Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178017 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 456-467. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859569832129724416 |
|---|---|
| author | Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| author_facet | Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| citation_txt | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 456-467. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| first_indexed | 2025-11-26T21:42:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517. 954
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ
А. Н. Витюк, А. В. Голушков
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Ин-т математики, экономики и механики
Украина, 65026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: Alexander−VG@ukr.net
We find conditions for existence of a unique solution of the problem uxy(x, y) = f(x, y, u(x, y), (Dr
0u)(x,
y)), u(x, 0) = u(0, y) = 0, x ∈ [0, a], y ∈ [0, b], where (Dr
0u)(x, y) is the mixed Riemann – Liouville
derivative, r = (r1, r2), 0 < r1, r2 < 1, in the class of functions that have the continuous derivatives
uxy(x, y), (Dr
0u)(x, y). We propose a numerical method for solving this problem and prove convergence
of the method.
Отримано умови однозначної розв’язностi задачi uxy(x, y) = f(x, y, u(x, y), (Dr
0u)(x, y)), u(x, 0) =
= u(0, y) = 0, x ∈ [0, a], y ∈ [0, b], де (Dr
0u)(x, y) — мiшана похiдна Рiмана – Лiувiлля порядку
r = (r1, r2), 0 < r1, r2 < 1, у класi функцiй, якi мають неперервнi похiднi uxy(x, y), (Dr
0u)(x, y).
Запропоновано числовий метод розв’язання цiєї задачi та доведено його збiжнiсть.
Пусть G = (0, a] × (0, b], G = [0, a] × [0, b], R+ = [0,+∞), r = (r1, r2), 0 < r1, r2 ≤ 1, f :
G → R, f ∈ L(G). Смешанным левосторонним интегралом Римана – Лиувилля порядка r
называем [1, c. 341] выражение
(Ir
0f)(x, y) =
1
Γ(r1)Γ(r2)
x∫
0
y∫
0
(x− s)r1−1(y − t)r2−1f(s, t) ds dt, x > 0, y > 0.
Если f1−r(x, y) = (I1−r
0 f)(x, y), то смешанной дробной производной порядка r называ-
ем [1, c. 342] выражение
(Dr
0f)(x, y) =
∂2f1−r(x, y)
∂x∂y
=
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
∂2
∂x∂y
x∫
0
y∫
0
f(s, t) ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
.
Если f(x, y) — абсолютно непрерывная функция [2, c. 237; 3], то почти всюду на G [1,
c. 342]
(Dr
0f)(x, y) =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
[
f(0, 0)
xr1yr2
+
1
xr1
y∫
0
∂f(0, t)
∂y
dt
(y − t)r2
+
+
1
yr2
x∫
0
∂f(s, 0)
∂x
ds
(x− s)r1
+
x∫
0
y∫
0
∂2f(s, t)
∂x∂y
ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
]
. (1)
c© А. Н. Витюк, А. В. Голушков, 2005
456 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 457
10. Рассмотрим задачу Дарбу
uxy(x, y) = f (x, y, u(x, y), (Dr
0u)(x, y)) , (2)
u(x, 0) = u(0, y) = 0, x ∈ [0, a], y ∈ [0, b]. (3)
При r1 = r2 = 1 получим задачу, рассмотренную в [4].
Под решением задачи (2), (3) понимаем функцию u : G → R такую, что u(x, y),
uxy(x, y), (Dr
0u)(x, y) непрерывны в области G. В силу (1), (3)
z(x, y) ≡ (Dr
0u)(x, y) =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
uxy(s, t) ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
. (4)
Предположим, что функция f(x, y, u, z) : G × R × R → R удовлетворяет следующим
условиям: а) является непрерывной; б) |f(x, y, u, z)| ≤ M ; в) удовлетворяет условию Лип-
шица по u, z с постоянной K.
