Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури
Вивчається задача про бiфуркацiю канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв у випадку, коли iнтегровна за Лiувiллем гамiльтонова система зазнає локально гамiльтонових збурень при одночаснiй деформацiї симплектичної структури фазового простору. Розглядається новий випадок, коли здеформована...
Saved in:
| Published in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178100 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ю.В. Ловейкiн, I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 221-232. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859983876229693440 |
|---|---|
| author | Ловейкін, Ю.В. Парасюк, І.О. |
| author_facet | Ловейкін, Ю.В. Парасюк, І.О. |
| citation_txt | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ю.В. Ловейкiн, I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 221-232. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Вивчається задача про бiфуркацiю канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв у випадку, коли iнтегровна за Лiувiллем гамiльтонова система зазнає локально гамiльтонових збурень при одночаснiй деформацiї симплектичної структури фазового простору. Розглядається
новий випадок, коли здеформована симплектична структура породжує невироджену матрицю
дужок Пуассона змiнних дiї.
We study the bifurcation problem for a Cantor set of coisotropic invariant tori in the cases where a Liouville
integrable system undergoes locally Hamiltonian perturbations and, at the same time, a deformation of the
symplectic structure of the phase space. We consider a new case in which the deformed symplectic structure
gives rise to a nondegenerate Poisson bracket matrix of variable actions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:28:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ
ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ
IНТЕГРОВНИХ СИСТЕМ ТА НЕВИРОДЖЕНIЙ ДЕФОРМАЦIЇ
СИМПЛЕКТИЧНОЇ СТРУКТУРИ
Ю. В. Ловейкiн, I. О. Парасюк
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
e-mail: yuriyl@ua.fm
pio@univ.kiev.ua
We study the bifurcation problem for a Cantor set of coisotropic invariant tori in the cases where a Liouville
integrable system undergoes locally Hamiltonian perturbations and, at the same time, a deformation of the
symplectic structure of the phase space. We consider a new case in which the deformed symplectic structure
gives rise to a nondegenerate Poisson bracket matrix of variable actions.
Вивчається задача про бiфуркацiю канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв у ви-
падку, коли iнтегровна за Лiувiллем гамiльтонова система зазнає локально гамiльтонових збу-
рень при одночаснiй деформацiї симплектичної структури фазового простору. Розглядається
новий випадок, коли здеформована симплектична структура породжує невироджену матрицю
дужок Пуассона змiнних дiї.
1. Вступ. У данiй роботi продовжено дослiдження, розпочатi в [1]. На 2n-вимiрному сим-
плектичному многовидi (M2n, ω2
0) з симплектичною структурою ω2
0 розглядаємо iнтег-
ровну за Лiувiллем систему з гамiльтонiаном H0 : M2n → R. Нехай ця система зазнає
збурень вигляду
dH0 7→ dH0 + µω1, ω2
0 7→ ω2
0 + µω2
1,
де µ — малий параметр, а 1-форма ω1 i 2-форма ω2
1 є замкненими, але не точними. Та-
ким чином, маємо випадок, коли векторне поле iнтегровної гамiльтонової системи збу-
рюється локально гамiльтоновим векторним полем i одночасно деформується симплек-
тична структура, внаслiдок чого може вiдбуватися змiна класу когомологiй вiдповiдної
2-форми. За таких обставин, як i в роботi [1], будемо розглядати задачу про бiфурка-
цiю канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв збуреної системи поблизу так
званого квазiстацiонарного положення (означення наведено в п. 2). Однак на вiдмiну вiд
зазначеної роботи будемо вивчати випадок, коли здеформована симплектична структу-
ра породжує невироджену матрицю дужок Пуассона змiнних дiї (цi змiннi „нумерують”
iнварiантнi тори незбуреної системи). Внаслiдок такої невиродженостi квазiстацiонарнi
положення iзольованi, в той час як у [1] вони утворювали деякий многовид. Через цю об-
ставину пiдвищується ступiнь виродженостi гамiльтонiана в сенсi його залежностi вiд тих
внутрiшнiх параметрiв системи, якi дозволяють контролювати вплив малих знаменникiв
у процесi побудови збурених iнварiантних торiв. Зазначимо, що вироджений випадок при
глобально гамiльтонових збуреннях iнтегровної за Лiувiллем системи вперше було дос-
лiджено в [2, 3].
c© Ю. В. Ловейкiн, I. О. Парасюк, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 221
222 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Опишемо структуру даної роботи. В п. 2 наведено основнi припущення щодо дослiд-
жуваної системи, зокрема вимагається, щоб вона мала невироджену квазiстацiонарну
точку елiптичного типу. Сформульовано основну теорему про бiфуркацiю канторової
множини коiзотропних iнварiантних торiв. У п. 3 збурену систему зведено до спецiально-
го вигляду, зручного для застосування результатiв роботи [1] про iснування iнварiантних
торiв локально гамiльтонових систем. Доведення основної теореми завершено в п. 4.
2. Формулювання основного результату. Нехай {Fi : M2n → R, i = 1, . . . , n} — пов-
ний iнволютивний набiр перших iнтегралiв незбуреної системи. Розглянемо вiдображен-
ня F = (F1, . . . , Fn) : M2n → Rn i припустимо, що c ∈ F (M2n) — таке некритичне
значення, для якого F−1(c) мiстить зв’язну компоненту Mc. Тодi Mc є лагранжевим пiд-
многовидом, дифеоморфним n-вимiрному тору Tn [4]. Крiм того, в Rn iснує однозв’язна
область G ∈ F (M2n) значень c з указаною властивiстю, а на множинi N =
⋃
c∈GMc ви-
значено симплектичну дiю тора Tn, яка задається абелевою групою симплектоморфiзмiв
{Φq : N → N , q ∈ Tn} i орбiтами якої є многовиди Mc ⊂ N .
