Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Одержано умови iснування неперервних i N-перiодичних (N — цiле додатне число) розв’язкiв систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом i дослiджено структуру множини таких розв’язкiв. For a natural N, we obtain conditions for existence of continuous and N-periodic solutions to system...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Нелінійні коливання
Дата:	2005
Автори:	Пелюх, Г.П., Богай, Н.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2005
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178005
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Г.П. Пелюх, Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 351-359. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178005
record_format	dspace
spelling	Пелюх, Г.П. Богай, Н.А. 2021-02-17T15:49:42Z 2021-02-17T15:49:42Z 2005 Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Г.П. Пелюх, Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 351-359. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178005 517.962.2 Одержано умови iснування неперервних i N-перiодичних (N — цiле додатне число) розв’язкiв систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом i дослiджено структуру множини таких розв’язкiв. For a natural N, we obtain conditions for existence of continuous and N-periodic solutions to systems of linear difference equations with continuous argument, and study the structure of the set of such solutions. Виконано при фiнансовiй пiдтримцi Державного фонду фундаментальних дослiджень при Мiнiстерствi України з питань науки i технологiй. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом A study of the structure of the set of continuous solutions to systems of linear difference equations with continuous argument Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
spellingShingle	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом Пелюх, Г.П. Богай, Н.А.
title_short	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_full	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_fullStr	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_full_unstemmed	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
title_sort	дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом
author	Пелюх, Г.П. Богай, Н.А.
author_facet	Пелюх, Г.П. Богай, Н.А.
publishDate	2005
language	Ukrainian
container_title	Нелінійні коливання
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Исследование структуры множества непрерывных решений систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом A study of the structure of the set of continuous solutions to systems of linear difference equations with continuous argument
description	Одержано умови iснування неперервних i N-перiодичних (N — цiле додатне число) розв’язкiв систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом i дослiджено структуру множини таких розв’язкiв. For a natural N, we obtain conditions for existence of continuous and N-periodic solutions to systems of linear difference equations with continuous argument, and study the structure of the set of such solutions.
issn	1562-3076
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178005
