Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении
Дослiджено бiфуркацiю Андронова – Хопфа народження перiодичного розв’язку iз просторово-однорiдного стацiонарного розв’язку задачi Неймана на крузi для параболiчного рiвняння з перетворенням просторових змiнних у випадку, коли це перетворення є композицiєю перетворень повороту на сталий кут i радiа...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178103 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении / Е.П. Белан, О.Б. Лыкова // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 55-169. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859674955893964800 |
|---|---|
| author | Белан, Е.П. Лыкова, О.Б. |
| author_facet | Белан, Е.П. Лыкова, О.Б. |
| citation_txt | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении / Е.П. Белан, О.Б. Лыкова // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 55-169. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Дослiджено бiфуркацiю Андронова – Хопфа народження перiодичного розв’язку iз просторово-однорiдного стацiонарного розв’язку задачi Неймана на крузi для параболiчного рiвняння з
перетворенням просторових змiнних у випадку, коли це перетворення є композицiєю перетворень повороту на сталий кут i радiального стискання. При загальних припущеннях доведено
теорему iснування обертаючої структури, отримано умови її орбiтальної стiйкостi та побудовано її асимптотичну форму.
We investigate the Andronov – Hopf bifurcation of creation of a periodic solution from a spatially homogeneous stationary solution of the Neumann problem on a disk for a parabolic equation with a transformation of spatial variables in the case where the transformation is a composition of a rotation at a constant
angle and a radial contraction. Under general assumptions we prove the existence of a rotating structure,
find conditions for its orbital stability and construct its asymptotic form.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:37:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 956 . 4
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
Е. П. Белан
Таврич. нац. ун-т
Украина, 95007, Симферополь, ул. Ялтинская, 4
О. Б. Лыкова
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We investigate the Andronov – Hopf bifurcation of creation of a periodic solution from a spatially homoge-
neous stationary solution of the Neumann problem on a disk for a parabolic equation with a transformati-
on of spatial variables in the case where the transformation is a composition of a rotation at a constant
angle and a radial contraction. Under general assumptions we prove the existence of a rotating structure,
find conditions for its orbital stability and construct its asymptotic form.
Дослiджено бiфуркацiю Андронова – Хопфа народження перiодичного розв’язку iз просторо-
во-однорiдного стацiонарного розв’язку задачi Неймана на крузi для параболiчного рiвняння з
перетворенням просторових змiнних у випадку, коли це перетворення є композицiєю перетво-
рень повороту на сталий кут i радiального стискання. При загальних припущеннях доведено
теорему iснування обертаючої структури, отримано умови її орбiтальної стiйкостi та побу-
довано її асимптотичну форму.
Введение. Наблюдаемый в последнее время интерес к нелинейным оптическим системам
с пространственными преобразованиями в двумерной обратной связи [1] вызван исполь-
зованием этих систем в задачах оптической обработки информации. Богатый спектр ло-
кальных и нелокальных преобразований позволяет генерировать и визуально наблюдать
процессы самоорганизации: пульсирующие волны, диссипативные структуры, ведущие
центры, оптическую турбулентность. Такие структуры можно использовать для кодиро-
вания и хранения информации.
Возникновение световых структур в оптических системах с нелокальной обратной
связью является следствием потери устойчивости некоторого пространственно-однород-
ного светового режима в результате внесения возмущений в условия протекания про-
цесса. Математической моделью этих систем является квазилинейное параболическое
уравнение с преобразованием пространственных переменных [1]. Бифуркации Андроно-
ва – Хопфа указанного уравнения для круга и преобразованиям поворота на постоянный
угол посвящены работы [2 – 4]. Бифуркационные периодические решения для произволь-
ной области и общего невырожденного гладкого преобразования построены в работах
[5 – 7]. Метод центральных многообразий использовался в работе [8] для исследования
бифуркации рождения вращающихся структур в случае, когда преобразование круга яв-
ляется произведением радиального сжатия и поворота на постоянный угол. В настоящей
работе для исследования этого случая развивается метод построения приближенных пе-
риодических по t решений, в котором одночастотный метод [9 – 11] используется в соче-
c© Е. П. Белан, О. Б. Лыкова, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 155
156 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
тании с формализмом построения центральных многообразий для систем, инвариантных
относительно группы вращений окружности [12 – 16]. Следуя работам [17 – 21], указыва-
ются условия, при которых из существования приближенных периодических решений
вытекает существование периодического решения. На этом пути получены результаты
более общие, чем в работе авторов [8].
Cтатья состоит из четырех пунктов. В п. 1 решена задача о выделении пространст-
венно однородной ветви стационарных решений исходной задачи, спектр устойчивости
которой пересекает мнимую ось при некотором значении параметра. Второй пункт по-
священ построению приближенных периодических решений, бифурцирующих из ста-
ционарной точки, — решений типа вращающихся структур. Теорема о существовании
и асимптотической форме вращающейся структуры сформулирована и доказана в п. 3.
В четвертом пункте доказана теорема об экспоненциальной орбитальной устойчивости
вращающейся структуры.
1. Постановка задачи. На единичном круге S с центром в начале координат рассмот-
рим уравнение [1]
∂u
∂t
+ u = D∆u + K(1 + γ cos Qu),
∂u
∂ν
∣∣∣∣
∂S
= 0. (1)
Здесь u — фаза световой волны, ∆ — двумерный оператор Лапласа, D > 0 — эффек-
тивный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, 0 < γ ≤ 1 — видность (конт-
растность) интерференционной картины, K > 0 — коэффициент, пропорциональный
интенсивности светового потока, Qu(t, r, θ) = u(t, κr, θ + h), где 0 < κ < 1, 0 < h < π,
(r, θ) — полярные координаты на S, ν — единичная внутрення нормаль к границе S.