Як i в [2], обчисливши усереднену форму ω̄2
1 = (2π)−n
∫
Tn(Φq)∗ω2
1 dq, для кожного a ∈
∈ Rn визначимо векторне полеXa(x) =
d
dt
∣∣∣
t=0
Φat(x) i введемо кососиметричну бiлiнiйну
форму (коцикл) C(a, b) = ω̄2
1(Xa, Xb), a, b ∈ Rn.
Припущення 1. Бiлiнiйна форма C є невиродженою, тобто ker C = {0}.
З цього припущення випливає, що n має бути парним.
Використовуючи теорему Дарбу – Вейнстейна, введемо в N координати прямого до-
бутку (p, q|mod2π), p = (p1, . . . , pn), q = (q1, . . . , qn), типу „дiя-кут”, в яких 1-форма збуре-
ної системи i матриця дужок Пуассона вiдповiдно набирають вигляду
ωµ = dH0 + µω1 = dH0(p) + µd(H1(p, q) + β · q),
{p, p} = µC, {q, p} = En.
Тут β — сталий вектор, µ ∈ (−µ0;µ0) — малий параметр, µ0 ∈ (0; 1), En — одинична
матриця розмiру n × n, C — кососиметрична матриця форми C в координатах q, а саме
C(a, b) = Ca · b, де символ «·» позначає скалярний добуток у Rn (тут i далi не виписуємо
елементи матрицi дужок Пуассона, якi дорiвнюють нулю).
Припущення 2. Для деяких додатних чисел R0, ρ0 функцiї H0 та H1 є дiйсно-аналi-
тичними в областях {p ∈ Cn : |p| < R0} i {(p, q) ∈ C2n : |p| < R0, |Im q| < ρ0}
вiдповiдно.
Тут i далi норму |•| для вектора визначаємо як максимум модулiв його компонент.
Зменшивши в разi потреби R0, ρ0, з огляду на нерiвностi Кошi без обмеження загаль-
ностi мiркувань можна вважати, що в зазначених областях функцiї H0 та H1 обмеженi
разом з усiма своїми частинними похiдними довiльного порядку.
Далi замiсть 1-форми ωµ будемо розглядати багатозначний гамiльтонiан Hµ :=
:= H0(p) + µ(H1(p, q) + β · q). При цьому H0(p) + µH1(p, q) та µβ · q є вiдповiдно одно-
значною та багатозначною складовими гамiльтонiана Hµ.
Вiдомо, що у класичному випадку, коли C = 0, β = 0, нерезонансний iнварiантний
тор, заданий рiвнянням p = p0, де p0 визначається дiофантовими умовами рацiональ-
ної незалежностi компонент вектора частот H0
′(p0), не руйнується в будь-якому порядку
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ . . . 223
теорiї збурень. У некласичному випадку, який ми зараз розглядаємо, ситуацiя є iншою,
i для того, щоб незбурена система мала iнварiантнi тори, якi не руйнуються хоча б у
першому наближеннi теорiї збурень, необхiдно, щоб виконувалося додаткове припущен-
ня, природнiсть якого стає зрозумiлою iз наступних мiркувань.
Запишемо рiвняння руху збуреної системи
ṗ = µ(CH0
′(p)− β −H1
′
q(p, q)) + µ2CH1
′
p(p, q), q̇ = H0
′(p) + µH1
′
p(p, q).
Вiдомо, що коли вiдображення p 7→ H0
′(p) задовольняє певнi природнi умови невирод-
женостi, еволюцiя повiльних змiнних p на промiжку часу довжини 1/|µ| для бiльшостi
початкових значень з довiльною точнiстю описується усередненою системою
ṗ = µ(CH0
′(p)− β),
якщо µ є досить малим за модулем (точнi формулювання див. у [5 – 7]). У загальному
випадку в усередненiй системi може вiдбуватися систематичний дрейф змiнної дiї таким
чином, що величина її вiдхилення вiд початкового значення за час 1/|µ| матиме порядок
O(1) при як завгодно малому за модулем µ. Зрозумiло, що в цiй ситуацiї слiд очiкувати
руйнування iнварiантних торiв. Водночас, якщо p∗ — таке значення змiнної дiї, для якого
CH0
′(p∗) = β, (1)
а компоненти вектора частот H0
′(p∗) задовольняють дiофантовi умови рацiональної не-
залежностi, тор, який вiдповiдає точцi p∗, буде iнварiантним i для системи першого на-
ближення теорiї збурень. Аналiз поведiнки траєкторiй в околi цього тора природно роз-
почати з системи у варiацiях першого наближення, яка має вигляд
ṗ = µCH ′′
0 (p∗)p, q̇ = H0
′(p∗) + µH̄1
′
p(p∗),
де H̄1 — середнє значення функцiї H1 по тору. Нас зараз буде цiкавити негрубий випадок,
коли тривiальний тор цiєї системи є стiйким.
Точку p∗ назвемо невиродженою квазiстацiонарною точкою елiптичного типу (за
аналогiєю з [1]), якщо вона задовольняє рiвнiсть (1) i при цьому матриця CH ′′
0 (p∗) має
рiзнi суто уявнi власнi числа ±i λ̄j(p∗), j = 1, 2, . . . ,m, m = n/2.
Зауважимо, що система у варiацiях для тора, який вiдповiдає точцi зазначеного типу,
демонструє, в загальному випадку, некласичну динамiку: її квазiперiодичнi рухи покрива-
ють iнварiантнi тори вимiрностi 3n/2.
