Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом
Построена гиперболическая подкова для ренормализационного оператора на коммутирующих парах функций, соответствующих диффеоморфизмам окружности с изломом. The hyperbolic horseshoe for renormalization operator acting on commuting pairs which correspond to circle diffeomorphisms with a break is const...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178152 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 112-127. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859847328346669056 |
|---|---|
| author | Теплінський, О.Ю. |
| author_facet | Теплінський, О.Ю. |
| citation_txt | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 112-127. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Построена гиперболическая подкова для ренормализационного оператора на коммутирующих
парах функций, соответствующих диффеоморфизмам окружности с изломом.
The hyperbolic horseshoe for renormalization operator acting on commuting pairs which correspond to
circle diffeomorphisms with a break is constructed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:40:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 5
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ
О. Ю. Теплiнський
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ, вул. Терещенкiвська, 3
The hyperbolic horseshoe for renormalization operator acting on commuting pairs which correspond to
circle diffeomorphisms with a break is constructed.
Построена гиперболическая подкова для ренормализационного оператора на коммутирующих
парах функций, соответствующих диффеоморфизмам окружности с изломом.
1. Вступ. Мета цiєї статтi — побудова гiперболiчної структури, яка носить назву „пiдко-
ва Смейла”, для ренормалiзацiйного оператора на комутуючих парах функцiй, що вiд-
повiдають дифеоморфiзмам кола зi зламом. Цей результат було анонсовано в оглядовiй
роботi [1].
Так званий метод ренормалiзацiйної групи було розроблено фiзиками для вивчен-
ня властивостей певних структур з рисами самоподiбностi, тобто таких, якi на рiзних
масштабах розгляду поводяться аналогiчно. Фактично, метод дiє як лупа: мiкроскопiч-
ний об’єкт (фрагмент макроскопiчної структури) перенормовується знову на макроско-
пiчний рiвень. Легко повiрити, що в багатьох випадках iз зменшенням масштабу розгляду
таких структур вiдмiнностi мiж рiзними представниками дослiджуваного класу поступо-
во зникають, тобто зростає їхня регулярнiсть — аж до повної унiверсальностi в грани-
цi. Зрозумiло також, що перехiд вiд певного малого масштабу розгляду до ще меншого
часто можна зробити, незважаючи взагалi на макроскопiчний рiвень структури, тобто
послiдовнiсть „ренормалiзацiй” фактично породжується iтеруванням певного оператора
у вiдповiдному просторi. Математики зацiкавилися ренорм-груповим методом тодi, ко-
ли фiзик М. Фейгенбаум [2], застосувавши цей метод, наприкiнцi 70-х рокiв минулого
столiття вiдкрив (за допомогою комп’ютера) унiверсальнi властивостi послiдовностей бi-
фуркацiй подвоєння перiоду для унiмодальних (тобто гладких з єдиною точкою екстре-
муму) вiдображень вiдрiзка. Математичне обґрунтування унiверсальностi Фейгенбаума
(для аналiтичних вiдображень) тривало майже 20 рокiв [3 – 5], але за цей час iнструмент
ренормалiзацiї набув великої популярностi, зокрема в теорiї динамiчних систем iз диск-
ретним часом.
Паралельно з вивченням унiмодальних вiдображень вiдрiзка вiдбувалося дослiджен-
ня критичних поворотiв кола (тобто його гладких гомеоморфiзмiв з єдиною критичною
точкою). О. Ланфорд висловив [6] гiпотезу, згiдно з якою в цьому випадку ренорм-опе-
ратор є рiвномiрно гiперболiчним з єдиним нестiйким напрямком, який вiдповiдає змiнi
числа обертання гомеоморфiзму кола, що виливається в наявнiсть у просторi, де цей опе-
ратор дiє, так званої пiдкови Смейла [7], до якої стягуються всi траєкторiї даного опера-
тора. Виконати програму Ланфорда з побудови гiперболiчної пiдкови Смейла для кри-
тичних вiдображень кола в аналiтичному випадку спромiгся М. Ямпольський [8]. Це дало
змогу, зокрема, довести C1-гладкiсть спряження довiльних двох критичних аналiтичних
c© О. Ю. Теплiнський, 2008
112 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 113
поворотiв кола з однаковим порядком критичної точки i однаковим числом обертан-
ня [9].
Iнший клас динамiчних систем на колi, який дозволяє застосувати до себе ренорм-
груповий пiдхiд, складають дифеоморфiзми зi зламом, тобто такi гомеоморфiзми кола,
якi є гладкими скрiзь, крiм однiєї точки, в якiй їхня похiдна має розрив першого роду. Їхнє
дослiдження [10, 11] показало, що ренормалiзацiї таких гомеоморфiзмiв експоненцiаль-
но швидко збiгаються до класу дробово-лiнiйних вiдображень, в якому ренорм-оператор
виявляє гiперболiчнi властивостi, аналогiчнi до передбачених Ланфордом у випадку кри-
тичних поворотiв.
У данiй статтi доведено рiвномiрну гiперболiчнiсть ренорм-оператора на дробово-
лiнiйних комутуючих парах i дано наочну побудову пiдкови Смейла в класi цих пар. За-
уважимо, що це є єдиним вiдомим результатом такого типу, доведеним методами дiйсного
аналiзу для функцiй обмеженої гладкостi.
Скрiзь далi для заданого вiдображення F запис Fn позначає його n-ту iтерацiю F ◦
◦F ◦ · · · ◦ F (n разiв).
2. Два пiдходи до означення ренормалiзацiй. 2.1. Ренормалiзацiї гомеоморфiзмiв кола.
Одиничним колом ми називаємо фактор-простiр T1 = R/Z iз зрозумiлим чином задани-
ми орiєнтацiєю, метрикою, мiрою Лебега та операцiєю додавання за модулем 1. Основ-
ною арифметичною характеристикою зберiгаючого орiєнтацiю гомеоморфiзму T оди-
ничного кола T1 є число обертання ρ = ρ(T ), яке визначається як границя lim
i→∞
xi
i
, де
xi = Li
T x0 — траєкторiя пiдняття LT гомеоморфiзму T з T1 на R. (Тобто LT — строго
зростаюча функцiя з R до R, що має властивiсть LT (x+1) ≡ LT (x)+1 i при факторизацiї
по Z дає T.)
Будемо використовувати розклад числа обертання у ланцюговий дрiб [12]:
ρ = [k1, k2, . . . , kn, . . .] =
1
k1 +
1
k2 +
1
· · ·
kn +
1
· · ·
∈ (0, 1). (1)
Послiдовнiсть натуральних неповних часток kn, n ≥ 1, може бути скiнченною (числу
нуль вiдповiдає порожнiй розклад) або нескiнченною. В останньому випадку числовим
значенням виразу (1) за означенням є границя послiдовностi рацiональних наближень
pn/qn = [k1, k2, . . . , kn]. Взаємопростi натуральнi числа pn та qn задовольняють рекурент-
нi спiввiдношення pn = knpn−1 + pn−2, qn = knqn−1 + qn−2 для n ≥ 1, де для зручностi
покладено p0 = 0, q0 = 1 та p−1 = 1, q−1 = 0.
Для будь-якого числа ρ ∈ (0, 1) послiдовнiсть неповних часток визначається iндуктив-
но за допомогою перетворення Гаусса
G : ρ →
{
1
ρ
}
=
1
ρ
−
[
1
ρ
]
, (2)
де {x} позначає дробову, а [x] — цiлу частину x. Послiдовнiсть неповних часток визна-
чається цiлими частинами у формулi (2), а саме kn = [1/ρn−1], n ≥ 1, де ρn = Gnρ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
114 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Зауважимо, що при такому пiдходi у випадку рацiонального ρ ∈ (0, 1) остання неповна
частка завжди буде бiльшою за 1. Але, в принципi, кожне рацiональне ρ ∈ (0, 1) допускає
два способи його запису у виглядi (1), а саме p/q = [k1, . . . , km] = [k1, . . . , km−1, km − 1, 1],
де km ≥ 2.
У цьому пiдпунктi ми даємо означення n-ї ренормалiзацiї гомеоморфiзму вiдповiдно
до розкладу його числа обертання у ланцюговий дрiб. Всi наведенi нижче конструкцiї є
дiйсними для будь-якого n ≥ 0 у випадку iррацiонального числа обертання, а у випад-
ку рацiонального числа обертання вони є дiйсними лише впродовж скiнченної кiлькостi
крокiв вiдповiдно до довжини скiнченного розкладу (1).
Для заданого гомеоморфiзму T можна розглянути траєкторiю ξi = T iξ0, i ≥ 0, певної
вiдмiченої точки ξ0 ∈ T1 i вибрати з неї послiдовнiсть динамiчних наближень ξqn , n ≥ 0,
iндексами яких є знаменники вiдповiдних рацiональних наближень до ρ. Зручно також
використовувати ξq−1 = ξ0 − 1. Добре вивченi арифметичнi властивостi рацiональних на-
ближень з огляду на комбiнаторну еквiвалентнiсть мiж T та Rρ показують, що динамiчнi
наближення наближаються до вiдмiченої точки по черзi з двох бокiв:
ξq−1 < ξq1 < ξq3 < . . . < ξq2m+1 < . . . < ξ0 < . . . < ξq2m < . . . < ξq2 < ξq0 . (3)
У вiдповiдностi з (3) означимо n-й фундаментальний вiдрiзок ∆(n)
0 як дугу [ξ0, ξqn ] для
парного n та як дугу [ξqn , ξ0] для n непарного. Iтерацiї T qn та T qn−1 , обмеженi на фун-
даментальнi вiдрiзки ∆(n−1)
0 та ∆(n)
0 вiдповiдно, є нiчим iншим як двома неперервними
компонентами вiдображення першого повернення для T на їхнє об’єднання ∆(n−1)
0 ∪∆(n)
0
iз склеєними мiж собою кiнцевими точками ξqn−1 i ξqn . (Зауважимо, що послiдовнi образи
вiдрiзкiв ∆(n−1)
0 та ∆(n)
0 до свого повернення на ∆(n−1)
0 ∪∆(n)
0 цiлком вкривають коло T1,
перекриваючись лише своїми кiнцевими точками.)
