О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений
Вивчається питання про розщеплення сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з
 виродженням. We study the decomposition problem for singularly perturbed systems of differential equations with a
 degeneration....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Нелінійні коливання |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178164 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений / В.В. Потороча, В.Г. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 401-415. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860091969019052032 |
|---|---|
| author | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. |
| author_facet | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. |
| citation_txt | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений / В.В. Потороча, В.Г. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 401-415. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелінійні коливання |
| description | Вивчається питання про розщеплення сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з
виродженням.
We study the decomposition problem for singularly perturbed systems of differential equations with a
degeneration.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:24:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. В. Потороча, В. Г. Самойленко
Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко
Украина, 03680, Киев, просп. Акад. Глушкова, 2, корп. 6
e-mail: vsam@univ.kiev.ua
We study the decomposition problem for singularly perturbed systems of differential equations with a
degeneration.
Вивчається питання про розщеплення сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з
виродженням.
В работах [1, 2] развита теория асимптотического интегрирования линейных сингуляр-
но возмущенных систем дифференциальных уравнений с вырождениями, которая осно-
вывается на операторном подходе. При этом при доказательстве утверждений об асимп-
тотическом характере полученного приближенного решения используется приведение
исходной системы уравнений к некоторому более простому так называемому расщеплен-
ному виду.
Построение асимптотического решения систем линейных сингулярно возмущенных
дифференциальных уравнений с вырождениями значительно упрощается, если рассмат-
риваемую систему предварительно привести к расщепленному виду, что облегчает интег-
рирование такого рода систем с помощью существующих подходов теории асимптоти-
ческих методов.
В работах [3, 4] рассмотрен вопрос о расщеплении линейной системы дифференци-
альных уравнений с вырожденной матрицей при производной вида
εB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x, x ∈ Rn, (1)
при условии, что степень характеристического уравнения det (A0(t)−λB(t)) = 0 меньше
или равна рангу вырожденной матрицы B(t).
В работе [5] рассмотрен вопрос о построении решения задачи Коши с помощью ме-
тода, основанного на расщеплении слабонелинейной системы дифференциальных урав-
нений с вырожденной матрицей при производной вида
εB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x + εf(t, x, ε), x ∈ Rn,
где ранг вырожденной матрицы rank B(t) = n− 1.
В работе [6] рассмотрен вопрос о разрешимости нетеровых краевых задач для сингу-
лярных дифференциальных уравнений.
Задача о расщеплении такого рода систем значительно усложняется, если при произ-
водной содержится матрица, представимая асимптотическим рядом по малому параметру
c© В. В. Потороча, В. Г. Самойленко, 2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3 401
402 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
ε [7, 8]:
B(t, ε) =
∞∑
i=0
εiBi(t),
где B0(t) — тождественно вырожденная матрица, т. е. det B0(t) ≡ 0, а также при наличии
как кратных конечных элементарных делителей, так и кратных бесконечных элементар-
ных делителей пучка матриц
L(t, λ) = A0(t)− λB0(t).
В данной статье рассматривается вопрос о расщеплении систем дифференциальных
уравнений вида
εhB(t, ε)
dx(t, ε)
dt
= A(t)x(t, ε), x ∈ Rn, (2)
и
εhB(t, ε)
dx(t, ε)
dt
= A(t, ε)x(t, ε) + f(t, ε), x ∈ Rn.
Здесь h — натуральное число; вектор-функция f(t, ε), а также (n × n)-матрицы A(t, ε) и
B(t, ε) представимы в виде асимптотических рядов
f(t, ε) =
∞∑
i=0
εifi(t), A(t, ε) =
∞∑
i=0
εiAi(t), B(t, ε) =
∞∑
i=0
εiBi(t). (3)
Предположим, что выполняются следующие условия:
10) элементы матрицы B(t, ε) являются действительными или комплексными функ-
циями;
20) A(t), Bi(t), i = 0, 1, 2, . . ., — бесконечно дифференцируемые (n × n)-матрицы на
отрезке [t0, T ];
30) det B0(t) = 0 для всех t ∈ [t0, T ];
40) пучок матриц L(t, λ) = A(t)− λB0(t) регулярный и на отрезке [t0;T ] имеет p крат-
ных конечных элементарных делителей и q кратных бесконечных элементарных дели-
телей кратностей s1, s2, . . . , sp и r1, r2, . . . , rq соответственно;
50) степень характеристического уравнения det (L(t, λ)) = 0 меньше ранга матрицы
B0(t).
