Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем
Наведено нову класифiкацiю фiксованих моментiв iмпульсної дiї (рiвномiрнi, функцiональнi, граничнi, кiлькiсно граничнi). Ряд результатiв, отриманих ранiше для коливних систем iз рiвномiрними та граничними моментами iмпульсної дiї, перенесено на такi ж системи з функцiональними моментами iмпульсної д...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178062 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем / Р.І. Петришин, Т.М. Сопронюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 68-84. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178062 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Петришин, Р.І. Сопронюк, Т.М. 2021-02-17T18:32:55Z 2021-02-17T18:32:55Z 2006 Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем / Р.І. Петришин, Т.М. Сопронюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 68-84. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178062 517.928 Наведено нову класифiкацiю фiксованих моментiв iмпульсної дiї (рiвномiрнi, функцiональнi, граничнi, кiлькiсно граничнi). Ряд результатiв, отриманих ранiше для коливних систем iз рiвномiрними та граничними моментами iмпульсної дiї, перенесено на такi ж системи з функцiональними моментами iмпульсної дiї. А саме, встановлено точнi вiдносно малого параметра ε оцiнки вiдхилення розв’язкiв та їх частинних похiдних вихiдної й усередненої початкової, крайової та багатоточкової задач. We give a new classification of fixed moments of the impulsive effect, including the uniform, functional, limited, quantitatively limited moments. A number of results that were obtained earlier for oscillating systems with uniform and limited moments of the impulsive effect has been transfered to similar systems with functional moments of the impulsive effects. Namely, we find estimates, which are exact with respect to a small parameter ε, for the deviation of solutions and their partial derivatives for the initial and the averaged initial value, boundary-value, and many point problems uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем Усреднение начальной и краевой задач для одного класса колебательных импульсных систем Averaging the initial value and the boundary-value problems for one class of oscillating impulsive systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| spellingShingle |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем Петришин, Р.І. Сопронюк, Т.М. |
| title_short |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| title_full |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| title_fullStr |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| title_full_unstemmed |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| title_sort |
усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем |
| author |
Петришин, Р.І. Сопронюк, Т.М. |
| author_facet |
Петришин, Р.І. Сопронюк, Т.М. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Усреднение начальной и краевой задач для одного класса колебательных импульсных систем Averaging the initial value and the boundary-value problems for one class of oscillating impulsive systems |
| description |
Наведено нову класифiкацiю фiксованих моментiв iмпульсної дiї (рiвномiрнi, функцiональнi, граничнi, кiлькiсно граничнi). Ряд результатiв, отриманих ранiше для коливних систем iз рiвномiрними та граничними моментами iмпульсної дiї, перенесено на такi ж системи з функцiональними моментами iмпульсної дiї. А саме, встановлено точнi вiдносно малого параметра ε оцiнки
вiдхилення розв’язкiв та їх частинних похiдних вихiдної й усередненої початкової, крайової та
багатоточкової задач.
We give a new classification of fixed moments of the impulsive effect, including the uniform, functional,
limited, quantitatively limited moments. A number of results that were obtained earlier for oscillating
systems with uniform and limited moments of the impulsive effect has been transfered to similar systems
with functional moments of the impulsive effects. Namely, we find estimates, which are exact with respect
to a small parameter ε, for the deviation of solutions and their partial derivatives for the initial and the
averaged initial value, boundary-value, and many point problems
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178062 |
| citation_txt |
Усереднення початкової та крайової задач для одного класу коливних імпульсних систем / Р.І. Петришин, Т.М. Сопронюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 1. — С. 68-84. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT petrišinrí userednennâpočatkovoítakraiovoízadačdlâodnogoklasukolivnihímpulʹsnihsistem AT sopronûktm userednennâpočatkovoítakraiovoízadačdlâodnogoklasukolivnihímpulʹsnihsistem AT petrišinrí usrednenienačalʹnoiikraevoizadačdlâodnogoklassakolebatelʹnyhimpulʹsnyhsistem AT sopronûktm usrednenienačalʹnoiikraevoizadačdlâodnogoklassakolebatelʹnyhimpulʹsnyhsistem AT petrišinrí averagingtheinitialvalueandtheboundaryvalueproblemsforoneclassofoscillatingimpulsivesystems AT sopronûktm averagingtheinitialvalueandtheboundaryvalueproblemsforoneclassofoscillatingimpulsivesystems |
| first_indexed |
2025-11-25T20:37:30Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:37:30Z |
| _version_ |
1850527126108766208 |
| fulltext |
УДК 517 . 928
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ КОЛИВНИХ IМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
Р. I. Петришин, Т. М. Сопронюк
Чернiв. нац. ун-т
Україна, 58012, Чернiвцi, вул. М. Коцюбинського, 2
We give a new classification of fixed moments of the impulsive effect, including the uniform, functional,
limited, quantitatively limited moments. A number of results that were obtained earlier for oscillating
systems with uniform and limited moments of the impulsive effect has been transfered to similar systems
with functional moments of the impulsive effects. Namely, we find estimates, which are exact with respect
to a small parameter ε, for the deviation of solutions and their partial derivatives for the initial and the
averaged initial value, boundary-value, and many point problems.
Наведено нову класифiкацiю фiксованих моментiв iмпульсної дiї (рiвномiрнi, функцiональнi, гра-
ничнi, кiлькiсно граничнi). Ряд результатiв, отриманих ранiше для коливних систем iз рiвномiр-
ними та граничними моментами iмпульсної дiї, перенесено на такi ж системи з функцiональни-
ми моментами iмпульсної дiї. А саме, встановлено точнi вiдносно малого параметра ε оцiнки
вiдхилення розв’язкiв та їх частинних похiдних вихiдної й усередненої початкової, крайової та
багатоточкової задач.
1. Вступ. Для дослiдження резонансних систем без iмпульсної дiї вiдомий пiдхiд, запро-
понований А. М. Самойленком i Р. I. Петришиним [1, 2], який ґрунтується на рiвномiрних
оцiнках осциляцiйних iнтегралiв.
Якщо ж зазначенi системи пiдлягають iмпульснiй дiї у фiксованi моменти часу, то крiм
оцiнок осциляцiйних iнтегралiв важливу роль вiдiграють оцiнки осциляцiйних сум.
При накладаннi певних обмежень на частоти за допомогою цих оцiнок розв’язано ши-
роке коло задач [1, 3 – 11], в тому числi обґрунтовано метод усереднення задачi Кошi та
крайових задач для багаточастотних систем з iмпульсною дiєю. Усереднена система при
цьому є гладкою, а функцiї, що визначають її праву частину, не мiстять осцилюючих скла-
дових.
Класифiкацiя систем звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсною дiєю наведена
у монографiї [12]. Там розглядаються системи з фiксованими i нефiксованими моментами
iмпульсної дiї та розривнi динамiчнi системи.
Ми ж будемо вивчати багаточастотнi системи диференцiальних рiвнянь з фiксовани-
ми моментами iмпульсної дiї tj , j = 1, 2, . . . .
Розглянемо послiдовнiсть вiдстаней мiж моментами iмпульсної дiї {t̄j}∞1 , де t̄j ≡ tj+1−
−tj . Для зручностi введемо ряд означень.
Означення 1. Моменти iмпульсної дiї (послiдовнiсть вiдстаней) назвемо рiвномiрни-
ми (рiвномiрною), якщо для всiх j ∈ N виконується рiвнiсть
tj+1 = tj + θ, θ > 0, θ = const.