Теорема 1. Пусть f(x, y, u, z) удовлетворяет условиям а), б). Функция u : G → R яв-
ляется решением задачи (2), (3) тогда и только тогда, когда u(x, y), z(x, y) — решение
системы
u(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f (s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt, (5)
z(x, y) =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
f (s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
. (6)
Доказательство. Пусть u(x, y), z(x, y) — решение системы (5), (6). Докажем, что u(x, y)
— решение задачи (2), (3). Предварительно докажем, что z(x, y) ∈ C(G).
Пусть (x2, y2), (x2, y1) ∈ G, y1 < y2. Тогда
F = |z(x2, y2)− z(x2, y1)| =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
∣∣∣∣∣
x2∫
0
y1∫
0
(x2 − s)−r1
[
(y2 − t)−r2 − (y1 − t)−r2
]
×
× f(s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt +
x2∫
0
y2∫
y1
f(s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt
(x2 − s)r1(y2 − t)r2
∣∣∣∣∣ ≤ M
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
×
× x1−r1
2 (y1−r2
1 − y1−r2
2 + (y2 − y1)1−r2) + x1−r1
2 (y2 − y1)1−r2
(1− r1)(1− r2)
=
= Mλ
{
x1−r1
2
[
(y2 − y1)1−r2 − (y1−r2
2 − y1−r2
1 )
]
+ x1−r1
2 (y2 − y1)1−r2
}
,
где λ = (Γ(2− r1)Γ(2− r1))−1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
458 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Поскольку y1−r2
2 −y1−r2
1 ≤ (y2−y1)1−r2 , то F ≤ 2Mλa1−r1(y2−y1)1−r2 . Аналогично до-
казываем, что для (x1, y1), (x2, y1) ∈ G, x1 < x2 имеет место оценка |z(x2, y1)−z(x1, y1)| ≤
≤ 2Mλb1−r2(x2 − x1)1−r1 . Следовательно, z(x, y) ∈ C(G).
Пусть Jx = {(x, y) : x ∈ [0, a], y = 0}, Jy = {(x, y) : x = 0, y ∈ [0, b]}.
Поскольку |z(x, y)| ≤ Mλx1−r1y1−r2 для (x, y) ∈ G, z(x, y) можно доопределить по
непрерывности нулем на множестве Jx ∪ Jy. Следовательно, z(x, y) ∈ C(G). Из (5) и
условия а) следует, что u(x, y), uxy(x, y) ∈ C(G). Докажем еще, что z(x, y) = (Dr
0u)(x, y).
Из (4) и (2) следует
(Dr
0u)(x, y) =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
f(s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt
(x− s)−r1(y − t)−r2
. (7)
Пусть теперь u(x, y) — решение задачи (2), (3). Тогда
u(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f (s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt,
а согласно (7) z(x, y) удовлетворяет уравнению (6).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть функция f(x, y, u, z) удовлетворяет условиям а) – в) и
γ = K
(
ab + λa1−r1b1−r2
)
< 1. (8)
Тогда в области G существует единственное решение задачи (2), (3).
Доказательство. Рассмотрим последовательности {um(x, y)}, {zm(x, y)}, m = 0, 1, 2, . . . ,
где u0(x, y) = z0(x, y) = 0, (x, y) ∈ G,
um+1(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f (s, t, um(s, t), zm(s, t)) ds dt, (9)
zm+1(x, y) =
0, (x, y) ∈ Jx ∪ Jy,
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
f(s, t, um(s, t), zm(s, t))
(x− s)r1(y − t)r2
ds dt, (x, y) ∈ G.
(10)
Очевидны следующие оценки:
|u1 − u0| ≤ Mab, |z1 − z0| ≤ Mλa1−r1b1−r2 , |um+1 − um| ≤ Mabγm,
(11)
|zm+1 − zm| ≤ Mλγma1−r1b1−r2 , m = 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 459
Из (11) следует, что равномерно в G lim
m→∞
um(x, y) = u(x, y), lim
m→∞
zm(x, y) = z(x, y), а
из (9), (10) при m → ∞ — что u(x, y), z(x, y) — решение системы (5), (6), т. е. u(x, y) —
решение задачи (2), (3).
