Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням

Для задачi оптимальної стабiлiзацiї процесу, що описується крайовою задачею для параболiчного рiвняння, побудовано i обґрунтовано наближене усереднене керування у формi оберненого зв’язку (синтезу). For an optimal stabilization problem for a processes that is described by a boundary-value problem f...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Нелінійні коливання
Дата:	2006
Автор:	Сукретна, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178107
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням / А.В. Сукретна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178107
record_format	dspace
spelling	Сукретна, А.В. 2021-02-17T20:23:18Z 2021-02-17T20:23:18Z 2006 Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням / А.В. Сукретна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178107 517.977 Для задачi оптимальної стабiлiзацiї процесу, що описується крайовою задачею для параболiчного рiвняння, побудовано i обґрунтовано наближене усереднене керування у формi оберненого зв’язку (синтезу). For an optimal stabilization problem for a processes that is described by a boundary-value problem for parabolic equation, we construct and substantiate an approximate averaged feedback control (synthesis). uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням Приближенная оптимальная стабилизация решений параболической краевой задачи ограниченным управлением An approximate optimal stabilization of solutions of a parabolic boundary-value problem with a bounded control Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
spellingShingle	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням Сукретна, А.В.
title_short	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
title_full	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
title_fullStr	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
title_full_unstemmed	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
title_sort	наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням
author	Сукретна, А.В.
author_facet	Сукретна, А.В.
publishDate	2006
language	Ukrainian
container_title	Нелінійні коливання
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Приближенная оптимальная стабилизация решений параболической краевой задачи ограниченным управлением An approximate optimal stabilization of solutions of a parabolic boundary-value problem with a bounded control
description	Для задачi оптимальної стабiлiзацiї процесу, що описується крайовою задачею для параболiчного рiвняння, побудовано i обґрунтовано наближене усереднене керування у формi оберненого зв’язку (синтезу). For an optimal stabilization problem for a processes that is described by a boundary-value problem for parabolic equation, we construct and substantiate an approximate averaged feedback control (synthesis).
issn	1562-3076
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178107
citation_txt	Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням / А.В. Сукретна // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 2. — С. 264-279. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT sukretnaav nabliženaoptimalʹnastabílízacíârozvâzkívparabolíčnoíkraiovoízadačíobmeženimkeruvannâm AT sukretnaav približennaâoptimalʹnaâstabilizaciârešeniiparaboličeskoikraevoizadačiograničennymupravleniem AT sukretnaav anapproximateoptimalstabilizationofsolutionsofaparabolicboundaryvalueproblemwithaboundedcontrol
first_indexed	2025-11-25T22:15:07Z
last_indexed	2025-11-25T22:15:07Z
_version_	1850561164623216640
