Бифуркация решений импульсной краевой задачи
Одержано конструктивнi умови виникнення розв’язкiв та побудовано итерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв нетерової лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом у критичному випадку. Встановлено оцiнку областi значень малого параметра, для яких...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Series: | Нелінійні коливання |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178155 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Бифуркация решений импульсной краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178155 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1781552025-02-10T00:14:14Z Бифуркация решений импульсной краевой задачи Біфуркація розв'язків імпульсної крайової задачі Bifurcation of solutions of an impulsive boundary-value problem Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Одержано конструктивнi умови виникнення розв’язкiв та побудовано итерацiйну процедуру для знаходження розв’язкiв нетерової лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом у критичному випадку. Встановлено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури. We find constructive conditions for appearance of solutions and construct an iteration procedure for finding solutions of the Noether linear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations with an impulsive effect in the critical case. We find an estimate for the region for the small parameter such that the iteration procedure would converge. 2008 Article Бифуркация решений импульсной краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178155 517.9 ru Нелінійні коливання application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Одержано конструктивнi умови виникнення розв’язкiв та побудовано итерацiйну процедуру
для знаходження розв’язкiв нетерової лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь з iмпульсним впливом у критичному випадку. Встановлено оцiнку областi значень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| spellingShingle |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Бифуркация решений импульсной краевой задачи Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| author_sort |
Бойчук, А.А. |
| title |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| title_short |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| title_full |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| title_fullStr |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| title_full_unstemmed |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| title_sort |
бифуркация решений импульсной краевой задачи |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178155 |
| citation_txt |
Бифуркация решений импульсной краевой задачи / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 21-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT boičukaa bifurkaciârešeniiimpulʹsnoikraevoizadači AT čuikosm bifurkaciârešeniiimpulʹsnoikraevoizadači AT boičukaa bífurkacíârozvâzkívímpulʹsnoíkraiovoízadačí AT čuikosm bífurkacíârozvâzkívímpulʹsnoíkraiovoízadačí AT boičukaa bifurcationofsolutionsofanimpulsiveboundaryvalueproblem AT čuikosm bifurcationofsolutionsofanimpulsiveboundaryvalueproblem |
| first_indexed |
2025-12-02T01:33:39Z |
| last_indexed |
2025-12-02T01:33:39Z |
| _version_ |
1850358334632230912 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
А. А. Бойчук
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
e-mail: boichuk@dad.imath.kiev.ua
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84112, Славянск Донецкой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We find constructive conditions for appearance of solutions and construct an iteration procedure for fin-
ding solutions of the Noether linear boundary-value problem for a system of ordinary differential equati-
ons with an impulsive effect in the critical case. We find an estimate for the region for the small parameter
such that the iteration procedure would converge.
Одержано конструктивнi умови виникнення розв’язкiв та побудовано итерацiйну процедуру
для знаходження розв’язкiв нетерової лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диферен-
цiальних рiвнянь з iмпульсним впливом у критичному випадку. Встановлено оцiнку областi зна-
чень малого параметра, для яких зберiгається збiжнiсть iтерацiйної процедури.
1. Линейная невозмущенная задача. Рассмотрим задачу о нахождении решения z0(t) ∈
∈ C1 {[a, b] \ {τi}I} системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dz
dt
= Ai(t)z0 + f(t), t 6= τi, (1)
удовлетворяющих краевому условию [1 – 3]
Lz0(·) = α, i = 1, 2, . . . , p, (2)
где Ai(t) — (n × n)-мерные матрицы, непрерывные на отрезках [a; τ1], [τ1; τ2], . . . , [τp; b],
Lz(·)− линейный ограниченный векторный функционал вида
Lz0(·) =
p∑
i=0
`i z0(·),
причем
`i z0(·) : C1[τi, τi+1[×...× C1[τi, τi+1[→ Rm, i = 0, 1, 2, . . . , p− 1, τ0 = a,
`pz0(·) : C1[τp, b]× ...× C1[τp, b] → Rm
c© А. А. Бойчук, С. М. Чуйко, 2008
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1 21
22 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
— линейные ограниченные функционалы, f(t) — непрерывная, за исключением точек
τi, вектор-функция (в точках τi функция f(t), возможно, претерпевает разрывы первого
рода), α ∈ Rm.
