Линейные системы управления с нечетким параметром
Розглядаються лiнiйнi системи управлiння з невизначеними параметрами, якi є елементами нечiткої множини. Для цiєї системи введено поняття жмутка траєкторiй i отримано деякi його властивостi. Також уведено поняття нечiткої множини досяжностi i доведено її опуклiсть та компактнiсть. We consider line...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178060 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейные системы управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. 2021-02-17T18:31:47Z 2021-02-17T18:31:47Z 2006 Линейные системы управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178060 517.9 Розглядаються лiнiйнi системи управлiння з невизначеними параметрами, якi є елементами нечiткої множини. Для цiєї системи введено поняття жмутка траєкторiй i отримано деякi його властивостi. Також уведено поняття нечiткої множини досяжностi i доведено її опуклiсть та компактнiсть. We consider linear control systems with undetermined parameters. The undetermined parameters are considered as elements of a fuzzy set. For a given system, we introduce the notion of a pencil of trajectories and obtain some of its properties. Also, we introduce the notion of a fuzzy attainable set and prove that it is convex and compact. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Линейные системы управления с нечетким параметром Лінійні системи керування з нечітким параметром Linear control systems with a fuzzy parameter Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Линейные системы управления с нечетким параметром |
| spellingShingle |
Линейные системы управления с нечетким параметром Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. |
| title_short |
Линейные системы управления с нечетким параметром |
| title_full |
Линейные системы управления с нечетким параметром |
| title_fullStr |
Линейные системы управления с нечетким параметром |
| title_full_unstemmed |
Линейные системы управления с нечетким параметром |
| title_sort |
линейные системы управления с нечетким параметром |
| author |
Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. |
| author_facet |
Молчанюк, И.В. Плотников, А.В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Лінійні системи керування з нечітким параметром Linear control systems with a fuzzy parameter |
| description |
Розглядаються лiнiйнi системи управлiння з невизначеними параметрами, якi є елементами нечiткої множини. Для цiєї системи введено поняття жмутка траєкторiй i отримано деякi його
властивостi. Також уведено поняття нечiткої множини досяжностi i доведено її опуклiсть та
компактнiсть.
We consider linear control systems with undetermined parameters. The undetermined parameters are
considered as elements of a fuzzy set. For a given system, we introduce the notion of a pencil of trajectories
and obtain some of its properties. Also, we introduce the notion of a fuzzy attainable set and prove that it
is convex and compact.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178060 |
| citation_txt |
Линейные системы управления с нечетким параметром / И.В. Молчанюк, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 61-67. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT molčanûkiv lineinyesistemyupravleniâsnečetkimparametrom AT plotnikovav lineinyesistemyupravleniâsnečetkimparametrom AT molčanûkiv líníinísistemikeruvannâznečítkimparametrom AT plotnikovav líníinísistemikeruvannâznečítkimparametrom AT molčanûkiv linearcontrolsystemswithafuzzyparameter AT plotnikovav linearcontrolsystemswithafuzzyparameter |
| first_indexed |
2025-11-25T04:54:43Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:54:43Z |
| _version_ |
1850507273503244288 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕЧЕТКИМ ПАРАМЕТРОМ
И. В. Молчанюк, А. В. Плотников
Одес. акад. строительства и архитектуры
Украина, 65029, Одесса, ул. Дидрихсона, 4
e-mail: i-molchanyuk@ukr.net
a-plotnikov@ukr.net
We consider linear control systems with undetermined parameters. The undetermined parameters are
considered as elements of a fuzzy set. For a given system, we introduce the notion of a pencil of trajectories
and obtain some of its properties. Also, we introduce the notion of a fuzzy attainable set and prove that it
is convex and compact.
Розглядаються лiнiйнi системи управлiння з невизначеними параметрами, якi є елементами не-
чiткої множини. Для цiєї системи введено поняття жмутка траєкторiй i отримано деякi його
властивостi. Також уведено поняття нечiткої множини досяжностi i доведено її опуклiсть та
компактнiсть.