В силу условия 30 существуют такие неособые матрицы P (t) и Q(t), которые приводят
пучок матриц L(t, λ) к каноническому виду
P (t)(A(t)− λB0(t))Q(t) = S(t)− λH0, (4)
где S(t) = diag (W (t), E), H0 = diag (E, J0), J0 = diag (J (0)
1 , J
(0)
2 , . . . , J
(0)
q ); J
(0)
j , j = 1, q,
— нильпотентные блоки Жордана, W (t) = diag (W1(t),W2(t), . . . ,Wp(t)), J0 = diag (J (0)
1 ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 403
J
(0)
2 , . . . , J
(0)
q ); J (0)
j , j = 1, q, — нильпотентные блоки Жордана, Wi(t) = λiE+J
(0)
i , i = 1, p.
Матрицы Wi(t), i = 1, p, и J
(0)
j , j = 1, q, имеют размерности si и rj соответственно.
Теорема 1. При выполнении условий 10 – 50 систему дифференциальных уравнений
(2) можно привести к виду
εhH(t, ε)
dy
dt
= C(t, ε)y(t, ε), (5)
где C(t, ε) = diag (C̃1(t, ε), C̃2(t, ε)), y(t, ε) = (y1(t, ε), y2(t, ε)) такие, что
εh dy1
dt
= C̃1(t, ε)y1,
εhJ(t, ε)
dy2
dt
= C̃2(t, ε)y2.
Матрицы C(t, ε) и H(t, ε) представимы в виде асимптотических рядов по малому
параметру ε :
C(t, ε) =
∞∑
k=0
εkCk(t), C0(t) = S(t),
H(t, ε) = H0 + diag (0, R(t, ε)), J(t, ε) = J0 + R(t, ε), R(t, ε) =
∞∑
k=1
εkRk(t),
где Rk(t), k ∈ N, — блочные матрицы, имеющие ту же размерность, что и матрица
J0, причем каждый ij-й блок матрицы Rk(t), k ∈ N, имеет вид
R
(ij)
k (t) =
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
r
(ij)
k (t) 0 . . . 0
, k ∈ N.
Доказательство. Необходимо определить матрицы V (t, ε) и U(t, ε) такие, что при выпол-
нении в системе (2) замены
x(t, ε) = V (t, ε)y(t, ε), (6)
и последующем умножении полученного соотношения слева на матрицу U(t, ε) система
(2) будет приведена к виду (5).
Матрицы U(t, ε) и V (t, ε) представимы в виде асимптотических рядов по малому па-
раметру ε.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
404 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
Выполняя замену (6), имеем
εhU(t, ε)B(t, ε)V (t, ε)
dy
dt
=
(
U(t, ε)A(t)V (t, ε)− εhU(t, ε)B(t, ε)
dV (t, ε)
dt
)
y.
Матрицы V (t, ε), U(t, ε), C(t, ε) и H(t, ε) определяются так, чтобы выполнялись равенства
U(t, ε)B(t, ε)V (t, ε) = H(t, ε), (7)
U(t, ε)A(t)V (t, ε)− εhU(t, ε)B(t, ε)
d
dt
V (t, ε) = C(t, ε). (8)
Сравнивая сначала коэффициенты в (7) при соответствующих степенях ε, при ε0 по-
лучаем
U0(t)B0(t)V0(t) = H0. (9)
Учитывая (5), из (9) находим U0(t) = P (t), V0(t) = Q(t).
Далее, из (7) при ε1 имеем
U1(t)B0(t)V0(t) + U0(t)B0(t)V1(t) = F1(t) + H1(t), (10)
где F1(t) = −P (t)B1(t)Q(t).
Аналогично, при εk
Uk(t)B0(t)V0(t) + U0(t)B0(t)Vk(t) = Fk(t) + Hk(t), (11)
где
Fk(t) =
k−1∑
i=0
k−i∑
j=0
Ui(t)Bj(t)Vk−i−j(t).