Назвемо n-ю ренормалiзацiєю, n ≥ 0, зберiгаючого орiєнтацiю гомеоморфiзму T
одиничного кола T1 вiдносно вiдмiченої точки ξ0 ∈ T1 пару функцiй (fn, gn), якi одержу-
ються з обмежень T qn на ∆(n−1)
0 i T qn−1 на ∆(n)
0 вiдповiдно за допомогою афiнної замiни
координат, яка переводить ξ0 в 0, а ξqn−1 в −1. При цьому fn є визначеною на [−1, 0], а
gn — на [0, a(n)], де a(n) = fn(0). Зауважимо, що з цього означення автоматично випли-
ває, що fn i gn неперервнi i строго зростають, причому графiк fn лежить строго вище
за графiк тотожного вiдображення вiдрiзка [−1, 0] на себе, який ми надалi називатимемо
дiагоналлю.
2.2. Ренорм-оператор на комутуючих парах. Послiдовнiсть ренормалiзацiй, визначену
в попередньому пiдпунктi, можна одержати iншим шляхом.
Будемо говорити, що двi дiйснi функцiї F та G складають комутуючу пару (F,G),
якщо виконуються наступнi умови: F (0) ≥ 0, G(0) ≤ 0, функцiї F та G визначенi, не-
перервнi i строго зростають на промiжках [G(0), 0] та [0, F (0)] вiдповiдно i комутують в
точцi 0, тобто F (G(0)) = G(F (0)). Iтерацiєю Фарея комутуючої пари (F,G) такої, що
F (G(0)) < 0, називається комутуюча пара (F, F ◦G).
Комутуючу пару (F,G) називають нормалiзованою, якщо G(0) = −1 (таким чином,
функцiя F дiє з вiдрiзка [−1, 0]). Для пари функцiй (F,G) такої, що G(0) 6= 0, їхня норма-
лiзацiя — це пара (F,G) = (n−1 ◦ F ◦ n,n−1 ◦ G ◦ n), де n(z) = −G(0)z. Нормалiзована
комутуюча пара (F,G) називається виродженою, якщо F (0) = 0 (таким чином, функцiя
G визначена лише в точцi 0 i G(0) = F (−1) = −1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 115
Множину всiх нормалiзованих комутуючих пар (F,G) позначаємо P (далi її елементи
називаємо просто „парами”). Позначимо Ṗ = P\Z, де Z — множина всiх вироджених пар.
Визначимо „шари” Πk ⊂ P, 0 ≤ k < ∞, умовою F k(−1) ≤ 0 < F k+1(−1), їхнi „внутрiш-
ностi” Π̇k, k ≥ 0, умовою F k(−1) < 0 < F k+1(−1) i межовi „поверхнi” γ1/k, 1 ≤ k <
< ∞, умовою F k(−1) = 0. Означимо також множину Π∞ всiх таких пар (F,G) ∈ P, що
F i(−1) < 0 для всiх i ≥ 0, множину γ0 = γ1/∞ всiх таких пар (F,G) ∈ Π∞, що F (z) ≥ z
для всiх z ∈ [−1, 0], i множину Π̇∞ таку, що F (z) < z для певного z ∈ [−1, 0]. Зауважимо,
що перша з цих умов еквiвалентна iснуванню в F нерухомої точки на [−1, 0], друга —
тому, що графiк F дотикається зверху до дiагоналi, а третя — тому, що вiн її перетинає.
Очевидно, розбиття P =
⋃
0≤k≤∞
Πk є диз’юнктним (тобто без перекриттiв), так само як
розбиття Πk = Π̇k ∪ γ1/k, 1 ≤ k ≤ ∞ (тодi як для k = 0 маємо рiвнiсть Π0 = Π̇0).
Позначимо S = P\ (Π0 ∪ γ1) (це множина таких пар (F,G), що F (−1) < 0), S = S ∪ γ1
(множина таких пар, що F (−1) ≤ 0) i Ṡ = S\Z (множина таких пар, що F (−1) < 0,
F (0) > 0).
Оператор перемикач S : Ṗ → Ṗ (визначаємо як S(F,G) = (G, F )) фактично мiняє F
та G мiсцями. Легко бачити, що цей оператор є iнволютивним, тобто S2 = Id, i перево-
дить множини Ṡ та Π0 одну в одну.
Оператор крок Фарея F : S → P визначаємо як F(F,G) = (F, F ◦G). Очевидно,
F(Π̇k) ⊂ Π̇k−1, k ≥ 1; F(γ1/k) ⊂ γ1/(k−1), k ≥ 2, F(Π∞) ⊂ Π∞ i F = Id на Z.
Оператор F , який стартував у S, можна проiтерувати деяку кiлькiсть разiв, але лише
до тих пiр, поки його траєкторiя не вийде за межi S. З iншого боку, та пара, що „тi-
кає” з S, швидше за все потрапить до Π0 (якщо тiльки не до межової множини γ1), i тодi
оператор S поверне її назад до S. Це мiркування приводить до головної концепцiї в данiй
роботi — ренормалiзацiї в S.
Ренормалiзуючий оператор на парах (далi „ренорм-оператор”) R : S\Π∞ → S ви-
значаємо формулою R(F,G) = (F k ◦G, F ) для (F,G) ∈ Πk, k ≥ 1. Справдi, множина
визначення R подається у виглядi S\Π∞ =
⋃
k≥1 Πk. Її елементи називають ренормалi-
зовними парами, при цьому натуральне число k = k(F,G) ≥ 1 для пари (F,G) ∈ Πk
має назву висоти ренормалiзацiї. Вiдповiдно, пари з Π∞ називають неренормалiзовними,
i їхньою висотою вважають ∞. Зауважимо, що ренормалiзовними є тi пари, для яких F
не має нерухомих точок на [−1, 0].
Легко переконатися, що на множинi Π̇k, 1 ≤ k < ∞, має мiсце наступне подання:
R = S ◦ Fk. З iншого боку, R(γ1/k) ⊂ Z, 1 ≤ k < ∞.
Пару (F,G) називають нескiнченно ренормалiзовною, якщо Rn(F,G) 6∈ Π∞ для всiх
n ≥ 0. Множину всiх таких пар позначаємо R. Тепер неважко перевiрити, що кожна
означена в попередньому пiдпунктi ренормалiзацiя (fn, gn) гомеоморфiзму кола T з iрра-
цiональним числом обертання належить до R, отже, послiдовнiсть цих ренормалiзацiй є
траєкторiєю ренорм-оператора в R:
R(fn, gn) = (fn+1, gn+1). (4)
Для пари (F,G) ∈ S визначимо число обертання ρ(F,G) ∈ [0, 1], пiдставивши ви-
соти ренормалiзацiї kn = k(Rn−1(F,G)) на мiсце неповних часток у ланцюговому дробi
ρ(F,G) = [k1, k2, . . .]. Цей розклад продовжується поки Rn−1(F,G) 6∈ Π∞, отже, може ви-
явитися порожнiм, скiнченним або нескiнченним, i при цьому значення ρ(F,G) вiдповiдно
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
116 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
буде нулем, рацiональним або iррацiональним числом. Зауважимо, що числа обертання
ρ = 0 та ρ = 1 в цьому означеннi вiдрiзняються: перше вiдповiдає множинi неренормалi-
зовних пар Π∞, а друге — певнiй пiдмножинi Π1.
Для iррацiонального ρ ∈ (0, 1) позначаємо як γρ множину всiх пар iз числом обертання
ρ. Зауважимо, що всi пари з γ1/k мають число обертання 1/k, 1 ≤ k ≤ ∞, але не всi пари
з числом обертання ρ = 1/k належать до γ1/k. З iншого боку, для рацiональних чисел
ρ = [k1, . . . , km] з m > 1 ми не означаємо γρ зовсiм. Аби уникнути непорозумiнь, ми
користуватимемось позначенням γρ лише у випадку iррацiонального ρ (i явно писатимемо
γ1/k у протилежному випадку).
Оскiльки перетворення Гаусса (2) зсуває розклад у ланцюговий дрiб на одну позицiю
влiво G[k1, k2, . . . , kn, . . .] = [k2, k3, . . . , kn, . . .], можемо записати, що
ρ(R(F,G)) = Gρ(F,G), (F,G) ∈ S\Π∞.
Наведена конструкцiя дозволяє розглядати суцiльну послiдовнiсть ренормалiзацiй
(fn, gn), побудованих для певного гомеоморфiзму кола T, як єдину траєкторiю нескiн-
ченновимiрної динамiчної системи (S;R), що породжена дiєю ренорм-оператора на про-
сторi комутуючих пар. У наступному пунктi ми вивчатимемо гiперболiчнi властивостi
цього оператора, обмеженого на пiдпростiр пар, що вiдповiдають дифеоморфiзмам кола
зi зламом.