Припущення 3. Iснує невироджена квазiстацiонарна точка елiптичного типу p∗ та-
ка, що вектор частот H0
′(p∗) з деякими γ > 0, τ ≥ n задовольняє дiофантовi умови
|k ·H0
′(p∗)| ≥ γ|k|−τ ∀k ∈ Zn\{0},
а вектор λ̄(p∗) = (λ̄1(p∗), . . . , λ̄m(p∗)) — умови вiдсутностi резонансiв до порядку l
включно
j · λ̄(p∗) 6= 0 ∀ j ∈ Zm : 0 < |j| ≤ l, (2)
де l ≥ 7 — деяке натуральне число.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
224 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
Якщо припущення 3 справджується, то iснує полiномiальна замiна змiнних p = w +
+O(|w|2), яка зводить матрицю дужок Пуассона {p, p} до вигляду
{w,w} =
(
0 −Em
Em 0
)
=: I, (3)
а функцiю H0(p∗+p)−H0
′(p∗) · p−H0(p∗) до нормальної форми степеня l
1
2
Λ̄(p∗)w2 + F̄4(p∗)w4 + F̄6(p∗)w6 + . . .+ F̄2[l/2](p∗)w
2[l/2] +O(wl+1),
де F̄2k(p∗)w2k — однорiдний полiном степеня k вiд змiнних yj = (w2
j + w2
m+j)/2, j =
= 1, . . . ,m, зокрема
F̄4(p∗)w4 = A2(p∗)y2, y = (y1, . . . , ym). (4)
Припущення 4. Матриця квадратичної форми A2(p∗)y2 не є виродженою.
Сформулюємо тепер основний результат про бiфуркацiю канторової множини коiзо-
тропних iнварiантних торiв збуреної системи в околi тора, заданого в координатах (p, q)
рiвнянням p = p∗.
Теорема 1. Нехай виконуються припущення 1 – 4. Тодi для кожного µ ∈ (−µ∗;µ∗),
де µ∗ > 0 є досить малим, в O(|µ|)-околi iнварiантного тора Tn
∗ незбуреної системи,
який вiдповiдає квазiстацiонарнiй точцi p∗, iснує вiдкрита множина Fµ, розшарована
(m + n)-вимiрними коiзотропними торами m-параметричної сiм’ї {Tm+n
µ (ξ)}ξ∈B (ρ,R) з
областю змiни параметрiв B(ρ,R) := {ξ ∈ Rm : ρ < |ξ| < R}. Область B(ρ,R)
мiстить канторову множину Cµ таку, що для кожного ξ ∈ Cµ в o(|µ|3)-околi тора
Tm+n
µ (ξ) iснує iнварiантний тор T̃m+n
µ (ξ) збуреної системи, який несе на собi квазiперiо-
дичнi рухи зm+n рацiонально незалежними частотами. Iснує таке гладке вiдображення
λµ : B(ρ,R) 7→ Rm, що λµ(ξ) = O(|µ|) i вектор базисних частот квазiперiодичних рухiв
на торi T̃m+n
µ (ξ) має вигляд (λµ(ξ),H0
′(p∗)). Вiдносна мiра множини iнварiантних торiв
збуреної системи в множинi Fµ близька до 1, а саме,
mesFµ/mes
⋃
ξ∈CµT̃m+n
µ (ξ) → 1, µ → 0.
При цьому множина Fµ в границi, коли µ → 0, перетворюється в тор Tn
∗ .
3. Допомiжна теорема. Зведемо розглядувану систему до спецiального вигляду з тим,
щоб до неї можна було застосувати КАМ-теорiю для встановлення iснування квазiперiо-
дичних рухiв.
Спочатку виконаємо перетворення p 7→ p0 + p, в якому p0 — n-вимiрний параметр
з областю змiни {|p0| < R1}, де R1 < R0. Одержану систему з гамiльтонiаном H0(p0 +
+p) + µ(H1(p0+p, q) + β · q) усереднимо за кутовими змiнними при малих |p|. З цiєю ме-
тою виконаємо симплектичне перетворення у виглядi зсуву за час t = 1 вздовж тра-
єкторiй гамiльтонової системи з гамiльтонiаном (iнфiнiтезимальною твiрною функцiєю)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ . . . 225
вигляду µS1(p, q, p0)+µ2S2(p, q, p0)+ . . .+µlSl(p, q, p0). Вважаючи поки що невiдомi функ-
цiї S1(p, q, p0), . . . , Sl(p, q, p0) дiйсно-аналiтичними щодо своїх аргументiв, це перетворення
можна подати як
p 7→ p− µS1
′
q − µ2(S2
′
q + P2)− µ3(S3
′
q + P3) + . . . ,
(5)
q 7→ q + µS1
′
p + µ2(S2
′
p +Q2) + µ3(S3
′
p +Q3) + . . . ,
де Pj , Qj — деякi полiноми вiд частинних похiдних першого та вищих порядкiв функцiй
S1, . . . , Sj−1.
Коефiцiєнт при µj у розвиненнi однозначної складової перетвореного гамiльтонiана
за степенями µ матиме виглядHj(p, q, p0)−H0
′(p0+p)·Sj
′
q(p, q, p0), j = 1, 2, . . . , l, де дiйсно-
аналiтичнi функцiї Hj(p, q, p0) не залежать вiд Sk, k ≥ j. Вигляд багатозначної складової
не змiнюється.