Означення 2. Моменти iмпульсної дiї (послiдовнiсть вiдстаней) назвемо функцiо-
c© Р. I. Петришин, Т. М. Сопронюк, 2006
68 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 69
нальними (функцiональною), якщо для всiх j ∈ N виконується рiвнiсть
tj+1 = tj + θ(ε tj). (1)
Тут θ(τ) — гладка функцiя, θ(τ) ≥ θ0 = const > 0 для всiх τ > 0, ε — малий додатний
параметр.
Означення 3. Моменти iмпульсної дiї (послiдовнiсть вiдстаней) назвемо граничними
(граничною), якщо iснує границя
lim
j→∞
t̄j = θ > 0, θ = const.
Означення 4. Моменти iмпульсної дiї назвемо кiлькiсно граничними, якщо iснує гра-
ниця
lim
t→∞
K(t0, t)
t
=
1
θ
, θ = const.
Тут K(t0, t) — кiлькiсть моментiв iмпульсної дiї на iнтервалi (t0, t).
Очевидно, що граничнi моменти iмпульсної дiї є i кiлькiсно граничними, а зворотне
твердження є хибним.
Системи звичайних диференцiальних рiвнянь з рiвномiрними i кiлькiсно граничними
моментами iмпульсної дiї широко дослiджувались у монографiї [12]. У статтi [3] А. М. Са-
мойленко вперше обґрунтував метод усереднення для iмпульсних систем звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь стандартного вигляду з кiлькiсно граничними моментами iмпуль-
сної дiї.
Роботи [1, 4 – 9] присвячено якiсним методам дослiджень багаточастотних систем ди-
ференцiальних рiвнянь з рiвномiрними i граничними моментами iмпульсної дiї. Аналiзу-
ючи отриманi там результати, зазначимо, що саме тип моментiв iмпульсної дiї суттєво
впливає на порядок точних вiдносно малого параметра ε оцiнок. Далi будемо розгляда-
ти коливнi системи з функцiональними моментами iмпульсної дiї, тобто такi, для яких
справджується умова (1).
2. Постановка задачi. Розглянемо систему вигляду
dx
dτ
= a (x, ϕ, ξ, τ),
dϕ
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b (x, ϕ, ξ, τ), τ 6= τj ,
(2)
∆x|τ=τj = ε p(x, ϕ, ξ, τj), ∆ϕ|τ=τj = ε q (x, ϕ, ξ, τj),
в якiй x = (x1, . . . , xn) ∈ D, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) ∈ Rm, Q 3 (ξ1, . . . , ξs) = ξ — деякий
параметр, εt = τ ∈ I = [0, L], (0, ε0] 3 ε — малий параметр, tj — функцiональнi моменти
iмпульсної дiї, εtj = τj , D, Q — обмеженi вiдкритi областi, 0 < τ1 ≤ θ0ε, θ0 — стала,
не залежна вiд ε, τj+1 > τj для всiх j ∈ N, ∆x|τ=τj = x(τj + 0) − x(τj − 0), ∆ϕ|τ=τj =
= ϕ(τj + 0)− ϕ(τj − 0).
Припустимо, що функцiї c (x, ϕ, ξ, τ) = (a (x, ϕ, ξ, τ), b (x, ϕ, ξ, τ)) i r (x, ϕ, ξ, τ) =
= (p(x, ϕ, ξ, τ), q (x, ϕ, ξ, τ)) задовольняють умову Лiпшиця по всiх аргументах, 2π-перiодич-
нi по кожнiй компонентi вектора ϕ, розкладаються в рiвномiрно по ϕ збiжнi в G ≡ D ×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
70 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
×Rm ×Q× I ряди Фур’є∑
k
ck exp{i(k, ϕ)},
∑
k
rk exp{i(k, ϕ)},
причому ∑
‖k‖>0
‖ck‖ ‖k‖−
1
l+1 ≤ σ1,
∑
k
‖k‖ ‖rk‖ ≤ σ1,
(3)
(x, ξ, τ) ∈ D ×Q× I, σ1 = const > 0.
Тут i — уявна одиниця, (k, ϕ) — скалярний добуток в Rm, k = (k1, . . . , km) — вектор з цi-
лочисловими координатами, ‖k‖ =
√
(k, k), норму матрицi узгоджено з евклiдовою нор-
мою вектора, а ck = ck(x, ξ, τ) i rk = rk(x, ξ, τ) — коефiцiєнти Фур’є функцiй c(x, ϕ, ξ, τ) i
r(x, ϕ, ξ, τ).
Нехай θ(τ) ∈ C l
[0,L], ω(τ) ∈ C l
[0,L], l ≥ m,
det(W T
l (τ)Wl(τ)) 6= 0, Wl(τ) =
(
dg(θ(τ)ων(τ))
dτ g
)l,m
g,ν=1
, τ ∈ I, (4)
де ω = (ω1, . . . , ωm), W T
l — транспонована матриця.
Очевидно, що на вiдрiзку [0, L] виконуються нерiвностi
θ1 ≤ θ(τ) ≤ θ2, (5)
|θ′(τ)| ≤ θ2, ‖ω′(τ)‖ ≤ σ2, ‖ω(τ)‖ ≤ σ2, (6)
де σ2, θ1, θ2 — деякi додатнi сталi.
Розглянемо далi метод усереднення для системи (2) i поширимо отриманi ранiше [4 – 9]
результати для коливних систем з рiвномiрними та граничними моментами iмпульсної дiї
на випадок функцiональних послiдовностей. Подiбнi питання дослiджувались
у [10, 11].
3. Рiвномiрнi оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум. Розглянемо осциляцiйнi iнтеграл i
суму
Ik(τ, τ̄ , t̄, ε) =
τ+t̄∫
t̄
exp
i
ε
y∫
τ̄
(k, ω(z)) dz
dy,
(7)
Sk(τ, τ̄ , t̄, ε) =
∑
t̄≤τj<t̄+τ
ε exp
i
ε
τj∫
τ̄
(k, ω(z)) dz
,
де k = (k1, . . . , km) ∈ Zm\{0}, (k, ω(z)) = k1ω1(z) + . . . + kmωm(z), τ̄ ≥ t, t̄ ≥ t, t ∈ R,
τj/ε = tj — функцiональнi моменти iмпульсної дiї.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 71
Лема 1. Нехай виконуються припущення (1), (4). Тодi при досить малому ε0 > 0 для
всiх τ ∈ [0, L] i ε ∈ (0, ε0] справджуються оцiнки
|Ik(τ, 0, 0, ε)| ≤ σ3 ‖k‖−
1
l+1 ε
1
l+1 , (8)
|Sk(τ, 0, 0, ε)| ≤ σ4 ‖k‖ε
1
2l (9)
зi сталими σ3 i σ4, залежними вiд L, але не залежними вiд k i ε.
Доведення. Розглянемо спочатку осциляцiйний iнтеграл. При зроблених припущен-
нях функцiя (k, θ(z)ω(z)), а отже, i функцiя (k, ω(z)) мають на [0, L] скiнченне число нулiв
z1 < z2 < . . . < zs кратностi вiдповiдно r1, r2, . . . , rs, де rj ≤ l для всiх j = 1, s [2].