Из (2) следует B0(t) = P−1(t)H0Q
−1(t). Тогда равенства (10), (11) можно представить
следующим образом:
Tk(t)H0 −H0Lk(t) = Fk(t) + Hk(t), k ∈ N, (12)
где Tk(t) = Uk(t)P−1(t), Lk(t) = Vk(t)Q−1(t), k ∈ N , Hk(t) — коэффициенты при εk в
разложении матрицы H(t, ε) в асимптотический ряд по ε.
Аналогично, сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях ε в матричном
уравнении (8), при ε0 получаем
U0(t)A(t)V0(t) = C0(t). (13)
Учитывая (2), имеем C0(t) = S(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 405
Из (5) при ε1 находим
U1(t)A(t)V0(t) + U0(t)A(t)V1(t) = C1(t), (14)
а при εk, 1 < k < h, получаем
Uk(t)A(t)V0(t) + U0(t)A(t)Vk(t) = Ck(t)−Gk(t), (15)
где
Gk(t) =
k−1∑
i=1
Ui(t)A(t)Vk−i(t)
— коэффициенты при εk в разложении матрицы C(t, ε) в асимптотический ряд по ε.
Аналогично, из (8) при εk, k ≥ h, находим
Uk(t)A(t)V0(t) + U0(t)A(t)Vk(t) = Ck(t)−Gk(t), (16)
где
Gk(t) =
k−1∑
i=1
Ui(t)A(t)Vk−i(t)−
k−1∑
i=0
k−i∑
j=0
Ui(t)Bj(t)
d
dt
Vk−i−j(t).
Поскольку A(t) = P−1(t)S(t)Q−1(t), системы (15), (16) можно представить следую-
щим образом:
Tk(t)S(t) + S(t)Lk(t) = Ck(t)−Gk(t), (17)
где Tk(t) = Uk(t)P−1(t), Lk(t) = Vk(t)Q−1(t), k ∈ N .
При каждом k ∈ N матрицы Tk(t), Lk(t), Fk(t) и Ck(t), k ∈ N , в (12), (17) представим
[9, 10] в соответствии с блочной структурой матриц S(t) и H0, т. е.
Tk(t) =
(
Tk,11 Tk,12
Tk,21 Tk,22
)
, Lk(t) =
(
Lk,11 Lk,12
Lk,21 Lk,22
)
,
Fk(t) =
(
Fk,11 Fk,12
Fk,21 Fk,22
)
, Ck(t) =
(
Ck,11 0
0 Ck,22
)
, k ∈ N.
Рассмотрим системы матричных уравнений (12) и (17) при k = 1. Имеем
T1(t)H0 −H0L1(t) = F1(t) + H1(t), (18)
T1(t)S(t) + S(t)L1(t) = C1(t). (19)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
406 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
Cистему матричных уравнений (18), (19) можно записать в блочном виде(
T1,11 T1,12J0
T1,21 T1,22J0
)
+
(
L1,11 L1,12
J0L1,21 J0L1,22
)
=
(
F1,12 F1,12
F1,21 F1,22
)
+
(
0 0
0 R1,22
)
, (20)
(
T1,11W T1,12
T1,21W T1,22
)
+
(
WL1,11 WL1,12
L1,21 L1,22
)
=
(
C1,11 0
0 C1,22
)
, (21)
или же в виде
T1,11 + L1,11 = F1,11, (22)
T1,11W + WL1,11 = C1,11, (23)
T1,12J0 + L1,12 = F1,12, (24)
T1,12 + WL1,12 = 0, (25)
T1,21 + J0L1,21 = F1,21, (26)
T1,21 + L1,21 = 0, (27)
T1,22J0 + J0L1,22 = F1,22 + R1,22, (28)
T1,22 + L1,22 = C1,22. (29)
Поскольку матрицы W (t) и J0 квазидиагональные, разобьем блочные матрицы Tl,uv,
Ll,uv, Fl,uv, Cl,uv, Rl, l ∈ N , u, v = 1, 2, на блоки в соответствии со структурой матриц W (t)
и J0 и в дальнейшем будем рассматривать произвольный ij-й блок соответствующей сис-
темы матричных уравнений.