Зауважимо, що (S;R) не є динамiчною системою в класичному сенсi, оскiльки вi-
дображення R не є визначеним на всiй множинi S. Проте класичнi поняття легко поши-
рюються на подiбнi динамiчнi системи зi втратою мiри (зокрема, пiдмножину M ⊂ S
називаємо iнварiантною вiдносно R, якщо R(M ∩ R) ⊂ M). Треба лише мати на увазi,
що траєкторiї в такiй системi можуть бути скiнченними: вони зупиняються, коли потрап-
ляють до Π∞.
3. Дифеоморфiзми кола зi зламом. Гомеоморфiзм кола T називається дифеоморфiз-
мом гладкостi C2+α, α ∈ (0, 1), зi зламом в точцi ξ0, якщо виконуються наступнi умови:
1) T ∈ C2+α
(
[ξ0, ξ0 + 1]
)
;
2) infξ 6=ξ0 T ′(ξ) > 0;
3) однобiчнi похiднi T ′(ξ0+) i T ′(ξ0−) мiж собою не рiвнi.
Розмiром зламу називається число c =
√
T ′(ξ0−)
T ′(ξ0+)
. Для дифеоморфiзму зi зламом роз-
мiр останнього є додатним дiйсним числом, вiдмiнним вiд одиницi. Легко переконатися,
що гладка замiна координат на колi залишає розмiр зламу дифеоморфiзму зi зламом не-
змiнним.
Означимо множину пар, що вiдповiдає множинi дифеоморфiзмiв гладкостi C2+α зi
зламом розмiру c. Аби це зробити, розглянемо, по-перше, множину Ṗ2+α
c ⊂ Ṗ всiх неви-
роджених пар (F,G), обидвi функцiї в яких є C2+α-гладкими, їхнi першi похiднi додатнi
скрiзь на (замкнених!) вiдрiзках визначення i задовольняють умову c2 =
F ′(0)G′(F (0))
G′(0)F ′(−1)
.
По-друге, розглянемо множину Z2+α
c ⊂ Z усiх вироджених пар (F,G) таких, що F ∈
∈ C2+α([−1, 0]), F ′ > 0 i c2 =
F ′(0)
F ′(−1)
. Виявляється природним покласти P2+α
c = Ṗ2+α
c ∪
∪Z2+α
c i запровадити весь набiр позначень за зразком ∗2+α
c = ∗ ∩ P2+α
c , де ∗ пробiгає всi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 117
пiдмножини P, означенi в попередньому пунктi. Легко перевiрити, що F(S2+α
c ) ⊂ P2+α
c ,
S(Ṗ2+α
c ) = Ṗ2+α
1/c , R(S2+α
c \Π2+α
∞,c ) ⊂ S2+α
1/c i R(γ2+α
1/k,c) ⊂ Z2+α
1/c . Оскiльки кожна дiя R пере-
микає розмiр зламу з c на 1/c, то виникає потреба або розглядати простори P2+α
c i P2+α
1/c
разом, або вивчати дiю другої iтерацiї ренорм-оператораR2 на двiчi диференцiйовнi пари
з S2+α
c . Зауважимо, що множина R2+α
c є iнварiантною вiдносно R2.
Зв’язок мiж щойно означеними просторами i дифеоморфiзмами гладкостi C2+α зi зла-
мом розмiру c є наступним: ренормалiзацiї (fn, gn), визначенi в попередньому пунктi, на-
лежать до S
2+α,
c для парних n i до S2+α
1/c для непарних n.
Тепер розглянемо iнварiантну вiдносно R сiм’ю пар дробово-лiнiйних функцiй, зада-
них формулами
Fa,v,c(z) =
a + cz
1− vz
, Ga,v,c(z) =
−c + z
c− c−1−v
a z
. (5)
Зручно покласти G0,c−1,c(0) = −1; таким чином, для кожного розмiру зламу c маємо в цiй
сiм’ї єдину вироджену пару, а саме, пару з a = 0, v = c− 1.
Сiм’я (5) є особливо важливою у вивченнi дифеоморфiзмiв кола зi зламом, оскiльки
ренормалiзацiї (fn, gn) таких дифеоморфiзмiв експоненцiально швидко наближаються до
цiєї сiм’ї при n → +∞. А саме, справджується наступне твердження [10]. Уведемо позна-
чення:
c(n) = c(−1)n
, a(n) =
|ξqn − ξ0|
|ξqn−1 − ξ0|
, b(n) =
|ξqn+qn−1 − ξ0|
|ξqn−1 − ξ0|
, v(n) =
c(n) − a(n) − b(n)
b(n)
.
Теорема (Вул – Ханiн). Iснують такi сталi C = C(T ) > 0, λ = λ(T ) ∈ (0, 1), що для
всiх n ≥ 0 справджуються оцiнки
‖fn − Fa(n),v(n),c(n)‖C2 ≤ Cλn, ‖gn −Ga(n),v(n),c(n))‖C1 ≤ Cλn, (6)
а також
∥∥∥g′′n −G′′
a(n),v(n),c(n)
∥∥∥
C0
≤ Cλn
a(n)
.
4. Ренормалiзацiї у дробово-лiнiйнiй сiм’ї. 4.1. Основна система координат. Оскiльки
ренормалiзацiї дифеоморфiзмiв зi зламом збiгаються до дробово-лiнiйної сiм’ї (5), буде-
мо вивчати дiю ренорм-оператора на цiй сiм’ї. Для кожного фiксованого значення розмi-
ру зламу c зручно ототожнити точку (a, v) на площинi R2 з вiдповiдною парою функцiй
(Fa,v,c, Ga,v,c), якщо остання визначена i належить до простору P2+α
c . Позначимо через
Pc множину всiх таких точок, i аналогiчно означимо iншi множини з iндексом c, такi як
Sc, Rc, γ1/k,c, 1 ≤ k ≤ ∞, тощо. Легко переконатися, що крок Фарея вiдображає Sc в Pc,
оператор перемикання — Ṗc на Ṗ1/c, а ренорм-оператор — Sc\Π∞,c в S1/c. Позначимо
обмеження цих операторiв на зазначенi множини точок як Fc, Sc, Rc вiдповiдно. Цi опе-
ратори є двовимiрними, i в цьому пунктi ми вивчатимемо саме їхню двовимiрну динамiку.
Можна показати [11], що Ṡc = {(a, v) : 0 < a < c, v > c − a − 1}, Sc = Ṡc ∪
∪{(0, c − 1)}, γ1,c = {(a, v) : a = c, v > −1}, Π0,c = {(a, v) : a > c, v > −c/a}, а отже,
Pc = Sc ∪ γ1,c ∪ Π0,c. Множина точок iз нульовим числом обертання Π∞,c складається з
єдиної виродженої точки (0, c− 1) у випадку c < 1 i дорiвнює {(a, v) : 4av ≤ (c− 1)2}∩Sc
у випадку c > 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
118 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
В роботi [11] доведено (для значень v/(c − 1) ∈ [0, 1]), що кожна з множин γr,c, де
r ∈ (0, 1)\Q або r = 1/k, 1 ≤ k < ∞, є графiком певної неперервної функцiї a = γr,c(v).
Цi функцiї впорядкованi: γr1,c(v) > γr2,c(v) для r1 > r2. Кривi a = γ1/k(v), 1 ≤ k < ∞,
насправдi навiть є алгебраїчними. Щоправда, чим бiльше k, тим складнiшими виразами
вони задаються.
Оператори F та S дiють згiдно з формулами
Fc(a, v) =
(
v + 1
c− a
a,
c− a
v + 1
v
)
, Sc(a, v) =
(
1
a
,
v + 1− c
c
)
.
Безпосереднє обчислення переконує, що їхнi якобiани зберiгають знаки:
det
∂Fc(a, v)
∂(a, v)
=
c + av
(v + 1)(c− a)
> 0 в Sc, det
∂Sc(a, v)
∂(a, v)
= − 1
ca2
< 0 в Ṗc. (7)
Ця важлива властивiсть дозволяє визначати образи даних областей пiд дiєю цих операто-
рiв шляхом визначення лише образiв їхнiх меж i стверджувати, що обмеженi на цi областi
вiдображення є бiєктивними, якщо це вiдомо для меж.
Ренорм-оператор дiє [10, 11] вiдповiдно до формули
Rc(a, v) =
(
−1
a
F k
a,v,c(−1),
1
c
(
1− vF k
a,v,c(−1)
)
− 1
)
, (a, v) ∈ Πk,c, 1 ≤ k < ∞.
Зокрема, маємо F k
a,v,c(−1) = 0 для (a, v) ∈ γ1/k,c, отже,
Rc
⋃
1≤k<∞
γ1/k,c
=
{(
0,
1
c
− 1
)}
,
що є обґрунтуванням нашої домовленостi щодо виродженої точки (0, c− 1, c) ∈ Sc.
Отже, дiю оператора R на сiм’ї (5) слiд уявляти собi як два оператори Rc та R1/c,
що дiють почергово з Sc в S1/c та назад згiдно з наведеною формулою. Їхня компози-
цiя R1/c ◦ Rc = R2 вiдображає двiчi ренормалiзовнi точки з Sc до Sc, отже, (Sc;R2) є
динамiчною системою зi втратою мiри.