Як i в роботi [1], подамо вiдрiзок [0, τ ] у виглядi об’єднання множин вiдрiзкiв [0, τ ] =
= A1(τ)∪B1(τ) так, що множина B1(τ) складається iз скiнченного числа вiдрiзкiв довжи-
ни, не бiльшої за 2µ1, а в кожнiй точцi множини A1(τ) функцiя (k, θ(z)ω(z))′ вiдмiнна вiд
нуля i справджується оцiнка
|(k, θ(z)ω(z))| ≥ σ5 ‖k‖µl
1. (10)
Тут µ1 < 1 — деяке додатне число, яке означимо нижче.
Розглянемо складовi вiдрiзки [αν , βν ] множини A1(τ). Очевидно, що на них функцiя
(k, θ(z)ω(z)) є монотонною. На пiдставi нерiвностей (5), (6), (10) маємо∣∣∣∣∣∣
βν∫
αν
e
i
ε
yR
τ̄
(k,ω(z)) dz
dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣
βν∫
αν
ε
i (k, ω(y))
de
i
ε
yR
τ̄
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ε
2θ2
σ5 ‖k‖µl
1
+
βν∫
αν
|(k, ω(y))′|
(k, ω(y))2
dy
≤
≤ ε
2θ2
σ5‖k‖µl
1
+ θ2
∣∣∣∣∣∣
βν∫
αν
d
dy
(
1
θ(y)(k, ω(y))
)∣∣∣∣∣∣+ θ2
βν∫
αν
∣∣∣∣ θ′(y)
θ(y)(k, ω(y))
∣∣∣∣ dy
≤
≤ εθ2
σ5 ‖k‖µl
1
(4 + θ2(βν − αν)) .
Далi, повторюючи схему доведення з [1], отримуємо оцiнку
|Ik(τ, 0, 0, ε)| ≤ σ̃5
(
µ1 +
εµ−l
1
‖k‖
)
,
в якiй σ̃5 не залежить вiд µ1 i ε, але залежить вiд L. Звiдси при µl+1
1 = ε ‖k‖−1, σ4 = 2σ̃5
дiстанемо нерiвнiсть (8).
Тепер розглянемо осциляцiйну суму. Знову подамо вiдрiзок [0, τ ] у виглядi [0, τ ] =
= A2(τ) ∪ B2(τ). Вiднесемо до множини B2(τ) вiдрiзки малої довжини 2µ2, на яких є
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
72 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
резонанси, i вiдрiзки довжиною 2µ2, середини яких є нулями функцiї (θ(z)(k, ω(z)))′. На
вiдрiзках множини A2(τ) справджується оцiнка [6]
|(k, θ(z)ω(z))′| ≥ σ5 ‖k‖µl−1
2 , σ5 = const. (11)
Як i в роботi [6], оцiнимо суму Sk(τ, 0, 0, ε) на обох множинах:
|Sk(τ, 0, 0, ε)) | ≤
∣∣∣∣∣∣
∑
τj∈A2(τ)
ε exp
i
ε
τj∫
0
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣+ 2(d(k) + s)µ2 ≤
≤ D +
d(k)+s+1∑
ν=1
∑
αν≤τj<βν
Dj + 2(d(k) + s)µ2, (12)
де
D = (d(k) + s+ 1)
ε+
1
min
τj∈A2(τ)
∣∣∣∣∣∣∣exp
i
ε
τj+1∫
τj
(k, ω(z)) dz
− 1
∣∣∣∣∣∣∣
,
(13)
Dj =
∣∣∣∣∣∣∣
τj+2∫
τj+1
(k, ω(z)) dz −
τj+1∫
τj
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣∣
4
∣∣∣∣∣∣∣sin
1
2 ε
τj+2∫
τj+1
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣sin
1
2 ε
τj+1∫
τj
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣∣
,
d(k) — кiлькiсть резонансних вiдрiзкiв, s — кiлькiсть нулiв функцiї (θ(z)(k, ω(z)))′ на вiд-
рiзку [0, τ ], [αν , βν ] — складовий вiдрiзок множини A2(τ), на якому функцiя θ(z)(k, ω(z)) є
монотонною.
Очевидно, що резонанснi явища виникають, коли знаменник Dj дорiвнює нулю або
близький до нуля. Зазначимо, що 2µ2-околи таких точок множинi A2(τ) не належать.
Розглянемо осциляцiйну суму при τj ∈ [αν , βν ]. Як i в роботi [6], використовуючи не-
рiвнiсть
| sinx| ≥ 2
π
min
n∈Z
|x− π n|, x ∈ R,
маємо ∣∣∣∣∣∣∣sin
1
2ε
τj+1∫
τj
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 2 min
n∈Z
∣∣∣∣∣∣∣
1
2πε
τj+εθ(τj)∫
τj
(k, ω(z)) dz − n
∣∣∣∣∣∣∣ . (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 73
Отже, резонанснi явища виникають, коли
f(y) ≡ 1
2πε
y+εθ(y)∫
y
(k, ω(z)) dz,
як функцiя y, набуває цiлочислових i близьких до них значень.
Оскiльки |f(y)| ≤ ‖k‖θ2σ2/(2π) ≡ γ, то iснує не бiльше нiж d(k) ≤ 2γ+1 цiлих значень
функцiї f(y).
Нехай число f(τ ′) знаходиться в ζ-околi деякого цiлого числа n1, ζ < δ/2 < 1/2.
Величину δ означимо нижче. Покажемо, що в довiльнiй точцi τ ′′, в якiй справджується
нерiвнiсть |τ ′′ − τ ′| > µ2, виконується оцiнка |f(τ ′′)− n1| ≥ δ.
Враховуючи нерiвностi (5), (6), (11) i монотоннiсть функцiї θ(z)(k, ω(z)) на кожному
вiдрiзку [αν , βν ], маємо∣∣[f(τ ′′) −n1]− [f(τ ′)− n1]
∣∣ =
1
2π
∣∣θ(τ ′′)(k, ω(τ ′′ + ελ̄))− θ(τ ′)(k, ω(τ ′ + ελ))
∣∣ =
=
1
2π
∣∣∣[θ(τ ′′)(k, ω(τ ′′))− θ(τ ′)(k, ω(τ ′))
]
−
[
θ(τ ′′)(k, ω(τ ′′))− θ(τ ′′)(k, ω(τ ′′ + ελ̄))
]
−
−
[
θ(τ ′)(k, ω(τ ′ + ελ))− θ(τ ′)(k, ω(τ ′))
]∣∣∣ ≥ ‖k‖
2π
(
σ5µ
l−1
2
∣∣τ ′ − τ ′′
∣∣− 4 εθ2
2σ2
)
≥
≥ σ5 ‖k‖
2π
µl−1
2
(∣∣τ ′ − τ ′′
∣∣− µ2
2
)
≡ δ
2
(15)
при ε <
σ5
8 θ2
2 σ2
µl
2. Тут λ, λ̄ — деякi точки з вiдрiзка [θ1, θ2].
Позначимо через τj0 найближчу до τ ′ точку iмпульсної дiї, розташовану поза її
µ2-околом. Тодi для всiх j ∈ N виконується нерiвнiсть
|f(τj)− n1| ≥ δ ≥ σ6 ‖k‖µl−1
2 (µ2 + |j − j0|θ1 ε) (16)
зi сталою σ6 = σ5/(2π).
