Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам
Розглядається гiпотеза В. М. Бондаренка про будову скiнченних частково впорядкованих множин iз позитивно означеною квадратичною формою Тiтса. Доведено, що гiпотеза виконується для фiксованого натурального числа k > 8 кожного разу, коли вона виконується для числа k−1. In this paper we consider Bo...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178015 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам / М.В. Степочкина // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 544-552. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859864560439132160 |
|---|---|
| author | Степочкина, М.В. |
| author_facet | Степочкина, М.В. |
| citation_txt | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам / М.В. Степочкина // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 544-552. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглядається гiпотеза В. М. Бондаренка про будову скiнченних частково впорядкованих множин iз позитивно означеною квадратичною формою Тiтса. Доведено, що гiпотеза виконується
для фiксованого натурального числа k > 8 кожного разу, коли вона виконується для числа k−1.
In this paper we consider Bondarenko’s hypotheses on the structure of finite partially ordered sets with
positive definite quadraic Tits form. We prove that the hypothese holds for a fixed natural number k > 8 if
it holds for the number k − 1.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.647.2 + 512.562
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ КОНЕЧНЫМ
ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫМ МНОЖЕСТВАМ
М. В. Степочкина
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 01107, Киев 127, пр. Акад. Глушкова, 6
e-mail: StMar@ukr.net
In this paper we consider Bondarenko’s hypotheses on the structure of finite partially ordered sets with
positive definite quadraic Tits form. We prove that the hypothese holds for a fixed natural number k > 8 if
it holds for the number k − 1.
Розглядається гiпотеза В. М. Бондаренка про будову скiнченних частково впорядкованих мно-
жин iз позитивно означеною квадратичною формою Тiтса. Доведено, що гiпотеза виконується
для фiксованого натурального числа k > 8 кожного разу, коли вона виконується для числа k−1.
Квадратичные формы возникают при решении многих задач в алгебре, теории диффе-
ренциальных и интегральных уравнений, функциональном анализе и других областях ма-
тематики (см., например, [1] и имеющиеся там ссылки, а также работы [2 – 17]). Среди
квадратичных форм важную роль играют квадратичные формы Титса для различных
объектов — графов, частично упорядоченных множеств, алгебр и др., которые и изуча-
ются в настоящей работе.
В работе [18] П. Габриель сопоставил колчану (ориентированному графу) некото-
рую квадратичную форму, названную им квадратичной формой Титса, которая играет
важную роль в теории конечномерных представлений графов; в частности, в этой же ра-
боте показано, что граф имеет конечный тип (т. е. конечное, с точностью до изоморфиз-
ма, число неразложимых представлений) тогда и только тогда, когда соответствующая
ему форма Титса является положительно определенной. Эта работа положила начало
новому направлению в алгебре, которое изучает связь между свойствами представлений
различных объектов и свойствами связанных с ними квадратичных форм.
Следующими работами в этом направлении являются работы Ш. Бреннер [19] и
Ю. А. Дрозда [20], в которых определяются квадратичные формы Титса соответствен-
но для колчанов с соотношениями и частично упорядоченных множеств. В общей ситу-
ации для матричных задач без соотношений форма Титса введена М. М. Клейнером и
А. В. Ройтером в [21].
В работе [20] показано, что частично упорядоченное множество имеет конечный тип
тогда и только тогда, когда его форма Титса слабо положительна (представления частич-
но упорядоченных множеств введены в [22]). Положительно определенные формы при
этом не выделяются, но при дальнейшем изучении таких представлений положитель-
но определенные формы Титса уже играют важную роль [23]. Первым шагом в описа-
нии таких форм является работа [1] (см. также [24]), где рассматриваются бесконечные
частично упорядоченные множества. В [25] В. М. Бондаренко рассматривает случай ко-
c© М. В. Степочкина, 2005
544 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ . . . 545
нечных множеств и формулирует в этой ситуации некоторую гипотезу о положительно
определенных формах Титса. С этой гипотезой и связана настоящая работа.
