
| work_keys_str_mv | AT blaŝakní properíodičnírozvâzkisisteminelíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzčastinnimipohídnimi AT blaŝakní operiodičeskihrešeniâhsistemynelineinyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniisčastnymiproizvodnymi AT blaŝakní onperiodicsolutionsofasystemofnonlinearpartialdifferentialfunctionalequations |