Отже, iснує d(k) вiдрiзкiв довжини 2µ2, на яких функцiя f(y) набуває цiлих i близьких
до цiлих значень, а поза ними для кожного цiлого n1 ∈ [−γ, γ] виконується нерiвнiсть
(16), в якiй j0 визначається умовою, що τj0 найближча з точок iмпульсної дiї τj , j ≥ 1, до
вiдповiдної точки τ ′.
Оцiнимо спочатку тi доданки Dj , для яких мiнiмум функцiї |f(τj)−n| по n досягається
при n = n1 ∈ [−γ, γ]. Нехай ξ — номер точки iмпульсної дiї τξ з вiдрiзка [αν , βν ], в якiй
досягається мiнiмум функцiї |f(τj)− n1| по j.
Bраховуючи (14), (16), одержуємо нерiвностi
Dj ≤ ε
|θ(τj+1)(k, ω(τ∗j+1))− θ(τj)(k, ω(τ∗j ))|
16 min
n∈Z
|f(τj+1)− n|min
n∈Z
|f(τj)− n|
≤
≤ ε
|θ(τj+1)− θ(τj)|
∣∣∣(k, ω(τ∗j+1))
∣∣∣+ θ(τj)|(k, ω(τ∗j+1))− (k, ω(τ∗j ))|
16σ2
6 ‖k‖2µ2l−2
2 (µ2 + |j + 1− ξ|θ1ε) (µ2 + |j − ξ|θ1ε)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
74 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
Далi на пiдставi нерiвностей (6), (13) дiстаємо
∣∣∣∣∣∣
∑
τj∈A2(τ)
ε exp
i
ε
τj∫
0
(k, ω(z)) dz
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ (d(k) + s+ 1)
ε+
ε π
4 θ1σ6 ‖k‖µl
2
+
3 ε2 θ2
2 σ2
16σ2
6 ‖k‖µ2l
2
∞∑
j=1
1
(1 + jθ1 ε/µ2)2
+ 2
.
Враховуючи нерiвностi (12) i
∞∑
j=1
1
(1 + jθ1ε/µ2)2
<
∞∫
1
1
(1 + xθ1ε/µ2)2
dx <
µ2
θ1ε
,
маємо
|Sk(τ, 0, 0, ε)| ≤ σ7(d(k) + s+ 1)
(
µ2 + ε+
ε
µl
2
+
ε2
µ2l
2
+
ε
µ2l−1
2
)
з деякою додатною сталою σ7.
Вибираючи
µ2 = ε
1
2 l , σ4 =
5(d(k) + s+ 1)σ7
‖k‖
,
отримуємо оцiнку (9).
Лему доведено.
Для оцiнки осциляцiйного iнтеграла i суми (7) накладемо обмеження∥∥(W T
l (τ)Wl(τ))−1W T
l (τ)
∥∥ ≤ σ1, τ ∈ Rt0 ≡ [t0,∞). (17)
Лема 2. Якщо функцiї (θ(τ)ω(τ))(ν), ν = 0, l, рiвномiрно неперервнi на Rt0 , для всiх
τ ∈ Rt0 виконуються умови (1), (5), (17) i одне з двох припущень:
1) ‖ω(τ))‖ ≤ σ2, |θ′(τ)| ≤ θ2;
2) ‖ω′(τ))‖ ≤ σ2,
то для всiх τ ∈ [t̄, t̄+ L], t̄ ≥ t, τ̄ ≥ t, t ∈ Rt0 , i ε ∈ (0, ε0] справджується оцiнка
|Sk(τ, τ̄ , t̄, ε)| ≤ σ̃4 ‖k‖ ε
1
2l+1 . (18)
Якщо ж виконуються обидва припущення, то замiсть (18) дiстанемо оцiнку
|Sk(τ, τ̄ , t̄, ε)| ≤ σ̄4 ‖k‖ε
1
2l . (19)
Тут σ̄4 i σ̃4 — сталi, не залежнi вiд k, ε, τ̄ , t̄, але залежнi вiд L.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 75
Доведення. З умови рiвномiрної неперервностi функцiї θ(τ)ω(τ) на Rt0 випливає iсну-
вання такої сталої c = c(L), що справджується оцiнка
max
[t̄,t̄+L]
{(k, θ(τ)ω(τ))} − min
[t̄,t̄+L]
{(k, θ(τ)ω(τ))} ≤ ‖k‖ c. (20)
Врахувавши (20), визначимо кiлькiсть цiлих значень функцiї f(τ) на вiдрiзку [t̄, t̄+ L].
Нехай τ ′′, τ ′ — точки вiдповiдно максимуму i мiнiмуму функцiї f(τ) на промiжку [t̄, t̄+L].
Припустимо, що виконується припущення 1 леми. Тодi
f(τ ′′)− f(τ ′) =
1
2π
[
θ(τ ′′ + ελ̄)(k, ω(τ ′′ + ε λ̄))− θ(τ ′ + ε λ)(k, ω(τ ′ + ε λ))−
−
(
θ(τ ′′ + ε λ̄)(k, ω(τ ′′ + ε λ̄))− θ(τ ′′)(k, ω(τ ′′ + ε λ̄))
)
−
−
(
θ(τ ′)(k, ω(τ ′ + ε λ))− θ(τ ′ + ε λ)(k, ω(τ ′ + ε λ))
) ]
. (21)
Звiдси
f(τ ′′)− f(τ ′) ≤ ‖k‖
2π
(
c+ 4εθ2
2σ2
)
,
тому кiлькiсть d(k) цiлих значень функцiї f(τ) на вiдрiзку [t̄, t̄ + L] не перевищує числа
‖k‖
(
c+ 4θ2
2σ2
)
/π + 1.
Отже, далi з леми 1 випливає нерiвнiсть (19).
Для встановлення оцiнки (18) зазначимо, що при доведеннi леми 1 оцiнку (16) одержа-
но на пiдставi припущення 2 леми 2. Якщо використати тепер припущення 1 i врахувати
рiвнiсть (21), в якiй точки τ ′′, τ ′ мають той же змiст, що i в (15), то знов отримаємо нерiв-
ностi ∣∣f(τ ′′)− f(τ ′)
∣∣ ≥ ‖k‖
2π
(
σ5 µ
l−1
2 |τ ′′ − τ ′| − 4 ε θ2
2 σ2
)
≥ δ
2
. (22)
Тодi оцiнка (16) набуде вигляду
|f(τj)− n1| ≥ δ ≥ σ6 ‖k‖µl
2, j ∈ N. (23)
Щодо оцiнки доданкiв Dj , то тут в доведеннi леми 1 використовувались обидва припу-
щення леми 2. Вiдмовимось, наприклад, вiд першого з них. Тодi, враховуючи (23) i моно-
тоннiсть функцiї θ(z)(k, ω(z)), одержуємо
∑
αν≤τj<βν
Dj ≤
ε
4δ2
∑
αν≤τj<βν
∣∣∣∣∣[θ(τj+1)(k, ω(τj+1))−
− θ(τj) (k, ω(τj))]− [θ(τj+1)(k, ω(τj+1))− θ(τj+1) (k, ω(τj+1 + ε λj+1))]−
− [θ(τj)(k, ω(τj + ε λj))− θ(τj)(k, ω(τj))]
∣∣∣∣∣ ≤ ε(2θ2 σ2 + 2θ2
2σ2(βν − αν)/θ1)
‖k‖µ2l
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
76 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
Така ж оцiнка справджується i в тому випадку, коли виконується лише припущення 1 ле-
ми 2.