Пусть H = L2(S) — гильбертово пространство измеримых на S функций со скаляр-
ным произведением
〈u, v〉 =
1
π
∫
S
uv dx
и соответствующей нормой ‖u‖ = 〈u, u〉1/2; H l(S) — пространство Соболева измеримых
на S функций со скалярным произведением
〈u, v〉l =
1
π
∑
06α6l
∫
S
∂αu(x)∂αv(x) dx,
где α = (α1, α2) ∈ Z2
+, ∂α = ∂α1
1 ∂α2
2 , |α| = α1 + α2, и соответствующей нормой ‖u‖l =
= 〈u, u〉1/2
l . Обозначим H l = H l(S) ∩ {∂u/∂ν
∣∣
∂S
= 0}, l ∈ Z+. Пространство H l явля-
ется пополнением пространства бесконечно дифференцируемых на S функций, удовлет-
воряющих условию ∂u/∂ν
∣∣
∂S
= 0, по норме H l(S).
Задаче (1) соответствует непрерывная полугруппа {St}, действующая в пространстве
H [7 – 8].
Обозначим через S1 = R/2πZ группу вращений окружности. Пусть u(t, r, θ) — реше-
ние задачи (1). Легко увидеть, что решением этой задачи является функция u(t, r, θ + α),
где α ∈ R/2πZ. Следовательно, задача (1) S1-эквивариантна.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 157
В данной работе рассматриваются вопросы о существовании, асимптотической фор-
ме и устойчивости периодического решения задачи (1), бифурцирующего из пространст-
венно-однородного состояния равновесия, т. е. решения уравнения
w = K(1 + γ cos w). (2)
Напомним, что при исследовании бифуркации рождения цикла интерес представля-
ют и потеря устойчивости стационарными решениями, и приближенные формулы для
рождающихся периодических решений малой амплитуды [22].
Согласно [23, 20] с ростом K количество сосуществующих корней этого уравнения
неограниченно увеличивается, причем при K → ∞ их состав постоянно обновляется:
рождаются новые состояния равновесия и умирают старые. В связи с этим зафиксируем
какую-нибудь непрерывную ветвь решений
w = w(K), 1 + Kγ sinw(K) 6= 0 (3)
уравнения (2), которая определена только на конечном промежутке изменения парамет-
ра K. Линеаризованную на состоянии равновесия (3) задачу (1) представим в виде
u̇ + L(K)u = 0, (4)
где линейный оператор L(K) : H → H с областью определения H2 задан формулой
L(K)v = −D∆v + v + Λ(K)Qv, Λ(K) = γ sinw(K). (5)
Перейдем теперь к выбору бифуркационного значения параметра K. Решение этой зада-
чи приводит, разумеется, к исследованию спектра оператора L(K) : H → H. В этой связи
отметим, что согласно [6] (лемма 3.1) оператор L(K) имеет компактную резольвенту и,
следовательно, спектр этого оператора дискретный. Воспользуемся методом разделения
переменных для анализа спектра оператора L(K). С этой целью рассмотрим гильбертово
пространство L2([0, 1], r) комплекснозначных измеримых на [0, 1] функций со скалярным
произведением
� f, g �=
1∫
0
rf(r)g(r) dr.
Определим теперь линейный оператор Ak(K), k ∈ Z, равенством
Akf = −D
[
1
r
d
dr
(
r
df
dr
)
− k2
r2
f
]
+ f + exp (ikh)Λ(K)Q̂f,
где Q̂f(r) = f(κr), и областью определения D(Ak(K)) = {f ∈ L2([0, 1], r) : Ak(K)f ∈
∈ L2([0, 1], r), f ′(1) = 0}. Ясно, что D(Ak(K)) не зависит от k ∈ Z и K из указанного
выше промежутка. Поэтому обозначим D(Ak(K)) = D. Очевидно, что любая собствен-
ная функция оператора L(K) представима в виде exp (isθ)Ψs(K), где s ∈ Z, а Ψs(K) —
собственная функция оператора As(K).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
158 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
Линейный оператор Q̂ : L2([0, 1], r) → L2([0, 1], r) является, очевидно, ограниченным,
причем ‖Q̂‖ = κ−1. Сопряженный оператор Q̂∗ : L2([0, 1], r) → L2([0, 1], r) определяется
формулой
Q̂∗f(r) =
{
κ−2f(κ−1r), 0 ≤ r ≤ κ,
0, κ < r ≤ 1.
Оператор A∗
k(K), сопряженный оператору Ak(K) и определенный равенством
A∗
k(K)f = −D
[
1
r
d
dr
(
r
df
dr
)
− k2
r2
f
]
+ f + exp (−ikh)Λ(K)Q̂∗f,
имеет область определения D.
Согласно [6] (лемма 3.2) спектр оператора L(K) удовлетворяет условию σ(L(K)) ⊂
⊂ {λ ∈ C : Re λ ≥ 1 − κ−1|Λ(K)|}. Следовательно, при |Λ(K)| < κ нулевое решение
уравнения (4) экспоненциально устойчиво. Поэтому рассмотрим лишь те значения K,
для которых |Λ(K)| > κ. Если Λ(K) < −1, то нулевое решение уравнения, очевидно, не-
устойчиво. Таким образом, интерес представляют значения K, для которых выполнено
одно из условий: −1 < Λ(K) < −κ, κ < Λ(K) < 1, Λ(K) > 1. Далее предполагаем, что
Λ(K) > 1. Проблема реализуемости этого условия исследована в работах [23, 20]. Усло-
вия же −1 < Λ(K) < −κ, κ < Λ(K) < 1 рассматривать здесь не будем (они заслуживают
отдельного изучения).