Рассмотрим произвольный ii-й блок, расположенный на главной диагонали системы
матричных уравнений (22), (23), который соответствует кратному конечному элементар-
ному делителю кратности si, i = 1, p.
Для матриц, расположенных на главной диагонали в системе (22), (23), имеем следу-
ющие уравнения:
T
(ii)
1,11 + L
(ii)
1,11 = F
(ii)
1,11,
T
(ii)
1,11Wi + WiL
(ii)
1,11 = C
(ii)
1,11,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 407
или
WiL
(ii)
1,11 − L
(ii)
1,11Wi = C
(ii)
1,11 − F
(ii)
1,11Wi, (30)
T
(ii)
1,11 = F
(ii)
1,11 − L
(ii)
1,11. (31)
Обозначим через clj(t), l, j = 1, si, элементы матрицы C1,11(t). Тогда для элементов
матричных уравнений системы (30), которые расположены не выше главной диагонали,
должны выполняться соотношения
si−k∑
j=0
ck+j,1+j =
si−k−1∑
j=0
fk−1+j,j+1 + λi
si−k∑
j=0
fk+j,j+1, (32)
а для элементов, находящихся выше главной диагонали, — соотношения вида
si−k−1∑
j=0
c1+j,k+j−1 =
si−k∑
j=0
fk+j,j+1 + λi
si−k−1∑
j=0
f1+j,k+j−1, k = 2, si − 1. (33)
Поскольку из соотношений (32), (33) нельзя однозначно определить значения clj(t),
все элементы clj(t), за исключением элементов csi−2j+1,1, j = 1,
[si
2
]
, и cj+1,si−j , j =
= 1, si − 1, полагаем равными нулю. Таким образом, матрица C
(ii)
1,11 определена.
Для произвольного ij-го, i 6= j, блока системы матричных уравнений (22), (23) имеем
следующую систему уравнений:
WiL
(ij)
1,11 − L
(ij)
1,11Wj = C
(ij)
1,11 − F
(ij)
1,11Wj , (34)
T
(ij)
1,11 = F
(ij)
1,11 − L
(ij)
1,11. (35)
Обозначим через luv(t), u = 1, si, v = 1, sj , элементы матрицы L
(ij)
1,11(t), i 6= j. Поло-
жив C
(ij)
1,11 = 0, i 6= j, систему (34) в координатной форме представим следующим обра-
зом:
(λi − λj)
l1,1 l1,2 . . . l1,sj
l2,1 l2,2 . . . l2,sj
. . . . . . . . . . . .
lsi−1,1 lsi−1,2 . . . lsi−1,sj
lsi,1 lsi,2 . . . lsi,sj
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
408 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
+
l2,1 l2,2 − l1,1 . . . l2,sj − l1,sj−1
l3,1 l3,2 − l2,1 . . . l3,sj − l2,sj−1
. . . . . . . . . . . .
lsi,1 lsi,2 − lsi−1,1 . . . lsi,sj − lsi−1,sj−1
0 −lsi,1 . . . −lsi,sj−1
=
= −
f1,1λj f1,1 + f1,2λj . . . f1,sj−1 + f1,sjλj
f2,1λj f2,1 + f2,2λj . . . f2,sj−1 + f2,sjλj
. . . . . . . . . . . .
fsi−1,1λj fsi−1,1 + fsi−1,2λj . . . fsi−1,sj−1 + fsi−1,sjλj
fsi,1λj fsi,1 + fsi,2λj . . . fsi,sj−1 + fsi,sjλj
. (36)
Для элементов последней строки имеем
lsi,1 =
fsi,1λj
(λi − λj)
, lsi,k =
k∑
n=1
fsi,k−n+1λj + fsi,k−n
(λj − λi)n
, k = 2, sj .
Тогда элементы первого столбца вычисляются с помощью рекуррентной формулы
ln,1 =
fn,1λj + ln+1,1
(λj − λi)
, n = 1, si.