Докажем единственность. Пусть v(x, y) — также решение задачи (2), (3) и
Θ = max
G
|u(x, y)− v(x, y)| = |u(x, y)− v(x, y)|,
Θ1 = max
G
|(Dr
0u)(x, y)− (Dr
0v)(x, y)| = |(Dr
0u)(x̃, ỹ)− (Dr
0v)(x̃, ỹ)|.
Тогда
Θ =
∣∣∣∣∣∣
x∫
0
y∫
0
(f(s, t, u(s, t), (Dr
0u)(s, t))− f(s, t, v(s, t), (Dr
0v)(s, t))) ds dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K(Θ + Θ1)ab, Θ1 ≤ K(Θ + Θ1)λa1−r1b1−r2 .
Следовательно, Θ + Θ1 ≤ γ(Θ + Θ1), т. е. γ ≥ 1, что противоречит условию (8).
Замечание. Пусть f(x, y, u, z) удовлетворяет условию Липшица по u и z соответствен-
но с постоянными K и K1. Тогда условие (8) принимает вид γ = Kab+λK1a
1−r1b1−r2 < 1,
а при r1 = r2 = 1 — K1 < 1, Kab + K1 < 1, что совпадает с соответствующим условием
работы [4].
20. Далее речь пойдет о численном решении задачи (2), (3). Рассмотрим область S =
= {(x, y, u, z) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, |u| ≤ Mab, |z| ≤ Mλa1−r1b1−r2} и, следуя [5, c. 123],
введем в рассмотрение модули непрерывности
ω(f ; δ1, δ2) = sup
u,z
sup
|x1−x2|≤δ1,|y1−y2|≤δ2
|f(x1, y1, u, z)− f(x2, y2, u, z)|,
причем (x1, y1, u, z), (x2, y2, u, z) ∈ S,
ω(ϕ; δ1, δ2) = sup
|x1−x2|≤δ1,|y1−y2|≤δ2
|ϕ(x1, y1)− ϕ(x2, y2)|,
ϕ(x, y) = uxy(x, y), (x1, y1), (x2, y2) ∈ G.
Пусть xi = ih, yj = jl, nh = a, ml = b, Gij = {(x, y) : xi ≤ x ≤ xi+1, yj ≤ y ≤ yj+1}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
460 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Согласно (4)
z(xi, yj) =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
xi∫
0
yj∫
0
(xi − s)−r1(yj − t)−r2ϕ(s, t) ds dt =
=
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
i∑
k=1
j∑
p=1
xk∫
xk−1
yp∫
yp−1
(xi − s)−r1(yj − t)−r2ϕ(s, t) ds dt ≈
≈ 1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
i∑
k=1
j∑
p=1
ϕ(xk−1, yp−1)
xk∫
xk−1
yp∫
yp−1
ds dt
(xi − s)r1(yj − t)r2
=
= λ
i∑
k=1
j∑
p=1
ϕ(xk−1, yp−1)
(
x1−r1
i−k+1 − x1−r1
i−k
)(
y1−r2
j−p+1 − y1−r2
j−p
)
≡ ρ(xi, yj).