fulltext	УДК 517 . 977 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ОБМЕЖЕНИМ КЕРУВАННЯМ А. В. Сукретна Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6 Iн-т математики НАН України Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3 For an optimal stabilization problem for a processes that is described by a boundary-value problem for parabolic equation, we construct and substantiate an approximate averaged feedback control (synthesis). Для задачi оптимальної стабiлiзацiї процесу, що описується крайовою задачею для параболiч- ного рiвняння, побудовано i обґрунтовано наближене усереднене керування у формi оберненого зв’язку (синтезу). 1. Вступ. Для нескiнченновимiрних систем задача побудови обмеженого оптимального керування у формi оберненого зв’язку ще далека вiд свого остаточного розв’язання. Для систем з розподiленими параметрами проблема оптимального синтезу зводиться до роз- в’язностi функцiонального рiвняння Беллмана. При розв’язаннi цього рiвняння у випадку лiнiйно-квадратичної задачi приходимо до нескiнченновимiрного рiвняння типу Рiккатi, отримання точного розв’язку якого зазвичай не є технiчно можливим. Крiм того, резуль- туючi синтезованi оптимальнi керування виражаються нескiнченними рядами i для силь- но неоднорiдних середовищ (тобто у випадку, коли початкова задача має швидко осцилю- ючi коефiцiєнти) нерегулярно залежать вiд малого параметра. Наведенi обставини уне- можливлюють практичне застосування реальних оптимальних керувань i спонукають до пошуку наближених усереднених регуляторiв, якi б забезпечували необхiднi екстремаль- нi властивостi. У данiй роботi для задачi оптимальної стабiлiзацiї параболiчного процесу розв’яза- но питання побудови наближеного усередненого синтезу у випадку виходу керування на обмеження. 2. Постановка задачi. В областi Q = {(x, t) : x ∈ Ω, t0 < t < ∞}, де Ω — обмежена область в R n з кусково-гладкою межею ∂Ω, t0 ≥ 0 — фiксований мо- мент часу, розглянемо наступну задачу оптимальної стабiлiзацiї: знайти керування v(t) ∈ U = {v(t) : v ∈ L2(R +), \|v(t)\| ≤ ξ майже скрiзь в R + = [t0; +∞)}, (1) що доставляє найменше значення функцiоналу J(v) = ∞∫ t0   ∫ Ω (yε(x, t))2 dx + γv2(t)   dt, γ = const > 0, (2) c© А. В. Сукретна, 2006 264 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 265 визначеному на розв’язках крайової задачi для параболiчного рiвняння yε t (x, t) = Aεyε(x, t) + gε(x)v(t), (x, t) ∈ Q, yε(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ t0, (3) yε(x, t0) = ϕ(x), x ∈ Ω. Тут Aε = div (aε(x) −−−→ grad ) + bε(x), де aε(x) = a (x ε ) , bε(x) = b (x ε ) , gε(x) = = g (x ε ) , gε, ϕ ∈ L2(Ω), ε ∈ (0, 1) — малий параметр. Будемо вимагати, щоб оператор Aε задовольняв наступнi умови: 1) a — (n × n)-вимiрна симетрична 1-перiодична матриця, яка задовольняє умови рiв- номiрної елiптичностi: ∃ α1, α2 > 0 ∀ ε ∈ (0, 1) ∀ x ∈ Ω ∀ −→χ ∈ R n : (4) α1 n∑ k=1 χ2 k ≤ aε ij(x)χiχj ≤ α2 n∑ k=1 χ2 k, i, j = 1, n; 2) функцiя b є вимiрною симетричною 1-перiодичною та обмеженою, а саме ∃ β1, β2 > 0 ∀ ε ∈ (0, 1) ∀ x ∈ Ω : β1 ≤ bε(x) ≤ β2. (5) Вiдомо, що при кожному фiксованому керуваннi v ∈ U крайова задача (3) має розв’я- зок yε ∈ W 1,0 2 (Q) [1]. Крiм того, задача оптимального керування (1) – (3) має єдиний розв’язок uε ∈ U [2]. Розглянемо наступну спектральну задачу при ε ∈ (0, 1) : AεXε(x) + (λε)2Xε(x) = 0, x ∈ Ω, (6) Xε(x) = 0, x ∈ ∂Ω. При виконаннi умов (4), (5) з [1] вiдомо, що спектральна задача (6) має злiченну мно- жину розв’язкiв (λε)2 = (λε k) 2, Xε(x) = Xε k(x), k = 1,∞, причому власнi значення 0 ≤ (λε 1) 2 ≤ . . . ≤ (λε k) 2 ≤ (λε k+1) 2 ≤ . . . , (λε k) 2 → ∞, k → ∞, а власнi функцiї {Xε k(x)}∞k=1 утворюють базис у просторах L2(Ω) i H1 0 (Ω), що ортонормо- ваний у L2(Ω) й ортогональний у H1 0 (Ω). Розкладаючи всi функцiї задачi оптимальної