Остальные элементы матрицы L
(ij)
1,11 однозначно определяются рекуррентным образом
по формуле
lk,r =
1
λj − λi
(fk,rλj + fk,r−1 − lk+1,r + lk,r−1), k = 2, si, r = 2, sj .
Таким образом, определив элементы матриц L1,11(t), из равенства (22) находим эле-
менты матрицы T1,11(t).
Систему (24), (25) запишем следующим образом:
W−1L1,12 − L1,12J0 = W−1F1,12, (37)
T1,12 = −WL1,12. (38)
Решение уравнения (37) для произвольного ir-го блока можно записать в следующем ви-
де:
L
(j1)
1,12 = F
(j1)
1,12 , j = 1, p,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 409
L
(jr)
1,12 =
r−1∑
k=0
W k
r F
(j,r−k)
1,12 , r = 2, q, j = 1, p.
Систему матричных уравнений (26), (27) представим в виде
J0T1,21 − T1,21W
−1 = −F1,21W
−1, (39)
L1,21 = −T1,21W. (40)
Аналогично системе уравнений (37), (38), система (39), (40) для произвольного (jr)-блока
имеет единственное решение вида
T
(q,j)
1,21 = F
(q,j)
1,21 , j = 1, p,
T
(jr)
1,21 =
q−j∑
k=0
F
(j+k,r)
1,21 W k
r , j = 1, q − 1, r = 1, p.
Из систем (28), (29) получим q2 матричных уравнений вида
JiL
(ij)
1,22 − L
(ij)
1,22Jj = F
(ij)
1,22 + R
(ij)
1 + C
(ij)
1,22Jj , i, j = 1, q,
которые в координатной форме запишутся следующим образом:
l2,1 . . . l2,rj
. . . . . . . . .
lri,1 . . . lri,rj
0 . . . 0
−
0 l1,1 . . . l1,rj−1
0 . . . . . . . . .
0 lri−1,1 . . . lri−1,rj−1
0 lri,1 . . . lri,rj−1
=
=
f1,1 f1,2 − c1,1 . . . f1,rj − c1,rj−1
. . . . . . . . . . . .
fri−1,1 fri−1,2 − cri−1,1 . . . fri−1,rj − cri−1,rj−1
fri,1 fri,2 − cri,1 . . . fri,rj − cri,rj−1
+
0 . . . 0
0 . . . 0
0 . . . 0
rri,1 . . . 0
.
Отcюда находим:
1) rri,1 = −fri,1;
2) lj,1 = fj−1,1, j = 2, ri;
3) для элементов ci,j(t) матрицы C1,22(t), которые расположены не выше главной ди-
агонали, должно выполняться соотношение
ri−k∑
l=0
ck+l,1+l =
ri−k+1∑
l=0
fk−1+l, l+1, k = 2, ri − 1; (41)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
410 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
4) для элементов ci,j(t) матрицы C1,22(t), которые расположены выше главной диаго-
нали, необходимо выполнение равенства
ri−k+1∑
l=0
c1+l, k+l−1 =
ri−k∑
l=0
fl+1, k+l, k = 1, ri − 1. (42)
Все элементы матрицы C1,22(t), за исключением элементов cri−2l+1,1(t), l = 1,
[ri
2
]
, и
cl+1,rj−l(t), l = 1, rj − 1, полагаем равными нулю.
Итак, зная элементы матрицы C1,22(t), находим элементы матрицы L1,22, а из уравне-
ния (29) — матрицу T1,22.
Таким образом, система матричных уравнений (12), (17) при k = 1 решена.
Перейдем теперь к решению системы матричных уравнений (12), (17), при k > 1.