Бифуркационное значения K̂ найдем из следующего условия (см. [13, 17, 6]).
Условие 1. Существуют K̂ > 0, целое m, вещественное ω0 6= 0, функция J ∈ D
такие, что
L(K̂) exp (imθ)J = −iω0 exp (imθ)J. (6)
Предположим, что −iω0 — простое собственное значение оператора Am(K̂); −niω0 ∈
∈ σ(Am(K̂)), n = 0,±2, . . . .
В силу условия 1 существуют ε0 > 0, функции λ ∈ C∞(K̂ − ε0, K̂ + ε0) и J̃ ∈ C∞((K̂ −
−ε0, K̂ + ε0),D) такие, что для K ∈ (K̂ − ε0, K̂ + ε0)
L(K) exp(im θ)J̃(K) = −λ(K) exp(imθ)J̃(K), λ(K̂) = iω0, J̃(K̂) = J. (7)
Справедливо равенство [8]
λ(K) = iω0 + γ(K sinw(K)− K̂ sin ŵ) � J∗, Q̂ J � exp(imh) + O(|K − K̂|2). (8)
Здесь ŵ = w(K̂), J∗ — собственная функция оператора A∗
m(K̂), соответствующая соб-
ственному значению iω0 и нормированная условием � J∗, J �= 1. Очевидно,
Re λ′(K̂) = γ(sinw(K̂) + K̂ cos w′(K̂))Re(� J∗, Q̂J � exp(imh)). (9)
Несложно указать условия, по крайней мере для малых 1− κ, при которых выполня-
ется следующее условие.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 159
Условие 2. Re λ′(K̂) > 0.
Перейдем теперь от параметра K к параметру µ согласно равенству K = K̂ + µ. С
целью сокращения обозначений положим L(K + µ) = L(µ), w(K̂ + µ) = w(µ), λ(K̂ +
+µ) = λ(µ). Выполним в уравнении (1) преобразование u = w(µ) + v. В результате в
пространстве H получим уравнение
v̇ + L(µ)v = R(Qv, µ), (10)
где R(v, µ) = Kγ[cos(w(µ) + v)− cos w(µ) + v sinw(µ)].
2. Приближенные вращающиеся структуры. В соответствии с одночастотным мето-
дом [9 – 11] и формализмом построения центральных многообразий S1-эквивариантных
уравнений [8] будем строить решения уравнения (10) в виде
v = z exp (imθ)J + z exp (−imθ)J + σ(z exp (imθ), z exp (−imθ), r, µ), (11)
где z удовлетворяет уравнению
ż = λ1(µ)z + c1(µ)z2z + . . . . (12)
Подставим (11), (12) в уравнение (10) и в полученном равенстве выполним замену
z exp (imθ) → z, z exp (−imθ) → z. Затем представим σ = σ(z, z, r, µ) в виде σ = σ2 +
+σ3 + . . . , где σk, k = 2, 3, . . . , — форма порядка k относительно z, z. В результате отно-
сительно коэффициентов квадратичной формы
σ2 =
1
2
σ20z
2 + σ11zz +
1
2
σ02z
2, (13)
положив µ = 0, получим уравнения
(2iω0 + A2m)σ20 = −K̂γ cos ŵ exp (2imh)Q̂J2, A0σ11 = −K̂γ cos ŵQ̂(JJ). (14)
Согласно условию 1 эти уравнения однозначно разрешимы:
σ20 = −K̂γ cos ŵ exp(2imh)(2iω0 + A2m)−1Q̂ J2, σ11 = −K̂ γ cos ŵ A−1
0 Q̂(JJ). (15)
Очевидно, σ02 = σ20. Полагая теперь
σ3 =
1
3
σ30z
3 +
1
2!
σ21z
2z +
1
2!
σ12zz2 +
1
3
σ03z
3
и рассуждая, как и выше, относительно коэффициентов формы σ3 получаем линейные
неоднородные уравнения. Согласно условию 1 уравнения относительно σ300, σ03 одно-
значно разрешимы. Рассмотрим теперь уравнение относительно σ21 :
(iω0 + Am)σ21 + c1(0)J = −1
2
K̂γ cos ŵ exp (imh)Q̂(2Jσ11 + Jσ20)+
+
1
2
K̂γ sin ŵ exp(imh)Q̂(J2J). (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
160 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
Из условия 1 следует, что линейное одномерное пространство Span{J} является про-
странством решений линейного однородного уравнения, соответствующего линейному
неоднородному уравнению (16). Следовательно, для разрешимости уравнения (16) необ-
ходимо и достаточно, чтобы � J∗, g � = 0, где g — его неоднородность. Учитывая
равенство (15), отсюда для c1 = c1(0) находим
c1 =
1
2
exp (imh) � J∗, Λ̂Q̂(J J2) + (Λ̂ ctg ŵ)2(2Q̂ JA0
−1Q̂(JJ)+
+ exp (2imh)Q̂(J(2iω0 + A2m)−1Q̂J2)) � . (17)
Затем из уравнения (16) находим σ21 в том же виде, что и его неоднородность. Ясно, что
при указанном выборе c1 уравнение относительно σ21 имеет решение σ21 = σ12. Предпо-
ложим далее, что выполнено следующее условие.
Условие 3. Re c1 < 0.
Отметим, что в работе [24] получены условия, при которых это неравенство имеет
место для тонкого кругового кольца. В сингулярном случае (D � 1) условие 1 выполня-
ется [23, 20, 21].