стабiлiзацiї (1) – (3) в ряд Фур’є за систе- мою {Xε k(x)}∞k=1, отримуємо задачу вiдносно вiдповiдних коефiцiєнтiв Фур’є ẏε i (t) = −(λε i ) 2yε i (t) + gε i v(t), t > t0, (7) yε i (t0) = ϕε i , i = 1,∞, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 266 А. В. СУКРЕТНА v(t) ∈ U, (8) I(v) = ∞∫ t0 [ ∞∑ i=1 (yε i (t)) 2 + γv2(t) ] dt → inf . (9) Для розв’язкiв задачi Кошi (7) yε i (t) = ϕε ie −(λε i ) 2(t−t0) + t∫ t0 gε i e (λε i ) 2(s−t)v(s)ds (10) справджуються оцiнки (yε i ) 2 ≤ 2(ϕε i ) 2 + 2 (λε i ) 2 (gε i ) 2 ess sup t∈R+ \|v(t)\|2, (ẏε i ) 2 ≤ 2(λε i ) 2(ϕε i ) 2 + 4(gε i ) 2 ess sup t∈R+ \|v(t)\|2, (11) ∞∫ t0 (yε i ) 2(t)dt ≤ (ϕε i ) 2 (λε i ) 2 + (gε i ) 2 (λε i ) 4 ‖v‖2 L2(R+), з яких випливають оцiнки для розв’язку початкової крайової задачi (3): ‖yε(t)‖2 L2(Ω) ≤ 2 ( ‖ϕ‖2 L2(Ω) + 1 (λε 1) 2 ‖gε‖2 L2(Ω) ess sup t∈R+ \|v(t)\|2 ) , (12) ‖yε t (t)‖2 L2(Ω) ≤ 2 ( ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + 2‖gε‖2 L2(Ω) ess sup t∈R+ \|v(t)\|2 ) , (13) ∞∫ t0 ∫ Ω (yε(x, t))2dxdt ≤ ∞∑ i=1 (ϕε i ) 2 (λε i ) 2 + ‖v‖2 L2(R+) ∞∑ i=1 (gε i ) 2 (λε i ) 4 . (14) У роботi [3] за допомогою методу динамiчного програмування задачу оптимально- го керування (7) – (9) (а отже, i задачу (1) – (3)) розв’язано повнiстю. Проте розв’язок, отриманий тут, не є зручним для практичного застосування, оскiльки: 1) записується у виглядi нескiнченного ряду; 2) коефiцiєнти нерегулярно ( порядку 1 ε ) залежать вiд малого параметра; 3) для отримання керування потрiбно розв’язати нелiнiйну нескiнченновимiрну систе- му рiвнянь. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 267 Метою даної роботи є побудова на базi точного оптимального керування задачi (1) – (3) у випадку виходу на обмеження наближеного усередненого керування, яке б реалiзо- вувало мiнiмум критерiю якостi (2) i разом з тим не мало б недолiкiв 1 – 3. Зауважимо, що аналогiчна задача у випадку, коли керування є внутрiшньою точкою допустимої множини U, розглядалась у [4]. 3. Побудова наближеного усередненого синтезу. Далi будемо вважати виконаними наступнi припущення. Припущення 1. Для всiх ε ∈ (0, 1) справджується оцiнка ‖gε‖2 L2(Ω) ≤ √ 2(λε 1) 4γ. Припущення 2. Для всiх ε ∈ (0, 1) виконуються нерiвностi ϕε ig ε i < 0, i = 1,∞. Припущення 3. Для всiх ε ∈ (0, 1) виконується нерiвнiсть − 1 2γ ∞∑ i=1 ϕε ig ε i (λε 1) 2(1 + γε i ) > ξ. Нехай закон синтезу оптимального керування має вигляд uε[yε] =    ξ, t ∈ [t0, τ ε], − 1 2γ ∞∑ i=1 gε i y ε i (t) (λε 1) 2(1 + γε i ) = (ℜε(·), yε(·, t)) , t ∈ [τ ε; +∞), (15) де числа γε i > 0, i = 1,∞, є розв’язками нелiнiйної системи γε i = 1 2γ ∞∑ j=1 (gε j ) 2 (λε j) 2((λε i ) 2 + (λε j) 2)(1 + γε j ) , (16) yε i (t) — розв’язки задачi Кошi (7) з керуванням uε[yε], ℜε(x) = − 1 2γ ∞∑ i=1 gε i X ε i (x) (λε i ) 2(1 + γε i ) , yε(x, t) — розв’язок крайової задачi (3) з керуванням (15), (·, ·) — скалярний добуток у просторi L2(Ω), а точка перемикання τ ε визначається з рiвняння ∞∑ i=1 gε i y ε i (t)e −(λε i ) 2(τε −t) (λε i ) 2(1 + γε i ) + ∞∑ i=1 (gε i ) 2ξ(1 − e−(λε i ) 2(τε −t)) (λε i ) 4(1 + γε i ) = −2γξ (17) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 268 А. В. СУКРЕТНА або ∞∑ i=1 gε i ϕ ε ie −(λε i ) 2(τε −t0) (λε i ) 2(1 + γε i ) + ∞∑ i=1 (gε i ) 2ξ(1 − e−(λε i ) 2(τε −t0)) (λε i ) 4(1 + γε i ) = −2γξ. (18) Зауважимо, що в загальному випадку припущення 1 – 3 не гарантують вигляд (15) оптимального керування (тобто наявнiсть єдиної точки перемикання). Однак при досить широких умовах на данi задачi (1) – (3) (наприклад, якщо gε(x) = αXε i (x) для деякого i = 1,∞ i α ∈ R) оптимальне керування справдi має вигляд (15). При цьому: припущення 1 гарантує iснування єдиного додатного розв’язку системи (16); при виконаннi умов припущень 2, 3 розв’язок рiвняння для точки перемикання (17) (або (18)) iснує й єдиний, причому розв’язок рiвняння (17) є одним i тим самим вздовж оптимальної траєкторiї −→y ε(t) = {yε i (t)}∞i=1 (таким чином, рiвняння (17), (18) справдi еквi- валентнi). На базi реального оптимального керування (15) побудуємо i обґрунтуємо закон на- ближеного усередненого синтезу. Для цього поряд зi спектральною задачею (6) розглянемо спектральну задачу A0X0(x) + (λ0)2X0(x) = 0, x ∈ Ω, (19) X0(x) = 0, x ∈ ∂Ω, для усередненого оператора A0 = div (a0−−−→grad ) + b0, де a0 — усереднена матриця, b0, g0 — середнi значення вiдповiдних функцiй [5]. Нехай {X0 i (x)}∞i=1 — власнi функцiї спектральної задачi (19), якi вiдповiдають простим власним значенням {(λ0 i ) 2}∞i=1, причому 0 ≤ (λ0 1) 2 < . . . < (λ0 k) 2 < (λ0 k+1) 2 < . . . , (λ0 k) 2 → ∞, k → ∞. Тодi система {X0 i (x)}∞i=1 утворює ортонормований у L2(Ω) i ортогональний в H1 0 (Ω) базис i вiдомо, що [5] \|(λε k) 2 − (λ0 k) 2\| ≤ ckε, ‖Xε k − X0 k‖L2(Ω) ≤ Ckε, k = 1,∞, (20) gε → g0, bε → b0 слабко в L2(Ω) при ε → 0. Замiнимо у формулi для оптимального керування ряди на скiнченнi суми та коефiцi- єнти Фур’є за системою функцiй {Xε i (x)}∞i=1 на коефiцiєнти Фур’є за системою функцiй {X0 i (x)}∞i=1, при цьому дещо посилимо припущення 1 – 3. А саме, будемо вимагати, щоб виконувалися наступнi припущення. Припущення 4. Для всiх ε ∈ [0, 1) справджується оцiнка ‖gε‖2 L2(Ω) ≤ (λ0 1) 4γ. (21) Припущення 5. Для всiх ε ∈ [0, 1) виконуються нерiвностi ϕε ig ε i < 0, i = 1,∞. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 269 Припущення 6. Для всiх ε ∈ [0, 1) виконується нерiвнiсть − 1 2γ ∞∑ i=1 ϕε ig ε i (λε 1) 2(1 + γε i ) > ξ. де {γ0 i }∞i=1 — додатний розв’язок системи γ0 i = 1 2γ ∞∑ j=1 (g0 j ) 2 (λ0 j ) 2((λ0 i ) 2 + (λ0 j ) 2)(1 + γ0 j ) . (22) Далi основним об’єктом дослiдження є наближене усереднене керування u0 N [yε0 N ] =    ξ, t ∈ [t0, τ 0 N ], − 1 2γ N∑ i=1 g0 i y ε0 iN (t) (λ0 1) 2(1 + γ0 iN ) = ( ℜ0 N (·), yε0 N (·, t) ) , t ∈ (τ0 N ; +∞), (23) де γ0 iN , i = 1,∞, — додатний розв’язок системи γ0 iN = 1 2γ N∑ j=1 (g0 j ) 2 (λ0 j ) 2((λ0 i ) 2 + (λ0 j ) 2)(1 + γ0 jN ) , (24) ℜ0 N (x) = − 1 2γ N∑ i=1 g0 i X 0 i (x) (λ0 i ) 2(1 + γ0 iN ) , τ0 N — точка перемикання, яка визначається з рiвняння N∑ i=1 g0 i ϕ 0 i e −(λ0 i )2(τ0 N−t0) (λ0 i ) 2(1 + γ0 iN ) + N∑ i=1 (g0 i ) 2ξ(1 − e−(λ0 i )2(τ0 N−t0)) (λ0 i ) 4(1 + γ0 iN ) = −2γξ, (25) а yε0 iN (t) = (yε0 N (·, t),X0 i (·)), yε0 N (x, t) — розв’язок крайової задачi (3) з керуванням (23). Зауважимо, що керування (23) не є, взагалi кажучи, неперервним у точцi t = τ0 N . 4. Деякi допомiжнi результати. Для обґрунтування коректностi запропонованого ке- рування (23), тобто перед тим як довести, що керування (23) реалiзує мiнiмум критерiю якостi (2), будемо використовувати наступнi результати, доведення яких є досить гро- мiздкими, i тому ми їх не наводимо. Насамперед зауважимо, що з огляду на (20) очевидними є збiжностi (λε i ) 2 → (λ0 i ) 2, ϕε i → ϕ0 i , gε i → g0 i , ε → 0, i = 1,∞. Крiм того, як i у випадку ε > 0, за умови виконання припущення 4 ((21)) додатний розв’я- зок системи (22) iснує й єдиний. Метод знаходження цього розв’язку дає така лема. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 270 А. В. СУКРЕТНА Лема 1. Для кожного N ≥ 1 iснує єдиний додатний розв’язок {γ0 iN}N i=1 системи (24), причому γ0 iN → γ0 i , N → ∞, де {γ0 i }∞i=1 — єдиний додатний розв’язок системи (22). Лема 2. Для розв’язкiв рiвняння (25) має мiсце збiжнiсть τ0 N → τ0, N → ∞, де τ0 — розв’язок рiвняння ∞∑ i=1 g0 i ϕ 0 i e −(λ0 i )2(τ0 −t0) (λ0 i ) 2(1 + γ0 i ) + ∞∑ i=1 (g0 i ) 2ξ(1 − e−(λ0 i )2(τ0 −t0)) (λ0 i ) 4(1 + γ0 i ) = −2γξ. (26) Лема 3. Нехай {γε i }∞i=1 — додатний розв’язок нелiнiйної системи (16). Тодi γε i → γ0 i , ε → 0, i = 1,∞, де {γ0 i }∞i=1 — єдиний додатний розв’язок системи (22). Лема 4. Нехай τ ε — розв’язок рiвняння для точки перемикання (18). Тодi τ ε → τ0, ε → 0, де τ0 — розв’язок рiвняння (26). Лема 5. ℜ0 N → ℜ0 = − 1 2γ ∞∑ i=1 g0 i X 0 i (λ0 i ) 2(1 + γ0 i ) , N → ∞ слабко в L2(Ω). Лема 6. ℜε → ℜ0, ε → 0 в L2(Ω). 5. Коректнiсть запропонованого наближеного усередненого керування. Основним ре- зультатом роботи є наступна теорема. Теорема. Нехай в задачi оптимального керування (1) – (3) gε ∈ L2(Ω), ϕ ∈ H1 0 (Ω) та виконуються припущення 4 – 6. Тодi справджуються наступнi оцiнки близькостi мiж реальним оптимальним керуванням (15) i побудованим наближеним усередненим керу- ванням (23): ∀ η > 0 ∃ N0 ∈ N ∃ ε0 > 0 ∀ N ≥ N0 ∀ ε ∈ (0, ε0) : ‖uε[yε] − u0 N [yε0 N ]‖2 L2([t0;+∞)) < η, (27) ∣∣J(uε[yε]) − J(u0 N [yε0 N ]) ∣∣ < η. (28) Таким чином, побудоване наближене керування реалiзує мiнiмум критерiю якостi та є близьким до реального оптимального керування, що й обґрунтовує його коректнiсть. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 271 Доведення. Зафiксуємо довiльне достатньо мале η. 1. З лем 2, 4 випливає, що ∃ N1 ∈ N ∃ ε1 > 0 ∀ N ≥ N1 ∀ ε ∈ (0, ε1) : \|τ ε − τ0\| < η 40ξ2 , \|τ0 N − τ0\| < η 40ξ2 . Таким чином, для вiдповiдних значень ε та N отримуємо τ ε, τ0 N ∈ ( τ0 − η 40ξ2 , τ0 + η 40ξ2 ) , а тому на промiжку [ t0, τ 0 − η 40ξ2 ] керування (15), (23) збiгаються мiж собою i дорiвню- ють ξ, а при t ≥ τ0 + η 40ξ2 задаються нижнiм рядком формул (у виглядi ряду). Звiдси маємо τ0+ η 40ξ2∫ t0 ( uε[yε] − uε N [yε0 N ] )2 dt ≤ η 5 . (29) Оцiнимо ∣∣∣ ∥∥∥yε ( τ0 + η 40ξ2 )∥∥∥ L2(Ω) − ∥∥∥yε0 N ( τ0 + η 40ξ2 )∥∥∥ L2(Ω) ∣∣∣. Для цього достатньо оцiнити ∥∥∥yε ( τ0 + η 40ξ2 ) − yε0 N ( τ0 + η 40ξ2 )∥∥∥ L2(Ω) . Оскiльки yε(x, t) та yε0 N (x, t) є розв’язками крайової задачi (3) з керуваннями uε[yε] i u0 N [yε0 N ] вiдповiдно, то dε0 N (x, t) = yε(x, t) − yε0 N (x, t) — розв’язок крайової задачi (dε0 N )t = Aεdε0 N + gε(uε[yε] − u0 N [yε0 N ]), dε0 N \|∂Ω = 0, dε0 N \|t=t0 = 0. Звiдси, використовуючи (10), знаходимо ‖yε(t) − yε0 N (t)‖2 L2(Ω) ≤ ‖gε‖2 L2(Ω) 2(λε 1) 2 t∫ t0 (uε[yε] − u0 N [yε0 N ])2ds. Оскiльки (λε 1) 2 → (λ0 1) 2, ε → 0, то ∃ ε̃ > 0 ∀ ε ∈ (0, ε̃) : (λ0 1) 2 ≤ 4 √ 2(λε 1) 2 (30) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 272 А. В. СУКРЕТНА (зауважимо, що з (30) видно, що при достатньо малих ε припущення 1 випливає з припу- щення 4). Отже, при t = τ0 + η 40ξ2 ‖yε(t) − yε0 N (t)‖2 L2(Ω) ∣∣∣ t=τ0+ η 40ξ2 ≤ ‖gε‖2 L2(Ω) 2(λε 1) 2 η 5 = 4 √ 2γη(λ0 1) 2 9 . Тому при достатньо малих η можна вважати, що ∥∥∥∥y ε0 N ( τ0 + η 40ξ2 )∥∥∥∥ L2(Ω) ≤ √ 2 ∥∥∥∥y ε ( τ0 + η 40ξ2 )∥∥∥∥ L2(Ω) . (31) 2. Розглянемо тепер промiжок часу [ τ0 + η 40ξ2 ,+∞ ) . Для розв’язку yε(x, t) з (3), (15) маємо yε t = Aεyε + gε(yε,ℜε). (32) Помножимо (32) скалярно на yε. Тодi, враховуючи (6), отримуємо (yε t , y ε) ≤ −(λε 1) 2‖yε‖2 L2(Ω) + ‖gε‖L2(Ω)‖yε‖2 L2(Ω)‖ℜε‖L2(Ω). Отже, 1 2 d dt ‖yε‖2 + (λε 1) 2‖yε‖2 ≤ ‖gε‖‖ℜε‖‖yε‖2 (33) (тут i далi (·, ·) = (·, ·)L2(Ω), ‖ · ‖ = ‖ · ‖L2(Ω)). Використовуючи рiвнiсть Парсеваля, оцiнюємо ‖ℜε‖2 = ∥∥∥∥∥− 1 2γ ∞∑ i=1 gε i X ε i (λε i ) 2(1 + γε i ) ∥∥∥∥∥ 2 = ∞∑ i=1 1 4γ2 (gε i ) 2 (λε i ) 4(1 + γε i ) ≤ ‖gε‖2 4γ2(λε 1) 4 , звiдки, враховуючи (30), одержуємо ‖ℜε‖ ≤ ‖gε‖ 2γ(λε 1) 2 ≤ 4 √ 2‖gε‖ 2γ(λ0 1) 2 . Пiдставляючи останню оцiнку в (33) i беручи до уваги (21), маємо 1 2 d dt ‖yε‖2 + (λε 1) 2‖yε‖2 ≤ 4 √ 2 2γ ‖gε‖2 (λ0 1) 2 ‖yε‖2 ≤ 4 √ 2 2γ (λ0 1) 4γ (λ0 1) 2 ‖yε‖2 ≤ 4 √ 2 2 (λ0 1) 2‖yε‖2, або, ще раз скориставшись (30), 1 2 d dt ‖yε‖2 + (λ0 1) 2 4 √ 2 ‖yε‖2 ≤ 4 √ 2 2 (λ0 1) 2‖yε‖2. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 273 Отже, d dt ‖yε‖2 + δ‖yε‖2 ≤ 0, де δ = 4 √ 2(λ0 1) 2( √ 2 − 1), а тому ‖yε(t)‖2 ≤ ‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0), (34) де t̃0 = τ0 + η 40ξ2 , причому δ > 0 i не залежить вiд ε. Аналогiчна оцiнка має мiсце i для yε0 N (x, t) : d dt ‖yε0 N ‖2 + (λ0 1) 2 ( 2 4 √ 2 − 1 ) ‖yε0 N ‖2 ≤ 0 ⇒ d dt ‖yε0 N ‖2 + δ‖yε0 N ‖2 ≤ 0, звiдки, беручи до уваги (31), остаточно знаходимо оцiнку ‖yε0 N (t)‖2 ≤ ‖yε0 N (t̃0)‖2e−δ(t−❡t0) ≤ 2‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0). (35) З оцiнок (34), (35) неважко дiстати оцiнки для вiдповiдних керувань: (uε[yε])2 = (ℜε, yε)2 ≤ 1 2γ ‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0), (u0 N [yε0 N ])2 = (ℜ0 N , yε0 N )2 ≤ 1 2γ ‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0). Звiдси для t ≥ t̃0 отримуємо ∞∫ t (uε[yε] − u0 N [yε0 n ])2ds ≤ ∞∫ t (uε[yε])2ds + ∞∫ t (u0 N [yε0 n ])2ds ≤ 1 γδ ‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0). (36) Крiм того, якщо ввести позначення Jt(v) = ∞∫ t   ∫ Ω (yε(x, s))2dx + γv2(s)   ds (при t = t0 маємо J(v)), то, враховуючи (34) – (36), знаходимо ∣∣Jt(u ε[yε]) − Jt(u 0 N [yε0 N ]) ∣∣ ≤ 4 δ ‖yε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0). (37) З (36), (37) маємо ∃ T ≥ t̃0 ∀ t ≥ T : ∞∫ t (uε[yε] − u0 N [yε0 n ])2ds < η 5 , ∣∣Jt(u ε[yε]) − Jt(u 0 N [yε0 N ]) ∣∣ < η 5 , (38) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 274 А. В. СУКРЕТНА причому T не залежить вiд ε. Таким чином, залишилося переконатися в справедливостi оцiнок (27), (28) при iнте- груваннi по промiжках [t̃0, T ] i [t0, T ] вiдповiдно. 3. Спочатку встановимо близькiсть значень керувань, а потiм близькiсть значень цi- льових функцiй на промiжку [t0, T ], пiсля чого, з урахуванням (38), отримаємо (27), (28). Розглянемо на iнтервалi [t̃0, T ] задачу (3) з керуванням (23). Оскiльки для розв’язку цiєї задачi має мiсце оцiнка (35), то, позначаючи F ε0 N := gε(x)(yε0 N ,ℜ0 N ) = gε(x) ( yε0 N ,− 1 2γ N∑ i=1 g0 i X 0 i (λ0 i ) 2(1 + γ0 iN ) ) , отримуємо, що F ε0 N ∈ L∞(t̃0, T ;L2(Ω)) i з (21), (35) для всiх t ∈ [t̃0, T ] знаходимо ‖F ε0 N (t)‖ ≤ (λ0 1) 2‖yε0 N (t̃0)‖. (39) З оцiнок (11) випливає, що якщо ϕ ∈ H1 0 (Ω) та v ∈ U, тобто \|v(t)\| ≤ ξ майже скрiзь на R +, то для розв’язку yε(x, t) крайової задачi (3) виконується оцiнка ‖yε(t)‖2 H1 0 (Ω) = ∞∑ i=1 (λε i ) 2(yε i (t)) 2 ≤ 2‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + 2ξ2‖gε‖2. Отже, для всiх t yε0 N (t) ∈ H1 0 (Ω), зокрема yε0 N (t̃0) ∈ H1 0 (Ω) i ‖yε0 N (t̃0)‖2 H1 0 (Ω) ≤ 2‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + 2ξ2‖gε‖2. (40) Тодi можна отримати оцiнку t∫ ❡t0 ‖(yε0 N )s‖2ds + ‖yε0 N ‖2 H1 0 (Ω) ≤ ‖yε0 N (t̃0)‖2 H1 0 (Ω) + (λ0 1) 4(T − t̃0)‖yε0 N (t̃0)‖2 ≤ ≤ 2 [ ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + ξ2‖gε‖2 + (λ0 1) 4(T − t̃0)‖ϕ‖2 + 4 √ 2(λ0 1) 2ξ2‖gε‖2(T − t̃0) ] . (41) Поширимо оцiнку (41) на t ∈ [t0, t̃0], беручи до уваги той факт, що в цьому випадку \|v(t)\| ≤ ξ. З (13), (40) маємо t∫ ❡t0 ‖(yε0 N )s‖2ds ≤ 2 ( ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + 2ξ2‖gε‖2 ) (t − t0), (42) ‖yε0 N (t)‖2 H1 0 (Ω) ≤ 2 ( ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + 2ξ2‖gε‖2 ) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 275 Таким чином, з (41), (42) i (21) для всiх t ∈ [t0, T ] отримуємо t∫ t0 ‖(yε0 N )s‖2ds + ‖yε0 N (t)‖2 H1 0 (Ω) ≤ 2 [ ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + γξ2(λ0 1) 4+ + (T − t0) ( ‖ϕ‖2 H1 0 (Ω) + (λ0 1) 4‖ϕ‖2 + 2γξ2(λ0 1) 4 + 4 √ 2γ(λ0 1) 6ξ2 )] . (43) Тодi, згiдно з лемою про компактнiсть, iснує функцiя zε = zε(x, t) така, що yε0 N → → zε, N → ∞ в сенсi наведених