Задача (1), (2) является обобщением ряда краевых задач [1, 2, 4 – 8] на случай импульс-
ных систем с переключениями. С другой стороны, задача (1), (2) является частным слу-
чаем гибридных систем [9, 10].
Нормальная (X0(a) = In) фундаментальная матрица X0(t) линейного однородного
дифференциального уравнения с переключениями
dz0
dt
= Ai(t)z0, t ∈ [τi; τi+1], (3)
представима в виде
X0(t) =
W0(t), t ∈ [a; τ1], W0(a) = In,
W1(t), t ∈ [τ1; τ2], W0(τ1) = W1(τ1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wp(t), t ∈ [τp; b], Wp(τp) = Wp−1(τ1).
Здесь W0(t)− нормальная (W0(a) = In) фундаментальная матрица системы (3) на отрезке
[a; τ1], а W1(t) — фундаментальная матрица системы (3) на отрезке [τ1; τ2], которая удов-
летворяет условию W0(τ1) = W1(τ1), . . . , Wp(t) — фундаментальная матрица системы (3)
на отрезке [τp; b], которая удовлетворяет условию Wp−1(τp) = Wp(τp). Общее решение
системы (3) обыкновенных дифференциальных уравнений с переключениями представи-
мо в виде z(t, c) = X0(t)c, c ∈ Rn, где X0(t) — нормальная (X0(a) = In) фундаментальная
матрица системы (3). Матрицу
X(t) =
1
p0
X0(t)P
(0)
Q Ĩ , t ∈ [a, τ1[,
1
p0
X0(t)P
(1)
Q Ĩ , t ∈ [τ1, τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
p0
X0(t)P
(p)
Q Ĩ , t ∈ [τp, b],
(4)
назовем фундаментальной матрицей однородной задачи
dz0
dt
= Ai(t)z0, t ∈ [τi; τi+1], Lz0(·) = 0, (5)
нормированной в точке τi0 + 0 : ‖X(τi0 + 0)‖ = 1. Если же rank P
(i)
Q Ĩ достигает своего
максимума сразу в нескольких точках τi0 , τi1 , . . . , нормируем матрицу X(t) в точке τi0 ,
представляющей наименьшее из этих чисел. Здесь
max rankP
(i)
Q Ĩ = rank P
(i0)
Q Ĩ ,
∥∥∥X0(τi0+0)P
(i0)
Q Ĩ
∥∥∥ = p0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 23
Q = [`0X0(·)`1X0(·) . . . `pX0(·)] ,
PQ : Rn(p+1) → N(Q)0 —
(
n(p + 1)× n(p + 1)
)
-мерная матрица-ортопроектор [5],
PQ =
P
(0)
Q
P
(1)
Q
...
P
(p)
Q
, C = Ĩ · C(0), Ĩ =
In
In
...
In
,
P
(0)
Q , P
(1)
Q , . . . , P
(p)
Q —
(
n × n(p + 1)
)
-мерные блоки ортопроектора PQ. Норму функции
z(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
положим [8] равной ||z(t)|| = |z(a)| + varb
a z(t). Задача (1), (2)
разрешима тогда и только тогда, когда [3]
PQ∗
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
= 0. (6)
Здесь PQ∗ — (m×m)-матрица-ортопроектор: Rm → N(Q∗). При выполнении требования
(6) общее решение задачи (1), (2) имеет вид
z(t, c) = X(t)c + G
[
f(s);α
]
(t),
где
col(γ̄0, γ̄1, . . . , γ̄p) = Q+
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
,
G
[
f(s);α
]
(t) =
X0(t)γ̄0 + K
[
f(s)
]
(t), t ∈ [a, τ1[,
X0(t)γ̄1 + K
[
f(s)
]
(t), t ∈ [τ1, τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)γ̄p + K
[
f(s)
]
(t), t ∈ [τp, b],
(7)
— обобщенный оператор Грина [3] задачи (1), (2),
K
[
f(s)
]
(t) = X0(t)
t∫
τi
X−1
0 (s)f(s)ds, t ∈ [τi, τi+1[,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
24 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
— оператор Грина задачи Коши для системы (1). При условии PQ∗ 6= 0 задача (1), (2)
разрешима для тех и только тех неоднородностей f(t) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
и α ∈ Rm, ко-
торые удовлетворяют условию (6). Следуя традиционной классификации краевых задач
[5], случай PQ∗ 6= 0 назовем критическим.
