Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку
Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку. We consider a weakly nonlinear boundary-value problem...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178161 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859739036039512064 |
|---|---|
| author | Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. |
| author_facet | Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. |
| citation_txt | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку.
We consider a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of second order ordinary differential
equations. We find a sufficient condition for existence of at least one solution of such a problem, and
propose a convergent iteration procedure for finding the sought solution.
|
| first_indexed | 2025-12-01T17:02:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
М. Лангерова*
Ун-т м. Жилiно, Словаччина
Т. Шовкопляс
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 03680, Київ, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
We consider a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of second order ordinary differential
equations. We find a sufficient condition for existence of at least one solution of such a problem, and
propose a convergent iteration procedure for finding the sought solution.
Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь дру-
гого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та за-
пропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку.
Будемо розглядати нетерову крайову задачу
(P (t)x′(t))′ −Q(t)x(t) = f(t) + εX(x(t, ε)), t, ε), t ∈ [a, b],
(1)
lx(·) = α + εJ(x(·, ε), ε), α ∈ Rm,
де x = x(t, ε)) = col(x1(t, ε)), . . . , xn(t, ε))) — n-вимiрна двiчi неперервно диференцiйовна
на [a, b] вектор-функцiя: x(·, ε)) ∈ C2([a, b]); P (t), Q(t) — квадратнi (n×n)-вимiрнi матрицi.
Компоненти матрицi P (t) — дiйснi неперервно диференцiйовнi функцiї: P (t) ∈ C1[a, b],
det P (t) 6= 0, t ∈ [a, b]; компоненти матрицi Q(t) — дiйснi неперервнi на вiдрiзку [a, b]
функцiї: Q(t) ∈ C[a, b]; f(t) = col(f1(t), f2(t), . . . , fn(t)) — n-вимiрна неперервна вектор-
функцiя: f(t) ∈ C[a, b]; l — лiнiйний обмежений векторний функцiонал, визначений на
просторi n-вимiрних неперервних на вiдрiзку [a, b] вектор-функцiй: l = col(l1, l2, . . . , lm);
l : C[a, b] → Rm, −∞ < a ≤ b < +∞, α ∈ Rm.
Вiдповiдна породжуюча (ε = 0) для (1) крайова задача має вигляд
(P (t)x′(t))′ −Q(t)x(t) = f(t), t ∈ [a, b], (2)
lx(·) = α, α ∈ Rm. (3)
Нелiнiйна по x n-вимiрна вектор-функцiя X(x(t, ε), t, ε) є неперервно диференцiйов-
ною по x в околi розв’язку x0 породжуючої крайової задачi (2), (3): X(·, t, ε) ∈ C1[‖x −
∗ Пiдтримано грантом VEGA 1/3238/06 Словацької грантової агенцiї.
c© М. Лангерова, Т. Шовкопляс, 2006
368 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 369
−x0‖ ≤ δ], неперервна по t : X(x, ·, ε) ∈ C[a, b], неперервна по ε : X(x, t, ·) ∈ C[0, ε0]. Не-
лiнiйний обмежений m-вимiрний вектор-функцiонал J(x(·, ε), ε) є неперервно диференцi-
йовним по x у розумiннi Фреше i неперервним по ε в околi породжуючого розв’язку; ε —
малий невiд’ємний параметр.
Позначимо через X(t) = [X1(t)X2(t)] (n × 2n)-вимiрну фундаментальну матрицю лi-
нiйної однорiдної f(t) = 0 системи (2), Xi(t) — (n×n)-вимiрнi матрицi, вектор-стовпчики
яких є лiнiйно незалежними розв’язками однорiдної f(t) = 0 системи (2), D := lX(·) —
(m×2n)-вимiрна матриця, утворена дiєю функцiонала на фундаментальну матрицю X(t);
PD — (2n×2n)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує простiр R2n на нуль-простiр
N(D) = PDR2n матрицi D, PD∗ — (m×m)-вимiрна матриця-ортопроектор, що проектує
простiр Rm на нуль-простiр N(D∗) = PD∗Rm; матриця D∗ є транспонованою до матрицi
D. Для породжуючої крайової задачi має мiсце така теорема [1 – 3].
Теорема 1. Нехай rank D = n1 ≤ min{2n, m}, тодi однорiдна (f(t) = 0, α = 0) крайо-
ва задача (2), (3) має r (r = 2n−n1) i лише r лiнiйно незалежних розв’язкiв. Неоднорiдна
крайова задача (2), (3) розв’язна тодi i тiльки тодi, коли вектор-функцiя f(t) ∈ C[a, b]
i векторна стала α ∈ Rm задовольняють умову
PD∗
d
α− l
b∫
a
K(·, s)f(s) ds
= 0, d = m− n1.