нижче збiжностей принаймнi по деякiй пiдпослiдовностi yε0 N → zε слабко в L2(t0, T ; H1 0 (Ω)), yε0 N → zε в L2(t0, T ;L2(Ω)), (yε0 N )t → zε t слабко в L2(t0, T ;L2(Ω)), (44) yε0 N (t) → zε(t) слабко в L2(Ω) для будь-якого t ∈ [t0, T ], yε0 N (t) → zε(t) сильно в L2(Ω) для майже всiх t ∈ [t0, T ], yε0 N (x, t) → zε(x, t) для майже всiх (x, t) ∈ Ω × [t0, T ] при N → ∞. Для того щоб перейти до границi при N → ∞ в крайовiй задачi (3) з керуванням (23), необхiдно довести збiжнiсть ℜ0 N . Потрiбну збiжнiсть забезпечує лема 5. Звiдси переходом до границi в крайовiй задачi (3) отримуємо, що zε — розв’язок кра- йової задачi zε t = Aεzε + gε { (zε,ℜ0), t ∈ (τ0, T ], ξ, [t0, τ0], (45) zε\|∂Ω = 0, zε\|t=t0 = ϕ, причому цей розв’язок є єдиним у класi C([t0, T ];L2(Ω)), а тому збiжнiсть вiдбувається по всiй послiдовностi. 4. Оскiльки ‖ℜ0‖ ≤ ‖g0‖ 2γ(λ0 1) 2 , (46) то для розв’язку zε крайової задачi (45) отримуємо оцiнку ‖zε(t)‖2 ≤ ‖zε(t̃0)‖2e−δ(t−❡t0) ≤ ce−δ(t−❡t0), (47) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 276 А. В. СУКРЕТНА де c не залежить вiд ε, N i отримується внаслiдок (12), (21) i (30). Оцiнки (46), (47) дозволяють стверджувати, що для zε справджується оцiнка типу (43). Отже, iснує функцiя z0 = z0(x, t) така, що zε → z0, ε → 0 по деякiй пiдпослiдовностi в сенсi збiжностей (44). Як ми вже встановили, zε — розв’язок крайової задачi (45). Розкладаючи функцiї цiєї крайової задачi за ортонормованим базисом {Xε i }∞i=1, для коефiцiєнтiв Фур’є {zε i (t)}∞i=1 функцiї zε = zε(x, t) отримуємо задачу Кошi żε i = −(λε i ) 2zε i + gε i { (zε,ℜ0), t ∈ (τ0, T ], ξ, t ∈ [t0, τ 0], (48) zε i \|t=t0 = ϕε i . Оскiльки zε → z0 в сенсi збiжностей (44), то в задачi Кошi можемо перейти до границi при ε → 0. Отримуємо, що {z0 i (t)}∞i=1 — розв’язок задачi Кошi ż0 i = −(λ0 i ) 2z0 i + g0 i { (z0,ℜ0), t ∈ (τ0, T ], ξ, t ∈ [t0, τ 0], z0 i \|t=t0 = ϕ0 i . Останнє означає, що функцiя p(x, t) = ∞∑ i=1 z0 i (t)X0 i (x) є розв’язком крайової задачi pt = A0p + g0 { (z0,ℜ0), t ∈ (τ0, T ], ξ, [t0, τ0], p\|∂Ω = 0, p\|t=t0 = ϕ. Покажемо тепер, що при t ∈ [t0, T ] p ≡ z0. Для цього при кожному t ∈ [t̃0, T ] оцiнимо ‖zε(t) − p(t)‖ = ∥∥∥∥∥ ∞∑ i=1 (zε i (t)X ε i − z0 i (t)X0 i ) ∥∥∥∥∥ ≤ ≤ ∥∥∥∥∥ k∑ i=1 (zε i (t)X ε i − z0 i (t)X0 i ) ∥∥∥∥∥+ ∥∥∥∥∥ ∞∑ i=k+1 (zε i (t)X ε i − z0 i (t)X0 i ) ∥∥∥∥∥ = D1 + D2 для довiльного фiксованого k. Оскiльки для довiльного t ∈ [t0, T ] zε(t) → z0(t), ε → 0 слабко в L2(Ω) по пiдпослi- довностi та Xε i → X0 i , ε → 0 сильно в L2(Ω) для всiх i ∈ N, то D1 → 0, ε → 0 по цiй послiдовностi. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 277 Оцiнимо D2. Для розв’язку задачi Кошi (48) знаходимо (zε i (t)) 2 ≤ 2 (gε i ) 2ξ2 (λε i ) 4 + 2(zε i (t̃0)) 2e−2(λε i ) 2(t−❡t0). Аналогiчно (z0 i (t))2 ≤ 2 (g0 i ) 2ξ2 (λ0 i ) 4 + 2(z0 i (t̃0)) 2e−2(λ0 i )2(t−❡t0). Тому, оскiльки з (20) випливає, що для достатньо великих k та достатньо малих ε 0 < (λ0 k+1) 2 − 1 < (λ0 k+1) 2 − cε k+1 ≤ (λε k+1) 2, маємо D2 2 ≤ ∞∑ i=k+1 (zε i (t)) 2 + ∞∑ i=k+1 (z0 i (t))2 ≤ ≤ 2ξ2 ((λ0 k+1) 2 − 1)2 ‖gε‖2 + 2ce−2((λ0 k+1 )2−1)(t−❡t0)+ + 2ξ2 (λ0 k+1) 4 ‖g0‖2 + 2ce−2(λ0 k+1 )2(t−❡t0) ≤ ≤ 4γξ2(λ0 1) 4 ((λ0 k+1) 2 − 1)2 + 4ce−2((λ0 i )2−1)(t−❡t0) → 0, k → ∞. Таким чином, ∀ ζ > 0 ∃ k ∈ N ∃ ˜̃ε > 0 ∀ ε ∈ (0, ˜̃ε) ∀ t ∈ [t̃0, T ] : D1 < ζ 2 , D2 < ζ 2 . Звiдси zε(t) → p(t), ε → 0 при [t̃0, T ] в L2(Ω), а тому внаслiдок єдиностi границi p ≡ z0 i збiжнiсть вiдбувається по всiй послiдовностi. Отже, z0 — розв’язок крайової задачi z0 t = A0z0 + g0 { (z0,ℜ0), t ∈ (τ0, T ], ξ, [t0, τ0], (49) z0\|∂Ω = 0, z0\|t=t0 = ϕ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 278 А. В. СУКРЕТНА 5. Розглянемо крайову задачу (3) з керуванням (15). Оскiльки для yε справджується оцiнка (34), то ‖yε(t)‖ ≤ ‖yε(t̃0)‖, i, отже, \|(yε(t),ℜε)\| ≤ ‖yε(t)‖ ∥∥∥∥∥− 1 2γ ∞∑ i=1 gε i X ε i (λε i ) 2(1 + γε i ) ∥∥∥∥∥ ≤ ‖yε(t̃0)‖‖gε‖ 2γ(λε 1) 2 . Звiдси з урахуванням (21), (30) остаточно знаходимо ‖gε(yε(t),ℜε)‖ ≤ 4 √ 2 2 (λ0 1) 2‖yε(t̃0)‖ ≤ (λ0 1) 2‖yε(t̃0)‖. Таким чином, ми отримали оцiнку вигляду (39). Повтрюючи мiркування з п. 3, прихо- димо до висновку, що для yε буде справедливою оцiнка (43) i, отже, iснує функцiя y0 = = y0(x, t) така, що yε → y0 при ε → 0 по деякiй пiдпослiдовностi в сенсi збiжностей (44). Для того щоб перейти до границi при ε → 0 в крайовiй задачi (3) з керуванням uε[yε], що задається формулою (15), скористаємося лемою 6. Таким чином, аналогiчно попередньому можемо перейти до границi при ε → 0 в кра- йовiй задачi (3) з керуванням uε[yε], що задається формулою (15), i внаслiдок єдиностi розв’язку крайової задачi (49) отримати, що z0 ≡ y0 i всi розглядуванi збiжностi насправ- дi вiдбуваються по всiй послiдовностi. Отже, ми показали, що yε0 N N→∞−→ zε ε→0−→ z0 \|\|\| yε ε→0−→ y0 i для керувань u0 N [yε0 N ] = (yε0 N ,ℜ0 N ) N→∞−→ (zε,ℜ0) ε→0−→ (z0,ℜ0) \|\|\| uε[yε] = (yε,ℜε) ε→0−→ (y0,ℜ0), причому збiжнiсть керувань є поточковою на [t0, T ]. Звiдси за теоремою Лебега про мажоровану збiжнiсть ∃ N2 ∈ N ∃ ε2 > 0 ∀ N ≥ N2 ∀ ε ∈ (0, ε2) : T∫ ❡t0 ((yε0 N ,ℜ0 N ) − (yε,ℜε))2ds < η i з (29), (38) для N0 = max{N1, N2} i ε0 = min{ε1, ε2, ε̃, ˜̃ε} остаточно знаходимо ∀ N ≥ N0 ∀ ε ∈ (0, ε0) : ∞∫ t0 (u0 N [yε0 N ] − uε[yε])2dt < η. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2 НАБЛИЖЕНА ОПТИМАЛЬНА СТАБIЛIЗАЦIЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПАРАБОЛIЧНОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 279 6. Оцiнимо ∣∣J(u0 N [yε0 N ]) − J(uε[yε]) ∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∞∫ t0 [‖yε0 N ‖2 − ‖yε‖2 + γ((u0 N [yε0 N ])2 − (uε[yε])2)]dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ ∞∫ t0 [∣∣‖yε0 N ‖ − ‖yε‖ ∣∣ (‖yε0 N ‖ + ‖yε‖ ) + +γ ∣∣u0 N [yε0 N ] − uε[yε] ∣∣ (\|u0 N [yε0 N ]\| + \|uε[yε]\| )] dt ≤ ≤ k1   ∞∫ t0 ‖yε0 N − yε‖2dt   1 2 + k2   ∞∫ t0 (u0 N [yε0 N ] − uε[yε])2dt   1 2 , де сталi k1, k2 отримуються з оцiнок (12), (14), (21), (30), (36). З останньої нерiвностi, використовуючи (14), (21), (30), знаходимо ∣∣J(u0 N [yε0 N ]) − J(uε[yε]) ∣∣ < k̃ √ η. Тодi, застосовуючи всi попереднi мiркування для числа min { η, η2 k̃ } , отримуємо обидвi оцiнки (27), (28) одночасно, що i завершує доведення теореми. Висновки. В роботi побудовано й обґрунтовано наближене усереднене синтезоване керування для параболiчної задачi оптимальної стабiлiзацiї зi швидко осцилюючими кое- фiцiєнтами у випадку виходу керування на обмеження. Доведено збiжнiсть побудованого наближеного керування до точного та близькiсть значень критерiїв якостi на вiдповiдних керуваннях. 1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. — 407 с. 2. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производ- ными. — М.: Мир, 1972. — 414 с. 3. Капустян В. Е. Оптимальная стабилизация ограниченным сосредоточенным управлением решений параболической краевой задачи // Проблемы управления и информатики. — 1999. — № 6. — С. 58 – 67. 4. Капустян О. А. Наближений синтез оптимального керування для задачi оптимальної стабiлiзацiї зi швидко осцилюючими коефiцiєнтами // Системнi дослiдження та iнформацiйнi технологiї. — 2005. — № 1. — С. 29 – 38. 5. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: Физмат- гиз, 1993. — 461 с. Одержано 31.03.2006 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 2

Наближена оптимальна стабілізація розв'язків параболічної крайової задачі обмеженим керуванням

Репозитарії

Схожі ресурси