Шукатимемо кожну функцiю Sj у виглядi полiнома щодо p : Sj(p, q, p0) =
l∑
k=0
Sjk(q,
p0)pk, де Sjk(q, p0)pk позначає однорiдну форму степеня kщодо p.Для кожного j = 1, . . . , l
розвинемо коефiцiєнт при µj однозначної складової перетвореного гамiльтонiана за сте-
пенями p.Однорiдна щодо pформа степеня k, k = 0, 1, . . . , l, у формулi Тейлора для цього
коефiцiєнта має вигляд Ĥjk(q, p0)pk −H0
′(p0) · Sjk
′
q(q, p0)pk, де
Ĥjk(q, p0) :=
1
k!
∂k
∂pk
∣∣∣∣
p=0
(
Hj(p, q, p0)−
k−1∑
i=0
(
H0
′(p0 + p) · Sji
′
q(q, p0)
)
pi
)
.
Тепер коефiцiєнти форми Sjk визначаємо з гомологiчних рiвнянь
H0
′(p0) ·
∂
∂q
Sjk = [PN − P0] Ĥjk(p0, q), k = 0, 1, . . . , l,
де P0(•) := (2π)−n
∫
Tn • dq, PN :=
∑
0≤|k|≤N eik·qP0(• e−ik·q), k ∈ Zn, N ∈ N. Розв’язки цих
рiвнянь знаходимо в областi нерезонансних значень p0, яку визначають нерiвностi
|p0| < R1, |k ·H0
′(p0)| ≥
γ
2
|k|−τ ∀ k ∈ Zn, 0 < |k| ≤ N. (6)
Якщо вибрати T = T (ρ0) > 0 досить великим, то, поклавши N = Tr| ln ε|, де ε ∈ [|µ|d; ε∗]
— додатковий додатний малий параметр, а r i d — деякi додатнi числа, матимемо оцiнку∣∣[Id− PN ] Ĥjk(p0, q)
∣∣ < εr
при |p0| < R1, |Im q| < ρ0/2 i досить малому ε∗. В результатi гамiльтонiан перетвореної
системи для p0 з областi (6), |p| < R0/2 та |Im q| < ρ0/2 набирає вигляду
H0
′(p0) · p+
1
2
H ′′
0 (p0)p2 + . . .+ µ
(
H1
′
p(p0) · p+
1
2
H1
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+
+ µ2
(
H2
′
p(p0) · p+
1
2
H2
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+ . . .+O(pl+1) + µO(εr) + µβ · q,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
226 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
де риски над символами похiдних позначають їхнi середнi за змiнними q по тору Tn, тобто
значення оператора P0 на вiдповiдних функцiях. При цьому тут i далi ми користуємося
тим, що вигляд гамiльтонової системи не змiниться, якщо вiд її гамiльтонiана вiдняти до-
вiльну сталу (залежну вiд p0).
Далi виконуємо масштабнi перетворення
p 7→ µp, Hµ 7→ µ−1Hµ, {•, •} 7→ µ{•, •}.
В результатi дiстаємо систему з гамiльтонiаном
H0
′(p0) · p+
µ
2
H ′′
0 (p0)p2 +
µ2
3!
H ′′′
0 (p0)p3 + . . .+
(
µH1
′
p(p0) · p+
µ2
2
H1
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+
+ µ
(
µH2
′
p(p0) · p+
µ2
2
H2
′′
pp(p0)p2 + . . .
)
+ . . .+O(µl + εr) + β · q (7)
i дужками Пуассона, заданими рiвностями
{p, p} = C, {q, p} = En.
Введемо новi кутовi змiннi ψ = q − C−1p. Тодi матриця дужок Пуассона розщеплює-
ться на блоки
{p, p} = C, {ψ,ψ} = C−1,
а вигляд перетвореного гамiльтонiана вiдрiзнятиметься вiд (7) лише тим, що першим до-
данком буде
(
H0
′(p0)− C−1β
)
· p, а багатозначною складовою — β · ψ.
Тепер покладемо p0 = p0(µ), де функцiя p0(µ) визначається неявно умовами
H0
′(p0) + µH1
′
p(p0) + µ2H2
′
p(p0) + . . .+ µlHl
′
p(p0)− C−1β = 0, p0(0) = p∗. (8)
З урахуванням припущення 3 p0(µ) є дiйсно-аналiтичною функцiєю при всiх досить малих
|µ|, причому p0(µ) = p∗ +O(|µ|), µ → 0.
Важливо зауважити, що при виконаннi припущення 3 нерiвностi (6) справджувати-
муться для p0 = p0(µ) при всiх досить малих за модулем µ, адже N = O
(∣∣ ln |µ|∣∣).
В результатi виконаних перетворень, групуючи доданки з однаковими степенями pk,
k = 1, 2, . . . , l, i враховуючи рiвностi (8), дiстаємо систему, гамiльтонiан якої можна пода-
ти у виглядi
Hµ =
l∑
j=2
µj−1H∗
j (µ)pj +O(|µ|l + εr) + β · ψ,
де коефiцiєнти форми H∗
j (µ) є полiномами щодо µ степеня, не вищого нiж l + 2− j, при-
чому H∗
j (0) =
1
j!
H
(j)
0 (p∗).