При виконаннi цiєї умови породжуюча крайова задача (2), (3) має r-параметричну сiм’ю
лiнiйно незалежних розв’язкiв вигляду
x = x0(t, cr) = Xr(t)cr + (Gf)(t) + X(t)D+α ∀cr ∈ Rr, t ∈ [a, b],
де (Gf)(t), t ∈ [a, b], — узагальнений оператор Грiна, який дiє на довiльну вектор-
функцiю f(t) ∈ C[a, b] таким чином:
(Gf)(t) df=
b∫
a
K(t, s)f(s) ds−X(t)D+l
b∫
a
K(·, s)f(s) ds.
K(t, s) — (n× n)-вимiрна матриця, визначена так само, як i в [3, 4]; Xr(t) = X(t) ·PDr ,
PDr−(2n×r)-вимiрна матриця, яка складається з r лiнiйно незалежних стовпчикiв матрицi
PD; PD∗
d
— (d×m)-вимiрна матриця, яка складається з повної системи d лiнiйно незалеж-
них рядкiв матрицi PD∗ , D+ — (2n × m)-вимiрна матриця, псевдообернена за Муром –
Пенроузом до матрицi D [1, 2].
Достатня умова iснування розв’язкiв нелiнiйної крайової задачi (1) визначається на-
ступним твердженням.
Теорема 2. Нехай для нелiнiйної крайової задачi (1) має мiсце критичний випадок,
тобто rank D = n1 < m та крайова задача (2), (3) має r-параметричну сiм’ю пород-
жуючих розв’язкiв
x0(t, cr) = Xr(t)cr + (Gf)(t) + X(t)D+α ∀cr ∈ Rr.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
370 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Тодi для кожного значення вектора cr = c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння
F (c0
r) = PD∗
d
J(x0(·, c0
r), 0)− l
b∫
a
K(·, s)X(x0(s, c0
r), s, 0) ds
≡ 0, d = m− n1, (4)
при виконаннi умови
rank
B0 = PD∗
d
l1Xr(·)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)Xr(s) ds
= d
крайова задача (1) має хоча б один розв’язок x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C2[a, b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0],
який при ε = 0 перетворюється в породжуючий розв’язок
x0(t, c0
r) = Xr(t)c0
r + (Gf)(t) + X(t)D+α
з векторною сталою c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння (4), та визначається за допо-
могою рiвномiрно збiжного на [0, ε0] iтерацiйного процесу
ck = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
,
z
(1)
k+1(t, ε) = ε
{
G(X
(
x0(s, c0
r), s, 0
)
+ A1(s)
(
Xr(s)ck + z
(1)
k (s, ε)
)
+ R (zk(s, ε), s, ε)
}
(t)+
+ εX(t)D+J
(
x0(·, c0
r), 0
)
+ l1
(
Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)
)
+ R0
(
z
(1)
k (·, ε), ε
)
, (5)
zk+1(t, ε) = Xr(t)ck + z
(1)
k+1(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . ,
xk(t, ε) = x0(t, c0
r) + zk(t, ε), k = 0, 1, 2, . . . , z0(t, ε) = z
(1)
0 (t, ε) = 0.