Об’єднуючи останню оцiнку з (12), дiстаємо нерiвнiсть
|Sk(τ, 0, 0, ε)| ≤ σ̃7(d(k) + s+ 1)
(
µ2 + ε+
ε
µl
2
+
ε
µ2l
2
)
з деякою додатною сталою σ̃7.
Вибираючи
µ2 = ε
1
2l+1 , σ̃4 =
4(d(k) + s+ 1)σ̃7
‖k‖
,
отримуємо нерiвнiсть (18).
Лему доведено.
Зауваження 1. Якщо в лемi 2 взагалi вiдмовитись вiд обмежень |θ′(τ)| ≤ θ2, ‖ω′(τ))‖ ≤
≤ σ2, а вимагати лише рiвномiрну неперервнiсть на Rt0 функцiй θ(τ) або ω(τ), то для
довiльного досить малого η > 0 можна вказати таке ε0 = ε0(η) > 0, що при τ ∈ [t̄, t̄+ L],
t̄ ≥ t, τ̄ ≥ t, t ∈ Rt0 i ε ∈ (0, ε0]
|Sk(τ, τ̄ , t̄, ε)| ≤ ‖k‖ η.
Використовуючи методику, розроблену в роботах [1, 4], та враховуючи схему доведен-
ня леми 1, дiстаємо таке твердження.
Лема 3. Нехай:
1) виконується умова (17), а функцiї (θ(τ)ω(τ))(ν), ν = 0, l, рiвномiрно неперервнi
на Rt0 ;
2) 0 < θ(τ) ≤ θ2, τ ∈ Rt0 ;
3) |θ′(τ)| ≤ θ2, τ ∈ Rt0 .
Тодi при досить малому ε0 > 0 для всiх τ ∈ [t̄, t̄+ L], t̄ ≥ t, τ̄ ≥ t, t ∈ Rt0 , i ε ∈ (0, ε0]
справджується оцiнка
|Ik(τ, τ̄ , t̄, ε)| ≤ σ̄3 ‖k‖−
1
l+1 ε
1
l+1 .
Якщо замiсть припущення 3 вимагати виконання припущення ‖ω′(τ))‖ ≤ σ2, τ ∈ Rt0 ,
то оцiнка осциляцiйного iнтеграла набере вигляду
|Ik(τ, τ̄ , t̄, ε)| ≤ σ̃3 ‖k‖−
1
2l+1 ε
1
2l+1 ,
де σ̄3 i σ̃3 — сталi, залежнi вiд L, але не залежнi вiд t̄, τ̄ , ε i k.
4. Усереднення на вiдрiзку. Поставимо у вiдповiднiсть системi (2) усереднену по куто-
вих змiнних ϕ систему
dx̄
dτ
= ā(x̄, ξ, τ) +
p̄(x̄, ξ, τ)
θ(τ)
,
dϕ̄
dτ
=
ω(τ)
ε
+ b̄(x̄, ξ, τ) +
q̄(x̄, ξ, τ)
θ(τ)
, (24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 77
де
[
ā(x, ξ, τ), b̄(x, ξ, τ), p̄(x, ξ, τ), q̄(x, ξ, τ)
]
=
= [a0(x, ξ, τ), b0(x, ξ, τ), p0(x, ξ, τ), q0(x, ξ, τ)] =
= (2π)−m
2π∫
0
. . .
2π∫
0
[a(x, ϕ, ξ, τ), b(x, ϕ, ξ, τ), p(x, ϕ, ξ, τ), q(x, ϕ, ξ, τ)] dϕ1 . . . dϕm.
Позначимо через xτ (t, y, ψ, ξ, ε), ϕτ (t, y, ψ, ξ, ε) i x̄τ (t, y, ξ), ϕ̄τ (t, y, ψ, ξ, ε) розв’язки си-
стем вiдповiдно (2) i (24), якi при τ = t набувають значень y, ψ.
Нехай D ⊃ D1 — деяка куля в Rn.
Теорема 1. Припустимо, що:
1) виконуються умови (1), (3), (4);
2) крива x̄ = x̄τ (0, y, ζ) лежить в D ×Q разом iз своїм ρ-околом при τ ∈ [0, L].
Тодi iснує таке досить мале додатне ε0, що для всiх τ ∈ [0, L], ψ ∈ Rm, ζ ∈ Q i
ε ∈ (0, ε0] справджується оцiнка
‖Uτ (0, y, ψ, ζ, ε)‖ ≤ σ8 ε
1
4l , (25)
де Uτ (t, y, ψ, ζ, ε) = (xτ (t, y, ψ, ζ, ε)− x̄τ (t, y, ζ), ϕτ (t, y, ψ, ζ, ε)− ϕ̄τ (t, y, ψ, ζ, ε)), σ8 = σ8(L).
Якщо ж функцiї c(x, ϕ, ξ, τ) i r(x, ϕ, ξ, τ) мають неперервнi частиннi похiднi першо-
го порядку по всiх змiнних i вони задовольняють умову Лiпшиця по всiх аргументах зi
сталою σ1 в областi G, а замiсть умов (3) припустити, що в кожнiй точцi (x, ξ, τ) ∈
∈ D ×Q× I виконуються нерiвностi
∑
k 6=0
[
‖k‖ ‖ck‖+
∥∥∥∥∂ck∂x
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂ck∂ξ
∥∥∥∥] ‖k‖−1/(l+1) ≤ σ1,
(26)∑
k
[
‖k‖ ‖rk‖+
∥∥∥∥∂rk∂x
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂rk∂ξ
∥∥∥∥] ‖k‖ ≤ σ1,
то можна вказати таке ε0 > 0, що при τ ∈ I, y ∈ D1, ψ ∈ Rm, ζ ∈ Q i ε ∈ (0, ε0]
додатково має мiсце оцiнка∥∥∥∥∂Uτ (0, y, ψ, ζ, ε)
∂y
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂Uτ (0, y, ψ, ζ, ε)
∂ ψ
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂Uτ (0, y, ψ, ζ, ε)
∂ ζ
∥∥∥∥ ≤ σ̄8 ε
1
4l . (27)
Доведення. У працi [4] розглянуто аналогiчну теорему для iмпульсних багаточастот-
них систем у випадку рiвномiрних моментiв iмпульсної дiї, коли θ(τ) = const. Її доведення
ґрунтується на вiдповiдних оцiнках осциляцiйних iнтегралiв i сум. Використаємо запро-
поновану там схему доведення, застосувавши оцiнки (8), (9).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
78 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
З систем (2), (24) матимемо
Uτ (0, y, ψ, ζ, ε) =
τ∫
0
(c(x(t, y, ψ, ζ, ε), ϕ(t, y, ψ, ζ, ε), ζ, t)− c̄(x̄(t, y, ζ), ζ, t)) dt+
+ε
∑
0<τj<τ
r(x(τj , y, ψ, ζ, ε), ϕ(τj , y, ψ, ζ, ε), ζ, τj)−
τ∫
0
r̄(x̄(t, y, ζ), ζ, t)
θ(t)
dt. (28)
Для встановлення нерiвностi (25) залишилось оцiнити суму
S =
∑
0<τj<τ
εr̄(x̄(τj , y, ζ), ζ, τj)− τj+1∫
τj
r̄(x̄(t, y, ζ), ζ, t)
θ(t)
dt
. (29)
Очевидно, що
S =
∑
0<τj<τ
τj+1∫
τj
(
r̄(x̄(τj , y, ζ), ζ, τj)
θ(τj)
− r̄(x̄(t, y, ζ), ζ, t)
θ(t)
)
dt =
=
∑
0<τj<τ
τj+1∫
τj
(θ(t)− θ(τj))r̄(x̄(τj , y, ζ), ζ, τj)
θ(τj)θ(t)
dt+
+
∑
0<τj<τ
τj+1∫
τj
r̄(x̄(τj , y, ζ), ζ, τj)− r̄(x̄(t, y, ζ), ζ, t)
θ(t)
dt, ‖S‖ ≤ σ9ε, σ9 = const.