1. Формулировка гипотезы. Все рассматриваемые в этой статье частично упорядо-
ченные множества являются конечными. Под подмножеством X частично упорядочен-
ного множества S мы всегда понимаем подмножество, полное относительно отношения
частичного порядка (т. е., если a, b ∈ X , то a ≥ b в X тогда и только тогда, когда a ≥ b
в S).
Напомним, что если частично упорядоченное множество S является объединением
своих попарно непересекающихся подмножеств A1, . . . , As, s > 1, то говорят, что S яв-
ляется суммой этих подмножеств и пишут S = A1 + . . . + As; если при этом элементы
различных слагаемых всегда несравнимы, то S называется прямой суммой заданных под-
множеств.
Напомним также некоторые определения из [1].
Пусть частично упорядоченное множество S является суммой подмножеств A1, . . . , As.
Эта сумма называется односторонней, если (с точностью до перенумерации слагаемых)
i < j каждый раз, когда сущеcтвуют элементы b ∈ Ai и c ∈ Aj , i 6= j, такие, что b < c.
Далее, сумма S = A1 + . . . + As называется минимаксной, если x является минималь-
ным, а y — максимальным элементом множества S каждый раз, когда x и y принадлежат
разным слагаемым и при этом x < y. Формально прямая сумма подмножеств является
минимаксной, однако в дальнейшем, говоря о минимаксной сумме, всегда считаем, что
она не является прямой.
Частично упорядоченное множество с единственной парой несравнимых элементов
называется почти цепным (цепным называется любое линейно упорядоченное множе-
ство).
Напомним, наконец, определение квадратичной формы Титса qS(z) для произволь-
ного частично упорядоченного множества S. Согласно определению это квадратичная
форма q(z) : ZS∪0
0 → Z, задаваемая равенством
q(z) = z2
0 +
∑
i∈S
z2
i +
∑
i<j,i,j∈S
zizj − z0
∑
i∈S
zi.
Сформулируем теперь гипотезу, о которой шла речь во введении (отметим, что в пер-
вых двух условиях допускаются и пустые цепные множества).
Гипотеза Бондаренко. Если S — частично упорядоченное множество порядка n ≥
≥ 8 c положительно определенной формой Титса, то выполняется одно из следующих
условий:
1) S — прямая сумма двух цепных подмножеств;
2) S — односторонняя минимаксная сумма двух цепных подмножеств;
3) S — прямая сумма цепного и почти цепного подмножеств.
Геометрически указанные в условии гипотезы частично упорядоченные множества
имеют следующий вид:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
546 М. В. СТЕПОЧКИНА
1)
a
a
a
a 2)
a
a
a
a
�
�
�
�
�
�
�
�
��
3)
a aa
a��
@@
@@
��
a
aa
a
(здесь каждый вертикальный отрезок является цепью длины d ≥ 0, а наклонные отрезки
промежуточных точек не содержат).
При этом уcловие n > 8 является существенным: например, для частично упорядо-
ченного множества T = {a1 < a2 < a3 < a4, a5 < a6 < a7, a1 < a6} порядка 7 (кото-
рое не удовлетворяет ни одному из условий 1) – 3)) форма Титса является положительно
определенной.
Заметим еще, что все частично упорядоченные множества вида 1) – 3) имеют поло-
жительно определенную форму Титса (см. [1]).
Мотивации для сформулированной гипотезы указаны в той же работе [25]. Здесь же
мы только отметим, что утверждение, аналогичное гипотезе, доказано в [1] для беско-
нечных частично упорядоченных множеств (при некоторой естественной модификации
приведенных выше определений), причем из достаточно сложного доказательства этого
утверждения следует, что существует некоторое натуральное число N такое, что гипоте-
за выполняется для любого n > N .
2. Основной результат. Целью настоящей статьи является доказательство следующей
теоремы.
Теорема. Пусть n > 8 — такое натуральное число, для которого справедлива ги-
потеза Бондаренко (т. е. любое частично упорядоченное множество порядка n с поло-
жительно определенной формой Титса удовлетворяет одному из условий 1) – 3)). Тогда
эта гипотеза справедлива и для каждого натурального числа m > n.
Теорема вытекает, очевидно, из следующего чисто комбинаторного утверждения.