Имеем
Tk(t)H0 −H0Lk(t) = Fk(t) + Hk(t), (43)
Tk(t)S(t) + S(t)Lk(t) = Ck(t)−Gk(t). (44)
Запишем систему (43), (44) в блочном виде(
Tk,11 Tk,12J0
Tk,21 Tk,22J0
)
+
(
Lk,11 Lk,12
J0Lk,21 J0Lk,22
)
=
(
Fk,11 Fk,12
Fk,21 Fk,22
)
+
(
0 0
0 Rk
)
,
(45)(
Tk,11W Tk,12
Tk,21W Tk,22
)
+
(
WLk,11 WLk,12
Lk,21 Lk,22
)
=
(
Ck,11 0
0 Ck,22
)
−
(
Gk,11 Gk,12
Gk,21 Gk,22
)
,
или
Tk,11 + Lk,11 = Fk,11, (46)
Tk,11W + WLk,11 = Ck,11 −Gk,11, (47)
Tk,12J0 + Lk,12 = Fk,12, (48)
Tk,12 + WLk,12 = −Gk,12, (49)
Tk,21 + J0Lk,21 = Fk,21, (50)
Tk,21 + Lk,21 = −Gk,21, (51)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 411
Tk,22J0 + J0Lk,22 = Fk,22 + Rk,22, (52)
Tk,22 + Lk,22 = Ck,22 −Gk,22. (53)
Система матричных уравнений (46), (47) идентична рассмотренной ранее и отлича-
ется от системы (30), (31) наличием в правой части уравнения (47) дополнительного сла-
гаемого — матрицы Gk,1, которая уже определена на предыдущем шаге. Имеем
WLk,11 − Lk,11W = Ck,11 − Fk,11W −Gk,11, (54)
Tk,11 = Fk,11 − Lk,11. (55)
Следовательно, для элементов матриц, расположенных на главной диагонали (при
i = j), из уравнения (54) имеем соотношения вида
si−k∑
j=0
ck+j,1+j =
si−k−1∑
j=0
fk−1+j,j+1 + λi
si−k∑
j=0
fk+j,j+1 −
si−k∑
j=0
gk+j,1+j ,
si−k∑
j=0
c1+j,k+j−1 =
si−k+1∑
j=0
fk+j,j+1 + λi
si−k∑
j=0
f1+j,k+j−1 −
si−k∑
j=0
g1+j,k+j−1,
где k = 2, si − 1.
Все элементы clj(t), за исключением элементов csi−2j+1,1 и cj+1,si−j , j = 1, si − 1, по-
лагаем равными нулю.
Для произвольного ij-го, i 6= j, блока имеем решения вида
lsi,1 =
fsi,1λj
(λi − λj)
, lsi,k =
k∑
n=1
fsi,k−n+1λj + fsi,k−n + gsi,k−n+1
(λj − λi)n
, k = 2, sj .
Элементы первого столбца вычисляются с помощью рекуррентной формулы
ln,1 =
fn,1λj + ln+1,1 + gn,1
(λj − λi)
, n = 1, si.
Остальные элементы матрицы L
(ij)
k,11, i 6= j, однозначно определяются рекуррентным
образом из следующей формулы:
lk,r =
1
λj − λi
(fk,rλj + fk,r−1 + gk,r − lk+1,r + lk,r−1), k = 2, si, r = 2, sj .
Системы уравнений
W−1Tk,12 − Tk,12J0 = −Fk,12 −W−1Gk,12,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
412 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
Lk,12 = Fk,12 − Tk,12J0
и
J0Lk,21 − Lk,21W
−1 = Fk,21 + W−1Gk,21,
Tk,21 = Fk,21 − J0Lk,21
решаются аналогично системам (24) – (27).
Рассмотрим систему уравнений
Tk,22J0 + J0Lk,22 = Fk,22 + Rk,22,
Tk,22 + Lk,22 = Ck,22 −Gk,22,
или
JiL
(ij)
k,22 − L
(ij)
k,22Jj = F
(ij)
k,22 + R
(ij)
k + C
(ij)
k,22Jj , i, j = 1, q.
Ее решения можно представить в виде, аналогичном виду решения систем (28), (29), т. е.:
1) rri,1 = −fri,1;
2) lj,1 = fj−1,1, j = 2, ri;
3) для элементов cij(t) матрицы Ck,22(t), которые расположены не выше главной ди-
агонали, должно выполняться соотношение
ri−k∑
j=0
ck+j,1+j =
ri−k+1∑
j=0
fk−1+j,j+1 −
ri−k∑
j=0
gk+j,1+j , k = 2, ri − 1; (56)
4) для элементов ci,j(t) матрицы Ck,22(t), которые расположены выше главной диаго-
нали, необходимо выполнение равенства
ri−k+1∑
j=0
c1+j,k+j−1 =
ri−k∑
j=0
fj+1,k+j −
ri−k+1∑
j=0
g1+j,k+j−1, k = 2, ri − 1. (57)
Элементы ci,j(t) полагаем равными нулю, за исключением элементов cri−2l+1,1(t), l =
= 1,
[rj
2
]
, и cl+1,ri−l(t), l = 1, rj − 1, которые удовлетворяют равенствам (56), (57). Опре-
деляя элементы матрицы Ck,22(t), находим элементы матриц Lk,22 и Tk,22.