Рассмотрим теперь уравнение
ż = λ(µ)z + c1z
2z,
которое является нормальной формой бифуркации Андронова – Хопфа. В силу условий
2, 3 при µ < 0 нулевое решение этого уравнения является устойчивым. При µ > 0
рассматриваемое уравнение имеет бифурцирующее из нуля периодическое решение, ко-
торое с точностью порядка µ3/2 удовлетворяет равенству
z = µ
1/2
1 exp (iω̂(µ)t),
(18)
µ1 = µRe λ′(0)(−Re c1)−1, ω̂(µ) = Im λ(µ) + µ1Im c1 Re λ′(0).
В силу равенств (11), (13), (15), (18) уравнение (10) имеет приближенное по невязке
порядка µ3/2 (в метрике H) периодическое по t решение v̂ = v̂(η, r, µ), η = ω̂(µ)t + mθ,
где
v̂ = 2µ
1/2
1 Re exp (iη)J+
+ µ1Λ̂ ctg(ŵ)
[
A−1
0 Q̂(JJ) + Re exp (2i(η + mh))(2iω0 + A2m)−1Q̂J2
]
. (19)
Следовательно, решение уравнения (10) типа вращающейся структуры следует искать
в виде
v =
∞∑
s=1
µs/2vs(η, r), η = ω(µ)t + mθ, ω(µ) =
∞∑
s=1
µsωs. (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 161
Ясно, что коэффициенты разложений функций v(µ) ∈ H2, ω(µ) ∈ R должны быть опре-
делены из уравнения
ω
∂v
∂η
−D
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂v
∂r
)
− m2
r2
∂2v
∂η2
]
+ v + Λ(µ)Qmv = R(Qmv, µ), (21)
где Qmv(η, r) = v(η + mh, κr).
3. Существование вращающейся структуры. Описанный выше формализм построе-
ния периодической структуры уравнения (10) обосновывает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 – 3. Тогда существует µ0 > 0 такое, что
для 0 < µ < µ0 уравнение (10) имеет периодическое по t решение v∗ = v∗(η, r, µ), η =
= ω(µ)t + mθ. Имеет место равенство
v∗(η, r, µ) = v̂(η, r, µ) + O(µ3/2), ω(µ) = ω̂(µ) + O(µ2),
где ω̂(µ), v̂(µ) определены равенствами (18) и (19) соответственно.
Доказательство. В уравнении (10) положим v = v(η, r, µ) = v(ω(µ)t + mθ, r, µ). В
результате относительно v в пространстве H2 получим уравнение (21), которое в силу
изложенного имеет при ω(µ) = ω̂(µ) приближенное по невязке порядка µ3/2 решение
v̂(η, r, µ). Преобразование v = v̂ + ξ приводит уравнение (21) к виду
B(µ)ξ = F (ξ, η, r, µ, δ), (22)
где
B(µ)ξ = ω̂
∂ξ
∂η
−D
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂ξ
∂r
)
− m2
r2
∂2ξ
∂η2
]
+ ξ + Λ(µ)Qmξ
+
(
µ
1/2
1 g1 + µ1 g2 + µ
3/2
1 g3
)
Qmξ, (23)
функции g1, g2 удовлетворяют равенствам
g1 = Λ̂ ctg ŵ(exp (iη1)Q̂J + к. с.), η1 = η + mh, (24)
g2 = −1
2
Λ̂(exp (iη1)Q̂J + к. с.)2−
− (Λ̂ ctg ŵ)2
[
A−1
0 Q̂(JJ) + Re exp (i2η1)(2iω0 + A2m)−1Q̂J2
]
, (25)
а функция g3 = g3(η, r, µ) ∈ H2(S) является аналитической функцией аргумента µ1/2 при
0 < µ < µ0. Функцию F в уравнении (22) представим в виде
F (ξ, η, r, µ, δ) = δ
(
∂ξ
∂η
+
∂v̂
∂η
)
+ f0(η, r, µ) + f2(ξ, η, r, µ), δ = ω̂ − ω. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
162 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
Очевидно, имеет место неравенство
‖f0‖ < dµ3/2, (27)
где d не зависит от µ и его точное значение несущественно. Функция f2(·, η, r, µ) : H2 →
→ H, f2(0, η, r, µ) = 0, ∂ξf2(0, η, r, µ) = 0, удовлетворяет условию
‖f2(ξ1, η, r, µ)− f2(ξ2, η, r, µ)‖ < d max(‖ξ1‖2, ‖ξ2‖2)‖ξ1 − ‖ξ2‖. (28)
Здесь и далее символ d используется в том же смысле, что и в неравенстве (27).
При исследовании вопроса о разрешимости относительно δ ∈ R, ξ ∈ H2 уравнения
(22) используется спектральная задача
B(µ)ξ = λξ, ξ ∈ H. (29)
Рассмотрим соответствующую ей невозмущенную задачу
B(0)ξ = ω0
∂ξ
∂η
−D
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂ξ
∂r
)
− m2
r2
∂2ξ
∂η2
]
+ ξ + Λ̂Qmξ = λξ, ξ ∈ H.