У просторi Rn змiнних p можна ввести базис α1, . . . , α2m, m = n/2 так, щоб матриця
дужок Пуассона нових змiнних wj = αj p, j = 1, 2, . . . , 2m, набрала вигляду
{w,w} =
(
0 −Em
Em 0
)
=: I.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ . . . 227
Нехай F2(µ)w2 — квадратична форма, одержана з H∗
2 (µ)p2 пiсля введення координат
w. Оскiльки з огляду на припущення 3 при всiх досить малих за модулем µ власнi чис-
ла матрицi IF2(µ) є суто уявними i рiзними, то число µ∗ > 0 можна вибрати так, щоб
iснувала дiйсно-аналiтична щодо параметра µ сiм’я лiнiйних симплектичних перетворень
w 7→ W (µ)w, |µ| < µ∗, яка зводить квадратичну форму F2(µ)w2 до дiагонального вигляду
1
2
m∑
i=1
λ̃i(µ)(w2
i + w2
m+i) =
1
2
Λ̃(µ)w2, Λ̃ := diag {λ̃1, . . . , λ̃m, λ̃1, . . . , λ̃m}, причому λ̃j(µ) =
= λ̄j(p∗) +O(|µ|), µ → 0, j = 1, . . . ,m.
Тепер гамiльтонiан Hµ набирає вигляду
Hµ =
µ
2
Λ̃(µ)w2 + µ2F3(µ)w3 + µ3F4(µ)w4 + . . .+ µl−1Fl(µ)wl +O(|µ|l + εr) + β · ψ. (9)
Зведемо першi l− 1 доданки гамiльтонiана (9) до нормальної форми за змiнними w. Зро-
зумiло, що цього можна досягти за допомогою перетворення, яке зводить до нормальної
форми гамiльтонiан
1
2
Λ̃(µ)w2 + µF3(µ)w3 + µ2F4(µ)w4 + . . .+ µl−2Fl(µ)wl. (10)
Iнфiнiтезимальну твiрну функцiю нормалiзуючого перетворення шукаємо у виглядi
S = µS3(µ)w3 + µ2S4(µ)w4 + . . .+ µl−2Sl(µ)wl.
Зауваживши, що вiдповiдно до формули Тейлора потiк гамiльтонового векторного поля
з гамiльтонiаном S за час t = 1 перетворює довiльну функцiю F (w) за правилом
F 7→ F + {F, S}+
1
2
{{F, S}, S}+
1
3!
{{{F, S}, S}, S}+ . . . ,
перетворений гамiльтонiан (10) подамо у виглядi
1
2
Λ̃(µ)w2 + µ
(
F3(µ)w3 +
{
1
2
Λ̃(µ)w2, S3w
3
})
+
+ µ2
(
F4(µ)w4 +
{
1
2
Λ̃(µ)w2, S4w
4
}
+
{
F3(µ)w3, S3w
3
}
+
+
1
2
{{
1
2
Λ̃(µ)w2, S3w
3
}
, S3w
3
})
+ . . . .
Тепер легко бачити, що оскiльки для будь-яких цiлих невiд’ємних j, k дужки Пуассона
форм степенiв j+2 та k+2 є формою степеня j+k+2 i, отже, {µjAj+2w
j+2, µkBk+2w
k+2} =
= µj+k Cj+k+2w
j+k+2, то член степеня j+2 щодо w нормальної форми гамiльтонiана (10)
можна одержати множенням на µj члена степеня j + 2 нормальної форми гамiльтонiана
1
2
Λ̃(µ)w2+
l∑
j=3
Fj(µ)wj . З огляду на те, що для всiх досить малих значень |µ| вектор λ̃(µ) =
= (λ̃1(µ), . . . , λ̃m(µ)) задовольняє умову
min
0<|j|≤l
|λ̃(µ) · j| ≥ 1
2
min
0<|j|≤l
|λ̄(p∗) · j| > 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
228 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
а також на той факт, що коефiцiєнти Fj(µ) є дiйсно-аналiтичними функцiями в околi µ =
= 0, можна зробити такi висновки:
1) пiсля нормалiзацiї до порядку l включно гамiльтонiан
1
2
Λ̃(µ)w2 +
l∑
j=3
Fj(µ)wj наби-
рає вигляду
1
2
Λ̃(µ)w2 + F̃4(µ)w4 + F̃6(µ)w6 + . . .+ F̃2[l/2](µ)w2[l/2]) +O(wl+1),
де F̃2k(µ)w2k = Ãk(µ)yk — однорiдна форма степеня k вiд змiнних yj = (w2
j + w2
m+j)/2,
j = 1, . . . ,m;
2) коефiцiєнти F̃2k(µ) є дiйсно-аналiтичними в околi µ = 0 i при µ → 0 переходять у
вiдповiднi коефiцiєнти F̄2k(p∗) нормальної форми степеня lфункцiїH0(p∗+p)−H0
′(p∗)·p−
−H0(p∗).
Таким чином, можна вважати, що гамiльтонiан (9) зведено до вигляду
Hµ =
µ
2
Λ̃(µ)w2 + µ3F̃4(µ)w4 + µ5F̃6(µ)w6 + . . .+ µ2[l/2]−1F̃2[l/2]w
2[l/2] +O(|µ|l + εr) + β · ψ.
Введемо тепер змiннi (y, φ|mod2π) за формулами
wi =
√
2(ξi + yi) cosφi, wm+i =
√
2(ξi + yi) sinφi, i = 1, 2, . . . ,m,
де ξ = (ξ1, . . . , ξm) — m-вимiрний параметр. Тодi для дужок Пуассона матимемо рiвностi
{φ, y} = Em, {ψ,ψ} = C−1, (11)
а збурений гамiльтонiан набере вигляду
Hµ = µλ̃(µ) · y + µ3 Ã2(µ)(ξ+y)2 + . . .+ µ2[l/2]−1Ã2[l/2](µ)(ξ+y)2[l/2] +O(|µ|l + εr) + β · ψ,
або
Hµ = λ̂(ξ, µ) · y + µ3G2(y, ξ, µ)y2 + fε(y, φ, ψ, ξ, µ) + β · ψ.