Використовуючи останню нерiвнiсть, оцiнки (8), (9) i схему доведення з [4], одержуємо
iнтегро-сумарну нерiвнiсть
‖Uτ (0, y, ψ, ζ, ε)‖ ≤ σ1
τ∫
0
‖Uτ (t, y, ψ, ζ, ε)‖ dt+ ε σ1
∑
0<τj<τ
‖Uτ (τj , y, ψ, ζ, ε)‖+
+ σ10
(
∆1 + ε+ (ε
1
2l + ε
1
l+1 )/∆1
)
з деякими додатними сталими σ10, ∆1, розв’язок якої, згiдно з [12], задовольняє оцiнку
‖Uτ (τj , y, ψ, ζ, ε))‖ ≤ σ10e
Lσ1(1+ 1
θ1
)
(
∆1 + ε+ (ε
1
2l + ε
1
l+1 )/∆1
)
.
Покладемо
∆1 = ε
1
4l , σ8 = 4σ10 e
Lσ1
�
1+ 1
θ1
�
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 79
i дiстанемо нерiвнiсть (25).
Для встановлення нерiвностi (27) продиференцiюємо рiвнiсть (28) вiдповiдно по y, ψ,
ζ i скористаємось схемою отримання оцiнки частинних похiдних для рiвномiрних [7] i гра-
ничних [6] моментiв iмпульсної дiї.
На вiдмiну вiд рiвномiрних i граничних моментiв iмпульсної дiї для функцiональних
послiдовностей вiдстаней функцiя θ(τ) вже не є сталою i для неї справджуються умови
(5), (6), тому отриманi в [6, 7] оцiнки залишаються без змiн з точнiстю до сталих.
Нам залишилось оцiнити частиннi похiднi суми (29).
З усереднених рiвнянь для повiльних змiнних маємо∥∥∥∥∂x̄(τ, y, ζ)∂ ζ
∥∥∥∥ ≤ θ3 e
θ3 ,
∥∥∥∥∂x̄(τ, y, ζ)∂y
∥∥∥∥ ≤ n eθ3 ,
∥∥∥∥ ∂x̄∂ ζ
∣∣∣∣
t=t′
− ∂x̄
∂ ζ
∣∣∣∣
t=t′′
∥∥∥∥ ≤ σ1(1 + θ1)(1 + θ3 e
θ3)
∣∣t′ − t′′
∣∣ , (30)
∥∥∥∥ ∂x̄∂y
∣∣∣∣
t=t′
− ∂x̄
∂y
∣∣∣∣
t=t′′
∥∥∥∥ ≤ σ1(1 + θ1)n eθ3
∣∣t′ − t′′
∣∣ ,
де θ3 = σ1(1 + θ1)L.
Використаємо оцiнки (30) i умову Лiпшиця для частинних похiдних першого порядку
функцiї r(x, ϕ, ξ, τ). Тодi дiстанемо∥∥∥∥∂S∂y
∥∥∥∥ ≤ σ11 ε,
∥∥∥∥∂S∂ ζ
∥∥∥∥ ≤ σ11 ε,
∥∥∥∥ ∂S∂ ψ
∥∥∥∥ ≡ 0. (31)
Далi в доведеннi замiнимо оцiнки осциляцiйних iнтегралiв i сум для рiвномiрних або гра-
ничних моментiв iмпульсної дiї оцiнками (8), (9).
З нерiвностей (5), (6), (30), (31) випливає iнтегро-сумарна нерiвнiсть
∥∥∥∥∂Uτ (t, y, ψ, ζ, ε)
∂ d
∥∥∥∥ ≤ σ12
τ∫
0
∥∥∥∥ ∂∂ d Uτ (t, y, ψ, ζ, ε)
∥∥∥∥ dt+
+ ε
∑
0<τj<τ
∥∥∥∥ ∂∂ d Uτ (τj , y, ψ, ζ, ε)
∥∥∥∥+
(
∆2 + ε+
(
ε
1
2l + ε
1
l+1
)
/∆2
) ,
d = (y, ψ, ζ),
з деякими додатними сталими σ12, ∆2, розв’язок якої задовольняє оцiнку∥∥∥∥∂U∂ d
∥∥∥∥ ≤ σ12e
L σ12(1+θ1)
(
∆2 + ε+
(
ε
1
2l + ε
1
l+1
)
/∆2
)
.
Виберемо
∆2 = ε
1
4l , σ̄8 = 8σ12 e
Lσ12(1+θ1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
80 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
i отримаємо оцiнку (27), що й завершує доведення теореми.
Теорема 1 залишається справедливою, якщо замiсть часового промiжку [0, L] роз-
глянути будь-який iнший вiдрiзок часу довжиною L. При цьому в оцiнках (25), (27) змi-
няться лише сталi в залежностi вiд початкової точки вiдрiзка. Для обґрунтування методу
усереднення на пiвосi потрiбно мати оцiнки типу (25), (27) зi сталими, не залежними вiд
початку вiдрiзка.
5. Усереднення на пiвосi. Припустимо, що в системi (2) функцiї c(x, ϕ, ξ, τ), r(x, ϕ, ξ, τ)
не залежать вiд параметра ξ, тобто c(x, ϕ, ξ, τ) ≡ c(x, ϕ, τ), r(x, ϕ, ξ, τ) ≡ r(x, ϕ, τ).
На пiдставi лем 2 i 3 легко довести наступну теорему.
Теорема 2. Нехай:
1) виконуються умови (1), (3), (5), (6), (17) при τ ∈ Rt0 = [t0,∞);
2) функцiї (θ(τ)ω(τ))(ν), (τ), ν = 0, l, рiвномiрно неперервнi на Rt0 ;
3) крива x̄ = x̄τ (t̄, y) лежить в D разом iз своїм ρ-околом при τ ∈ [t̄, t̄+ L].
Тодi iснує таке ε0 > 0, що при τ ∈ [t̄, t̄ + L], t̄ ∈ Rt0 , ψ ∈ Rm, i ε ∈ (0, ε0] справджу-
ється оцiнка
‖Uτ (t̄, y, ψ, ε)‖ ≤ σ13ε
1
4l , (32)
де σ13 залежить вiд L, але не залежить t̄.
Зауваження 2. З леми 2 випливає, що коли вiдмовитись вiд обмеження ‖ω′(τ)‖ ≤ σ2,
то порядок ε в оцiнцi (32) погiршиться, i вона набере вигляду
‖Uτ (t̄, y, ψ, ε)‖ ≤ σ13(L)ε
1
4l+2 .
На пiдставi лем 2 i 3 теорему 3 з роботи [7] можна перефразувати так.