В силу условия 1 ядро оператора B(0) : H → H является двумерным, причем Ker B(0) =
= Span{Re exp (iη)J, Im exp (iη)J}. Таким образом, нуль является двукратным собствен-
ным значением оператора B(0). Снова используя условие 1, приходим к заключению, что
остальные собственные значения оператора B(0) отделены от нуля. Поэтому ограни-
чимся анализом задачи (29) для значений λ из окрестности нуля. Поскольку с точностью
порядка µ справедливо равенство
B(µ)ξ0 = 0, (30)
где
ξ0 = Im
(
exp(iη)J + µ
1/2
1 Λ̂ ctg ŵ exp(2i(η + mh))(2iω1 + A2m)−1Q̂(J2)
)
, (31)
для анализа задачи (29) при малых λ применим следующий метод. Положим
ξ = β1 exp (iη)J + β2 exp (−iη)J + µ
1/2
1 ξ1 + µ1ξ2 + . . . , (32)
λ = λ1µ1 + λ2µ
2
1 + . . . , (33)
подставим эти равенства в (29) и затем приравняем коэффициенты при одинаковых сте-
пенях µ
1/2
1 . В результате относительно ξ1, ξ2, . . . получим рекуррентную последователь-
ность линейных неоднородных уравнений. Легко убедиться в том, что решением уравне-
ния
B(0)ξ1 = (β1 exp (iη)Q̂J + β2 exp (−iη)Q̂J)g1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 163
где g1 удовлетворяет равенству (24), является функция
ξ1 = Λ̂ ctg ŵ(β1exp (2i(η + mh))(2iω0 + A2m)−1Q̂(J2)+
+ β2exp (−2i(η + mh))(−2iω0 + A2m)−1Q̂(J2) + (β1 + β2)A−1
0 Q̂(JJ)). (34)
Рассмотрим теперь уравнение относительно ξ2 :
B(0)ξ2 = (β1 exp (iη1)Q̂J + β2 exp (−iη1)Q̂J)g2 − (Qmξ1)g1 − iIm c1(β1 exp (iη)J−
− β2 exp (−iη)J)− (β1 exp (iη1)Q̂J + β2 exp (−iη1)Q̂ J)
(
Re λ′(0)(Re c1)−1
)−1 +
+ λ1(β1 exp (iη)J + β2 exp (−iη)J),
где g2 удовлетворяет равенству (25). Из условия разрешимости этого уравнения следует,
что (β1, β2)T — собственный вектор матрицы
M =
(
c1 c1
c1 c1
)
,
а λ1 — соответствующее собственное значение. Собственным векторам (1,−1)T , (c1, c1)T
этой матрицы соответствуют собственные значения 0 и 2Re c1 соответственно. Соответ-
ствующий анализ спектральной задачи
B∗(µ)ζ = λζ, ζ ∈ H,
для малых λ приводит к матрице M∗. Отсюда, в частности, следует, что с точностью по-
рядка µ1/2 справедливо равенство
B∗(µ)ζ0 = 0,
где ζ0 = Im (c1 exp (−iη)J∗).
Введем теперь оператор B̂(µ) согласно формуле
B̂(µ)ξ = B(µ)
(
ξ − 〈ξ0, ξ〉
‖ξ0‖2
ξ0
)
(35)
и рассмотрим спектральную задачу
B̂(µ)ξ = λξ, ξ ∈ H.
По определению B̂(µ)ξ0 = 0. В силу приближенного равенства (30) спектральные свой-
ства оператора B̂(µ) при малых µ аналогичны таковым для оператора B(µ). Следова-
тельно, существует функция ξ1 ∈ H2 такая, что
B̂(µ)ξ1 = (−2µ1Re c1 + O(µ2))ξ1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
164 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
При этом с точностью порядка µ справедливо равенство
ξ1 = Re (c1(exp (iη)J + µ
1/2
1 Λ̂ ctg ŵ(A−1
0 Q̂(JJ) + exp (2i(η + mh))(2iω1 + A2m)−1Q̂(J2)).
Существует также функция ζ0 ∈ H2, удовлетворяющая равенству
ζ0 = Re c−1
1 Im (c1 exp (−iη)J∗) + O(µ2)
и такая, что B̂∗(µ)ζ0 = 0, 〈ζ0, ξ0〉 = 1.
Обозначим M1 = Span{ξ1}. Пусть H разложено по спектральному множеству {0,
−2µRe c1 + O(µ2)} оператора B̂(µ), т. е.
H = Ker (B̂)⊕M1 ⊕M2.
Очевидно, уравнение
B̂(µ)ξ = g, g ∈ H, (36)
разрешимо тогда и только тогда, когда 〈ζ0, g〉 = 0. В этом случае существует единствен-
ное решение Kg ∈ H2 этого уравнения такое, что 〈Kg, ξ0〉 = 0. Ясно, что имеют место
следующие оценки:
‖Kg‖2 < d‖g‖, g ∈ M2, (37)
‖Kg‖2 <
d
µ
‖g‖H , g ∈ M1. (38)
Пусть P̂ — проектор в пространстве H на Ker (B̂) ⊕M1. Анализ построения функции v̂
приводит к неравенству
‖P̂ f0(·, µ)‖ < dµ5/2. (39)
Рассмотрим уравнение (22). Заменим в нем B на B̂. Эту замену учтем и в правой час-
ти, обозначив ее F̂ . Отметим, что согласно проведенному выше анализу
‖B(µ)ξ0‖ < dµ, ‖P̂B(µ)ξ0‖ < dµ3/2. (40)
Рассмотрим в пространстве H2 уравнение
ξ − K(F̂ (ξ, µ, δ)− 〈ζ0, F̂ (ξ, µ, δ)〉ξ0) = 0. (41)
Теперь видим, что примененный к этому уравнению метод последовательных приближе-
ний с нулевой начальной точкой приводит к сходящейся в H2 последовательности равно-
мерно по µ, δ в области 0 ≤ µ ≤ µ0, |δ| ≤ dµ3/2. Предел этой последовательности ξ∗(µ, δ)
является решением уравнения (41) и удовлетворяет оценке
‖ξ∗(µ, δ)‖2 < dµ3/2. (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 165
Функция ξ∗(µ, δ) непрерывно дифференцируема в области 0 ≤ µ ≤ µ0, |δ| ≤ dµ3/2. Со-
гласно (28) существует единственное решение уравнения (41), удовлетворяющее и нера-
венству (42), и условию 〈ζ0, ξ∗〉 = 0. По построению ξ∗(µ, δ) удовлетворяет уравнению
B(µ)ξ = F (ξ, η, r, µ, δ)−D(µ, δ),
где D(µ, δ) = 〈ζ0, F̂ (ξ∗, η, r, µ, δ)〉.
