Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi C¹ [−1, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t)+bx(qt)+hx(t−1)+cx˙(qt)+rx˙(t−1) в околi особливої точки t = +∞. We find new properties of C¹ [−1, +∞)-solutions of the linear differential-functional equation x˙(t) = = ax(t) + bx(q...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178104 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 170-177. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178104 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бельский, Д.В. 2021-02-17T20:18:56Z 2021-02-17T20:18:56Z 2006 Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 170-177. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178104 517.929 Встановлено новi властивостi C¹ [−1, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t)+bx(qt)+hx(t−1)+cx˙(qt)+rx˙(t−1) в околi особливої точки t = +∞. We find new properties of C¹ [−1, +∞)-solutions of the linear differential-functional equation x˙(t) = = ax(t) + bx(qt) + hx(t − 1) + cx˙(qt) + rx˙(t − 1) in a neighbourhood of the singular point t = +∞. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Про асимптотичні властивості розв'язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом On asymptotic properties of solutions of the linear differential-functional equations with linearly transformed argument Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| spellingShingle |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| author |
Бельский, Д.В. |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Нелінійні коливання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про асимптотичні властивості розв'язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом On asymptotic properties of solutions of the linear differential-functional equations with linearly transformed argument |
| description |
Встановлено новi властивостi C¹
[−1, +∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiонального рiвняння x˙(t) = ax(t)+bx(qt)+hx(t−1)+cx˙(qt)+rx˙(t−1) в околi особливої точки t = +∞.
We find new properties of C¹
[−1, +∞)-solutions of the linear differential-functional equation x˙(t) =
= ax(t) + bx(qt) + hx(t − 1) + cx˙(qt) + rx˙(t − 1) in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
|
| issn |
1562-3076 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178104 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 170-177. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskiidv obasimptotičeskihsvoistvahrešeniilineinyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravneniislineinopreobrazovannymargumentom AT belʹskiidv proasimptotičnívlastivostírozvâzkívlíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹzlíníinoperetvorenimargumentom AT belʹskiidv onasymptoticpropertiesofsolutionsofthelineardifferentialfunctionalequationswithlinearlytransformedargument |
| first_indexed |
2025-11-26T02:24:03Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:24:03Z |
| _version_ |
1850608389974917120 |
| fulltext |
УДК 517 . 929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский
Ин.-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of C1[−1,+∞)-solutions of the linear differential-functional equation ẋ(t) =
= ax(t) + bx(qt) + hx(t− 1) + cẋ(qt) + rẋ(t− 1) in a neighbourhood of the singular point t = +∞.
Встановлено новi властивостi C1[−1,+∞)-розв’язкiв лiнiйного диференцiально-функцiональ-
ного рiвняння ẋ(t) = ax(t)+bx(qt)+hx(t−1)+cẋ(qt)+rẋ(t−1) в околi особливої точки t = +∞.
В данной работе рассматривается начальная задача
ẋ(t) = ax(t) + bx(qt) + hx(t− 1) + cẋ(qt) + rẋ(t− 1), t > 0, (1)
x(t) = g(t) ∈ C1, t ∈ [−1, 0], (2)
где {a, b, c, h, r} ⊂ R, 0 < q < 1, и относительно начальной функции g(t) будем предпо-
лагать выполненным условие „склейки”
ġ(0) = ag(0) + bg(0) + hg(−1) + cġ(0) + rġ(−1). (3)
В настоящее время имеется ряд интересных результатов, касающихся свойств решений
уравнения (1). Так, в [1] исследованы асимптотические свойства решений уравнения (1)
при h = c = r = 0, в [2] установлены новые свойства решений этого уравнения при
a = h = c = r = 0, в [3] получены условия существования аналитических почти перио-
дических решений уравнения (1) при h = c = r = 0, в [4] построено представление обще-
го решения уравнения (1) при h = r = 0, |c| > 1, в [5] получен ряд новых результатов о
существовании ограниченных и финитных решений уравнений с линейно преобразован-
ным аргументом, в [6] определены мажоранты для решений уравнения (1) при h = r = 0.