Таким образом, определяя матрицы Lk(t) и Tk(t), k ∈ N , из равенств Uk(t) = P (t)Tk(t)
и Vk(t) = Q(t)Lk(t), k ∈ N , находим неизвестные матрицы Uk(t) и Vk(t). Тем самым дока-
зано существование замены (6), приводящей систему (2) к виду (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 413
Таким образом, построены матрицы C̃2(t, ε) и C̃1(t, ε) = diag (C(11)
1 (t, ε), C(22)
1 (t, ε), . . .
. . . , C
(pp)
1 (t, ε)), где блоки C
(ii)
1 (t, ε), i = 1, p, как следует из доказательства, имеют вид
C
(ii)
1 (t, ε) =
c1,1 0 . . . 0 c1,si
0 0 . . . c2,si−1 0
c3,1 . . . c3,si−2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
csi−1,1 csi−1,2 . . . . . . 0
csi,1 0 . . . . . . 0
, i = 1, p,
а блоки матрицы C̃2(t, ε) —
C
(ij)
2 (t, ε) =
c1,1 0 . . . 0 c1,rj
0 0 . . . c2,rj−1 0
c3,1 . . . c3,rj−2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
cri−1,1 cri−1,2 . . . . . . 0
cri,1 0 . . . . . . 0
, i = 1, p, i = 1, q.
Теорема 1 доказана.
В случае неоднородной системы дифференциальных уравнений вида
εhB(t, ε)
dx(t, ε)
dt
= A(t, ε)x(t, ε) + f(t, ε) (58)
также существует замена вида (6), приводящая рассматриваемую систему (58) к расщеп-
ленному виду.
Пусть выполняются следующие условия:
10) вектор-функция f(t, ε), а также матрицы B(t, ε), A(t, ε) представимы асимптоти-
ческими рядами по малому параметру ε, а их элементами являются действительные или
комплексные функции;
20) вектор-функция fi(t) и (n × n)-матрицы Ai(t), Bi(t), i = 0, 1, 2, . . . , бесконечно
дифференцируемы на отрезке [t0, T ];
30) det B0(t) = 0 для всех t ∈ [t0, T ];
40) пучок матриц L(t, λ) = A0(t) − λB0(t) регулярный и имеет на отрезке [t0;T ] p
кратных конечных элементарных делителей и q кратных бесконечных элементарных де-
лителей;
50) степень характеристического уравнения det (L(t, λ)) = 0 меньше ранга матрицы
B0(t).
Справедлива следующая теорема.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
414 В. В. ПОТОРОЧА, В. Г. САМОЙЛЕНКО
Теорема 2. При выполнении условий 10 – 50 систему дифференциальных уравнений
(58) можно привести к виду
εhH(t, ε)
dy
dt
= C(t, ε)y(t, ε) + F (t, ε),
где C(t, ε) = diag (C̃1(t, ε), C̃2(t, ε)), y(t, ε) = (y1(t, ε), y2(t, ε)), F (t, ε) = colon (F1(t, ε), F2(t, ε))
такие, что
εh dy1
dt
= C̃1(t, ε)y1 + F1(t, ε),
εhJ(t, ε)
dy2
dt
= C̃2(t, ε)y2 + F2(t, ε).