Оценим погрешность этого приближения:
|z(xi, yj)− ρ(xi, yj)| ≤
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
i∑
k=1
j∑
p=1
xk∫
xk−1
yp∫
yp−1
(xi − s)−r1×
×(yj − t)−r2 |ϕ(s, t)− ϕ(xk−1, yp−1)| ds dt ≤ λω(ϕ;h, l)a1−r1b1−r2 . (12)
Обозначим через uij и zij приближенные значения величин соответственно u(xi, yj) и
z(xi, yj). Полагая ϕ(xi, yj) ≈ fij = f(xi, yj , uij , zij), получаем следующий метод прибли-
женного решения задачи (2), (3):
ui0 = u0j = zi0 = z0j = 0, i = 0, n, j = 0,m,
ui+1,j+1 = ui+1,j + ui,j+1 − uij + hlfij , (13)
zi+1,j+1 = λ
i+1∑
k=1
j+1∑
p=1
fk−1,p−1
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)(
y1−r2
j−p+2 − y1−r2
j−p+1
)
, (14)
i = 0, n− 1, j = 0,m− 1.
Пусть δij = u(xi, yj)− uij , γij = z(xi, yj)− zij . Согласно (9)
|δi+1,j+1 − δi+1,j − δi,j+1 + δij | =
∣∣∣∣∣
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
(f(s, t, u(s, t), z(s, t))− f(xi, yj , uij , zij)) ds dt
∣∣∣∣∣.
(15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 461
Для (s, t) ∈ Gij
|f(s, t, u(s, t), z(s, t))− f(xi, yj , uij , zij)| ≤ |f(s, t, u(s, t), z(s, t))− f(xi, yj , u(s, t), z(s, t))|+
+|f(xi, yj , u(s, t), z(s, t))− f(xi, yj , uij , zij)| ≤ ω(f ;h, l) + K(|u(s, t)− uij |+ |z(s, t)− zij |),
(16)
|u(x, y)− uij | ≤ |u(x, y)− u(xi, yj)|+ |u(xi, yj)− uij |.
Поскольку для (x, y) ∈ Gij
u(x, y) = u(x, yj) + u(xi, y)− u(xi, yj) +
x∫
xi
y∫
yj
f (s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt,
то
|u(x, y)− u(xi, yj)| ≤ |u(x, yj)− u(xi, yj)|+ |u(xi, y)− u(xi, yj)|+ Mhl ≤
≤
x∫
xi
yj∫
0
|f(s, t, u(s, t), z(s, t))| ds dt +
xi∫
0
y∫
yj
|f(s, t, u(s, t), z(s, t))| ds dt + Mhl ≤
≤ M(hb + la + H(h + l)) ≤ 2q(h + l),
где H = ab/(a + b), q = max(Mb, Ma,MH). Окончательно имеем |u(x, y) − u(xi, yj)| ≤
≤ 2q(h + l), |u(x, y)− uij | ≤ 2q(h + l) + |δij |.
Оценим |z(x, y)− zij | для (x, y) ∈ Gij :
|z(x, y)− zij | ≤ |z(x, y)− z(x, yj)|+ |z(x, yj)− z(xi, yj)|+ |z(xi, yj)− zij | = A1 + A2 + A3,
A1 =
1
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
∣∣∣∣∣∣
x∫
0
y∫
0
f(s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
−
x∫
0
yj∫
0
f(s, t, u(s, t), z(s, t)) ds dt
(x− s)r1(yj − t)r2
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ M
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
[ x∫
0
yi∫
0
(x− s)−r1
[
(yj − t)−r2 − (y − t)−r2
]
ds dt+
+
x∫
0
y∫
yj
(x− s)−r1(y − t)−r2 ds dt
]
≤ Mλx1−r1
[
(y1−r2
j − y1−r2) + 2(y − yj)1−r2
]
=
= Mλx1−r1
[(
(y − yj)1−r2 − (y1−r2 − y1−r2
j )
)
+ (y − yj)1−r2
]
≤
≤ 2Mλx1−r1(y − yj)1−r2 ≤ 2Mλa1−r1 l1−r2 .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