2. Постановка задачи. Предположим, что условие (6) не выполняется для произволь-
ных неоднородностей f(t) и α краевой задачи (1), (2):
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
6= 0. (8)
Поставим задачу о нахождении линейных возмущений εA0(t)z и εL0z(·, ε), которые обес-
печивали бы существование решений z(·, ε) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, z(t, ·) ∈ C]0, ε0] краевой
задачи
dz
dt
= Ai(t)z + f(t) + εA0(t)z, t 6= τi, (9)
Lz(·, ε) = α + εL0z(·, ε) (10)
для любых неоднородностей f(t) и α. Здесь PQ∗
d
— (d×m)-мерная матрица, составленная
из d = m − n1 линейно независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ , rank Q = n1,
A0(t) — (n× n)-мерная матрица, непрерывная на отрезках [a; τ1], [τ1; τ2], . . . , [τp; b], L0z(·)
— линейный ограниченный векторный функционал вида
L0z0(·) =
p∑
i=0
`
(0)
i z0(·),
причем
`
(0)
i z0(·) : C1[τi, τi+1[× . . .× C1[τi, τi+1[→ Rm, i = 0, 1, 2, . . . , p− 1, τ0 = a,
`(0)
p z0(·) : C1[τp, b]× . . .× C1[τp, b] → Rm
— линейные ограниченные функционалы. Поставленная задача является обобщением
задачи о возникновении решений дифференциальной системы с невырожденным им-
пульсным воздействием, а также задачи о возникновении гладких решений системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений [5, 11, 12]. Впервые импульсное воздействие было
использовано для регуляризации периодической краевой задачи Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым в монографии [13]. Традиционно для решения этих задач использо-
вался метод Вишика – Люстерника [5, 11]. Целью же данной работы является построение
искомого решения краевой задачи (9), (10) методом простых итераций.
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (9), (10) имеет вид
PQ∗
d
{
α + εL0z(·, ε)− LK
[
f(s) + εA0(s)z(s, ε)
]
(·)
}
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 25
Если это условие выполнено, то общее решение задачи (9), (10)
z(t, ε) = X(t)c(ε) + z(1)(t, ε),
z(1)(t, ε) = G
[
f(s) + εA0(s)z(s, ε); α + εL0z(·, ε)
]
(t)
представимо с помощью обобщенного оператора Грина (7) задачи (1), (2). Для нахожде-
ния вектора c(ε) приходим к уравнению
B0εc(ε) = −PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
−
−εPQ∗
d
{
L0z
(1)(·, ε)− LK
[
A0(s)z(1)(s, ε)
]
(·)
}
, (11)
где
B0 = PQ∗
d
{
L0X(·)− LK
[
A0(s)X(s)
]
(·)
}
— (d × n)-мерная матрица. При ε 6= 0, PB∗
0
= 0 уравнение (11) имеет ρ-параметрическое
решение, следовательно, и краевая задача (9), (10) имеет не менее одного решения, пред-
ставимого операторной системой
z(t, ε) = X(t)c(ε) + z(1)(t, ε),
z(1)(t, ε) = G
[
f(s) + εA0(s)z(s, ε);α + εL0z(·, ε)
]
(t),
c(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
− (12)
−B+
0 · PQ∗
d
{
L0z
(1)(·, ε)− LK
[
A0(s)z(1)(s, ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ,
где PB∗
0
— (d×d)-мерная матрица-ортопроектор: Rd → N(B∗
0), PB0 : Rn → N(B0) — (n×
×n)-матрица-ортопроектор, Pρ — (r × ρ)-матрица, составленная из ρ линейно независи-
мых столбцов матрицы-ортопроектора PB0 .