4.2. Абсорбуючi областi. Нехай Dc = {(a, v) : 1/2 ≤ v/(c−1) ≤ 1, c(c−v−1)/v ≤ a ≤
≤ c} ⊂ Sc. Наступне твердження показує, що цi множини абсорбують всi нескiнченнi
траєкторiї в динамiчнiй системi (Sc;R2).
Твердження 1. Для кожного 0 < c 6= 1 маємо Rc(Dc\Π∞,c) ⊂ D1/c. Кожна тра-
єкторiя оператораR2 = R1/c ◦Rc в Rc зрештою потрапляє до множини Dc, пiсля чого
залишається там назавжди.
Доведення. У [11] аналогiчне твердження доведено для множин Φc = {(a, v) ∈ Sc :
0 ≤ v/(c − 1) ≤ 1}. Оскiльки Dc ⊂ Φc, то доведення включення Rc(Φc) ⊂ D1/c доведе
дане твердження.
Безпосередня перевiрка показує, щоFc(Φc∩Sc) = {(a, v) ∈ Pc : 0 ≤ v/(c−1) ≤ 1, a ≤
≤ c(c − v − 1)/v}, i перетин цiєї множини з Sc включається до Φc. Тому для 1 ≤ k < ∞
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 119
маємо Fk
c (Π̇k,c) ⊂ Fc(Φc∩Sc)∩Π0,c = {(a, v) : 0 ≤ v/(c−1) ≤ 1, c < a ≤ c(c−v−1)/v} =
= {(a, v) : 0 ≤ v/(c − 1) ≤ 1/2, c < a ≤ c(c − v − 1)/v}. Також легко обчислити, що
Sc({(a, v) : 0 ≤ v/(c − 1) ≤ 1/2, c ≤ a ≤ c(c − v − 1)/v}) = D1/c\{(0, 1/c − 1)}, тому
Rc(a, v) = S ◦ Fk(a, v) ∈ D1/c для (a, v) ∈ Π̇k,c, 1 ≤ k < ∞. А для (a, v) ∈
⋃
1≤k<∞ γ1/k,c
ми вже показали вище, що Rc(a, v) = (0, 1/c− 1) ∈ D1/c.
Твердження доведено.
З доведення твердження 1 легко вивести, щоR1/c◦Rc(Dc∪Rc) ⊂ Ḋc, де Ḋc — внутрiш-
нiсть множини Dc. Отже, насправдi кожна траєкторiя оператора R1/c ◦ Rc в Rc зрештою
потрапляє до Ḋc, де залишається назавжди. Ми незабаром ще бiльше звузимо абсорбуючi
множини (див. нижче твердження 3).
Нами було показано, що пiсля певного перехiдного перiоду вся динамiка ренормалiза-
цiй даної дробово-лiнiйної сiм’ї вiдбувається всерединi двох множин трикутної форми Dc
та D1/c пiд почерговою дiєю вiдображень Rc та R1/c вiдповiдно. В наступному пiдпунктi
ми вiднайдемо дивовижну симетрiю в їхнiй дiї, яка i приводить до виникнення гiперболi-
чної пiдкови.
4.3. Симетричнi властивостi ренорм-оператора. На областi Ψc = {(a, v) : a > 0, 0 <
< v/(c− 1) < 1} розглянемо вiдображення
Tc(a, v) =
(
av
c− 1− v
, c− 1− v
)
, det
∂Tc(a, v)
∂(a, v)
=
v
v − c + 1
< 0.
Очевидно, Tc на Ψc є iнволюцiєю, тобто T 2
c = Id.
Зауважимо, що Tc вiдображає область Ψc ∩ Pc на себе (ця область вiдрiзняється вiд
областi Ψc лише у випадку c > 1). Крок Фарея F на Ψc ∩Sc є iн’єктивним, i безпосереднi
обчислення показують, що на множинi Tc(Ψc ∩ Sc) = Fc(Ψc ∩ Sc) = {(a, v) ∈ Pc : a <
< c(c− 1− v)/v} виконується рiвнiсть
F−1
c = Tc ◦ Fc ◦ Tc. (8)
Вiдповiдно до розбиття областi Ψc∩Pc на послiдовнiсть областей Ψc∩Π̇k,c, 0 ≤ k ≤ ∞,
i межових дуг Ψc ∩ γ1/k,c, 1 ≤ k ≤ ∞, iнволюцiя Tc породжує розбиття областi Ψc ∩ Pc
на послiдовнiсть областей Ω̇k,c = Tc(Ψc ∩ Π̇k,c), 0 ≤ k ≤ ∞, i межових кривих β1/k,c =
= Tc(Ψc ∩ γ1/k,c), 1 ≤ k ≤ ∞. (Множини Ψc ∩ Π̇∞,c, Ψc ∩ γ0,c, Ω̇∞,c та β0,c у випадку c < 1 є
порожнiми.)
Лема 1. Fc(Π̇k,c ∩ Ω̇l,c) = Π̇k−1,c ∩ Ω̇l+1,c для 1 ≤ k < ∞, 0 ≤ l < ∞.
Доведення. Легко бачити, щоFc(Π̇k,c∩Ψc) = Π̇k−1,c∩Fc(Ψc∩Sc) = Π̇k−1,c∩Ψc\(Ω̇0,c∪
∪β0,c), а з (8) випливає Fc(Ω̇k−1,c ∩Sc) = Ω̇k,c, 1 ≤ k < ∞.
Зауваження 1. Твердження 4, яке ми доведемо нижче, зокрема, засвiдчує, що крива
β1,c = {(a, v) : a = c(c − v − 1)/v, 0 < v/(c − 1) < 1} (вона включає в себе одну з меж
множини Dc) перетинає кожну з кривих γ1/k,c, 1 ≤ k < ∞, в єдинiй точцi. З цього випли-
ває, що всi областi Π̇k,c ∩ Ω̇l,c, 1 ≤ k < ∞, 0 ≤ l < ∞, є чотирикутними комiрками ґрат,
що утворюють двi трансверсальнi одна до одної послiдовностi простих кривих
{
γ1/k,c
}
k
та
{
β1/l,c
}
l
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
120 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Введемо ще декiлька позначень. Легко безпосередньо перевiрити, що Sc ◦ Tc = T1/c ◦
◦Sc. Iнволюцiя Tc вiдображає область Ḋc на S1/cḊ1/c, i композицiя Ic = Sc ◦ Tc : Ψc →
→ Ψ1/c, що дiє згiдно з формулами
Ic(a, v) =
(
c− 1− v
av
,−v
c
)
, det
∂Ic(a, v)
∂(a, v)
=
c− 1− v
a2cv
> 0, (9)
вiдображає Ḋc на Ḋ1/c i також є iнволюцiєю в сенсi I1/c ◦ Ic = Id.
Область Ḋc розбивається на послiдовнiсть чотирикутних областей Π̇+
k,c = Ḋc ∩ Π̇k,c,
1 ≤ k ≤ ∞, i межових дуг γ+
1/k,c = Ḋc ∩ γ1/k,c, 2 ≤ k ≤ ∞. З iншого боку, вона
ж виявляється розбитою на послiдовнiсть трансверсальних трикутних областей Π̇−k,c =
= I1/c(Π̇
+
k,1/c) = S1/c(Π0,c ∩ Ω̇k,c), 1 ≤ k ≤ ∞, i межових дуг γ−1/k,c = I1/c(γ
+
1/k,1/c),
2 ≤ k ≤ ∞. (Множини Π̇+
∞,c та γ+
0,c є порожнiми у випадку c < 1, тодi як Π̇−∞,c та γ−0,c
є порожнiми у випадку c > 1.)
Взагалi кажучи, точка (a, v) ∈ Ḋ1/c має нескiнченно багато прообразiв вiдносно дiїRc
на Sc, але лише один iз них належить Ḋc. Та оскiльки Dc є абсорбуючою множиною, то
саме цей прообраз нас найбiльше цiкавить. У цьому сенсi можна визначити однозначне
обернене вiдображення для Rc. Наступне твердження засвiдчує, що обмеження ренорм-
оператора R на (незв’язну) область
⋃
1≤k<∞ Π̇+
k,c є оборотним вiдображенням, i цi два вi-
дображення — пряме та обернене — спряженi одне з одним щойно означеною iнволюцi-
єю Ic. Варто звернути увагу на те, що iнволюцiя, яка спрягаєRc iзR−1
c , виписується явно,
ще й у дуже простiй формi (9), i не залежить вiд висоти ренормалiзацiї в конкретнiй точцi
(a, v), в той час як цi два оператори залежать вiд цiєї висоти, i явнi вирази для них стають
все бiльш складними при збiльшеннi висоти.
Твердження 2. Для кожного 1 ≤ k < ∞ ренорм-оператор Rc вiдображає Π̇+
k,c на
Π̇−k,1/c взаємно однозначним чином; бiльш того, R−1
c = I1/c ◦ Rc ◦ I1/c, де R−1
c позначає
єдиним чином визначений обернений до Rc оператор, що дiє з
⋃
k≥1 Π̇−k,1/c ⊂ Ḋ1/c на⋃
k≥1 Π̇+
k,c ⊂ Ḋc.