462 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Аналогично получаем A2 ≤ 2Mλb1−r2h1−r1 . Следовательно, для (x, y) ∈ Gij
|z(x, y)− zij | ≤ 2Mλτ(h1−r1 + l1−r2) + |δij |, τ = max(a1−r1 , b1−r2). (17)
Согласно (15) – (17) получаем
|δi+1,j+1 − δi+1,j − δi,j+1 + δij | ≤ Khl(|δij |+ |γij |+ B), (18)
B = 2Mλτ(h1−r1 + l1−r2) + 2q(h + l) + ω(f ;h, l). (19)
Оценим γij :
|γi+1,j+1| = |z(xi+1, yj+1)− zi+1,j+1| ≤ |z(xi+1, yj+1)− ρ(xi+1, yj+1)|+
+ |ρ(xi+1, yj+1)− zi+1,j+1| = T1 + T2, (20)
T2 ≤ λ
i+1∑
k=1
j+1∑
p=1
∣∣f(xk−1, yp−1, u(xk−1, yp−1), z(xk−1, yp−1))−
− f (xk−1, yp−1, uk−1,p−1, zk−1,p−1)
∣∣ (x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)(
y1−r2
j−p+2 − y1−r2
j−p+1
)
≤
≤ λK
i+1∑
k=1
j+1∑
p=1
(|δk−1,p−1|+ |γk−1,p−1|)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)(
y1−r2
j−p+2 − y1−r2
j−p+1
)
. (21)
Из (20), (21) и (12) следует
|γi+1,j+1| ≤ Kλ
i+1∑
k=1
j+1∑
p=1
(|δk−1,p−1|+ |γk−1,p−1|)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)(
y1−r2
j−p+2 − y1−r2
j−p+1
)
+ A,
где A = λa1−r1b1−r2ω(ϕ;h, l).
Таким образом, δij и γij удовлетворяют соотношениям
|δi+1,j+1 − δi+1,j − δi,j+1 + δij | ≤ Khl(|δij |+ |γij |+ B),
|γi+1,j+1| ≤ Kλ
i+1∑
k=1
j+1∑
p=1
(|δk−1,p−1|+ |γk−1,p−1|)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)
×
×
(
y1−r2
j−p+2 − y1−r2
j−p+1
)
+ A, i = 0, n− 1, j = 0,m− 1, (22)
δi0 = δ0j = zi0 = z0j = 0, i = 0, n, j = 0,m.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 463
Оценки δij и γij получим через решение системы
u(x, y) = K
x∫
0
y∫
0
(u(s, t) + z(s, t)) ds dt + KBxy,
(23)
z(x, y) =
K
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
(x− s)−r1(y − t)−r2(u(s, t) + z(s, t)) ds dt + A.
Под решением системы (23) понимаем функции u, z : G → R такие, что u, z, uxy ∈ C(G).
Теорема 3. Если выполняется условие (8), то решение системы (23) существует и
единственно, причем u(x, y) и z(x, y) являются неубывающими функциями.
Доказательство. Рассмотрим последовательности {uk(x, y)}, {zk(x, y)}, где u0(x, y) =
= KBxy, z0(x, y) = A,
uk+1(x, y) = K
x∫
0
y∫
0
(uk(s, t) + zk(s, t)) ds dt + KBxy,
zk+1(x, y) =
A, (x, y) ∈ Jx ∪ Jy,
K
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
x∫
0
y∫
0
(uk(s, t) + zk(s, t)) ds dt
(x− s)r1(y − t)r2
, (x, y) ∈ G, k = 0, 1, 2, . . . .
Для (x, y) ∈ G очевидны следующие оценки:
u0(x, y) + z0(x, y) ≤ T, T = A + KBab,
0 ≤ µ0(x, y) ≤ µ1(x, y) ≤ . . . ≤ µk(x, y) ≤ . . . , µ = u, z,
uk+1(x, y)− uk(x, y) ≤ KTabγk, zk+1(x, y)− zk(x, y) ≤ KTλa1−r1b1−r2γk,
причем uk(x, y), zk(x, y) ∈ C(G).
Ряд u0 + (u1 − u0) + . . . + (uk+1 − uk) + . . . мажорируется рядом
T + KTab[1 + γ + . . . + γk + . . .] = T
[
1 +
Kab
1− γ
]
.