Доведення. В крайовiй задачi (1) виконаємо замiну змiнних
x(t, ε) = x0(t, c0
r) + z(t, ε), c0
r ∈ Rr, (6)
де вектор-функцiя x0(t, c0
r) — розв’язок породжуючої крайової задачi (2), (3) з векторною
сталою c0
r ∈ Rr, що задовольняє рiвняння (4). Врахувавши, що вектор-функцiя x0(t, c0
r)
є розв’язком породжуючої крайової задачi (2), (3), вiд крайової задачi (1) перейдемо до
задачi
(P (t)z(t, ε)′)′ −Q(t)z(t, ε) = εX(x0(t, c0
r) + z(t, ε), t, ε), t ∈ [a, b],
(7)
lz(t, ε) = εJ(x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 371
Врахувавши зазначенi вище умови на нелiнiйностi X(x, t, ε), J(x(·, ε), ε), розкладемо
їх в ряди в околi точки z = 0, ε = 0 :
X(x0(t, c0
r) + z, t, ε) = X(x0(t, c0
r), t, 0) + A1(t)z + R(z, t, ε),
A1(t) =
∂X(x, t, 0)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0r)
, R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂z
= 0, (8)
J(x0(t, c0
r + z(·, ε), ε) = J(x0(t, c0
r), 0) + l1z(·, ε) + R0(z(·, ε), ε),
l1z(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала J(x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε),
R0(0, 0) = 0,
∂R0(0, 0)
∂z
= 0.
У крайовiй задачi (7) нелiнiйностi будемо розглядати як неоднорiдностi та застосуємо
до цiєї задачi теорему 1. Тодi для розв’язку z(t, ε) отримаємо
z(t, ε) = Xr(t)c + z(1)(t, ε),
де сталий вектор c = c(ε) ∈ Rr є невiдомим i визначається з умови розв’язностi крайової
задачi (7), тобто з умови
PD∗
d
J(x0
(
·, c0
r
)
+ z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)X(x0(s, c0
r) + z(s, ε), s, ε) ds
= 0, (9)
а невiдома вектор-функцiя z(1)(t, ε) — як частинний розв’язок задачi (7):
z(1)(t, ε) = εXD+J
(
x0(·, c0
r) + z(·, ε), ε
)
+ εG
(
X(x0(s, c0
r) + z(s, ε), s, ε)
)
(t).
Розклади (8) нелiнiйностей X(x0 + z, t, ε) та J(x0 + z, ε) пiдставимо в рiвнiсть (9):
PD∗
d
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1z(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
X(x0(s, c0
r), s, 0)+
+ A1(s)z(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)
]
ds
}
= 0. (10)
Тодi, врахувавши (9), вiд (10) перейдемо до рiвностi
PD∗
d
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1Xr(·)c + l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)(X(x0(s, c0
r), s, 0) +
+A1(s)
[
Xr(s)c + z(1)(s, ε) + R(z, s, ε)
]
ds
}
= 0. (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
372 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Таким чином, оскiльки векторна стала c0
r ∈ Rr задовольняє рiвняння (4), (11) можна
записати у виглядi
B0c = −PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)(z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)) ds
,
(12)
де
B0 = PD∗
d
l1Xr(·)− l
b∫
a
K(·, s)A1(s)Xr(s) ds
— (d× r)-вимiрна матриця.
Нехай PB0 — (r × r)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB0 : Rr −→ N(B0), N(B0) —
нуль-простiр матрицi B0, а PB∗
0
— (d × d)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB∗
0
: Rd −→
−→ B∗
0 , B∗
0 — (r × d)-вимiрна матриця, транспонована до матрицi B0. У цьому випадку
рiвняння (12) розв’язне тодi i лише тодi, коли виконується умова
PB∗
0
PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− `
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)] ds
= 0.
(13)
Якщо PB∗
0
= 0, то умова (13) завжди виконується. Тому при виконаннi однiєї з еквiвалент-
них умов
PB∗
0
= 0 або rank B0 = d (14)
рiвняння (12) розв’язне i один з його розв’язкiв можна подати у виглядi
c = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)] ds
.
Тут матриця B+
0 ∈ (r × d)-вимiрною псевдооберненою за Муром – Пенроузом до мат-
рицi B0.