Понятие нечеткого множества впервые введено в работе [1]. В работе [2] было рассмот-
рено дифференциальное уравнение с нечеткими начальными условиями, а в статье [3]
рассмотрены дифференциальные уравнения с нечеткой правой частью. Для такого типа
уравнений были введены понятия решений и доказаны теоремы их существования.
В данной работе рассматривается управляемое линейное дифференциальное уравне-
ние с нечеткими параметрами в правой части, рассмотрение свойств которого сводится к
исследованию управляемого дифференциального включения с нечеткой правой частью.
Получены некоторые свойства нечеткого пучка траекторий и множества достижимости.
Пусть Comp (Rn) (Conv (Rn)) — пространство непустых компактных (и выпуклых)
подмножеств евклидова пространства Rn с метрикой Хаусдорфа
h(A,B) = min {r ≥ 0|A ⊂ Sr(B), B ⊂ Sr(A)},
где A,B ∈ Comp (Rn), Sr(x) — шар радиуса r ≥ 0 с центром в точке x ∈ Rn, Sr(A) =
= A + Sr(0).
Рассмотрим дифференциальное включение
ẋ ∈ A(t)x + B(t)u + C(t)v, x(0) = x0, (1)
где x ∈ Rn — фазовый вектор, u(t) ∈ U(t) — вектор управления, U(·) : R1 → Conv (Rm)
— многозначное отображение, A(t), B(t), C(t) — матрицы соответствующих размернос-
тей n × n, n × m и n × k, v ∈ Rk — нечеткое внешнее воздействие (помеха), v(t) ∈ V
— нечеткое множество с характеристической функцией µ(x), µ(·) : Rk → [0, 1], которые
удовлетворяют следующим условиям:
Предположение 1. 1. Матрицы A(t), B(t), C(t) измеримы на R1.
2. Существуют константы a > 0, b > 0, c > 0 такие, что ‖A(t)‖ ≤ a, ‖B(t)‖ ≤
≤ b, ‖C(t)‖ ≤ c для почти всех t ∈ R1.
c© И. В. Молчанюк, А. В. Плотников, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1 61
62 И. В. МОЛЧАНЮК, А. В. ПЛОТНИКОВ
3. Многозначное отображение U(t) измеримо на R1.
4. Существует константа g > 0 такая, что ‖U(t)‖ ≤ g для почти всех t ∈ R1.
5. Характеристическая функция µ(·) : R1 → [0, 1] удовлетворяет условиям:
а) является модальной, т. е. существует хотя бы одно y0 ∈ Rk такое, что µ(y0) =
= 1;
б) µ(y) непрерывна по y;
в) для любого ε > 0 и y ∈ Rk \ {y|µ(y) = 1} существуют y1, y2 ∈ Rk такие, что
‖y − y1‖ < ε, ‖y − y2‖ < ε и µ(y1) < µ(y) < µ(y2);
г) множество [V ]0 = cl {y|µ(y) > 0} компактно.
Случай, когда ограничения на помеху были четкими, рассматривался в работах [4, 5].
Определение 1. α-Срезку нечеткого множества V определим следующим образом:
[V ]α =
{
{y ∈ Rn|µ(y) ≥ α}, α ∈ (0, 1],
cl {y ∈ Rn|µ(y) > α}, α = 0.
Свойство 1. Из условия 5 предположения 1 следует:
1) для любых α1, α2 таких, что α1 < α2, [V ]α2 ⊂ [V ]α1 ;
2) для любого 0 ≤ α ≤ 1 соответствующая α-срезка нечеткого множества V яв-
ляется компактным множеством в Rn.
Доказательство. 1. Возьмем любые α1 ∈ (0, 1], α2 ∈ (0, 1] такие, что α1 < α2, и пред-
положим противное, т. е. [V ]α2 не входит в [V ]α1 . Следовательно, существует хотя бы
один y ∈ Rn такой, что y принадлежит [V ]α2 и не принадлежит [V ]α1 . Согласно опре-
делению множества [V ]α2 , ему принадлежат y, для которых выполняется µ(y) ≥ α2, но
так как α1 < α2, то µ(y) > α1. Отсюда следует, что y ∈ [V ]α1 и выполняется условие
[V ]α2 ⊂ [V ]α1 .