Несмотря на изложенное и на широкие приложения, которые находят такие уравнения в
различных областях науки и техники (см. [7] и приведенную в ней библиографию), мно-
гие вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений вида (1)
изучены мало. Это прежде всего касается исследования асимптотических свойств реше-
ний задачи (1), (2) из класса C1[−1,+∞) в окрестности особой точки t = +∞. Поэтому
основной целью настоящей работы является установление новых свойств C1[−1,+∞)-
решений задачи (1), (2) при достаточно общих предположениях относительно коэффи-
циентов a, b, c, h, r.
Прежде чем исследовать асимптотические свойства решений, укажем достаточные
условия существования решения начальной задачи.
c© Д. В. Бельский, 2006
170 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 171
Теорема 1. Если |c/q| < 1 и начальная функция g(t) удовлетворяет условию (3), то
задача (1), (2) имеет единственное C1[−1,+∞)-решение.
Доказательство. Сначала рассмотрим отрезок t ∈ [−1, ν], 0 < ν < 1, и запишем
задачу (1), (2) в эквивалентной (в классе C1[−1, ν]-решений) интегральной форме
x(t) =
c
q
x(qt) + rg(t− 1) +
(
1− c
q
)
g(0)− rg(−1)+
+
t∫
0
(ax(s) + bx(qs)) ds + h
t∫
0
g(s− 1)ds, t ∈ (0, ν],
g(t) ∈ C1, t ∈ [−1, 0].
(4)
Для доказательства существования решений задачи (4) применим метод последова-
тельных приближений:
x0(t) =
{
g(0) + g′(0)t, t ∈ (0, ν],
g(t), t ∈ [−1, 0],
xm(t) =
c
q
xm−1(qt) + rg(t− 1) +
(
1− c
q
)
g(0)− rg(−1)+
+
t∫
0
(axm−1(s) + bxm−1(qs)) ds + h
t∫
0
g(s− 1)ds, t ∈ (0, ν],
g(t), t ∈ [−1, 0],
m ≥ 1.
(5)
Поскольку x0(t) ∈ C1[−1, ν] и начальная функция g(t) удовлетворяет условию (3), то,
рассуждая по индукции, можно показать, что xm(t) ∈ C1[−1, ν] при всех m ≥ 1.
Покажем, что при выполнении условий теоремы и достаточно малом ν существует
единственное непрерывное решение. Действительно, поскольку |c/q| < 1, при достаточ-
но малом ν имеем ∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ (|a|+ |b|)ν < 1.
Далее, принимая во внимание (5), получаем
sup
t∈[−1,ν]
|xm(t)− xm−1(t)| 6
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ (|a|+ |b|) ν
)
sup
t∈[−1,ν]
|xm−1(t)− xm−2(t)| , m ≥ 2.
Последнее неравенство означает, что ряд
+∞∑
m=1
sup
t∈[−1,ν]
|xm(t) − xm−1(t)| сходится, а следо-
вательно, и последовательность непрерывных функций {xm(t)} сходится равномерно на
отрезке [−1, ν].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
172 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Последовательные приближения (5) удовлетворяют соотношениям
ẋ0(t) =
{
ġ(0), t ∈ (0, ν],
ġ(t), t ∈ [−1, 0],
ẋm(t) =
axm−1(t) + bxm−1(qt) + hxm−1(t− 1) + cẋm−1(qt) + rẋm−1(t− 1), t ∈ (0, ν],
ġ(t), t ∈ [−1, 0],
m ≥ 1.
Отсюда в силу (5) имеем
sup
t∈[−1,ν]
|ẋm(t)− ẋm−1(t)| = sup
t∈(0,ν]
|ẋm(t)− ẋm−1(t)| ≤
≤ (|a|+ |b|) sup
t∈[−1,ν]
|xm−1(t)− xm−2(t)|+ |c| sup
t∈[−1,ν]
|ẋm−1(t)− ẋm−2(t)| , (6)
m ≥ 2.
Для сокращения записей введем обозначения
αm
df= sup
t∈[−1,ν]
|ẋm(t)− ẋm−1(t)| , βm
df= sup
t∈[−1,ν]
|xm(t)− xm−1(t)| .