Отже, при умовi (14) на множинi двiчi неперервно диференцiйовних по змiннiй t ∈
∈ [a, b] вектор-функцiй z(t, ε), z(t, 0) = 0, крайова задача (7) еквiвалентна операторнiй
системi
z(t, ε) = Xr(t) + z
(1)
1 (t, ε), (15)
c = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)(·, ε) + R0(z(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)(A1(s)z(1)(s, ε) + R(z(s, ε), s, ε)) ds
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 373
z
(1)
1 (t, ε) = εG
[
X(x0(s, c∗r , s, 0)) + A1(s)(Xr(s)c + z(1)(s, ε))
]
+ R(z(1)(s, ε), s, ε)(t)+
+ εX(t)D+
[
J(x0(·, c∗r), 0) + l1Xr(·)c + z(1)(·, ε) + R0(z(1)(·, ε), ε)
]
.
Вiдомо, що для розв’язання операторної системи (15) можна застосувати метод простих
iтерацiй [1, 2].
Iтерацiйний алгоритм. Перше наближення z
(1)
1 (t, ε) до z(1)(t, ε) покладемо таким:
z
(1)
1 (t, ε) = ε(G(X(x0(s, c0
r), s, 0)))(t) + εX(t)D+J(x0(·, c0
r), 0).
Вектор-функцiя z
(1)
1 = z
(1)
1 (t, ε) є частинним розв’язком крайової задачi
(P (t)z
′
1(t))
′ −Q(t)z1(t) = εX(x0(t, c0
r), t, 0), lz1(·) = εJ(x0(·, c0
r), 0).
Цей розв’язок iснує завдяки вибору сталої c0
r ∈ Rr з рiвняння (4). Вважаємо, що перше
наближення z1(t, ε) до шуканого розв’язку z(t, ε) крайової задачi (7) дорiвнює z
(1)
1 (t, ε).
Друге наближення
z
(1)
2 (t, ε) = ε
{
G(X(x0(s, c0
r), s, 0) + A1(s)(Xr(s)c1 + z
(1)
1 (s, ε)) + R(z1(s, ε), s, ε))
}
(t)+
+ εX(t)D+
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1(Xr(·)c1 + z
(1)
1 (·, ε)) + R0(z1(·, ε), ε)
}
.
Вектор-функцiя z
(1)
2 (t, ε) є частинним розв’язком крайової задачi
(P (t)z
′
2(t))
′ −Q(t)z2(t) = ε
{
X(x0(t, c0
r), t, 0) + A2(t)(Xr(t)c1 + z
(1)
1 (t, ε)) + R(z1, t, ε)
}
,
lz2(·) = ε
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)c1 + z
(1)
1 ] + R0(z1, ε)
}
,
при цьому необхiдна та достатня умова розв’язностi останньої задачi має вигляд
B0c1 + PD∗
d
l1z
(1)
1 (·, ε) + R0(z1(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)[A1(s)z
(1)
1 (s, ε) + R(z1(s, ε), s, ε)]ds
= 0.
(16)
Перше наближення c1 до c(ε) з (16) є таким:
c1 = −B+
0 PD∗
d
l1z
(1)
1 (·, ε) + R0(z1(·, ε), ε)− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
1 (s, ε) + R(z1(s, ε), s, ε)
]
ds
.
Умова (14) гарантує розв’язнiсть алгебраїчної системи (16) вiдносно c1 ∈ Rr. Отже, друге
наближення z2(t, ε) до шуканого розв’язку z(t, ε) запишемо таким чином:
z2(t, ε) = Xr(t)c1 + z
(1)
2 (t, ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
374 М. ЛАНГЕРОВА, Т. ШОВКОПЛЯС
Продовживши iтерацiйний процес далi, отримаємо, що наближення z
(1)
k+1(t, ε) до z(1)(t, ε)
визначається за формулою
z
(1)
k+1(t, ε) = ε
{
G
[
X(x0(s, c0
r), s, 0) + A1(s)(Xr(s)ck + z
(1)
k (s, ε)) + R(zk(s, ε), s, ε)
]}
(t)+
+ εX(t)D+(J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)] + R0(zk(·, ε), ε)),
як частинний розв’язок крайової задачi
(P (t)z
′
k+1(t))
′−Q(t)zk+1(t) = ε
{
X(x0(t, c0
r), t, 0) + A1(t)(Xr(t)ck + z
(1)
k (t, ε)) + R(zk, t, ε)
}
,
lzk+1(·) = ε
{
J(x0(·, c0
r), 0) + l1[Xr(·)ck + z
(1)
k (·, ε)] + R0(zk(·, ε), ε)
}
.