Следовательно, равномерно в G существует lim
k→∞
uk(x, y) = u(x, y), причем
u(x, y) ≤ T
(
1 +
Kab
1− γ
)
. (24)
Аналогично доказываем, что равномерно в G
lim
k→∞
zk(x, y) = z(x, y) ≤ T
(
1 +
Ka1−r1b1−r2λ
1− γ
)
. (25)
Очевидно, что u(x, y), z(x, y) — решение системы (23).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
464 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Докажем, что функции u(x, y), z(x, y) являются неубывающими по каждой перемен-
ной. Пусть (x1, y1), (x1, y2) ∈ G и y1 ≤ y2. Докажем, что µn(x1, y1) ≤ µn(x1, y2), µ = u, z.
Доказательство проведем по индукции. Очевидно, что µ0(x1, y1) ≤ µ0(x1, y2), и пусть
µk(x1, y1) ≤ µk(x1, y2). Докажем, что µk+1(x1, y1) ≤ µk+1(x1, y2). Если ξk(x, y) = uk(x, y)+
+zk(x, y), то
uk+1(x1, y2)− uk+1(x1, y1) = K
x1∫
0
y2∫
y1
ξk(s, t) ds dt + KB(y2 − y1)x1 ≥ 0,
zk+1(x1, y2)− zk+1(x1, y1) =
K
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
[ x1∫
0
y1∫
0
(x1 − s)−r1×
×
(
(y2 − t)−r2 − (y1 − t)−r2
)
ξk(s, t) ds dt +
x1∫
0
y2∫
y1
(x− s)−r1(y − t)−r2ξk(s, t) ds dt
]
. (26)
Учитывая, что первое слагаемое в (26) неположительное, а второе — неотрицательное,
имеем
x1∫
0
y1∫
0
(x1 − s)−r1((y2 − t)−r2 − (y1 − t)−r2)ξk(s, t) ds dt ≥
≥
∫ x1
0
(x1 − s)−r1ξk(s, y1)
y1∫
0
[
(y2 − t)−r2 − (y1 − t)−r2
]
dt
ds =
=
y1−r2
2 − y1−r2
1 − (y2 − y1)1−r2
1− r2
x1∫
0
(x1 − s)−r1ξk(s, y1) ds,
x1∫
0
y2∫
y1
(x1 − s)−r1(y2 − t)−r2ξk(s, t) ds dt ≥
x1∫
0
(x1 − s)−r1ξk(s, y1)
y2∫
y1
(y2 − t)−r2dt
ds =
=
(y2 − y1)1−r2
1− r2
x1∫
0
(x1 − s)−r1ξk(s, y1)ds.
Отсюда и из (26) получаем
zk+1(x1, y2)− zk+1(x1, y1) ≥
K(y1−r2
2 − y1−r2
1 )
Γ(1− r1)Γ(2− r2)
x1∫
0
(x1 − s)−r1ξk(s, y1) ds ≥ 0. (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 465
Как и (27), доказываем, что zk+1(x2, y1) ≥ zk+1(x1, y1), x1 ≤ x2.
Теорема 2 доказана.
Пусть Ghl = {(xi, yj) : xi = ih, yj = jl;xn = a, ym = b}, а A, B, K — положительные
постоянные.