Доведення. Застосовуючи до областi Π̇+
k,c = Π̇k,c ∩ Ω̇0,c лему 1 k разiв, одержуємо
Fk
c (Π̇+
k,c) = Π0,c∩Ω̇k,c = S1/c(Π
−
k,1/c), отже, справдiRc(Π̇+
k,c) = Π̇−k,1/c взаємно однозначним
чином.
Спряження випливає з (8): маємоR−1
c = (Sc◦Fk
c )−1 = F−k
c ◦S1/c = (Tc◦Fk
c ◦Tc)◦S1/c =
= (Tc ◦ S1/c) ◦ (Sc ◦ Fk
c ) ◦ (Tc ◦ S1/c) = I1/c ◦ Rc ◦ I1/c незалежно вiд 1 ≤ k < ∞.
Твердження доведено.
Щойно знайдена симетрiя в дiї ренорм-оператора дозволяє означити для кожної точ-
ки (a, v) ∈ Dc число обертання „у два боки”. Покладемо ρ(a, v, c) = ρ(Fa,v,c, Ga,v,c). Дво-
бiчним числом обертання для (a, v) ∈ Dc назвемо пару чисел (ρ−(a, v, c), ρ+(a, v, c)), де
ρ+(a, v, c) = ρ(a, v, c), ρ−(a, v, c) = ρ(Ic(a, v)). Цi два числа логiчно називати вiдповiдно
прямим i зворотним числами обертання. Зручно подавати двобiчне число обертання у
виглядi узагальненого розкладу в ланцюговий дрiб — продовженої в обидва боки послi-
довностi натуральних чисел [. . . , k−2, k−1, k0, k1, k2, . . .], де [k1, k2, . . .] — розклад для пря-
мого числа ρ+, а [k0, k−1, k−2, . . .] — розклад для зворотного числа ρ− (кожен з яких може
бути нескiнченним, скiнченним або ж порожнiм).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 121
Тепер ми можемо посилити твердження 1 таким чином. Позначимо через Ďc область
Ḋc\Π+
∞,c для c > 1 i Ḋc\Π−∞,c для c < 1. Очевидно, Ic(Ďc) = Ď1/c.
Твердження 3. Для кожного 0 < c 6= 1 маємоRc(Ďc∩Rc) ⊂ Ď1/c. Кожна траєкторiя
оператораR2 = R1/c◦Rc в Rc зрештою потрапляє до Ďc, пiсля чого залишається там
назавжди.
Доведення. Для c > 1 маємо Ďc ∩Rc = Ḋc ∩Rc, отже, перше твердження випливає з
твердження 2, а друге — з твердження 1.
Для c < 1 перше твердження випливає з твердження 1 внаслiдок того, що R1/c ∩
∩Dc ⊂ Ď1/c. Оскiльки 1/c > 1, з доведеного в попередньому абзацi випливає, що будь-
яка траєкторiя R з початком у Rc зрештою потрапляє до Ď1/c, отож на наступному кроцi
вона потрапить до Ďc.
4.4. Альтернативна система координат. Запровадимо нову систему координат на пло-
щинi замiною
(x, y) = πc(a, v) =
(
av,
v + 1− c
ca
)
, det
∂(x, y)
∂(a, v)
=
v − (c− 1)/2
ac
. (10)
Пояснимо геометричний сенс параметрiв x та y. Якщо нормалiзувати функцiю Fa,v,c з
пари (Fa,v,c, Ga,v,c) ∈ Ṗc за допомогою лiнiйного перетворення координат, що переводить
F (0) в 1, то одержимо дробово-лiнiйну функцiю
Mx,c : t 7→ 1 + ct
1− xt
.
Аналогiчна нормалiзацiя функцiї Ga,v,c перетворює її на функцiю My,1/c : t 7→ 1 + t/c
1− yt
.
Таким чином, x та y можна розглядати як незалежнi одна вiд одної мiри нелiнiйностi двох
функцiй, що складають пару з Ṗc. Отож не є дивним, що крок Фарея F не змiнює x, а
перемикач S мiняє x та y мiсцями (обидвi властивостi легко перевiрити безпосередньо).
Що насправдi є дивним, так це те, що iнволюцiя Tc на Ψc зберiгає i x, i y! Оскiльки пе-
ретворення πc є iн’єктивним на кожнiй iз множин {(a, v) ∈ Ψc, 0 < v/(c − 1) < 1/2} та
{(a, v) ∈ Ψc, 1/2 < v/(c − 1) < 1} (що також легко перевiрити з огляду на формулу (10)
для якобiана), а Tc вiдображає цi двi множини одну на одну, то πc на Ψc є дволистим, зi
згином уздовж променя v = (c− 1)/2, a > 0.
Нагадаємо, що нас цiкавлять динамiчнi структури всерединi абсорбуючої множини
Ďc ⊂ Ḋc (див. твердження 3). Легко переконатися, що πc вiдображає Ḋc на прямокутний
трикутник зi сторонами x = 0, y = 0 та x + c3y = 0 взаємно однозначним чином. Ми збе-
режемо позначення для множин i вiдображень у межах областi Ḋc в координатах (x, y),
нехтуючи символом πc i вказуючи на поточну систему координат шляхом явного запису
аргументiв вiдображення. Наприклад, запис Rc(x, y) означатиме πc(Rc(π−1
c (x, y))).
Лема 2. Для кожної точки (x, y) ∈ Ḋc маємо Ic(x, y) = (y, x) i Rc(x, y) = (x̄, ȳ) з
ȳ = x.
Доведення. Твердження стосовно Ic перевiряється безпосереднiм обчисленням, а твер-
дження стосовно Rc випливає зi згаданих вище властивостей операторiв F та S, якi теж
перевiряються безпосередньо.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
122 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Зауважимо, що множина γ0,c ∩ Ḋc для c > 1 в координатах (x, y) є вiдрiзком прямої
лiнiї x = (c − 1)2/4. Вiдповiдно, область Ďc є прямокутним трикутником iз сторонами
x + c3y = 0, x = (c − 1)2/4 та y = 0 у випадку c > 1 i прямокутним трикутником iз
сторонами x + c3y = 0, x = 0 та y = (c − 1)2/4 (остання є множиною γ−0,c) у випадку
c < 1. Цi два трикутники, звичайно ж, є симетричними вiдносно дiагоналi, оскiльки Ic є
цiєю симетрiєю.
Лема 2 природно заохочує вивчати метричнi властивостi Rc на Ḋc у метрицi
dc[(x, y), (x̃, ỹ)] = |x− x̃|+ |y − ỹ|.
Наступне твердження встановлює певнi умови Лiпшиця для кривих γρ,c та γ1/k,c всерединi
Ďc в координатах (x, y).
Твердження 4. Нехай двi точки (x, y), (x̃, ỹ) ∈ Ďc належать до однiєї i тiєї ж самої
кривої з-посеред γρ,c, ρ 6∈ Q, та γ1/k,c, k ≥ 2. Тодi має мiсце нерiвнiсть |x̃− x| ≤ c3|ỹ − y|.
Бiльш того, у випадку c < 1 має мiсце посилена нерiвнiсть |x̃−x| ≤ Bc|ỹ− y|, де Bc < c3
не залежить вiд вибору точок.
Доведення цього твердження є дуже технiчним, тому його винесено в окремий пiд-
пункт (який можна пропустити при першому читаннi статтi).
4.5. Доведення умов Лiпшиця. Канонiчне пiдняття. Для даної невиродженої пари
(F,G) ∈ S розглянемо дiйсну функцiю HF,G, яка дорiвнює φ ◦ F ◦ φ−1 на промiжку
[−1, φ(F−1(0))) i 1 + φ ◦ G ◦ F ◦ φ−1 на промiжку [φ(F−1(0)), 0], де φ — дробово-лiнiйна
функцiя, яка переводить−1, 0 та F (0) у−1, 0 та 1 вiдповiдно. Легко бачити, що HF,G(0) =
= HF,G(−1) + 1, отже, цю функцiю можна продовжити на всю дiйсну пряму за спiввiдно-
шенням HF,G(w + 1) ≡ HF,G(w) + 1, i вона буде пiдняттям певного гомеоморфiзму кола.
Ми називаємо цю HF,G канонiчним пiдняттям для пари (F,G). Гомеоморфiзм кола, який
вiдповiдає канонiчному пiдняттю, позначатимемо тим самим символом HF,G i називати-
мемо гомеоморфiзмом, породженим парою (F,G). Внаслiдок комбiнаторних властиво-
стей траєкторiй, що є такими самими для гомеоморфiзму, як для вiдповiдного жорсткого
повороту, маємо рiвнiсть ρ(HF,G) = ρ(F,G).
Зауваження 2. Гомеоморфiзм HF,G, породжений парою з S2+α
c , має, взагалi кажучи,
не один, а два злами, але вони належать до однiєї й тiєї ж самої траєкторiї, i добуток їхнiх
розмiрiв дорiвнює c.
Будемо розглядати сiм’ю гомеоморфiзмiв кола, породжених парами з Ďc, як непе-
рервне вiдображення Hc : T1× Ďc → T1. В областi Ďc можна вводити координати рiзним
чином. У координатах (a, v) пари з Ďc записуються в рацiональних виразах. В альтерна-
тивнiй системi координат (x, y) це не так, але вона є зручною для вивчення гiперболiчних
властивостей ренорм-оператора. Введемо ще двi змiннi:
s = x− c3y, s = x + c3y.