Тогда, продолжая оценку (6), находим
αm 6 (|a|+ |b|)βm−1 + |c|αm−1,
откуда следует
n+1∑
m=1
αm − α1 6 (|a|+ |b|)
n∑
m=1
βm + |c|
n+1∑
m=1
αm.
Учитывая, что |c/q| < 1, окончательно получаем
n+1∑
m=1
αm 6 (1− |c|)−1
(
(|a|+ |b|)
n∑
m=1
βm + α1
)
.
Поскольку ряд
+∞∑
m=1
βm сходится, сходится также ряд
+∞∑
m=1
αm. Таким образом, последова-
тельность xm(t) сходится к C1[−1, ν]-решению x(t) задачи (1), (2) по норме:
‖xm(t)− x(t)‖ df=
(
sup
t∈[−1,ν]
|xm(t)− x(t)|+ sup
t∈[−1,ν]
|ẋm(t)− ẋ(t)|
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 173
из чего следует существование и единственность C1[−1, ν)-решения задачи (1), (2). С по-
мощью метода шагов это решение можно продолжить на отрезок [−1,+∞).
Теорема доказана.
Исследуем теперь вопрос об асимптотической устойчивости решений уравнения (1).
Теорема 2. Если {a, b, h, c, r} ⊂ R, 0 < q < 1, a < 0 и∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|+ |h + ar| 1
|a|
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
|a|
< 1,
то уравнение (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Любое C1(min{1, 2q},+∞)-решение уравнения (1) удовлетворяет со-
отношению
x(t) =
c
q
x(qt) + rx(t− 1) +
(
x(2)− c
q
x(2q)− rx(1)
)
ea(t−2)+
+
bq + ac
q
t∫
2
ea(t−s) x(qs)ds + (h + ar)
t∫
2
ea(t−s) x(s− 1)ds, t > 2.
Рассмотрим начальную задачу
x(t) =
c
q
x(qt) + rx(t− 1) +
(
x(2)− c
q
x(2q)− rx(1)
)
ea(t−2)+
+
bq + ac
q
t∫
2
ea(t−s) x(qs)ds + (h + ar)
t∫
2
ea(t−s) x(s− 1)ds, t > 2,
g(t), t ∈ [min{1, 2q}, 2],
(7)
где g(t) — некоторая функция из класса C[min {1, 2q}, 2], и исследуем ее с помощью ме-
тода последовательных приближений, которые определим соотношениями
x0(t) =
0, t ≥ 3,
g(2)(3− t), 2 < t < 3,
g(t), min {1, 2q} ≤ t ≤ 2,
(8)
xm(t) =
c
q
xm−1(qt) + rxm−1(t− 1) +
(
g(2)− c
q
g(2q)− rg(1)
)
ea(t−2)+
+
bq + ac
q
t∫
2
ea(t−s) xm−1(qs)ds + (h + ar)
t∫
2
ea(t−s) xm−1(s− 1)ds, t > 2,
g(t), t ∈ [min{1, 2q}, 2],
m ≥ 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
174 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
В силу (8) при t ≥ max{4, 3q−1} df= t1 имеем
|x1(t)− x0(t)| = |x1(t)| =
∣∣∣∣∣
(
g(2)− c
q
g(2q)− rg(1)
)
ea(t−2) +
+
bq + ac
q
t1∫
2
ea(t−s) x0(qs)ds+
+ (h + ar)
t1∫
2
ea(t−s) x0(s− 1)ds
∣∣∣∣∣ = K1e
at,
где
K1 =
∣∣∣∣∣
(
g(2)− c
q
g(2q)− rg(1
)
e−2a +
bq + ac
q
t1∫
2
e−as xm−1(qs)ds+
+ (h + ar)
t1∫
2
e−as xm−1(s− 1)ds
∣∣∣∣∣.
Тогда |x1(t)− x0(t)| ≤ Keat, t ≥ min{1, 2q}, где K — некоторая константа.