З необхiдної та достатньої умови розв’язностi цiєї крайової задачi приходимо до алгебраїч-
ної системи
B0ck + PDd∗
{
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)−
− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
}
= 0, (17)
з якої знаходимо k-те наближення ck до c(ε) :
ck = −B+
0 PDd∗
{
l1z
(1)
k (·, ε) + R0(zk(·, ε), ε)−
− l
b∫
a
K(·, s)
[
A1(s)z
(1)
k (s, ε) + R(zk(s, ε), s, ε)
]
ds
}
.
Умова (14) гарантує розв’язнiсть алгебраїчної системи (17) вiдносно ck ∈ Rr на кожному
кроцi iтерацiйного процесу. Наближення zk+1(t, ε) до шуканого розв’язку запишеться у
виглядi
zk+1(t, ε) = Xr(t)ck + z
(1)
k+1(t, ε).
Враховуючи замiну змiнних (6), для вiдшукання розв’язку x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C[a, b], x(t, ·) ∈
∈ C[0, ε0], x(t, 0) = x0(t, c0
r) крайової задачi (1) отримаємо схему (5).
Доведення збiжностi та отримання оцiнок, що характеризують iтерацiйний процес (5),
проводяться за схемою методу мажорант Ляпунова [5, 1].
1. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
УМОВИ IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ НЕТЕРОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ 375
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. —
Utrecht; Boston: VSP, 2004. — 317 p.
3. Шовкопляс Т. В. Критерiй розв’язностi лiнiйної крайової задачi для системи другого порядку // Укр.
мат. журн. — 2000. — 52, № 6. — C. 861 – 864.
4. Langerova M. Boundary value problem for weakly perturbed linear differential equation of the second order
// 5-th Int. Conf. APLIMAT-2006. — Bratislava: Slovak Univ. Technol., 2006. — P. 273 – 278.
5. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука,
1979. — 432 с.
Одержано 23.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178161 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T17:02:41Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. 2021-02-18T07:45:07Z 2021-02-18T07:45:07Z 2006 Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку / М. Лангерова, Т.В. Шовкопляс // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 368-375. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178161 517.9 Розглянуто слабконелiнiйну крайову задачу для систем звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Знайдено достатню умову iснування хоча б одного розв’язку такої задачi та запропоновано збiжний iтерацiйний алгоритм вiдшукання її розв’язку. We consider a weakly nonlinear boundary-value problem for a system of second order ordinary differential equations. We find a sufficient condition for existence of at least one solution of such a problem, and propose a convergent iteration procedure for finding the sought solution. Пiдтримано грантом VEGA 1/3238/06 Словацької грантової агенцiї. uk Інститут математики НАН України Нелінійні коливання Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку Условия существования решения нетеровой краевой задачи для системы второго порядка A condition for existence of a solution of a Noetherian boundary-value problem for a second order system Article published earlier |
| spellingShingle | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку Лангерова, М. Шовкопляс, Т.В. |
| title | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_alt | Условия существования решения нетеровой краевой задачи для системы второго порядка A condition for existence of a solution of a Noetherian boundary-value problem for a second order system |
| title_full | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_fullStr | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_full_unstemmed | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_short | Умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| title_sort | умови існування розв'язку нетерової крайової задачі для системи другого порядку |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178161 |
| work_keys_str_mv | AT langerovam umoviísnuvannârozvâzkuneterovoíkraiovoízadačídlâsistemidrugogoporâdku AT šovkoplâstv umoviísnuvannârozvâzkuneterovoíkraiovoízadačídlâsistemidrugogoporâdku AT langerovam usloviâsuŝestvovaniârešeniâneterovoikraevoizadačidlâsistemyvtorogoporâdka AT šovkoplâstv usloviâsuŝestvovaniârešeniâneterovoikraevoizadačidlâsistemyvtorogoporâdka AT langerovam aconditionforexistenceofasolutionofanoetherianboundaryvalueproblemforasecondordersystem AT šovkoplâstv aconditionforexistenceofasolutionofanoetherianboundaryvalueproblemforasecondordersystem |