2. Выберем произвольное α ∈ (0, 1] и покажем замкнутость. Рассмотрим любую по-
следовательность {yα
k }∞k=1 ∈ [V ]α, которая сходится к некоторому yα ∈ Rn. Покажем, что
yα ∈ [V ]α. Используя свойство непрерывности функции µ(y), получаем lim
k→∞
µ({yα
k }) →
→ µ(yα). Поскольку элементы последовательности {yα
k } принадлежат [V ]α для любого
k = 1,∞, то µ(yα
k ) ∈ [α, 1] для любого k = 1,∞. Следовательно, yα ∈ [V ]α.
Для случая α = 0 компактность множества [V ]0 следует из условия 5г) предположе-
ния 1. Согласно п. 1, для любого α ∈ (0, 1] [V ]α ⊂ [V ]0. Следовательно, [V ]α ∈ Rk —
компактно, что и требовалось доказать.
Рассмотрим управляемое нечеткое дифференциальное включение
ẋ ∈ A(t)x + B(t)u + C(t)V, x(0) = x0, (2)
которое получается из системы (1) при замене параметра v(t) на нечеткое множество V .
Системе (2) поставим в соответствие систему
ẋ ∈ A(t)x + B(t)u + C(t)[V ]α, x(0) = x0, (3)
где [V ]α — некоторая α-срезка нечеткого множества V, α ∈ [0, 1].
Определение 2. Множество всех измеримых селекторов U(·) на [0,∞) будем называть
множеством допустимых управлений и обозначать U .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕЧЕТКИМ ПАРАМЕТРОМ 63
Обозначим через [X(u)]α пучок траекторий системы (3), соответствующих допусти-
мому управлению u(·), а через [X(·, u)]α соответствующее сечение пучка [X(u)]α в мо-
мент времени t > 0.
Теорема 1. При выполнении условий предположения 1 для любого α ∈ [0, 1] и любого
допустимого управления u(·) соответствующий пучок [X(u)]α системы (3) удовлетво-
ряет условиям:
1) для всех t > 0 многозначное отображение [X(t, u)]α представимо в виде
[X(t, u)]α = Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)[V ]αds; (4)
2) [X(t, u)]α ∈ Conv (Rn) для всех t > 0;
3) при каждом допустимом управлении u(·) многозначная траектория [X(·, u)]α яв-
ляется абсолютно непрерывным многозначным отображением;
4) для любых α1, α2 ∈ [0, 1] таких, что α1 < α2, и для почти всех t > 0
[X(t, u)]α2 ⊂ [X(t, u)]α1 . (5)
Доказательство. Представление многозначной траектории [X(·, u)]α в виде (4) следу-
ет из формулы Коши для решения линейных дифференциальных уравнений и определе-
ния множества [X(t, u)]α.
Выполнение условия 2 следует из формулы (4), свойства 1 и свойств интеграла
Ауманна [6].
Справедливость условия 3 вытекает из [7, 8].
Докажем условие 4. Для любых α1, α2 ∈ [0, 1] при α1 > α2 [X(t, u)]α1 ⊂ [X(t, u)]α2 .
Запишем уравнение (4) для соответствующих пучков:
[X(t, u)]α1 = Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
o
Φ−1(s)C(s)[V ]α1ds,
[X(t, u)]α2 = Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
o
Φ−1(s)C(s)[V ]α2ds.