Тут λ̂(ξ, µ) := µλ̃(µ) +
∑2[l/2]
j=2 µ2j−1
(
Ãj(µ)ξj
)′
ξ
, матриця квадратичної форми G2(y, ξ, µ)y2
полiномiально залежить вiд y, ξ, µ, а fε(y, φ, ψ, ξ, µ) — дiйсно-аналiтична функцiя в областi
|y| < ρ, |Imφ| < ρ, |Imψ| < ρ, ρ < |ξ| < R, |µ| < µ∗, (12)
де ρ, δ iR (R > ρ) — деякi додатнi числа, причому fε(y, φ, ψ, ξ, µ) = O(|µ|l +εr) рiвномiрно
щодо змiнних φ, ψ, ξ, якi задовольняють нерiвностi (12).
Зафiксуємо тепер додатнi числа d та r так, щоб вони задовольняли нерiвностi
l > 6 + d, r > 1 + 6/d,
i покладемо ε = |µ|d. Тодi для досить малого µ∗ > 0 в областi (12) буде виконуватись
нерiвнiсть
|fµd(y, φ, ψ, ξ, µ)| < |µ|6+d.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ . . . 229
Нарештi, увiвши функцiю
hµ(y, φ, ψ, ξ) = µ3G2(y, ξ, µ)y2 + fµd(y, φ, ψ, ξ, µ),
з урахуванням наведених вище мiркувань сформулюємо такий допомiжний результат.
Теорема 2. Нехай виконуються припущення 1 – 4. Тодi для кожного µ ∈ (−µ∗;µ∗), де
µ∗ > 0 є досить малим, в O(|µ|)-околi iнварiантного тора незбуреної системи, який
вiдповiдає квазiстацiонарнiй точцi p∗, iснує вiдкрита множина, яка розшаровується
(m+n)-вимiрними коiзотропними торами Tm+n
µ (ξ) = Tm
µ (ξ)×Tn
µ(ξ), занумерованими m
параметрами ξ ∈ B(ρ,R) := {ξ ∈ Rm : ρ < |ξ| < R}. В околi кожного тора Tm+n
µ (ξ)
можна ввести дiйсно-аналiтичнi i дiйсно-аналiтично залежнi вiд ξ координати прямого
добутку
{y ∈ Rm} × {φ ∈ Rm/2πZm} × {ψ ∈ Rn/2πZn}
так, щоб цей тор задавався рiвнянням y = 0, змiннi φ i ψ вiдiгравали роль кутових
координат на торах Tm
µ (ξ) i Tn
µ(ξ) вiдповiдно, дужки Пуассона визначалися рiвностями
(11), а гамiльтонiан збуреної системи мав вигляд
Hµ = λ̂(ξ, µ) · y + hµ(y, φ, ψ, ξ) + β · ψ, (13)
де hµ(y, φ, ψ, ξ) — дiйсно-аналiтична функцiя змiнних z = (y, φ, ψ, ξ) в областi, яка ви-
значається умовами (12). Крiм того, в цiй областi виконано оцiнки
max
{
|hµ|y=0,
∣∣hµ
′
y
∣∣
y=0
}
≤ |µ|6+d,
∣∣hµ
′′
yy
∣∣
y=0
≤ |µ|3c, max
{
|hµ|,
∣∣hµ
′
z
∣∣ , ∣∣hµ
′′
zz
∣∣} ≤ c
з деякою сталою c > 0.
4. Доведення основної теореми. Застосуємо тепер до системи (13) локально гамiль-
тонiв варiант КАМ-теореми з роботи [1]. Введемо (m + n)-вимiрнi вектори ϕ := (φ, ψ),
ζ := (0, β). Тодi
Hµ = λ̂(ξ, µ) · y + hµ(y, ϕ, ξ) + ζ · ϕ, (14)
а для матрицi дужок Пуассона матимемо
{ϕ, y} =
(
Em
0n×m
)
=: σ, {ϕ,ϕ} =
(
0m×m 0m×n
0n×m C−1
)
=: χ.
Покладемо rµ := |µ|3| ln |µ|d|−τ−1. З урахуванням теореми 2, рiвностi σT ζ = 0 та тео-
реми 1 i зауваження 1 з [1] можна зробити такий висновок: якщо зафiксувати довiльним
чином числа κ ∈ (0; 1), b ∈ (1/2; 1), s ∈ N, то число µ∗ ∈ (0; 1) можна вибрати так, щоб
для кожного µ ∈ (−µ∗, µ∗) iснували вiдображення
Fµ(ϕ, λ, ξ) ∈ C∞(Tm+n × R2m 7→ Rm), ∆µ(λ, ξ) ∈ C∞(R2m 7→ Rm)
такi, що для будь-яких λ, ξ, якi задовольняють умови
|λ| < R, ρ+ rµ < |ξ| < R− rµ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
230 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
|j · λ+ k · C−1β| > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ∀(j,k) ∈ Zm+n \ {0},
допомiжна система з гамiльтонiаном (λ+µ3∆µ(λ, ξ))·y+hµ(y, ϕ, ξ)+ζ ·ϕмала iнварiантний
тор, заданий рiвнянням y = Fµ(ϕ, λ, ξ), i при цьому Cs-норми зазначених вiдображень
задовольняли нерiвностi
max {|Fµ(ϕ, λ, ξ)|s, |∆µ(λ, ξ)|s} ≤ c(s,κ)|µ|bd+3(1−s)| ln |µ|d|s(τ+1) ∀ µ ∈ (−µ∗, µ∗),
де c(s,κ) — стала, яка залежить лише вiд s та κ. Для того щоб цей результат застосу-
вати до системи з гамiльтонiаном (14), потрiбно вiдповiдно до модифiкованого методу
штучних параметрiв [8] визначити λ = λµ(ξ) як неявну функцiю зi спiввiдношення
λ+ µ3∆µ(λ, ξ) = λ̂(ξ, µ) ≡ µλ̃(µ) +
2[l/2]∑
j=2
µ2j−1
(
Ãj(µ)ξj
)′
ξ
.