Предложение. Пусть S — частично упорядоченное множество порядка n > 8, для
каждого собственного подмножества которого выполняется одно из условий 1) – 3).
Тогда одно из этих условий выполняется и для самого множества S.
Заметим, что условие, указанное в первой части предложения, выполняется тогда и
только тогда, когда оно выполняется для подмножеств порядка n. Кроме того, условие
n > 8 (в формулировке предложения) является существенным. Например, для каждого
собственного подмножества частично упорядоченного множества (порядка 5) S = {a2 <
< a3 < a4 < a5, a1 < a4} выполняется одно из условий 1) – 3), а для самого S ни одно из
этих условий не выполняется (здесь и дальше, задавая конкретное частично упорядочен-
ное множество, мы определяем частичный порядок с точностью до транзитивности).
Доказательство предложения. Введем сначала некоторые обозначения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ . . . 547
Совокупность всех частично упорядоченных множеств вида i), где i ∈ {1, 2, 3}, будем
обозначать через Pi. Положим P = P1
⋃
P2
⋃
P3 и обозначим через P совокупность всех
частично упорядоченных множеств, которые не принадлежат P . При задании конкрет-
ных частично упорядоченных множеств отношение частичного порядка указывается с
точностью до транзитивности. Отношение частичного порядка на S обозначим через ≺
(< обозначает отношение линейного порядка на множестве целых чисел).
Перейдем непосредственно к доказательству предложения, которое для наглядности
сопровождаем геометрическими пояснениями.
Зафиксируем некоторую максимальную точку в S. Обозначим ее через x0 и положим
T = S\x0. В силу условия предложения T имеет вид 1), 2) или 3).
I. Рассмотрим сначала случай, когда частично упорядоченное множество T имеет
вид 1):
T1 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq},
где p + q = n− 1 ≥ 8 (тогда p ≥ 4, q ≥ 0 или q ≥ 4, p ≥ 0).
Легко видеть, что тогда для частично упорядоченного множества S имеет место один
из следующих случаев:
1.1) S1.1 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, x0} (т. е. x0 — точка, несравнимая
с любой точкой из T );
1.2) S1.2 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ar ≺ x0}, где 1 ≤ r ≤ p;
1.3) S1.3 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ar ≺ x0, bs ≺ x0}, где 1 ≤ r ≤ p,
1 ≤ s ≤ q.
Геометрически эти множества имеют соответственно следующий вид:
1.1)
a
a
a
a r 1.2)
a
a
a
a
a
r
@
@
@@
1.3)
a
a
a
a
a
a
r
�
�
��
@
@
@@
Здесь и далее мы для простоты указываем только основные точки; при этом номера
этих точек не указываются, но они легко устанавливаются. Точка x0 на рисунках отме-
чена знаком •.
Рассмотрим отдельно каждый из случаев 1.1) – 1.3). Заметим, что на рисунках цепь
A = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap} расположена слева, а цепь B = {b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq}— справа.
1.1) Если p = 0 или q = 0, то получим случай 1), а если p = 1 или q = 1 — случай 3). В
других случаях, если p ≥ 4, удалим ap-ю точку, а если q ≥ 4 — bq-ю точку; в обоих случаях
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
1.2) Если r = p, то получим случай 1), а если r = p − 1 — случай 3). Будем теперь
считать, что r 6= p − 1, p. Если при этом q = 0 и r = 1, то получим случай 2). Если же
q = 0 и r 6= 1, то удалим a3-ю точку, если q 6= 0 и p ≥ 4 — a2-ю точку, если же q ≥ 4
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
548 М. В. СТЕПОЧКИНА
— bq-ю точку. В каждом из случаев получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое
принадлежит P , что противоречит условию предложения.
1.3) Если r = p и s = 1 или r = 1 и s = q, то получим случай 2). В других случаях,
если r ≥ 3, удалим ar-ю точку, если s ≥ 3 — bs-ю точку, если r < 3, s < 3 и p ≥ 4 —
ap-ю точку, если же r < 3, s < 3 и q ≥ 4 — bq-ю точку. В каждом из этих четырех случаев
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
II. Рассмотрим теперь случай, когда частично упорядоченное множество T имеет
вид 2):
T2 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, a1 ≺ bq},
где p + q = n− 1 ≥ 8 (тогда p ≥ 4 или q ≥ 4).