Операторная система (12) принадлежит классу систем, для решения которых приме-
ним метод простых итераций [5, 14]. Первое приближение к решению операторной сис-
темы (12) ищем, как решение краевой задачи первого приближения к задаче (9), (10):
dz1
dt
= Ai(t)z1, t 6= τi, Lz1(·, ε) = 0. (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
26 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
Существование решения задачи (13) гарантировано однородностью задачи (13), само же
решение задачи (13) представимо в виде z1(t, ε) = X(t)c1(ε). Второе приближение к ре-
шению операторной системы (12) ищем, как решение краевой задачи второго прибли-
жения к задаче (9), (10):
dz2
dt
= Ai(t)z2(t, ε) + f(t) + εA0(t)z1(t, ε),
(14)
Lz2(·, ε) = α + εL0z1(·, ε).
При условии PB∗
0
= 0 из условия разрешимости задачи (14) находим первое приближение
c1(ε) к вектору c(ε) :
c1(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
+ Pρcρ.
Таким образом, на втором шаге итерационной процедуры найдено первое приближение
z1(t, ε) к решению операторной системы (12). Второе приближение к решению опера-
торной системы (12)
z2(t, ε) = X(t)c2(ε) + z
(1)
2 (t, ε),
z
(1)
2 (t, ε) = G
[
f(s) + εA0(s)z1(s, ε); α + εL0z1(·, ε)
]
(t)
может быть найдено с точностью до вектора c2(ε), который будет найден при следующей
итерации. Третье приближение к решению операторной системы (12) ищем, как решение
краевой задачи третьего приближения к задаче (9), (10):
dz3
dt
= Ai(t)z3(t, ε) + f(t) + εA0(t)z2(t, ε),
(15)
Lz3(·, ε) = α + εL0z2(·, ε).
При условии PB∗
0
= 0 из условия разрешимости задачи (15) находим второе приближение
c2(ε) к вектору c(ε) :
c2(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
−
−B+
0 PQ∗
d
{
L0z
(1)
2 (·, ε)− LK
[
A0(s)z
(1)
2 (s, ε)
]
(·)
}
+ Pρ cρ.
Таким образом, на третьем шаге итерационной процедуры найдено второе приближение
z2(t, ε) к решению операторной системы (12). Продолжая рассуждения, приходим к ите-
рационной процедуре
z1(t, ε) = X(t)c1(ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 27
c1(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
+ Pρcρ;
z2(t, ε) = X(t)c2(ε) + z
(1)
2 (t, ε),
z
(1)
2 (t, ε) = G
[
f(s) + εA0(s)z1(s, ε); α + εL0z1(·, ε)
]
(t),
c2(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
− (16)
−B+
0 PQ∗
d
{
L0z
(1)
2 (·, ε)− LK
[
A0(s)z
(1)
2 (s, ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zk+1(t, ε) = X(t)ck+1(ε) + z
(1)
k+1(t, ε),
z
(1)
k+1(t, ε) = G
[
f(s) + εA0(s)zk(s, ε);α + εL0zk(·, ε)
]
(t),
ck+1(ε) = −B+
0
1
ε
PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
−
−B+
0 PQ∗
d
{
L0z
(1)
k+1(·, ε)− LK
[
A0(s)z
(1)
k+1(s, ε)
]
(·)
}
+ Pρcρ, . . . , k = 1, 2, . . . .
Докажем сходимость этой процедуры к искомому решению задачи (9), (10) и одно-
временно оценим длину промежутка ]0, ε∗], на котором сохраняется ее сходимость. Опе-
раторная система (12) эквивалентна задаче о построении решения операторного уравне-
ния z(t, ε) = Φz(t, ε), где
Φz(t, ε) = −1
ε
X(t)B+
0 PQ∗
d
{
α− LK
[
f(s)
]
(·)
}
−
−X(t)B+
0 PQ∗
d
{
L0G
[
f(s) + εA0(s)z(s, ε); α + εL0z(·, ε)
]
(·)−
−LK
[
A0(s)G
[
f(τ) + εA0(τ)z(τ, ε); α + εL0z(·, ε)
]
(s)
]
(·)
}
+
+X(t)Pρcρ + G
[
f(s) + εA0(s)z(s, ε); α + εL0z(·, ε)
]
(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
28 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
Φz(t, ε) — непрерывный ограниченный оператор, действующий из пространства действи-
тельных вектор-функций z(·, ε) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, z(t, ·) ∈ C]0, ε0] в себя. Для оценки
длины промежутка, на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры (16)
к искомому решению задачи (9), (10), оценим длину промежутка, на котором оператор
Φz(t, ε) является сжимающим. Норму вектор-функции ϕ(t) = col
(
ϕ(1)(t), . . . , ϕ(n)(t)
)
по-
лагаем таковой [14, 15]:
‖ϕ(t)‖ = max
1≤i≤n
‖ϕ(i)(t)‖, ‖ϕi(t)‖ = max
a≤t≤b
|ϕ(i)(t)|.