citation_txt	Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом / Г.П. Пелюх, Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 3. — С. 351-359. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT pelûhgp doslídžennâstrukturimnožinineperervnihrozvâzkívsistemlíníinihríznicevihrívnânʹzneperervnimargumentom AT bogaina doslídžennâstrukturimnožinineperervnihrozvâzkívsistemlíníinihríznicevihrívnânʹzneperervnimargumentom AT pelûhgp issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemlineinyhraznostnyhuravneniisnepreryvnymargumentom AT bogaina issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešeniisistemlineinyhraznostnyhuravneniisnepreryvnymargumentom AT pelûhgp astudyofthestructureofthesetofcontinuoussolutionstosystemsoflineardifferenceequationswithcontinuousargument AT bogaina astudyofthestructureofthesetofcontinuoussolutionstosystemsoflineardifferenceequationswithcontinuousargument
first_indexed	2025-11-25T20:37:30Z
last_indexed	2025-11-25T20:37:30Z
_version_	1850524505198297088
fulltext	УДК 517. 962.2 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ СИСТЕМ ЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ* Г. П. Пелюх, Н. А. Богай Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3 e-mail: grygor@imath.kiev.ua For a natural N , we obtain conditions for existence of continuous and N -periodic solutions to systems of linear difference equations with continuous argument, and study the structure of the set of such solutions. Одержано умови iснування неперервних i N -перiодичних (N — цiле додатне число) розв’язкiв систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом i дослiджено структуру множини таких розв’язкiв. Розглянемо систему лiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду x(t + 1) = k∑ i=0 Ai(t)x(t− i) + f(t), (1) де t ∈ R+ = [0,∞), Ai(t), i = 0, 1, . . . , k, — деякi дiйснi (n × n)-матрицi, F (t) : R+ → Rn, x(t) — невiдома вектор-функцiя розмiрностi n. При рiзних припущеннях щодо матриць Ai(t), i = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) такi системи рiвнянь були об’єктом дослiдження бага- тьох математикiв i на даний час ряд важливих питань їх теорiї достатньо добре вивчено (див. [1 – 5] i наведену в них бiблiографiю). До них вiдносяться також питання iснування неперервних i перiодичних розв’язкiв, якi особливо активно вивчаються в останнi роки. Зокрема, в [4, 5] побудовано загальний неперервний розв’язок системи рiвнянь (1) у ви- падку k = 0, F (t) = 0 i дослiджено його структуру. Вiдмiченi дослiдження природно при- вели до необхiдностi дослiдження питань iснування неперервних i N -перiодичних (N — цiле додатне число) розв’язкiв системи рiвнянь (1) у загальному випадку. Саме це i до- слiдження структури загального неперервного розв’язку системи (1) є основною метою даної роботи. Зауважимо, що пiд розв’язком системи рiвнянь (1) будемо розумiти вектор-функцiю x(t), що є однозначно визначеною при t ≥ −k i перетворює її в тотожнiсть при пiдста- новцi. 1. Неперервнi розв’язки. Дослiдимо спочатку питання про iснування неперервних при t ≥ −k розв’язкiв системи рiвнянь (1). При цьому будемо припускати виконаною умову 1) всi елементи матриць Ai(t), i = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є неперервними при t ≥ 0 функцiями. ∗ Виконано при фiнансовiй пiдтримцi Державного фонду фундаментальних дослiджень при Мiнiстерствi України з питань науки i технологiй. c© Г. П. Пелюх, Н. А. Богай, 2005 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 351 352 Г. П. ПЕЛЮХ, Н. А. БОГАЙ Оскiльки для довiльного дiйсного t ≥ 0 виконується спiввiдношення t−[t] = τ ∈ [0, 1), де [t] — цiла частина t, то, поклавши x(τ − i) = x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, (2) де x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, — довiльнi