Поскольку a < 0, при t > 2 находим
|x2(t)− x1(t)| ≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ |x1(qt)− x0(qt)|+ |r| |x1(t− 1)− x0(t− 1)|+
+ |h + ar|
t∫
2
ea(t−s)|x1(s− 1)− x0(s− 1)|ds+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣
t∫
2
ea(t−s)|x1(qs)− x0(qs)|ds ≤
≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣Keaqt + |r|Kea(t−1) + |h + ar|
t∫
2
ea(t−s)Kea(s−1) ds+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣
t∫
2
ea(t−s)Keaqs ds ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 175
≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣Keaqt + |r|e−a Keat + |h + ar|e−a eatK(t− 2)+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(q − 1)
Keaqt ≤
≤
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|e−a + |h + ar|e−aea(1−q)t(t− 2) +
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(q − 1)
)
Keaqt ≤
≤
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|e−a + |h + ar|e−a sup
t>2
(
ea(1−q)t(t− 2)
)
+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(q − 1)
)
Keaqt df=K1 eaqt.
Аналогично при t > 2 имеем
|x3(t)− x2(t)| ≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣ |x2(qt)− x1(qt)|+ |r| |x2(t− 1)− x1(t− 1)|+
+ |h + ar|
∫
2tea(t−s)|x2(s− 1)− x1(s− 1)|ds+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣
t∫
2
ea(t−s) |x2(qs)− x1(qs)| ds ≤
≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣K1 eaq2t + |r|K1 eaq(t−1) + |h + ar|
t∫
2
ea(t−s)K1e
aq(s−1)ds+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣
t∫
2
ea(t−s)K1e
aq2sds ≤
≤
∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣K1 eaq2t + |r|K1 e−aq eaqt + |h + ar|K1 e−aq 1
a(q − 1)
eaqt+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣K1
1
a(q2 − 1)
eaq2t ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
176 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
≤
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|e−aq + |h + ar|e−aq 1
a(q − 1)
+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(q2 − 1)
)
K1 eaq2t df=K2e
aq2t.
Продолжая процесс и рассуждая по индукции, получаем
|xm+1(t)− xm(t)| ≤ Kmeaqmt, t > 2, (9)
где
Km =
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|e−aqm−1
+ |h + ar|e−aqm−1 1
a(qm−1 − 1)
+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(qm − 1)
)
Km−1, m ≥ 2,
K1 =
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|e−a + |h + ar|e−a sup
t>2
(
ea(1−q)t(t− 2)
)
+
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
a(q − 1)
)
K, K0 = K.
Поскольку ∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|+ |h + ar| 1
|a|
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
|a|
< 1,
непосредственно из (9) следует, что последовательность непрерывных функций {xm(t)}
равномерно сходится при t ∈ [min{1, 2q},+∞) к непрерывному решению уравнения (7),
которое стремится к нулю при t → +∞.
Легко показать, что решение уравнения (7) единственно. Действительно, пусть сущест-
вует еще одно решение y(t). Тогда в силу условий теоремы очевидное неравенство
sup
t≥min {1,2q}
|x(t)− y(t)| ≤
(∣∣∣∣ cq
∣∣∣∣+ |r|+ |h + ar| 1
|a|
+
∣∣∣∣bq + ac
q
∣∣∣∣ 1
|a|
)
×
× sup
t≥min {1,2q}
|x(t)− y(t)|
приводит к противоречию.
Множество C1(min{1, 2q},+∞)-решений уравнения (1) является подмножеством мно-
жества решений задачи (7) при различных „начальных” функциях g(t) из класса
C[min{1, 2q}, 2]. Следовательно, решения уравнения (1) стремятся к нулю, когда t → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ . . . 177
Далее, так как величина множителя в изложенных выше рассуждениях зависит лишь от
величины sup
t∈[min{1,2q},2]
|g(t)|, имеет место асимптотическая устойчивость нулевого реше-
ния.
Теорема доказана.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc.
— 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 325 c.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — C. 1592 – 1601.
6. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных
уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi ко-
ливання. — 2004. — 7, № 1. — C. 48 – 52.
7. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
Получено 21.11.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2
|