Нормой (m× n)-матрицы A(t) = aij(t) будем называть число
‖A(t)‖ = max
1≤i≤n
n∑
j=1
‖aij(t)‖.
Пусть x(t, ε), y(t, ε) — вектор-функции из малой окрестности нуля, причем
x(·, ε), y(·, ε) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, x(t, ·), y(t, ·) ∈ C]0, ε0].
Оценим норму разности
‖Φx(t, ε)− Φy(t, ε)‖ ≤
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣X(t)B+
0 PQ∗
d
L0G
[
A0(s)∗;L0 ∗
]
(·)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ε‖x− y‖+
+
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣X(t)B+
0 PQ∗
d
LK
{
A0(s)G
[
A0(τ)∗;L0 ∗
]
(s)
}
(·)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ε‖x− y‖+
+
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣G
[
A0(s)∗;L0 ∗
]
(t)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ε‖x− y|| ≤
[
q
(
λ1 + λ2µ
)
+ µ
]
ε‖x− y‖.
Таким образом, при
0 < ε <
1[
q
(
λ1 + λ2µ
)
+ µ
] = ε∗ ≤ ε∗
оператор Φz(t, ε) является сжимающим, при этом вследствие принципа Каччиопполи –
Банаха [14] и уравнение z(t, ε) = Φz(t, ε), и операторная система (12) имеют решение,
для нахождения которого применима итерационная процедура (16). Здесь
q =
∣∣∣∣∣∣∣∣X(t)B+
0 PQ∗
d
∣∣∣∣∣∣∣∣, λ1 =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣L0G
[
A0(s)∗;L0 ∗
]
(·)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣,
λ2 =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣LK
[
A0(τ) ∗
]
(·)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣, µ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣G
[
A0(τ)∗;L0 ∗
]
(s)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 29
Теорема. Пусть краевая задача (9), (10) представляет критический случай PQ∗ 6= 0,
при этом условие (6) разрешимости невозмущенной задачи (1), (2) не выполняется при
произвольных неоднородностях f(t) и α. Тогда при условии PB∗
0
= 0 задача (9), (10)
имеет не менее одного решения
z(·, ε) ∈ C1
{
[a, b] \ {τi}I
}
, z(t, ·) ∈ C]0, ε0],
где rank PB0 = ρ, PB0 : Rn → N(B0) — (n× n)-матрица-ортопроектор,
B0 = PQ∗
d
{
L0X(·)− LK
[
A0(s)X(s)
]
(·)
}
— (d × n)-мерная матрица. Это решение можно определить с помощью сходящегося
при ε ∈]0, ε∗] итерационного процесса (16).
Доказанная теорема является обобщением соответствующих результатов из [5, 11,
12] на случай импульсных краевых задач с переключениями.
Пример. Условия теоремы выполняются в задаче
dz
dt
= Ai(t)z + f(t) + εA0(t)z, t ∈ [0, 3], t 6= 1, t 6= 2, Lz(·) = α, (17)
где
Ai(t) =
2t− 2, t ∈ [0, 1[,
0, t ∈ [1, 2[,
2t− 2, t ∈ [2, 3],
f(t) =
0, t ∈ [0, 1[,
1, t ∈ [1, 2[,
0, t ∈ [2, 3],
Lz(·) =
(
z(1 + 0)− z(2− 0)
z(0+)− z(3− 0)
)
, α =
(
0
1
)
, A0(t) ≡ 1.
Невозмущенная задача для системы (17) имеет вид
dz0
dt
= Ai(t)z0 + f(t), t ∈ [0, 3], t 6= 1, t 6= 2; Lz0(·) = α. (18)
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы
(18)
X0(t) =
et2−2t, t ∈ [0, 1[,
e−1, t ∈ [1, 2[,
et2−2t−1, t ∈ [2, 3],
определяет матрицы
Q =
(
0 0 0
1 0 −e2
)
, Q+ =
0
1
1 + e4
0 0
0 − e2
1 + e4
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
30 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
и ортопроекторы
PQ∗ =
(
1 0
0 0
)
, PQ =
e4
1 + e4
0
e2
1 + e4
0 1 0
e2
1 + e4
0
1
1 + e4
, PQ∗
d
=
(
1 0
)
.