Итак, вопрос о разрешимости уравнения (21) сводится к вопросу о разрешимости
относительно δ уравнения
D(µ, δ) = 0.
Это уравнение в силу равенств (19), (26), (31) неравенств (27), (39), (40), (42) допускает
представление в виде
D(µ, δ) = µ
1/2
1 (δ + µ3/2l(µ1/2, δ)) = 0, (43)
где l(µ1/2, δ) — непрерывно дифференцируемая функция в области 0 < µ < µ0, |δ| <
< dµ
3/2
0 . Отсюда в силу теоремы о неявной функции следует существование непрерывно
дифференцируемого относительно µ1/2 при 0 < µ < µ0 решения δ(µ) уравнения (43),
которое удовлетворяет неравенству
|δ(µ)| < dµ3/2.
Следовательно, ξ∗(µ, δ(µ)) — решение уравнения (21) при ω(µ) = ω̂(µ) + δ(µ) и 0 < µ <
< µ0.
Теорема доказана.
4. Устойчивость вращающейся структуры. Вопрос об устойчивости построенного
выше решения уравнения (10) рассмотрим при следующем условии.
Условие 4. Пусть:
1) существует одна и только одна пара простых собственных значений −λ(0),
−λ(0) оператора L(0) такая, что λ(0) = iω0, ω0 6= 0;
2) σ(L(0))/{−λ(0),−λ(0)} ⊂ {λ ∈ C : Re λ > 0}.
С помощью принципа сведения [25, 26] вопрос об устойчивости вращающейся волны
v∗ уравнения (10) при выполнении условий 1, 3, 4 был исследован в работе авторов [8].
Ниже для исследования на устойчивость решения v∗ используется метод, основанный на
анализе линеаризованного в окрестности v∗ уравнения (10) [25] (теорема 8.2.3).
Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 3, 4. Тогда периодическое по t решение v∗
уравнения (10) является экспоненциально орбитально устойчивым.
Доказательство. Исследуем на устойчивость в пространстве H уравнение
ξ̇ + L(µ)ξ =
∂
∂u
R(Qv∗, µ)Qξ, (44)
полученное линеаризацией уравнения (10) в окрестности решения v∗. Перейдем с этой
целью от этого уравнения к его галеркинской аппроксимации. Предположим, что для
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
166 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
каждого k = 0,±1,±2, . . . существует полная ортонормированная в L2([0, 1], r) система
собственных функций Jk,s, s = 1, 2, . . . , оператора Ak(0), упорядоченная по возрастанию
вещественных частей соответствующих им собственных значений. Итак, пусть
Ak(0)Jk,s = −λk,sJk,s, s = 1, 2, . . . .
Ясно, что система функций {exp (ikθ)Jk,s(r), k ∈ Z, s = 1, 2, . . .} образует в пространстве
H полную ортонормированную систему. Пусть J∗k,s, s = 1, 2, . . . , — система собственных
функций оператора A∗
k(0) такая, что � J∗k,s, Jk,l � = δs,l, где δs,l — символ Кронекера.
Если κ = 1, то система функций с указанными свойствами, очевидно, существует. Введем
в пространстве H ортопроектор P̃ : H → H :
P̃ ξ =
k0∑
−k0
s0∑
s=1
Pk,sξ, Pk,sξ = ξk,s exp (ikθ)Jk,s, ξk,s = 〈exp (ikθ)J∗k,s, ξ〉,
где k0, s0 будут выбраны ниже. Положим в уравнении (44) ξ = P̃ ξ +(I− P̃ )ξ, где I — еди-
ничный оператор. В полученной относительно P̃ ξ, (I − P̃ )ξ системе уравнений положим
(I − P̃ )ξ = 0. В результате получим линейную систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений с периодическими коэффициентами
ξ̇k,s = λk,sξk,s + Pk,s
∂
∂u
R(Qv∗, µ)
k0∑
−k0
s0∑
s=0
Q(Pk,sξ), k = 0, 1, . . . , k0, s = 0, 1, . . . , s0. (45)
Здесь λk,s = λk,s(µ), ξ−k,s = ξk,s, k = 0, 1, . . . , k0. Согласно условию 4 критическими
переменными в этой системе являются только переменные ξm,1, ξm,1. Будем считать, что
Jm,1 = J, где функция J удовлетворяет равенству (6). Используя (19) и равенство
∂R(u, 0)
∂u
= Λ̂ ctg(ŵ)u− 1
2
Λ̂u2 + o(u2),
убеждаемся, что с точностью до слагаемых, которые не влияют на характер устойчиво-
сти системы (45), критическая переменная ξm,1 удовлетворяет уравнению
ξ̇m,1 = λ(µ)ξm,1 + µ
1/2
1 Λ̂ ctg(ŵ)
(
s0∑
s=1
exp(i(ωt + mh)) � J∗, Q̂(JJ0,s) � ξ0,s +
+ exp(−i(ωt−mh)) � J∗, Q̂(JJ2m,s) � ξ2m,s
)
+
+ µ1
(
(Λ̂ ctg(ŵ))2 exp(imh) � J∗, Q̂(JA−1
0 Q̂(JJ)) � ξm,1 +
+ exp(i(2ωt + mh)) � J∗, Q̂
(
J(2iω0 + A2m)−1(Q̂J2) +
1
2