Теорема 4. Пусть сеточные функции qh, ph : Ghl → R, βh, αh : Ghl → R+ такие, что
для i = 0, n− 1, j = 0,m− 1
|qi+1,j+1 − qi+1,j − qi,j+1 + qij | ≤ Khl(|qij |+ |pij |+ B),
(28)
|pi+1,j+1| ≤ A + Kλ
i+1∑
k=1
j+1∑
s=1
(|qk−1,s−1|+ |pk−1,s−1|)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)
×
(
y1−r2
j−s+2 − y1−r2
j−s+1
)
,
βi+1,j+1 ≥ βi+1,j + βi,j+1 − βij + Khl(βij + αij + B),
(29)
αi+1,j+1 ≥ A + Kλ
i+1∑
k=1
j+1∑
s=1
(αk−1,s−1 + βk−1,s−1)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)
×
(
y1−r2
j−s+2 − y1−r2
j−s+1
)
,
причем
qi0 = q0j = βi0 = β0j = 0, pi0 = p0j = αi0 = α0j = A, i = 0, n, j = 0,m. (30)
Тогда
|qij | ≤ βij , |pij | ≤ αij , (31)
при этом неравенствам (29) удовлетворяют βij = u(xi, yj), αij = z(xi, yj), где u(x, y),
z(x, y) — решение системы (23).
Доказательство. Помимо соотношений (31) докажем еще, что
|qi+1,j − qij | ≤ βi+1,j − βij , i = 0, n− 1, j = 0,m, (32)
|qi,j+1 − qij | ≤ βi,j+1 − βij , i = 0, n, j = 0,m− 1. (33)
Согласно (30) соотношения (31) имеют место для i = 0, j = 0,m и j = 0, i = 0, n, а
соотношения (32), (33) — соответственно для i = 0, n− 1, j = 0 и i = 0, n, j = 0.
Пусть Ei = {(xk, ys) : 0 ≤ k ≤ i, s = 0,m}, Ej = {(xk, ys) : k = 0, n, s = 0, j},
Tij = Ei ∪ Ej и соотношения (31) – (33) выполняются для (xk, ys) ∈ Tij Тогда, учитывая
(33), получаем
|qi+1,j+1| ≤ |qi+1,j + qi,j+1 − qij |+ Khl(|qij |+ |pij |+ B) ≤
≤ |qi+1,j |+ |qi,j+1 − qij |+ Khl(|qij |+ |pij |+ B) ≤
≤ βi+1,j + βi,j+1 − βij + Khl(βij + αij + B) ≤ βi+1,j+1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
466 А. Н. ВИТЮК, А. В. ГОЛУШКОВ
Кроме того,
|qi+1,j+1 − qi+1,j | ≤ |qi,j+1 − qij |+ Khl(|qij |+ |pij |+ B) ≤
≤ βi,j+1 − βij + Khl(βij + αij + B) ≤ βi+1,j+1 − βi+1,j .
Аналогично доказываем, что |qi+1,j+1 − qi,j+1| ≤ βi+1,j+1 − βi,j+1. Непосредственно про-
веряем, что |pi+1,j+1| ≤ αi+1,j+1.
Осталось доказать, что системе неравенств (29) удовлетворяют βij = u(xi, yj), αij =
= z(xi, yj). Пусть ξ(x, y) = u(x, y) + z(x, y). Тогда
u(xi+1, yj+1) = K
xi+1∫
0
yj+1∫
0
ξ(x, y) dx dy + KBxi+1yj+1 =
= K
[ xi+1∫
0
yj∫
0
ξ(x, y) dx dy +
xi∫
0
yj+1∫
0
ξ(x, y) dx dy −
xi∫
0
yj∫
0
ξ(x, y) dx dy
]
+
+ K
xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
ξ(x, y) dx dy + KB(xiyj+1 + xi+1yj − xiyj + hl) =
= K
{( xi+1∫
0
yj∫
0
ξ(x, y) dx dy + Bxi+1yj
)
+
( xi∫
0
yj+1∫
0
ξ(x, y) dx dy + Bxiyj+1
)
−
−
( xi∫
0
yj∫
0
ξ(x, y) dx dy + Bxiyj
)
+
( xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
ξ(x, y) dx dy + Bhl
)}
=
= u(xi+1, yj) + u(xi, yj+1)− u(xi, yj) + K
( xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
ξ(x, y) dx dy + Bhl
)
≥
≥ u(xi+1, yj) + u(xi, yj+1)− u(xi, yj) + K
( xi+1∫
xi
yj+1∫
yj
ξ(xi, yj) dx dy + Bhl
)
=
= u(xi+1, yj) + u(xi, yj+1)− u(xi, yj) + Khl(u(xi, yj) + z(xi, yj) + B).