Строки ортопроектора PQ определяют фундаментальную матрицу однородной части кра-
евой задачи (18). Нормируя ее, получаем
X(t) =
et2−2t, t ∈ [0, 1[,
β, t ∈ [1, 2[,
et2−2t−3, t ∈ [2, 3],
β =
1 + e4
e3(1 + e4)
.
Поскольку PQ∗ 6= 0, имеет место критический случай, при этом условие (6) разрешимо-
сти невозмущенной задачи (18) не выполняется для данных неоднородностей f(t) и α;
K
[
f(s)
]
(t) =
0, t ∈ [0, 1[,
t− 1, t ∈ [1, 2[,
0, t ∈ [2, 3],
PQ∗LK
[
f(s)
]
(·) = 1 6= 0.
Матрица B0 для задачи (17) принимает вид B0 = β 6= 0, следовательно, PB0 = PB∗
0
= 0
и, согласно теореме, задача (17) имеет единственное (ρ = rank PB0 = 0) решение, кото-
рое можно определить с помощью итерационного процесса (16). Первое приближение к
решению задачи (17) представимо в виде
z1(t, ε) = X(t)c1(ε), c1(ε) = − 1
εβ
.
Поскольку
K
[
A0(s)X(s)
]
(t) =
t et2−2t, t ∈ [0, 1[,
β (t− 1), t ∈ [1, 2[,
(t− 2) et2−2t−3, t ∈ [2, 3],
то
z
(1)
2 (t) =
[
β − 1
β(1 + e4)
− t
β
]
et2−2t, t ∈ [0, 1[,
0, t ∈ [1, 2[,
−
[
e4(β − 1)
β(1 + e4)
− t− 2
β
]
et2−2t−3, t ∈ [2, 3],
следовательно, c1(ε) = c2(ε). Таким образом, найдено второе приближение z2(t, ε) =
= X(t)c2(ε) + z
(1)
2 (t) к решению задачи (17). Согласно доказанной теореме, это решение
определено для ε ∈ ]0, ε∗]. Поскольку λ1 = 0, λ2 = e3,
q =
2e3 − 1
βe3
, µ ≤ (2e2 − 1)(2e5 + 1)
e2(1 + e4)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
БИФУРКАЦИЯ РЕШЕНИЙ ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 31
то
ε∗ =
1
µ
(
1 + qe3
) ≈ 0, 000 837.
Для нахождения величины ε∗ можно также использовать метод мажорирующих уравне-
ний Ляпунова [5].
1. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Докл. Академии наук. —
2001. — 379, № 2. — С. 170 – 172.
2. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения.
— 2001. — 37, № 8. — С. 1132 – 1135.
3. Бойчук А. А., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключени-
ями // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 1. — C. 51 – 65.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 287 с.
5. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p.
6. Мышкис А. Д., Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. — 1967.
— 74 (116), № 2. — С. 202 – 208.
7. Sčhwabik S. Differential equations with interface conditions // Čas. pěstov. mat. — 1980. — № 105. — P. 391 –
410.
8. Анохин А. В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений //
Докл. АН СССР. — 1986. — 286, № 5. — С. 1037 – 1040.
9. Myshkis A. D. On the relation between systems with switching and hybrid systems // Funct. Different. Equat.
— 2004. — № 11. — P. 467 – 473.
10. Lakshmikantham V., Vasundhara Devi J. Hybrid systems with time scales and impulses // Nonlinear Anal. —
2006. — 65, № 11. — P. 2147 – 2152.
11. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосо-
пряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. — 1960. — 15,
вып. 3. — С. 3 – 80.
12. Чуйко С. М. Возникновение решений линейной нетеровой краевой задачи // Укр. мат. журн. — 2007.
— 59, № 8. — C. 1148 – 1152.
13. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1977. — 744 с.
15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
Получено 30.08.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2008, т . 11, N◦ 1
|