Λ̂Q̂(J2J)
)
� ξm,1
)
. (46)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 167
Здесь использовано равенство λm,1(µ) = λ(µ) и обозначение ω = ω(µ). Рассмотрим те-
перь уравнения относительно некритических переменных ξ0,s, ξ2m,s, s = 0, 1, . . . . Эти
переменные удовлетворяют с точностью порядка µ уравнениям
ξ̇0,s = λ0,sξ0,s + µ
1/2
1 Λ̂ ctg(ŵ)(exp (iωt)ξm,1 + exp(−iωt)ξm,1) � J∗0,s, Q̂(JJ) �, (47)
ξ̇2m,s = λ2m,sξ2m,s + µ
1/2
1 Λ̂ ctg(ŵ) exp (i(ωt + 2mh))ξm,1 � J∗2m,s, Q̂(JJ) � . (48)
Преобразование
ξm,1 = η + µ
1/2
1 Λ̂ ctg(ŵ)
(
s0∑
s=1
exp(i(ωt + mh)) � J∗, Q̂(JJ0,s) � (λ0,s(0))−1ξ0,s +
+ exp(−i(ωt−mh)) � J∗, Q̂(JJ2m,s) � (2iω0 + λ2m,s(0))−1ξ2m,s
)
в силу уравнений (47), (48) и равенств
� J∗, Q̂(J(A0)−1(Q̂(JJ))) � =
=
s0∑
s=1
� J∗, Q̂(JJ0,s) �� J∗0,s, Q̂(JJ) � (λ0,s(0))−1 + r1(s0),
� J∗, Q̂(J(2iω0 + A2m)−1Q̂(J2)) � =
=
s0∑
s=1
� J∗, Q̂(JJ2m,s) �� J∗2m,s, Q̂(J2) � (2iω0 + λ2m,s(0))−1 + r2(s0)
приводит уравнение (46) с точностью порядка µ3/2 к виду
η̇ = λ(µ)η + µ1
(
(exp (imh) � J∗,−Λ̂Q̂(J2J)+
+
1
2
(Λ̂ ctg(ŵ))2 exp (2imh)Q̂(J(2iω0 + A2m)−1Q̂(J2) �)+
+ exp (i(2ωt + mh)) � J∗, Q̂(JA−1
0 Q̂(JJ)) � −r1(s0))η+
+
(
exp (i(2ωt + mh)) � J∗,
1
2
Λ̂Q̂(J2J) +
+ (Λ̂ ctg(ŵ))2 exp (2imh)Q̂(JA−1
0 Q̂(JJ)) + Q̂(JA−1
0 Q̂(J2)) � −r2(s0)
)
η. (49)
Уравнение (49), рассматриваемое совместно с соответствующим ему комплексно-сопря-
женным уравнением, определяет с точностью порядка µ3/2 систему (45) на ее двумерном
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
168 Е. П. БЕЛАН, О. Б. ЛЫКОВА
критическом инвариантном многообразии. Выполним теперь в уравнении (49) преобра-
зование
η → η exp (−iω(µ)t), η → η exp (iω(µ)t).
В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений с периодически-
ми коэффициентами, которая членами порядка µ3/2, µr1(s0), µr2(s0) отличается от сис-
темы с постоянными коэффициентами. Очевидно, что при соответствующем выборе s0
устойчивость полученной матрицы коэффициентов указанной системы, а следователь-
но, и устойчивость уравнения (44) определяются матрицей
µ1
(
−Re λ′(0)(1 + iχ) −Re λ′(0)(1− iχ)
−Re λ′(0)(1 + iχ) −Re λ′(0)(1− iχ)
)
,
где χ =
Im c1
Re c1
. Согласно условию 2 отсюда следует, что v∗ является экспоненциально
орбитально устойчивым решением уравнения (10).
Теорема доказана.
Заключение. В данной работе метод исследования бифурцирующих из стационарно-
го решения периодических решений для нелинейных сред с малой диффузией [18] (см.
также [19 – 21] использован при общих условиях бифуркации Андронова – Хопфа для па-
раболической задачи с преобразованием поворота-сжатия пространственных перемен-
ных. Метод опирается на развитую в указанных работах технику построения приближен-
ных бифурцирующих периодических решений. В настоящей статье с этой целью исполь-
зуется одночастотный метод [9 – 11] в сочетании с формализмом построения централь-
ных многообразий для уравнений, инвариантных относительно группы вращений окруж-
ности. Основным результатом работы является теорема 1 о существовании и асимптоти-
ческой форме вращающейся структуры, рождающейся из стационарного пространствен-
но-однородного решения исходной задачи. Теорема 1 примыкает к результатам [5, 6] по
исследованию бифуркации Андронова – Хопфа для общих параболических задач с пре-
образованным аргументом. Теорема 2 об устойчивости вращающейся структуры была
сформулирована и доказана авторами в работе [8]. В приведенном в настоящей статье
новом доказательстве использованы подходы, которые были инициированы работой [18]
и успешно развиваются для исследования автоволновых процессов в нелинейных средах
с малой диффузией [19, 20]. Для исследования орбитальной устойчивости вращающейся
структуры применяется принцип сведения в теории устойчивости линейных систем диф-
ференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [26] и метод Галеркина.