Теорема 3. Нехай:
1) виконуються припущення 1, 2 теореми 2;
2) iснує розв’язок x̄ = X(τ) усереднених рiвнянь
dx̄
dτ
= ā (x̄, τ) +
p̄(x̄, τ)
θ(τ)
,
який визначений для всiх τ ∈ Rt0 i лежить в D разом iз своїм ρ-околом;
3) нормальна фундаментальна матриця Q(τ, t) розв’язкiв рiвняння у варiацiях
dz
dτ
=
∂
∂x
(
ā (X(τ), τ) +
p̄ (X(τ), τ)
θ(τ)
)
z
задовольняє оцiнку
‖Q(τ, t)‖ ≤ K̄ e−γ(τ−t), τ ≥ t ∈ Rt0 , K̄ = const ≥ 1, γ = const > 0;
4) функцiї
∂
∂x
a0(x, τ) i
∂
∂x
p0(x, τ) рiвномiрно неперервнi на множинi {(x, τ) : x ∈
∈ Rn, τ ∈ Rt0 , ‖x−X(τ)‖ ≤ ρ/2}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 81
Тодi при досить малому ε0 > 0 для всiх (ψ, ε) ∈ Rm × (0, ε0] iснує таке x0(ψ, ε), що
розв’язок xτ (t0, x0(ψ, ε), ψ, ε), ϕτ (t0, x0(ψ, ε), ψ, ε) системи (24) визначений для всiх τ ∈
∈ R+ i виконується нерiвнiсть
‖xτ (t0, x0(ψ, ε), ψ, ε)−X(τ)‖ ≤ σ14 ε
α, (ψ, τ, ε) ∈ Rm ×Rt0 × (0, ε0],
зi сталою σ14, не залежною вiд ψ, ε. Тут α = 1/(4l), а якщо вiдмовитись вiд умови
обмеженостi функцiї ‖ω′(τ)‖, то α = 1/(4l + 2).
6. Усереднення крайової задачi з iнтегральними крайовими умовами. Зауважимо, що
в роботi [8] доведено iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi для системи (2) з
iнтегральним крайовими умовами вигляду
ην∫
0
fν(x, ϕ, ξ, η, τ)dτ = Pν , ν = 1, λ,
(33)
L∫
0
(B(x, ξ, η, τ)ϕ+ g(x, ϕ, ξ, η, τ)) dτ = C,
де C i Pν — сталi вiдповiдно m- i nν-вимiрнi вектори, n1 + n2 + . . . + nλ = n + s + λ;
B(x, ξ, η, τ) — неперервна в D × Q × Iλ+1 i обмежена квадратна матриця m-го порядку;
η = (η1, . . . , ηλ) ∈ Iλ, ξ = (ξ1, . . . , ξs) ∈ Q — невiдомi парамeтри; f ≡ (f1, . . . , fλ), g —
заданi вектор-функцiї.
При цьому вимагається, щоб в кожнiй точцi (x, ξ, η, τ) ∈ D×Q×Iλ×I справджувались
нерiвностi
∑
k 6=0
[
‖k‖ ‖fk‖+
∥∥∥∥∂fk
∂x
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂fk
∂ ξ
∥∥∥∥] ‖k‖−1/(l+1) ≤ σ1, (34)
∑
k
‖k‖l/(l+1)‖gk‖ ≤ σ1. (35)
Тут fk = fk(x, ξ, η, τ) i gk = gk(x, ξ, η, τ) — коефiцiєнти Фур’є 2π-перiодичних по ϕν , ν =
= 1,m, функцiй f(x, ϕ, ξ, η, τ) i g(x, ϕ, ξ, η, τ).
Усереднена крайова умова набирає вигляду
ην∫
0
f̄ν(x̄, ξ, η, τ) dτ = Pν , ν = 1, λ,
L∫
0
(B(x̄, ξ, η, τ)ϕ̄+ ḡ (x̄, ξ, η, τ)) dτ = C, (36)
де
ḡ (x, ξ, η, τ) = g0 (x, ξ, η, τ) f̄ = f0 (x, ξ, η, τ) = (f̄1(x, ξ, η, τ), . . . , f̄λ(x, ξ, η, τ)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
82 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
Там же встановлено, що розв’язки вихiдної (2), (33) i усередненої (24), (36) крайових
задач вiдрiзняються мало. Зазначенi факти доведено для випадку граничних i рiвномiр-
них моментiв iмпульсної дiї. Враховуючи теорему 1 i оцiнки (8), (9), перефразуємо тео-
рему з [8] для випадку функцiональних моментiв iмпульсної дiї. Для цього використаємо
наведенi в [8] припущення:
а) усереднена крайова задача (24), (36) має єдиний розв’язок ξ = ξ0 ∈ Q, η = η0 ∈ Iλ,
x̄ = x̄(τ, x0, ξ0), причому крива x̄(τ, x0, ξ0) лежить в D для всiх τ ∈ [0, L];
б) m-вимiрна квадратна матриця
L∫
0
B(x̄(t, x0, ξ0), ξ0, η0, t) dt є невиродженою;
в) квадратна (n+ s+ λ)-вимiрна матриця A =
(
A1 A2 +A3
)
є невиродженою.
Тут A1, A2 i A3 позначають вiдовiдно (n+ s+λ)× (n+ s)-, (n+ s+λ)×λ- i (n+ s+λ)×
×λ-вимiрнi матрицi
A1 =
η0
1∫
0
∂f̄1(z0)
∂x̄0
∂x̄0
∂x0
dτ
η0
1∫
0
(
∂f̄1(z0)
∂x̄0
∂x̄0
∂ξ0
+
∂f̄1(z0)
∂ξ0
)
dτ
. . . . . .
η0
λ∫
0
∂f̄λ(z0)
∂x̄0
∂x̄0
∂x0
dτ
η0
λ∫
0
(
∂f̄λ(z0)
∂x̄0
∂x̄0
∂ξ0
+
∂f̄λ(z0)
∂ξ0
)
dτ
,
A2 =
η0
1∫
0
∂f̄1(z0)
∂η0
1
dτ . . .
η0
1∫
0
∂f̄1(z0)
∂η0
λ
dτ
. . . . . . . . .
η0
λ∫
0
∂f̄λ(z0)
∂η0
1
dτ . . .
η0
λ∫
0
∂f̄λ(z0)
∂η0
λ
dτ
, A3 = diag
(
f̄1(z0)
∣∣
τ=η0
1
. . . f̄λ(z0)
∣∣
τ=η0
λ
)
,
де x̄0 = x̄(τ, x0, ξ0), z0 = (x0, ξ0, η0, τ), η0 = (η0
1, . . . , η
0
λ).