неперервнi при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiї, можна однозначно визначити розв’язок системи (1) при довiльному t ≥ 0. Справдi, безпосеред- ньо з (1) отримуємо x(τ + 1) = k∑ i=0 Ai(τ)x(τ − i) + F (τ) = k∑ i=0 A1 i (τ)x−i(τ − i) + F 1(τ), x(τ + 2) = k∑ i=0 Ai(τ + 1)x(τ + 1− i) + F (τ + 1) = = A0(τ + 1) [ k∑ i=0 A1 i (τ)x−i(τ − i) + F 1(τ) ] + + k−1∑ i=0 Ai+1(τ + 1)x−i(τ − i) + F (τ + 1) = k∑ i=0 A2 i (τ)x−i(τ − i) + F 2(τ), (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x(τ + [t]) = k∑ i=0 Ai(τ + [t]− 1)x(τ + [t]− 1− i) + F (τ + [t]− 1) = = k∑ i=0 A [t] i (τ)x−i(τ − i) + F [t](τ), де A1 i = Ai(τ), i = 0, 1, . . . , k, F 1(τ) = F (τ), A2 i (τ) = A0(τ + 1)A1 i (τ) + Ai+1(τ + 1), i = 0, 1, . . . , k, Ak+1(τ) = 0, F 2(τ) = A0(τ + 1)F 1(τ) + F (τ + 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ak+1 j (τ) = k−1∑ i=0 Ai(τ + k)Ak−i j (τ) + Ak+j(τ + k), j = 0, 1, . . . , k, Ai(τ) ≡ 0, i > k, F k+1(τ) = k−1∑ i=0 Ai(τ + k)F k−i(τ) + F (τ + k), (4) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 353 Am j (τ) = k∑ i=0 Ai(τ + m− 1)Am−1−i j (τ), j = 0, 1, . . . , k, Fm(τ) = k∑ i=0 Ai(τ + m− 1)Fm−1−i(τ) + F (τ + m− 1), m > k + 1. Таким чином, вектор-функцiя x(t), що однозначно визначається формулами (2), (3), за- довольняє систему рiвнянь (1), залежить вiд k + 1 довiльних неперервних при t ∈ [0, 1) вектор-функцiй x−i(t − i), i = 0, 1, . . . , k, i є, взагалi кажучи, кусково-неперервною (роз- риви можуть виникати в точках t = −k + 1,−k + 2, . . .). Зрозумiло, що так побудована вектор-функцiя x(t) буде неперервною при t ≥ −k лише у випадку, коли довiльнi вектор- функцiї x−i(τ−i), i = 0, 1, . . . , k, τ ∈ [0, 1), задовольняють деякi додатковi умови. Наприк- лад, якщо неперервнi при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiї x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, такi, що iснують границi lim τ→1−0 x−i(τ − i) = x1 −i 6= ±∞, i = 1, . . . , k, lim τ→1−0 x0(τ) = x1 0 6= ±∞, (5) i виконуються рiвностi x1 −i = x−i+1(−i + 1), i = 1, . . . , k, (6) x1 0 k∑ i=0 Ai(0)x−i(−i) + F (0), то легко переконатися, що вектор-функцiя x(t) = x (τ + [t]) = k∑ i=0 A [t] i (τ)x−i(τ − i) + F [t](τ), (7) де Aj i (τ), F j(τ), i = 0, 1, . . . , k, j = 1, . . . , [t], визначаються спiввiдношеннями (4), є непе- рервною при всiх t ≥ −k i задовольняє систему рiвнянь (1). Тим самим доведено наступну теорему. Теорема 1. Якщо виконується умова 1), то система рiвнянь (1) має сiм’ю неперерв- них при t ≥ −k розв’язкiв (7), яка залежить вiд k+1 довiльних неперервних при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiй x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, що задовольняють умови (5), (6). 2. Структура загального неперервного розв’язку. Виконуючи в (1) взаємно однознач- ну замiну змiнних x(t− k) = y(t), t ≥ 0, (8) зводимо дослiдження структури загального неперервного розв’язку системи рiвнянь (1) до дослiдження структури загального неперервного розв’язку системи рiвнянь вигляду y(t + k + 1) = k∑ i=0 Ai(t)y(t + k − i) + F (t), t ≥ 0. (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 354 Г. П. ПЕЛЮХ, Н. А. БОГАЙ Далi, якщо покласти yi(t + 1) = yi+1(t), i = 0, 1, . . . , k − 1, (10) де y0(t) = y(t), то дослiдження системи (9) в свою чергу зводиться до дослiдження систе- ми yi(t + 1) = yi+1(t), i = 0, 1, . . . , k − 1, (11) yk(t + 1) = k∑ j=0 Aj(t)yk−j(t) + F (t). Ввiвши позначення z(t) = col ( y0(t), y1(t), . . . , yk(t) ) , Ã(t) =  