Будь-якi двi з-помiж координатних систем (a, v), (x, y), (a, s) та (a, s) на Ďc є спряжени-
ми мiж собою за допомогою певної бiєктивної алгебраїчної замiни координат. Ми будемо
користуватися однiєю i тiєю ж самою лiтерою Hc для позначення вiдповiдних функцiй у
рiзних координатних системах на Ďc, вказуючи на поточну систему координат шляхом
явного запису набору аргументiв в Hc(w; ·, ·).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 123
Тривимiрний многовид T1 × Ďc розбивається на двi компоненти двома поверхнями
зламу w = −1 та w = φ(F−1
a,v,c(0)), i функцiя Hc є C2+α-гладкою на замиканнi кожної з цих
компонент. В основнiй системi координат (a, v) маємо φ(z) =
(a + 1)z
2a + (a− 1)z
, φ(F−1
a,v,c(0)) =
= −(a + 1)/(c + 1 + (c− a)). Позначимо через H
(1)
c та H
(2)
c обмеження Hc на компоненти
w ∈ [−1,−(a+1)/(c+1+(c−a))] та w ∈ [−(a+1)/(c+1+(c−a)), 0] вiдповiдно. Обчислення1
показують, що
H(1)
c (w; a, v) = φ
(
Fa,v,c(φ−1(w))
)
=
A1 + B1w
C1 + D1w
,
H(2)
c (w; a, v) = φ
(
Ga,v,c(Fa,v,c(φ−1(w)))
)
=
A2 + B2w
C2 + D2w
,
де A1 = (a + 1)2, B1 = (a + 1)(c + 1 + (c− a)), C1 = (a + 1)2, D1 = 1− 4va− a2 + 2ca− 2c,
A2 = (a+1)2(c−a), B2 = (a+1)(c−a+a2−3ca−2cva), C2 = (a+1)(−a2+ac−a−2av−c),
D2 = (a3 + 2va2 − 3ca2 + 2cva2 + 4c2a− a− 2va− 2cva− c).
Лема 3. В Ďc маємо
∂H
(i)
c (w; a, s)
∂a
> 0, i ∈ {1, 2}.
Доведення. Оскiльки v = (c3 − c2 − sa)/(c2 − a2), пiсля перетворень отримаємо
H
(1)
c (w; a, s) =
A1 + B1w
C1 + D1w
, H
(2)
c (w; a, s) =
A2 + B2w
C2 + D2w
, де A1 = (c2 − a2)(a + 1)2, B1 =
= (c2− a2)(a+1)(c+1+ (c− a)), C1 = (c2− a2)(a+1)2, D1 = −a2− 2c3a+ c2 +4c2a+ a4−
−a2c2−2a3c+2a2c−2c3 +4a2s; A2 = (a+1)2(a+c)(c−a)2, B2 = (a+1)(3a3c+a2c2−2c4a−
−c3a+a3−a4−c2a+c3−a2c+2a2cs), C2 = (a+1)(a4−a3c+a3−a2c2+a2c−c3a+c2a−c3+2a2s),
D2 = c2a−3c3a2−3a3c2 +3a4c−a5 +2c4a+2c4a2 +a3 +a2c− c3−2a2c2 +2a2(c+1)(1−a)s.
Похiдна
∂H
(1)
c (w; a, s)
∂a
= −4wP1/Q2
1, де P1 = 2a(−a4+c2+c3a+2c3+a3c)sw+c(−5c3a2+
+a2c+3a4c2−a4c+ c4−4c3a3−2a5 + c3−2c4a+a2c2 +8a3c2− c4a2)w+2a(a+1)(a3 + c2)s+
+c(a+1)(2a4−3a3c2 +3a3c−5a2c2 +a2c−c3a+c4a+c3 +c4) та Q1 = 4a2sw+(−a2−2c3a+
+c2 + 4c2a + a4 − a2c2 − 2a3c + 2a2c − 2c3)w + (a + 1)2(c − a)(a + c). Зафiксуємо довiльнi
0 < c 6= 1 та a ∈ (0, c). Легко перевiрити, що для точок всерединi Ďc виконуються оцiнки
s ∈ (a(c− 1), c(c− 1)) у випадку c > 1 та s ∈
(
c(c− 1), (a + (1− c)(c2 − a2)/(4c))(c− 1)
)
у
випадку c < 1. Оскiльки вираз−4w/Q2
1 є додатним, а P1 — лiнiйним вiдносно як s, так i w,
то достатньо переконатися, що P1 > 0 у чотирьох кутових точках: w = −1, s = c(c − 1),
w = −(a + 1)/(c + 1 + (c− a)), s = c(c− 1); w = −1, s = a(c− 1) у випадку c > 1; w = −1,
s = (a + (1 − c)(c2 − a2)/(4c))(c − 1) у випадку c < 1 та w = −(a + 1)/(c + 1 + (c − a)),
s = a(c− 1) (ця точка за збiгом обставин працює в обох випадках). Пiдстановка показує,
що в цих точках вираз P1 справдi набуває додатних значень: 4a(c − a)2c2(a + 1)2, 2(1 +
+c)(a+1)2(c−a)2(a+c)c2/(c+1+(c−a)); 2a(c−a)2(a+c)(2a2(c−1)+a(2c−1)+c2a+2c2),
a(c − a)2(ac + (c − a) + c)(a + c)(2a2c + 2(c − a)(c + a) + c2a + 4ac + (c − a) + c3)/(2c) та
2(c + 1)(a + 1)(c− a)2(a + c)2(ac + c− a)/(c + 1 + (c− a)) вiдповiдно.
1Необхiдно зауважити, що перетворення складних рацiональних виразiв, що складають основу даного
пiдпункту, автор виконував за допомогою комп’ютера. Зацiкавленому читачевi варто пiдходити до них ана-
логiчним чином, тобто скористатися якоюсь системою комп’ютерної алгебри.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
124 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
Далi,
∂H
(2)
c (w; a, s)
∂a
= 2aP2/Q2
2, де P2 = (a + 1)2(c − a)(c(−2a3 − a2 + 3a2c2 − 4a2c −
−3ac + c3a + 4c2a + 2c3) − (2a3 + a2 + a2c + ac + c2a + 2c2)s) − 2(c + 1)(a − 1)(a + 1)(c −
−a)(c(−2a3 − a2 + 3a2c2 − 4a2c − 3ac + c3a + 4c2a + 2c3) − (2a3 + a2 + a2c + ac + c2a +
+2c2)s)w + (c(10a3c2 − 6a4c2 + a3 + 2a2c + 2a4c − 3a5c2 + 12c4a4 − 6a5c3 + 2a2c2 − 3a5 −
−3c2a − 2a3c5 − 4c6a + 4c5 − 4c3a + 2a6 − 2c3a3 + 4ca6 − 14a4c3 + 2c4 − 10c3a2 + 4c4a2 +
+17c4a3 − 2c5a + c4a− 4a2c5) + (−3a5c− 2c3 + a3 + c2a + 4c5a− 4c4a2 + a3c + 5c3a + c3a3 −
−2a2c2 + 2a6− 6a5c2− 3a5− 6c4a3 + 3a3c2− 4c4 + 2c4a + 4ca6 + 6a4c)s + 4a3c(c + 1)s2)w2 та
Q2 = −(a+1)(a4+a3−a3c−a2c2+a2c−c3a+c2a−c3)+(−3a4c−2c4a+2a2c2−c2a+3a3c2+
+c3−a2c−a3−2c4a2+3c3a2+a5)w−2a2(a+1)s+2a2(c+1)(a−1)sw. Оскiльки вираз 2a/Q2
2
є додатним, достатньо перевiрити, що P2 > 0. Зафiксуємо довiльнi 0 < c 6= 1 та a ∈ (0, c).
Значення P2 при w = −(a + 1)/(c + 1 + (c− a)) є 4ac(c + 1)(a + 1)2L/(c + 1 + (c− a))2, де
L = (s− c2 +a−ac+a2)(a2c+a2s− c3a+ c2a− c3); значення P2 при w = 0 є (a+1)2R/(2a),
де R = 2a(c − a)(−(2a3 + a2 + a2c + ac + c2a + 2c2)s − c(2a3 − 3a2c2 + a2 + 4a2c + 3ac −
−c3a − 4c2a − 2c3)) — це в точностi значення P1 при w = −1, додатнiсть якого доведено
в попередньому абзацi. Зауважимо, що полiном L є квадратним тричленом вiдносно s.
Похiдна
dL
ds
дорiвнює−(a+1)(c−a)(a2 +c2) при s = c(c−1) i−(a2 +ca+c−a)(c−a)(a+c)
при s = a(c− 1); оскiльки обидва цi значення є вiд’ємними, то вершина параболи лежить
поза межами вiдрiзка, який нас цiкавить. У його кiнцях s = c(c− 1) та s = a(c− 1) маємо
L = (a+1)2(c−a)2c2 > 0 та L = (c−a)2(a+c)2(ac+c−a) > 0 вiдповiдно. Отже, вирази L та
R є додатними в кожнiй точцi (a, s) ∈ Ďc. Тепер зафiксуємо також s i помiтимо, що вираз
P2/w2 є квадратним тричленом вiдносно 1/w, i його вершина 1/w = (1 + c)(a− 1)/(a + 1)
лежить поза промiжком (−∞,−(c + 1 + (c− a))/(a + 1)], що нас цiкавить.
Лему доведено.