Теорема 4. Якщо виконуються припущення (1), (4), (26), (34) та умови а), б), в), то:
1) можна вказати такi сталу ε0 > 0 i функцiю ψ : (0, ε0] → Rm, що при кожному
ε ∈ (0, ε0] iснує такий розв’язок ξ, η, x, ϕ крайової задачi (2), (33), який задовольняє
оцiнку
∥∥x− x̄ (τ, x0, ξ0)
∥∥+
∥∥ξ − ξ0
∥∥+
∥∥η − η0
∥∥+
∥∥ϕ− ϕ̄ (τ, x0, ϕ0, ξ0, ε)− ψ(ε)
∥∥ ≤ σ15 ε
1
4l (37)
для всiх (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0];
2) при виконаннi обмежень (35) у випадку, коли в крайових умовах (33) B(x, ξ, η, τ) ≡
≡ B(τ),можна вказати таке ε0 > 0,що при кожному ε ∈ (0, ε0] в малому околi розв’язку
усередненої задачi iснує єдиний розв’язок ξ, η, x, ϕ крайової задачi (2), (33), i цей розв’я-
зок задовольняє оцiнку (37) з ψ(ε) ≡ 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
УСЕРЕДНЕННЯ ПОЧАТКОВОЇ ТА КРАЙОВОЇ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ . . . 83
Доведення теореми 4 повнiстю збiгається з доведенням теореми з [8], якщо замiнити
в ньому вiдповiднi оцiнки оцiнками (8), (9), (25), (27) та врахувати нерiвностi (5), (6).
7. Усереднення багатоточкової задачi з параметрами. Розглянемо далi багатоточкову
задачу з параметрами. Для цього вихiдну (2) та усереднену (24) системи пiдпорядкуємо
багатоточковим умовам вигляду
f(x|τ=τ1 , x|τ=τ2 , . . . , x|τ=τλ , ξ) = 0,
(38)
λ∑
ν=1
Bν(x|τ=τ1 , x|τ=τ2 , . . . , x|τ=τλ , ξ)ϕ|τ=τν = g(x|τ=τ1 , x|τ=τ2 , . . . , x|τ=τλ , ξ),
f (x̄|τ=τ1 , x̄|τ=τ2 , . . . , x̄|τ=τλ , ξ) = 0,
(39)
λ∑
ν=1
Bν(x̄|τ=τ1 , x̄|τ=τ2 , . . . , x̄|τ=τλ , ξ) ϕ̄|τ=τν = g(x̄|τ=τ1 , x̄|τ=τ2 , . . . , x̄|τ=τλ , ξ),
де 0 ≤ τ1 < τ2 < . . . < τλ ≤ L, λ ≥ 2; Bν(z1, z2, . . . , zλ, ζ) — m-вимiрнi матрицi;
f(z1, z2, . . . , zλ, ζ), g(z1, z2, . . . , zλ, ζ) — вiдомi вiдповiдно n+ s- i m-вимiрнi вектор-функцiї.
Тут функцiї f, g, Bν , ν = 1, λ, неперервнi та мають обмеженi сталою σ1 неперервнi ча-
стиннi похiднi першого порядку по всiх аргументах в Dλ ×Q.
При бiльш сильних, нiж (27), обмеженнях на коефiцiєнти Фур’є для рiвномiрних мо-
ментiв iмпульсної дiї в роботi [9] було отримано точну вiдносно малого параметра ε оцiн-
ку вiдхилення розв’язкiв задач (2), (38) i (24), (39). Враховуючи теорему 1 i оцiнки (8), (9),
перефразуємо теорему з [9] для випадку функцiональних моментiв iмпульсної дiї.
Теорема 5. Нехай:
а) виконуються умови (1), (4), (26);
б) усереднена багатоточкова задача з параметрами (24), (39) має єдиний розв’язок
ξ = ξ0 ∈ Q, x̄ = x̄(τ, x0, ξ0), причому крива x̄(τ, x0, ξ0) лежить в D для всiх τ ∈ [0, L];
в) (n+ s)-вимiрна квадратна матриця(
λ∑
ν=1
∂f(z0)
∂zν
∂x̄(τν , x0, ξ0)
∂x0
;
λ∑
ν=1
∂f(z0)
∂zν
∂x̄(τν , x0, ξ0)
∂ξ0
+
∂f(z0)
∂ξ0
)
,
де z0 ≡ (x̄(τ1, x0, ξ0), . . . , x̄(τν , x0, ξ0), ξ0), є невиродженою;
г) m-вимiрна квадратна матриця
λ∑
ν=1
Bν
(
z0
)
є невиродженою.
Тодi:
1) можна вказати такi сталу ε0 > 0 i функцiю ψ : (0, ε0] → Rm, що при кожному
ε ∈ (0, ε0] iснує такий розв’язок ξ, x, ϕ багатоточкової задачi (2), (38), який задовольняє
оцiнку ∥∥x− x̄(τ, x0, ξ0)
∥∥+
∥∥ξ − ξ0
∥∥+
∥∥ϕ− ϕ̄(τ, x0, ϕ0, ξ0, ε)− ψ(ε)
∥∥ ≤ σ16 ε
1
4l (40)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
84 Р. I. ПЕТРИШИН, Т. М. СОПРОНЮК
для всiх (τ, ε) ∈ [0, L]× (0, ε0];
2) у випадку Bν = const, ν = 1, λ, можна вказати таке ε0 > 0, що при кожному
ε ∈ (0, ε0] в малому околi розв’язку усередненої задачi iснує єдиний розв’язок ξ, x, ϕ
багатоточкової задачi (2), (38), i цей розв’язок задовольняє оцiнку (40) з ψ(ε) ≡ 0.
Як i в п. 6, доведення теореми 5 повнiстю збiгається з доведенням теореми з [9], якщо
замiнити в ньому вiдповiднi оцiнки оцiнками (8), (9), (25), (27) та врахувати нерiвностi
(5), (6).
1. Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї нелiнiйних коливань. — Київ: Наук.
думка, 2004. — 474 c.
2. Самойленко А. М. К вопросу обоснования метода усреднения для многочастотных колебательных
систем // Дифференц. уравнения. — 1987. — 23, № 2. — С. 267 – 278.
3. Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками // Мат. физика. — 1971. — 9. — С. 101 – 117.
4. Петришин Р. I., Сопронюк Т. М. Обґрунтування методу усереднення для багаточастотних iмпульсних
систем // Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 1. — C. 55 – 65.
5. Сопронюк Т. М. Коливання iмпульсних багаточастотних систем: Дис. ... канд. фiз.-мат. наук. — Київ,
2003. — 158 с.
6. Сопронюк Т. М. Асимптотична стiйкiсть розв’язкiв нелiнiйної iмпульсної системи з малим параметром
// Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2001. — Вип. 111. — С. 113 – 120.
7. Петришин Я. Р. Обґрунтування методу усереднення на пiвосi для одного класу нелiнiйних коливних
систем з iмпульсним впливом // Там же. — С. 105 – 109.
8. Петришин Р. I., Сопронюк Т. М. Усереднення крайової задачi з iнтегральними крайовими умовами i
параметрами для iмпульсної багаточастотної системи // Там же. — 2004. — Вип. 228. — С. 96 – 107.
9. Сопронюк Т.М., Дудницький П.М. Багатоточкова задача з параметрами для iмпульсної багаточастот-
ної системи // Там же. — 2004. — Вип. 191 – 192. — С. 128 – 136.
10. Сопронюк Т. М. Усереднення коливних iмпульсних систем на вiдрiзку // Диференцiальнi рiвняння та їх
застосування: Мiжнар. конф., присв. 60-рiччю кафедри iнтегральних i диференцiальних рiвнянь Київ.
нац. ун-ту iм. Т. Шевченка: Тези доп. — Київ, 2005. — С. 103.
11. Петришин Р. I., Дудницький П. М. Усереднення багаточастотних систем з нефiксованими моментами
iмпульсної дiї // Там же. — С. 84.
12. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Выща шк., 1987. — 288 с.
Одержано 01.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 1
|