Зрозумiло, що за умови достатньої малостi µ∗ для кожного µ ∈ (−µ∗, µ∗) така функцiя
iснує i є гладкою в областi ρ+2rµ < |ξ| < R−2rµ.Крiм того, λµ(ξ) = µλ̃(µ)+2µ3A2(p∗)ξ+
+O(µ4) i
∂
∂ξ
λµ(ξ) = 2µ3A2(p∗) + O(µ4). Вiдтак, зауваживши, що вектор C−1β = H0
′(p∗)
задовольняє дiофантовi умови припущення 3, можна стверджувати, що для кожного µ ∈
∈ (−µ∗, µ∗) i для кожного ξ ∈ Rm, яке справджує нерiвностi
ρ+ 2rµ < |ξ| < R− 2rµ,
(15)
|j · λµ(ξ) + k · C−1β| > |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ∀ (j,k) ∈ Zm+n, j 6= 0,
система з гамiльтонiаном (14) має iнварiантний тор, який задається рiвнянням
y = Fµ(ϕ, λµ(ξ), ξ).
Для того щоб переконатися, що iнварiантнi тори iснують для бiльшостi значень пара-
метра ξ з областi ρ < |ξ| < R, оцiнимо мiру множини Cµ, визначеної нерiвностями (15).
Спочатку розглянемо пiдмножину Xµ обмеженої областi D ⊂ Rm, задану умовами
x ∈ D, |j · (x0 + µ3x) + k · C−1β| ≤ |µ|3γ(|j|+ |k|)−τ ∀ (j,k) ∈ Zm+n, j 6= 0, (16)
де x0 ∈ Rm — фiксований вектор. Легко бачити, що для кожної фiксованої пари j, k
такої, що j 6= 0, мiра множини, заданої нерiвностями (16), не перевищує мiру множини
x ∈ D − 1
µ3
(
x0 +
k · C−1β
‖j‖
j
)
, |j · x| ≤ γ(|j|+ |k|)−τ .
Оскiльки вiдстань мiж гiперплощинами j ·x = ±γ(|j|+ |k|)−τ дорiвнює 2γ‖j‖−1(|j|+ |k|)−τ ,
де ‖ • ‖ — евклiдова норма, то ця мiра не перевищує γC1(m)(diamD)m−1‖j‖−1(|j|+ |k|)−τ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БIФУРКАЦIЯ КОIЗОТРОПНИХ IНВАРIАНТНИХ ТОРIВ ПРИ ЛОКАЛЬНО ГАМIЛЬТОНОВИХ ЗБУРЕННЯХ . . . 231
де стала C1(m) залежить лише вiд m. Але тодi за умови, що τ > m + n, iснує стала
C2(m,n, τ) > 0 така, що
mesXµ ≤ γ C1(m)(diamD)m−1
∞∑
k=1
k−τ
∑
|j|+|k|=k
‖j‖−1 ≤ γ C2(m,n, τ)(diamD)m−1.
Тепер зауважимо, що вiдображення x 7→ ξµ(x), визначене рiвнiстю λµ(ξ) = µλ̃(µ) +
+µ3x, є дифеоморфiзмом, модуль якобiана якого близький до |det 2A2(p∗)|−1.З цих мiрку-
вань випливає, що мiру доповнення множини (15) до областi ρ < |ξ| < R можна зробити
як завгодно малою за умови достатньої малостi µ∗ та γ.
5. Висновки. В данiй роботi розглянуто задачу про збурення цiлком iнтегровної га-
мiльтонової системи локально гамiльтоновим векторним полем при одночасному дефор-
муваннi симплектичної структури. Вивчено випадок, коли внаслiдок такого деформуван-
ня змiннi дiї p, асоцiйованi з незбуреною системою, перестають комутувати, так що їхня
матриця дужок Пуассона є невиродженою i має вигляд {p, p} = µC. Через цю обстави-
ну невиродженi квазiстацiонарнi точки, якi визначаються в просторi змiнних дiї умовами
CH0
′(p) = β, detH ′′
0 (p) 6= 0, є iзольованими.
Основний результат проведеного дослiдження на якiсному рiвнi можна описати та-
ким чином. Нехай iснує нерезонансний iнварiантний тор Tn
∗ незбуреної системи, який
є поверхнею рiвня змiнних дiї p = p∗, де p∗ — квазiстацiонарна точка елiптичного ти-
пу, що задовольняє умови нерезонансностi з припущення 3. Доведено, що коли параметр
збурення µ змiщується вправо або влiво вiд нульового значення, вiд тора Tn
∗ вiдгалужу-
ється канторова множина 3n/2-вимiрних коiзотропних iнварiантних торiв. Ця множина
майже повнiстю (в сенсi мiри Лебега) заповнює деяку вiдкриту область, розташовану в
O(|µ|)-околi тора Tn
∗ . Кожен iз зазначених коiзотропних iнварiантних торiв збуреної сис-
теми одержується шляхом вкладення прямого добутку торiв Tm × Tn — розшарування
над Tm з шаром Tn. При такому вкладеннi образ кожного шару Tn є деякою малою де-
формацiєю тора Tn
∗ . Рухи на кожному коiзотропному iнварiантному торi є результатом
суперпозицiї повiльних квазiперiодичних рухiв по базi та швидких квазiперiодичних ру-
хiв по шару. При цьому вектор частоти цих швидких квазiперiодичних рухiв збiгається з
вектором частот квазiперiодичних рухiв на iнварiантному торi Tn
∗ незбуреної системи.