Поскольку, согласно свойству 1, [V ]α2 ⊂ [V ]α1 при α1 < α2, то
Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)[V ]α2ds ⊂ Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)[V ]α1ds, α1 < α2,
и, следовательно, [X(t, u)]α2 ⊂ [X(t, u)]α1 при α1 < α2.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
64 И. В. МОЛЧАНЮК, А. В. ПЛОТНИКОВ
Теорема 2. Пусть выполнены условия предположения 1. Если два любых нечетких
множества V1 и V2 такие, что для любого α ∈ [0, 1] conv [V1]α = conv [V2]α, то
для любого допустимого управления u(·) соответствующие пучки [X1(u)]α и [X2(u)]α
системы (3) удовлетворяют условию
[X1(t, u)]α = [X2(t, u)]α
при всех t ≥ 0.
Доказательство. Данная теорема следует из (4) и свойства интеграла Ауманна [6], что
для интегрируемого по Ауманну многозначного отображения выполняется свойство
T∫
0
F (t)dt =
T∫
0
conv (F (t))dt = conv
T∫
0
F (t)dt.
Определение 3. Назовем нечетким пучком траектории системы (2) нечеткое мно-
жество X(u) такое, что для любого t > 0 α-срезки X(t, u) совпадают с [X(t, u)]α ви-
да (4).
Определение 4. Нечеткое многозначное отображение будем называть абсолютно
непрерывным, если каждая его α-срезка является абсолютно непрерывным многознач-
ным отображением.
Определение 5. Нечеткое множество будем называть компактным, если каждая его
α-срезка является компактным множеством.
Определение 6. Нечеткое множество будем называть выпуклым, если каждая его
α-срезка является выпуклым множеством.
Определение 7 [3]. Интегралом от нечеткого многозначного отображения
∫ T
0
F (s)ds
будем называть нечеткое множество, α-срезки которого совпадают с интегралом от
α-срезки многозначного отображения F (·), т. е. выполняется условие
[ T∫
0
F (s)ds
]α
=
T∫
0
[F (s)]αds =
{ T∫
0
F (s)ds|f : R1 → Rk
}
,
где
∫ T
0
[F (s)]αds понимается в смысле интеграла Ауманна [6].
Теорема 3. При выполнении условий предположения 1 для любого допустимого управ-
ления u(·) соответствующий нечеткий пучок X(u) системы (2) удовлетворяет усло-
виям:
1) для всех t > 0 многозначное отображение X(t, u) представимо в виде
X(t, u) = Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)V ds, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕЧЕТКИМ ПАРАМЕТРОМ 65
где
∫ t
0
Φ−1(s)C(s)V ds понимается в смысле определения (6);
2) при каждом допустимом управлении u(·) многозначная траектория X(·, u) явля-
ется нечетким абсолютно непрерывным многозначным отображением.
Доказательство. Покажем справедливость (6). Существование интегралов
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds и
t∫
0
Φ−1(s)C(s)V ds
следует из [3, 8]. Рассмотрим α-срезку выражения, содержащегося в правой части (6):
[
Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)V ds
]α
=
= [Φ(t)x0]α +
[
Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds
]α
+
[
Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)V ds
]α
=
= Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)C(s)[V ]αds.
Согласно теореме 1, последнее выражение равно [X(t, u)]α. Тогда утверждение 1 сле-
дует из определения 2, утверждение 2 — из утверждения 1 данной теоремы, утверждения
3 теоремы 1 и определения 6.
Теорема доказана.
Определение 8. Множеством достижимости [Y (t)]α системы (3) назовем мно-
жество всех подмножеств из Comp (Rn), в которые можно перевести систему (3) из
начального состояния x0 с помощью допустимых управлений u(·) за время [0, T ].
Теорема 4. При выполнении условий предположения 1 для всех α ∈ [0, 1] множество
достижимости [Y (T )]α системы (3) выпукло и компактно.
Доказательство. Покажем выпуклость. Возьмем призвольное α ∈ (0, 1] и допустимые
управления u1(·), u2(·). Покажем, что для любого 0 ≤ β ≤ 1 существует такое допусти-
мое uβ(s), что
[X(T, uβ(s))]α = β [X(T, u1(s))]
α + (1− β) [X(T, u2(s))]
α .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
66 И. В. МОЛЧАНЮК, А. В. ПЛОТНИКОВ
Используя представление (4), получаем
β
[
Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u1(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)(s)[V ]αds
]
+
+ (1− β)
[
Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)u2(s)(s)ds + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)(s)[V ]αds
]
=
= Φ(t)x0 + Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)B(s)(βu1(s) + (1− β)u2(s))ds+
+ Φ(t)
t∫
0
Φ−1(s)(s)[V ]αds.