Лема 4. В Ďc маємо
∂H
(i)
c (w; a, s)
∂a
> 0, i ∈ {1, 2}.
Доведення. Оскiльки v = (c3 − c2 + sa)/(c2 + a2), пiсля перетворення маємо
H(1)
c (w; a, s) =
A1 + B1w
C1 + D1w
, H(2)
c (w; a, s) =
A2 + B2w
C2 + D2w
,
де A1 = (c2 + a2)(a + 1)2, B1 = (c2 + a2)(a + 1)(c + 1 + (c − a)), C1 = (c2 + a2)(a + 1)2,
D1 = a2−2ac3 + c2 +4c2a−a4−a2c2 +2ca3−2ca2−2c3−4a2s; A2 = (a+1)2(c2 +a2)(c−a),
B2 = (a+1)(−3ca3 +a2c2−2c4a− c3a−a3 +a4− c2a+ c3 +a2c−2ca2s), C2 = (a+1)(−a4 +
+a3c− a3− a2c2− a2c− c3a + c2a− c3− 2a2s), D2 = c2a− 3c3a2 + 5a3c2− 3a4c + a5 + 2c4a +
+2c4a2 − a3 − a2c− c3 − 2a2c2 + 2a2(c + 1)(a− 1)s.
Похiдна
∂H
(1)
c (w; a, s)
∂a
= −4wP1/Q2
1, де P1 = 2a(−a4 − c2 − c3a− 2c3 + a3c)sw + c(c−
−a)(2a4 + 3a3c2 − 3a3c− a2c3 + 5a2c2 + ca− 2c3a + c2a + c2 + c3)w + 2a(a + 1)(a3 − c2)s +
+c(a + 1)(2a4 + 3a3c2 − 3a3c + 5a2c2 − a2c − c3a + c4a + c3 + c4) та Q1 = 4a2sw + (−a2 +
+2c3a− c2 − 4c2a + a4 + a2c2 − 2a3c + 2a2c + 2c3)w− (a + 1)2(a2 + c2). Зафiксуємо довiльнi
0 < c 6= 1 та a ∈ (0, c). Легко перевiрити, що для точок всерединi Ďc виконуються оцiнки
s ∈ (a(c− 1),−c(c− 1)) у випадку c < 1 та s ∈ (−(c + 1)(c− 1)/2, a(c− 1)) у випадку
c > 1. Оскiльки вираз −4w/Q2
1 є додатним, а P1 — лiнiйним вiдносно як s, так i w, то
достатньо переконатися, що P1 > 0 у чотирьох кутових точках: w = −1, s = a(c − 1);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 125
w = −(a+1)/(c+1+(c−a)), s = a(c−1); w = −1, s = −c(c−1) у випадку c < 1; w = −1,
s = −(c+1)(c−1)/2 у випадку c > 1 i w = −(a+1)/(c+1+(c−a)), s = −c(c−1) (ця точка
за збiгом обставин працює в обох випадках). Пiдстановка показує, що в цих точках вираз
P1 справдi набуває додатних значень: 2a(a2 + c2)(2a3c + 2a2c + (2a2 + c2a + a + 2c2)(c− a));
2(c+1)(a+1)(a2 + c2)2(ac+ c− a)/(c+1+(c− a)); 4ac((ac2 + a2c2 + a4 + a3)(1− c)+ a2(c−
−a)2 +c(c2−a2)+2a2c2(a+1)); a(2a4c+a4c2 +c3 +a3 +2a4 +3a2c3 +a3c3 +3c3a+a3c+c4a+
+(2+a)c(c−a)4 +c(c+a4 +4ca+a2c)(c−a)) та 2(c+1)(a+1)(a2 +c2)c(2a2 +(a+1)c(c−a))
вiдповiдно.
Далi,
∂H
(2)
c (w; a, s)
∂a
= 2aP2/Q2
2, де P2 = (a+1)2(c(2a4−4ca3+a3+3a3c2−2ca2−2a2c3+
+8a2c2 + 3c2a + ac4 − 4ac3 + 2c4) + (2a4 + a3 − ca3 − c2a + ac3 + 2c3)s)− 2(1 + c)(a− 1)(a +
+1)(c(2a4−4ca3+a3+3a3c2−2ca2−2a2c3+8a2c2+3c2a+ac4−4ac3+2c4)+(2a4+a3−ca3−
−c2a+ac3+2c3)s)w+(c(−4a2c4−19a3c4−11ac4+3c2a+a3−2a2c2+2ac3+2ca3−2ca2−3a5−
−14a3c2 +10ca4 +14a2c3 +6a4c2−6ca5 +2a6 +2c4 +6a3c5−9c2a5−2c5a+12a2c5 +14a4c3 +
+6a5c3−12a4c4 +4ca6 +4c5−4c6a)+(7a3c3 +2a2c2−2c4a+4a2c4 +6a3c4 +a3 +2a6 +a3c2−
−6c2a5− 5c3a+2c3− c2a− 4c5a+4c4− 3a5 +4ca6 +a3c+6a4c− 3a5c)s+4a3c(c+1)s2)w2 та
Q2 = −(a+1)(a4−ca3 +a3 +a2c2 +ca2 +ac3−c2a+c3)+(2ac4 +2a2c4−3ca4−ca2−3a2c3 +
+c2a−2a2c2−a3+5a3c2+a5−c3)w−2a2(a+1)s+2a2(1+c)(a−1)sw. Оскiльки вираз 2a/Q2
2
є додатним, достатньо перевiрити, що P2 > 0. Зафiксуємо довiльнi 0 < c 6= 1 та a ∈ (0, c).
Значення P2 при w = −(a + 1)/(c + 1 + (c− a)) є 4ac(c + 1)(a + 1)2L/(c + 1 + (c− a))2, де
L = (s+c2+a−ac+a2)(a2s+c3−c2a+ac3+ca2); значення P2 при w = 0 є (a+1)2R/(2a), де
R = 2a(c(−4ac3+2c4−2a2c3+3a3c2−2a2c1+ca2+3ac2+8a2c2−4a3c1+2a4+c4a)+(a3−c2a+
+ac3 − ca3 + 2a4 + 2c3)s) — це в точностi значення P1 при w = −1, додатнiсть якого дове-
дено в попередньому абзацi. Зауважимо, що полiном L є квадратним тричленом вiдносно
s. Похiдна
dL
ds
дорiвнює (ac + c− a + a2)(a2 + c2) при s = a(c− 1) i 3ca2 + a3 + a(c + a)(c−
−a)2 + c2(c− a) при s = −c(c− 1); оскiльки обидва цi значення є вiд’ємними, то вершина
параболи лежить поза межами вiдрiзка, який нас цiкавить. У його кiнцях s = a(c − 1),
s = −c(c − 1) при c < 1 i s = −(c + 1)(c − 1)/2 при c > 1. Вираз L справдi набуває до-
датних значень (a2 + c2)2(ac + c − a), (c + a(1 − c) + a2)(a2(1 − c) + a2 + c(c − a) + c2a) i
((a + 1)2 + (a + c)2)(2c2(c− a) + ac2(c− a) + a2 + ac3 + 2ca2)/4 вiдповiдно. Отже, вирази L
та R є додатними в кожнiй точцi (a, s) ∈ Ďc. Тепер зафiксуємо також s i зауважимо, що
вираз P2/w2 є знову ж таки квадратним тричленом вiдносно 1/w. Його вершина 1/w =
= (1 + c)(a− 1)/(a + 1) лежить поза промiжком (−∞,−(c + 1 + (c− a))/(a + 1)], який нас
цiкавить.
Лему доведено.
Наступним кроком встановлюємо монотоннiсть функцiї Hc(w; ·, ·) : Ďc → T1 для
кожного w ∈ T1 уздовж певних одновимiрних многовидiв, якi в координатах (x, y) є вiд-
рiзками прямих. (Зауважимо, що цiлком коректно говорити про функцiю iз значеннями
на колi, що вона є монотонною, якщо вiдомо, що вона є неперервною, а для Hc це так.)
Лема 5. Для кожного w ∈ T1 функцiя Hc(w; ·, ·) строго зростає вiдносно a в областi
Ďc уздовж кожної прямої s = const та уздовж кожної прямої s = const.
Доведення. Змiнна точка зламу Hc визначається спiввiдношенням wbr = −(a+1)/(c+
+1 + (c − a)) = (H(1)
c )(−1)(0). Оскiльки
∂H
(1)
c (w; a, ∗)
∂a
> 0 внаслiдок лем 3 та 4 (тут зi-
рочка позначає s або s), то для будь-яких двох достатньо близьких мiж собою значень
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
126 О. Ю. ТЕПЛIНСЬКИЙ
0 < a1 < a2 < c вiдповiднi точки зламу впорядкованi протилежним чином: wbr
1 > wbr
2 .
Отже, H
(1)
c (w; a1, ∗) < H
(1)
c (w; a2, ∗) для w ∈ [−1, wbr
2 ], H
(2)
c (w; a1, ∗) < H
(2)
c (w; a2, ∗) для
w ∈ [wbr
1 , 0] i H
(1)
c (w; a1, ∗) < 1 < H
(2)
c (w; a2, ∗) для w ∈ (wbr
2 , wbr
1 ).
Лему доведено.
Лема 6. Уздовж кожної прямої s = const та уздовж кожної прямої s = const в Ďc
функцiя Hc(w; ·, ·) для кожного w ∈ T1 строго зростає (спадає) вiдносно x у випадку
c > 1 (c < 1).