Зазначимо, що для глобально гамiльтонових систем (β = 0) за умови невиродженостi
матрицi C описаний вище ефект виникнення канторової множини коiзотропних iнварi-
антних торiв принципово неможливий.
Заслуговує на увагу випадок, коли лише частина власних чисел матрицi CH ′′
0 (p∗) є
суто уявними. Його аналiзу буде присвячено окрему статтю.
1. Ловейкiн Ю. В., Парасюк I. О. Теорема про збурення коiзотропних iнварiантних торiв локально га-
мiльтонових систем та її застосування // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 4. — С. 490 – 515.
2. Парасюк I. О. Бiфуркацiя канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв гамiльтонових систем
при збуреннi симплектичної структури // Там же. — 1998. — 1, № 2. — С. 81 – 89.
3. Кубiчка А. А., Парасюк I. О. Бiфуркацiя гладкої у сенсi Вiтнi сiм’ї коiзотропних iнварiантних торiв
гамiльтонової системи при малiй деформацiї симплектичної структури // Укр. мат. журн. — 2001. —
53, № 5. — С. 610 – 624.
4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1989. — 472 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
232 Ю. В. ЛОВЕЙКIН, I. О. ПАРАСЮК
5. Аносов Д. В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблю-
щимися решениями // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1960. — 24, № 5. — С. 721 – 742.
6. Kasuga T. On the adiabatic theorem for the Hamaltonian system of differential equations in the classical
mechanics // Proc. Jap. Acad. — 1961. — 37, № 7. — P. 366 – 382.
7. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной ме-
ханики. — М: Эдиториал УРСС, 2002. — 416 с.
8. Broer H. W., Huitema G. B., Sevryuk M. B. Quasi-periodic motions in families of dynamical systems: order
admits chaos // Lect. Notes Math. — Berlin: Springer, 1997. — 1645. — 195 p.
Одержано 14.04.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178100 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:28:08Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ловейкін, Ю.В. Парасюк, І.О. 2021-02-17T20:15:58Z 2021-02-17T20:15:58Z 2006 Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури / Ю.В. Ловейкiн, I.О. Парасюк // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 221-232. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178100 517.9 Вивчається задача про бiфуркацiю канторової множини коiзотропних iнварiантних торiв у випадку, коли iнтегровна за Лiувiллем гамiльтонова система зазнає локально гамiльтонових збурень при одночаснiй деформацiї симплектичної структури фазового простору. Розглядається новий випадок, коли здеформована симплектична структура породжує невироджену матрицю дужок Пуассона змiнних дiї. We study the bifurcation problem for a Cantor set of coisotropic invariant tori in the cases where a Liouville integrable system undergoes locally Hamiltonian perturbations and, at the same time, a deformation of the symplectic structure of the phase space. We consider a new case in which the deformed symplectic structure gives rise to a nondegenerate Poisson bracket matrix of variable actions. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури Бифуркация коизотропных инвариантных торов при локально гамильтоновых возмущениях интегрируемых систем и невырожденной деформации симплектической структуры Bifurcation of coisotropic invariant tori under locally Hamiltonian perturbations of integrable systems and nondegenerate deformations of the symplectic structure Article published earlier |
| spellingShingle | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури Ловейкін, Ю.В. Парасюк, І.О. |
| title | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| title_alt | Бифуркация коизотропных инвариантных торов при локально гамильтоновых возмущениях интегрируемых систем и невырожденной деформации симплектической структуры Bifurcation of coisotropic invariant tori under locally Hamiltonian perturbations of integrable systems and nondegenerate deformations of the symplectic structure |
| title_full | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| title_fullStr | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| title_full_unstemmed | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| title_short | Біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| title_sort | біфуркація коізотропних інваріантних торів при локально гамільтонових збуреннях інтегровних систем та невиродженій деформації симплектичної структури |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178100 |
| work_keys_str_mv | AT loveikínûv bífurkacíâkoízotropnihínvaríantnihtorívprilokalʹnogamílʹtonovihzburennâhíntegrovnihsistemtanevirodženíideformacíísimplektičnoístrukturi AT parasûkío bífurkacíâkoízotropnihínvaríantnihtorívprilokalʹnogamílʹtonovihzburennâhíntegrovnihsistemtanevirodženíideformacíísimplektičnoístrukturi AT loveikínûv bifurkaciâkoizotropnyhinvariantnyhtorovprilokalʹnogamilʹtonovyhvozmuŝeniâhintegriruemyhsisteminevyroždennoideformaciisimplektičeskoistruktury AT parasûkío bifurkaciâkoizotropnyhinvariantnyhtorovprilokalʹnogamilʹtonovyhvozmuŝeniâhintegriruemyhsisteminevyroždennoideformaciisimplektičeskoistruktury AT loveikínûv bifurcationofcoisotropicinvarianttoriunderlocallyhamiltonianperturbationsofintegrablesystemsandnondegeneratedeformationsofthesymplecticstructure AT parasûkío bifurcationofcoisotropicinvarianttoriunderlocallyhamiltonianperturbationsofintegrablesystemsandnondegeneratedeformationsofthesymplecticstructure |