Авторы признательны рецензенту за полезные замечания и советы.
1. Ахманов С. А., Воронцов М. А., Иванов В. Ю. Генерация структур в оптических системах с двумер-
ной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей // Новые
принципы оптической обработки информации. — М.: Наука, 1990. — С. 263 – 325.
2. Разгулин А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Мат. моде-
лирование. — 1993. — 5, № 4. — С. 106 – 119.
3. Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback // Chaos in Optics / Ed.
Rajarshi Roy. (Proc. SPIE-2039). — 1993. — P. 342 – 351.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
БИФУРКАЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ СТРУКТУР В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ . . . 169
4. Белан Е. П. Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом // Дина-
мические системы. — 2000. — Вып.16. — С. 160 – 167.
5. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solution for nonlinear parabolic functional differential equations
arising in optoelectronics // Nonlinear Anal.: Theory, Methods and Appl. — 1998. — 12, № 2. — P. 261 – 278.
6. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-диф-
ференциального уравнения // Дифференц. уравнения. — 1998. — 34, № 10. — С. 1394 – 1401.
7. Белан Е. П. О бифуркации периодических решений в параболическом функционально-дифферен-
циальном уравнении // Учен. зап. Таврич. нац. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика и
кибернетика. — 2002. — № 2. — С. 11 – 23.
8. Белан Е. П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференци-
альном уравнении // Дифференц. уравнения. — 2004. — 40, № 10. — С. 1348 – 1357.
9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. —
М.: Наука, 1969.
10. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. — М.: На-
ука, 1973.
11. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения уравнений в частных произ-
водных. — Киев: Вища шк., 1976.
12. Ruelle D. Bifurcations in the presence of a symmetry group // Arch.Ration. Mech. and Anal. — 1973. — 51,
№ 2. — P. 136 – 152.
13. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.
14. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Итоги
науки и техники. Соврем. направления математики. Фундам. направления / ВИНИТИ. — 1985. —5. —
C. 5 – 218.
15. Kuznetzov Y. A. Elements of applied bifurcation theory. — New York: Springer, 1998.
16. Белан Е. П. О бифуркации бегущих волн в сингулярно возмущенной параболической задаче с пре-
образованным аргументом // Динамические системы. — 2001. — Вып. 17. — С. 179 – 184.
17. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984.
18. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных
параболических уравнений с малой диффузией // Мат. сб. — 1986. — 130, вып. 4. — С. 488 – 499.
19. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: Физматлит,
2004.
20. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных
средах с диффузией. — М.: Физматлит, 2005.
21. Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига про-
странственной переменной // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. — 2005. — 1, № 1. — С. 3 – 34.
22. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. — М.: Мир,
1985.
23. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Оптическая буферность и механизмы ее возникновения // Теорет. и мат.
физика. — 2004. — 140, № 1. — С. 14 – 28.
24. Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном
уравнении // Дифференц. уравнения. — 2004. — 40, № 5. — С. 645 – 654.
25. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985.
26. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1964. —
28, № 6. — С. 1297 – 1324.
Получено 16.09.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178103 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:37:00Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Белан, Е.П. Лыкова, О.Б. 2021-02-17T20:18:18Z 2021-02-17T20:18:18Z 2006 Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении / Е.П. Белан, О.Б. Лыкова // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 55-169. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178103 517.956.4 Дослiджено бiфуркацiю Андронова – Хопфа народження перiодичного розв’язку iз просторово-однорiдного стацiонарного розв’язку задачi Неймана на крузi для параболiчного рiвняння з перетворенням просторових змiнних у випадку, коли це перетворення є композицiєю перетворень повороту на сталий кут i радiального стискання. При загальних припущеннях доведено теорему iснування обертаючої структури, отримано умови її орбiтальної стiйкостi та побудовано її асимптотичну форму. We investigate the Andronov – Hopf bifurcation of creation of a periodic solution from a spatially homogeneous stationary solution of the Neumann problem on a disk for a parabolic equation with a transformation of spatial variables in the case where the transformation is a composition of a rotation at a constant angle and a radial contraction. Under general assumptions we prove the existence of a rotating structure, find conditions for its orbital stability and construct its asymptotic form. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении Біфуркації структур, що обертаються, в параболічному функціонально-диференціальному рівнянні Bifurcations of rotating structures of a parabolic functional-differential equation Article published earlier |
| spellingShingle | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении Белан, Е.П. Лыкова, О.Б. |
| title | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| title_alt | Біфуркації структур, що обертаються, в параболічному функціонально-диференціальному рівнянні Bifurcations of rotating structures of a parabolic functional-differential equation |
| title_full | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| title_fullStr | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| title_full_unstemmed | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| title_short | Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| title_sort | бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178103 |
| work_keys_str_mv | AT belanep bifurkaciivraŝaûŝihsâstrukturvparaboličeskomfunkcionalʹnodifferencialʹnomuravnenii AT lykovaob bifurkaciivraŝaûŝihsâstrukturvparaboličeskomfunkcionalʹnodifferencialʹnomuravnenii AT belanep bífurkacíístrukturŝoobertaûtʹsâvparabolíčnomufunkcíonalʹnodiferencíalʹnomurívnânní AT lykovaob bífurkacíístrukturŝoobertaûtʹsâvparabolíčnomufunkcíonalʹnodiferencíalʹnomurívnânní AT belanep bifurcationsofrotatingstructuresofaparabolicfunctionaldifferentialequation AT lykovaob bifurcationsofrotatingstructuresofaparabolicfunctionaldifferentialequation |