Легко видеть, что тогда для частично упорядоченного множества S имеет место один
из следующих случаев:
2.1) S2.1 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, a1 ≺ bq, x0};
2.2) S2.2 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, a1 ≺ bq, ar ≺ x0}, где 1 ≤ r ≤ p;
2.3) S2.3 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, a1 ≺ bq, br ≺ x0}, где 1 ≤ r ≤ q;
2.4) S2.4 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap, b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, a1 ≺ bq, ar ≺ x0, bs ≺ x0}, где
1 ≤ r ≤ p, 1 ≤ s ≤ q, (r, s) 6= (1, q).
Геометрически эти множества имеют соответственно следующий вид:
2.1)
a
a
a
a r
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2.2)
a
a
a
a
a
r
@
@
@@
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2.3)
a
a
a
a
a r
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
��
2.4)
a
a
a
a
a
a
r
�
�
��
@
@
@@
Рассмотрим отдельно каждый из случаев 2.1) – 2.4). Заметим, что на рисунках цепь
A = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap} расположена слева, а цепь B = {b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq}— справа.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ . . . 549
2.1), 2.3) Если p ≥ 4, то удалим ap-ю точку, если q ≥ 4 — b1-ю точку. В обоих случаях
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
2.2) Если r = p, то получим случай 2). Пусть r 6= p. Если q > 1, то удалим b1-ю точку,
если q = 1 — a2-ю точку. В обоих случаях получим подмножество из (n − 1)-й точки,
которое принадлежит P , что противоречит условию предложения.
2.4). Если p ≥ 4, то удалим ap-ю точку, если q ≥ 4 — b2-ю точку. В обоих случаях
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
III. Рассмотрим, наконец, случай, когда частично упорядоченное множество T имеет
вид 3):
T3 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . . ≺ cr},
где p + q + r = n− 1 ≥ 8 (тогда p ≥ 2, q ≥ 2 или r ≥ 2).
Легко видеть, что тогда для частично упорядоченного множества S имеет место один
из следующих случаев:
3.1) S3.1 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, x0};
3.2) S3.2 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, as ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ p;
3.3) S3.3 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, a ≺ x0};
3.4) S3.4 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, bs ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ q;
3.5) S3.5 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, cs ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ r;
3.6) S3.6 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, a ≺ x0, b ≺ x0};
3.7) S3.7 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, as ≺ x0, ct ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ p, 1 ≤ t ≤ r;
3.8) S3.8 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, b ≺ x0, cs ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ r;
3.9) S3.9 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, bs ≺ x0, ct ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ q, 1 ≤ t ≤ r;
3.10) S3.10 = {a1 ≺ a2 ≺ . . . ≺ ap ≺ a ≺ b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq, ap ≺ b ≺ b1, c1 ≺ c2 ≺ . . .
. . . ≺ cr, a ≺ x0, b ≺ x0, cs ≺ x0}, где 1 ≤ s ≤ r.
Геометрически эти множества имеют соответственно следующий вид:
3.1)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
r 3.2)
a aa
a��
@@
@@
��a
a
a
a
a
r
Q
Q
Q
QQ
3.3)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
r
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
550 М. В. СТЕПОЧКИНА
3.4)
a aa
a��
@@
@@
��
aa
a
a
a
r
@@
3.5)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
a
r
@
@
@
3.6)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
r
H
HH
3.7)
a aa
a��
@@
@@
��a
a
a
a
a
ar
@@�
�
�
3.8)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
a
r
@
@
@
3.9)
a aa
a��
@@
@@
��
aa
a
a
a
a
r
�� @
@
@
3.10)
a aa
a��
@@
@@
��
a
a
a
a
a
r
@
@
@
���
Рассмотрим отдельно каждый из случаев 3.1) – 3.10). Заметим, что цепь A = {a1 ≺
a2 ≺ . . . ≺ ap} — часть почти цепи, которая находится ниже единственной пары несрав-
нимых элементов a, b; цепь B = {b1 ≺ b2 ≺ . . . ≺ bq} — часть почти цепи, которая
находится выше элементов a, b; цепь C = {c1 ≺ c2 ≺ . . . ≺ cr} расположена на рисунках
справа.