Вектор F (t, ε), а также матрицы C(t, ε) и H(t, ε) представимы в виде асимптоти-
ческих рядов по малому параметру ε:
F (t, ε) =
∞∑
k=0
εkFk(t), C(t, ε) =
∞∑
k=0
εkCk(t), C0(t) = S(t),
H(t, ε) = H0 + diag (0, R(t, ε)), J(t, ε) = J0 + R(t, ε), R(t, ε) =
∞∑
k=1
εkRk(t),
где Rk(t), k ∈ N, — блочные матрицы, имеющие ту же размерность, что и матрица
J0, причем каждый ij-й блок матрицы Rk(t, ) k ∈ N, имеет вид
R
(ij)
k (t) =
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
r
(ij)
k (t) 0 . . . 0
, k ∈ N.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
Выводы. В данной работе доказаны утверждения о расщеплении сингулярно возму-
щенных систем дифференциальных уравнений с вырождениями.
1. Самойленко А. М., Шкиль М. И., Яковец В. П. Линейные системы дифференциальных уравнений с
вырождением. – Киев: Вища шк., 2000. — 294 с.
2. Шкиль М. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диф-
ференциальных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991. — 207 с.
3. Старун И. И. Система с вырожденной матрицей при производной // Укр. мат. журн. — 1990. — 42,
№ 11. — С. 1535 – 1537.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
О РАСЩЕПЛЕНИИ ВЫРОЖДЕННОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ . . . 415
4. Старун И. И., Шкиль Н. И. Расщепление сингулярно возмущенных систем // Там же. — 1995. — 47,
№ 11. — С. 1542 – 1548.
5. Самусенко П. Ф. Построение решения задачи Коши систем дифференциальных уравнений // Вестн.
Киев. нац. ун-та. Математика. Механика. — 2005. — Вып. 13. — С. 19 – 25.
6. Самойленко А. М., Бойчук А. А., Каранджулов Л. И. Нетеровы краевые задачи с сингулярным возму-
щением // Дифференц. уравнения. — 2001. — 37. № 9. — С. 1243 – 1251.
7. Потороча В.В. Асимптотична оцiнка для наближеного розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуре-
них лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з виродженням та iмпульсною дiєю // Вестн. Киев. нац.
ун-та. Математика. Механика. — 2005. — Вып. 14. — С. 73 – 75.
8. Потороча В.В., Самойленко В.Г. Асимптотична оцiнка для наближеного розв’язку задачi Кошi для
сингулярно збурених лiнiйних систем диференцiальних рiвнянь з виродженням та iмпульсною дiєю у
випадку кратних коренiв // Допов. НАН України. — 2005. — № 12. — С. 45 – 50.
9. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1985. — 375 с.
10. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
Получено 29.12.2005
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2006, т . 9, N◦ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-178164 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:24:00Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. 2021-02-18T07:45:52Z 2021-02-18T07:45:52Z 2006 О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений / В.В. Потороча, В.Г. Самойленко // Нелінійні коливання. — 2006. — Т. 9, № 3. — С. 401-415. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178164 517.9 Вивчається питання про розщеплення сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з
 виродженням. We study the decomposition problem for singularly perturbed systems of differential equations with a
 degeneration. ru Інститут математики НАН України Нелінійні коливання О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений Про розщеплення виродженої сингулярно збуреної лінійної системи диференціальних рівнянь On decomposition of a degenerate singularly perturbed linear system of differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений Потороча, В.В. Самойленко, В.Г. |
| title | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| title_alt | Про розщеплення виродженої сингулярно збуреної лінійної системи диференціальних рівнянь On decomposition of a degenerate singularly perturbed linear system of differential equations |
| title_full | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| title_short | О расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| title_sort | о расщеплении вырожденной сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/178164 |
| work_keys_str_mv | AT potoročavv orasŝepleniivyroždennoisingulârnovozmuŝennoilineinoisistemydifferencialʹnyhuravnenii AT samoilenkovg orasŝepleniivyroždennoisingulârnovozmuŝennoilineinoisistemydifferencialʹnyhuravnenii AT potoročavv prorozŝeplennâvirodženoísingulârnozburenoílíníinoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ AT samoilenkovg prorozŝeplennâvirodženoísingulârnozburenoílíníinoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ AT potoročavv ondecompositionofadegeneratesingularlyperturbedlinearsystemofdifferentialequations AT samoilenkovg ondecompositionofadegeneratesingularlyperturbedlinearsystemofdifferentialequations |