Далее,
z(xi+1, yj+1) =
K
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
i+1∑
k=1
j+1∑
v=1
xk∫
xk−1
yv∫
yv−1
(xi+1 − s)−r1(yj+1 − t)−r2ξ(s, t) ds dt+A≥
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО ДРОБНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ 467
≥ K
Γ(1− r1)Γ(1− r2)
i+1∑
k=1
j+1∑
v=1
xk∫
xk−1
yv∫
yv−1
(xi+1 − s)−r1(yj+1 − t)−r2ξ(xk−1, yv−1) ds dt + A =
= Kλ
i+1∑
k=1
j+1∑
v=1
(uk−1,v−1 + zk−1,v−1)
(
x1−r1
i−k+2 − x1−r1
i−k+1
)(
y1−r2
j−v+2 − y1−r2
j−k+1
)
+ A.
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть функция f(x, y, u, z) удовлетворяет условиям а) – в) и выполняет-
ся условие (8). Тогда численный метод (13), (14) сходится к решению задачи (2), (3).
Доказательство. Из (22) и теоремы 4 следует
|δij | ≤ u(xi, yj) ≤ T
1 + Kab
1− γ
,
|γij | ≤ z(xi, yj) ≤ T
(
1 + λKa1−r1b1−r2
)
.
Остается учесть, что T → 0 при (h, l) → (0, 0).
Теорема 5 доказана.
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. Н. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их
приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
2. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Физматгиз, 1959. — 5. — 584 с.
3. Walczak S. Absolutely continuous functions of several variales and their application to differential equations
// Bull. Pol. Acad. Sci. Math. — 1987. — 35, № 11 – 12. — P. 733 – 744.
4. Parath Günter. Über die Differentialgleichung zxy = ϕ(x, y, z, zxy) // Math. Nachr. — 1967. — 33, № 1/2. —
S. 73 – 89.
5. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. — М.: Физматгиз, 1960. —
624 c.
Получено 20.07.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2005, т . 8, N◦ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178017 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T21:42:08Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Витюк, А.Н. Голушков, А.В. 2021-02-17T15:53:48Z 2021-02-17T15:53:48Z 2005 Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную / А.Н. Витюк, А.В. Голушков // Нелінійні коливання. — 2005. — Т. 8, № 4. — С. 456-467. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178017 517.954 ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Задача Дарбу для диференціального рівняння, яке містить дробову похідну The Darboux problem for a differential equation containing a fractional derivative Article published earlier |
| spellingShingle | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Витюк, А.Н. Голушков, А.В. |
| title | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| title_alt | Задача Дарбу для диференціального рівняння, яке містить дробову похідну The Darboux problem for a differential equation containing a fractional derivative |
| title_full | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| title_fullStr | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| title_full_unstemmed | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| title_short | Задача Дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| title_sort | задача дарбу для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178017 |
| work_keys_str_mv | AT vitûkan zadačadarbudlâdifferencialʹnogouravneniâsoderžaŝegodrobnuûproizvodnuû AT goluškovav zadačadarbudlâdifferencialʹnogouravneniâsoderžaŝegodrobnuûproizvodnuû AT vitûkan zadačadarbudlâdiferencíalʹnogorívnânnââkemístitʹdrobovupohídnu AT goluškovav zadačadarbudlâdiferencíalʹnogorívnânnââkemístitʹdrobovupohídnu AT vitûkan thedarbouxproblemforadifferentialequationcontainingafractionalderivative AT goluškovav thedarbouxproblemforadifferentialequationcontainingafractionalderivative |