0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . Ak(t) Ak−1(t) Ak−2(t) . . . A0(t)  , F̃ (t) = col(0, . . . , 0, F (t)), запишемо систему рiвнянь (11) у виглядi z(t + 1) = Ã(t)z(t) + F̃ (t), t ≥ 0, (12) i дослiдимо структуру її загального неперервного розв’язку. Спочатку покажемо, що при виконаннi умови 1) система (12) має неперервний при t ≥ 0 розв’язок. Справдi, оскiльки для довiльного дiйсного t ≥ 0 маємо t− [t] = τ ∈ [0, 1), де [t] — цiла частина t, то, покладаючи в (12) z(τ) = ϕ(τ) при τ ∈ [0, 1), де ϕ(τ) — довiльна неперервна при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiя, що задовольняє умови lim τ→1−0 ϕ(τ) = ϕ1, (13) ϕ1 = Ã(0)ϕ(0) + F̃ (0), безпосередньо iз (12) послiдовно одержуємо z(τ + 1) = Ã(τ)ϕ(τ) + F̃ (τ), z(τ + 2) = Ã(τ + 1)z(τ + 1) + F̃ (τ + 1) = Ã(τ + 1)Ã(τ)ϕ(τ) + Ã(τ + 1)F̃ (τ) + F̃ (τ + 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (14) z(τ + [t]) = z(t) = Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ + 1)Ã(τ)ϕ(τ) + Ã(τ + [t]− 1) . . . . . . Ã(τ + 1)F̃ (τ) + . . . + Ã(τ + [t]− 1)F̃ (τ + [t]− 2) + F̃ (τ + [t]− 1). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 355 Легко переконатися, що так побудована вектор-функцiя z(t) є неперервним розв’яз- ком (позначимо його γ(t)) системи рiвнянь (1). Якщо тепер виконаємо в (12) взаємно однозначну замiну змiнних z(t) = z̃(t) + γ(t), (15) то задача про побудову загального неперервного розв’язку системи рiвнянь (12) зведеть- ся до побудови загального неперервного розв’язку однорiдної системи z̃(t + 1) = Ã(t)z̃(t). (16) Для системи рiвнянь (16) має мiсце наступна теорема. Теорема 2. Нехай матрицi Ai(t), i = 0, 1, . . . , k, задовольняють умову 1) i виконуєть- ся нерiвнiсть 2) det Ã(t) 6= 0, t ≥ 0. Тодi iснує взаємно однозначна замiна змiнних z̃(t) = Z(t)υ(t), (17) де Z(t) — деяка неособлива при t ∈ R+ неперервна (n × n)-матриця, що приводить систему рiвнянь (16) до вигляду υ(t + 1) = υ(t). (18) Для доведення теореми достатньо, очевидно, показати, що матрична система рiзнице- вих рiвнянь вигляду Z(t + 1) = Ã(t) Z(t) (19) має розв’язок Z(t) з вказаними в теоремi властивостями. Побудуємо частковий розв’язок системи рiвнянь (19). Для цього покладемо в (19) z(τ) = Φ(τ) при τ ∈ [0, 1), де Φ(τ) — деяка неособлива неперервна матрична функцiя, що задовольняє умови Φ(1− 0) = Φ1, (20) Φ1 = Ã(0)Φ(0). Тодi безпосередньо iз (19) послiдовно отримуємо z(τ + 1) = Ã(τ)Φ(τ), (21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z(t) = z(τ + [t]) = Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ)Φ(τ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 356 Г. П. ПЕЛЮХ, Н. А. БОГАЙ Отже, система рiвнянь (19) має розв’язок z(t), що визначається за допомогою формули (21). Внаслiдок умов 1), 2), (20) цей розв’язок є, очевидно, неперервним при t ∈ R+ i det Z(t) 6= 0. Теорему 2 доведено. Оскiльки систему рiвнянь (18) задовольняє довiльна неперервна при t ∈ R+ 1-перiо- дична вектор-функцiя ω(t), то, беручи до уваги замiну змiнних (17), одержуємо зображен- ня загального неперервного при t ∈ R+ розв’язку системи рiвнянь (16): z̃(t) = Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ + 1)Ã(τ)Φ(τ)ω(t), (22) де Φ(τ) — деяка неособлива неперервна матрична функцiя, що задовольняє умови (20), а ω(t) — довiльна неперервна при t ≥ 0 1-перiодична вектор-функцiя. Зважаючи на (14), (15), (22), можна одержати загальний неперервний при t ∈ R+ розв’язок системи рiвнянь (12) у виглядi z(t) = Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ + 1)Ã(τ)Φ(τ)ω(t) + Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ + 1)Ã(τ)ϕ(τ)+ +Ã(τ + [t]− 1) . . . Ã(τ + 1)F̃ (τ) + . . . + Ã(τ + [t]− 1)F̃ (τ + [t]− 2) + F̃ (τ + [t]− 1), (23) де неособлива при τ ∈ [0, 1) матрична функцiя Φ(τ) i вектор-функцiя ϕ(τ) є неперервними i такими, що виконуються умови (20) i (13) вiдповiдно, а ω(t) — довiльна неперервна при t ∈ R+ 1-перiодична вектор-функцiя. Тим самим доведено наступну теорему. Теорема 3. Якщо виконуються умови 1), 2), то загальний неперервний при t ≥ 0 розв’язок системи рiвнянь (12) має вигляд (23). Зауважимо, що з огляду на теорему 3 i перетворення (8), (10) можна одержати зобра- ження загального неперервного при t ≥ −k розв’язку системи рiвнянь (1). 3. Перiодичнi розв’язки. Припустимо тепер, що окрiм умов 1), 2) виконується умова 3) всi елементи матриць Ai(t), i = 0, 1, . . . , k, i вектора F (t) є N -перiодичними функцiя- ми (N — цiле додатне число), i розглянемо задачу про iснування N -перiодичних розв’язкiв системи (12). Нехай z(t) —деякий неперервний при t ∈ R+ N -перiодичний розв’язок системи рiв- нянь (12), тобто має мiсце тотожнiсть z(t + 1) = Ã(t)z(t) + F̃ (t). Звiдси послiдовно одержуємо z(t + 2) = Ã(t + 1)z(t + 1) + F̃ (t + 1) = Ã(t + 1)Ã(t)z(t) + Ã(t + 1)F̃ (t) + F̃ (t + 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (24) z(t + N) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)z(t) + Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)F̃ (t) + . . . . . . + Ã(t + N − 1)F̃ (t + N − 2) + F̃ (t + N − 1). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 357 Отже, вектор-функцiя z(t) задовольняє систему рiвнянь (24). Хоча в загальному ви- падку не кожний неперервний N -перiодичний розв’язок системи рiвнянь (24) є розв’яз- ком системи рiвнянь (12), але має мiсце наступна теорема. Теорема 4. Нехай виконуються умови 1), 3) i умова 4) detA(t) 6= 0 при всiх t ∈ R+, де A(t) = E − Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t), E — одинична (n× n)-матриця. Тодi справджуються твердження: а) система рiвнянь (24) має єдиний неперервний при t ∈ R+ N -перiодичний розв’язок γ(t) = A−1(t)F (t), (25) де F (t) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)F̃ (t) + . . . + Ã(t + N − 1)F̃ (t + N − 2) + F̃ (t + N − 1); б) вектор-функцiя γ(t) = A−1(t)F (t) є єдиним неперервним при t ∈ R+ N -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (12). Доведення. На пiдставi умов теореми вектор-функцiя γ(t) = A−1(t)F (t) є неперервною при t ∈ R+ i N -перiодичною. Тому в результатi безпосередньої пiдстанов- ки її в (24) одержуємо A−1(t)F (t) = ( E −A(t) ) A−1(t)F (t) + F (t) = A−1(t)F (t)− F (t) + F (t) = A−1(t)F (t), тобто вектор-функцiя γ(t) = A−1(t)F (t) є розв’язком системи рiвнянь (24). Покажемо тепер, що в цьому випадку вектор-функцiя γ(t) = A−1(t)F (t) є єдиним неперервним при t ≥ 0 N -перiодичним розв’язком системи рiвнянь (24). Справ- дi, припустимо, що система (24) має ще один неперервний при t ≥ 0 N -перiодичний розв’язок υ(t) такий, що υ(t) 6= γ(t). Тодi виконується тотожнiсть γ(t + N)− υ(t + N) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)(γ(t)− υ(t)). Звiдси (внаслiдок N -перiодичностi вектор-функцiй γ(t), υ(t)) одержуємо A(t)(γ(t)− υ(t)) = 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 358 Г. П. ПЕЛЮХ, Н. А. БОГАЙ що (на пiдставi умови 4)) може мати мiсце лише у випадку, коли γ(t) ≡ υ(t). Одержана суперечнiсть завершує доведення твердження a). Оскiльки згiдно з твердженням a) має мiсце тотожнiсть