Поскольку для почти всех s ≥ 0 U(s) выпукло, существует такое uβ(s) ∈ U(s), что
uβ(s) = βu1(s) + (1 − β)u2(s). Значит, существует многозначная траектория [X(·, uβ)]α
такая, что [X(T, uβ)]α ⊂ [Y (T )]α. Следовательно, [Y (T )]α — выпукло.
Докажем компактность. Вначале покажем замкнутость. Рассмотрим любую последо-
вательность {[X(T, uk)]α}∞k=1 ∈ [Y (T )]α, которая сходится к некоторому X . Рассмотрим
последовательность {uk(·)}∞k=1, соответствующую последовательности {[X(T,
uk)]α}∞k=1. Согласно теореме Асколи – Арцела [9], из последовательности {uk(·)}∞k=1 мож-
но выделить слабосходящуюся подпоследовательность {uk1(·)}∞k1=1. Благодаря выпук-
лости U(t) для почти всех t ≥ 0 и теореме Мазура [10] можно построить последователь-
ность {[uk2(·)}∞k2=1, сильносходящуюся к некоторому ū(·). Перейдя к пределу, получим
lim
k2→∞
= [X(T, uk2 ]
α[X(T, ū(·))]α = X . Тем самым [Y (T )]α — замкнутое множество для
всех α ∈ [0, 1].
Рассмотрим дифференциальное включение вида
ẋ ∈ A(t)x + B(t)U(t) + C(t)[V ]α, x(0) = x0. (7)
Известно [11], что множество достижимости [Z(T )] системы (7) является выпуклым и
компактным. Обозначим через Z множество, элементами которого являются компактные
подмножества множества [Z(T )]. Поскольку Z — компактное множество [12], а Y [T ] —
его замкнутое подмножество, Y [T ] — компактно.
Теорема доказана.
Определение 9. Нечетким множеством достижимости Y (T ) системы (2) назовем
множество всех нечетких множеств, α-срезки которого совпадают с [Y (T )]α для всех
α ∈ [0, 1].
Тогда из теорем 3 и 4 вытекает справедливость следующей теоремы.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С НЕЧЕТКИМ ПАРАМЕТРОМ 67
Теорема 5. При выполнении условий предположения 1 нечеткое множество дости-
жимости Y (T ) системы (2) является выпуклым и компактным.
1. Zadeh L. A. Fuzzy set // Inform. and Contr. — 1965. — № 8. — P. 338 – 353.
2. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1998. — 98, № 1. — P. 147 – 148.
3. Park J. Y., Han H. K. Existence and uniquenees theorem for a solution of fuzzy difterential equation // Int. J.
Math. and Math. Sci. — 1999. — 2, №2. — P. 271 – 279.
4. Отакулов С. Задачи оптимизации для управляемых дифференциальных включений: Дис. ... д-ра физ.-
мат. наук. — Ташкент, 1993. — 270 с.
5. Плотников А. В. Исследование некоторых дифференциальных уравнений с многозначной правой
частью: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Одесса, 1994. — 198 с.
6. Aumann R. J. Integrals of the set-valued function // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — 12. — P. 1 – 12.
7. Arstein Z., Burne J. A. Integration of compact set-valued function // Pacif. J. Math. — 1975. — 58, № 2. —
P. 297 – 307.
8. Натансон И. П. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1974. — 319 с.
9. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1967. — 624 с.
10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа / Учеб. пособие. — М.:
Высш. шк., 1982. — 271 с.
11. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. — Ч. 2.
— 86 с.
12. Половинкин Е. С. Элементы теории многозначных отображений. — М.: Изд-во МФТИ, 1982. —
127 с.
Получено 11.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|