Доведення. У випадку c > 1 легко перевiрити, що s ∈ (a(c−1), c(c−1)) в Ḋc. Оскiльки
x = a(c2(c − 1) − as)/(c2 − a2), то для фiксованого s маємо
∂x(a, s)
∂a
= c2((c − 1)(c2 +
+a2) − 2as)/(c2 − a2)2 > (c − 1)/(c(c + a)2) > 0. У випадку c < 1 аналогiчно отримуємо
∂x(a, s)
∂a
< (c− 1)/(c(c + a)2) < 0.
У випадку c > 1 легко перевiрити, що s ∈ (−c(c − 1)(c − a)/(c + a), a(c − 1)) в Ḋc.
Оскiльки x = a(c2(c − 1) + as)/(c2 + a2), то для фiксованого маємо
∂x(a, s)
∂a
= c2(2as +
+(c− 1)(c− a)(c + a))/(c2 + a2)2 > c2(c− 1)(c− a)/((c2 + a2)(c + a)) > 0. У випадку c < 1
аналогiчно отримуємо
∂x(a, s)
∂a
< c2(c− 1)(c− a)/((c2 + a2)(c + a)) < 0.
Результат випливає з леми 5.
Доведення твердження 4. Перша частина твердження є безпосереднiм наслiдком леми
6. Дiйсно (в [11] цей ефект детально пояснюється), якщо для двох пар з Ďc рiзниця мiж
їхнiми пiдняттями (зокрема, канонiчними пiдняттями) є достатньо малою, але зберiгає
свiй знак на всiй прямiй, то цi пари не можуть анi мати одне й те ж саме iррацiональне
число обертання, анi належати до однiєї й тiєї ж множини γ1/k,c.
Посилена нерiвнiсть у випадку c < 1 є наслiдком наступного факту [11]: усi точки, якi
лежать в областi Ḋc в певному околi її межi γ1,c, мають число обертання 1. Iнакше кажучи,
з тiєї умови, що число обертання є iррацiональним або рiвним 1/k, k ≥ 2, у випадку c < 1
випливає, що вираз c−a > 0 є вiддiленим вiд нуля рiвномiрно в Ďc. Якщо прослiдкувати за
всiма доведеннями у цьому пiдпунктi, маючи на увазi цей факт, то неважко переконатися,
що у випадку c < 1 похiднi H
(i)
c (w;x, y), i = 1, 2, є вiд’ємними не лише уздовж векторiв
(1, c−3) та (1,−c−3) (що фактично доведено в лемi 6), а й уздовж векторiв (1, (1 + εc)c−3)
та (1,−(1 + εc)c−3) для достатньо малого εc > 0. Отже, функцiя Hc(w; ·, ·) строго спадає
вiдносно x уздовж кожної прямої x−Bcy = const i уздовж кожної прямої x+Bcy = const,
де Bc = c3/(1 + εc) ∈ (0, c3).
Твердження доведено.
4.6. Гiперболiчнiсть. Перетворення R2 = R1/c ◦ Rc областi Ďc виявляється дiйсно
гiперболiчним у метрицi dc. А саме, воно стискає область уздовж сiм’ї кривих {γρ,c} i
розтягує її уздовж трансверсальної сiм’ї кривих I1/c({γρ,1/c}).
Теорема. Для кожного 0 < c 6= 1 iснує така константа µc ∈ (0, 1), що для будь-
яких двох точок (a, v), (ã, ṽ) ∈ Ďc з одним i тим самим рацiональним числом обертання
ρ(a, v, c) = ρ(ã, ṽ, c) 6∈ Q виконується нерiвнiсть
dc[R2(a, v),R2(ã, ṽ)] ≤ µc dc[(a, v), (ã, ṽ)].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
ГIПЕРБОЛIЧНА ПIДКОВА ДЛЯ ДИФЕОМОРФIЗМIВ КОЛА ЗI ЗЛАМОМ 127
Доведення. Розглянемо Bc з твердження 4 у випадку c < 1 i покладемо Bc = c3 у
випадку c > 1. Позначимо (x0, y0) = πc(a, v), (x1, y1) = Rc(x0, y0), (x2, y2) = R1/c(x1, y1),
i (x̃0, ỹ0) = πc(ã, ṽ), (x̃1, ỹ1) = Rc(x̃0, ỹ0), (x̃2, ỹ2) = R1/c(x̃1, ỹ1). Внаслiдок леми 2 i тверд-
ження 4 маємо
|x2 − x̃2| ≤ Bc|y2 − ỹ2| = Bc|x1 − x̃1| ≤ BcB1/c|y1 − ỹ1| = BcB1/c|x0 − x̃0|,
|y2 − ỹ2| = |x1 − x̃1| ≤ B1/c|y1 − ỹ1| = B1/c|x0 − x̃0| ≤ B1/cBc|y0 − ỹ0|,
отже, dc[(x2, y2), (x̃2, ỹ2)] ≤ µc dc[(x0, y0), (x̃0, ỹ0)], де µc = BcB1/c < 1.
Теорему доведено.
Теорема стверджує, що для кожного 0 < c 6= 1 ренорм-оператор R2 є рiвномiрно
гiперболiчним на Ďc в метрицi dc. Кривi {γρ,c}ρ 6∈Q є його стiйкими многовидами, а кри-
вi I1/c{γρ,1/c ∩ Ḋ1/c}ρ 6∈Q — нестiйкими. Множина точок перетину першої сiм’ї кривих iз
другою, тобто елементи множини Ac = (Ďc ∩ Rc) ∩ I1/c(R1/c ∩ Ď1/c), є в точностi мно-
жиною точок, для яких розклад двобiчного числа обертання в узагальнений ланцюговий
дрiб є нескiнченним в обидва боки. Множина Ac вiдображається ренорм-оператором на
A1/c взаємно однозначним чином, i вiдповiдний зсув влiво в узагальненому ланцюговому
дробi для числа обертання реалiзує класичну символiчну динамiку на гiперболiчнiй мно-
жинi типу пiдкови Смейла. Власне пiдкова — замикання множини Ac — є канторiвською
множиною з лебеговою мiрою нуль.
1. Теплинский А. Ю., Ханин К. М. Жесткость для диффеоморфизмов окружности с особенностями //
Успехи мат. наук. — 2004. — 59, № 2. — С. 137 – 160.
2. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Statist. Phys. — 1978.
— 19, № 1. — P. 25 – 52.
3. Sullivan D. Bounds, quadratic differentials, and renormalization conjectures // AMS Centen. Publ. — Provi-
dence, RI: Amer. Math. Soc., 1992. — Vol. 2. — P. 417 – 466.
4. McMullen C. T. Complex dynamics and renormalization. — Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1994.
5. Lyubich M. Feigenbaum – Coullet – Tresser universality and Milnor’s hairiness conjecture // Ann. Math. —
1999. — 149, № 2. — P. 319 – 420.
6. Lanford O. E. Renormalization group methods for critical circle mapping. Nonlinear evolution and chaotic
phenomena // NATO Adv. Sci. Inst. Ser. B: Phys. — 1988. — 176. — P. 25 – 36.
7. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. — 1967. — 73. — P. 747 – 817
8. Yampolsky M. The attractor of renormalization and rigidity of towers of critical circle maps // Communs
Math. Phys. — 2001. — 218, № 3. — P. 537 – 568,
9. Khanin K., Teplinsky A. Robust rigidity for circle diffeomorphisms with singularities // Invent. math. — 2007.
— 169, № 1. — P. 193 – 218.
10. Вул Е. Б., Ханин К. М. Гомеоморфизмы окружности с особенностью типа излома // Успехи мат. наук.
— 1990. — 45, № 3. — P. 189 – 190.
11. Khanin K., Khmelev. D. Renormalizations and rigidity theory for circle homeomorphisms with singularities
of break type // Communs Math. Phys. — 2003. — 235, № 1. — P. 69 – 124.
12. Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М.: Физматгиз, 1960. — 112 с.
Одержано 22.06.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178152 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:40:24Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Теплінський, О.Ю. 2021-02-18T07:19:21Z 2021-02-18T07:19:21Z 2008 Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом / О.Ю. Теплінський // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 112-127. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178152 517.5 Построена гиперболическая подкова для ренормализационного оператора на коммутирующих парах функций, соответствующих диффеоморфизмам окружности с изломом. The hyperbolic horseshoe for renormalization operator acting on commuting pairs which correspond to circle diffeomorphisms with a break is constructed. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом Гиперболическая подкова для диффеоморфизмов окружности с изломом Hyperbolic horseshoe for circle diffeomorphisms with break Article published earlier |
| spellingShingle | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом Теплінський, О.Ю. |
| title | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| title_alt | Гиперболическая подкова для диффеоморфизмов окружности с изломом Hyperbolic horseshoe for circle diffeomorphisms with break |
| title_full | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| title_fullStr | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| title_full_unstemmed | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| title_short | Гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| title_sort | гіперболічна підкова для дифеоморфізмів кола зі зламом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178152 |
| work_keys_str_mv | AT teplínsʹkiioû gíperbolíčnapídkovadlâdifeomorfízmívkolazízlamom AT teplínsʹkiioû giperboličeskaâpodkovadlâdiffeomorfizmovokružnostisizlomom AT teplínsʹkiioû hyperbolichorseshoeforcirclediffeomorphismswithbreak |