γ(t) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)γ(t) + Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)F̃ (t)+ +Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 2)F̃ (t + 1) + . . . + Ã(t + N − 1)F̃ (t + N − 2) + F̃ (t + N − 1), то, очевидно, справджуються також тотожностi γ(t + 1) = Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)γ(t + 1) + Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 2)F̃ (t + 1)+ + Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 3)F̃ (t + 2) + . . . + Ã(t)F̃ (t + N − 1) + F̃ (t), Ã(t)γ(t) + F̃ (t) = Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)γ(t)+ + Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)F̃ (t) + Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . . . . Ã(t + 2)F̃ (t + 1) + . . . + Ã(t)Ã(t + N − 1)F̃ (t + N − 2)+ + Ã(t)F̃ (t + N − 1) + F̃ (t) = Ã(t)Ã(t + n− 1) . . . . . . Ã(t + 1) [ Ã(t)γ(t) + F̃ (t) ] + Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 2)F̃ (t + 1) + . . . . . . + Ã(t)Ã(t + N − 1)F̃ (t + N − 2) + Ã(t)F̃ (t + N − 1) + F̃ (t). Звiдси безпосередньо випливає тотожнiсть γ(t + 1)− ( Ã(t)γ(t) + F̃ (t) ) = Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1) [ γ(t + 1)− ( Ã(t)γ(t) + F̃ (t) )] , яку можна записати у виглядi[ E − Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1) ] [ γ(t + 1)− ( Ã(t)γ(t) + F̃ (t) )] = 0. Оскiльки на пiдставi результатiв [4] i умови 4) маємо det [ E − Ã(t)Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1) ] = det A(t) 6= 0 при всiх t ≥ 0, то з останнього спiввiдношення одержуємо γ(t + 1)− (A(t)γ(t) + F (t)) = 0, тобто вектор-функцiя γ(t) є розв’язком системи рiвнянь (12). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3 ДОСЛIДЖЕННЯ СТРУКТУРИ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 359 Доведемо насамкiнець, що при виконаннi умов теореми система рiвнянь (12) не має iнших неперервних при t ≥ 0 N -перiодичних розв’язкiв, окрiм γ(t) = A−1(t)F (t). Справ- дi, якщо припустити, що iснує ще один неперервний при t ≥ 0 N -перiодичний розв’язок υ(t) системи рiвнянь (12) такий, що υ(t) 6= γ(t), то має мiсце тотожнiсть γ(t + 1)− υ(t + 1) = Ã(t)(γ(t)− υ(t)). Звiдси i з N -перiодичностi вектор-функцiй γ(t), υ(t) одержуємо γ(t + 2)− υ(t + 2) = Ã(t + 1)(γ(t + 1)− υ(t + 1)) = Ã(t + 1)Ã(t)(γ(t)− υ(t)), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ(t + N)− υ(t + N) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)(γ(t)− υ(t)), γ(t)− υ(t) = Ã(t + N − 1) . . . Ã(t + 1)Ã(t)(γ(t)− υ(t)), або A(t)[γ(t)− υ(t)] = 0. На пiдставi умови 4) з останньої тотожностi випливає тотожнiсть γ(t) = υ(t), що су- перечить зробленому припущенню. Теорему 4 доведено. Зауважимо, що, взявши до уваги замiни змiнних (8), (10) i теорему 4, можна побудува- ти неперервний при t ≥ −k N -перiодичний розв’язок x(t) системи рiвнянь (1). 1. Guldberg A., Wallenberg G. Theorie der linearen differenzengleichungen. — Berlin, 1911. — 288 S. 2. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12, № 2. — P. 242 – 284. 3. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука, 1986. — 128 с. 4. Пелюх Г. П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. РАН. — 1994. — 336, № 4. — С. 451 – 452. 5. Пелюх Г. П. Общее решение одного класса систем линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 3. — С. 514 – 519. Одержано 12.07.2005 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 3

Дослідження структури множини неперервних розв'язків систем лінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Репозитарії

Схожі ресурси