3.1) Если r = 0, то получим случай 3). Пусть r 6= 3. Если p ≥ 2, то удалим ap-ю точку,
если q ≥ 2 — bq-ю точку, если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом из этих трех случаев
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P, что противоречит
условию предложения.
3.2), 3.3), 3.7), 3.8), 3.10) Если p ≥ 2, то удалим ap-ю точку, если q ≥ 2 — bq-ю точку,
если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом из трех случаев получим подмножество из (n−1)-й
точки, которое принадлежит P , что противоречит условию предложения.
3.4) Если s = q, то получим случай 3). Пусть s 6= q. Если p ≥ 2, то удалим ap-ю точку,
если q ≥ 2 — bq-ю точку, если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом из этих трех случаев
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ . . . 551
3.5) Если s = r (в частности, r = 0), то получим случай 3). Пусть s 6= r. Если p ≥ 2,
то удалим ap-ю точку, если q ≥ 2 — bq-ю точку, если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом
из этих трех случаев получим подмножество из (n− 1)-й точки, которое принадлежит P,
что противоречит условию предложения.
3.6) Если q = 0, то получим случай 3). Пусть q 6= 0. Если p ≥ 2, то удалим ap-ю точку,
если q ≥ 2 — bq-ю точку, если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом из этих трех случаев
получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что противоречит
условию предложения.
3.9) Если r = 0 и s = q, то получим случай 3). В других случаях, если p ≥ 2, удалим
ap-ю точку, если q ≥ 2 — bq-ю точку, если же r ≥ 2 — cr-ю точку. В каждом из этих
трех случаев получим подмножество из (n − 1)-й точки, которое принадлежит P , что
противоречит условию предложения.
Итак, рассмотрев все возможные случаи, мы доказали, что частично упорядоченное
множество из n > 8 точек принадлежит P , если любое его подмножество из (n − 1)-й
точки принадлежит P , и, следовательно, предложение доказано.
1. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О критерии положительной определенности для одного класса
бесконечных квадратичных форм // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 1. — С. 3 – 14.
2. Alsina M., Bayer P. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves // CRN Monogr. Ser. — Provi-
dence: Amer. Math. Soc., 2004. — 22. — 196 p.
3. Shimura G. Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Clifford groups // Math. Surv. and
Monogr. — Providence: Amer. Math. Soc., 2004. — 109. — 275 p.
4. Hoffmann D. W., Lanhribi A. Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 // Trans. Amer. Math.
Soc. — 2004. — № 10. — P. 4019 – 4052.
5. Ateiwi A. M. A study of dichotomy of linear systems of difference equations using the quadratic forms // J.
Fract. Calc. — 2004. — 25. — P. 93 – 100.
6. Fang F., Pan J. Secondary Brown – Kervaire quadratic forms and π-manifolds // Forem Math. — 2004. — 16,
№ 4. — P. 459 – 481.
7. Ueno T. Modular forms arising from zeta functions in two variables attached to prehomogeneous vector
spaces related to quadratic forms // Nagoya Math. J. — 2004. — 175. — P. 1 – 37.
8. Chan W. K., Peters M. Quaternary quadratic forms and Hilbert modular surfaces // Contemp. Math. —
2004. — 344. — P. 85 – 97.
9. Kohnen W. Special Siegel modular forms and singular series polynomials of quadratic forms // Ibid. — P. 229 –
236.
10. Laghribi A. Quasi-hyperbolicity of totally singular quadratic forms // Ibid. — P. 237 – 248.
11. Schulze-Pillot R. Representation by integral quadratic forms — a survey // Ibid. — P. 303 – 321.
12. Fitzgerald R. W., Yucas J. L. Pensils of quadratic forms over finite fields // Discrete Math. — 2004. — 283. —
P. 71 – 79.
13. Li M., Dezhong C. Systems of Hermitian quadratic forms // Can. Math. Bull. — 2004. — 47, № 1. — P. 73 – 81.
14. Car M. Quadratic forms with polynomial coefficients // Acta Arithm. — 2004. — 113, № 2. — P. 131 – 155.
15. Bevelacqua A. J. Four dimensional quadratic forms over F (X) where I3
t F (X) = 0 and a failure of the strong
Hasse principle // Communs Algebra. — 2004. — 32, № 3. — P. 855 – 877.
16. Teksan A. Representations of positive integers by a direct sum of quadratic forms // Results Math. — 2004. —
46. — P. 146 – 163.
17. Jaschke S., Keúppelberg C., and Lindner A. Asymptotic behavior of tails and quantiles of quadratic forms of
Gaussian vectors // J. Multivar. Anal. — 2004. — 88, № 2. — P. 252 – 273.
18. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscr. math. — 1972. — 6. — P. 71 – 103, 309.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
552 М. В. СТЕПОЧКИНА
19. Brenner S. Quivers with commutativity conditions and some phenomenology of forms // Proc. Int. Conf.
Representations Algebras. — Ottawa, Ontario: Carleton Univ., 1974. — Paper № 5.
20. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств // Функ-
цион. анализ и его прил. — 1974. — 8. — C. 34 – 42.
21. Клейнер М. М., Ройтер А. В. Представления дифференциальных градуированных категорий // Мат-
ричные задачи / Отв. ред. Ю. А. Митропольский. — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1977. — С. 5 – 70.
22. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Зап. науч. сем. Ле-
нингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. — 1972. — 28. — С. 5 – 31.
23. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О подкатегориях конечного ранга категории представлений не-
ограниченного частично упорядоченного множества // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. — 2003. — Вип. 8. —
С. 15 – 22.
24. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О квадратичной форме Титса для бесконечных частично упорядо-
ченных множеств // Там же. — 2002. — Вип. 7. — С. 28 – 31.
25. Bondarenko V. M. On one conjecture for positive definite quadratic forms // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат.
науки. — 2005. — № 3. — C. 11 – 13.
Получено 18.08.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178015 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:57Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Степочкина, М.В. 2021-02-17T15:53:20Z 2021-02-17T15:53:20Z 2005 Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам / М.В. Степочкина // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 544-552. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178015 512.647.2+512.562 Розглядається гiпотеза В. М. Бондаренка про будову скiнченних частково впорядкованих множин iз позитивно означеною квадратичною формою Тiтса. Доведено, що гiпотеза виконується для фiксованого натурального числа k > 8 кожного разу, коли вона виконується для числа k−1. In this paper we consider Bondarenko’s hypotheses on the structure of finite partially ordered sets with positive definite quadraic Tits form. We prove that the hypothese holds for a fixed natural number k > 8 if it holds for the number k − 1. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам Про одну властивість додатно визначених квадратичних форм, що відповідають скінченним частково впорядкованим множинам On a property of positive definite quadratic forms corresponding to finite partially ordered sets Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам Степочкина, М.В. |
| title | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| title_alt | Про одну властивість додатно визначених квадратичних форм, що відповідають скінченним частково впорядкованим множинам On a property of positive definite quadratic forms corresponding to finite partially ordered sets |
| title_full | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| title_fullStr | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| title_full_unstemmed | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| title_short | Об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| title_sort | об одном свойстве положительно определенных квадратичных форм, соответствующих конечным частично упорядоченным множествам |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178015 |
| work_keys_str_mv | AT stepočkinamv obodnomsvoistvepoložitelʹnoopredelennyhkvadratičnyhformsootvetstvuûŝihkonečnymčastičnouporâdočennymmnožestvam AT stepočkinamv proodnuvlastivístʹdodatnoviznačenihkvadratičnihformŝovídpovídaûtʹskínčennimčastkovovporâdkovanimmnožinam AT stepočkinamv onapropertyofpositivedefinitequadraticformscorrespondingtofinitepartiallyorderedsets |